九年级数学下册 2.3 确定二次函数的表达式 确定二次函数关系式的常见题型及解法素材 (新版)北师大版

确定二次函数关系式的常见题型及解法

确定二次函数的关系式，既是数学教学重点，也是教学的难点，学生学习不易掌握．在全国各地的中考考试中是必考内容，它可出现在选择题、填空题中，而且基本上都会出现在最后的压轴题中。解题的基本思想方法是待定系数法和数形结合方法，根据题目给出的具体条件或结合图形，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就确定二次函数关系式的常见题型及解法如下。

一、定义型：

此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次．

例1、若 1)(22

2-+=-m

m x

m m y 是二次函数，则m = ．

解：由m 2

+ m ≠0得:m ≠0，且 m ≠－ 1 由m 2

–2m –1 = 2得m =－1 或m =3 ∴ m = 3 ．

练习 1.若5)2(2

2+-=-a x a y 是关于x 的二次函数，则a = ．

二、开放型

此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一． 例2、写出一个开口向下的二次函数的表达式______．

分析：根据给出的条件，所以这道题只需满足c b a y ++=χχ2

中的a<0即可,如

y =-x 2+2x +1（注：答案不唯一）

练习 1.写出一个对称轴为x=－2的二次函数的表达式______． 三、平移型：

将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a (x -h )2

+ k ，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x +h 上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．其平移的规律是：h 值左负右正；k 值上正下负（或左加右减、上加下减）．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变．

例3.将二次函数y=x 2

的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为（ ）

A ．y=（x ﹣1）2+3

B ． B.y=（x+1）2

+3 C ．y=（x ﹣1）2

﹣3 D ．

D.y=（x+1）2

﹣3

考点： 二次函数图象与几何变换．

分析： 由二次函数y=x 2

的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，根据平移的性质，即可求得所得图象的函数解析式．注意二次函数平移的规律为：左加右减，上加下减．

解答： 解：∵二次函数y=x 2

的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，

∴所得图象的函数解析式是：y=（x ﹣1）2

+3． 故选A ．

点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键．

例4.抛物线()2

23y x =+-可以由抛物线2

y x =平移得到,则下列平移过程正确的是

( )

A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位

B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位

C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位

D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 【答案】B

练习 1.把抛物线y=(x+1)2

向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是( )．

(A)y=(x+2)2

+2 (B)y=(x+2)2

-2 (C)y=x 2

+2 (D)y=x 2

-2

分析：根据平移概念，图形平移变换，图形上每一点移动规律都是一样的，也可用抛物线顶点移动.即（-1，0）—→（0，－2）.

解答：根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律：“左加右减，上加下减.”故选D ．

2.将抛物线y=（x ﹣1）2

+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ） A ． y=（x ﹣2）2

B ． y=（x ﹣2）2

+6

C ． y=x 2

+6

D ． y=x 2

分析： 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．

解答： 解：将抛物线y=（x ﹣1）2

+3向左平移1个单位所得直线解析式为： y=（x ﹣1+1）2

+3，即y=x 2

+3；

再向下平移3个单位为：y=x 2

+3﹣3，即y=x 2

． 故选D ．

点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．

四、用待定系数法确定二次函数关系式

例5. 抛物线y=a （x ﹣1）2

+4经过点A （﹣1，0），求该抛物线的解析式。 分析：将A 坐标代入抛物线解析式，求出a 的值，即可确定出解析式； 解答：解：（1）将A （﹣1，0）代入y=a （x ﹣1）2

+4中，得：0=4a+4， 解得：a=﹣1，

则抛物线解析式为y=﹣（x ﹣1）2

+4；

例6..已知二次函数y=x 2

+bx+c 过点A （1，0），C （0，﹣3），求此二次函数的解析式。 分析： 利用待定系数法把A （1，0），C （0，﹣3）代入）二次函数y=x 2

+bx+c 中，即可算出b 、c 的值，进而得到函数解析式是y=x 2

+2x ﹣3；

解答： 解：∵二次函数y=x 2

+bx+c 过点A （1，0），C （0，﹣3）， ∴， 解得

，

∴二次函数的解析式为y=x 2

+2x ﹣3； （一）顶点式

若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式()k h x a y +-=2

．这顶点坐标

为（h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y 极值=k 来求出相应的系数；

例7.抛物线与x 轴交于A ，与y 轴交C 点，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x=

，求抛物线的解析式。

分析： 根据抛物线的对称轴得到抛物线的顶点式，然后代入已知的两点再由待定系数法求解即可；

解答： 解：设抛物线的解析式