初二数学下册 一次函数与一元一次不等式

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从图中看出，当x>2时， 直线y=5x-3上的点在直线 y=3x+1上相应点的 上方 ， 即5x-3>3x+1，所以不等式 的解集为 x>2 。
y=5x-3
o
2
x
1、当自变量x取什么值时，函数 y=3x+8的值满足下列条件？
（1）y= -7
（ 2） y＜ 2
y 2、一次函数 y = 2x - 5的图 象如右图 3 观察图象回答下列问题 2 : 1 (1)x取哪些值时,y=0? -1 0 1 2 3 4 x -1 x=2.5 时, y =0 -2 (2.5 , 0) (2)x取哪些值时,y>0? -3 x>2.5时,y>0 -4 (3)x取哪些值时,y<0 ? -5 x<2.5时,y<0 ;
（2）“当自变量x取何值时，函 数y=3x+8的值大于0”可看作 求不等式3x+8>0的解集。
根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的 y 解集 y=3x+6 y
y=-x+3
-2 x 3 x
(1)3x+6>0 (即y>0) X>-2 (2)3x+6 ≤0 (即y≤0) X≤-2
(3) –x+3 ≥0 (即y≥0) x≤3 (4) –x+3<0 (即y<0) x>3
由于任何一元一次不等式都可以转化为 ax+b>0或ax+b<0(a、b为常数，a≠0）的形 式，所以解一元一次不等式可以看作：当一 次函数值大于（或小于）0时，求自变量相 应的取值范围。
试一试(根据一次函数与不等式的关系填空):
(1) 解不等式3x－6<0，可看作
求一次函数y=3x-6的函数值 小于0的自变量x的取值范围。
y
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一次函数y=5x+4和y=2x+10, 画出y=5x+4和y=2x+10的图象. 由图象可知 它们的交点的横坐标为2. 当x ＜2时直线y=5x+4 上的 点都在直线y=2x+10的下方.
10
4
即5x+4＜2x+10
∴此不等式的解集为 x ＜2
-5 y=2x+10
0
2
x
y=5x+4
从数的角度看
我们从函数图象来看看
画出直线y=2x-4, 可以看出，当x＞2时，这条
直线上的点在x轴的 上方 ， 即这时y=2x-4>0。 所以2x-4>0的解集为 X ＞2 。
“解不等式ax+b>0（a,b为常数，
a≠0）”与“求自变量x在什么范围内，一
次函数y=ax+b的值大于0”之间有什么关
系？ 这两个问题实际上是同一个问题
练一练：
=2 如图:当x—————— 一次函数y=x-2的值为0 ， x-2=0 的解. x=2是一元一次方程——————— 1 当x=3时，函数y=x-2的值是------思考：当x为何值 时， 2 当x=4，函数y=x-2的值是-------函数Y=x-2对应 的值大于0 ？
y
Y=x-2
0
2 -2
求ax+b>0（或<0）(a, b 是常数，a≠0)的解集
函数y= ax+b的函数值 大于0（或小于0）时x 的取值范围
从形的角度看
求ax+b>0（或<0）(a, b 是常数，a≠0)的解集
直线y= ax+b在X轴上方或 下方时自变量的取值范围
例1、看图象解不等式 5 x 3 3 x 1 y y=3x+1
3.如右图, 一次函数 y kx b(k 0)的图象 经过点P(3,2) ,则关于x的 kx b 2 不等式 的解集为 x<-2 ________________. 分析：即求y>-2时x的取值范围
11.3.2
一次函数与一元一次不等式
一次函数与一元一次方程的关系:
从数的角度看： 求ax+b=0 （a≠0）的解 从形的角度看： 求ax+b=0 （a≠0）的解 确定直线y=ax+b与 x轴的交点的横坐标 X为何值时 y=ax+b的值为0
前面我们用函数观点，从数和形两个角度
学习了一元一次方程求解问题。
用画函数图象的方法解不等式： 5x+4＜2x+10 解法一： 不等式变形为 3x-6 ＜0 y
画出函数y=3x-6的图象 由图象可以看出：
0 2
y=3x-6 x
当 x＜2 时这条直线上的 点都在x轴的下方，
∴ 此不等式的解集为x ＜2
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用图象法解不等式：5x+4＜2x+10
解法二：把 5x+4＜2x+10 看做两个
的解集为
x>2
．
；
关于x的不等式 kx b 0
x<2
5 2.若关于x的不等式kx b 0 的解集为 x 2 5 则一次函数 y kx b 当 x 时,图象在 2 5 x轴_________;当 x 时,图象在x轴______. 2
分析：可以画出函数草图进行解答
y＝3x－4
x为何值时y=ax+b 的值大于0
求ax+b＞0（a≠0） 的解
函数的观点
数形结合
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直线y=ax+b在x轴
上方的图象所 对应的x值
当堂检测
1.如图是一次函数 y kx b(k 0) 的图象,则关于x的方程kx b 0
的解为
x=2
；关于x的不等式
kx b 0 的解集为
3 4 x
问题1：解不等式2x-4>0 问题2： 自变量为何值时，函数y=2x-4的值大于0？ 思考： (1)问题1与问题2有什么关系?
两个问题实际上是同一个问题，虽然结果一样， 但是表达的方式不同。因为问题1是直接求不等式2x4 ＞０的解集，解得Ｘ＞２，是从不等式角度进行求 解。而问题2是考虑当函数 y=2x-4的函数值大于0时， 自变量Ｘ的取值，是通过列不等式2x-4 ＞ 0求解， 解得Ｘ＞２，是从函数的角度进行求解。
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3.利用函数图象解不等式：3x－4＜x+2。 解法1：化简不等式得2x－6＜0，画出函 数y＝2x－6的图象。 当x＜3时y＝2x－6＜0，所以不等式的解 集为x＜3。
y y＝x＋2 0 3 x y Y=2x-6
0
3 -6
x
解法2：画出函数y＝3x－4和函数y＝ x+2的图象，交点横坐标为3。 当x＜3时，对于同一个x，直线y＝3x －4上的点在直线y＝x+2上相应点的 下方，这表示3x－4＜x+2，所以不等 式的解集为x＜ 3。