(典型题)——点到直线的距离

1.
2.
3. 若点（2，k）到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是多少？
点到直线的距离公式,
代入公式
|5*2 - 12*k +6|/√(5*5 + 12*12)
=|16-12k|/13
= 4
=>
k=-3或17/3
4. 点P(2,3)到直线:ax+(a-1)y+3=0的距离d为最大时,d与a的值为?
ax+(a-1)y+3=0
(x+y)a=y-3
则x=-3,y=3恒成立
所以直线过A(-3,3)
则距离最大时直线和PA垂直
此时d=PA=5
此时PA垂直y，所以直线垂直x
则y系数为0
a=1
法2：分析：根据题意，将直线方程整理为a（x+y）+（3-y）=0，可得直线ax+（a-1）y+3=0经过定点Q（-3，3），由此可得当直线ax+（a-1）y+3=0与PQ垂直时，距离为PQ的长，并且此时点P到直线的距离达到最大值，由此不难得到本题的答案．
解答：∵直线ax+（a-1）y+3=0即a（x+y）+（3-y）=0
∴令x+y=3-y=0，得x=-3，y=3．可得直线ax+（a-1）y+3=0经过定点Q（-3，3）
因此，当直线ax+（a-1）y+3=0与PQ垂直时，点P（2，3）到直线：ax+（a-1）y+3=0的距离最大
∴d的最大值为|PQ|==5
5. 在直角坐标系中,坐标原点为O,已知A(-2,4),B(4,2). (1)求△AOB的面积;
在直角坐标系中,坐标原点为O,已知A(-2,4),B(4,2).
(1)求△AOB的面积;
(2)在x轴上找点P，使PA+PB的值最小，求P点的坐标．
6、两平行线3x+4y+5=0与6x+8y+30=0间的距离为d，则d=________．
答案
2
解析
分析：化简直线方程，利用平行线之间的距离公式求出，它们的距离．
解答：6x+8y+30=0化为3x+4y+15=0，
所以两平行线3x+4y+5=0与6x+8y+30=0间的距离d===2，
7. 与直线5x+12y-31=0平行，且距离为2的直线方程是
解答如下：
设直线方程为5x + 12y + c = 0
根据平行线的距离公式有|c + 31|/13 = 2
所以|c + 31| = 26
c = -5 或者c = -57
所以直线方程为5x + 12y - 5 = 0或者5x + 12y - 57 = 0
8. 已知直线l1:x+y-1=0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2,l1和两坐标轴围成的梯形的面积是4，求l
2
的方程.
答案
解析：由l
1∥l
2
设出l
2
的方程，然后由梯形的面积求解.
∵l
1∥l
2
，∴设l
2
的方程为x+y-m=0.
设l
1
与x轴，y轴分别交于点A、D.
l
2
与x轴，y轴分别交于B、C.
易得：A(1，0) D(0，1) B(m,0) C(0,m).
又l
2在l
1
的上方，∴m＞0.
S
梯形=S
Rt△OBC
-S
Rt△OAD
,
∴4=m·m-·1·1,
∴m2=9,m=3,故l
2
的方程是x+y-3=0.
9.直线L经过点P(2,-5),且与两点A(3，-2）,B(-1,6)的距离之比为1：2，求直线L的方程。

设I方程为ax+by+c=0
2a-5b+c=0
c=5b-2a
点A(3,-2)和点B(-1,6)到l的距离比为1:2
2|3a-2b+5b-2a|=|-a+6b+5b-2a|
2|a+3b|=|11b-3a|
1> 2a+6b=11b-3a
a=b
c=5b-2a=3a
直线l方程为ax+ay+3a=0
化简为x+y+3=0
2> -2a-6b=11b-3a
a=17b
c=5b-2a=5b-34b=-29b
直线l方程为17bx+by-29b=0
化简为17x+y-29=0
法2：与两点A(3，-2）,B(-1,6)的距离之比为1：2
所以直线L比过AB的第一个三等分点
改点坐标为（5/3,2/3）
直线L经过点P(2,-5),
所以可以直接解出方程
设直线L为y+5=k(x-2);即y=kx-2k-5
有点到直线的距离公式及距离比得：|k-3|/|-3k-11|=1/2 解得k=-1或者k=-17
所以所求直线L为：y=-x-3 或者y=-17x+29。