二次函数动轴动区间问题

二次函数在闭区间上的最值

一、 知识要点：

二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.

设f x ax bx c a ()()=++≠2

0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。

分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪

b a

ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：

（1）当[]

-∈b a

m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b

a f x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=

-2442

，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]

-∉b

a

m n 2，时 若-

a

m 2，由f x ()在[]

m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b

a

<-2，由f x ()在[]

m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n ()

当a <0时，可类比得结论。

二、例题分析归类： （一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1. 轴定区间定

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例1. 函数y x x =-+-2

42在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 。

图1

练习. 已知232

x x ≤，求函数f x x x ()=++2

1的最值。

图2

2、轴定区间变

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例2. 如果函数f x x ()()=-+112

定义在区间[]

t t ，+1上，求f x ()的最小值。

图1图2图8

例3. 已知

2

()23f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最大值．

。

二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a >0时

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

+<-+≥-

=)

)((212)())((2

12)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ⎪⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧

<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min

如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f

当a <0时

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎨⎧

<-≤-

≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max 如图如图如图，，，m a b m f n a

b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+⎧⎨

⎪⎪⎩

⎪⎪，，如图如图212212910

3、轴变区间定

二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

例4. 已知x 21≤，且a -≥20，求函数f x x ax ()=++2

3的最值。 解 。

图3

例5. (1) 求2

f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。 (2) 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。

4. 轴变区间变

二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。

例6. 已知24()(0),y a x a a =->，求22

(3)u x y =-+的最小值。

二）、逆向型

是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例7. 已知函数2

()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。

例8.已知函数2

()2

x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m 最大值是3n ，求m ，n 的值。

例9. 已知二次函数2f (x )ax (2a 1)x 1=+-+在区间3,22⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

上的最大值为3，

求实数a 的值。

三、巩固训练

1．函数y 12

++=x x 在]1,1[-上的最小值和最大值分别是 （ ）

)(A 1 ,3 )

(B 43 ,3 （C ）21- ,3 （D ）4

1

-, 3 2．函数242

-+-=x x y 在区间]4,1[ 上的最小值是 （ ）

)(A 7- )(B 4- )(C 2- )(D 2

3．函数5

48

2+-=

x x y 的最值为 （ ）

)(A 最大值为8，

最小值为0 )(B 不存在最小值，最大值为8

（C ）最小值为0, 不存在最大值 )(D 不存在最小值，也不存在最大值

4．若函数]4,0[,422∈+--=x x x y 的取值范围是______________________ 5．已知函数f x ax a x a ()()()[]=+---2

21303

2

2≠在区间，上的最大值是1，则实数a 的值为

6．如果实数y x ,满足12

2

=+y x ，那么)1)(1(xy xy +-有 （ ） (A)最大值为 1 , 最小值为

21 (B)无最大值，最小值为4

3