对一道中考数学压轴题的探究及推广

对一道中考数学压轴题的探究和推广【摘 要】:广州市2016中考数学压轴题以等腰直角三角形及其外接圆上一动点为载体,以探究其中三条线段平方之间的等量关系为核心,着重考查了与圆相关的几何知识、构造三角形全等、旋转和勾股定理等初中数学的重点与难点内容,体现了中考数学压轴题的选拔功能.笔者对2016年广州市中考数学压轴题进行多解分析与加强推广,以期解剖和领悟中考压轴题的评价功能和考查重点,促进在新课改背景下的探究性学习和研究性学习的开展.【关键词】: 中考数学 压轴题 探究推广广州市2016中考数学压轴题以等腰直角三角形及其外接圆上一动点为载体,以探究其中三条线段平方之间的等量关系为核心,着重考查了与圆相关的几何知识、构造三角形全等、旋转和勾股定理等初中数学的重点与难点内容.要求考生具备良好的空间想像能力和较强的逻辑推理能力才能圆满解答,较好地体现了中考数学压轴题的选拔功能.故此,笔者以下特分享对2016年广州市中考数学压轴题的多解分析与加强推广,以期更好地解剖和领悟中考压轴题的评价功能和考查重点,促进在新课改背景下的探究性学习和研究性学习的开展.一、相关试题的描述试题:如图1,点C 为ABD ∆外接圆上的一动点(点C 不在BAD 上,且不与点B ,D 重合),ACB ∠=ABD ∠=45︒.(1)求证:BD 是该外接圆的直径; (2)连接CD ,求证BC CD =+; (3) 若ABC ∆关于直线AB 的对称图形为ABM ∆,连接DM ,试探究2DM ,2AM ,2BM 三者之间满足的等量关系,并证明你的结论. 二、相关试题的剖析（一）.第一问的证明方法证明:因为AB AB =,所以ACB ADB ∠=∠,又45ACB ABD ∠=∠=︒, 所以45ADB ABD ∠=∠=︒,则在ABD ∆中,90BAD ∠=︒,所以BD 是ABD ∆外接圆的直径.【评析】:第一问考查了圆的相关知识,特别是学生比较熟悉的“90︒的圆周角所对弦是B D 图1D 图2直径”的性质定理,让大部分考生能心平气和地顺利解决,为下面更好地展开第二问和第三问做了良好的铺垫,体现了试题由浅入深,逐步递进的命题特色,符合学生认知发展的规律.（二）第二问的几种证法证法1:(将ADC ∆绕点A 顺时针旋转90︒)如图2,因为45ADB ABD ∠=∠=︒,所以AB AD =,90BAD ∠=︒,将ADC ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABC '∆,所以AC AC '=, 90C AC '∠=︒,C B CD '=,ABC ADC '∠=∠,又四边形ABCD 的顶点在同一圆上,所以ADC ABC ∠+∠180=︒,则ABC ABC '∠+∠180=︒,即C ',B ,C 在同一直线上,则Rt C AC '∆中,222AC AC CC ''+=,即222AC CC '=,所以CC '=,又CC BC C B ''=+BC CD =+,BC CD =+.证法2:(延长CB 并构造与ADC ∆全等的三角形)如图2,延长线段CB 到点C ',并截取C B CD '=,连接AC ',因为45ADB ABD ∠=∠=︒,所以AB AD =,又四边形ABCD 的顶点在同一圆上,所以180ADC ABC ∠+∠=︒,又180ABC ABC '∠+∠=︒,所以ABC ADC '∠=∠,则ABC '∆≌ADC ∆()SAS ,所以AC AC '=,又45ACB ∠=︒,则AC B ACB '∠=∠45=︒,即90C AC '∠=︒,则在Rt C AC '∆中,222AC AC CC ''+=,即222AC CC '=,所以CC '=,又CC BC C B ''=+BC CD =+,BC CD =+. 证法3:(分别过B ,D 作AC 的垂线段,构造等腰直角三角形) 如图3,作BE AC ⊥,垂足为点E ,因为45ACB ∠=︒,所以45ACB EBC ∠=∠=︒,则EB EC =,因为在Rt BEC ∆中,222EB EC BC +=, 即222EC BC =,所以BC =;作DF AC ⊥,垂足为点F ,因为AD AD =,所以ACD ∠ABD =∠45=︒,则ACD ∠45DFC =∠=︒,B D图3所以CF DF =,因为在Rt CFD ∆中,222CF DF CD +=,即222DF CD =,所以CD =;又90BAD ∠=︒,即90BAE FAD ∠+∠=︒,又90ADF FAD ∠+∠=︒,所以BAE ADF ∠=∠,又AB AD =,所以ABE ∆≌DAF ∆()AAS ,则AE DF =,所以CD =,则BC CD =+ ,)EC AE +BC CD =+,BC CD =+.【评析】:第二问的证法1与证法2分别通过三角形旋转和构造全等三角形,将线段BC 与CD 拼接在同一直线上,再利用等腰直角三角形直角边与斜边的关系得到所求证的结论;而证法3则是过B ,D 作线段AC 的垂线段,将线段AC 拆分成EC 和AE 两部分,再利用等腰直角三角形直角边与斜边的关系和全等三角形的转换得到所求证的结论.显然相对于第一问,第二问在思维层次上做了一个适当的提升,对部分中等偏下的考生设置了障碍.事实上,无论是用“拼接”还是“拆分”的方法,都要求考生具备一定的几何构造能力和比较扎实的数学基础才能圆满解答,逐步体现中考数学压轴题的选拔性特点.（三）.第三问的探究结论是2222DM AM BM =+,以下分享四种相关证法证法1:(延长MB 交ABD ∆外接圆于点N ,构造Rt MND ∆)如图4,延长MB 交ABD ∆外接圆于点N ,连接DN ,AN ,因为AB AB =,所以ANB ∠45ACB =∠=︒,又ABC ∆与ABM ∆关于直线AB 对称,所以ACB ∠45AMB =∠=︒,则ANB ∠45AMB =∠=︒,所以AM AN =,90MAN ∠=︒,则在Rt MAN∆中,222MN AM AN =+,即222MN AM =;又AM AC =,所以AN AC =,则AN AC =,又AB AD =,则AB AD =,所以NB CD =,又BD BD =,所以DN BC =,则DN BC =,又BC BM =,所以DN BM =,因为BD 是ABD ∆外接圆的直径,所以90BND ∠=︒,则在Rt MND ∆中,222DM MN DN =+222AM BM =+,所以2222DM AM BM =+.证法2:(过点A 作AC 的垂线交CD 延长线于点G ,构造Rt BCG ∆)D图4图5D 图6 ABM ∆关于直线AB 对称,所以AC AM =,BC BM =,则AM AG =,又MAB CAB ∠=∠, 90BAD ∠=︒,所以MAB BAD ∠+∠CAB CAG =∠+∠,即MAD GAB ∠=∠,又AD AB =,所以MAD ∆≌GAB ∆()SAS ,则DM BG =,因为BD 是ABD ∆外接圆的直径,所以90BCD ∠=︒,则在Rt BCG ∆中,222BG CG BC =+,即2DM 222AC BC =+,所以2222DM AM BM =+.证法3:(将ADM ∆绕点A 顺时针旋转90︒,构造Rt BMM '∆)如图6,因为AB AD =,90BAD ∠=︒,所以将ADM ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABM '∆,连接BM ',M M ',则DM BM '=,AM AM '=,90MAM '∠=︒,所以AM M '∠45AMM '=∠=︒,则在Rt MAM '∆中,222MM AM AM ''=+,即222MM AM '=;又ABC∆与ABM ∆关于直线AB 对称,所以45ACB AMB ∠=∠=︒,则90AMM AMB '∠+∠=︒,即90BMM '∠=︒,则在Rt BMM '∆中,222BM MM BM ''=+,所以2222DM AM BM =+.证法4:(作D M '垂直且相等于DM ,构造Rt D BM '∆)如图7,作D M DM '⊥且D M DM '=,连接D D ',D B ',则D MD '∆是等腰直角三角形,所以D D MD'=,MD D '∠MDD '=∠45=︒,又由(1)知BAD ∆也是等腰直角三角形,所以BD AD =,45ADB ∠=︒,则D D BD MD AD '==,MDD ADB '∠=∠,所以MDD MDB '∠-∠ADB MDB =∠-∠,即BDD ADM '∠=∠,所以BDD '∆∽ADM ∆,则BD D AMD '∠=∠,BD AM'=,即BD '=;又ABC ∆与ABM ∆关于直线AB 对称,所以45ACB AMB ∠=∠=︒,则MD D BD D ''∠-∠AMB AMD =∠-∠,即MD B DMB '∠=∠,又90DMB D MB '∠+∠=︒,所以90MD B D MB ''∠+∠=︒,则90D BM '∠=︒,所以在Rt D BM '∆中,222D M BD BM ''=+,即2DM )22BM =+222AM BM =+,所以2222DM AM BM =+.【评析】:第三问的四种证法分别通过延长线段引出垂直、三角形旋转和作线段垂直且相等的方法来构造直角三角形,再将2DM ,2AM ,2BM 构造在同一直角三角形中,最后根据勾股定理解决问题.事实上,无论用哪种方法和思路,都要求考生具备较强的空间想像能力,跨知识点的运用、分析和逻辑推理能力和稳定的心理素质才能圆满解答,充分体现了考基础、考能力、考素质、考潜能和以学生发展为本的考试目标,为部分优等生提供了一个充分展现其数学思维和能力的平台,让真正优秀的学生脱颖而出,达到通过压轴题增加试卷区分度的目的.三、关于试题的拓展延伸笔者在试题解答的过程中,发现还有两个重要问题值得进一步拓展延伸。

一是作ACD ∆关于直线AD 的轴对称图形AHD ∆,其中2BH ,2AH ,2DH 之间是否也有类似的结论?二是点C 在ABD ∆外接圆上运动的过程中,线段DM 的长度也随之发生变化,则线段DM 长度的最大值和最小值分别是多少?以下笔者将对这两个问题作出解答,以期更好地剖析试题的内涵,挖掘它的亮点.拓展延伸1:作ACD ∆关于直线AD 的对称图形AHD ∆,连接BH ,试探究2BH ,2AH ,2DH 三者之间满足的等量关系,并证明探究的结论.解:2BH ,2AH ,2DH 满足的等量关系为:2222BH AH DH =+.理由如下:如图8,因为AB AD =,90BAD ∠=︒,所以将ABH ∆绕点A 逆时针旋转H B90︒得到ADH '∆,连接DH ',HH ',则BH DH '=,AH AH '=,90HAH '∠=︒,所以AH H '∠45AHH '=∠=︒,则在Rt HAH '∆中,222H H AH AH ''=+,即222H H AH '=;因为ACD ∆与AHD ∆关于直线AD 对称,所以ACD AHD ∠=∠,又AD AD =,则ACD ∠45ABD =∠=︒,所以45AHD ∠=︒,则90AHH AHD '∠+∠=︒,即90H HD '∠=︒,则在Rt H HD '∆中,222DH H H DH ''=+,所以2222BH AH DH =+.拓展延伸2:在(3)的条件下,设2BD =,试求点C 在ABD ∆外接圆上运动的过程中,线段DM 长度的最大值和最小值？解:如图9,由(1)知BD 是ABD ∆外接圆的直径,则作BD 中点O ,即O 是ABD ∆外接圆圆心,连接OA ,OC ,因为AB AD =,所以90AOB ∠=︒,又2BD =,所以OA OB =1OC ==,则45ABO ∠=︒,作AOB ∆关于直线AB 的对称图形AO B '∆,连接O M ',则1O A O B ''==,45ABO '∠=︒,又ABC ∆与ABM ∆关于直线AB 对称,所以BC BM =,ABC ABM ∠=∠,则ABC ABO ∠-∠ABM ABO '=∠-∠,即OBC O BM '∠=∠,又1OB O B '==,所以OBC ∆≌O BM '∆()SAS ,则OC O M '=1=,即O A O B ''=1O M '==,所以点M 在以O '为圆心,O A '为半径的圆上运动,连接O D ',因为90ABO ABO '∠+∠=︒,即90O BD '∠=︒,所以O D'===,因为在MO D '∆中,O D O M ''-DM <O D O M ''<+,所以当M ,O ',D 共线时,DM 取得最大值(O D O M ''+)1;当O ',M ,D 共线时,DM 取得最小值(O D O M ''-)1.四、相关试题的推广“从特殊到一般,再从一般到特殊”是数学探究的常用方法.随着对这道中考压轴题研究的逐步深入,以下笔者把试题的问题和结论推广到一般情况.D 图9题设:如图10,在ABD∆中,AB AD =,2BD =,ABD θ∠=(090θ<<︒),O 是ABD ∆的外接圆,点C 在O 上运动,连接CA ,CB ,CD ,作ABC ∆关于直线AB 的对称图形ABM ∆,连接DM .推论1:当点C 不在BAD 上,且不与点B ,D 重合时, 2cos AC θ⋅BC CD =+;推论2:当点C 不在劣弧AB 上,且不与点A ,B 重合时,2DM 224cos AM θ=⋅2BM +4AM BM -⋅cos cos2θθ⋅⋅;推论3:点C 在O 上运动的过程中,DM,DM.以上对试题推广结论的证明,有兴趣的读者可以参照本文自行完成,这里不再赘述.通过对广州市2016中考数学压轴题的多解分析与加强推广,笔者发现此题可作为研究性教学的素材,对本题进行研究性教学时,学生可重点研究试题的立意以感悟考查的目的与学习重点,研究试题的解法以优化解题策略和方法,研究试题的加强与推广以培养探究意识和创新精神.总之,初中数学的主要任务不仅是学知识,也要增强数学素质,优化思维结构,注意思想方法和能力的提升.【参考文献】:[1]梁文威. 对2013年广东高考数列题的探究及推广[J]. 广东教育,2013,(9):36-37.[2]图[3]唐潇妮教育的真谛[J]. 广东教育,2016,(11):72.。