【精品】近世代数学习系列二群(续)
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解：令 G 是由一切上述变换作成的集合。考察 G 的任何两个元素
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
近世代数第二章 群
:明证,元逆可是都 S � na , � , 2a , 1a ,群半的元位单有个一是 S 设.4
1�
ba � i) a b( �
1�
a � ai � a ) b b( � b) a b( � ab b � ) ba ( b � ab � ba
1� 1� 1� 1�
1�
ba � ) bb () a b( �
.a � b � 2 � a � b � 2 � b � a � b � a
, 2 � 2 � ) a � 4( � a � b � a ,a�2�2�a�2�a
2 � ) 2 � c � b( � a � 2 � c � ) 2 � b � a ( � c � )2 � b � a ( � c � ) b � a (
.群加个一成作法加的数于关 G ,说们我此因,记标
,律换交和律合结合适法加的数于由.闭封法加的数于关 G 且并, � � G 然显 明证 , } Z � k | km{ � G
于由.群半换交个一成作法加的数于关 G 此因 .群加个一成作法加的数于关 G :明证 令, N � m 设.1
义定的群 2.2§
1�
. 1� b1� acb1� a � x 是就解个这,解个一有仅且有中 G 在 程方以所. 1� b1� acb1� a � ' x 得, 1� b1� a 乘右, 1� a 乘左边两式上将 得可,律去消用利,此由. cb ' x � ab ' xa ' x 则,解的中 G 在
cbx � abxax cbx � abxax cbx � abxax
� .� � 1 0 � �1 � �, � � � �0 1� � � 0 � �1 � 0� � �, � 1� � 0 � �1 0 � � �, � 1� � �0 � 0� � 1�
近世代数(2)-2
子群(续 子群 续) 生成元集
•
•
是一个群,S⊆ 记 的全体包含 的全体包含S的 定义 设G是一个群 ⊆G.记G的全体包含 的 是一个群 子群的交为(S),称为 生成的子群.特别地 称为S生成的子群 特别地,若 子群的交为 称为 生成的子群 特别地 若 (S)=G,则称 是G的生成元集 循环群是由一个 则称S是 的生成元集 的生成元集.循环群是由一个 则称 元素生成的群. 元素生成的群 例 S4=((123),(1234)) 证 (123)-1=(132),(132)(1234)=(14), (1234)-1(14)(1234)=(12),(123)(1234)=(1324), (1324)-1(14)(1324)=(13), 故((123),(1234))=((12),(13),(14))= S4.
•
循环群 循环群是由一个元素生成的最简单的群. 要点 循环群是由一个元素生成的最简单的群 • 定义 群G如果仅含某一个元 的方幂 则G称为 如果仅含某一个元a的方幂 如果仅含某一个元 的方幂,则 称为 生成的循环群,记为 的阶也称为a的 由a生成的循环群 记为 生成的循环群 记为G=(a),G的阶也称为 的 的阶也称为 阶. • 例1. 整数加群 是一个无限循环群 生成元为 整数加群Z是一个无限循环群 生成元为1. 是一个无限循环群,生成元为 • 2 .整数模n剩余类加群Zn也是循环群,生成元 .整数模 剩余类加群Z 也是循环群,生成元 整数模n剩余类加群 阶为n. 是[1],阶为 阶为 • 定理 定理2.7.1 循环群或同构于整数加群或同构于 整数模n剩余类加群 剩余类加群. 整数模 剩余类加群 • 证 设G=(a).作影射ϕ:Z→G使i → ai .若 |a|无限 作影射ϕ → 使 若 无限, 作影射 无限 是群同构Z≅ 若 则ϕ是群同构 ≅G.若|a|=n,则ϕ(kn)=1, ϕ是群同 则 构Zn ≅G.
近世代数课件(全)--2-11 图形的对称变换群、群的应用
nm
现在考虑二面体群 D m 对集合 的作用： 设
1 2 g i1 i 2
k
ik
m Dm im
1 2 c1 c 2
，其中
ck A
k ck
m
cm
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定义
g
对 的作用为
g m i1 i 2 c m c1 c 2
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容易看出, 正方形的对称变换有两类: 第一类: 绕中心的分别旋转90度，180 度，270度，360度的旋转， 这对应于置换 (1234)， (13)(24)， (1432)，(1). 第二类: 关于正方形的4条对称轴的反射, 这对应于置换 (1 2)(3 4)， (2 4)， (1 4)(2 3)， (2 4)， (1 3). 所以, 正方形的对称变换群有上述 8个元素. 这是四次对称群的一个子群.
2 1
1 是一个 (12345) 5 型置换 1 2 是一个 (12)(34) (12)(34)(5) 1 2 型置换
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二面体群中的置换类型
0 (1), k 123 n , k 1, , n 1 0 2 n (3 n 1) , d n k 的类型是 型，其中 d ( n, k ) d n 1 k 当n是奇数时，都是 112 2 型的
D
C
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B
A
7：
C D
D
A
C
B
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B
A
8：
C D
B
C
A
D
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近世代数学习系列二 群(续)
近世代数学习系列二群近世代数的主要研究对象是具有代数运算的集合，这样的集合称为代数系。
群就是具有一个代数运算的代数系，群的理论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础.现在它已发展成为一门内容丰富、应用广泛的数学分支，在物理学、力学、化学、生物学、计算机科学等方面都有越来越广泛的应用。
群是一个集合，在这集合上定义了一种二项演算，也就是说存在一个映射，给这集合的任意两个元的有序对，都对应了这集合的另一个元，作为这两个元关于这种演算的结果。
这演算通常称为乘法，两个元a、b关于这乘法进行演算的结果，通常写为a∙b或者就简略记为ab。
乘法被要求满足下面三个条件：1.结合律。
a∙ ( b∙c ) = ( a∙b ) ∙c2.存在单位元e，对任意元a都有e∙a = a∙e = a3.对任意元a，都存在a的逆元a-1，满足a∙a-1 = a-1∙a = e如果这乘法还满足交换律a∙b = b∙a，则把这群称为加群或Abel群。
这时更多地把演算写成加法。
群的单位元有时写为 1，Abel群的时候则写为0。
单位元是唯一的，这是因为如果d和e都是单位元，则根据定义我们有d = de = e。
同样逆元也是唯一的，因为如果b和c都是a的逆元，则b = bac = c。
显然 ( a-1 ) -1 = a。
在一个集合A上定义一个满足上面三个条件的演算使其做成一个群，这有时被称为“给集合A加上了群的结构”。
有一种结构就有保持这种结构的映射。
从群G到群H的映射f被称为同态映射，如果f满足条件：对于G中任意两个元σ、τ，总有f ( στ ) = f ( σ ) f ( τ )。
这也可以说成f是和两个群中的乘法演算相容的。
容易看出同态映射一定把单位元映到单位元，逆元映到逆元。
如果一个同态映射是全单射，那它一定是同构，也就是说其逆映射也一定是同态映射。
群的例子有比如说映一个集合A到其自身的所有全单射的全体，关于映射的合成做成一个群。
近世代数习题解答2
近世代数习题解答第二章 群论1 群论1. 全部整数的集合关于一般减法来讲是不是一个群?证 不是一个群,因为不适合结合律.2. 举一个有两个元的群的例子.证 }1,1{-=G 关于一般乘法来讲是一个群.3. 证明, 咱们也能够用条件1,2和下面的条件 ''5,4来作群的概念:'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 关于G 的任何元a 都成立'5. 关于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1证 (1) 一个右逆元必然是一个左逆元,意思是由e aa=-1得e a a =-1因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1因此))(()('111a a a a e a a ---=e a a a e a a aa a ====----'1'1'11][)]([ 即 e a a =-1(2) 一个右恒等元e 必然也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea = a ae a a a a aa ea ====--)()(11即 a ea =如此就取得群的第二概念. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1-=b be b aa b a a ===--)()(11这就取得群的第一概念.反过来有群的概念取得''5,4是不困难的.2 单位元,逆元,消去律1. 假设群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 确实是互换群. 证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111)(.2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证 (1) 先证a 的阶是n 则1-a 的阶也是n .e e a a e a n nn===⇒=---111)()(假设有n m 〈 使e a m =-)(1 即 e a m =-1)(因此 1-=e a m e a m =∴ 这与a 的阶是n 矛盾.a 的阶等于1-a 的阶 (2) a 的阶大于2, 那么1-≠a a 假设 e a a a =⇒=-21 这与a 的阶大于2矛盾(3) b a ≠ 那么 11--≠b a总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双显现,因此有限群里阶大于2的元的个数必然是偶数3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的个数必然是奇数.证 依照上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,因此阶 2≤的元的个数必然是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证 G a ∈故 G a a a a nm∈ ,,,,,,2由于G 是有限群,因此这些元中至少有两个元相等: nma a = )(n m 〈 故 e amn =-m n -是整数,因此a 的阶不超过它.4 群的同态假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ，a 和-a 的阶是不是必然相同? 证 不必然相同 例如 }231,231,1{i i G +-+-= }1{=-G对一般乘法-G G ,都作成群,且1)(=x φ(那个地址x 是G 的任意元,1是-G 的元)由 φ可知 G ∽-G 但231,231i i --+-的阶都是3. 而1的阶是1.5 变换群1. 假定τ是集合的一个非一一变换,τ会可不能有一个左逆元1-τ,使得εττ=-1?证 咱们的回答是回有的},3,2,1{ =A1τ: 1→1 2τ 1→12→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 … …τ显然是一个非一一变换但 εττ=-12. 假定A 是所有实数作成的集合.证明.所有A 的能够写成b a b ax x ,,+→是有理数,0≠a 形式的变换作成一个变换群.那个群是不是一个互换群? 证 (1) :τ b ax x +→:λ d cx x +→:τλ d cb cax d b ax c x ++=++→)( d cb ca +,是有理数 0≠ca 是关闭的.(2) 显然时候结合律(3) 1=a 0=b 那么 :ε x x → (4) :τ b ax + )(1:1ab x a x -+→-τ而 εττ=-1因此组成变换群.又 1τ: 1+→x x :2τ x x 2→ :21ττ )1(2+→x x :12ττ 12+→x x 故1221ττττ≠因此不是互换群.3. 假定S 是一个集合A 的所有变换作成的集合,咱们临时仍用旧符号τ:)('a a a τ=→来讲明一个变换τ.证明,咱们能够用21ττ: )()]([2121a a a ττττ=→来规定一个S 的乘法,那个乘法也适合结合律,而且关于那个乘法来讲ε仍是S 的单位元. 证 :1τ )(1a a τ→ :2τ )(2a a τ→那么:21ττ )()]([2121a a a ττττ=→ 显然也是A 的一个变换. 此刻证那个乘法适合结合律:)]()[(:)(321321a a ττττττ→)]]([[321a τττ= =→)]([:)(321321a a ττττττ)]]([[321a τττ 故 )()(321321ττττττ= 再证ε仍是S 的单位元 :ε )(a a a ε=→ :ετ )()]([a a a ττε=→τ:τε )()]([a a a τετ=→∴ τεετ=4． 证明一个变换群的单位元必然是恒等变换。
近世代数学习系列-b3-2 群笔记
近世代数群（续一）作用设有集合G作用于集合A上。
如果G是一个群，并且群的乘法和作用的合成是一致的，我们就说群G作用于A上。
如果G是不可换的，那么“群的乘法和作用的合成是一致的”这话还会稍微有一点歧意。
对于G的两个元σ、τ，先把σ作用于A再把τ作用于A，这个合成是由στ来对应还是由τσ来对应呢？我们把前者称为G从右边作用于A，后者则称为G 从左边作用于A。
左和右的区别，来自于我们书写的时候，如果把映射写在左边，即对于A的元a，把先作用σ再作用τ写成τ ( σ ( a ) )，那么自然的这合成的样子就像是τσ；反之如果把映射写在右边，记为 ( aσ ) τ，这看起来的样子就像是στ了。
如果把群G本身看成一个集合，我们比如说可以这样定义群G在集合G 上的作用：对于群G的任意一个元σ，σ的作用定义为把集合G上的每个元都“左乘” σ。
即，对于集合G的任意元g，σ的作用把g映到σg。
这显然是从左边的作用。
这作用有时被称为“左移动”。
同样的我们也可以定义“右移动”。
一个左（右）移动显然是集合G的一个置换，并且对于不同的σ，其所对应的置换显然是不同的。
于是群G就可以看成是集合G上的置换群的一个子群。
于是我们得到，任何群都是某个置换群的子群。
G还可以像这样作用于G本身：对于群G的任意一个元σ，σ的作用把G的任意元g映到σgσ-1。
这作用的特点是它保持G的群结构不变。
也就是说，把G的任意元g映到σgσ-1是G的一个自同构。
这是因为对于G 的任意两元f、g，我们显然有 ( σfσ-1 )( σgσ-1 ) = σ ( fg ) σ-1。
这作用是从左边的，我们也可以同样地定义从右边的作用为，σ把G的任意元g映到σ-1gσ。
对于G的元g或G的子群U，我们通常把形如σgσ-1的元和形如σUσ-1的子群分别称为g和U的共轭。
于是U是正规子群的条件也可以陈述为，U在取共轭的作用下不变。
一般的如果X是具有某种结构的集合，则X的所有自同构关于映射的合成做成一个群。
近世代数课件2
代数系统(S,⊙)是否 做成半群的判断方法就是检验代数 运算⊙在集合S上是否适合结合律.
设(S , o)是一个半群, Φ ≠ T ⊆ S , 则称(T , o)是(S , o)的一个 子半群 ⇔ ∀a, b ∈ T , 有a o b ∈ T .
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设 是 个 空 合若 S 一 非 集 , 1)在 上 在 个 数 算 ” S 存 一 代 运 “ ; 2)代 运 “ ” 集 S上 合 合 数 算 在 合 适 结 律 (也 ∀ ,b,c∈S,有 a b) c =a (b c).) 即a ( 则 集 S关 代 运 做 一 半 , 称 合 于 数 算 成 个 群 记 半 (S，. 作 群 )
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M n(R)(实数域R上全体n阶矩阵组成 的集合)关于矩阵的乘法、加法能否做成M n(R) 上的半群、交换半群吗？若把M n(R)换为On(R), 其中 n(R) = {A∈ M n(R) AA′ = A′A = I}, 结果如 O 何?若把M n(R)换为GLn(R), 其中 ( GLn(R) = {A∈ M n(R) A ≠ 0} 另一表示形式: GL n, R)),结果如何?若把M n(R)换为SLn(R), （ ),结 其中SLn(R) = {A∈ M n(R) A = 1},结果如何?
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GLn( R) = {A ∈ M n( R) A ≠ 0} 关于矩阵的乘法、加法能否做成 ?(另 GLn( R)上的代数系统?(另一表 示形式:GL n, R)) （
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有理数集合关于规定 ⊕:Q × Q → Q, ∀a, b ∈ Q, 有a ⊕ b = a + b + ab 能否做成有理数集合Q上 的代数系统？
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在半群(S, o)中, 任取n n ≥ 3)个元a1, a2,L, an, ( 只要不改变元素次序,则 a1 o a2 oLo an的任一计算方法 所得结果均相同.
(精选)近世代数经典题与答案
1．设 为整数加群, ,求 ?]:[=H Z解在 Z 中的陪集有:,, ,,, 所以, 5]:[=H Z .2、找出3S 的所有子群。
解：S 3显然有以下子群：本身；（（1））={（1）}；（（12））={（12），（1）}；（（13））={（13），（1）}；（（23））={（23），（1）}；（（123））={（123），（132），（1）} 若S 3的一个子群H 包含着两个循环置换，那么H 含有（12），（13）这两个2-循环置换，那么H 含有（12）（13）=（123），（123）（12）=（23），因而H=S 3。
同理，若是S 3的一个子群含有两个循环置换（21），（23）或（31），（32）。
这个子群也必然是S 3。
用完全类似的方法，可以算出，若是S 3的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换，那么这个子群也必然是S 3。
7．试求高斯整环 的单位。
解 设() 为的单位, 则存在, 使得, 于是因为, 所以. 从而,, 或. 因此可能的单位只有显然它们都是的单位. 所以恰有四个单位:5． 在 12Z 中, 解下列线性方程组:解: ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-9111632511311612531y x 即 , .12. 试求 的所有理想. 解 设 为的任意理想, 则 为的子环， 则 , , 且 .对任意的, , 有,从而由理想的定义知, 为 的理想. 由此知,的全部理想为且 .13、数域F 上的多项式环[]F x 的理想253(1,1)x x x +++是怎样的一个主理想。
解 由于()()5332111x x xx++-+=，所以()25311,1x x x ∈+++，于是得()()2531,11[]xx x F x +++==。
14、在 中, 求 的全部根. 解共有16个元素: , , , , 将它们分别代入 ,可知共有下列4个元素, , , 为的根.20.设R 为偶数环.证明： {}.4R R r r N∈=问：4=N 是否成立？N 是由哪个偶数生成的主理想？解： R m n N m n ∈∈∀,,4,4： R m n N m n m n ∈-∈-=- ,)(444 故,)44(N m n ∈-另外R r N r R n ∈∈∀∈∀,4,,,)(4)4()4()4(,)(4)4(R r n R n N r n r n r n r n Rrn N rn n r ∈'⇒∈'∈'='==∈∈=故.)4(),4(N n r r n ∈总之有{}.4R R r r N∈=另方面，由于{}{},,16,8,0,8,16,4 --=∈=R r r N且.4N ∉而且实际上N 是偶数环中由8生成的主理想，即{}{}{}Z n n Z n R r n r R r r N ∈=∈∈+==∈=8,8884，但是{}{}{},8,4,0,4,8,4,444--=∈=∈∈+=Z n n Z n R r n r 因此，4≠N .实际上是.48⊂=N22、设{(1),(12)}H =,求3S 关于H 的所有左陪集以及右陪集.解 3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S =, H 的所有左陪集为:(1)(12){(1),(12)}H H H ===;(13)(123){(13),(123)}H H ==;(23)(132){(23),(132)}H H ==．H 的所有右陪集为:(1)(12){(1),(12)}H H ==;13(132){(13),(132)}H H ==（）;(23)(123){(23),(123)}H H ==.1．在群 中, 对任意 , 方程与 都有唯一解. 证明 令, 那么, 故 为方程的解。
近世代数基础 第二章 群论
第二章群论群是最简单，最重要，有广泛应用的代数系统。
在本章里主要研究具有某种特殊的群存在，结构和构造等。
学习中我们从群的定义开如直到同态基本定理和不变子群，共讲十一个问题，它是以下几章的基础，本章开头提出的十一问题是：一、群在的定义及其基本性质七、循环群；二、单位元、逆元、消去律；八、子群；三、有限群的另一定义；九、子群的陪集；四、群的同态；十、不变子群、商群；五、变换群；十一、同态与不变子群。
六、置换群；§2.1 群的定义●课时安排约1课时●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P31-35群的思想：第一，它有满足结合律的代数运算；第二，这个代数运算具有逆运算。
定义：一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群，则等价于下列条件: （1）（G，·）有单位元，且G中每一个元有逆元。
（2）（G，·）有左单位元，且G 中每个元有左逆元；（3）（G，·）有右单位元，且G 中每个元有右逆元；（4）a,b∈G，方程a.x=b和y.a=b在G中都有解，是一个有限整数；不然的话，这个群叫做无限群，有限群的元素个数叫做这个群的阶。
定义：对 a,b∈G来说，满足ab=ba条件的群叫做交换群。
例 1：证明若G包含一个元g，且乘法是gg=g，则G对于这个第六法来说作成一个群。
例2：设G是一个全体整数的集合，证明G对于普通加法来说作成一个群。
例3：设G是所有不等于零的整数集合，证明G对于普通乘法来说不作成一个群。
习题选讲：P38 1，3●教学重点群的定义，基本特点，群的思想方法，群的判定常用的方法。
●教学难点群定义，群的判定常用的方法，利用群的定义证明性质和判定。
●教学要求理解群的定义，掌握群定义中的四个等价条件，和群的判定方法，多训练（做题）。
●布置作业 P35 1，3（2）●教学辅导一、掌握三个基本概念（1）群的最本质的特点（2）群的思想方法主要体现在包含的方面。
（3）代数系充（G，·）是群当且仅当（i）结合律成立（ii）方程ax=b，ya=b在G中有解，其 a,b∈G.二、精选习题：（1）在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)（2）设（G，·）为半群，如果方程ax=b与ya=b a,b∈G在G中有解，（不要求唯一性）则G（）。
近世代数课件(全)--2-1 群的定义
3.群的乘法适合消去律：
ab ac b c
ba ca b c
ab ac a ab a ac
1
1
eb ec b c
2012-9-19
二、群的性质及等价判定方法 定理1 群中 1.左逆元也是右逆元（逆元）； 2.左单位元也是右单位元（单位元）；
3.群的乘法适合消去律：
G
G
中有解.
证明： " " 半群
1
作成群 a , b G , ax b , ya b 有解
G
x a b G ; a , b G , ax b , ya b 都在 G 中有解. 取定 b G , yb b 有解，设为e： eb b a G , bx a 有解，设为c： bc a e a ebc ( eb ) c b c a 即有左单位元e 1 a G , ya e 有解，即存在左逆元 a 综上G是群.
对于数的普通乘法
做成交换群，称为正有理数乘群. 例3
G {全体整数}，对于运算
1 2
ab a
1
2
b
2 1 2 2
4
2 1 2 2
2
结合律不成立,不做成群.
2012-9-19
注意：
（1）对于考察集合是否作成群： 既要考虑元素，又要考虑代数运算； （2）将群的代数运算叫做乘法，简记
ab ac b c
ba ca b c
4.单位元唯一；逆元唯一；
设
1
e, e '
都是单位元 ee ' e e '
由消去律 a
近世代数第二章答案讲解学习
近世代数第二章群论答案§1.群的定义1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？解：不是，因为普通减法不是适合结合律。
例如()321110--=-=--=-=()321312()()--≠--3213212.举一个有两个元的群的例。
解：令G=,e a{},G的乘法由下表给出首先，容易验证，这个代数运算满足结合律(1) ()(),,= ∈x y z x y z x y z G因为，由于ea ae a==，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。
(参考第一章，§4，习题3。
)若是e不在(1)中出现，那么有()aa a ea a==a aa ae a==()而(1)仍成立。
其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。
所以G是一个群。
读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。
3.证明，我们也可以用条件Ⅰ，Ⅱ以及下面的条件IV'，V'来做群的定义：IV ' G 里至少存在一个右逆元1a -，能让=ae a对于G 的任何元a 都成立；V ' 对于G 的每一个元a ，在G 里至少存在一个右逆元1a -，能让1=aa e -解：这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件I,II,IV,V 来做群定义的证明，但读者一定要自己写一下。
§2. 单位元、逆元、消去律1. 若群G 的每一个元都适合方程2=x e ，那么G 是交换群。
解：令a 和b 是G 的任意两个元。
由题设()()()2==ab ab ab e另一方面()()22====ab ba ab a aea a e于是有()()()()=ab ab ab ba 。
利用消去律，得=ab ba所以G 是交换群。
2. 在一个有限群里，阶大于2的元的个数一定是偶数。
解：令G 是一个有限群。
设G 有元a 而a 的阶>2n 。
考察1a -。
我们有()1=n n a a e - ()()11==n n e a a e -- 设正整数<m n 而()1=ma e -，那么同上可得=m a e ，与n 是a 的阶的假设矛盾。
近世代数第二章课件
第二章群论 20第二章群论本章讨论具有一个代数运算的代数结构——半群与群，但重点是群的基本知识及典型的两个群-变换群和循环群．群是概括性比较强的一个概念，是近世代数中比较丰富的一个分支，它产生于19世纪初人们对高次方程根号解问题的研究，发展到现在，群论已经应用到数学许多其它分支及一些别的科学领域．如在近世几何中，利用群的观点，把几何加以科学分类；在晶体学中，利用群论的方法，解决了空间晶体的分类问题；在现代通讯理论中，利用群来进行编码，有所谓的群码．我们先从半群开始来研究群．§1 群的定义及基本性质2.1 半群的定义设S是具有一个代数运算的集合，为了方便，将此代数运算叫S的乘法，并且仍用通常的乘法记号“·”来表示，把S的两个元素ba,关于“·”运算结果ba∙简记为ab．当然，这样被叫做乘法不一定就是指数的乘法，还可表示像矩阵、函数、向量的乘法，但一般来说它们都不是数的乘法．定义1如果代数结构（S，·）的乘法适合结合律，即ba∈c∀)有,S,,ab=，则称S关于它的乘法是一个半群，简称Sac(bc()是一个半群．2关于数的乘法是一个半群．关于数的加法也是一例1 偶数集Z个半群．n⨯矩阵作成的集合M n(F)，关于矩阵乘法例2数域F上的所有n是一个半群．例3 A 是一个非空集合，A 的幂集}|{A x x A P ⊆=）（关于∩、∪分别是半群．例4 +Z （正整数）关于数减法不能作成一个半群，因为数的减法不是+Z 的一个代数运算；Z 虽然关于数的减法是Z 的代数运算，但结合律不成立，故),(-Z 不是一个半群．注 由于一个半群),(⋅S 的乘法适合结合律，故可以在半群),(⋅S 中可以引进一个元素a 的正整数次幂的概念，规定：, 个n n a aa a =那么，易见半群里有以下指数运算规律：ba ab b a ab a a a a a n n n nm m n n m n m =⋅===⋅+当,)(,)(,，这里+∈Z n m ,。
近世代数课件(全)--2-1 群的定义
近世代数课件(全)--2-1 群的定义1. 引言在近代代数中，群是一种基础的对象。
它的定义极其简单，但却具有广泛的应用和深刻的理论结构。
本章我们将介绍群的定义及其基本性质。
2. 群的定义群是一种代数结构，具有以下三个性质：(1) 封闭性：对于群G中的任意两个元素a和b，a*b也在G中。
(3) 存在单位元：存在一个称为单位元的元素e，使得对于任意的a∈G，有a*e=e*a=a。
3. 群的注记通常我们称一个群为(G,*)，其中G称为群的集合，*称为群的运算，单位元用1或者e 表示，逆元用(a)^-1或者-a表示。
如果G是一个有限集合，那么称(G,*)为有限群，否则称其为无限群。
4. 群的例子(1) 整数的加法群(Z,+)对于整数集合Z，定义a+b为a加上b，即a+b=a＋b。
易证(Z,+)是一个群，其单位元为0，逆元为相反数。
(2) 非零有理数的乘法群(Q^*,×)(3) 旋转群SO(2)SO(2)表示二维空间中的旋转群，即所有的旋转操作组成的集合。
对于一个旋转操作R，我们可以用一个旋转矩阵表示，即：R = [cos(θ) -sin(θ)][sin(θ) cos(θ)]其中θ表示旋转角度。
易证，SO(2)是一个群，其运算为旋转操作的复合，单位元为不旋转，逆元为逆时针旋转同样的角度。
5. 群的性质(1) 唯一性：对于群G，单位元和逆元是唯一的。
这意味着，G中只能有一个单位元e，且a的逆元也只能是一个元素a^-1。
(2) 消去律：对于群G中的任意三个元素a、b和c，如果a*b=a*c，那么b=c。
这意味着，我们可以把群的运算看做加法，可以用消去律推导出类似乘法运算中的约分。
(3) 结构稳定性：对于群G中的任意两个元素a和b，它们的运算结果a*b仍然在G中。
这意味着，我们可以在群元素之间不断进行运算，而不用担心运算结果会跑到其他集合中去。
6. 小结群是一种基础的代数结构，其定义非常简单，但却具有广泛的应用和深刻的理论结构。
近世代数课件--第二章群论§2元素的阶
1 0
0 1
,
| a || b || ab | 2
(| a |,| b |) 1
2020/2/8
例5 |ab|一定等于|a||b|吗？
GL2(Q) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
(2)a
1 0
0 1
,
b
0 1
(n, k )
，其中 k 为任意的整数.
证明： (n, k) d
n dn1, k dk1, (n1, k1 ) 1
(ak )n1 akn1 ank1 (an )k1 e
设 (ak )m e ，则
akm e n | km n1 | k1m n1 | m
a n ；若不存在这样的 n ，则称 a 的阶
为无限. 显然，群中单位元的阶为1，其他元的阶
都大于1， a a1 .
2020/2/8
例1
G {1,1,i,i} 关于数的普通乘法做成
4次单位根群.
1 1, 1 2, i i 4
2020/2/8
例2 正有理数乘群 Q 单位元的阶是1， 其他元的阶均为无限.
ab ba 且 (m,n) 1 时，| ab | mn.
证明： | a | m ，| b | n ， ab ba
(ab)mn (am )n (bn )m e 若 (ab)s e
(ab)sm (am )s bsm bsm e n | sm n | s
6 7n8
6 4 7n 4 8
a0 e, an aaL a , an a1a1L a1