《线性代数》第一章行列式精选习题及解答

第一章 行列式
1.1 目的要求
1．会求n 元排列的逆序数；
2．会用对角线法则计算2阶和3阶行列式； 3．深入领会行列式的定义；
4．掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式； 5．灵活掌握行列式按（列）展开； 6．理解代数余字式的定义及性质；
7．会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解．
1.2 重要公式和结论
1.2.1 n 阶行列式的定义
n 阶行列式 nn
n n n n a a a a a a a a a D (2122221)
11211=
n n np p p t
p p p a a a ...)1(212121)...(∑−=.
其中是n 个数12…n 的一个排列，t 是此排列的逆序数，∑表示对所有n 元排列求和，故共有n ！项． n p p p ...211.2.2 行列式的性质
1．行列式和它的转置行列式相等；
2．行列式的两行（列）互换，行列式改变符号；
3．行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面，或若以一个数乘行列式等于用该数乘此行列式的任意一行（列）；
4．行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零；
5．若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和，即
nn n n in i i n
nn n n in in i i i i n a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a L M
M
M L M M M L L
M
M M L M
M M L
2121
1121121
221
1112
11=++++
nn
n n in
i i n
a a a
b b b a a a L M
M
M L M M M L 21
2111211
6． 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变． 1.2.3 行列式按行（列）展开
设D 为n 阶行列式，则有
=∑=n
K jk
ik
a A 1
⎩⎨
⎧≠==+++j i j
i D A a A a A a jn in j i j i 0...2211=∑
=n
K jk
ik
a A
1
⎩
⎨⎧≠==+++j i j
i D A a A a A a jn in j i j i 0 (2211)
其中是的代数余子式. st A st a 1.2.４ 克拉默法则
１．如果线性非齐次方程组
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧=+++=+++=+++n
n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a L M M M M M L L 2211222221211
1212111
的系数行列式，则方程组有唯一解0≠D D
D x 1
1=
（ i=1，2，…，n ），其中是D 中第i 列元素（即的系数）换成方程中右端常数项所构成的行列式．
i D i x 2．如果线性齐次方程组
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a L M M M M M L L
的系数行列式，则方程组只有唯一零解．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式．
0≠D 0=D 1.2.5 一些常用的行列式
1．上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的积.
2．设 kk k k a a a a D L M M M
L 11111=，nn
n n
b b b b D L M M M L 11112=，则 211111*********D D b b
c c b b c c a a a a nn n nk
n n k kk
k k =L L M M M M
M M
L L L M
M
M L .
3．范德蒙行列式
)(......
...
.........1 (11)
11
12
11
21i j n
j i n n
n n n a a a
a
a
a a a −=
∏
≤<≤−−−.
1.2.6 计算行列式的常用方法
1．利用对角线法则计算行列式，它只适用于2、3阶行列式； 2．利用n 阶行列式定义计算行列式； 3．利用行列式的性质化三角形法计算行列式； 4．利用行列式按某一行（列）展开定理计算行列式； 5．利用数学归纳法计算行列式； 6．利用递推公式计算行列式；
7．利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式； 8．利用加边法计算行列式； 9．综合运用上述方法计算行列式.
1.3 例题分析
例1.1 排列14536287的逆序数为 ( )
(A) 8 (B) 7 (C) 10 (D) 9
解 在排列14536287中，1排在首位，逆序数为0；4、5、6、8各数的前面没有比它们自身大的数，故这四个数的逆序数为0；3的前面比它大的数有2个（4、5），故逆序数为2； 2的前面比它大的数有4个（4、5、3、6），故逆序数为4；7的前面比它大的数有1个（8），故逆序数为1；于是这个排列的逆序数为 t=0+0+2+4+1=7，故正确答案为（B ）．
例1.2 下列排列中（ ）是偶排列.
(A)54312 (B)51432 (C) 45312 (D) 654321
解 按照例1的方法计算知：排列54312的逆序数为9；排列51432的逆序数为7；排列45312的逆序数为8；排列654321的逆序数为15；故正确答案为（C ）．
例1.3 下列各项中，为某五阶行列式中带正号的项是（ ）
． (A) (B) (C)(D) 5541324413a a a a a 5415413221a a a a a 5214432531a a a a a 5344223115a a a a a 解 由行列式的定义知，每一项应取自不同行不同列的五个元素之积，因此(A)、(B)不是五阶行列式的项，但(C)应取负号，故正确答案为（D ）．
例1.4 行列式3
512321
13,010101021=−=D D λλλ
, 若21D D =，
则λ的取值为（ ） (A) 2, —1 (B) 1, —1 (C)0, 2 (D)0,1
解 按三阶行列式的对角线法则得.若，则
，于是0,)1)(1(22
1=−+=D D λλ21D D =0)1)(1(2=−+λλ1,1−=λ，故正确答案为（B ）．
例1.5 方程组有唯一解，则（ ）.
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++1
11321
321321x x x x x x x x x λλλ(A)
1−≠λ且2−≠λ (B) 1≠λ且2−≠λ (C) 1≠λ且2≠λ (D) 1−≠λ且2≠λ
解 由克拉默法则知，当所给非齐次线性方程组的系数行列式不等于0时，该方程组有唯一解，于是令行列式
0)1)(2(11111
12≠−+=λλλ
λλ 即1≠λ且2−≠λ，故正确答案为（B ）
．
例1.6 ==
2006
20042008
2006D （ ）．
分析 对于2、3阶行列式的计算，元素的数值较小时，可以直接采用对角线法则进行计算；但元素的数值较大时，一般不宜直接采用对角线法则进行计算，而是用行列式的性质进行计算．
解 此题是一个2阶行列式，虽然可以直接用对角线法则计算，但因数值较大，计算较繁，因此要仔细观察分析，用行列式的性质求解．
40
22
21003200622008220062004200820061221=−−+−−−=
c c c c D ，
故答案为4.
例1.7 ==
3
21421431
432
4321D （ ）． 分析 如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加法) ．
解 这个行列式的特点是各列4个数的和为10 ，于是，各行加到第一行，得
===
32142143143210
10101032142
14314324321
D 101
23012101
210111110
321421431432111
1−−−−−−= 1604
000
04001
2101
11110
=−−−=．
例1.8设x
x x x x x f 1111231
11212)(−=
，则的系数为（ ），的系数为（ ）． 4x 3x 分析 此类确定系数的题目，首先是利用行列式的定义进行计算．如果用定义比较麻烦时，再考虑用行列式的计算方法进行计算．
解 从的表达式和行列式的定义可知，当且仅当的主对角线的4个元素的
)(x f )(x f
积才能得出，其系数显然是2. 当第一行取4x )1(13=a 或)2(14=a ，则含或的行列式的项中是不出现，含的行列式的项中是不出现，于是含的项只能是含
，，，的积，故的系数为13a 14a 3x )2(11x a =3x 3x 12a 21a 33a 44a 3x 1−．
故答案为2 ，1−．
例1.9 设0
12341122264123
2
2111
54321=D ，则（1）=++333231A A A （ ）
， （2）=+3534A A （ ）, （3）=++++5554535251A A A A A （ ）
． 分析 此类题目一般不宜算出表达式里每一项的值，而是注意观察要求的表达式的结构，充分利用按行（列）展开的计算方法来进行技巧计算．
解 00
12341122222111
2
2111
54321
)(23534333231==++++A A A A A （第2，3行相同） 即 =0． 同理 )(2)(3534333231A A A A A ++++)()(23534333231A A A A A ++++=0 于是 0， =++333231A A A =+3534A A 0．
01
11113333364123
2
21115432111111
1
122264123
2
2111
5
4321245554535251=+=++++r r A A A A A 故答案为0，0，0．
例1.10 2007
00
000000
2006000
200500020
00
100
0L L L M
M M
M M M L =
D .
分析 当行列式中有较多零元素时，一般可以采用行列式的定义或按行(列)展开来计算.
解 此行列式刚好只有n 个非零元素，故非零项只有一项：
nn n n n a a a a ,,,,112211−−−L nn n n n t a a a a 112211)1(−−−−L ，其中 2
)
2)(1(−−=
n n t ，
因此 !2007!2007)
1(2
)
22007)(12007(−=−=−−D ．
此题也可以按行(列)展开来计算． 例1.11 计算n 阶行列式
2
1
11
1211
11211112L M M M M L L L =n D
解法1 （行（列）加法）
因为这个行列式的每一行的n 个元素的和都为n+1, 所以将第2,3,…,n 列都加到第一列上，得
),3,2(,2
1
111211
1
1211111)1(2
1
111211
112111111n i r r n n n n n D i n L L M M M M
L L L L M M M M L L L =−+=++++=
11
0100
0101111)1(+=+n n L M M M M L L L
解法2 （加边法）
)1,,3,2(21
111121111
1211111210000111
+=−==+n i c c D D i n n L L M M M M M L
L L L
110
001
01001
0101
000110000
110
001010010010100011111111
21+=++++−−−−+n n r r r n L M M M M M L
L L L L L M M M M M L L L L . 解法3 （利用行列式的性质）
1
01
0101
0011111
2),,3,2(21
111211
112111121L M M M M L L L L L M M M M L L L −−−=−=n i r r D i n
11
00
0100
010
111121+=++++n n c c c n L M M M M L L L L ．
例 1.12 计算n
n n n n
n n y x y x y x y x y x y x y x y x y x D +++++++++=
1111111112
122
21212
11
1L M
M M L L . 解 当n=2时，))((111112122
2122
1112y y x x y x y x y x y x D −−=++++=
当n≥3时，111212112122111121111()()()0()()()n n
n n n n x y x y x y x x y x x y x x y D x x y x x y x x y +++−−−=
=−−−L L M M M L n
．
例1.13 计算
n
n n n n
n n n x x x x x x a a a a a x a D 1122
1
1232110
0000000
000
−−−−−−−−+=
L L M M M M M M L
L
其中．
),,2,1(0n i x i L ≠≠
解 因 )1(1
1
111111x a x x a x a D +
=+=+=， 1(2
21121212112x a
x a x x x x a x a D ++=−+=
， 归纳推得 )1(11
21n
n n n x a x a x x x D +++
=L L ． 用数学归纳法证明上式, 假设当k=n-1时结论成立，即
)1(1
111
1211−−−−+++
=n n n n x a x a x x x D L L . 则当k=n 时，将按第n 列展开，得
n D ))(())(()1(122111−−+−−−−−−+=n n n n n n n x x x x a D x D L 1221111)1()1(−−−+−−−+=n n n n n n n x x x x a D x L
n n n
n n n n x a x x x x x D x 12211−−−+=L 1(1121n
n n x a x a
x x x +++=L L 即当k=n 时结论也成立，故对一切自然数结论都成立．
例1.14 计算
2
2
2
11
1222333n n
n n
D n n n =L L L M M M L 解 （利用范德蒙行列式计算）
1
11
3213211111!−−−==n n n T
n
n n n n D D L M
M
M M L
L )]1([)2()24)(23)(1()13)(12(!−−−−−−−−=n n n n n L L L !2)!2()!1(!L −−=n n n ．
例 1.15 计算 β
αβαβ
αβαβαβαβαβα+++++=
L L M
M M M M
L L
L 0
0000
00
00000n D .
解 按第一列把D n 分成两个行列式的和
+
++++=
βαβαβαβαβαβαα
α
L L M M M M M L L L
000
000000000
000
n D β
αβαβ
αβαβαβαβαβ++++L L M
M M
M M L
L L
000
000
00
00000
n n n D D βαβ
αββαβαβα+=+
=−−110000
0000
0000000
0L L M
M M M M L L L (1) +
++++=
βαβαβαβαβαβαα
β
L L M M M M M L L L
000
000000000000
n D β
αβαβ
αβαβαβαβαα++++L L M
M M
M M L
L L 0000
000
00
00000
n n n D D αβα
βααβαβαβ+=+
=−−1100
0000
00000000L L M M
M M M L L L (2) (a) 当βα≠时 ，由（1）（2）得 =, 则n n D βα+−1n
n D αβ+−1β
αβα−−=−n
n n D 1
.
于是 β
αβα−−=++1
1n n n D ．
(b) 当βα=时，由（1）得 ．
n n n n n D D ααα)1(1+==+=−L
例1.16 设, 证明：
0>>>c b a 01
222<++ab
ca bc c b a c
b a ca
bc ab . 证明 将行列式的第1行)(c b a ++×，第2行)1(−×，然后加到第3行，得
ca bc ab ca bc ab ca bc ab c b a c b a ab ca bc c b a c b a ++++++=222222 2
2
2
222
11
1)(11
1
)(c b a c b a ca bc ab c b a c b a
ca bc ab ++=++= ))()()((a b b c a c ca bc ab −−−++=
于是，不等式的左边=))()((a b b c a c −−−.由于,从而，
0>>>c b a 0)(<−a c 0)(,0)(<−<−a b b c ，因此，当时,
0>>>c b a 01
222<++ab
ca bc c b a c
b a ca
bc ab ．
例 1.17 设在上连续,在内可导，试证：至少存在一个
)(),(),(x h x g x f ],[b a ),(b a ),(b a ∈ξ，使得0)(=′ξH .其中 )
()()()()()()
()()()(x h x g x f b h b g b f a h a g a f x H =．
证明 由题设知在上连续,在内可导，又由行列式的性质可知，于是由洛尔中值定理可知，至少存在一个)(x H ],[b a ),(b a 0)()(==b H a H ),(b a ∈ξ，使得0)(=′ξH ．
1.4 独立作业
1.4.1 基础训练
1．设ij a D =为阶行列式,则在行列式中的符号为( ) ． n 11342312n n n a a a a a −L (A) 正 (B) 负 (C) (D) 1
)
1(−−n 2
)
1()
1(−−n n
2．行列式为0的充分条件是（ ）．
n D
(A) 零元素的个数大于n; (B) 中各行元素的和为零； n D (C) 次对角线上元素全为零; (D) 主对角线上元素全为零． 3．行列式不为零，利用行列式的性质对进行变换后，行列式的值（ ）． n D n D (A) 保持不变； (B) 可以变成任何值； (C) 保持不为零； (D)保持相同的正负号．
4．方程
0881441221
1111
3
2=−−x x x
的根为 （ ）．
(A) 1，2，2− (B)1，2，3 (C)1，1−，2 (D)0，1，2
5．如果4333231232221
131211
==a a a a a a a a a D ，则=−−−−−−=33
3233312322232113
12
131********a a a a a a a a a a a a D （ ）． (A)-12 (B)12 (C)48 (D)-48
6．行列式
=9092
70926251
4251（ ）.
7．
a
b b a log 1
1
log = ( ).
8．行列式c b d c a b c
b a , 则=++312111A A A （ ）.
9．函数x x x x x f 1213
12)(−=中,的系数为（ ）.
3x 10．4
444
33332222
5432154321543215
43211111
1= ( ).
11．
49362516362516925
169416941， 12．0
0000000x y y x y x x y D = 13．2
0000
1
200000013
0120
0101−−=D ， 14．xy
z zx y
yz x 111 15．5
2000
3520003520
035200035， 16．4
4342414433323134
232221241312111y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ++++++++++++++++
17．n
n n n a a a a a a b b b b b 1
3221
1321000000
00−−−−−L M M M M M L
L L ,（其中),,2,1(,0n i a i L =≠） 18．n x x x D L M M M M L
L L 0
100
10
01111021
= (),,2,1,0n i x i L =≠ 19．
4
32111111
1111
1111
111x x x x ++++， 20．n
L M M M M
L L L 22223222222
2221
21．2
111
21112L L L L L L =n D .
22．当μ取何值时，齐次线性方程组有非零解？
⎪⎩⎪
⎨⎧=−−+−=−+−=−++0
)1(02)3(0)1(42321
321321x x x x x x x x x μμμ
23．证明
αα
α
α
ααα
sin )1sin(cos 210
00
1cos 200000cos 210
001cos 210001cos 2+=n L L M M
M M M L
L L (其中0sin ≠α)．
1.4.2 提高练习
1．设A 为n 阶方阵，为*
A A 的伴随矩阵，则*A A 为（ ） (A) 2
A (B) 1
2−n A
(C) n
A
2 (D) n
A
2．设A 为n 阶方阵，B 为m 阶方阵，
=0
0A B
( ). (A)
B A − (B) B A (C) B A mn )1(− (D) B A n m +−)1(
3．若x
x
x x x x g 1713410
73221)(−−−−=，则的系数为（ ）. 2x (A) 29 (B) 38 (C) —22 (D) 34
4．3
47534453542
3333
22212223212−−−−−−−−−−−−−−−=x x x x x x x x x x x x x x x x g(x)，则方程=)(x g 0的根的个数为（ ）. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
5．当（ ）时，方程组只有零解.
≠a ⎪⎩
⎪
⎨⎧=+−=++=+02020z y ax z ax x z ax (A)-1 (B) 0 (C) -2 (D) 2
6．排列可经过（ ）次对换后变为排列. n r r r r L 321121r r r r n n n L −−7．四阶行列式中带负号且含有因子和的项为（ ）.
12a 21a 8．设y x ,为实数，则当=x （ ），=y ( )时，01
0100
=−−−x y
y x . 9．设A 为4阶方阵，B 为5阶方阵，且,2,2−==B A 则 =−A B ( ),
=−B A （ ）.
10．设A ,B 为n 阶方阵，且,2,3−==B A 则 =−1*3B A ( ). 11．设A 为3阶正交矩阵，0>A ，若73=+B A ，则=+
T AB E 2
1
（ ）. 12．设，则⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡=653042001A =+−1
2A E （ ）.
13．解方程组0111122222
1211
2=n
n
n
n
n
n
n b b b b b b b b b x x x L M M M M L L L ，其中为各不相同的常数. n b b b b ,,,,321L 14．证明：)
()()()()()()
()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a dx d nn n n n n L M M M L L =∑=n
i nn n n in i i n x a x a x a x a dx d x a dx d x a dx d x a x a x a 1
212111211)
()
()
()()()()()()(L
M M M L M M M L 15．设
x
x x x x x x g 620321)(3
3
2=，求)(x g ′.
16．设1
7131231533
111
)(8522
2−−−−−−=x x x x x x x g ，试证：存在)1,0(∈ξ，使得0)(=′ξg .
17．证明：奇数阶反对称矩阵的行列式为零. 18．设z y x ,,是互异的实数，证明：
01
113
33
=z y x z y x 的充要条件是0=++z y x . 19．设4
3
2
232114
31
13151−=
A ，计算44434241A A A A +++的值，其中是)4,3,2,1(4=i A i A 的代数余子式.
20．利用克莱默法则求解方程组.
⎪⎩⎪
⎨⎧=+−=+−=−+3
232222321
321321x x x x x x x x x 21．求极限1
1
1cos sin 3212
sin 1
2
3
1lim
23
x x x x x x x →.
第一章 参考答案
1.4 独立作业 1.4.1 基础训练
1． (C) 2． (B) 3． (C) 4．(A) 5． (B)
6．解
=×==1
70921
42512000200070922000425190927092625142515682000.
7．0 ， 8． 解 0111312111==++c
b c a c
b A A A ，故答案为0
9．解 因为在此行列式的展开式中，含有的只有主对角线上的元素的积，故答案为 10．解 由范德蒙行列式得行列式的值为288
3x 2−11．解
02
22222229
7531694
1131197119759
753169414936251636251692516
9416941==
=.
12．解 x y x y x x x
y
y y
x
y x
y
y
x y x
x
y D 00000
000
00
000
000−−==
22222
)(y x x
y
y
x x x y
y x y −−=−= 13．解 0
131201
0142
00
013
120
101
22
00
00
1
200000013
0120
0101−×−=−×
−=−−=D 203
11
243
131200
014=−−×−=−−×−=
14．解 y
z
x z x y x z y x z x y z x y yz
x xy z
zx y
yz x
−−−−=−−−−−−=11))(()
(0
)(01111
=))()((x z z y y x −−−
15．解 5
2000352000352000350000335200
035200035200035200032520003520003520
00352
00035+= =52
0352
00
35
2003
53
252
0003
5200035200
03500
003320
00
320000320000320000325+=+==L 665 16．解
1
41
31
21
414131213141312121413121
14
43
42
41
4433323134232221241312111y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x −−−+−−−+−−−+−−−+=
++++++++++++++++
=0
17．解1
32111322
1
13210
000
000)1(0
00000
00−+−−−−−−×−=−−−=
n n n n n n n n a a a a b a a a a a a b b b b b D L M
M
M M M
L
L L L M M M M M M L L L
=−−×+−−−−1
2
22
1
12
21
00
n n n n n a a a a a b b b b a L M
M
M M M L
L L ==+−L L 121n n n n n
D a a b a a a )(121∑=n
i i
i n a b a a a L
18．解 由第()列的i n i ,,2,1L =i
x 1
−
倍加到第一列上去. n
n
i i
n
x x x x x x x D L M
M M M
L L L
L M
M M M L
L L 0
0000
000
1
1
11
100
10
01111021121
∑
=−=
==)1
(121∑=−n i i n x x x x L
19．解
4
3211114
3
2
1
1
001001111
1
1
111111111111x x x x x x x x x x x −−−+=
++++
4
3211141
312110
0000001x x x x x x x x x x x x x −−−++++=
=3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++
20．解 202001200
0200
0212
222322
2222
2221−−=
n n
L M
M M M L
L L L M M M M L L L 2
02
12
002
−−
=n L M M M M
L L =
)!2(2−−n 21．解 211121111)1(2111
211
11211121112L L
L L L L L L L L L L L L L L L L +=+++=
=n n n n D n 11
010
110
01)1(+=+=n n L L L L L L
22．解 由齐次线性方程组有非零解的条件可知
01
1121
31
42=−−−−−−μ
μμ 解之得μ=0,2,3. 于是当μ=0，2，3时，齐次方程组有非零解.
⎪⎩⎪
⎨⎧=−−+−=−+−=−++0
)1(02)3(0)1(42321
321321x x x x x x x x x μμμ23．证明 (1)当时，结论显然成立, (2)假设当1=n k n ≤时,结论成立, (3)当时
1+=k n
1
1
cos 210
1cos 200000cos 210001cos 210001cos 2++=
k k D αααααL L M M M M M
L L L
k
k D α
αααcos 210
10
000cos 21
0001cos 2100001)1(cos 23
L M M M M M L
L L L −+=
ααααααααααsin )2sin(sin sin sin sin cos 2sin )1sin(cos 21+=
−=−+=
−k k k D k k α
α
sin ]1)1sin[(++=k 故结论成立． 1.4.2 提高练习
1．B , 2．C , 3．D , 4．B , 5．D, 6.
2
)
1(−n n , 7． 44332112a a a a 8．0, 0, 9．32, 64 , 10．2312−−n , 11．27
7
, 12．6 13．提示：用范德蒙行列式将行列式展开求解，答案为i b x =，（n i ,,2,1L =）， 14．(用行列式的定义和导数的运算法则)
证明
))()()()1(()()()()()()()
()()(11)(12122221112112211x a x a x a dx d
x a x a x a x a x a x a x a x a x a dx d n n p p p p p p t nn n n n n L L M M M
L L L ∑−== ))())(()()()1((111)
(12211x a x a dx d x a x a n i n p p p p p p p t
L L L ∑−=∑=n
i nn n n in i i n x a x a x a x a dx d x a dx d x a dx d x a x a x a 1212111211)
()
()
()()()()()()(L
M
M M L M M M L
15．利用(14)的结论进行计算便可得结果，答案为6．
2x 16．（用罗尔中值定理证）证明 （1）显然是多项式，故在上连续，在()(x g )(x g ]1,0[)
1,0
内可导，且 ，从而由罗尔中值定理知，存在0)1()0(==g g )1,0(∈ξ，使得0)(=′ξg ． 17．用行列式的性质3的推论（同济四版）
18．证明 3
333
3
3333
3
3
3
01111
x z x
y x
z x
y x z x y x x z x y x z y x z y x
−−−−=−−−−=
0))()()((1
1
)
)((2
222=++−−−=++++−−=z y x y z x z x y x
xz z x xy y x z x y 由于z y x ,,是互异的实数，故要使上式成立，当且仅当0=++z y x .
19．解 61
11
132114
31
1315144434241=−=
+++A A A A , 20． 11=x ，， 22=x 33=x 21．解 (用罗必塔法则求解)
11
100013212
001230
000111231001
100sin cos 3212
sin 123
230
cos 11231lim
1
101cos sin 3212
sin 1231lim
223
230
=+=
−+=→→x x x x x x x x x x x x x x x x x。