2021届江苏省南通中学高三上学期期中数学试题

2020届江苏省南通中学高三上学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知{}{}1,21,2,,4A m B =-=-，且{}2,A B ⋂=则实数m 的值为

________________.

2．若复数z 满足()1(2i z i -=为虚数单位)，则z =________________.

3．命题“x R ∃∈，使得10xsinx -≤”的否定是________________.

4．函数2cos 23y sin x π⎛⎫=+- ⎪⎝

⎭的最小正周期是________________. 5．若12log 11

a a <-，则a 的取值范围是 ． 6．已知奇函数()f x 的图像关于直线2x =-对称，当[]0,2x ∈时，()2f x x =，则()9f -= ．

7．设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差为,d 若{}n a 和都是等差数列，则当11a =，d =________________.

8．三角形ABC 中，已知2221sin A sin B sinAsinBcosC +-=，那么角C =________________.

9．已知函数()322

1f x x ax a x =+-+在[]1,1-上单调递减，则a 的取值范围是__________．

10．已知非零向量,a b 的夹角为3π，c a kb =-，则a c 的最大值为________________. 11．如图，ABC 中，CO 为边AB 上的中线，2CG GO =.若//BD AG ，且(27

)AD AB AC R λλ=+∈，则λ的值为________________.

12．设函数()21,212

x x f x =-+数列{}n a 是公差为2的等差数列，且满足()()()122019 ...0,f a f a f a +++=则10091011a a =________________.

13．设G 为ABC ∆

的重心，若,BG CG BC ⊥=+AB AC 的最大值为______.

14．数列{}n a 满足113a =，且对于任意的*21,,n n n n N a a a +∈=+则2019111

n n a =+∑的整数部分是________________.

二、解答题

15．在ABC 中，设角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .

且满足

cos 3sinA sinC C sinB =+ （1）求角B 的大小；

（2）若,,a b a c +成等比数列，求sin sin A C

的值. 16．在平面直角坐标系xOy 中，点(),0,2A cos sin A πθθθ⎛

⎫<<

⎪⎝⎭点关于原点O 对称的点为,B 二次函数2y x ax b =++的图像经过点A 和点,B 回答以下问题：

（1）用θ表示,a b 和2y x ax b =++的图像的顶点的纵坐标；

（2）证明：若二次函数2y x ax b =++的图像上的点(),P x y 满足x cos θ>，则向量OP 与OA 的数量积大于1.

（3）当变θ化时，求()1中二次函数顶点纵坐标y 的最大值，并求出此时θ的值. 17．如图，某商场有个三角形空闲区域，记为ABC ，且20AB =米，30AC =米，60A ∠=.为提高商场的人气，准备开辟图中三角形DEC 和三角形ABE 作为儿童游乐场，其中D 在线段AC 上，且10AD =米，E 在线段BC 上(不含端点).

（1）若三角形DEC 面积是三角形ABC 面积的一半，求BE 长；

（2）E 在何处时，两个儿童游乐场面积之积最大？并求出最大值

.

18．已知函数()2122

f x x =+，()

g x lnx b =+. （1）当0b =时，求函数()()()

h x f x g x =-的极值；

（2）若b 是正整数，()()g x ax f x ≤≤且对任意(0,)x ∈+∞恒成立，试求b 的值及a 的取值范围.

19．若正项数列{}n a 的前n 项积为n T ，记)11,2n b T b n =≥.

（1）若{}n a 为等比数列，公比为q ，{}n b 为等差数列，求q 的值；

（2）设121,2,a a ==当3n ≥时，()111n n n n na n a a a ----=若存在唯一的正整数n ，使得()11n n b λ+->成立，求λ的取值范围.

20．设a R ∈，函数()2

2

x f x alnx =-. （1）求函数()f x 的单调增区间；

（2）试讨论函数()f x 的零点个数.

参考答案

1．4

【分析】

由{}2A B ⋂=可知2是集合A 中的元素，列出方程求解m 即得.

【详解】

{}{}1,2,2A m A B =-⋂=，22m ∴-=，解得4m =.

故答案为：4

【点睛】

本题考查集合的交集，是基础题.

2

【分析】

将()12i z -=变形为21z i =

-，再由商的模等于模的商求解即得. 【详解】

由题得，2

1z i =-，则有2211z i i ====--.

【点睛】

本题考查复数的乘除运算和模的计算公式，是基础题.

3．x R ∀∈,都有10xsinx ->

【分析】

根据特称命题的否定是全称命题即得.

【详解】 由题得，“x R ∃∈”的否定是“x R ∀∈”，“使得10xsinx -≤”的否定是“10xsinx ->”，∴命题“x R ∃∈，使得10xsinx -≤”的否定是：x R ∀∈,都有10xsinx ->.

故答案为：x R ∀∈,都有10xsinx ->

【点睛】

本题考查命题的否定，是基础题.