2013年考研数学三试卷分析
2013年数学三真题答案解析
（8）设随机变量 X 和 Y 相互独立，则 X 和 Y 的概率分布分别为，
则 P{X Y 2} ( )
1
（A）
12 （B） 1
8 （C） 1
6 1
（D）
2
【答案】（C）
【解析】PX Y 2 P X 1,Y 1 P X 2,Y 0 P X 3,Y 1 ，又根据题意 X ,Y 独立，
n
n P an
存在，则
n1
an
收敛
【答案】D
【解析】根据正项级数的比较判别法，当 P
1 时，
n1
1 收敛 np
，且
lim
n
n
P
an
存在，则
an
n1
与
n1
1 np
同
敛散，故 an 收敛. n1
（5）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若 AB C ，且 C 可逆，则（ ）
（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 （B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
Dk
则（ ）
（A） I1 0
（B） I2 0
（C） I3 0
（D） I4 0
【答案】B
【解析】令 x r cos , y r sin ，则有
Ik (y x)dxdy
Dk
1
rdr
0
(r sin r cos )d
1(cos sin )
3
故当 k
2 时，
2
,
，此时有 I2
【答案】 2 【解析】 y x2 x 在 (1, 0) 处的导数是 y '(1) 1 ，故 f '(1) 1, f (1) 0 ，
考研数学三2013真题
考研数学三2013真题考研数学三2013真题是考研数学试卷中的一道真题，主要考察考生在数学领域的知识和解题能力。
本文将以该真题为题目，按照考研数学试卷的格式进行阐述。
一、题目描述题目描述：已知函数f(x)满足f(0)=1，当x>0时，f(x)满足f'(x)+f(x)=e^x。
求函数f(x)的表达式。
二、解题过程根据题意，我们需要求解函数f(x)的表达式。
根据已知条件，f(x)满足f'(x)+f(x)=e^x。
为了求解该方程，我们可以先求解齐次方程f'(x)+f(x)=0。
通过对齐次方程进行求解，我们可以得到f(x)的齐次解为f_h(x)=Ce^{-x}，其中C为常数。
接下来，我们考虑非齐次方程f'(x)+f(x)=e^x的特解。
根据非齐次方程的特解形式，我们猜测特解为f_p(x)=Ae^x，其中A为待定常数。
将特解代入非齐次方程，我们可以得到关于A的方程：Ae^x+Ae^x=e^x，整理得到2Ae^x=e^x。
所以，解得A=\frac{1}{2}。
综上所述，我们可以得到函数f(x)的表达式为：f(x)=f_h(x)+f_p(x)=Ce^{-x}+\frac{1}{2}e^x。
三、解题验证为了验证我们所得到的函数f(x)的表达式是否满足题目中给出的条件f(0)=1，我们将x=0代入得到的表达式。
f(0)=Ce^{-0}+\frac{1}{2}e^0=C+\frac{1}{2}=1。
由此可知，我们所得到的函数f(x)的表达式满足题目中给出的条件。
四、总结本文通过解题过程，得到了考研数学三2013真题中函数f(x)的表达式为f(x)=Ce^{-x}+\frac{1}{2}e^x，并通过验证说明了该表达式满足题目中给出的条件f(0)=1。
以上是本文对考研数学三2013真题的解答，希望对您理解该真题有所帮助。
2013考研数学三真题及答案解析
证明：（1）因为
lim
x
f
(x)
2 ，对于
1 2
，存在
A
0 ,使得当
x
A
时， |
f
(x)
2 |
1 2
，因此
f
( A)
3 2
，由连续函数的介值性，存在
a (0, A)
，使得
f
(a)
1。
（2）由拉格朗日中值定理，存在 (0, a), 使得
f
'( )
f (a) f (0) a0
1. a
（20）（本题满分 11 分）
设
A
1 1
a 0
,பைடு நூலகம்
B
0 1
1 b
，当
a,
b
为何值时，存在矩阵
C
使得
AC
CA
B
，并求所有矩阵
C
。
解析：令
C
x1 x3
x2 x4
，则
AC
1 1
a 0
x1 x3
x2 x4
x1
ax3 x1
x2
ax4 x2
CA
x1 x3
x2 x4
1 1
a 0
x1 x3
12 （B） 1
8
（C） 1 6
（D） 1 2
答案：（C）
解析：
PX Y 2 PX 1，Y 1 PX 2，Y 0 PX 3，Y 1 PX 1 PY 1 PX 2 PY 0 PX 3 PY 1 1 1 1 1 1 1 1
43 83 83 6 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
2013年考研数学三真题
2013年考研数学三真题2013年考研数学三真题2013年考研数学三真题是考研数学考试中的一道难题，题目涉及了概率论、数理统计、线性代数等多个数学领域。
本文将对这道题目进行分析和解答，帮助考生更好地理解和掌握相关知识。
首先，让我们来看一下题目的内容。
题目要求求解一个概率问题，具体而言是求解一个事件的概率。
在给定的条件下，我们需要计算某个事件发生的概率。
这种类型的问题在概率论中是比较常见的，需要运用到条件概率、贝叶斯定理等相关概念和方法。
接下来，我们来具体分析题目。
题目给出了一个箱子，里面有若干个球，其中红球和白球的数量是已知的。
我们需要从箱子中随机抽取球，并记录下抽取球的颜色。
根据题目的要求，我们需要计算在已知条件下，抽取到白球的概率。
解决这个问题的关键在于理解和应用条件概率的概念。
条件概率指的是在已知某个条件下，事件发生的概率。
在这道题目中，我们已知的条件是箱子中红球和白球的数量。
根据这个条件，我们可以计算出抽取到红球和白球的概率。
具体而言，我们可以定义两个事件：事件A表示抽取到白球，事件B表示抽取到红球。
根据条件概率的定义，我们可以得到以下公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示在已知抽取到红球的情况下，抽取到白球的概率；P(A∩B)表示同时抽取到红球和白球的概率；P(B)表示抽取到红球的概率。
在题目中，我们已知红球和白球的数量，可以计算出P(B)。
同时，题目还给出了抽取到红球和白球的概率比例，即P(A∩B)。
通过代入已知条件，我们可以计算出P(A|B)，即抽取到白球的概率。
通过以上的分析，我们可以得出结论：在给定条件下，抽取到白球的概率是可以计算出来的。
这道题目考察了考生对条件概率的理解和运用能力，同时也考察了对概率计算的熟练度。
最后，我们需要注意的是，在解答这道题目时，需要严谨地运用概率论的知识和方法，避免出现计算错误。
同时，我们也要注意题目的限定条件，确保我们的解答符合题目要求。
2013数学三解析
2013年数学（三）真题解析一、选择题（1） 【答案】（D ）.【解】 由 lim * °^2）= lim=0,得（A ）正确；HfOX "° X,O （J7 ） • O （J7 2 ） .. O （H ） O （g2） c A 由 lim ----------:--------= lim -------- •———=0,得（E ）正确；h —o x H —o x x 由 lim O2）二。
2）=lim 匹孚 + lim 匕^=0,得（C ）正确；x-*0 X工~0XH —0X2 I 3取 J ： 2 —o （JC ） 9 X 3 =O {x 2 ），因为 lim ----2 =1工0,所以。
（工）+o （工2 ） =0 （工2 ）不对 9工-*0 X 事实上 O （2）+ O （J ：2 ） = O （J7）,应选（D ）・（2） 【答案】（C ）.【解】 显然一1,0,1为 2）的所有间断点.（一"一1 严小一1 r Jn （—工）_ r 1由塑工（工+l ）ln （r ）= J^iHCz+l ）ln （—工）—’四心（工+1）111（—工）一工巴y +1一 ，得工=—1是无穷间断点，不是可去间断点.. x 1 — 1 e jlnj — 1由凹+ l)ln 工=凹工(工+ l)ln 工lim-L 1 X x\n jc(•z + l)ln 3C，得工=1为可去间断点.jc In jc =!忙(工+1山工T ， x In (— x ) _乂 Cz+l)ln (— H ) x-^o~ z (攵 + l)ln( oc ) x -»o - 2 (z + l)ln( jc )而f(0)无定义，故工=0,2 = 1为可去间断点，应选(C).(3)【答案】(B).由lim •r f ()+X X — 1 ].-- ----―――-----= lim X (j? + l)ln re zfo+(一"一1limx-^Olim x-*0x (a ： + l)ln h严F 一 1I9得 lim/Cz) = 1.X —0严 ]【解】 由对称性得1| =0, 13 =0.12 = jj Ly +(— z )]dcr>0 (因为 jy + (— 2)>0),°2i 4 ~JJLy +(一2)]册<0 (因为夕 + (— x ) vo),应选(B ).°4(4)【答案】(D).【解】 方法一令lim/a ” = lim 牛=A $ 0.当 A = 0 时，取 £0 =1，存在 N 〉0,当 zz 〉N 时，| -y — 0 | < 1，从而 0 W a ” <C —,因为s 1收敛，所以由比较审敛法的基本形式得工s 收敛;” =1 九 n = 18 OO = OO当A>0时，由比较审敛法的极限形式得级数与敛散性相同，因为工*收n = 1 n = 1 九 n = l 兀敛，所以收敛，应选(D).n = 1I -I 00方法二 取a ” =-------，显然a ” > a 卄1 ,因为lima ” =1 # 0,所以工(一1)"一。
2013研究生入学考试数三真题及答案(打印版)
1
36+16+4 1 a 7 4a 2 1
如： x o( x)则
2
（C）
（D）
o( x ) o ( x 2 ) 1 x2
（2）函数 f ( x) （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 答案： （B） 解析： lim
x 1
| x |x 1 的可去间断点的个数为（ x( x 1) ln | x |
）
| x |x 1 e x ln|x| x ln | x | lim lim 1. x 0 x 0 x( x 1) ln | x | x( x 1) ln | x | x( x 1) ln | x |
（8）设随机变量 X 和 Y 相互独立，则 X 和 Y 的概率分布分别为，
则 P{ X Y 2} (
)
1 12 1 （B） 8 1 （C） 6 1 （D） 2
（A） 答案： （ C） 解析：
P X Y 2 P X 1，Y 1 P X 2，Y 0 P X 3，Y 1 1 1 1 1 1 1 1 P X 1 P Y 1 P X 2 P Y 0 P X 3 P Y 1 4 3 8 3 8 3 6
P 1 P ( 2 X 1 2) (2) ( 2) 2 (2) 1 X2 0 1) 2(1) 1 P 1 P 2 2 7 X 5 7 P3 P 3 1 (1) P2 P3 P 1 P 2 P 3 3 3 3 P 2 P(1
2013考研数学三真题及答案解析
解析： lim | x |x 1 lim
e x ln| x|
lim x ln | x | 1.
x1 x(x 1) ln | x | x0 x(x 1) ln | x | x0 x(x 1) ln | x |
lim f(x)= lim x ln | x | 1
x1
x1 x(x 1) ln | x | 2
Dk
则（ ）
（A） I1 0 （B） I2 0 （C） I3 0 （D） I4 0 答案：（B）
解析：
Ik＝ （y x)dxdy
Dk
k /2 d
(k 1) /2
1
(r
sin
r
cos )rdr
1
k /2
(sin cos )d
0
3 (k 1) /2
1
3
k /2 (sin
(k 1) /2
边际利润 L(P) 2000P 80000
（2）当 P=50 时的边际利润为 L(50) 2000 50 80000 2000 ，其经济意义为在 P=50 时，价格 每提高 1 元，总利润减少 2000 元。
（3）由于
L(P)
2000P
80000
0, 0,
P P
40 40
，
L(P)
（7）设 X1，X2，X3 是随机变量，且 X1~N(0,1)，X2 ~N(0,22），X3 ~ N (5, 32 ) , Pj P{2 X j 2}( j 1, 2,3), 则（ ） （A） P1 P2 P3 （B） P2 P1 P3 （C） P3 P1 P2 （D） P1 P3 P2 答案：（A）
（C） 若 n 1
an
收敛，则存在常数
2013年考研数三真题及答案解析(完整版)
2013年考研数三真题及答案解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．、１．当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）（A ）)()(32x o x o x =⋅ （B ）)()()(32x o x o x o = （C ）)()()(222x o x o x o =+ （D ）)()()(22x o x o x o =+【详解】由高阶无穷小的定义可知（A ）（B ）（C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例如当0→x 时)()(),()(2332x o x x g x o x x x f ===+=，但)()()(x o x g x f =+而不是)(2x o 故应该选（D ）．2．函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】当0ln →x x 时，x x ex xx xln ~11ln -=-，1ln ln limln )1(1lim)(lim 0==+-=→→→x x x x x x x x x f x xx x ，所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点．21ln 2ln limln )1(1lim)(lim 011==+-=→→→xx xx xx x x x f x xx x ，所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点． ∞=+-=+-=-→-→-→xx x x xx x x x f x x x x ln )1(ln limln )1(1lim)(lim 111，所以所以1-=x 不是函数)(x f 的可去间断点．故应该选（C ）．３．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（ ）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知 所以ππ32,32,04231-====I I I I ，应该选（B ）． ４．设{}n a 为正项数列，则下列选择项正确的是（ ）（A ）若1+>n n a a ，则∑∞=--11)1(n n n a 收敛；（B ）若∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则1+>n n a a ；（C ）若∑∞=1n na收敛．则存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在；（D ）若存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在，则∑∞=1n na收敛．【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（A ）（B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A ），但少一条件0lim =∞→n n a ，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B ）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价． （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价． （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价． （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价．【详解】把矩阵A ，C 列分块如下：()()n n C A γγγααα,,,,,,,2121 ==，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知),,2,1(2211n i b b b n in i i i =+++=αααγ，得到矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表示．同时由于B 可逆，即1-=CB A ，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．应该选（B ）．6．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是（A ）2,0==b a （B ）0=a ，b 为任意常数 （C ）0,2==b a （D ）2=a ，b 为任意常数【详解】注意矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 是对角矩阵，所以矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．从而可知b a b 2222=-，即0=a ，b 为任意常数，故选择（B ）．7．设321,,X X X 是随机变量，且)3,5(~),2,0(~),1,0(~23221N X N X N X ，{}22≤≤-=i i X P P ，则（A ）321P P P >> （B ）312P P P >> （C ）123P P P >> （D ）231P P P >> 【详解】若),(~2σμN X ，则)1,0(~N X σμ-1)2(21-Φ=P ，{}1)1(212122222-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤≤-=X P X P P ， {}())13737)1(3523535222333Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ--Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤--=≤≤-=X P X P P ，=-23P P 0)1(32)1(3371<Φ-<Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ+．故选择（A ）．8．设随机变量X 和Y 相互独立，且X 和Y 的概率分布分别为X 0 1 2 3P P 1/21/41/81/8 Y -1 0 1 P1/31/31/3则{}==+2Y X P （ ） （A ）121（B ）81 （C ）61 （D ）21【详解】{}{}{}{}612412411211,30,21,12=++=-==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P ，故选择（C ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设曲线)(x f y =和x x y -=2在点()0,1处有切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ． 【详解】由条件可知()1)1(',01==f f ．所以10．设函数()y x z z ,=是由方程()xy y z x=+确定，则=∂∂)2,1(|xz． 【详解】 设()xyy z z y x F x -+=)(,,，则()1)(),,(,)l n ()(,,-+=-++=x z x x y z x z y x F y y z y z z y x F ，当2,1==y x 时，0=z ，所以2ln 22|)2,1(-=∂∂xz． 11．=+⎰∞+x d x x12)1(ln ．【详解】12．微分方程041=+'-''y y y 的通解为 ． 【详解】方程的特征方程为041=+-λλr，两个特征根分别为2121==λλ，所以方程通解为221)(xe x C C y +=，其中21,C C 为任意常数．13．设()ij a A =是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ，则A = ．【详解】由条件)3,2,1,(0==+j i a A ij ij 可知0*=+TA A ，其中*A 为A 的伴随矩阵，从而可知A AA A T -===-13**，所以A 可能为1-或0．但由结论⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r n A r n A r 可知，0*=+TA A 可知*)()(A r A r =,伴随矩阵的秩只能为3，所以.1-=A14．设随机变量X 服从标准正分布)1,0(~N X ，则()=XXeE 2 ． 【详解】22222222)(2222e e X E e dt e dt te e t t =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰∞+∞--∞+∞--π． 所以为22e ．三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，求常数n a ,． 【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式． 【详解】当→x 时，)(211co s 22x o x x +-=，)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x +-=+-=，)(291)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=，所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+--=-，由于x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，所以2,7==n a ． 16．（本题满分10分） 设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值． 【详解】由微元法可知πππ35320253a dx x dx y V a ax ===⎰⎰；πππ37340762)(2a dx x dx x xf V a ay ===⎰⎰；由条件y x V V =10，知77=a ． 17．（本题满分10分）设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰Ddxdy x 2． 【详解】341683622332222221=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-xx xx D D Ddy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． 18．（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为,100060QP -=（P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该的边际利润．（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义． （3）使得利润最大的定价P ． 【详解】（1）设利润为y ，则6000100040)206000(2--=+-=Q Q Q PQ y ， 边际利润为.50040'Q y -= （2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20． （3）令0'=y ，得.40100002000060,20000=-==P Q19．（本题满分10分）设函数()x f 在),0[+∞上可导，()00=f ，且2)(lim =+∞→x f x ，证明（1）存在0>a ，使得();1=a f（2）对（1）中的a ，存在),0(a ∈ξ，使得af 1)('=ξ． 【详解】证明（1）由于2)(lim =+∞→x f x ，所以存在0>X ，当X x >时，有25)(23<<x f ， 又由于()x f 在),0[+∞上连续，且()00=f ，由介值定理，存在0>a ，使得();1=a f （2）函数()x f 在],0[a 上可导，由拉格朗日中值定理， 存在),0(a ∈ξ，使得aa f a f f 1)0()()('=-=ξ．20．（本题满分11分） 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b B a A 110,011，问当b a ,为何值时，存在矩阵C ，使得B CA AC =-，并求出所有矩阵C ．【详解】显然由B CA AC =-可知，如果C 存在，则必须是2阶的方阵．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321x xx x C ， 则B CA AC =-变形为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++-+-b ax x x x x ax x ax ax x 1103243142132，即得到线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=++-=+-bax x x x x ax x ax ax x 3243142132110，要使C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=b a a b a aa ab A 000010000001011101010111011010010|， 所以，当0,1=-=b a 时，线性方程组有解，即存在矩阵C ，使得B CA AC =-．此时，()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000000000011011101|b A ， 所以方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100101110001214321C C x x x x x ，也就是满足B CA AC =-的矩阵C 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=211211C C C C C C ，其中21,C C 为任意常数． 21．（本题满分11分） 设二次型23322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=．记⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,b b b a a a βα．（1）证明二次型f 对应的矩阵为 TTββαα+2；（2）若βα,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 22212y y +． 【详解】证明：（1）所以二次型f 对应的矩阵为 T Tββαα+2．证明（2）设=A TTββαα+2，由于0,1==αβαT则()ααββαααββααα2222=+=+=T TT A ，所以α为矩阵对应特征值21=λ的特征向量；()ββββααβββααβ=+=+=222T T T A ，所以β为矩阵对应特征值12=λ的特征向量；而矩阵A 的秩2)()2()2()(=+≤+=TTTTr r r A r ββααββαα，所以03=λ也是矩阵的一个特征值．故f 在正交变换下的标准形为 22212y y +． 22．（本题满分11分）设()Y X ,是二维随机变量，X 的边缘概率密度为⎩⎨⎧<<=其他,010,3)(2x x x f X ，在给定)10(<<=x x X 的条件下，Y 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,0,0,3)/(32x y x y x y f XY ． （1）求()Y X ,的联合概率密度()y x f ,； （2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ．【详解】（1）()Y X ,的联合概率密度()y x f ,： （2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ： 23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,);(32x e x x f x θθθ，其中θ为为未知参数且大于零，n X X X ,21为来自总体X 的简单随机样本．（1）求θ的矩估计量； （2）求θ的极大似然估计量．【详解】（1）先求出总体的数学期望E （X ）θθθ===⎰⎰∞+-∞+∞-022)()(dx e xdx x xf X E x ，令∑===n n i X n X X E 11)(，得θ的矩估计量∑=∧==ni i X n X 11θ．（2）当),2,1(0n i x i =>时，似然函数为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==-∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∏∏n i i ix n i i nni xi e x e x L 11312132)(θθθθθ，取对数，∑∑==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ni i n i i x xn L 11ln 31ln 2)(ln θθθ， 令0)(ln =θθd L d ，得0121=-∑=n i ix n θ，解得的极大似然估计量为．。
2013年考研数三真题及答案解析(完整版)
2013年考研数三真题及答案解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．、１．当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）（A ）)()(32x o x o x =⋅ （B ）)()()(32x o x o x o = （C ）)()()(222x o x o x o =+ （D ）)()()(22x o x o x o =+【详解】由高阶无穷小的定义可知（A ）（B ）（C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例如当0→x 时)()(),()(2332x o x x g x o x x x f ===+=，但)()()(x o x g x f =+而不是)(2x o 故应该选（D ）．2．函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】当0ln →x x 时，x x ex xx xln ~11ln -=-，1ln ln limln )1(1lim)(lim 0==+-=→→→x x x x x x x x x f x xx x ，所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点．21ln 2ln limln )1(1lim)(lim 011==+-=→→→xx xx xx x x x f x xx x ，所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点． ∞=+-=+-=-→-→-→xx x x xx x x x f x x x x ln )1(ln limln )1(1lim)(lim 111，所以所以1-=x 不是函数)(x f 的可去间断点．故应该选（C ）．３．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（ ）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知()ππππππθθθθθθθθ22122110222)1(|cos sin 31)sin (sin 31)cos (sin )(k k kk k k D k d dr r d dxdy x y I k ---+-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰所以ππ32,32,04231-====I I I I ，应该选（B ）． ４．设{}n a 为正项数列，则下列选择项正确的是（ ） （A ）若1+>n n a a ，则∑∞=--11)1(n n n a 收敛；（B ）若∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则1+>n n a a ； （C ）若∑∞=1n na收敛．则存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在；（D ）若存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在，则∑∞=1n na收敛．【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（A ）（B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A ），但少一条件0lim =∞→n n a ，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B ）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价． （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价． （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价． （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价．【详解】把矩阵A ，C 列分块如下：()()n n C A γγγααα,,,,,,,2121 ==，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知),,2,1(2211n i b b b n in i i i =+++=αααγ，得到矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表示．同时由于B 可逆，即1-=CB A ，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．应该选（B ）．6．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是（A ）2,0==b a （B ）0=a ，b 为任意常数 （C ）0,2==b a （D ）2=a ，b 为任意常数【详解】注意矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 是对角矩阵，所以矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．)22)2((111122a b b aa baa A E -++--=---------=-λλλλλλλ从而可知b a b 2222=-，即0=a ，b 为任意常数，故选择（B ）．7．设321,,X X X 是随机变量，且)3,5(~),2,0(~),1,0(~23221N X N X N X ，{}22≤≤-=i i X P P ，则（A ）321P P P >> （B ）312P P P >> （C ）123P P P >> （D ）231P P P >> 【详解】若),(~2σμN X ，则)1,0(~N X σμ-1)2(21-Φ=P ，{}1)1(212122222-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤≤-=X P X P P ， {}())13737)1(3523535222333Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ--Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤--=≤≤-=X P X P P ，=-23P P 0)1(32)1(3371<Φ-<Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ+．故选择（A ）．8．设随机变量X 和Y 相互独立，且X 和Y 的概率分布分别为X 0 1 2 3P P1/21/41/81/8Y -1 0 1 P1/31/31/3则{}==+2Y X P （ ） （A ）121 （B ）81 （C ）61 （D ）21 【详解】{}{}{}{}612412411211,30,21,12=++=-==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P ，故选择（C ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设曲线)(x f y =和x x y -=2在点()0,1处有切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ． 【详解】由条件可知()1)1(',01==f f ．所以2)1('22222)1(221lim 2lim -=-=-+⋅+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→f nn n f n f n n nf n n 10．设函数()y x z z ,=是由方程()xy y z x=+确定，则=∂∂)2,1(|xz． 【详解】 设()xyy z z y x F x -+=)(,,，则()1)(),,(,)l n ()(,,-+=-++=x z x x y z x z y x F y y z y z z y x F ，当2,1==y x 时，0=z ，所以2ln 22|)2,1(-=∂∂xz． 11．=+⎰∞+x d x x12)1(ln ．【详解】2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )1(ln 111112=+=+++-=+-=+∞+∞+∞+∞+∞+⎰⎰⎰x x dx x x x x x xd x d x x 12．微分方程041=+'-''y y y 的通解为 ． 【详解】方程的特征方程为041=+-λλr，两个特征根分别为2121==λλ，所以方程通解为221)(xex C C y +=，其中21,C C 为任意常数．13．设()ij a A =是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ，则A = ．【详解】由条件)3,2,1,(0==+j i a A ij ij 可知0*=+TA A ，其中*A 为A 的伴随矩阵，从而可知A AA A T -===-13**，所以A 可能为1-或0．但由结论⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r n A r n A r 可知，0*=+TA A 可知*)()(A r A r =,伴随矩阵的秩只能为3，所以.1-=A14．设随机变量X 服从标准正分布)1,0(~N X ，则()=X Xe E 2 ． 【详解】()=X Xe E 2dx ex edx ex dx exe x x x x⎰⎰⎰∞+∞---∞+∞-+--∞+∞--+-==2)2(222)2(22222)22(2221πππ22222222)(2222e e X E e dt e dt te e t t =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰∞+∞--∞+∞--π． 所以为22e ．三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，求常数n a ,．【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式． 【详解】当→x 时，)(211co s 22x o x x +-=，)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x +-=+-=，)(291)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=，所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+--=-，由于x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，所以2,7==n a ．16．（本题满分10分） 设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值． 【详解】由微元法可知πππ35320253a dx x dx y V a a x ===⎰⎰；πππ37340762)(2a dx x dx x xf V a ay ===⎰⎰；由条件y x V V =10，知77=a ． 17．（本题满分10分）设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰Ddxdy x 2． 【详解】341683622332222221=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-xx xx D D Ddy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． 18．（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为,100060QP -=（P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该的边际利润．（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义． （3）使得利润最大的定价P ． 【详解】（1）设利润为y ，则6000100040)206000(2--=+-=Q Q Q PQ y ， 边际利润为.50040'Q y -= （2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20． （3）令0'=y ，得.40100002000060,20000=-==P Q19．（本题满分10分）设函数()x f 在),0[+∞上可导，()00=f ，且2)(lim =+∞→x f x ，证明（1）存在0>a ，使得();1=a f（2）对（1）中的a ，存在),0(a ∈ξ，使得af 1)('=ξ． 【详解】证明（1）由于2)(lim =+∞→x f x ，所以存在0>X ，当X x >时，有25)(23<<x f ， 又由于()x f 在),0[+∞上连续，且()00=f ，由介值定理，存在0>a ，使得();1=a f （2）函数()x f 在],0[a 上可导，由拉格朗日中值定理， 存在),0(a ∈ξ，使得aa f a f f 1)0()()('=-=ξ．20．（本题满分11分） 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b B a A 110,011，问当b a ,为何值时，存在矩阵C ，使得B CA AC =-，并求出所有矩阵C ．【详解】显然由B CA AC =-可知，如果C 存在，则必须是2阶的方阵．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321x xx x C ， 则B CA AC =-变形为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-b ax x xx x ax x ax ax x 1103243142132， 即得到线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=++-=+-bax x x x x ax x ax ax x 3243142132110，要使C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=b a a b a aa ab A 000010000001011101010111011010010|， 所以，当0,1=-=b a 时，线性方程组有解，即存在矩阵C ，使得B CA AC =-．此时，()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000000000011011101|b A ， 所以方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100101110001214321C C x x x x x ，也就是满足B CA AC =-的矩阵C 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=211211C C C C C C ，其中21,C C 为任意常数．21．（本题满分11分） 设二次型23322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=．记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,b b b a a a βα．（1）证明二次型f 对应的矩阵为 T T ββαα+2；（2）若βα,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 22212y y +． 【详解】证明：（1）()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++=321321321321321321321321321321321321321321233221123322113212,,,,2,,,,,,,,,,2)()(2),,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b b b b b b x x x x x x a a a a a a x x x x b x b x b x a x a x a x x x f TT TT ββααββαα所以二次型f 对应的矩阵为 T T ββαα+2．证明（2）设=A T T ββαα+2，由于0,1==αβαT 则()ααββαααββααα2222=+=+=T T TA ，所以α为矩阵对应特征值21=λ的特征向量；()ββββααβββααβ=+=+=222T T T A ，所以β为矩阵对应特征值12=λ的特征向量；而矩阵A 的秩2)()2()2()(=+≤+=T T T T r r r A r ββααββαα，所以03=λ也是矩阵的一个特征值．故f 在正交变换下的标准形为 22212y y +． 22．（本题满分11分）设()Y X ,是二维随机变量，X 的边缘概率密度为⎩⎨⎧<<=其他,010,3)(2x x x f X ，在给定)10(<<=x x X 的条件下，Y 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,0,0,3)/(32x y x y x y f XY ． （1）求()Y X ,的联合概率密度()y x f ,； （2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ．【详解】（1）()Y X ,的联合概率密度()y x f ,：()⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=⋅=其他,00,10,9)()/(,2x y x xy x f x y f y x f X XY （2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ：⎪⎩⎪⎨⎧<<-===⎰⎰∞+∞-其他,010,ln 99),()(212y y y dx x y dx y x f y f yY 23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,);(32x e x x f x θθθ，其中θ为为未知参数且大于零，n X X X ,21为来自总体X 的简单随机样本．（1）求θ的矩估计量； （2）求θ的极大似然估计量．【详解】（1）先求出总体的数学期望E （X ）θθθ===⎰⎰∞+-∞+∞-022)()(dx e xdx x xf X E x ，令∑===n n i X n X X E 11)(，得θ的矩估计量∑=∧==ni i X n X 11θ．（2）当),2,1(0n i x i =>时，似然函数为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==-∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∏∏ni i ix n i i n ni x iex e x L 11312132)(θθθθθ， 取对数，∑∑==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ni i n i i x xn L 11ln 31ln 2)(ln θθθ，令0)(ln =θθd L d ，得0121=-∑=n i ix n θ， 解得的极大似然估计量为．。
2013年考研数学三试题及答案解析
二、填空题： 填空题：9
14 小题, 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 请将答案写在答题纸 指定位置上. 指定位置上. ．．．
2
(9) 设曲线 y = f ( x) 与 y = x − x 在点 (1, 0) 处有公共切线，则 lim nf (
2 2 A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ai 3 Ai 3 = − ( ai2 1 + ai 2 + ai 3 ) ≤ 0 3−1
= (−1)3 A ，即 A = −1 或者 A = 0 .
又因为 A ≠ O ，所以至少有一个 aij ≠ 0 ，所以
2 2 A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ai 3 Ai 3 = − ( ai2 1 + ai 2 + ai 3 ) < 0
∞
(5) （ ） (A) 矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价. (B) 矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价. (C) 矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价. (D) 矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价. 【答案】 （B） 由于 AB = C ,故
【解析】将 A, C 按列分块， A = (α1 ,..., α n ), C = (γ 1 ,..., γ n )
b11 ... b1n (α1 ,..., α n ) . ... . = (γ 1 ,..., γ n ) b ... b nn n1 即 γ 1 = b11α1 + ... + bn1α n ,..., γ n = b1nα1 + ... + bnnα n
2013年考研数学真题及参考答案(数学三)
一、选择题:1～8 பைடு நூலகம்题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. ．．． ⑴ 当 x 0 时，用 o( x) 表示比 x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ （A） x o( x ) o( x )
2 e x , x 0, 设总体 X 的概率密度为 f ( x; ) x 3 ，其中 为未知参数且大于零， 0, 其他 X 1 , X 2 , , X n 为来自总体 X 的简单随机样本.
（Ⅰ）求 的矩估计量； （Ⅱ）求 的最大似然估计量.
4
2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题详解与评注
x
z x (1,2)
.
⑾
1
ln x dx (1 x) 2
.
⑿ 微分方程 y y
1 y 0 的通解为 y 4
.
⒀ 设 A ( aij ) 是 3 阶非零矩阵， A 为 A 的行列式， Aij 为 aij 的代数余子式，若
aij Aij 0(i, j 1, 2,3) ，则 A
⑷ 设 an 为正项数列，下列选项正确的是（ （A） 、若 an an 1 ，则
(1)
n 1
n 1
an 收敛
（B） 、若
(1)
n 1
n 1
an 收敛，则 an an 1
（C） 、若
a
n 1
n
收敛，则存在常数 p 1 ，使 lim n an 存在
p n
2 3
2013年考研数三真题与答案解析(完整版)0001
2013年考研数三真题及答案解析、选择题1— 8小题.每小题4分，共32分.、1.当x0时，用o （x ）表示比x 高阶的无穷小，贝y 下列式子中错误的是（）2ox2ox=33(A ) ()()xox ( B ) o(x)o(x)()(C o(x 2)o(x 2)o(x 2) ( D o(x)o(x 2)o(x 2)2xoxgxxox332如当x0 时()(),()()limf(x)limlim x 1x(x1)lnx2ln 1xx,所以所以x1 不是函数 f （x ）的limf(x)limlim x(1)ln 【详解】■由高阶无穷小的定义可知（-A （B ）g 都是正确的，对于（D 可找出反例，例fxx ，但 f(x)g(x)o(x)而不是2o （x ）故应该2.函数f(x)x_^1 _的可去间断点的个数为（）(D) 3^ xxlnx【详解】当xlnx0 时，x1e1〜xlnx_= xT T xTxlnx limf(x)liml im xx(x1)ln 0xx-----x0xxln1 ,所以 x0 是函数 f （x ） 的可去间断点.xx1xlnx ，所以x1 是函数 f （x ）的可去间断点.xx0xx1xlnx1x(x1)lnxx x1x1可去间断点. 故应该选（C .3 .设D是圆域D(x,y)|x1 k2y 2的第k象限的部分，记l k(yx)dxdy，则Dk(A)0I ( B I20( C I30( D I 40 1【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知1= ffk(yx)dxdy2d(sincosrdr(sinsin)-J 0 ) _——n(k1)3D2|= sincos所以 I 1I0,I2,IH 3V|2 1 乂」 * 22= 应该选(B ). 334 .设 a 为正项数列，贝y 下列选择项正确的是（）1)nn1【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（ 此小题的（A （ B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A ）,但少条件limaO ，显然错误.而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件丿n nk1214,(B)若^a ,则n1 (1) n1na 收敛，贝y _^a n a ； n1(C)a 收敛.则存在常数 P1,使limna np存在； n(D) 若存在常数p 1,使p limna 存在，则 na 收敛. n1 nD 正确，故应选（D ）.则可知（1,2,,） 一 一 一ib i1 b i b inn in ，得到矩阵C 的列向量组可用矩阵 A 的122选项（B ）'也不正确「反例自己去构造.."5 .设A,B,C 均为 n 阶矩阵，若AB = C,且B 可逆，则 A 的行向量组等价. A 的列向量组等价. B 的行向量组等价. B 的列向量组等价.(A (B)(C(D)矩阵矩阵 矩阵 矩阵 的行向量组与矩阵 的列向量组与矩阵 的行向量组与矩阵 的列向量组与矩阵 【详解】把矩阵 A C 列分块如下:A 1, 2,, n , C 1, 2,,,由于 AB = C,C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价.应该选（B ）.1a12006.矩阵abaObO 相似的充分必要条件是 与矩阵lalOOO(A )a0,b2 ( B ) aO , b 为任意常数列向量组线性表示.同时由于B 可逆，即ACB 同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵(C a2占0 ( D a2, b 为任意常数2001a1200【详解】注意矩阵0b0是对角矩阵，所以矩阵 A=aba0b0相0001a1000似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等. /.- -1a1z. EAaba( 1a1从而可知2b2a 22b ，即a0 , b 为任意常数，故选择（B ）.PRR , B ) P 2PR7与矩阵=7 ' 2bba 十‘上(2)22227.设 X {,X 2,X 3 是随机变量，且 X 1~N(0,1),X~N(0,2),X~N(5,3)‘23PP2X2,贝y(Q PRP ( D jPpp【详解】若 c XX~N(,2)，贝〜N0,1kP2(卸(-PP2X2P132(1)1,122一①e （）P 3-P 2X?P +^3 - -①X3 5①3；(1) 1){ *P 1/21/4^/81/8Y-101P1/31/31/3 贝y PXY2 ()(B) 18 (C 16(D) 1212【详解】P XY2RX1,YJ PX2YOpX3,Y1,故选择（0.、填空题（本题共 6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）nn2limnFlim2f + n2n ；.nxx1F x X,yzzyzyyFxyzxzy , I ,()l),(,n,)()( 二10.设函数zzx,y 是由方程zyxy【详解】设 Fxyzzyxy，，（）n22n xz确定，则| (1,2)x12242469.设曲线yf （x ）和yxx在点（1,0处有切线，则lim nfn2【详解】由条件可知f10,（r （1）1.所以 _ 2f1f(1广 --- --'(1)2当 x1,y2 时，z0，所以 | (1,2) 22ln2■*-_<亠一匚• + 11. dx1(1)rix【详解】Inx1lnx1dxlnxd|dxln12x(1x1x1x1(x(1J )1x)12.微分方程0 yyy 的通解为.lnxl1 ln21r，两个特征根分别为【详解】方程的特征方程为0解为2y(C i Cx)e，其中213 .设Aa是三阶非零矩阵，A为其行列式，A j为元素a ij的代数余子式，且满足ij Aa ij0(i,j1,23)，贝U A=11，所以方程通2 G,C2为任意常数.n,r(A)nr( A)1,r(A)n1可知，AA*0可知r(A)r ( A*)，伴随矩阵的秩只==0,r(A)n1能为3,所以A1.【详解】匸1xe =2x2 I '广 V xeeedx(x22)e2dx【详解】由条件+ —A j a0(i,j1,2,3)AA 其T4- 可知*0 中A*为A 的伴随矩阵，从ij 而可知A*AAA *T31所以 A 可能为1或_0 .14.设随机变量X 服从标准正分布 X~N(0,1)，则EX 『.但由结论*TE "Xe X' 一 <4-x 2x?)(x2) j 、江dx222te t 22dt2 t 2dt2E(X2 2 2e 2e所以为 T22e .、解答题15.(本题满分10分)【分析】主要是考查x0 时常见函数的马克劳林展开式.当x0 时，1cosxcos2xcos3x 十与丄ax n是等价无穷小，求常数a,n.2ox 2【详解】当cxo1sx ,x0时, ()cos222ox xoxx1(2x)()12()2 192ox 2x 2oxcos3x1(3x)()1()22所以1cosxcos2xcos3x1( 1 12 2OX2XOXXOXXOX222222由于1cosxcos2xcos3x 与16.（本题满分10分）x())(12())(1())7(nax是等价无穷小，所以a7,n2 .设D 是由曲线y ，—直线xa(a0)及x 轴所转成的平面图形,~ 3^=0由条件10VV 知a77. y【详解】是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件)，已知产销平衡，求:-二1aa 二江(25• 32*33Vxydxxdxa ;00= 7T J= 4 i■k547Vaa -33【详解】由微元法可知:Ty2xf(x)dx2xdxa07V x ,V y 分别是D 绕x 3x轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若 i0v x v y , 求a 的值.17.(本题满分10分) 设平面区域D 是由曲线■ ・x3y,y3x,xy8 所围成，求丿Jx 2.= ’ dxdy D416D 22222xdxdyxdxdyxdxdyxdxdyxdxdy23x68xxx0318.(本题满分10分)设生产某产品的固定成本为=6000元， 可变成本为20 兀/件,冇格函数为 ■P60,(P1000(1 )该的边际利润润-—(2)当P=50时的边际利润，并解释其经济意义.(3)使得利润最大的定价【详解】(1)设利润为y,则6000 yPQ(600020Q)40Q,边际利润为y'40.li500(2)当P=50时，Q=10000,边际利润为20.经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20000 (3)令y'0，得40.Q20000,P60 1000019.(本题满分10分)设函数fx在［0,)上可导，fOO，且limf(x)2 (1)存在aO,使得fa1;(2 )对( 1)中的a,存在(0,a)，使得1f ' ()•a,证明证明（1）由于limf （x ）2 ，所以存在 XP ，当xX 时，有又由于fx （在*0,） 上连续，且f00，由介值定理，存在 a0，使得fa1 ;"（2）函数fx ■在 \0,a] 上可导，由拉格朗日中值定理，程组的增广矩阵进行初等行变换如下01a0010111a10a101a00 A |b ,1011100001a0Ja0b0000b所以，当a1,b0时，线性方程组有解，即存在矩阵C 使得ACCAB（ H 01100存在（0,a ），使得f f aa20. （本题满分11分）,B1 _，，问当a,b 为何值时，存在矩阵 C 使得ACCAB 并求出 b所有矩阵C.【详解】显然由ACCA 囱知，如果 C 存在,则必须是2阶的方阵.设xx 12则ACCAE fe 形为即得到线性方程组■ _ +•Ix ax -2-3x1 x x -+ 3 4 x ax 0 _2 +3 + ax x ax -1-2=4 x x .1 - 3 x 14x ax b 2 3ax+ +x ax -2 4ax 3xx 34，要使C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方101110000000000x010 3 x 001 4所以方程组的通解为xCC,x 1 x010 2也就是满足ACCAB 勺矩阵 111 +1GCC + 一121G 1,C 2为任意常数... GG 1221.(本题满分11 分)设二次型22f(x 1,X ,x)2(axaxax)(bxbxbx)23112233112233 .记3 = a1 a2 a3 b1 b2 b 3(1)证明二次型f 对应的矩阵为 2T T;(2)若,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为222yy2【详解】证明：(1)f( x.x , x)3 =2(ax112 x, x 1 2 a )x 2 2 a1 - ,x a3 2 t 矽3ax33 a , a, a 1 23 r)鋼1 W 2 x2 x1 x2 x3 x , x, 1 X ，1 X ，2 X ，1 X1 X2c TT证明(2)设Aa a TT PP 2. TTT +昭，由于 =10a 2T则222 的特征 向量;A22,所以为矩阵对应特征值 21 的特征向量; b jx)( 3『3 b 1 x b 3 2 b 3 x1 Gtb 1 x 1 ,b x 2 3 2x 3x 2 x 3TTrrT而矩阵A的秩()(2)(2)()2rAr，所以30也是矩阵的个特征值.故f在正交变换下的标准形为22 2%22.(本题满分11分)2x 设X,丫是二维随机变量，X的边缘概率密度为=< 3x,01 f X(X),在给定, Xx(0x1)的条件下，丫的条件概率密度为其他< <,Oyx ,(1 )求X,丫的联合概率密度fx,y ;(2) 丫的的边缘概率密度f( y)【详解】(1) X, Y的联合概率密度fx,y :fx,yf(y/x)f $ X丫l X=< *(x )-C(2)丫的的边缘概率密度f(y)Y:fY(y)f(x,y)dxy 919y2如9卫y>-ln23.(本题满分11分)6设总体X的概率密度为 f(x；)3hIf^y/x).(30,其他29yx,y,o,x1,0y卓他x0,xe,x0其他，其中为为未知参数且大于零，(2 )求的极大似然估计量.【详解】(1 )先求出总体的数学期望 E( X) x, E(X)xf(x)dxedx令i1X i E(X)XX，得的矩估计量nn1(2)当xO(i12n)i时，似然函数为2n1，得0xi1ii1 n解得的极大似然估计量为.取对数，e()2nln3lnxn22nL 0 二n 一 ()ee ,nn133 xx■i i1n -6 J 1i1idlnL() 令0。
2013年考研数三真题与答案解析(完整版)
2013 年考研数三真题及答案解析一、选择题1 —8 小题．每小题4 分，共 32 分．、１．当 x0 时，用 o(x) 表示比 x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（ A ） x o ( x 2 ) o(x 3 )（ B ） o( x) o(x 2 ) o( x 3 )（ C ） o( x 2 ) o( x 2 )o( x 2 )（ D ） o(x) o( x 2 ) o( x 2 )【详解】由高阶无穷小的定义可知（ A ）（ B ）（ C ）都是正确的，对于（ D ）可找出反例，例如当 x 0时 f (x)x 2x 3 o( x), g( x)x 3o(x 2 ) ，但 f (x)g(x)o( x) 而不是o( x 2 ) 故应该选（ D ）．xx2．函数 f ( x)1的可去间断点的个数为（）x( x1) ln x（A ）0（ B ）1（ C ）2（D ）3【详解】当 x ln xx1e xln x1 ~ x ln x ，0 时， xxx ln xlim f ( x) limx1lim 1 ，所以 x 0是函数 f ( x) 的可去间断点．x 0x 0x( x 1) ln xx 0x ln xxx ln xlim f ( x) limx1lim 1，所以 x1 是函数 f ( x) 的可去间断点．x 1x 1x( x 1) ln xx 02 x ln x2xxxln xlim f ( x)lim1lim，所以所以 x1不是函数 f (x) 的(x 1) ln xx1x1x(x 1) ln xx 1可去间断点．故应该选（ C ）．３．设 D k 是圆域 D( x, y) | x 2y 2 1 的第 k 象限的部分， 记 I k( y x)dxdy ，则D k（）（ A ） I 1B I 2 0C 3 0D I 4 0（ ）（ ） I（ ）【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知k 2121I k( yx)dxdy( k 1) d(sincos )rdrD k321kcos |k 2sin132所以 I 1I 30,I 22 , I 4 2 ，应该选（ B ）．3 3４．设 a n 为正项数列，则下列选择项正确的是（）（A ）若 a na n 1 ，则( 1) n 1 a n 收敛；n 1k2 (sinsin ) dk 1 2（B ）若( 1)n 1 a n 收敛，则 a n a n 1 ；n 1（C ）若a n 收敛．则存在常数 P 1，使 lim n p a n 存在；n 1n（D ）若存在常数 P 1，使 lim n p a n 存在，则a n 收敛．nn 1【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（ D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（ A ）（ B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（ A ），但少一条件 lim a n0 ，显然错误． 而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，n选项（ B ）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为 n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（ A ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价． （ B ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价． （ C ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价．（ D ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价．【详解】 把矩阵 A ，C 列分块如下： A 1, 2,, n , C 1 , 2 , , n ，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知i b i1 1 b i 2 2b in n (i 1,2, , n) ，得到矩阵 C 的列向量组可用矩阵 A 的列向量组线性表示．同时由于B 可逆，即 A CB 1 ，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．应该选（B ）．1 a 12 06．矩阵 a b a与矩阵0 b 0 相似的充分必要条件是1 a 10 0（ ） a0,b2（ ） a 0， b 为任意常数AB（ C ） a 2,b 0（D ） a 2 ， b 为任意常数2 01 a 12 0 0 【详解】注意矩阵 0 b0 是对角矩阵，所以矩阵 A= a ba 与矩阵0 b 0 相 0 01 a 10 0似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．1a 1 E Aa b a ( 2(b 2)2b 2a 2 )1a1从而可知 2b 2a 2 2b ，即 a 0 ， b 为任意常数，故选择（ B ）．7 ． 设 X 1,X 2,X 3是随机变量，且X 1~ N (0,1), X 2 ~ N(0,22), X 3 ~ N(5,32) ，P iP 2 X i2 ，则（A ） P 1 P 2 P 3（B ） P 2 P 1 P 3（C ） P 3P 2 P 1（D ） P 1P 3P 2【详解】若 X ~ N(, 2)，则 X~ N(0,1)P 1 2 (2) 1， P 2P2X 22PX 2 12 (1) 1，12P 3 P2X 32 P2 5 X3 52 5 7 7333( 1)1)33，P 3P 217 3 (1) 0．3(1)23故选择（ A ）．8．设随机变量 X 和 Y 相互独立，且X 和 Y 的概率分布分别为X0 1 2P1/21/41/8Y -1 0 P1/31/3则PXY2 （）（A ）1（B ）1（C ）1（D ） 128 63P 1/8 1 1/312【详解】PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX1111 3,Y12424612，故选择（ C）．二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4分，满分 24分 .把答案填在题中横线上）9．设曲线y f (x) 和 y x 2x 在点1,0处有切线，则lim nf n．n n2【详解】由条件可知 f 10, f ' (1)1．所以f12 n n f (1)lim nf lim2 2 f '(1)2n22n 2n nn22n10．设函数z z x, y 是由方程z y x xy 确定，则z|(1,2 )．x【详解】设 F x, y, z F x x, y, z( z y) x l z y)当 x 1, y 2 时，z0 ，所以11．ln x2 d x．(1x)1(z y x xy，则)y, F z (x,ny, z) x(z y) x 1，(z|(1, 2 )2 2 ln 2 ．x【详解】1ln x2 dx1ln xd1ln x |111dx ln x|1 ln 2 (1 x) 1 x1x x(1 x)x112．微分方程y y 1 y0 的通解为．411【详解】方程的特征方程为r0，两个特征根分别为412，所以方程通2x解为 y (C1 C 2 x) e2，其中 C1 ,C2为任意常数．13．设A aij是三阶非零矩阵， A 为其行列式，A ij为元素 a ij的代数余子式，且满足Aij aij0(i , j1,2,3) ，则A=．【详解】由条件 Aijaij0(i, j 1,2,3) 可知 AA* T 0 ，其中 A * 为 A 的伴随矩阵，从而可知A* A *T3 1A ，所以 A 可能为1或 0．An,r (A)n但由结论 r ( A * )1, r ( A) n 1 可知， A A * T 0 可知 r ( A)r ( A*) , 伴随矩阵的秩只0, r ( A) n1能为 3，所以 A 1.14．设随机变量 X 服从标准正分布 X ~ N ( 0,1) ，则 E Xe 2X．【详解】E Xe 2 X1 x 2x(x 2)2e 2(x 2) 2xe2xe 2dxe2dx( x 22)e 2dx222 2e 2t 2t 2te 2 dt 2e 2 dte 2 E( X ) 2e 2 2e 2 ．2所以为 2e 2 ．三、解答题15．（本题满分 10 分）当 x0时，1 cosx cos2x cos3x 与 ax n 是等价无穷小，求常数a, n ．【分析】主要是考查 x 0 时常见函数的马克劳林展开式．【详 解 】当 x 0时，122 )，c x o 1 s xo( x1(2x) 22cos2 x1 o(x2 ) 1 2 x 2 o(x 2 )，2cos3x11(3x)2o( x 2 ) 1 9 x 2 o( x 2 ) ，2 2所以1 cosx cos2xcos3x1 (1 1 x2 o( x 2 ))(12x 2 o(x 2 ))(1 9 x 2o( x 2 )) 7x 2o( x 2 )22，由于 1cosx cos2 x cos3x 与 ax n 是等价无穷小，所以 a7, n 2 ．16．（本题满分10 分）设 D 是由曲线 y3x ，直线 x a (a 0) 及 x 轴所转成的平面图形，V x ,V y 分别是 D 绕 x轴和 y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若10V x V y ，求 a 的值．【详解】由微元法可知a252 dxa3a 3V xy x 3 dx；5aa 47x 3dx6a 3V y2 xf ( x) dx 2；0 7由条件 10V x V y ，知 a 7 7 ．17．（本题满分 10 分）设平面区域 D 是由曲线 x3 y, y3x, x y 8 所围成，求x 2 dxdy ．D【详解】x 2dxdyx 2dxdyx 2dxdy2x 2dx x dyx 2dx x dy416 ．3 x6 8 xDD 1D 20 32 3318．（本题满分 10 分）设生产某产品的固定成本为6000 元，可变成本为20 元 / 件，价格函数为 P60Q,（P1000是单价，单位：元， Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（ 1）该的边际利润． （ 2）当 P=50 时的边际利润，并解释其经济意义．（ 3）使得利润最大的定价 P ．【详解】（1）设利润为Q 2 y ，则 y PQ (6000 20Q ) 40Q6000 ，1000边际利润为 y'40Q .500（ 2）当 P=50 时， Q=10000，边际利润为 20．经济意义为：当 P=50 时，销量每增加一个，利润增加20．（3）令 y'0，得Q20000 , P20000 40.601000019．（本题满分 10 分）设函数 f x 在 [0,) 上可导， f0 0 ，且 lim f (x)2 ，证明x（1）存在 a 0 ，使得 f a1;（2）对（ 1）中的 a，存在(0, a) ，使得 f ' ( 1 ．)a【详解】证明（ 1）由于lim()2，所以存在X0，当 x X 时，有3，f x5x f (x)22又由于 f x在 [0,) 上连续，且 f 00 ，由介值定理，存在a0 ，使得 f a 1;（2）函数f x 在 [0,a] 上可导，由拉格朗日中值定理，存在(0, a) ，使得 f ' ()f (a) f (0)1．a a20．（本题满分 11 分）1a, B 01，问当 a, b 为何值时，存在矩阵C，使得AC CA B ，并求出设 A01b1所有矩阵 C．【详解】显然由 AC CA B 可知，如果C存在，则必须是x1x22 阶的方阵．设C，x3x4则 AC CA B 变形为x2ax3ax1x2ax40 1，x1x3x4x2ax3 1 bx2ax30即得到线性方程组ax1x2ax41，要使 C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方x1x3x41x2ax3b程组的增广矩阵进行初等行变换如下01a0010111a10a101a00 A |b011100001，1a01a0b0000b所以，当 a1, b0 时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得AC CA B ．10111此时， A | b011000000，00000x1111所以方程组的通解为x x20C11C2，也就是满足 AC CA B 的矩阵x3010x4001C为C1C1C2C1，其中 C1 , C2为任意常数．C1C221．（本题满分 11 分）设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2(a1 x1 a2 x2 a3 x3 ) 2(b1 x1 b2 x2 b3 x3 )2．记a1b1a2,b2．a3b3（1）证明二次型 f 对应的矩阵为 2T T ；（2）若,正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2 y12y22．【详解】证明：（1）f ( x1, x2 , x3 ) 2(a1 x1 a2 x2a3 x3 ) 2(b1 x1b2 x2b3 x3 ) 2a1x1b12 x1, x2 , x3 a2a1 ,a2 , a3 x2x1 , x2 , x3 b2 b1, b2 ,b3a3x3b3x1x1x1, x2 , x3 2T x2x1, x2 , x3T x2x3x3x1x1, x2 , x3 2T T x2x3所以二次型 f 对应的矩阵为2T T ．证明（ 2）设A2T T ，由于1, T0则 A2T T22T2，所以为矩阵对应特征值向量；A2T T2T2，所以为矩阵对应特征值量；x1x2x31 2 的特征21的特征向而矩阵 A 的秩r ( A) r ( 2T T )r (2T ) r (T) 2，所以30 也是矩阵的一个特征值．故 f 在正交变换下的标准形为 2 y12y22．22．（本题满分11 分）设 X,Y是二维随机变量， X 的边缘概率密度为f X( x)3x2 ,0x 1，在给定0,其他X x(0x1) 的条件下，Y的条件概率密度为f Y( y / x)3y 2,0y x,x 3．X0,其他（1）求X ,Y的联合概率密度 f x, y ；（2） Y 的的边缘概率密度f Y ( y) ．【详解】（ 1）X , Y的联合概率密度 f x, y：f x, y f Y ( y / x) f X ( x)9 y 2,0 x1,0y x xX0,其他（2） Y 的的边缘概率密度f Y ( y) ：f Y ( y) f (x, y)dx 1 9 y29 y2ln y,0 y 1dxy x0,其他23．（本题满分11 分）2设总体X 的概率密度为 f (x; )x 3e x , x 00,，其中为为未知参数且大于零，其他X1X 2,X n为来自总体 X 的简单随机样本．（1）求的矩估计量；（2）求的极大似然估计量．【详解】（ 1）先求出总体的数学期望E（ X）2E(X)xf (x)dx2e x dx，x令 E(X)1nX X i，得的矩估计量n n 1（2）当x i0(i1,2, n) 时，似然函数为1 nX i．Xn i1n22nn 1xx iL ( )3 ei3ei 1n，i1x ix ii 1取对数， ln L() 2nlnn1 3nln x i ，x ii 1i 1令 d ln L( )0 ，得2nn10 ，di 1 xi解得 的极大似然估计量为 ．。
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填写在答题纸指定位置上。
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分。
请将答案写在答题纸指定位置上。
三、解答题：15~23小题，共94分。
请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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2013年考研数学刚刚落下帷幕，相信很多考生看到这份试卷都非常亲切，因为好多题目都跟咱们平时练习的题目的非常相似。
今年的数学试题，其考试内容和考试要求完全与考试大纲相吻合，没有偏题、怪题，难度适中，考查的重点也是大纲中着重要求掌握的内容。
从科目及分值分布来看，各科所占比例与往年也是完全一致的。
可见考试大纲在学生考研复习中的重要性，当然这也是我们在平时授课中反复跟学生们强调过的，这点对于2014年预参加考研的学生也可是有借鉴意义的。
总体来讲，题目万变不离其宗，考生如果能结合考试大纲，夯实基础、多做练习，取得一个相对理想的成绩还是可期的。
一．试卷的整体评价
试卷长度、题型比例配置保持不变，与《考试大纲》的规定一致。
全卷共23题，其中填空题6个，共24分；选择题8个，共32分；解答题9个，共94分，全卷合计150分。
微积分82分约占52.7%，线性代数34分约占22.7 %，概率论与数理统计34分约占22.7%。
二．考点分布
微积分
考点分值
极限18
导数8
导数应用20
定积分应用10
广义积分 4
级数 4
微分方程 4
二重积分14
线性代数
考点分值
行列式 4
矩阵与向量组19
二次型11
概率论与数理统计
考点分值
正态分布 4
二维离散型随机变量 4
数学期望 4
条件概率密度11
矩估计与最大似然估计11
总体来讲，今年数三微积分的题目难度跟去年相比稳中有升。
第1—4题分别考查极限、连续级数、二重积分等知识点，这些全是咱们复习的重点，课堂上老师也一直强调极限在微积分中的中心地位，授课老师也强调过级数这一考点在现在的数学三的考试中已经逐渐弱化，一般只考查一个填空或选择，今年的考题与授课老师的分析不谋而合。
9—12题分别考
查导数的几何意义，隐函数求导，无穷限广义积分和齐次微分方程求解，这些也是历年考研试卷中的常见题目。
微积分大题仍然延续了往年的思路，15题还是一个利用罗比达法则的极限计算问题，只是在使用罗比达之前还是要利用等价无穷小替换和化简来简化计算。
经济问题有重新出现在试卷的18大题上，这是值得14年考生关注的现象。
16,17,19大题可以说是我们课程中经常讲到的题型，也是考研的常见题型，学员们应该会拿到较好的分数。
线性代数的题目可以说是老三样，矩阵与向量组的关系，二次型是代数的核心问题，也是每年的必考题目，总体来说代数的题目与往年变化不大，应该都在学员的掌握之中。
概率的题目难度跟去年相比稳重有升。
第7题考查一维正态分布概率的计算，一维正态分布是咱们复习的重点，课堂上老师也一直强调正态分布在概率论中的中心地位，重点是正态分布的标准化和概率密度图像的对称性，而本题正好考查的就是这个知识点。
第八题属于基础题，考查二维离散型随机变量的独立性，且考法也比较常规，其思路在历年的真题中都有体现，所以本题应该是考生得分的题目。
第14题，从难度上讲会高于第8题。
虽然从表面上看，是计算一维随机变量函数的期望，但是其中的随机变量服从正态分布，这样在套用一维随机变量函数的期望公式时，无形之中就增加了计算的难度。
关于这种无穷积分的计算，我们在最后冲刺阶段复习时，针对正态分布概率密度也专门给出一个无穷级数的计算公式。
概率大题仍然保持一贯的稳定性，用心复习的同学会发现概率的22题，是咱们在基础阶段复习的时候就已经练习过的题目，所以其难度相对较小。
概率的23题考查参数估计(矩估计和最大似然估计)，也只需考生掌握基本的计算公式即可得出结果。
总的来说，2013年考研数学不是很难，重点考查基础，故基础性的训练对14考研同学来说非常重要！
第一，注重三基本，即基本概念、基本方法和基本定理。
对近几年数学答卷的分析表明，尤其是今年高数、线代、概率的题目都是基本题型、基本考点，但是还有考生失分的一个重要原因就是对基本概念、定理记不全、记不牢，理解不准确，导致基本解题方法掌握不好。
第二，熟练掌握考点的基本题型及题型的基本解题方法。
数学考试不需要背诵，也不用自由发挥，全部任务就是解题，而基本概念、公式、结论等只有在反复练习中才能得到真正理解与巩固。
做题时特别要强调的是分析研究题目和解题思路。
数学试题虽然千变万化，其知识结构却基本相同，题型也相对固定，往往存在明显的解题套路，熟练掌握套路后既能提高正确率，也能提高解题速度。
第三，复习是要注意知识的简单综合性应用。
数三今年考到了导数的经济应用题，数学考试会出现一些应用到多个知识点的综合性试题和应用型试题。
这类试题一般比较灵活，难度也要大一些。
在数学首轮复习期间，可以不将它们作为强化重点，但也应逐步进行一些训练，积累解题思路，同时这也有利于对所学知识的消化吸收，彻底弄清楚有关知识的纵向与横向的联系，转化为自己真正掌握的东西。