2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.2.1三角函数的概念学案新人教A版必修第一册

5．2.1 三角函数的概念

1．能用三角函数的定义进行计算．

2．熟记正弦、余弦、正切在各象限的符号，并能进行简单的应用．

3．会利用诱导公式一进行有关计算．

1．任意角的三角函数的定义

如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)

正弦点P的纵坐标y叫做α的正弦，记作sinα，即y＝sinα(2)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和P(x，y)所在终边上的位置无

关，而由角α的终边位置决定．

(3)要明确sin x是一个整体，不是sin与x的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．2．三角函数值的符号

如图所示：

正弦：一二象限正，三四象限负；

余弦：一四象限正，二三象限负；

正切：一三象限正，二四象限负．

简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

3．诱导公式一

即终边相同的角的同一三角函数值相等．

1．若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sinα与sinβ，cosα与cosβ，tanα与tanβ之间有什么关系？

[答案]sinα＝sinβ，cosα＝cosβ，tanα＝tanβ

2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若α＝β＋720°，则cosα＝cosβ.( )

(2)若sinα＝sinβ，则α＝β.( )

(3)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0.( )

(4)任意角α的正弦值sinα、余弦值cosα、正切值tanα都有意义．( )

[答案](1)√(2)×(3)√(4)×

题型一任意角的三角函数的定义及其应用

【典例1】 (1)若角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.

(2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． [思路导引] 利用三角函数的定义求解．

[解析] (1)∵x ＝5，y ＝－12，∴r ＝52

＋(－12)2

＝13，

则sin α＝y r ＝－1213，cos α＝x r ＝513，tan α＝y x ＝－12

5

.

(2)直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r ＝(－1)2

＋(3)2

＝2，所以sin α＝

32，cos α＝－1

2

，tan α＝－3；在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r ＝12

＋(－3)2

＝2，所以sin α＝－32，cos α＝1

2

，tan α＝－ 3.

[答案] (1)－1213 513 －12

5 (2)见解析

求任意角的三角函数值的2种方法

方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P 的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．

方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P (x ，y )，(P 与原点不重合)； 第二步，计算r ：r ＝|OP |＝x 2

＋y 2

；

第三步，求值：由sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x

(x ≠0)求值． 在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用． [针对训练]

1．已知角α的终边经过点P (1，－1)，则sin α的值为( ) A.1

2 B.32 C.22

D ．－

22

[解析] ∵α的终边经过点P (1，－1)，

∴sin α＝－1

12＋(－1)

2

＝－22. [答案] D

2．已知角α的终边与单位圆的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y (y <0)，则sin αtan α＝________.

[解析] ∵α的终边与单位圆的交点为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，y ， ∴⎝ ⎛⎭

⎪⎫－122＋y 2＝1，即y 2

＝34.

又∵y <0，∴y ＝－32

. ∴sin α＝－

3

2

，tan α＝3， sin αtan α＝－32×3＝－32

. [答案] －3

2

题型二三角函数在各象限的符号问题 【典例2】 判断下列各式的符号： (1)sin105°·cos230°；

(2)cos3·tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－2π3. [思路导引] 利用三角函数在各象限的符号判断．

[解] (1)因为105°，230°分别为第二、三象限角，所以sin105°>0，cos230°<0.于是sin105°·cos230°<0.

(2)因为π2<3<π，所以3是第二象限角，所以cos3<0，又因为－2π

3

是第三象限角，所

以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3>0，所以cos3·tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－2π3<0.

判断三角函数值正负的2个步骤

(1)定象限：确定角α所在的象限．

(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．

注意：若sin α>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y

轴的非负半轴上．

[针对训练]

3．设θ是第三象限角，且满足⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

sin θ2＝－sin θ2，则角θ

2为第________象限角．

[解析] 因为θ是第三象限角，所以π＋2k π<θ<32π＋2k π，k ∈Z ，所以π2＋k π<

θ

2<34π＋k π，k ∈Z ，所以角θ2为第二、四象限角．又因为⎪

⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，

所以sin θ2<0，所以θ

2为第四象限角．

[答案] 四

题型三诱导公式一的应用 【典例3】 求下列各式的值： (1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－

15π4；

(2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.

[思路导引] 利用诱导公式将角化到0°～360°范围内，再求解． [解] (1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4

＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝3

2

.

(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋ cos(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cos60°＝1＋1＋12＝52.

(1)公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等．利用它可将大角转化为[0,2π)范围内的角，再借助特殊角的三角函数值达到化简求值的目的．

(2)熟记一些特殊角的三角函数值．

[针对训练]

4．计算下列各式的值：

(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；

(2)sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－

11π6＋cos 12π5·tan4π.