2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.2.1三角函数的概念学案新人教A版必修第一册

5．2.1 三角函数的概念1．能用三角函数的定义进行计算．2．熟记正弦、余弦、正切在各象限的符号，并能进行简单的应用．3．会利用诱导公式一进行有关计算．1．任意角的三角函数的定义如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)正弦点P的纵坐标y叫做α的正弦，记作sinα，即y＝sinα(2)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和P(x，y)所在终边上的位置无关，而由角α的终边位置决定．(3)要明确sin x是一个整体，不是sin与x的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．2．三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．诱导公式一即终边相同的角的同一三角函数值相等．1．若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sinα与sinβ，cosα与cosβ，tanα与tanβ之间有什么关系？[答案]sinα＝sinβ，cosα＝cosβ，tanα＝tanβ2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α＝β＋720°，则cosα＝cosβ.( )(2)若sinα＝sinβ，则α＝β.( )(3)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0.( )(4)任意角α的正弦值sinα、余弦值cosα、正切值tanα都有意义．( )[答案](1)√(2)×(3)√(4)×题型一任意角的三角函数的定义及其应用【典例1】 (1)若角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.(2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． [思路导引] 利用三角函数的定义求解．[解析] (1)∵x ＝5，y ＝－12，∴r ＝52＋(－12)2＝13，则sin α＝y r ＝－1213，cos α＝x r ＝513，tan α＝y x ＝－125.(2)直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r ＝(－1)2＋(3)2＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3；在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r ＝12＋(－3)2＝2，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3.[答案] (1)－1213 513 －125 (2)见解析求任意角的三角函数值的2种方法方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P 的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P (x ，y )，(P 与原点不重合)； 第二步，计算r ：r ＝|OP |＝x 2＋y 2；第三步，求值：由sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)求值． 在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用． [针对训练]1．已知角α的终边经过点P (1，－1)，则sin α的值为( ) A.12 B.32 C.22D ．－22[解析] ∵α的终边经过点P (1，－1)，∴sin α＝－112＋(－1)2＝－22. [答案] D2．已知角α的终边与单位圆的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y (y <0)，则sin αtan α＝________.[解析] ∵α的终边与单位圆的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋y 2＝1，即y 2＝34.又∵y <0，∴y ＝－32. ∴sin α＝－32，tan α＝3， sin αtan α＝－32×3＝－32. [答案] －32题型二三角函数在各象限的符号问题 【典例2】 判断下列各式的符号： (1)sin105°·cos230°；(2)cos3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3. [思路导引] 利用三角函数在各象限的符号判断．[解] (1)因为105°，230°分别为第二、三象限角，所以sin105°>0，cos230°<0.于是sin105°·cos230°<0.(2)因为π2<3<π，所以3是第二象限角，所以cos3<0，又因为－2π3是第三象限角，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3>0，所以cos3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3<0.判断三角函数值正负的2个步骤(1)定象限：确定角α所在的象限．(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．注意：若sin α>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y轴的非负半轴上．[针对训练]3．设θ是第三象限角，且满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，则角θ2为第________象限角．[解析] 因为θ是第三象限角，所以π＋2k π<θ<32π＋2k π，k ∈Z ，所以π2＋k π<θ2<34π＋k π，k ∈Z ，所以角θ2为第二、四象限角．又因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，所以sin θ2<0，所以θ2为第四象限角．[答案] 四题型三诱导公式一的应用 【典例3】 求下列各式的值： (1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4；(2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.[思路导引] 利用诱导公式将角化到0°～360°范围内，再求解． [解] (1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋ cos(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cos60°＝1＋1＋12＝52.(1)公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等．利用它可将大角转化为[0,2π)范围内的角，再借助特殊角的三角函数值达到化简求值的目的．(2)熟记一些特殊角的三角函数值．[针对训练]4．计算下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan4π.[解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64.(2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.课堂归纳小结1．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数． 2．角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．3．公式一的理解(1)公式一的实质：是说终边相同的角的三角函数值相等，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律．(2)公式一的作用利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0～2π间角的三角函数，亦可把大于2π的角的三角函数化为0～2π间角的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45[解析] ∵x ＝－4，y ＝3，∴r ＝(－4)2＋32＝5，∴cos α＝x r ＝－45＝－45，故选D.[答案] D2．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35π6的值等于( )A.12 B ．－12C.32D ．－32[解析] ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－6π＋π6＝sin π6＝12，∴选A.[答案] A3．若sin α<0且tan α>0，则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] 由于sin α<0，则α的终边在第三或第四象限或y 轴非正半轴上，又tan α>0，则α的终边在第一或第三象限，所以α的终边在第三象限．[答案] C4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝________.[解析] ∵cos α＝－45<0，∴α角应为第二或第三象限角，又∵y ＝－6<0，∴α为第三象限角，∴m <0又∵－45＝m m 2＋(－6)2，∴m ＝－8.[答案] －85．求值：tan405°－sin450°＋cos750°. [解] tan405°－sin450°＋cos750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°) ＝tan45°－sin90°＋cos30° ＝1－1＋32＝32课后作业(三十九)复习巩固一、选择题1．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则tan α的值为( )A ．－43B ．－34C ．－45D ．－35[解析] 由正切函数的定义可得，tan α＝45－35＝－43.[答案] A2．若－π2<α<0，则点Q (cos α，sin α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 因为－π2<α<0，所以cos α>0，且sin α<0，所以点Q (cos α，sin α)在第四象限，选D. [答案] D3．若角α的终边过点(2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值等于( ) A.12 B ．－12C ．－32D ．－33 [解析] ∵x ＝2sin30°＝1，y ＝－2cos30°＝－3， ∴r ＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝y r ＝－32，选C. [答案] C4．若sin θ<cos θ，且sin θ·cos θ<0，则角θ的终边位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] 由条件可知cos θ>0，sin θ<0，则θ为第四象限角，故选D. [答案] D5．给出下列函数值：①sin(－1000°)；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4；③tan2，其中符号为负的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ①sin(－1000°)＝sin(－1080°＋80°) ＝sin80°>0②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4>0③∵π2<2<π，∴tan2<0，只有③符合，∴选B.[答案] B 二、填空题6．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－173π等于________． [解析] tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－173π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π3＝tan π3＝ 3. [答案]37．设a <0，角α的终边经过点P (－3a,4a )，则sin α＋2cos α的值等于________． [解析] ∵a <0，角α的终边经过点P (－3a,4a )，∴点P 与原点的距离r ＝－5a ，sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋2cos α＝25.[答案] 258．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________.[解析] ∵角α的终边在直线x ＋y ＝0上 ∴角α的终边落在二、四象限角平分线上， 且|sin α|＝|cos α|若α在第二象限，sin α>0，cos α<0 ∴sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin α－cos α＋sin αcos α＝0若α在第四象限，sin α<0，cos α>0 ∴sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α＋－sin αcos α＝0.[答案] 0 三、解答题 9．化简下列各式：(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4；(2)a 2sin810°－b 2cos900°＋2ab tan1125°. [解] (1)原式＝sin 32π＋cos π2＋cosπ＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.(2)原式＝a 2sin90°－b 2cos180°＋2ab tan(3×360°＋45°) ＝a 2＋b 2＋2ab tan45°＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.10．已知角θ的终边上一点P (－3，m )，且sin θ＝24m .求cos θ与tan θ. [解] 由题意得sin θ＝m m 2＋3＝24m ， 若m ＝0，则cos θ＝－1，tan θ＝0. 若m ≠0，则m ＝± 5. 当m ＝5时，cos θ＝－64，tan θ＝－153； 当m ＝－5时，cos θ＝－64，tan θ＝153. 综合运用11．sin2·cos3·tan5的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0D ．不能确定[解析] ∵2 rad 为第二象限角，∴sin2>0；3 rad 为第二象限角，∴cos3<0；5 rad 为第四象限角，∴tan5<0，∴sin2·cos3·tan5>0，选A. [答案] A12．若△ABC 的两内角A ，B 满足sin A ·cos B <0，则此三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．不能确定[解析] 由题意知0<A <π，0<B <π，∴sin A >0.又sin A cos B <0，∴cos B <0，∴π2<B <π，∴该三角形为钝角三角形．[答案] B13．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a 的取值范围是________．[解析] ∵点(3a －9，a ＋2)在角α的终边上，sin α>0，cos α≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>03a －9≤0解得－2<a ≤3.[答案] (－2,3]14．sin 13π6＋cos 13π3－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4的值为________．[解析] sin 13π6＋cos 13π3－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3－tan ⎝⎛⎭⎪⎫－6π＋π4 ＝sin π6＋cos π3－tan π4＝12＋12－1＝0. [答案] 015．已知1|sin α|＝－1sin α，且lgcos α有意义． (1)试判断角α是第几象限角；(2)若角α的终边上一点是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．[解] (1)因为1|sin α|＝－1sin α，得|sin α|＝－sin α，且sin α≠0，所以sin α<0. 由lgcos α有意义可知cos α>0，所以角α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45. 由正弦函数的定义可知，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.。