空间几何体的内切球和外接球问题

空间几何体的内切球与外接球问题

1.[2016·全国卷Ⅱ] 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )

A.12π B 、32

3π C.8π D.4π

[解析]A 因为正方体的体积为8,所以正方体的体对角线长为23,所以正方体的外接球的

半径为3,所以球的表面积为4π·(3)2

＝12π、

2.[2016·全国卷Ⅲ] 在封闭的直三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ,AB ＝6,BC ＝8,AA 1＝3,则V 的最大值就是( )

A.4π B 、9π2 C.6π D 、32π

3

[解析]B 当球与三侧面相切时,设球的半径为r 1,∵AB ⊥BC ,AB ＝6,BC ＝8,∴8－r 1＋6－r 1＝10,解得r 1＝2,不合题意;当球与直三棱柱的上、下底面相切时,设球的半径为r 2,则2r 2＝3,

即r 2＝32、∴球的最大半径为32,故V 的最大值为43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π、

3、[2016·郑州模拟] 在平行四边形ABCD 中,∠CBA＝120°,AD ＝4,对角线BD ＝23,将其沿

对角线BD 折起,使平面ABD⊥平面BCD,若四面体ABCD 的顶点在同一球面上,则该球的体积为________. 答案:

205

3

π;解析:因为∠CBA ＝120°,所以∠DAB ＝60°,在三角形ABD 中,由余弦定理得(23)2

＝42

＋AB 2

－2×4·AB ·cos 60°,解得AB ＝2,所以AB ⊥BD 、折起后平面ABD ⊥平面BCD ,即有AB ⊥平面BCD ,如图所示,可知A ,B ,C ,D 可瞧作一个长方体中的四个顶点,长方体的

体对角线AC 就就是四面体ABCD 外接球的直径,易知AC ＝22＋42

＝25,

所以球的体积为205

3

π、

4、[2016·山西右玉一中模拟] 球O 的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C 四点共面,△ABC 就是边长为2的正三角形,平面SAB⊥平面ABC,则棱锥S ­ABC 的体积的最大值为( ) A 、

3

3

B 、 3

C .2 3

D .4 选A;[解析] (1)由于平面SAB ⊥平面ABC ,所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上,根据球的对称性可知,当S 在“最高点”,即H 为AB 的中点时,SH 最大,此时棱锥S ­ABC 的体积最大.

因为△ABC 就是边长为2的正三角形,所以球的半径r ＝OC ＝23CH ＝23×32×2＝23

3

、

在Rt △SHO 中,OH ＝12OC ＝3

3,

所以SH ＝

⎝ ⎛⎭⎪⎫2332－⎝ ⎛⎭

⎪⎫332

＝1, 故所求体积的最大值为13×34×22

×1＝33

、

5、[2016·赣州模拟] 如图7­38­19所示,设A,B,C,D为球O上四点,AB,AC,AD两两垂直,且AB＝AC＝3,若AD＝R(R为球O的半径),则球O的表面积为( )

图7­38­19

A.π

B.2π

C.4π

D.8π

选D;解析:因为AB,AC,AD两两垂直,所以以AB,AC,AD为棱构建一个长方体,如图所示,则长方体的各顶点均在球面上,AB＝AC＝3,所以AE＝6,AD＝R,DE＝2R,则有R2＋6＝(2R)2,解得R＝2,所以球的表面积S＝4πR2＝8π、

6、[2016·安徽皖南八校三联] 如图所示,已知三棱锥A­BCD的四个顶点A,B,C,D都在球O 的表面上,AC⊥平面BCD,BC⊥CD,且AC＝3,BC＝2,CD＝5,则球O的表面积为( )

A.12π

B.7π

C.9π

D.8π

[解析]A 由AC⊥平面BCD,BC⊥CD知三棱锥A­BCD可以补成以AC,BC,CD为三条棱的长方体,设球O的半径为R,则有(2R)2＝AC2＋BC2＋CD2＝3＋4＋5＝12,所以S球＝4πR2＝12π、7.[2016·福建泉州质检] 已知A,B,C在球O的球面上,AB＝1,BC＝2,∠ABC＝60°,且点O 到平面ABC的距离为2,则球O的表面积为________.

答案:20π[解析] 在△ABC中用余弦定理求得AC＝3,据勾股定理得∠BAC为直角,故BC的中点O1即为△ABC所在小圆的圆心,则OO1⊥平面ABC,在直角三角形OO1B中可求得球的半径r＝5,则球O的表面积S＝4πr2＝20π、

8、[2016·河南中原名校一联] 如图K38­16所示,ABCD­A1B1C1D1就是边长为1的正方体,S­ABCD就是高为1的正四棱锥,若点S,A1,B1,C1,D1在同一个球面上,则该球的表面积为( )

图K38­16

A 、916π

B 、2516π

C 、4916π

D 、8116

π 选D;[解析] 如图所示作辅助线,易知球心O 在SG 1上,设OG 1＝x,则OB 1＝SO ＝2－x,同时

由正方体的性质知B 1G 1＝22,则在Rt △OB 1G 1中,由勾股定理得OB 21＝G 1B 21＋OG 21,即(2－x)2＝x

2

＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫222,解得x ＝78,所以球的半径R ＝2－78＝98,所以球的表面积S ＝4πR 2

＝8116π、

9.[2013·课标全国Ⅰ]如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( )

A 、500π3 cm 3

B 、866π3 cm 3

C 、1 372π3

cm 3

D 、2 048π3

cm 3

解析:设球半径为R ,由题可知R ,R －2,正方体棱长一半可构成直角三角形,即△OBA 为直角三角形,如图.

BC ＝2,BA ＝4,OB ＝R －2,OA ＝R ,

由R 2

＝(R －2)2

＋42

,得R ＝5,

所以球的体积为43π×53＝5003π(cm 3

),故选A 项.

答案:A