cplex求解运输问题实例
第四章 运输问题(Transportation Problem)
2020/6/14
29
第三步：按σij=cij-(ui+vj), i,j∈N计算所有空格的检验数。如 σ11=c11-(u1+v1)=3-(0+2)=1， σ12=c12-(u1+v2)=11-(0+9)=2 这些计算可直接在上表中进行。 为了方便，特设计计算表，如下表所示
销地
B1
B2
B3
加工厂
B4
1.闭回路法； 2.位势法
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1 闭回路法
在给出调运方案的计算表上，如上例表，从每一空格出发找一条闭回路。
它是以某空格为起点，用水平或垂直线向前划，当碰到一数字格时可以
转90°后，继续前进，直到回到起始空格为止。闭回路如图(a),(b),(c)
等所示。
销 地 B1 B2 B3 B4 产
沃格尔法的步骤是：
第一步：在原表中分别计算出各行和各列的最 小运费和次小运费的差额，并填入该表的最右列 和最下行，见表4-1
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表4-1
销 地 B1 B2 B3 B4 行差额 产地
A1
3 11 3 10
0
A2
19 2 8
1
A3
7 4 10 5
1
列差额
25 1 3
第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所 在行或列中的最小元素。在表4-1中B2列是最大 差额所在列。B2列中最小元素为4，可确定A3 的产品先供应B2的需要。得表4-2：
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运输问题数学模型的一般形式
若用xij表示从Ai到Bj的运量，那么在产销平衡的条件下，要求得总
运费最小的调运方案，其数学模型为
基于目标规划的神朔铁路运行方案运输能力分析
基于目标规划的神朔铁路运行方案运输能力分析摘要：铁路的运行方案在不同的天窗期所能满足的运量目标，除了考虑铁路线路的通过能力，还要考虑机车约束、不同的货物列车约束等因素。
为求得满足这些目标问题的运输方案满意解，分析现行运行方案能否满足运输目标，根据这些目标问题的优先级不同，运用目标规划模型求解分析。
关键词：目标规划：神朔铁路：运输能力：重载铁路1 引言2015年，神朔铁路达到年运量2.17亿吨，未来期望最高运能3亿吨。
需根据铁路线路的能力、机车以及车辆等约束计算铁路线路能满足的最大运量，并通过分析数据，解决提升重载铁路最大运量这一问题[1，2]。
2 模型的建立2.1基于目标规划的铁路运行方案运输能力模型首先建立四个优先等级。
1.神朔铁路线年运输货物量不得少于G亿吨，取历史最高量和规划最大量。
2.列车通过能力有效度系数不得少于x%。
3.车辆使用的台数日不得超过N1辆。
4.机车使用的台数日均不超过M台。
设某重载铁路上在非天窗期和h天窗日和h天窗日上每天分别开行万吨级货物列车，，列，五千吨级货物列车，，列。
据此可用目标规划建模如下：=（非天窗期）（h天窗日）（h天窗日）（非天窗期）（h天窗日）（h天窗日）2.2 变量说明本文使用的符号变量如表1所示表1 符号变量与含义2.3 约束条件说明（1）优先等级：运量目标重载铁路专线要求年货运量不少于G亿吨，则年货运量不应少于万吨。
通常重载专线的货源充足，货流波动极小，故K可以忽略。
考虑到天窗日不同货物列车能运输的货物量不同，则重载铁路一年的货物运输量为：万吨。
由此得：=（2）优先等级：能力约束追踪列车间隔时间I，决定于同列车间隔距离，列车运行速度及车站，机务供电等能力限制，根据万吨列车和5千吨列车运行实际，在货物列车通过能力有效度系数为d的条件下，非天窗日，x小时天窗日，y小时天窗日的一昼夜能利用的时间分别为，，。
由此得约束方程为；；。
（3）优先等级：万吨级货车车辆限制设1万吨列车的车底周转时为，日均运用货车辆数与列车周转时间有关，装卸作业时间与列车中编挂的车辆数呈正相关关系。
运输问题的软件求解
B3
2
10
B4
10
产 量 7
A1 A2 A3
销 量
1
7
9
4
8
5
4
9 6
3
6
5
一、运输问题与数学模型
设 xij 表示产地 Ai 运往销地 Bj (i=1,2,…,m;
j=1,2,…,n) 的运量. 1、产销平衡问题
min z cij xij
i 1 j 1
ij
即
产地
a b
运行得结果：
x11 1, x13 1, x22 1, x23 1, x33 1; z 40
表1
航 线
1 2 3 4
表2
起点 城市
E B A D
终点 城市
D C F B
每天航班 数
3 2 1 1
到 从
A 0 1 2
B 1 0 3
C 2 3 0
D 14 13 15
E 7 8 5
B1
B2
B3
B4
产 量
3
1 7
11
9 4
3
2 10108源自574 93
6
5
6
三、应用案例分析
例 1 (生产调度问题)某制冰厂每年1~ 4 季度必须供 应冰块 15、20、25、10（千吨）.已知该厂各季度冰 块的生产能力及冰块的单位成本如表. 如果生产出来 的冰块不在当季度使用，每千吨冰块存储一个季度 费用为4（千元）.又设该制冰厂每年第3季度末对贮 冰库进行清库维修.问应如何安排冰块的生产，可使 该厂全年生产、 季 度 生产能力（千吨） 单位成本（千元） 1 25 5 存储费用最少？ 2 18 7 试建立该问题 3 16 8 的运输模型。 4 15 5
(典型例题)《运筹学》运输问题
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
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--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
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--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
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--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
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产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
cplex教程六
第六章 IBM ILOG CPLEX在动车组运用优化中的应用
（四）运行求解：
运行配置文件后，求解结果如下： // solution (optimal) with objective 2 AX = [[1 0 0] [0 1 0] [0 0 1]]; BX = [[1 0 0] [0 1 0] [0 0 1]]; 这说明该运行图最少需要模型求解的2台加上牵引跨0点运行 线6的1台总共3台机车进行牵引。
这是一个多目标规划模型，第一个目标是使用的机车数最小； 第二个目标是机车在站的停留时间最短；第三个目标是机车 的运用最均衡。第一个目标的优先级别高于第二个高于第三 个，在求解中可先利用CPLEX对第一个目标进行求解，然后
第一个目标作为约束，对第二个目标进行求解，然后将第二
个目标作为约束，对第三个目标求解。得出的结果，即为机 车周转图的优化结果。
min 2 x12 d12 x14 d14 x16 d16 90 x32d32 x34d 34 x36d 36 90 x52d 52 x54d 54 x56d 56 90
2 2 2
x21d 21 x41d 41 x61d 61 180 x23d 23 x43d 43 x63d 63 180 x25d 25 x45d 45 x65d 65 180
第六章 IBM ILOG CPLEX在动车组运用优化中的应用 有时上述的机车周转问题根据区段和线路实际情况的不同， 需要考虑如下的因素： 1. 运行图中上下行列车数是否相等。 2. 牵引区段是否固定。 3.机车的牵引定数是否都相同。 4.是否考虑单机走行。 这些因素要根据实际情况添加相应的约束，相应的模型的复 杂程度会有所增加。
运输问题(第三章线性规划5)
i行
m+j行
系数矩阵A的秩为m+n-1 ， 即 R(A)=m+n-1
x1n x2 n xmn x11 x12 x1n 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 11 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0
销地 加工厂 A1 A2 A3 销量
B1 3
B2 11 4 9
B3 3 2 10 5
B4
产量 10 8 7 4 9
3
3
1 7 3
1
6
6
4
3
6
5
实例
销地 加工厂 A1 A2 A3 销 量
用闭回路法求判别数 产 量 7 4 9 20
B1
B2
B3
B4
1
+1
3
1
11
9
4
-1
3
3 10
8
3 -1
7
6
6
4
2 1 +1 10
运输问题
一、运输问题的提出 二、 产销平衡运输问题的数学模型 三、产销平衡运输问题的求解方法 四、产销不平衡的运输问题
一、运输问题的提出
例：有一家罐头厂，下设甲、乙、丙三个分厂，向A、B、C三 个地区供应其产品，其数据如下表所示。问如何调运才能使 总运费最少？ 销地 产地 甲 A 5 6 3 40 B 1 4 2 20 C 7 6 5 50 产量 （箱） 10 80 20
m行
cplex中文教程 第四章
第四章IBM ILOG CPLEX在高速铁路列车运行图编制中的应用 数据文件：
例1：假定2列中速列车，1列高速列车，5个车站。
数据文件编码为：
nctrain=2; nhtrain=1; nstation=5; a=[4,4,4,4,4]; d=[3,3,3,3,3]; r=[[24,8,20,38],[24,8,20,38],[16,6,13,25]]; b=[[1,1,1,1,1],[1,1,1,1,1],[1,1,1,1,1]]; c=[[2,2,2,2,2],[2,2,2,2,2],[2,2,2,2,2]]; w=[[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0]]; M=100000000; e=[[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0]];
停站时间约束
yik xi变
k 2Sik ik qij (i 1, 2, j
, N ; k 2,3,
, m 1)
, N ; k 2,3,
, m 1)
第四章IBM ILOG CPLEX在高速铁路列车运行图编制中的应用
第四章IBM ILOG CPLEX在高速铁路列车运行图编制中的应用 例2求解结果：
// solution (optimal) with objective 1606 x = [[0 17 39 59 101 129 152] y = [[0 17 40 59 102 129 152] [0 21 43 63 106 135 159] [3 22 43 65 106 136 159] [0 26 54 79 131 164 191] [6 26 55 81 132 164 191] [0 59 81 101 143 171 194] [42 59 82 101 144 171 194] [0 63 85 105 147 174 197] [45 64 85 107 147 174 197] [0 66 88 108 151 180 204] [48 67 88 110 151 181 204] [0 73 102 127 180 215 243] [51 74 103 129 181 216 243] [0 110 131 151 194 223 246] [94 110 131 153 194 223 246] [0 114 136 156 198 226 249] [97 114 137 156 199 226 249] [0 117 140 162 206 234 257]] [100 117 141 164 207 234 257]]
CPLE在运输问题中的应用
产销不平衡例子
例2：某公司从两个产地A1、A2将物品运往 三个销售地B1、B2、B3，各产地的产量、 各销地的销量和各产地运往各销地每件物 品的运费如下表所示，问：应如何调运可 使总运输费用最小？
B1
B2
B3
产量
A1
6
4
6
200
A2
6
5
5
300
销量
250
200
200
解：
先增加一个虚拟产地A3，运输费用为0，因 此变成了一个标准的运输问题，其新表为
三、运输问题在CPLEX中建模与求 解
因此如果只建立一个mod文件的话，假如命名的为 “trans1.mod”，例1的OPL建模语言可以是：
{string} SCities ={"A1", "A2"}; {string} DCities ={"B1", " B2", " B3"};
float Supply[SCities] = [200, 300]; float Demand[DCities] = [150, 150, 200]; assert sum(o in SCities) Supply[o] == sum(d in DCities) Demand[d]; float Cost[SCities][DCities] = [ [6, 4, 6], [6, 5, 5] ];
问：如何安排运输使得总运费最小？
bands
FRA
DET
LAN
WIN
STL
FRE
LAF
供应量
GARY
30
10
8
10
11
运筹学 运输问题例题数学建模
运筹学运输问题例题数学建模运筹学是一门研究如何在有限的资源和多种约束条件下，寻求最优或近似最优解的科学。
运输问题是运筹学中的一个重要分支，它主要研究如何把某种商品从若干个产地运至若干个销地，使总的运费或总的运输时间最小。
本文将介绍运输问题的数学建模方法，以及用表上作业法求解运输问题的步骤和技巧。
同时，本文还将给出几个典型的运输问题的例题，帮助读者理解和掌握运输问题的求解过程。
运输问题的数学建模运输问题可以用以下的数学模型来描述：设有m 个产地（或供应地），分别记为A 1,A 2,…,A m ，每个产地i 的产量（或供应量）为a i ；有n 个销地（或需求地），分别记为B 1,B 2,…,B n ，每个销地j 的需求量为b j ；从产地i 到销地j 的单位运费（或单位运输时间）为c ij ；用x ij 表示从产地i 到销地j 的运量，则运输问题可以归结为以下的线性规划问题：其中，目标函数表示总的运费或总的运输时间，约束条件表示每个产地的供应量必须等于其产量，每个销地的需求量必须等于其销量，以及每条运输路线的运量不能为负数。
在实际问题中，可能出现以下几种情况：产销平衡：即∑m i =1a i =∑n j =1b j ，也就是说总的供应量等于总的需求量。
这种情况下，上述数学模型可以直接应用。
产大于销：即∑m i =1a i >∑n j =1b j ，也就是说总的供应量大于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的销地，其需求量等于供需差额，且其与各个产地的单位运费为零。
这样就可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
产小于销：即∑m i =1a i <∑n j =1b j ，也就是说总的供应量小于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的产地，其产量等于供需差额，且其与各个销地的单位运费为零。
这样也可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
弹性需求：即某些销地对商品的需求量不是固定不变的，而是随着商品价格或其他因素而变化。
基于CPLEX求解引擎的动车组交路计划优化模型
《自动化技术与应用》2019年第38卷第8期计算机应用Computer ApplicationsTechniques of Automation &Applications基于CPLEX 求解引擎的动车组交路计划优化模型王涓（烟台汽车工程职业学院，山东烟台265500）摘要:利用时间轴线网络的方法构建得到了铁路的动车组交路方案优化模型，以CPLEX 求解引擎的迭代求解，并以5条铁路为例对模型进行对比。
研究结果表明：在相同的算例数据条件下，采用时间轴线模型进行求解时花费的时间更少，时间轴线网模型具备更高的动车组交路求解效率。
当运行线的数量上升后，接续网包含的弧数量也随之表现为指数形式的快速增长，但时间轴线网的弧数量则是以线性趋势增加。
当运行线的规模比较大时，采用时间轴线网络模型并不会引起模型规模的迅速增大，从而获得更高的计算效率。
关键词:动车组交路计划；铁路；时间轴线网；求解效率中图分类号：U292.4文献标志码:A文章编号:1003-7241(2019)08-0041-03Optimal Model of Intersections Planning Emu Based on the CPLEX Solution EngineWANG Juan(Yantai Automobile Engineering Professional College,Yantai 265500China )Abstract:The optimal model of railway emu intersection scheme is built by using the method of time axis network.The iterative so-lution of CPLEX solving engine is taken and the model is compared with 5railways as an example.The results show that the time axis model takes less time to solve the problem under the same case data,and the time axis network model has higher efficiency to solve the problem.When the number of operation lines increases,the number of arcs contained in the continuous network also increases rapidly in exponential form,but the number of arcs of the time axis network increases in a linear trend.When the operation line scale is relatively large,the adoption of time axis network model causes the rapid increase of model scale,thus obtains higher computing efficiency.Key words:rolling stock circulation;intercity railway;time-line network;solution efficiency收稿日期:2018-07-301引言近几年以来，我国铁路的建设工作正处于快速发展阶段，到目前为止已经建成了京津、沪杭、沪宁等20多条铁路，并且我国还在十三五规划中进一步提出了《中国铁路的未来规划》，从总体上看我国的铁路网还将引来快速扩大的发展前景。
用Excel求解运筹学问题
Units Produced
Unit Prof it f or Doors $100 $200 $300 $400 $500 $600 $700 $800 $900 $1,000
Optimal Units Produced Doors Windows 2 6
Total Prof it $3,600
Select these cells (B18:E28), before choosing the Solver Table.
门和窗的利润同时变化时,最优解的变化
(2,6)
$100
门 的 单 位 利 润 变 化
$200 $300 $400 $500 $600 $700 $800 $900 $1,000 $1,100 $1,200 $1,300 $1,400 $1,500 $1,600
$100 (2,6) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3)
第二步：目标单元格，用函数公式表示 并用较醒目的颜色表示。
Unit Profit Doors $300 Windows $500 Hours Available 4 12 18 Total Profit $800
G 11 12
Plant 1 Plant 2 Plant 3
Hours Used Per Unit Produced 1 0 0 2 3 2 Doors 1 Windows 1
窗的单位 利润变化 $200 $300 $400 (2,6) (2,6) (2,6) (2,6) (2,6) (2,6) (4,3) (2,6) (2,6) (4,3) (2,6) (2,6) (4,3) (4,3) (2,6) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3)
第三章：CPLEX在运输问题中的应用
T3 2 禁止 3 2 1 0 4 1 8 2 4
T4 4 3 2 1 2 4 0 1 禁止 2 6
B1 4 9 3 2 4 1 1 0 3 4 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B2 8 5 11 8 5 8 禁止 3 0 1 2
B3 8 6 4 4 2 2 2 4 1 0 3
B4 4 3 2 6 7 4 6 1 2 3 0
B1 A1 A2 A3 A4 销量 5 3 4 20-60 B2 9 4 6 8 50-70 B3 2 7 4 10 35 B4 3 8 2 11 45 产量 60 40 30 50
总产量为180，最低需求量为20+50+35+45=150， 最高需求量为210. 设一个虚拟的厂A5，其产量为210-180=30，并且 令A5只能供应B1或B2. 将B1和B2进行拆分，得到的产销平衡表如下：
例4： 光明公司是一家专门提供盒装早餐的企业， 现在该公司的经营方式是通过全市不同未 知的三个生产车间（设为Ai，i=1,2,3）为4 个配送站（设为Bj，j=1,2,3,4）提供质量一 致的早餐。光明公司现在拥有自己的运输 车队，并在每天4点前必须完成所有的配送 业务。公司还有4个中转站（Tk， k=1,2,3,4），其运价表如下表：
四、非标准运输问题的建模与求解
运输问题的一般模型会发生一些如下变化： 1.当某些运输线路的运输能力有一定限制时， 这时要在线性规划的模型的约束条件上要 加上运输能力限制的约束条件。例如 A2 运 到 B3的物品的数量受到运输能力的限制， 最多运送180单位，这时只要在原来的模型 上加上约束条件x23≤180 即可。也有这种情 况：有些线路规定不能运输。
4PL路径优化问题01规划模型与求解
2013年3月控制工程Mar．20 1 3第20卷第2期Control Engineering of China V01．20，No．2文章编号：1671-7848(2013)02-0239-044PL路径优化问题0-1规划模型与求解薄桂华，黄敏，王洪峰(东北大学信息科学与工程学院；流程工业综合自动化国家重点实验室，辽宁沈阳110819)摘要：研究带有时间窗的第四方物流(f o ur th·p ar t y log is ti cs，4PL)路径优化问题，在满足罔客户对配送时间要求的同时实现物流运输成本最小，以提供最优的配送方案。
根据问题本身的特点，建立了带有时间窗的4P L路径优化问题的0—1整数规划模型，采用C P L EX软件分别求解了7节点、15节点和30节点的算例。
将算例结果与基于路进行建模的和声搜索算法和枚举算法进行了对比，结果表明C P L E X可以为带有时间窗的4P L路径优化问题提供最优的解决方案，验证了模型的有效性．关键词：第四方物流；路径优化；0—1规划；C P LE X中图分类号：TP27文献标识码：A0-1Programming Mo del and Solution t o Fourth—party LogisticsRou ti ng Problem with TimeWindowsBO Gui-hua，HUANG施n，WANG舶增毋昭(College of I nf o r m a ti o n S ci en ce a nd Engin eer in g，Nor th eas ter n Univers ity；St a t e K e y Laboratory o f S yn t h et i c al A ut om at io n for P ro c e$s Indu st rie s(No rth ea st er n University)，Shenyan8,110819，China)Abstract：Fourt h-party logistics mu tin g problem w i th ti m e windows w a s st ud i e d，t o m inimize th e tra ns po rt ati on cost andsatisfy c u s t o m-e r s’t i m e requ irement．0-1p 州anins mathematical mod el Was set up，b as ed o n the cha rac teri sti cs of fourth—par ty logistics mu tingprob lem with ti me windows．CPLEX w a s adopted to solv e 7 nod e，15node and30node examples，respectively．Results w e r e eom-pared with harmo ny se a rc h and emu mer ati on a l go ri th m．C PL EX C a l l pro v id e th e o pt i m al so lut ion to ol／F problem a nd0-1 pro gr amm in g mode l iS ef f ec ti v e．Key wo r d s：f o u rt h·p a r t y lo g i st i cs；R o u ti n g pro blem；0-1p r og r a m m in g；C P L E X性，给模型的求解带来一定的困难。
考虑货运方式和客运硬时间窗的地铁客货共车运输优化
第22卷第1期2024年03月交通运输工程与信息学报Journal of Transportation Engineering and InformationVol.22No.1Mar.2024文章编号：1672-4747（2024）01-0150-10考虑货运方式和客运硬时间窗的地铁客货共车运输优化邸振*，曹楚悦，肖妍星（华东交通大学，交通运输工程学院，南昌330013）摘要：鉴于地铁网络在解决大城市居民出行问题上的成功实践，能否利用非高峰时段地铁线路的冗余运力缓解城市交通拥堵和货运压力，成为近年来城市货运领域的一个热点话题。
本文研究了一个基于“客货共车”模式的地铁客货协同运输优化问题，特别考虑了货运需求的运输方式约束（即同一货物运输需求将完全通过地铁完成，或完全不依赖地铁）以及客货需求的时间窗约束，其目标是在必须满足乘客需求的情况下，充分利用地铁运力服务货运需求，同时减少货运对乘客的影响以及混合编组的工作量。
货运需求的运输方式约束使得该问题被构建成一个非线性整数规划模型。
通过线性化技术，将非线性整数规划模型转化为等价的线性整数规划模型，并利用商业求解器CPLEX进行求解。
以北京地铁八通线为例的实验结果表明，所提出的方法能够有效解决所关注的问题，同时所得到的协同优化策略能够提高地铁线路的“客货共车”运输效率。
为了进一步说明所考虑的问题特点，相关计算结果与已有研究进行了对比，这为地铁货运管理和决策提供了更多参考。
关键词：地铁货运；客货协同运输；车厢分配；货运方式；时间窗中图分类号：U121文献标志码：A DOI：10.19961/ki.1672-4747.2023.09.024Train-shared metro passenger and freight co-transportation optimization considering freight modes and passenger hard time windowsDI Zhen*,CAO Chuyue,XIAO Yanxing（School of Transportation Engineering,East China Jiaotong University,Nanchang330013,China）Abstract：As a result of the successful practice of metro networks solving the travel problem of resi-dents in large cities,the use of redundant capacity of metro lines in off-peak hours to alleviate urban traffic congestion and freight pressure has become a hot topic in the urban freight field in recent years.This paper explores an optimization problem in metro passenger and freight co-transportation with the “train-shared”mode.It specifically considers transportation mode constraints for freight demands(i.e.,a freight demand either fully relies on the metro or not at all)and time window constraints for pas-senger and freight demands.The objective is to make optimal use of metro capacity to serve freight de-mands under the premise of meeting all passenger demands,and meanwhile to minimize the impact of freight transportation on passengers and the workload of mixed train composition.The transportation mode constraints for freight demands result in the problem being formulated as a nonlinear integer pro-gramming model.By employing linearization techniques,the nonlinear integer programming model is transformed into an equivalent linear integer programming model,which is then solved using the com-收稿日期：2023-09-26录用日期：2023-10-25网络首发：2023-10-27审稿日期：2023-09-27~2023-10-04；2023-10-19~2023-10-25基金项目：国家自然科学基金项目（72161010）；江西省教育厅科学技术研究资助项目（GJJ210633）作者简介：邸振（1979—），男，副教授，博士，研究方向为交通运输系统优化和物流系统优化，E-mail：***************.cn引文格式：邸振，曹楚悦，肖妍星.考虑货运方式和客运硬时间窗的地铁客货共车运输优化[J].交通运输工程与信息学报，2024，22(1)：150-159.DI Zhen,CAO Chuyue,XIAO Yanxing.Train-shared metro passenger and freight co-transportation optimization considering freight modes and passenger hard time windows[J].Journal of Transportation Engineering and Information，2024，22(1)：150-159.mercial solver CPLEX.Experimental results using the Batong line of Beijing subway as an example demonstrate that the proposed method can effectively address the problem of interest,and the obtained optimization strategy can improve the efficiency of the“train-shared”mode for a metro line.To further clarify the characteristics of the problem,the relevant results are compared with an existing study, which provides more references for metro freight management and decision.Key words:metro freight;passenger and freight co-transportation;carriage arrangement;transporta-tion mode;time window0引言面积扩张和人口增加使得大城市货运问题日益凸显，在一定的经济社会条件下，如何有效解决该问题是城市规划、城市交通以及城市环境等领域研究的热点问题之一。
Excel2003求解运筹学模型-4(运输问题)
Excel2003求解运筹学模型-4(运输问题)Excel求解运输问题假设有某种物资需要从A、B、C三个产地运到甲、乙、丙、丁四个销地。
三个产地的供应量分别为1000t、800t、500t，四个销地的需要量分别为500t、700t、800t、300t。
各产地和销地之间每吨产品的运费如下表所示。
如何组织运输才能使运费最省？表4 运费表销地。
甲。
乙。
丙。
丁产地A。
15.7.12.20产地B。
8.3.3.14产地C。
20.30.20.25解决方案：1.在Excel表格中建立运费表。
2.建立变量表，插入求和函数，求得各地产量和以及销量和。
3.确定目标函数：运费最省。
4.规划求解，设置目标单元格、可变单元格，添加约束：各地产量和等于总产量，各地销量和等于总销量，变量非负。
5.得到最优解。
6.进行敏感性分析，得到极限值报告。
产销不平衡问题假设有三个电视机厂供应四个地区某种型号电视机，各厂家的年产量、各地区的年销量及各厂到各地区的单位运价如下。
求总运费最省的电视机调拨方案。
A1.A2.A3B1.5.3.8B2.4.4.11B3.11.不能到达。
15B4.7.8.9产量：8 14 12最低需求：5最高需求：8解决方案：1.复制表格到Excel，将不能到达的单元格设置一个很大的数字。
2.复制表格到下面单元格，将中间的数据清空，设置成可变单元格。
3.在相应的单元格插入求和函数（SUM），对可变单元格进行行和列求和。
4.输入“目标函数”，将后面空格作为目标单元格，输入“sumproduct”函数，对相应的行和列求和。
5.规划求解，在添加约束中销量等于，产量小于等于，所以变量非负，线性，求解得到最优解。
产销平衡问题假设有某种物资需要从A、B、C三个产地运到甲、乙、两、丁四个销地。
三个产地的供应量分别为1000t、800t、500t，四个销地的需要量分别为500t、700t、800t、300t。
各产地和销地之间每吨产品的运费如下表所示。
Excel求解运输问题的方法
例1 供需平衡的运输
产 地 A1 A2 销量
销 地
B1
6 6 150
B2
4 5 150
B3
6 5 200
产 量 200 300
产 地 A1 A2 销量
销 地 B1 X11 X21 150 B2 X12 X22 150 B3 X13 X23 200
产 量 200 300
目标函数：Min z= 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t.
运输问题模型表格形式
销地
产地
B1 c11
B2 c12
… …
Bn c1n
产量
A1
x11 x21
x12 x22
x1n
…
a1
A2
┇
c21
c22
x2n
┇ …
c2n
a2
┇
┇
┇
┇
Am
销量
xm1
cm1
xm2
cm2
xmn
…
cmn
am
b1
b2
bn
产销平衡运输问题的数学模型 m n
min
z cij xij
加约束 xij <= Lij ，含有这种约束条件的运输问题被称
为容量运输问题。
如果从起点i到终点j的路线至少需要运输Mij ，可以
增加约束xij >= Mij 。 如果起点i不能向终点j送货，则增加约束 xij = 0 。
例6
如果起点i不能向终点j送货，则增加约束
Xij
= 0
生产能力、需求量和单位运输费用等数据如下表所示。注意 工厂3不能向需求4供货。求解最佳配送方案。