数字信号处理实验答案湖南大学经典

实验二DFT 和FFT

一、实验目的

1）认真复习周期序列DFS、有限长序列DFT 的概念、旋转因子的定义、以及DFS 和DFT的性质等有关内容；复习基2-FFT 的基本算法，混合基-FFT 的基本算法、Chirp-Z 变换的算

法等快速傅立叶变换的方法。

2）掌握有限长序列的循环移位、循环卷积的方法，对序列共轭对称性的含义和相关内容加深理解和掌握，掌握利用DFT 分析序列的频谱特性的基本方法。3）掌握FFT 算法的基本原理和方法、Chirp-Z 变换的基本原理和方法，掌握利用FFT 分析序列的频谱特性的方法。

4）熟悉利用MATLAB 进行序列的DFT、FFT 的分析方法。

二、实验内容

1）设周期序列( ) { xn =……,0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3,……}，求该序列的离散傅立叶级数X (k) = DFS[x(n)]，并画出DFS 的幅度特性。

主程序：

clc;

N=4;

n=0:N-1;

k=0:N-1;

xn=[0 1 2 3];

Xk=xn*exp(-j*2*pi/N).^(n'*k);

stem(k, abs(Xk));

xlabel('k');

gtext('|X(k)|');

分析：由定义可知，对于周期序列，根据离散傅里叶级数公式即可求出，此实验中显示了一个周期的傅里叶级数。

2）设周期方波序列为

其中N 为基波周期，L/N 是占空比。

(1) 用L 和N求| X(k) |的表达式；

(2) 当L 和N 分别为：L=5，N=20；L=5，N=40；L=5，N=60 以及L=7，N=60

时画出DFS 的幅度谱；

(3) 对以上结果进行讨论，总结其特点和规律。

主程序：

L=5，N=20时

clc;

N=20;

xn=[ones(1,5),zeros(1,15)];

xn=[xn,xn,xn];

n=0:3*N-1;

k=0:3*N-1;

Xk=xn*exp(-j*2*pi/N).^(n'*k)

stem(k,abs(Xk));

xlabel('k');

title('L=5,N=20时DFS幅度谱');

结果：（修改代码中的L和N（x(n)），可以得到其他占空比时DFS的幅度谱）

分析：由四组图对比可知,N越大，其频域抽样间隔越小，N为频域的重复周期。占空比L/N主要决定第一零点带宽（在一个周期内）。

3）设有限长序列x(n) = {0,1,2,3}，计算DTFT[x(n)]=X(ejω)，并画出它的幅度谱；然后利用kω=2*pi*k/4,k=0,1,2,3对X(ejω)进行采样，并证明它等于实验a 中的X(k)。主程序：

clc;

N=4;

xn=[0 1 2 3];

n=0:N-1;

k=0:N-1;

w=2*pi*(0:2047)/2048;

Xw=exp(-j*w)+2*exp(-j*2*w)+3*exp(-j*3*w);

subplot(211);

plot(w/pi,abs(Xw));

title('X(ejw)幅度谱');

Xk=fft(xn,N);

subplot(212);

stem(k,abs(Xk),'fill');

hold on;

plot(N/2*w/pi,abs(Xw));

结果：

分析：对比第一题的结果可以看出，对离散傅里叶变换的频谱进行抽样，在满足采样定理的条件下，可以无失真的恢复原来的波形。

4）序列x(n)=R4(n)，计算DTFT[x(n)]=X(ejω)，并绘制其幅度和相位谱。

(1) 计算x(n)的4 点DFT，并绘制DFT 的幅度与相位谱；

(2) 将x(n)补零形成8 点序列，计算8 点DFT，并绘制幅度与相位谱，求频率分辨率；

(3) 将x(n)补零形成16 点序列，计算16 点DFT，并绘制幅度与相位谱，求频率分辨率；

主程序：

N1=8; N2=16;

k1=0:N1-1;

k2=0:N2-1;

w=2*pi*(0:2047)/2048;

Xw=(1-exp(-j*4*w))./(1-exp(-j*w));

%对x(n)的频谱函数采样2048个点可以看做连续的频谱xn=[(n>=0)&(n<4)];

X1k=fft(xn,N1);

X2k=fft(xn,N2);

subplot(321);

plot(w/pi,abs(Xw));

title('连续函数幅度谱');

xlabel('w/pi');

subplot(322);

plot(w/pi,angle(Xw));

title('连续函数相位谱');

axis([0,2,-pi,pi]);

line([0,2],[0,0]);

xlabel('w/pi');

subplot(323);

stem(k1,abs(X1k),'.');

title('X1(k)幅度谱');

plot(N1/2*w/pi,abs(Xw));%图形上叠加连续谱的幅度曲线subplot(324)

stem(k1,angle(X1k),'.');

axis([0,N1,-pi,pi]);

line([0,N1],[0,0]);

title('X1(k)相位谱');

hold on;

plot(N1/2*w/pi,angle(Xw));%图形上叠加连续谱的相位曲线subplot(325);

stem(k2,abs(X2k),'.');

title('X2(k)幅度谱');

hold on;

plot(N2/2*w/pi,abs(Xw));

subplot(326)

stem(k2,angle(X2k),'.');

axis([0,N2,-pi,pi]);

line([0,N2],[0,0]);

title('X2(k)相位谱');

hold on;

plot(N2/2*w/pi,angle(Xw));