中考真题一元二次方程专题(详细答案)
中考数学一元二次方程试题及答案
中考数学一元二次方程试题选择题- 一元二次方程X2-2X-1=0的根的情形为( )A・有两个相等的实数根B .有两个不相等的实数根C・只有一个实数根D・没有实数根2、若关于z的一元二次方程x2 -2x + /« = 0没有实数根，则实数m的取值范围是( )A. m<lB. ni>-lC. in>l D・ m<-l3、一元二次方程Q+x+2=0的根的情形是()A.有两个不相等的正根B.有两个不相等的负根C.没有实数根D.有两个相等的实数根4、用配方式解方程X2-4X +2=0,下列配方正确的是( )A. (X-2)2=2B. (X +2)2=2C. (x_2f=_2D. (X -2)2=6五.已知函数y = ax2+hx + c的图象如图(7)所示，那么关于兀的方程cix2+bx + c + 2 = 0的根的情形是()A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根识、(2007广州)关于x的方程x2 + px + q = 0的两根同为负数，贝IJ ()A. 〃〉0 且q〉0B. 〃>0 且(/ < 0C. /? < 0 且q> 0D. 且q〈07、若关于x的一元二次方程x2+lcx + 4k2-3 = 0的两个实数根别离是看宀•且知足召+吃=召•兀•则R的值为( )(A)33一1 或二(B) -1 (C) - (D)不存在44八、下列关于X的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是()(A) 2+4=0 (B) 4x2-4x+l=0 (C) x2+x+3=0 (D) x2+2x-l=0九、某商品原价2(H)元，持续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是()A： 200(l+a%)2=148 B： 200(l-a%)2=148 C： 200(l-2a%)=148 D： 200(l-a2%)=14810、(2007湖北荆门)下列方程中有实数根的是( )(A) x2+2x+3=0 (B) x2+l=0 (C) x2+3x+l=0 (D) —^― = —!—X-l X-l1 一、已知关于X的一元二次方程-m = 2x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )A. m> — \B. m<—2C. m NOD. m«)1二.(2007湖北武汉)若是2是一元二次方程F=c的一个根，那么常数c是()•仏2 B、-2 C、4 D、-4二、填空題一、已知一元二次方程2X2-3X-1 = 0的两根为x2,则"+£=____________________________二、方程(兀一1)2 =4的解为_______________ o3.已知禺是方程X2+6X +3= 0的两实数根，则匕■ +匕的值为4关于X的一元二次方程x2+bx+c=o的两个实数根别离为1和2,则b= ____________ : c= ______ •五、方程X2-2X = 0的解是 __________ .六、已知方程x2-3x+k= 0有两个相等的实数根，则£=________________7、方程X2+2X=0的解为_____八、已知方程X? + (" _ 3“ + 3 = 0在实数范围内恒有解，而且恰有一个解大于1小于2,则“的取值范围是_______________________x-3 5九. 已知X是一元二次方程X2+3X-I=O的实数根，那么代数式—^―-(X + 2-—-)的值为____________________3x 一6尤兀一210、已知x = -l是关于尤的方程2x2+ax-a2= 0的一个根，则^= ____________________ .1 一、(2007北京)若关于x的一元二次方程x2+2x-k= 0没有实数根，则&的取值范围是 ____________________ .13、已知2->/5是一元二次方程/—4x+c = 0的一个根，则方程的另一个根是 ________________ •三、解答題一.解方程：X2+4X- 1 = 0. 二.解方程：“+3=3匕+1)・2 >23、已知X=1是一元二次方程(IX2 +/7X-40 = 0的一个解，且a^b9求-------------- 的值.2a - 2b4.已知关于x的一元二次方程x2+4x+m—l=0.(打请你为m选取一个适合的整数，使取得的方程有两个不相等的实数根；⑵设5卩是(1冲你所取得的方程的两个实数根，求a2+p2+ap的值。
全国中考数学一元二次方程的综合中考真题汇总及详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值．【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4【解析】分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；（2）根据判别式即可求出a 的范围；（3）根据根与系数的关系即可求出答案．详解：（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54a ≤：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，．∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把22112211x x a x x a -=--=-， 代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．2．解方程：2332302121x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭． 【答案】x=15或x=1 【解析】【分析】 设321x y x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y ，再求x ． 【详解】 解：设321x y x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0． 解这个方程，得y 1=-1,y 2=3,∴3121x x =--或3321x x =-． 解得x=15或x=1． 经检验：x=15或x=1都是原方程的解． ∴原方程的解是x=15或x=1． 【点睛】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．3．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m 时，是正比例函数，当x ＞m 时是一次函数．【小题1】只需把x 代入函数表达式，计算出y 的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．4．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.5．关于x 的方程()2204k kx k x +++=有两个不相等的实数根．()1求实数k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1k >-且0k ≠；（2）不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．【解析】【分析】()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式0>，由此可以得到关于k 的不等式，解不等式即可求出k 的取值范围. ()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在()1中的取值范围内.【详解】解：()1依题意得2(2)404k k k =+-⋅>， 1k ∴>-，又0k ≠，k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠；()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，理由是：设方程()2204k kx k x +++=的两根分别为1x ，2x ， 由根与系数的关系有：1212214k x x k x x +⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，212k k +∴-=， 43k ∴=-， 由()1知，1k >-，且0k ≠，43k ∴=-不符合题意， 因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。
(完整版)九年级数学中考复习专题一元二次方程练习题及答案
中考数学复习专题一元二次方程一、选择题:1、若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0的常数项为0，则m的值等于（ ）A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．02、方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为（ ）A．（x+3）2=14 B．（x﹣3）2=14 C．（x+3）2=4 D．（x﹣3）2=43、关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0，常数项为0，则m值等于（ ）A．1 B．2 C．1或2 D．04、某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196C．50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=1965、若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）A．k＜1且k≠0 B．k≠0 C．k＜1 D．k＞16、关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是( )A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1且m≠0 D．m≥﹣1且m≠07、已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为（ ）A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．108、若m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则m+n﹣mn的值是（ ）A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣39、有一人患了流感，经过两轮穿然后共有49人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x值为（ ）A．5 B．6 C．7 D．810、毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为（ ）A．5人 B．6人 C．7人 D．8人11、某市2013年生产总值（GDP）比2012年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2013年增长7%．若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（ ）A.12%+7%=x%B.（1+12%）（1+7%）=2（1+x%）C.12%+7%=2•x%D.（1+12%）（1+7%）=（1+x%）212、设x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，则的值为（ ）A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1二、填空题:13、方程2x2﹣1=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．14、若关于x的方程(a＋3)x|a|－1－3x＋2＝0是一元二次方程，则a的值为________________．15、把方程（2x+1）（x—2）=5－3x整理成一般形式后，得，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是。
2024年全国各省市数学中考真题汇编 专题6一元二次方程及其应用(11题)含详解
专题06一元二次方程及其应用（11题）一、单选题1．（2024·四川自贡·中考真题）关于x 的一元二次方程220x kx +-=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2．（2024·山东泰安·中考真题）关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．98k <B ．98k ≤C ．98k ≥D ．98k <-3．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，则c =（）A ．9-B ．4C ．1-D ．14．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根，则这个三角形的周长为（）A ．17或13B ．13或21C ．17D ．13二、填空题5．（2024·广东·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则c =．6．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程220x x k -+=的一个根为2-，则方程的另一个根为．7．（2024·甘肃临夏州·中考真题）若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根，则m 的值为．三、解答题8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：x 2﹣5x +6＝09．（2024·安徽·中考真题）解方程：223x x -=10．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：2430x x -+=；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．11．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y （件）与每件售价x （元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：每件售价x /元⋅⋅⋅455565⋅⋅⋅日销售量y /件⋅⋅⋅554535⋅⋅⋅(1)求y 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；(2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．专题06一元二次方程及其应用（11题）一、单选题1．（2024·四川自贡·中考真题）关于x 的一元二次方程220x kx +-=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根【答案】A【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中，当0∆>时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式解答即可．【详解】解： △()2241280k k =-⨯⨯-=+>，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．2．（2024·山东泰安·中考真题）关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．9k <B ．98k ≤C ．98k ≥D ．98k <-【答案】B【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．根据一元二次方程有实数根的条件是0∆≥，据此列不等式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有实数根，∴()2Δ3420k =--⨯≥，解得98k ≤．故选B ．3．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，则c =（）A ．9-B ．4C ．1-D ．1【答案】D【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数k 的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠根的判别式24b ac ∆=-，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>；当方程有两个相等的实数根时，Δ0=；当方程没有实数根时，Δ0<．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，∴()2Δ64936360c c =--⨯⨯=-=，解得：1c =，故选：D ．4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根，则这个三角形的周长为（）A ．17或13B ．13或21C ．17D ．13【答案】C【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得13x =，27x =，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3，腰长为7，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．【详解】解：由方程210210x x -+=得，13x =，27x =，∵337+<，∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7，∴这个三角形的周长为37717++=，故选：C ．二、填空题5．（2024·广东·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则c =．【答案】1【分析】由220x x c ++=有两个相等的实数根，可得240b ac ∆=-=进而可解答．【详解】解：∵220x x c ++=有两个相等的实数根，∴24440b ac c ∆=-=-=，∴1c =．故答案为：1．【点睛】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握相关知识是解题的关键．6．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程220x x k -+=的一个根为2-，则方程的另一个根为．7．（2024·甘肃临夏州·中考真题）若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根，则m 的值为．【答案】-1【分析】根据关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0，求出m 的取值即可．【详解】解：由已知得△=0，即4+4m=0，解得m=-1．故答案为-1.【点睛】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．三、解答题8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：x 2﹣5x +6＝0【答案】x 1＝2，x 2＝3【分析】利用因式分解的方法解出方程即可.【详解】利用因式分解法求解可得．解：∵x 2﹣5x +6＝0，∴（x ﹣2）（x ﹣3）＝0，则x ﹣2＝0或x ﹣3＝0，解得x 1＝2，x 2＝3．【点睛】本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤.9．（2024·安徽·中考真题）解方程：223x x -=【答案】13x =，21x =-【分析】先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案．【详解】解：∵223x x -=，∴223=0x x --，∴(3)(1)0x x -+=，∴13x =，21x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法进行解题．10．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：2430x x -+=；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．11．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价x （元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：每件售价x /元⋅⋅⋅455565⋅⋅⋅日销售量y /件⋅⋅⋅554535⋅⋅⋅(1)求y 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；(2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．【答案】(1)100=-+y x ；(2)该商品日销售额不能达到2600元，理由见解析。
专题10一元二次方程 专题训练 中考数学2023年真题 专项汇编(全国通用)(含答案)
专题10一元二次方程 专题训练 中考数学2023年真题 专项汇编（全国通用）（含答案）一、单选题A ．B ．3．（2023·山东聊城·统考中考真题）若一元二次方程取值范围是（ ）A ．B ．4．（2023·四川·统考中考真题）关于()4,41m ≥-A ．B ．8．（2023·四川泸州·统考中考真题）关于况是（ ）A ．没有实数根C ．有两个不相等的实数根(3,0)-A ．0B ．112．（2023·天津·统考中考真题）若A ．B ．126x x +=12x x +=①，②，③当线段长取最小值时，则④若点，则二、填空题23．（2023·重庆·统考中考真题）为了加快数字化城市建设，4124x x ⋅=-21242y y k +=+AB (0,1)N -AN BN⊥，三、解答题31．（2023·辽宁大连·统考中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率．32．（2023·福建·统考中考真题）已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直20202022-23y ax bx =++x ()()1,0,3,0A B M ,C D ,A B AB E(1)求这两个函数的解析式；(1)当___________时，(2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为最小？①求证：．x =2m y =23DO EO =等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若的延长线恰好经过的中点，求的长．42．（2023·浙江宁波·统考中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．(1)如图1，在四边形中，，对角线平分．求证：四边形为邻等四边形．(2)如图2，在6×5的方格纸中，A ，B ，C 三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D ．(3)如图3，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连接，过B 作交的延长线于点E ．若，求四边形的周长．43．（2023·云南·统考中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象．(1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点；(2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由．AB ACD V BCE V A CBE ∠=∠EC F EF AD =,BF DE DE BF =2AD BF =，DE G BE ABCD ,90AD BC A ∠=︒∥BD ADC ∠ABCD ABCD ABCD 90DAB ABC ∠=∠=︒BCD ∠AC BE AC ∥DA 8,10AC DE ==EBCD 2(42)(96)44y a x a x a =++--+a T a T x a T x a(1)求，的值；(2)平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点为顶点的四边形为平行四边形，求点k m y l参考答案：1．C2．D3．D4．C5．B6．B7．D8．C9．B10．C11．C12．A13．D14．D15．D16．C17．A18．C19．C20．A21．22．10 23．24．3 25．5 26．27．28．2()2100011440x+=2301(1)500x+=5-2-。
全国中考数学一元二次方程的综合中考真题汇总附详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．解方程：（2x+1）2=2x+1．【答案】x=0或x=12-. 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣12．2．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.（1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34 ；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．解得k ＜-34； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1，∵=== 32-， 解得：k=-1或k= 13-（舍去），∴k=﹣13．将m 看作已知量，分别写出当0<x<m 和x>m 时，与之间的函数关系式；4．解下列方程：(1)2x 2－4x －1＝0(配方法)；(2)(x ＋1)2＝6x ＋6.【答案】(1)x 1＝1＋2x 2＝1－21＝－1，x 2＝5. 【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可. 试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝32. ∴(x －1)2＝32.∴x －1＝.∴x 1＝1x 2＝1 (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0.∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0.∴x 1＝－1，x 2＝5.5．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x （元）之间的关系式为y ＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x ﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为w 元，根据题意得：w ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x 2+1000x ﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a ＝﹣10＜0，∴当x ＝50时，w 取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.6．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？【答案】（1）两次下降的百分率为10%；（2）要使每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.5元．【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为 x ，（1﹣x ）2 为两次降价后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可【详解】解：（1）设每次降价的百分率为 x ．40×（1﹣x ）2＝32.4x ＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元， 由题意，得()4030y (448)5100.5y --⨯+= 解得：1y ＝1.5，2y ＝2.5，∵有利于减少库存，∴y ＝2.5．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．7．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1．【解析】【详解】分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-， 当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.8．将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？【答案】要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．【解析】【分析】设每件商品涨价x 元，能赚得8000元的利润；销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件；每件的利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=销售量×每个利润，可列方程求解【详解】解：设每件商品涨价x 元，则销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件． 根据题意，得(50010)[(50)40]8000x x -+-=．解得110x =，230x =．经检验，110x =，230x =都符合题意．当10x =时，5060x +=，50010400x -=；当30x =时，5080x +=，50010200x -=．所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解9．解方程：x 2－2x ＝2x ＋1.【答案】x 1＝2－5 ，x 2＝2＋5.【解析】试题分析：根据方程，求出系数a 、b 、c ，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式24b b ac x -±-=求解即可. 试题解析：方程化为x 2－4x －1＝0.∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x ＝420±＝2±5 ， ∴x 1＝2－5 ，x 2＝2＋5.10． ∵1.7×35=59.5，1.7×80=136＜151∴这家酒店四月份用水量不超过m 吨（或水费是按y=1.7x 来计算的），五月份用水量超过m 吨（或水费是按来计算的） 则有151=1.7×80+（80－m ）×即m 2－80m+1500=0解得m 1=30，m 2=50．又∵四月份用水量为35吨，m 1=30＜35，∴m 1=30舍去．∴m=50【解析】。
中考数学一元二次方程专题(附答案)
中考数学一元二次方程专题（附答案）一、单选题（共12题；共24分）1.下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A. x2﹣2x+1=0B. 2x2﹣x+1=0C. 4x2﹣2x﹣3=0D. x2﹣6x=02.方程＝0有两个相等的实数根，且满足＝，则的值是（）A. －2或3B. 3C. －2D. －3或23.若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个相等的实数根，则k的值是（）A. ﹣1B. 0C. 1D. 24.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图象可能是:A. B. C. D.5.下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）A. x2﹣8=0B. 2x2﹣4x+3=0C. 9x2﹣6x+1=0D. 5x+2=3x26.已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于的一元二次方程的两个根，则k的值等于A. 7B. 7或6C. 6或D. 67.方程（x-1）•（x2+17x-3）=0的三根分别为x1，x2，x3 .则x1x2+x2x3+x1x3 =（）A. 14B. 13C. －14D. －208.一元二次方程x2﹣4x+3=0的两个根分别是⊙O1和⊙O2的半径长，圆心距O1O2=4，则⊙O1和⊙O2的位置关系（）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切9.已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是( )A. B. C. 且 D. 且10.设a、b、c和S分别为三角形的三边长和面积，关于x的方程b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0的判别式为Δ.则Δ与S的大小关系为( ).A. Δ=16S2B. Δ=-16S2C. Δ=16SD. Δ=-16S11.下列方程中，有两个不相等实数根的是（）.A. x2-4x+4=0B. x2+3x-1=0C. x2+x+1=0D. x2-2x+3=012.已知二次函数y=ax2+2ax+3a-2（a是常数，且a≠0）的图象过点M（x1，-1），N（x2，-1），若MN的长不小于2，则a的取值范围是（）A. a≥B. 0<a≤C. - ≤a<0D. a≤-二、填空题（共6题；共12分）13.等腰三角形的腰和底边的长是方程x2-20x+91=0的两个根，则此三角形的周长为________.14.已知x=-1是方程x2+ax+4=0的一个根，则方程的另一个根为________ 。
中考真题一元二次方程专题(详细答案)
一元二次方程专题练习1、（2013•自贡）用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．2、（2013•自贡）已知关于x的方程x2-（a+b）x+ab-1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2．则正确结论的序号是．（填上你认为正确结论的所有序号）3、（2013•珠海）已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0．下列说法正确的是（）A．①②都有实数解B．①无实数解，②有实数解C．①有实数解，②无实数解D．①②都无实数解4、（2013•珠海）某渔船出海捕鱼，20XX年平均每次捕鱼量为10吨，20XX年平均每次捕鱼量为8.1吨，求20XX年-20XX年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率．5、（2013•重庆）“4•20”雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完．（1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？（2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200m顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑1/2m次，小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m的值．6、（2013•重庆）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）7、（2013•新疆）方程x2-5x=0的解是（）A．x1=0，x2=-5B．x=5 C. x1=0，x2=5D．x=08、（2013•新疆）如果关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是9、（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2−x12−x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．10、（2013•厦门）若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k 是整数），称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2-6x-27=0，x2-2x-8=0，x2+3x−27/4=0，x2+6x-27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x-12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．11、（2013•黔东南州）若两个不等实数m、n满足条件：m2-2m-1=0，n2-2n-1=0，则m2+n2的值是12、（2013•平凉）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2-3a+b，如：3★5=32-3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是13、（2013•攀枝花）设x1，x2是方程2x2-3x-3=0的两个实数根，则的值为14、（2013•南充）关于x的一元二次方程为（m-1）x2-2mx+m+1=0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？15、（2013•绵阳）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2-3x+8=0，则△ABC的周长是16、（2013•六盘水）已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜-2B．k＜2C．k＞2D．k＜2且k≠117、（2013•临沂）对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42-4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=18、（2013•乐山）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k的值．19、（2013•荆门）设x1，x2是方程x2-x-2013=0的两实数根，则20、（2013•江西）若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程21、（2013•呼和浩特）（非课改）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是（）A．3或-1B．3C．1-3或122、（2013•衡阳）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）A．168（1+x）2=128B．168（1-x）2=128C．168（1-2x）=128D．168（1-x2）=12823、（2013•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+2x+a-1=0有两根为x1和x2，且x12-x1x2=0，则a的值是（）A．a=1B．a=1或a=-2C．a=2D．a=1或a=224、（2013•广州）若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判断25、（2013•德宏州）如图，要建造一个直角梯形的花圃．要求AD边靠墙，CD⊥AD，AB：CD=5：4，另外三边的和为20米．设AB的长为5x米．（1）请求出AD的长（用含字母x的式子表示）；（2）若该花圃的面积为50米2，且周长不大于30米，求AB的长．26、（2013•成都）一元二次方程x2+x-2=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根27、（2013•北京）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．28、（2013•巴中）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．。
2023年中考数学真题汇编：一元二次方程(含答案)
2023年中考数学真题汇编——一元二次方程一、选择题1. (2023·吉林省)一元二次方程x2―5x+2=0根的判别式的值是( )A. 33B. 23C. 17D. 172. (2023·天津市)若x1，x2是方程x2―6x―7=0的两个根，则( )A. x1+x2=6B. x1+x2=―6C. x1x2=76D. x1x2=73. (2023·甘肃省兰州市)关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，则b2―2(1+2c)=( )A. ―2B. 2C. ―4D. 44. (2023·江苏省无锡市)2020年―2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是( )A. 5.76(1+x)2=6.58B. 5.76(1+x2)=6.58C. 5.76(1+2x)=6.58D. 5.76x2=6.585. (2023·内蒙古自治区赤峰市)用配方法解方程x2―4x―1=0时，配方后正确的是( )A. (x+2)2=3B. (x+2)2=17C. (x―2)2=5D. (x―2)2=176. (2023·山东省菏泽市)一元二次方程x2+3x―1=0的两根为x1，x2，则1x1+1x2的值为( )A. 32B. ―3 C. 3 D. ―327. (2023·河南省)关于x的一元二次方程x2+mx―8=0的根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根8. (2023·全国)据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元.设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为( )A. 3.2(1―x)2=3.7B. 3.2(1+x)2=3.7C. 3.7(1―x)2=3.2D. 3.7(1+x)2=3.29. (2023·福建省)根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元.设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程( )A. 43903.89(1+x)=53109.85B. 43903.89(1+x)2=53109.85C. 43903.89x2=53109.85D. 43903.89(1+x2)=53109.8510. (2023·山东省聊城市)若一元二次方程mx2+2x+1=0有实数解，则m的取值范围是( )A. m≥―1B. m≤1C. m≥―1且m≠0D. m≤1且m≠011. (2023·四川省广元市)关于x的一元二次方程2x2―3x+3=0根的情况，下列说法中正确2的是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定12. (2023·山东省滨州市)一元二次方程x2+3x―2=0根的情况为( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 不能判定13. (2023·四川省乐山市)若关于x的一元二次方程x2―8x+m=0两根为x1、x2，且x1=3x2，则m的值为( )A. 4B. 8C. 12D. 1614. (2023·湖南省永州市)某2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是( )A. 2.7(1+x)2=2.36B. 2.36(1+x)2=2.7C. 2.7(1―x)2=2.36D. 2.36(1―x)2=2.715. (2023·湖南省怀化市)下列说法错误的是( )A. 成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件B. 一元二次方程x2+x+3=0有两个相等的实数根C. 任意多边形的外角和等于360°D. 三角形三条中线的交点叫作三角形的重心16. (2023·四川省广安市)已知a、b、c为常数，点P(a,c)在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判断17. (2023·四川省眉山市)关于x的一元二次方程x2―2x+m―2=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )A. m<32B. m>3C. m≤3D. m<318. (2023·四川省泸州市)若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2―10x+m=0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为( )A. 3B. 23C. 14D. 21419. (2023·四川省泸州市)关于x的一元二次方程x2+2ax+a2―1=0的根的情况是( )A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 实数根的个数与实数a的取值有关二、填空题20. (2023·江苏省泰州市)关于x的一元二次方程x2+2x―1=0的两根之和为______ ．21. (2023·辽宁省)若关于x的一元二次方程x2―6x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______ ．22. (2023·四川省雅安市)已知关于x的方程x2+mx―4=0的一个根为1，则该方程的另一个根为______ ．23. (2023·全国)方程x2―4x―m=0有两个相等的实数根，则m的值为______ ．24. (2023·山东省泰安市)已知关于x的一元二次方程x2―4x―a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______ ．25. (2023·辽宁省营口市)若关于x的方程x2+mx―12=0的一个根是3，则此方程的另一个根是______ ．26. (2023·黑龙江省牡丹江市)张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是______ ．27. (2023·湖北省鄂州市)若实数a、b分别满足a2―3a+2=0，b2―3b+2=0，且a≠b，则1a +1b=______ ．28. (2023·贵州省)若一元二次方程kx2―3x+1=0有两个相等的实数根，则k的值是______ ．29. (2023·江苏省徐州市)若关于x的方程x2―4x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为______ ．30. (2023·湖南省常德市)若关于x的一元二次方程x2―2x+a=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______ ．31. (2023·辽宁省)若关于x的一元二次方程x2―x+k+1=0有两个实数根，则k的取值范围是______ ．32. (2023·湖南省张家界市)已知关于x的一元二次方程x2―2x―a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______ ．33. (2023·黑龙江省绥化市)已知一元二次方程x2+x=5x+6的两根为x1与x2，则1x1+1x2的值为______ ．34. (2023·湖南省岳阳市)已知关于x的方程x2+mx―20=0的一个根是―4，则它的另一个根是______ ．35. (2023·湖南省岳阳市)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2―m+2=0有两个不相等的实数根，且x1+x2+x1⋅x2=2，则实数m=______ ．36. (2023·湖北省随州市)已知关于x的一元二次方程x2―3x+1=0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2―x1x2的值为______ ．37. (2023·湖南省邵阳市)某校截止到2022年底，校园绿化面积为1000平方米.为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米.利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x，则依题意列方程为______ ．38. (2023·四川省达州市)已知x1，x2是方程2x2+kx―2=0的两个实数根，且(x1―2)(x2―2)=10，则k的值______ ．39. (2023·重庆市)为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程______ ．40. (2023·重庆市)某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为______ ．41. (2023·上海市)如果关于x的方程x2―4x+2c=0有实数根，那么实数c的取值范围是______ ．三、解答题42. (2023·上海市)解方程：(x―2)2―4(x―2)=12．43. (2023·江苏省泰州市)某公司的化工产品成本为30元/千克.销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元.考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售.一次性销售利润y(元)与一次性销售量x(千克)的函数关系如图所示．(1)当一次性销售800千克时利润为多少元？(2)求一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润；(3)当一次性销售多少千克时利润为22100元？44. (2023·辽宁省)电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y(件)与每件玩具售价x(元)之间满足一次函数关系(其中100≤x≤160，且x为整数)，当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？45. (2023·江苏省无锡市)(1)解方程：2x2+x―2=0；(2)解不等式组：x+3>―2x2x―5<1．46. (2023·内蒙古自治区通辽市)阅读材料：材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x1x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2=―ba ，x1x2=ca．材料2：已知一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵m，n是一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根，∴m+n=1，mn=―1．则m2n+mn2=mn(m+n)=―1×1=―1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)应用：一元二次方程2x2+3x―1=0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2=______ ，x1x2 =______ ．(2)类比：已知一元二次方程2x2+3x―1=0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；(3)提升：已知实数s，t满足2s2+3s―1=0，2t2+3t―1=0且s≠t，求1s ―1t的值．47. (2023·山东省东营市)如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门(建在EF处，另用其他材料)．(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？(2)羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．48. (2023·浙江省杭州市)设一元二次方程x2+bx+c=0.在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①b=2，c=1；②b=3，c=1；③b=3，c=―1；④b=2，c=2．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．49. (2023·湖南省郴州市)随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？参考答案1.C2.A3.A4.A5.C6.C7.A8.B9.B10.D11.C12.A13.C14.B15.B16.A17.D18.C19.C20.―221.k<922.―423.―424.a>―425.―426.20%27.3228.9429.430.a<131.k≤―3432.a>―133.―2334.535.336.237.1000(1+x)2=144038.739.301(1+x)2=50040.1501(1+x)2=181541.c≤242.解：(x―2)2―4(x―2)=12，(x―2)2―4(x―2)―12=0，(x―2―6)(x―2+2)=0，x(x―8)=0，x=0或x―8=0，∴x1=0，x2=8．43.解：(1)根据题意，当x=800时，y=800×(50―30)=800×20=16000，∴当一次性销售800千克时利润为16000元；(2)设一次性销售量在1000～1750kg之间时，销售价格为50―30―0.01(x―1000)=―0.01x+30，∴y=x(―0.01x+30)=―0.01x2+30x=―0.01(x2―3000)=―0.01(x―1500)2+22500，∵―0.01<0，1000≤x≤1750，∴当x=1500时，y有最大值，最大值为22500，∴一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润为22500元；(3)由(2)知，当x=1750时，y=―0.01(1750―1500)2+22500=16250<22100，∴当一次性销售量在1000～1750kg之间时，利润为22100元，∴―0.01(x ―1500)2+22500=22100，解得x 1=1700，x 2=1300，∴当一次性销售为1300或1700千克时利润为22100元．44.解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b ，∵当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件，∴120k +b =80140k +b =40，解得k =―2b =320，即y 与x 之间的函数关系式为y =―2x +320；(2)设利润为w 元，由题意可得：w =(x ―100)(―2x +320)=―2(x ―130)2+1800，∴当x =130时，w 取得最大值，此时w =1800，答：当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元．45.解：(1)2x 2+x ―2=0，∵a =2，b =1，c =―2，∴b 2―4ac =12+4×2×(―2)=17，∴x =―b ±b 2―4ac 2a =―1±174，∴x 1=―1+ 174，x 2=―1― 174；(2)x +3>―2x①2x ―5<1②，解不等式①得x >―1，解不等式②得：x <3，∴不等式组的解集为：―1<x <3．46.―32 ―1247.解：(1)设矩形ABCD 的边AB =xm ，则边BC =70―2x +2=(72―2x)m ．根据题意，得x(72―2x)=640，化简，得x 2―36x +320=0解得x 1=16x 2=20，当x =16时，72―2x =72―32=40；当x=20时，72―2x=72―40=32．答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为644m2的羊圈；(2)答：不能，理由：由题意，得x(72―2x)=650，化简，得x4―366+322=0，Δ=(―36)2―4×335=―4<0，∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到650m2．48.解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，∴b2―4ac>0，即b2>4c，∴①②③均可，选①解方程，则这个方程为：x2+2x+1=0，∴(x+1)2=0，∴x1=x2=―1．49.解：(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意可得：1.6(1+x)2=2.5，(不合题意舍去)，解得：x=25%，x=―94答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；(2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由题意可得：2.125+10a≤2.5(1+25%)，解得：a≤0.1，答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．。
中考数学专题练习 一元二次方程(含解析)
一元二次方程一、选择题1．方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2． x2﹣6x=1，左边配成一个完全平方式得（）A．（x﹣3）2=10 B．（x﹣3）2=9 C．（x﹣6）2=8 D．（x﹣6）2=103．方程（x﹣1）（x+3）=5的根为（）A．x1=﹣1，x2=﹣3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣2，x2=4 D．x1=2，x2=﹣44．若关于x的方程3x2﹣2x+m=0的一个根是﹣1，则m的值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．55．用公式法解﹣x2+3x=1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（）A．﹣1，3，﹣1 B．1，﹣3，﹣1 C．﹣1，﹣3，﹣1 D．1，﹣3，16．方程x2=0与3x2=3x的解为（）A．都是x=0B．有一个相同，且这个相同的解为x=0C．都不相同D．以上答案都不对7．已知x2﹣8xy+15y2=0，那么x是y的（）倍．A．3 B．5 C．3或5 D．2或48．已知x=1是方程x2﹣ax+1=0的根，化简﹣得（）A．1 B．0 C．﹣1 D．29．方程x（x+1）=x+1的根为（）A．﹣1 B．1C．﹣1或1 D．以上答案都不对10．某产品的成本两年降低了75%，平均每年递降（）A．50% B．25%C．37.5% D．以上答案都不对二、填空题11．方程3x2﹣5x=0的二次项系数是．12．5x2+5=26x化成一元二次方程的一般形式为．13．一元二次方程ax2+bx+c=0，若有一个根为﹣1，则a﹣b+c= ；如果a+b+c=0，则有一根为．14．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一根为零的条件是．15．关于x的方程2x﹣3=0是一元二次方程，则m= ．三、解答题16．用适当的方法解方程：（1）2x2﹣4x+1=0；（2）x2﹣5x﹣6=0；（3）（x﹣2）（x﹣3）=12；（4）9（x﹣3）2﹣4（x﹣2）2=0．17．用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．18．已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：x2﹣1=0，x2+x﹣2=0，x2+2x﹣3=0，…x2+（n﹣1）x﹣n=0．（1）请解上述一元二次方程；（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．19．如图，有33米长的竹篱笆，要围成一边（墙长15米）面积为130平方米的长方形鸡场，求鸡场的长和宽各为多少？一元二次方程参考答案与试题解析一、选择题1．方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】一元二次方程的定义．【分析】直接根据一元二次方程的定义可得到在所给的方程中x2﹣2x﹣5=0，x2=0是一元二次方程．【解答】解：方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程是x2﹣2x﹣5=0，x2=0．故选B．【点评】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程．2．x2﹣6x=1，左边配成一个完全平方式得（）A．（x﹣3）2=10 B．（x﹣3）2=9 C．（x﹣6）2=8 D．（x﹣6）2=10【考点】解一元二次方程﹣配方法．【专题】计算题．【分析】给方程左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，即可得到正确的选项．【解答】解：x2﹣6x=1，方程左右两边都加上9得：x2﹣6x+9=10，即（x﹣3）2=10．故选A【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程的二次项系数化为1，同时将常数项移到方程右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．3．方程（x﹣1）（x+3）=5的根为（）A．x1=﹣1，x2=﹣3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣2，x2=4 D．x1=2，x2=﹣4【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】首先把方程转化为一般形式，再利用因式分解法即可求解．【解答】解：（x﹣1）（x+3）=5，x2+3x﹣x﹣3﹣5=0，x2+2x﹣8=0，（x﹣2）（x+4）=0，解得x1=2，x2=﹣4．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．4．若关于x的方程3x2﹣2x+m=0的一个根是﹣1，则m的值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5【考点】一元二次方程的解．【专题】方程思想．【分析】根据一元二次方程解的定义，将x=1代入原方程，然后解关于m的一元一次方程即可．【解答】解：∵关于x的方程3x2﹣2x+m=0的一个根是﹣1，∴当x=﹣1时，由原方程，得3+2+m=0，解得m=﹣5；故选A．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．本题逆用一元二次方程解的定义易得出m的值．5．用公式法解﹣x2+3x=1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（）A．﹣1，3，﹣1 B．1，﹣3，﹣1 C．﹣1，﹣3，﹣1 D．1，﹣3，1【考点】解一元二次方程﹣公式法．【分析】先移项，化成一般形式，再得出答案即可．【解答】解：∵﹣x2+3x=1，∴﹣x2+3x﹣1=0，∴x2﹣3x+1=0，∴a=﹣1，b=3，c=﹣1（或a=1，b=﹣3，c=1），【点评】本题考查了解一元二次方程和一元二次方程的一般形式的应用，解此题的关键是能把方程化成一般形式．6．方程x2=0与3x2=3x的解为（）A．都是x=0B．有一个相同，且这个相同的解为x=0C．都不相同D．以上答案都不对【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】计算题．【分析】解x2=0得x1=x2=0；变形3x2=3x得x2﹣x=0，左边分解得到x（x﹣1）=0，则x1=0，x2=1．【解答】解：∵x2=0∴x1=x2=0；∵x2﹣x=0，∴x（x﹣1）=0，∴x1=0，x2=1．故选B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．7．已知x2﹣8xy+15y2=0，那么x是y的（）倍．A．3 B．5 C．3或5 D．2或4【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】计算题．【分析】先把等式左边分解因式得到（x﹣3y）（x﹣5y）=0，则x﹣3y=0或x﹣5y=0，即可得到x=3y 或x=5y．【解答】解：∵（x﹣3y）（x﹣5y）=0，∴x﹣3y=0或x﹣5y=0，∴x=3y或x=5y．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．8．已知x=1是方程x2﹣ax+1=0的根，化简﹣得（）A．1 B．0 C．﹣1 D．2【考点】一元二次方程的解；二次根式的性质与化简．【分析】先将x=1代入方程x2﹣ax+1=0，可得关于a的方程，解方程求出a的值，再根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：∵x=1是方程x2﹣ax+1=0的根，∴12﹣a×1+1=0，∴a=2，∴﹣=﹣=a﹣1﹣（3﹣a）=2a﹣4=2×2﹣4=0．故选B．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，二次根式的性质与化简，解题关键是将已知的根代入方程，正确求出a的值．9．方程x（x+1）=x+1的根为（）A．﹣1 B．1C．﹣1或1 D．以上答案都不对【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】首先提取公因式，可得（x+1）（x﹣1）=0，继而可求得答案．【解答】解：∵x（x+1）=x+1，∴x（x+1）﹣（x+1）=0，∴（x+1）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣1，x2=1．故选C．【点评】此题考查了因式分解法解一元二次方程．此题难度不大，注意因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．10．某产品的成本两年降低了75%，平均每年递降（）A．50% B．25%C．37.5% D．以上答案都不对【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】设平均每年降低x，根据经过两年使成本降低75%，可列方程求解．【解答】解：设平均每年降低x，（1﹣x）2=1﹣75%解得x=0.5=50%或x=1.5（舍去）．故平均每年降低50%．故选A．【点评】本题考查理解题意的能力，关键设出降低的百分率，然后根据现在的成本，可列方程求解．二、填空题11．方程3x2﹣5x=0的二次项系数是 3 ．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】先找出方程的二次项，再找出项的系数即可．【解答】解：方程3x2﹣5x=0的二次项系数是3，故答案为：3．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，主要考查学生的理解能力．12．5x2+5=26x化成一元二次方程的一般形式为5x2﹣26x+5=0 ．【考点】一元二次方程的一般形式．【专题】计算题．【分析】将方程右边的式子移项，并按照x的降幂排列，即可得到一元二次方程的一般形式．【解答】解：5x2+5=26x，移项得：5x2﹣26x+5=0．故答案为：5x2﹣26x+5=0【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a，b，c 为常数，且a≠0）．13．一元二次方程ax2+bx+c=0，若有一个根为﹣1，则a﹣b+c= 0 ；如果a+b+c=0，则有一根为 1 ．【考点】一元二次方程的解．【分析】由一元二次方程解的意义把方程的根x=﹣1代入方程，得到a﹣b+c=0；由a+b+c=0，可知a×12+b×1+c=0，故方程ax2+bx+c=0有一根为1．【解答】解：把x=﹣1代入一元二次方程ax2+bx+c=0得：a﹣b+c=0；如果a+b+c=0，那么a×12+b×1+c=0，所以方程ax2+bx+c=0有一根为1．故答案是：0；1．【点评】本题考查的是一元二次方程的解的定义，属于基础题型，比较简单．14．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一根为零的条件是c=0 ．【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程的定义和根与系数的关系解答．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的二次项系数是a，常数项是c，∴x1•x2=，又∵该方程有一根为零，∴x1•x2==0；∵a≠0，∴c=0．故答案为：0．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，在解答此题时，利用了根与系数的关系．15．关于x的方程2x﹣3=0是一元二次方程，则m= ±．【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的概念，可得出m2﹣1=2，解得m即可．【解答】解：∵关于x的方程2x﹣3=0是一元二次方程，∴m2﹣1=2，解得m=±．故答案为：．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，二次项系数不为0，未知数的最高次数为2．三、解答题16．用适当的方法解方程：（1）2x2﹣4x+1=0；（2）x2﹣5x﹣6=0；（3）（x﹣2）（x﹣3）=12；（4）9（x﹣3）2﹣4（x﹣2）2=0．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．【分析】（1）找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解；（2）利用因式分解法求解即可；（3）先将方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解；（4）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）2x2﹣4x+1=0，这里a=2，b=﹣4，c=1，∵△=16﹣4×2×1=8，∴x==，∴x1=，x2=；（2）x2﹣5x﹣6=0，（x﹣6）（x+1）=0，∴x﹣6=0或x+1=0，解得x1=6，x2=﹣1；（3）（x﹣2）（x﹣3）=12，整理，得x2﹣5x﹣6=0，（x﹣6）（x+1）=0，∴x﹣6=0或x+1=0，解得x1=6，x2=﹣1；（4）9（x﹣3）2﹣4（x﹣2）2=0，[3（x﹣3）+2（x﹣2）][3（x﹣3）﹣2（x﹣2）]=0，（5x﹣13）（x﹣5）=0，解得x1=，x2=5．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．17．用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．【考点】解一元二次方程﹣公式法；配方法的应用．【专题】计算题．【分析】由a不为0，在方程左右两边同时除以a，并将常数项移到方程右边，方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，当b2﹣4ac≥0时，开方即可推导出求根公式．【解答】解：ax2+bx+c=0（a≠0），方程左右两边同时除以a得：x2+x+=0，移项得：x2+x=﹣，配方得：x2+x+=﹣=，即（x+）2=，当b2﹣4ac≥0时，x+=±=±，∴x=．【点评】此题考查了一元二次方程的求根公式，以及配方法的应用，学生在开方时注意b2﹣4ac≥0这个条件的运用．18．已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：x2﹣1=0，x2+x﹣2=0，x2+2x﹣3=0，…x2+（n﹣1）x﹣n=0．（1）请解上述一元二次方程；（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；一元二次方程的解．【专题】规律型．【分析】（1）分别利用因式分解法解各方程；（2）根据方程根的特征易得这n个方程都有一个根为1，另外一根等于常数项．【解答】解：（1）x2﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣1，x2+x﹣2=0，解得x1=1，x2=﹣2，x2+2x﹣3=0，解得x1=1，x2=﹣3，…x2+（n﹣1）x﹣n=0，解得x1=1，x2=﹣n；（2）这n个方程都有一个根为1，另外一根等于常数项．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．19．如图，有33米长的竹篱笆，要围成一边（墙长15米）面积为130平方米的长方形鸡场，求鸡场的长和宽各为多少？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】首先设鸡场的长为x米，则宽为米，根据题意可得等量关系：鸡场的长×宽=130平方米，列出方程，解出x的值．【解答】解：设鸡场的长为x米，则宽为米，由题意得：x×=130，解得：x1=25，x2=13，∵墙长15米，25＞15，∴25不合题意舍去，∴x=13，则： =10（米）．答：鸡场的长为13米，则宽为10米．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，此题根据鸡场的面积列出方程即可．。
中考数学专题复习一元二次方程组的综合题含答案解析
中考数学专题复习一元二次方程组的综合题含答案解析一、一元二次方程1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（1）设年平均增长率为x ，根据题意得：10（1+x ）2=14.4，解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，答：年平均增长率为20%；（2）设每年新增汽车数量最多不超过y 万辆，根据题意得：2009年底汽车数量为14.4×90%+y ，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y ）×90%+y ，∴（14.4×90%+y ）×90%+y≤15.464，∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．考点：一元二次方程—增长率的问题2．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，∴k1＝1，k2＝－3.∵k≤12，∴k＝－3.3．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【解析】【分析】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=12×PB×QE，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【详解】解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB．∴S△PQB＝12•PB•QE．设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．根据题意，12•（6﹣t）•t＝4．t2﹣6t+8＝0．t2＝2，t2＝4．当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．4．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%．①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）①76%②75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；②设润滑用油量是x千克，则x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，整理得：x2﹣65x﹣750=0，（x﹣75）（x+10）=0，解得：x1=75，x2=﹣10（舍去），60%+1.6%（90﹣x）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．考点：一元二次方程的应用5．解方程：233230 2121x xx x⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．【答案】x=15或x=1【解析】【分析】设321xyx=-，则原方程变形为y2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y，再求x．【详解】解：设321xyx=-，则原方程变形为y2-2y-3=0．解这个方程，得y 1=-1,y 2=3, ∴3121x x =--或3321x x =-． 解得x=15或x=1． 经检验：x=15或x=1都是原方程的解． ∴原方程的解是x=15或x=1． 【点睛】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．6．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.7．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y（只）与销售单价x （元）之间的关系式为y ＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x ﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为w 元，根据题意得：w ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x 2+1000x ﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a ＝﹣10＜0，∴当x ＝50时，w 取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.8．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0.【答案】（1）x 1＝－1＋2x 2＝－1－22）y 1＝－14，y 2＝32. 【解析】试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0∴1=-∴x 1＝－1，x 2＝－1 （2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0[(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0即4y+1=0或-2y+3=0解得y 1＝－14，y 2＝32. 9．关于x 的一元二次方程()22210x k x k +-+=有两个不等实根1x ，2x .（1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两实根1x ，2x 满足121210x x x x ++-=，求k 的值.【答案】(1) k ＜14;(2) k=0. 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式得出△＞0，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2，代入x 1+x 2+x 1x 2-1=0，即可求出k 值．【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k-1）x+k 2=0有两个不等实根x 1，x 2， ∴△=（2k-1）2-4×1×k 2=-4k+1＞0，解得：k ＜14， 即实数k 的取值范围是k ＜14； （2）由根与系数的关系得：x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2，∵x 1+x 2+x 1x 2-1=0，∴1-2k+k 2-1=0，∴k 2-2k=0∴k=0或2，∵由（1）知当k=2方程没有实数根，∴k=2不合题意，舍去，∴k=0．【点睛】本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式，以防错解．10．已知:如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =cm ，6BC =cm.直线PE 从B 点出发，以2 cm/s 的速度向点A 方向运动，并始终与BC 平行，与线段AC 交于点E .同时，点F 从C 点出发，以1cm/s 的速度沿CB 向点B 运动，设运动时间为t (s) (05t <<) .(1)当t 为何值时，四边形PFCE 是矩形?(2)当ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍时，求出t 的值;【答案】（1）3011t =；（2）55t ±= 【解析】【分析】（1）首先根据勾股定理计算AB 的长，再根据相似比例表示PE 的长度，再结合矩形的性质即可求得t 的值.（2）根据面积相等列出方程，求解即可.【详解】解：（1）在Rt ABC ∆中，90,8,6C AC BC ︒∠===Q ，10AB ∴===102//,,1068PA PE AE t PE AE PE BC AB BC AC -∴==∴==Q 34(102),(102)55PE t AE t ∴=-=-，当PE CF =时，四边形PECF 是矩形， 3(102)5t t ∴-= 解得3011t = （2）由题意22424116825552t t =+=⨯⨯⨯整理得2t 550t -+=，解得t =52t ∴=，ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍。
中考数学一元二次方程专题（附答案）
中考数学⼀元⼆次⽅程专题（附答案）中考数学⼀元⼆次⽅程专题（附答案）⼀、单选题（共12题；共24分）1.下列⼀元⼆次⽅程有两个相等实数根的是（）A. x2﹣2x+1=0B. 2x2﹣x+1=0C. 4x2﹣2x﹣3=0D. x2﹣6x=02.⽅程＝0有两个相等的实数根，且满⾜＝，则的值是（）A. －2或3B. 3C. －2D. －3或23.若关于x的⼀元⼆次⽅程x2﹣2x﹣k+1=0有两个相等的实数根，则k的值是（）A. ﹣1B. 0C. 1D. 24.若关于的⼀元⼆次⽅程有两个不相等的实数根，则⼀次函数的图象可能是:A. B. C. D.5.下列⼀元⼆次⽅程中，有两个相等实数根的是（）A. x2﹣8=0B. 2x2﹣4x+3=0C. 9x2﹣6x+1=0D. 5x+2=3x26.已知m、n、4分别是等腰三⾓形（⾮等边三⾓形）三边的长，且m、n是关于的⼀元⼆次⽅程的两个根，则k的值等于A. 7B. 7或6C. 6或D. 67.⽅程（x-1）?（x2+17x-3）=0的三根分别为x1，x2，x3 .则x1x2+x2x3+x1x3 =（）A. 14B. 13C. －14D. －208.⼀元⼆次⽅程x2﹣4x+3=0的两个根分别是⊙O1和⊙O2的半径长，圆⼼距O1O2=4，则⊙O1和⊙O2的位置关系（）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切9.已知关于的⽅程有两个实数根，则的取值范围是( )A. B. C. 且 D. 且10.设a、b、c和S分别为三⾓形的三边长和⾯积，关于x的⽅程b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0的判别式为Δ.则Δ与S的⼤⼩关系为( ).A. Δ=16S2B. Δ=-16S2C. Δ=16SD. Δ=-16S11.下列⽅程中，有两个不相等实数根的是（）.A. x2-4x+4=0B. x2+3x-1=0C. x2+x+1=0D. x2-2x+3=012.已知⼆次函数y=ax2+2ax+3a-2（a是常数，且a≠0）的图象过点M（x1，-1），N（x2，-1），若MN的长不⼩于2，则a的取值范围是（）A. a≥B. 0C. - ≤a<0D. a≤-⼆、填空题（共6题；共12分）13.等腰三⾓形的腰和底边的长是⽅程x2-20x+91=0的两个根，则此三⾓形的周长为________.14.已知x=-1是⽅程x2+ax+4=0的⼀个根，则⽅程的另⼀个根为________ 。
中考数学《一元二次方程》专题训练(附带答案)
中考数学《一元二次方程》专题训练（附带答案）一、单选题1．关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1B．k＞1C．k＜－1D．k＞－12．关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k≥﹣4D．k≥43．关于x的一元二次方程方程(m-1)x2-2x-1=0有两个实数根，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．4．方程x2﹣5x=0的解是()A．x1=0，x2=﹣5B．x=5C．x1=0，x2=5D．x=05．用配方法解一元二次方程x2+6x−10=0，此方程可变形为（）A．(x+3)2=1B．(x−3)2=1C．(x−3)2=19D．(x+3)2=19 6．已知b2﹣4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个实数根，则ab的取值范围为（）A．ab≥18B．ab≤18C．ab≥14D．ab≤147．已知A=x2+3，B=2x+1，则A，B的大小关系正确的是（）A．A＞B B．A＜BC．A=B D．与x的大小有关8．已知关于x的一元二次方程2x²+4x·sinα+1=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°9．用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣1）2＝2B．（x −12）2=54C．（x −12）2＝1D．（x −12）2=3410．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是（）A．2500(1+x)2=3200B．2500(1−x)2=3200C．3200(1−x2)=2500D．3200(1−x)2=250011．用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣4）2=19B．（x﹣2）2=7C．（x+2）2=7D．（x+4）2=1912．下列关于x的方程中，没有实数解的是（）A．x2﹣4x+4=0B．x2﹣2x﹣3=0C．x2﹣2x=0D．x2﹣2x+5=0二、填空题13．某企业2018年底缴税80万元，2020 年底缴税96.8万元，设这两年该企业交税的年平均增长率为x根据题意，可得方程为。
中考数学一元二次方程题
中考数学一元二次方程题一、一元二次方程 x2 - 4x + 3 = 0 的解为：A. x1 = 1, x2 = 3B. x1 = -1, x2 = -3C. x1 = 2, x2 = 1D. x1 = -2, x2 = -1（答案）A解析：通过因式分解法，可得(x - 1)(x - 3) = 0，解得x1 = 1, x2 = 3。
二、方程 x2 + 2x - 8 = 0 的两根之积为：A. -8B. 8C. -4D. 4（答案）A解析：根据一元二次方程的根与系数的关系，两根之积等于常数项除以首项系数，即(-8) / 1 = -8。
三、若一元二次方程 x2 - 2x - k = 0 有两个相等的实数根，则 k 的值为：A. 1B. -1C. 2D. -2（答案）A解析：根据判别式Δ = b2 - 4ac，若方程有两个相等的实数根，则Δ = 0。
代入a = 1, b = -2, c = -k，得(-2)2 - 4(1)(-k) = 0，解得k = 1。
四、一元二次方程 2x2 - 3x - 2 = 0 的两根之和为：A. -3/2B. 3/2C. -2/3D. 2/3（答案）B解析：根据一元二次方程的根与系数的关系，两根之和等于-b / a，即-(-3) / 2 = 3 / 2。
五、若一元二次方程 x2 + kx - 6 = 0 的一个根为 x = 2，则另一个根为：A. -3B. 3C. -2D. 2（答案）A解析：根据一元二次方程的根与系数的关系，两根之积等于常数项除以首项系数，即-6 / 1 = -6。
已知一个根为2，设另一个根为x，则2x = -6，解得x = -3。
六、一元二次方程 x2 - 5x + 6 = 0 的解集为：A. {2, 3}B. {-2, -3}C. {2, -3}D. {-2, 3}（答案）A解析：通过因式分解法，可得(x - 2)(x - 3) = 0，解得x1 = 2, x2 = 3，所以解集为{2, 3}。
一元二次方程(优选真题60道)中考数学真题(全国通用)(解析版)
三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】一元二次方程（优选真题60道）一．选择题（共20小题）1．（2023•新疆）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（）A．（x+6）2＝28B．（x﹣6）2＝28C．（x+3）2＝1D．（x﹣3）2＝1【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．【解答】解：x2﹣6x+8＝0，x2﹣6x＝﹣8，x2﹣6x+9＝﹣8+9，（x﹣3）2＝1，故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．2．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜32B．m＞3C．m≤3D．m＜3【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，对照四个选项即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）＝12﹣4m＞0，解得：m＜3．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．3．（2023•滨州）一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能判定【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【解答】解：由题意得，Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根．4．（2023•天津）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（）A．x1+x2＝6B．x1+x2＝﹣6C．x1x2=76D．x1x2＝7【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行判断即可．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，应掌握：设x1，x2是一元二次方程y＝ax2+bx+c（a≠0）的两个实数根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．5．（2023•永州）某市2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（）A．2.7（1+x）2＝2.36B．2.36（1+x）2＝2.7C．2.7（1﹣x）2＝2.36D．2.36（1﹣x）2＝2.7【分析】利用2022年间每年人均可支配收入＝2020年间每年人均可支配收入×（1+每年人均可支配收入的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得2.36（1+x）2＝2.7．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．（2023•乐山）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（）A．4B．8C．12D．16【分析】首先根据根与系数的关系得出x1+x2＝8，再根据x1＝3x2，求得x1，x2，进一步得出x1x2＝m求得答案即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝8，∵x1＝3x2，解得x1＝6，x2＝2，∴m＝x1x2＝6×2＝12．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系．二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．7．（2023•内江）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如：3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x 的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】根据运算“⊗”的定义将方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1转化为一般式，由根的判别式Δ＝（k﹣1）2+4＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根．【解答】解：∵（k﹣3）⊗x＝k﹣1，∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1，∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0，∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0，∴关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键．8．已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【分析】先利用第四象限点的坐标特征得到ac＜0，则判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵点P（a，c）在第四象限，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，∴方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根．故选：A ．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与Δ＝b 2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．9．关于x 的一元二次方程x 2+2ax +a 2﹣1＝0的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．实数根的个数与实数a 的取值有关【分析】先计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式得结论．【解答】解：∵Δ＝（2a ）2﹣4×1×（a 2﹣1）＝4a 2﹣4a 2+4＝4＞0．∴关于x 的一元二次方程x 2+2ax +a 2﹣1＝0有两个不相等的实数根．故选：C ．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握“根的判别式与方程的解的关系”是解决本题的关键．10．（2023•泸州）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x 的一元二次方程x 2﹣10x +m ＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）A ．√3B ．2√3C ．√14D ．2√14【分析】先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长．【解答】解：设菱形的两条对角线长分别为a 、b ，由题意，得{a +b =10ab =22． ∴菱形的边长=√(a 2)2+(b 2)2=12√a 2+b 2=12√(a +b)2−2ab=12√100−44=12√56=√14．故选：C．【点评】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键．11．（2023•台湾）利用公式解可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，求a值为何（）A．−11+√1096B．−11+√1336C．11+√1096D．11+√1336【分析】利用公式法即可求解．【解答】解：3x2﹣11x﹣1＝0，这里a＝3，b＝﹣11，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣11）2﹣4×3×（﹣1）＝133＞0，∴x=11±√1332×3=11±√1336，∵一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，∴a的值为11+√1336．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．12．（2022•淮安）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【分析】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＜0，∴k＜﹣1，故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．13．（2022•攀枝花）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜14B．m≤14C．m≥−14D．m＞−14【分析】根据判别式的意义得到Δ＝1+4m≥0，解不等式即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有实数根，∴Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣m）＝1+4m≥0，解得m≥−1 4，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．14．（2022•内蒙古）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【分析】根据运算“⊗”的定义将方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1转化为一般式，由根的判别式Δ＝（k﹣1）2+4＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根．【解答】解：∵（k﹣3）⊗x＝k﹣1，∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1，∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0，∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0，∴关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键．15．（2022•巴中）对于实数a，b定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）A．k＞−14B．k＜−14C．k＞−14且k≠0D．k≥−14且k≠0【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式求解即可．【解答】解：根据定义新运算，得x2﹣x＝k，即x2﹣x﹣k＝0，∵关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣k）＞0，解得：k＞−1 4，故选：A．【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式，新定义等，熟练掌握根的判别式Δ＝b2﹣4ac与根的情况的关系是解题的关键．16．（2022•安顺）定义新运算a*b：对于任意实数a，b满足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2＝（3+2）（3﹣2）﹣1＝5﹣1＝4．若x*k＝2x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（）A．有一个实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算出根的判别式的值，判断即可．【解答】解：根据题中的新定义化简得：（x+k）（x﹣k）﹣1＝2x，整理得：x2﹣2x﹣1﹣k2＝0，∵Δ＝4﹣4（﹣1﹣k2）＝4k2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】此题考查了根的判别式，方程的定义，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．17．（2022•鄂尔多斯）下列说法正确的是（）①若二次根式√1−x有意义，则x的取值范围是x≥1．②7＜√65＜8．③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．④√16的平方根是±4．⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．A．①③⑤B．③⑤C．③④⑤D．①②④【分析】根据二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形的内角和定理，根的判别式判断即可．【解答】解：①若二次根式√1−x有意义，则1﹣x≥0，解得x≤1．故x的取值范围是x≤1，题干的说法是错误的．②8＜√65＜9，故题干的说法是错误的．③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5是正确的．④√16=4的平方根是±2，故题干的说法是错误的．⑤∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，∴一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根，故题干的说法是正确的．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形．18．（2022•北京）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．﹣4B．−14C．14D．4【分析】根据根的判别式的意义得到12﹣4m＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：根据题意得Δ＝12﹣4m＝0，解得m=1 4．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．19．（2022•呼和浩特）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（）A．4045B．4044C．2022D．1【分析】把x＝x1代入方程表示出x12﹣2022＝x1，代入原式利用完全平方公式化简，再根据根与系数的关系求出所求即可．【解答】解：把x＝x1代入方程得：x12﹣x1﹣2022＝0，即x12﹣2022＝x1，∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2022，则原式＝x1（x12﹣2022）+x22＝x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝1+4044＝4045．故选：A．【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．20．（2021•遵义）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0B．x2+2x﹣20＝0C．x2﹣2x﹣20＝0D．x2﹣2x﹣3＝0【分析】先设这个方程的两根是α、β，根据两个根是﹣3，1和两个根是5，﹣4，得出α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，从而得出符合题意的方程．【解答】解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x﹣20＝0．故选：B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−b a ，x1•x2=ca．二．填空题（共20小题）21．（2023•随州）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为．【分析】直接利用根于系数的关系x1+x2=−ba=3，x1x2=ca=1，再代入计算即可求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，∴x1+x2=−−31=3，x1x2=11=1，∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查根与系数的关系，熟记根与系数的关系时解题关键．根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．22．（2023•岳阳）已知关于x的方程x2+mx﹣20＝0的一个根是﹣4，则它的另一个根是．【分析】设方程的另一个解为t，则利用根与系数的关系得﹣4t＝﹣20，然后解一次方程即可．【解答】解：设方程的另一个解为t，根据根与系数的关系得﹣4t＝﹣20，解得t＝5，即方程的另一个根为5．故答案为：5．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．23．（2023•内江）已知a、b是方程x2+3x﹣4＝0的两根，则a2+4a+b﹣3＝．【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2+3a﹣4＝0，a2＝﹣3a+4，再根据根与系数的关系得到a+b ＝﹣3，然后把要求的式子进行变形，再代入计算即可．【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣4＝0的根，∴a2+3a﹣4＝0，∴a2＝﹣3a+4，∵a，b是方程x2+3x﹣4＝0的两根，∴a+b＝﹣3，∴a2+4a+b﹣3＝﹣3a+4+4a+b﹣3＝a+b+1＝﹣3+1＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba ，x1•x2=ca，也考查了一元二次方程的解．24．（2023•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且x1+x2+x1•x2＝2，则实数m＝．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，由根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m+2，结合x1+x2+x1•x2＝2，可得出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣m+2）＞0，∴m＞2．∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m+2，∵x1+x2+x1•x2＝2，∴﹣2m+m2﹣m+2＝2，解得：m1＝0（不符合题意，舍去），m2＝3，∴实数m的值为3．故答案为：3．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合x1+x2+x1•x2＝2，找出关于m的一元二次方程是解题的关键．25．（2023•上海）已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0没有实数根，那么a的取值范围是．【分析】由方程根的情况，根据判别式可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0没有实数根，∴Δ＜0，即62﹣4a＜0，解得：a＞9，故答案为：a＞9．【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况和根的判别式的关系是解题的关键．26．（2023•上海）已知关于x的方程√x−14=2，则x＝．【分析】方程两边平方得出x﹣14＝4，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：√x−14=2，方程两边平方得：x﹣14＝4，解得：x＝18，经检验x＝18是原方程的解．故答案为：18．【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．27．（2023•枣庄）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为．【分析】把x＝3代入方程求出3a﹣b的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：把x＝3代入方程得：9a﹣3b＝6，即3a﹣b＝2，则原式＝2023﹣2（3a﹣b）＝2023﹣4＝2019．故答案为：2019．【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．28．（2023•金昌）关于x的一元二次方程x2+2x+4c＝0有两个不相等的实数根，则c＝（写出一个满足条件的值）．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝4﹣16c＞0，解之即可得出c的取值范围，任取其内的一个数即可．【解答】解：∵方程x2+2x+4c＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝22﹣16c＞0，解得：c＜1 4．故答案为：0（答案不唯一）．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．29．（2023•怀化）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根为﹣1，则m的值为，另一个根为．【分析】将x＝﹣1代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再结合两根之积等于﹣2，即可求出方程的另一个根．【解答】解：将x＝﹣1代入原方程可得1﹣m﹣2＝0，解得：m＝﹣1，∵方程的两根之积为ca=−2，∴方程的另一个根为﹣2÷（﹣1）＝2．故答案为：﹣1，2．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．30．（2023•连云港）若W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3（x、y为实数），则W的最小值为．【分析】将原式进行配方，然后根据偶次幂的非负性即可求得答案．【解答】解：W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3＝x2+4x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3＝4x2﹣4xy+y2﹣2y+x2+8x+3＝（4x2﹣4xy+y2）﹣2y+x2+8x+3＝（2x﹣y）2﹣2y+x2+4x+4x+3＝（2x﹣y）2+4x﹣2y+x2+4x+3＝（2x﹣y）2+2（2x﹣y）+1﹣1+x2+4x+4﹣4+3＝[（2x﹣y）2+2（2x﹣y）+1]+（x2+4x+4）﹣2＝（2x﹣y+1）2+（x+2）2﹣2，∵x，y均为实数，∴（2x﹣y+1）2≥0，（x+2）2≥0，∴原式W≥﹣2，即原式的W的最小值为：﹣2，解法二：由题意5x2+（8﹣4y）x+（y2﹣2y+3﹣W）＝0，∵x为实数，∴（8﹣4y）2﹣20（y2﹣2y+3﹣W）≥0，即5W≥（y+3）2﹣10≥﹣10，∴W≥﹣2，∴W的最小值为：﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查配方法的应用及偶次幂的非负性，利用配方法把原式整理为“平方+常数”的形式是解题的关键．31．已知方程x2﹣3x﹣4＝0的根为x1，x2，则（x1+2）•（x2+2）的值为．【分析】直接利用根与系数的关系作答．【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣4＝0的根为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣4，∴（x1+2）•（x2+2）＝x1•x2+2x1+2x2+4＝﹣4+2×3+4＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1•x2=ca．32．（2023•重庆）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程．【分析】设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，即可得出关于x的一元二次方程．【解答】解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，依题意得：301（1+x）2＝500．故答案为：301（1+x）2＝500．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．33．（2023•重庆）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为．【分析】根据今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，列一元二次方程即可．【解答】解：根据题意，得1501（1+x）2＝1815，故答案为：1501（1+x）2＝1815．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．34．（2023•达州）已知x1，x2是方程2x2+kx﹣2＝0的两个实数根，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝10，则k的值．【分析】先求出（x1+x2），x1x2的值，然后把（x1﹣2）（x2﹣2）＝10的左边展开，将其代入该关于k的方程，通过解方程来求k的值．【解答】解：∵x1，x2是方程2x2+kx﹣2＝0的两个实数根，∴x1+x2=−k2，x1•x2＝﹣1，∴（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4＝﹣1﹣2×（−k2）+4＝10，解得k＝7．故答案为：7．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba ，x1x2=ca，也考查了代数式的变形能力．35．（2023•扬州）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为．【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：∵方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4k＝4﹣4k＞0，解得：k＜1．故答案为：k＜1．【点评】本题考查了根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式得出4﹣4k＞0是解题的关键．36．（2023•连云港）关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．【分析】根据根的判别式得到Δ＝4﹣4a＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝4﹣4a＞0，解得a＜1．故答案为a＜1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．37．（2022•巴中）α、β是关于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的两个实数根，且α2﹣2α﹣β＝4，则k的值为．【分析】α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝4，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案．【解答】解：∵α、β是方程x2﹣x+k﹣1＝0的根，∴α2﹣α+k﹣1＝0，α+β＝1，∴α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝﹣k+1﹣1＝﹣k＝4，∴k＝﹣4，故答案是：﹣4．【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．38．（2022•鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则1a+1b的值为．【分析】由实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，知a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根，据此可得a+b＝4，ab＝3，将其代入到原式=a+bab即可得出答案．【解答】解：∵实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，∴a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根，则a+b＝4，ab＝3，则原式=a+bab=43，故答案为：4 3．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是根据方程的特点得出a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根及韦达定理．39．（2021•南通）若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则m3+m2n3m−1的值为．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m﹣1＝0，再根据根与系数的关系得到m+n＝﹣3，再将其代入所求式子即可求解．【解答】解：m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，∴m2+3m﹣1＝0，∴3m﹣1＝﹣m2，∴m+n＝﹣3，∴m3+m2n3m−1=m2(m+n)3m−1=−3m2−m2=3，故答案为3．【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解与方程的关系得到3m﹣1＝﹣m2是解题的关键．40．（2021•广东）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为．【分析】根据一元二次方程的定义解决问题即可，注意答案不唯一．【解答】解：∵若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，∴满足条件的方程可以为：x2﹣2＝0（答案不唯一），故答案为：x2﹣2＝0（答案不唯一）．【点评】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三．解答题（共20小题）41．（2023•南充）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m ﹣1）x ﹣3m 2+m ＝0．（1）求证：无论m 为何值，方程总有实数根；（2）若x 1，x 2是方程的两个实数根，且x 2x 1+x 1x 2=−52，求m 的值． 【分析】（1）由判别式Δ＝（4m ﹣1）2≥0，可得答案；（2）根据根与系数的关系知x 1+x 2＝2m ﹣1，x 1x 2＝﹣3m 2+m ，由x 2x 1+x 1x 2=−52进行变形直接代入得到5m 2﹣7m +2＝0，求解可得．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m ﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m 2+m ）＝4m 2﹣4m +1+12m 2﹣4m＝16m 2﹣8m +1＝（4m ﹣1）2≥0，∴方程总有实数根；（2）解：由题意知，x 1+x 2＝2m ﹣1，x 1x 2＝﹣3m 2+m ，∵x 2x 1+x 1x 2=x 12+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2x 1x 2−2=−52， ∴(2m−1)2−3m 2+m −2=−52，整理得5m 2﹣7m +2＝0， 解得m ＝1或m =25．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=c a ．也考查了根的判别式．42．（2023•遂宁）我们规定：对于任意实数a 、b 、c 、d 有[a ，b ]*[c ，d ]＝ac ﹣bd ，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；（2）已知关于x 的方程[x ，2x ﹣1]*[mx +1，m ]＝0有两个实数根，求m 的取值范围．【分析】（1）用新定义运算法则列式计算；（1）先根据新定义得到x （mx +1）﹣m （2x ﹣1）＝0，再把方程化为一般式，接着根据题意得到Δ＝（1﹣2m ）2﹣4m •m ≥0且m ≠0，解不等式即可．【解答】解：（1）[﹣4，3]*[2，﹣6]＝﹣4×2﹣3×（﹣6）＝10；（2）根据题意得x （mx +1）﹣m （2x ﹣1）＝0，整理得mx 2+（1﹣2m ）x +m ＝0，∵关于x 的方程[x ，2x ﹣1]*[mx +1，m ]＝0有两个实数根，∴Δ＝（1﹣2m ）2﹣4m •m ≥0且m ≠0，解得m ≤14且m ≠0．【点评】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，根据题意得到关于m 的不等式是解题的关键．43．（1）解方程：x 2﹣2x ﹣1＝0；（2）解不等式组：{2x −1≥11+x 3＜x −1． 【分析】（1）方程移项后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【解答】解：（1）方程移项得：x 2﹣2x ＝1，配方得：x 2﹣2x +1＝2，即（x ﹣1）2＝2，开方得：x ﹣1＝±√2，解得：x 1＝1+√2，x 2＝1−√2；（2）{2x −1≥1①1+x 3＜x −1②， 由①得：x ≥1，由②得：x ＞2，则不等式组的解集为x ＞2．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握不等式组的解法及方程的解法是解本题的关键．44．如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m ，15m ．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m ，求新的矩形绿地的长与宽；（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．【分析】（1）设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，根据扩充后的矩形绿地面积为800m，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值分别代入（35+x）及（15+x）中，即可得出结论；（2）设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，根据实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用矩形的面积计算公式，即可求出新的矩形绿地面积．【解答】解：（1）设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，根据题意得：（35+x）（15+x）＝800，整理得：x2+50x﹣275＝0解得：x1＝5，x2＝﹣55（不符合题意，舍去），∴35+x＝35+5＝40，15+x＝15+5＝20．答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m．（2）设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，根据题意得：（35+y）：（15+y）＝5：3，即3（35+y）＝5（15+y），解得：y＝15，∴（35+y）（15+y）＝（35+15）×（15+15）＝1500．答：新的矩形绿地面积为1500m2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．45．（2022•广州）已知T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2．（1）化简T；（2）若关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，求T的值．【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式化简T；（2）根据根的判别式可求a2+ab，再代入计算可求T的值．【解答】解：（1）T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2＝a2+6ab+9b2+4a2﹣9b2+a2＝6a2+6ab；（2）∵关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（2a）2﹣4（﹣ab+1）＝0，∴a2+ab＝1，∴T＝6×1＝6．【点评】本题考查了整式的混合运算，根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．46．（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．用“＜”或“＞”填空：a b，ab0；（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法；它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．①x2+2x﹣1＝0；②x2﹣3x＝0；③x2﹣4x＝4；④x2﹣4＝0．【分析】（1）先根据数轴确定a、b的正负，再利用乘法法则确定ab；（2）根据方程的系数特点，选择配方法、公式法或因式分解法．【解答】解：（1）由数轴上点的坐标知：a＜0＜b，∴a＜b，ab＜0．故答案为：＜，＜．（2）①利用公式法：x2+2x﹣1＝0，Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝4+4＝8，∴x=−2±√b2−4ac2=−2±√82=−2±2√22＝﹣1±√2．∴x1＝﹣1+√2，x2＝﹣1−√2；②利用因式分解法：x2﹣3x＝0，∴x（x﹣3）＝0．∴x1＝0，x2＝3；③利用配方法：x2﹣4x＝4，两边都加上4，得x2﹣4x+4＝8，∴（x﹣2）2＝8．∴x﹣2＝±2√2．∴x1＝2+2√2，x2＝2﹣2√2；④利用因式分解法：x2﹣4＝0，∴（x+2）（x﹣2）＝0．∴x1＝﹣2，x2＝2．【点评】本题考查了数轴、一元二次方程的解法，掌握数轴的意义、一元二次方程的解法是解决本题的关键．47．（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．【分析】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可．【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，解得：x1＝1，x2＝﹣1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．48．（2022•泰州）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？【分析】要求路宽，就要设路宽应为x米，根据题意可知：矩形地面﹣所修路面积＝草坪面积，利用平移更简单，依此列出等量关系解方程即可．【解答】解：设路宽应为x米。
中考数学一元二次方程与分式方程专题练习含解析
一元二次方程与分式方程一、选择题1．下列命题：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；④若b2﹣4ac＞0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有①④D．只有②③④2．四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD长是关于x的方程x2﹣3mx+2m2+m﹣2=0的两个实数根，则四边形ABCD是（）A．矩形B．平行四边形C．梯形D．平行四边形或梯形3．正比例函数y=（a+1）x的图象经过第二、四象限，若a同时满足方程x2+（1﹣2a）x+a2=0，则此方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定二、填空题4．已知方程（m2﹣4）x2+（2﹣m）x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是．5．已知关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是．6．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为．7．若关于x的方程有增根，则m的值是．8．方程的解是；若关于x的方程﹣1=0无实根，则a的值为．三、解答题9．阅读下列材料：关于x的方程：的解是x1=c，；（即）的解是x1=c；的解是x1=c，；的解是x1=c，；…（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证．（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：．10．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0（m≠0）（1）若m=1，求出此时方程的实数根；（2）求证：方程总有实数根；（3）设m＞0，方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）、若y是关于m的函数，且y=x2﹣2x1，求函数的解析式，并画出其图象．（画草图即可，不必列表）11．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于．12．如图，直线l的解析式为y=﹣x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0＜t≤4）（1）求A、B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2；①当2＜t≤4时，试探究S2与之间的函数关系；②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为△OAB的面积的？13．A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车驶往B城，乙车驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图．（1）求y关于x的表达式；（2）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶过程中，两车相距的路程为s（千米）．请直接写出s关于x的表达式；（3）当乙车按（2）中的状态行驶与甲车相遇后，速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度a．在下图中画出乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象．14．某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植﹣亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z 与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x 之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．15．要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化．（1）设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．16．如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N 作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP．已知动点运动了x秒．（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）（2）若0秒≤x≤1秒，试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值．（3）若0秒≤x≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x的对应值；若不能，试说明理由．一元二次方程与分式方程参考答案与试题解析一、选择题1．下列命题：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；④若b2﹣4ac＞0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有①④D．只有②③④【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】①②③小题利用移项与变形b2﹣4ac与0的大小关系解决；处理第④小题时不要疏忽二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点情况．【解答】解：①b2﹣4ac=（﹣a﹣c）2﹣4ac=（a﹣c）2≥0，正确；②若b＞a+c，则△的大小无法判断，故不能得出方程有两个不等实根，错误；③b2﹣4ac=4a2+9c2+12ac﹣4ac=4（a+c）2+5c2，因为a≠0，故（a+c）2与c2不会同时为0，所以b2﹣4ac＞0，正确；④二次函数y=ax2+bx+c与y轴必有一个交点，而这个交点有可能跟图象与x轴的交点重合，故正确．故选B．【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数．2．四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD长是关于x的方程x2﹣3mx+2m2+m﹣2=0的两个实数根，则四边形ABCD是（）A．矩形B．平行四边形C．梯形D．平行四边形或梯形【考点】根的判别式；梯形．【分析】AB、CD长是关于x的方程x2﹣3mx+2m2+m﹣2=0的两个实数根，即判别式△=b2﹣4ac≥0，可得到AB与CD的关系，再判定四边形的形状．【解答】解：∵a=1，b=﹣3m，c=2m2+m﹣2∴△=b2﹣4ac=（﹣3m）2﹣4×1×（2m2+m﹣2）=（m﹣2）2+4＞0∴方程有两个不相等的实数根．∴AB≠CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是梯形．故选C．【点评】本题利用了一元二次方程的根的判别式与根的关系，梯形的判定求解．3．正比例函数y=（a+1）x的图象经过第二、四象限，若a同时满足方程x2+（1﹣2a）x+a2=0，则此方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【考点】根的判别式；正比例函数的性质．【分析】正比例函数的图象经过第二、四象限，则（a+1）＜0，求出a的范围，结合一元二次方程的△，来判断根的情况．【解答】解：由题意知，（a+1）＜0，解得a＜﹣1，∴﹣4a＞4．因为方程x2+（1﹣2a）x+a2=0的△=（1﹣2a）2﹣4a2=1﹣4a＞5＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选A．【点评】（1）正比例函数y=kx，当k＜0，图象过二、四象限；k＞0时，图象过一、三象限．（2）一元二次方程的△＞0时，有两个不相等的实数根．（3）本题要会把a＜﹣1转化为1﹣4a＞5．二、填空题4．已知方程（m2﹣4）x2+（2﹣m）x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≠±2．【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程成立的条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵方程（m2﹣4）x2+（2﹣m）x+1=0是关于x的一元二次方程，∴m2﹣4≠0，∴m≠±2．【点评】此题比较简单，考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程．5．已知关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是0≤k≤1且k≠．【考点】根的判别式．【专题】压轴题．【分析】二次方程有实数根即根的判别式△≥0，找出a，b，c的值代入列出k的不等式，求其取值范围．【解答】解：因为关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，所以△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4（1﹣2k）×（﹣1）=4﹣4k≥0，解之得，k≤1．又因为k≥0，1﹣2k≠0，即k≠，所以k的取值范围是0≤k≤1且k≠．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零和被开方数大于零这两个隐含条件．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为16．【考点】一元二次方程的应用；三角形三边关系；菱形的性质．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD 的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD 的周长．【解答】解：∵解方程x2﹣7x+12=0得：x=3或4∵对角线长为6，3+3=6，不能构成三角形；∴菱形的边长为4．∴菱形ABCD的周长为4×4=16．【点评】由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形两边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可．7．若关于x的方程有增根，则m的值是2．【考点】分式方程的增根．【专题】计算题．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出未知字母的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得m﹣1﹣x=0，∵方程有增根，∴最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1，把x=1代入整式方程，得m=2．故答案为：2．【点评】增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．8．方程的解是x=0；若关于x的方程﹣1=0无实根，则a的值为±1．【考点】分式方程的解．【专题】计算题．【分析】本题考查解分式方程能力，观察可得方程最简公分母为2（x﹣2），去分母，化为整式方程求解．分式方程﹣1=0无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．【解答】解：方程两边同乘2（x﹣2），得2x﹣2=x﹣2，解得x=0．经检验x=0是原方程的根，故方程的解是x=0；（1）x=1为原方程的增根，此时有ax+1﹣（x﹣1）=0，即a+1﹣（1﹣1）=0解得a=﹣1．（2）方程两边都乘（x﹣1），得ax+1﹣（x﹣1）=0，化简得：（a﹣1）x=﹣2．当a=1时，整式方程无解．综上所述，当a=±1时，原方程无解．【点评】将分式方程化为整式方程的关键是确定最简公分母，要根据分式的分母确定最简公分母．分母是多项式能进行分解的要先进行分解，再去确定最简公分母．分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．三、解答题9．阅读下列材料：关于x的方程：的解是x1=c，；（即）的解是x1=c；的解是x1=c，；的解是x1=c，；…（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证．（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：．【考点】解分式方程．【专题】阅读型．【分析】此题为阅读分析题，解此题要注意认真审题，找到规律：x+=c+的解为x1=c，x2=，据规律解题即可．【解答】解：（1）猜想的解是x1=c，x2=．验证：当x=c时，方程左边=c+，方程右边=c+，∴方程成立；当x=时，方程左边=+c，方程右边=c+，∴方程成立；∴的解是x1=c，x2=；（2）由得，∴x﹣1=a﹣1，，∴x1=a，x2=．【点评】解此题的关键是理解题意，认真审题，寻找规律：x+=c+的解为x1=c，x2=．10．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0（m≠0）（1）若m=1，求出此时方程的实数根；（2）求证：方程总有实数根；（3）设m＞0，方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）、若y是关于m的函数，且y=x2﹣2x1，求函数的解析式，并画出其图象．（画草图即可，不必列表）【考点】根与系数的关系；解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣因式分解法；根的判别式；待定系数法求反比例函数解析式．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）把m的值，代入方程，解方程即可；（2）运用根的判别式判断，列出判别式的表达式，再变形成为非负数，得出△≥0即可；（3）可根据求根公式求出x1、x2，代入y=x2﹣2x1中，得出关于m的函数关系式，根据m＞0，画出函数图象．【解答】解：（1）若m=1，方程化为x2﹣5x+4=0即（x﹣1）（x﹣4）=0，得x﹣1=0或x﹣4=0，∴x1=1或x2=4；证明：（2）∵mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0是关于x的一元二次方程，∴△=[﹣（3m+2）]2﹣4m（2m+2）=m2+4m+4=（m+2）2∵m≠0，∴（m+2）2≥0，即△≥0∴方程有实数根；解：（3）由求根公式，得．∴或x=1∵=2+∵m＞0，∴=2+＞2∵x1＜x2，∴x1=1，∴即为所求．此函数为反比例函数，其图象如图所示：即为所求．此函数为反比例函数，其图象如图所示：【点评】本题重点考查了反比例函数的性质（点评不合题意）及一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（此题并没有设计，需要重新检查此题），是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．11．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于75°或15°．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．【解答】解：当高在三角形内部时，由已知可求得三角形的顶角为30°，则底角是75°；当高在三角形外部时，三角形顶角的外角是30°，则底角是15°；所以此三角形的底角等于75°或15°【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出75°一种情况，把三角形简单的化成锐角三角形．12．如图，直线l的解析式为y=﹣x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0＜t≤4）（1）求A、B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2；①当2＜t≤4时，试探究S2与之间的函数关系；②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为△OAB的面积的？【考点】一次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）在解析式y=﹣x+4中，分别令y=0，x=0就可以求出与x，y轴的交点坐标；（2）根据MN∥AB，得到△OMB∽△OAB，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出，用OM表示出来；（3）根据t的不同值，所对应的阴影部分的图形形状不同，因而应分2＜t≤4和当0＜t≤2两种个情况进行讨论．【解答】解：（1）当x=0时，y=4；当y=0时，x=4．∴A（4，0），B（0，4）；（2）∵MN∥AB，，∴OM=ON=t，∴S1=OM•ON=t2；（3）①当2＜t≤4时，易知点P在△OAB的外面，则点P的坐标为（t，t）．理由：当t=2时，OM=2，ON=2，OP=MN==2，直角三角形AOB中，设AB边上的高为h，易得AB=4，则×4h=4×4×，解得h=2，故t=2时，点P在l上，2＜t≤4时，点P在△OAB的外面．F点的坐标满足，即F（t，4﹣t），同理E（4﹣t，t），则PF=PE=|t﹣（4﹣t）|=2t﹣4，所以S2=S△MPN﹣S△PEF=S△OMN﹣S△PEF，=t2﹣PE•PF=t2﹣（2t﹣4）（2t﹣4）=﹣t2+8t﹣8；②当0＜t≤2时，S2=t2，t2=，解得t1=﹣＜0，t2=＞2，两个都不合题意，舍去；当2＜t≤4时，S2=﹣t2+8t﹣8=，解得t3=3，t4=，综上得，当t=或t=3时，S2为△OAB的面积的．【点评】本题主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，以及利用三角形的相似的性质．是一个难度较大的综合题．13．A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车驶往B城，乙车驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图．（1）求y关于x的表达式；（2）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶过程中，两车相距的路程为s（千米）．请直接写出s关于x的表达式；（3）当乙车按（2）中的状态行驶与甲车相遇后，速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度a．在下图中画出乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象．【考点】一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）由图知y是x的一次函数，设y=kx+b．把图象经过的坐标代入求出k与b 的值．（2）根据路程与速度的关系列出方程可解．（3）如图：当s=0时，x=2，即甲乙两车经过2小时相遇．再由1得出y=﹣90x+300．设y=0时，求出x的值可知乙车到达终点所用的时间．【解答】解：（1）方法一：由图知y是x的一次函数，设y=kx+b．∵图象经过点（0，300），（2，120），∴解得，∴y=﹣90x+300．即y关于x的表达式为y=﹣90x+300．方法二：由图知，当x=0时，y=300；x=2时，y=120．所以，这条高速公路长为300千米．甲车2小时的行程为300﹣120=180（千米）．∴甲车的行驶速度为180÷2=90（千米/时）．∴y关于x的表达式为y=300﹣90x（y=﹣90x+300）．（2）由（1）得：甲车的速度为90千米/时，甲乙相距300千米．∴甲乙相遇用时为：300÷（90+60）=2，当0≤x≤2时，函数解析式为s=﹣150x+300，2＜x≤时，S=150x﹣300＜x≤5时，S=60x；（3）在s=﹣150x+300中．当s=0时，x=2．即甲乙两车经过2小时相遇．因为乙车比甲车晚40分钟到达，40分钟=小时，所以在y=﹣90x+300中，当y=0，x=．所以，相遇后乙车到达终点所用的时间为﹣2=2（小时）．乙车与甲车相遇后的速度a=（300﹣2×60）÷2=90（千米/时）．∴a=90（千米/时）．乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象如图所示．【点评】本题以行程问题为背景，考查由一次函数图象求解析式．分析相遇问题，求相遇时间及速度，依据速度和时间画函数图象，重点考查学生的观察、理解及分析解决问题的能力．14．某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植﹣亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z 与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x 之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．【考点】二次函数的应用；一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）根据题意可知直接计算这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）；（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：y=kx+800，z=k1x+3000，并根据图象上点的坐标利用待定系数法求函数的解析式即可；（3）表示出蔬菜的总收益w（元）与x之间的关系式，w=﹣24x2+21600x+2400000，利用二次函数最值问题求最大值．【解答】解：（1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：y=kx+800，z=k1x+3000，分别把点（50，1200），（100，2700）代入得，50k+800=1200，100k1+3000=2700，解得：k=8，k1=﹣3，种植亩数与政府补贴的函数关系为：y=8x+800每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为z=﹣3x+3000（x＞0）（3）由题意：w=yz=（8x+800）（﹣3x+3000）=﹣24x2+21600x+2400000=﹣24（x﹣450）2+7260000，∴当x=450，即政府每亩补贴450元时，总收益额最大，为7260000元．【点评】主要考查利用一次函数和二次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解．利用二次函数的顶点坐标求最值是常用的方法之一．15．（2009•潍坊）要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化．（1）设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用；相切两圆的性质．【专题】几何图形问题．【分析】（1）把P、Q合并成矩形得长为（60﹣3×硬化路面的宽），宽为（40﹣2×硬化路面的宽），由等量关系S P+S Q=S矩形ABCD÷4求得并检验．（2）两等量关系2×O1到AD的距离=40；2×圆的半径+2×圆心到边的距离=60，列方程组求出并检验．【解答】解：（1）设P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米，根据题意，得：（60﹣3x）×（40﹣2x）=60×40×，解得，x1=10，x2=30，经检验，x2=30不符合题意，舍去．所以，两块绿地周围的硬化路面宽都为10米．（2）设想成立．设圆的半径为r米，O1到AB的距离为y米，根据题意，得：，解得：y=20，r=10，符合实际．所以，设想成立，则圆的半径是10米．【点评】分析图形特点，根据题意找出等量关系列出方程或方程组，解决问题并检验．16．如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N 作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP．已知动点运动了x秒．（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）（2）若0秒≤x≤1秒，试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值．（3）若0秒≤x≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x的对应值；若不能，试说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；动点型．【分析】（1）可在直角三角形CPN中，根据CN的长和∠CPN的正切值求出．（2）三角形MPA中，底边AM的长为3﹣x，关键是求出MA边上的高，可延长NP交AD于Q，那么PQ就是三角形AMP的高，可现在直角三角形CNP中求出PN的长，进而根据AB的长，表示出PQ的长，根据三角形的面积公式即可得出S与x的函数关系式．根据函数的性质可得出S的最大值．（3）本题要分三种情况：①MP=PA，那么AQ=BN=AM，可用x分别表示出BN和AM的长，然后根据上述等量关系可求得x的值．②MA=MP，在直角三角形MQP中，MQ=MA﹣BN，PQ=AB﹣PN根据勾股定理即可求出x的值．③MA=PA，不难得出AP=BN，然后用x表示出AM的长，即可求出x的值．【解答】解：（1）；（2）延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，由（1）得：PN=，则PQ=QN﹣PN=4﹣=x依题意，可得：AM=3﹣x，S=AM•PQ=（3﹣x）•=2x﹣x2=﹣（x﹣）2+∵0≤x≤1即函数图象在对称轴的左侧，函数值S随着x的增大而增大．∴当x=1时，S有最大值，S最大值=（3）△MPA能成为等腰三角形，共有三种情况，以下分类说明：①若PM=PA，∵PQ⊥MA，∴四边形ABNQ是矩形，∴QA=NB=x，∴MQ=QA=x，又∵DM+MQ+QA=AD∴3x=3，即x=1②若MP=MA，则MQ=3﹣2x，PQ=，MP=MA=3﹣x在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP2=MQ2+PQ2∴（3﹣x）2=（3﹣2x）2+（x）2，解得：x=（x=0不合题意，舍去）③若AP=AM，由题意可得：AP=x，AM=3﹣x∴x=3﹣x，解得：x=综上所述，当x=1，或x=，或x=时，△MPA是等腰三角形．【点评】本题是点的运动性问题，考查了图形面积的求法、等腰三角形的判定等知识．（3）题要按等腰三角形腰和底的不同分类讨论．。
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一元二次方程专题练习
1、（2013•自贡）用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．
2、（2013•自贡）已知关于x的方程x2-（a+b）x+ab-1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2．则正确结论的序号是．（填上你认为正确结论的所有序号）
3、（2013•珠海）已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0．下列说法正确的是（）A．①②都有实数解B．①无实数解，②有实数解
C．①有实数解，②无实数解D．①②都无实数解
4、（2013•珠海）某渔船出海捕鱼，2010年平均每次捕鱼量为10吨，2012年平均每次捕鱼量为8.1吨，求2010年-2012年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率．
5、（2013•重庆）“4•20”雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完．
（1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？
（2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200m顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑1/2m次，小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m的值．
6、（2013•重庆）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）
7、（2013•新疆）方程x2-5x=0的解是（）
A．x1=0，x2=-5 B．x=5 C. x1=0，x2=5 D．x=0
8、（2013•新疆）如果关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是
9、（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k使得x1•x2−x12−x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
10、（2013•厦门）若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k 是整数），称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2-6x-27=0，x2-2x-8=0，x2+3x−27/4=0，x2+6x-27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．
（1）判断方程x2+x-12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；
（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．
11、（2013•黔东南州）若两个不等实数m、n满足条件：m2-2m-1=0，n2-2n-1=0，则m2+n2的值是
12、（2013•平凉）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2-3a+b，如：3★5=32-3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是
13、（2013•攀枝花）设x1，x2是方程2x2-3x-3=0的两个实数根，则的值为
14、（2013•南充）关于x的一元二次方程为（m-1）x2-2mx+m+1=0．
（1）求出方程的根；
（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
15、（2013•绵阳）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2-3x+8=0，
则△ABC的周长是
16、（2013•六盘水）已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A．k＜-2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠1
17、（2013•临沂）对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42-4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=
18、（2013•乐山）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k的值．
19、（2013•荆门）设x1，x2是方程x2-x-2013=0的两实数根，则
20、（2013•江西）若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程
21、（2013•呼和浩特）（非课改）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相
等的实数根，且满足，则m的值是（）
A．3或-1 B．3 C．1 -3或1
22、（2013•衡阳）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）
A．168（1+x）2=128 B．168（1-x）2=128
C．168（1-2x）=128 D．168（1-x2）=128
23、（2013•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+2x+a-1=0有两根为x1和x2，且x12-x1x2=0，则a的值是（）
A．a=1 B．a=1或a=-2 C．a=2 D．a=1或a=2
24、（2013•广州）若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是（）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法判断
25、（2013•德宏州）如图，要建造一个直角梯形的花圃．要求AD边靠墙，CD⊥AD，AB：CD=5：4，另外三边的和为20米．设AB的长为5x米．
（1）请求出AD的长（用含字母x的式子表示）；
（2）若该花圃的面积为50米2，且周长不大于30米，求AB的长．
26、（2013•成都）一元二次方程x2+x-2=0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
27、（2013•北京）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
28、（2013•巴中）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．。