第7章非线性系统分析资料
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非线性系统分析-PPT课件可修改文字
k(x a) y 0
k(x a)
x a | x | a xa
死区特性对系统性能的影响： （1）由于死去的存在，增大了系统的稳态误差，降低了 系统的控制精度； （2）若干扰信号落在死区段，可大大提高系统的抗干扰 能力。 2．饱和特性
y
M
a k
0a
x
M
M
y
kx
M
x a | x | a xa
1
2
平面，相应的分析法称为相平面法；
相平面上的点称为相点；
由某一初始条件出发在相平面上绘出的曲线称 为相平面轨迹，简称相轨迹；
不同初始条件下构成的相轨迹，称为相轨迹族， 由相轨迹族构成的图称为相平面图，简称相图。
2.相轨迹方程和平衡点
考察二阶非线性时不变微分方程:
x f (x, x)
引入相平面的概念，将二阶微分方程改写成二 元一阶微分方程组:
此时两个状态变量对时间的变化率 都为零，系统的状态不再发生变化，即 系统到达了平衡状态，相应的状态点 （相点）称为系统的平衡点。平衡点处 有的斜率
dx 2 dx2 dt 0 dx1 dx1 0
dt
则上式不能唯一确定其斜率，相轨迹上斜 率不确定的点在数学上也称为奇点，故平 衡点即为奇点。
奇点处，由于相轨迹的斜率dx2／dx1为 不定值，可理解为有多条相轨迹在此交汇 或由此出发，即相轨迹可以在奇点处相交。
初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一 族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原 点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是 一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。
无阻尼二阶线性系统的相轨迹
2、欠阻尼运动（01）
系统特征方程的根为一对具有负实部的共 轭复根,系统的零输入解为
第7章非线性系统
振幅和频率的振荡，称为自持振荡（或自激振荡）。 There is self excited oscillation in the nonlinear
system。
例 7-1-2 范德波尔方程是
••
x(t)
2
1
x2
(t
)x(•t)
x(t
)
0
0
或
••
x(t
)
2
x
2
(t)
1
•
x(t)
x(t
)
0
0
现分析其响应的特征。
(2)相平面法 (phase plane analysis) 用相平面图研究非线性系统的动态特性(dynamic character) ,
只适用于二阶系统.
(3)李雅普诺夫第二方法(直接法)(Lyapunov second method) 用李雅普诺夫函数V(x)来研究, 但V(x)难确定.
7-2 二阶线性和非线性系统的 相平面分析
通常情况下，可以将构成系统的环节分为线性与 非线性两部分。用框图表示如图7-1-2所示。
图7-1-2 非线性系统框图的基本形式
式(7-1-1)描述的系统，也可以用图7-1-3所示的 框图表示。
图7-1-3 质量、弹簧、阻尼系统的框图
当用框图作为非线性系统的数学模型时，只需将 系统的线性部分用传递函数或脉冲响应表示，非 线性部分用非线性等效增益或描述函数表示。
Chapter 7 Nonlinear Control system
7-1 The Basic notion of Nonlinear Control System 7-2 Phase Plane analysis of second order linear system and nonlinear system
system。
例 7-1-2 范德波尔方程是
••
x(t)
2
1
x2
(t
)x(•t)
x(t
)
0
0
或
••
x(t
)
2
x
2
(t)
1
•
x(t)
x(t
)
0
0
现分析其响应的特征。
(2)相平面法 (phase plane analysis) 用相平面图研究非线性系统的动态特性(dynamic character) ,
只适用于二阶系统.
(3)李雅普诺夫第二方法(直接法)(Lyapunov second method) 用李雅普诺夫函数V(x)来研究, 但V(x)难确定.
7-2 二阶线性和非线性系统的 相平面分析
通常情况下，可以将构成系统的环节分为线性与 非线性两部分。用框图表示如图7-1-2所示。
图7-1-2 非线性系统框图的基本形式
式(7-1-1)描述的系统，也可以用图7-1-3所示的 框图表示。
图7-1-3 质量、弹簧、阻尼系统的框图
当用框图作为非线性系统的数学模型时，只需将 系统的线性部分用传递函数或脉冲响应表示，非 线性部分用非线性等效增益或描述函数表示。
Chapter 7 Nonlinear Control system
7-1 The Basic notion of Nonlinear Control System 7-2 Phase Plane analysis of second order linear system and nonlinear system
非线性系统分析方法
解：1. 死去继电特性的描述函数
4M N(X)
1 ( )2
X
X
2. 绘制描述函数的负倒数特性
1
X
N(X ) 4M 1 ( )2
X
3. 绘制线性部分的极坐标图
4. 判断稳定性，分析两曲线相交点的性质
1 N(X)
X
-1.56 300 400 B -1 -0.5
X 130 A 140
120 G(j)
趋于奇点 远离奇点 包围奇点
例：二阶线性定常系统
••
•
x 2n x n2 x 0
试分析其奇点运动性质。
dx/dt x
稳定节点
••
•
x 2n x n2 x 0
dx/dt x
1
稳定节点
相轨迹趋于原点，该奇点称为 稳定节点
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
1
不稳定节点
相轨迹远离原点，该奇点为 不稳定节点
者是自持振荡的
自持振荡点 a 振荡幅值=Xa
振荡频率=a
Im Re
X a
0
1 G(j) N ( X )
例：已知死区继电非线性系统如图
R(s)
+M
460
C(s)
+-
- -M
( j)(0.01 j 1)(0.005 j 1)
继电参数： M 1.7 死区参数：Δ 0.7 应用描述函数法作系统分析。
•
x
-1 -5/4
-3/2
-5/3
=
-2
-3/7
-3
-5 - x
3
1 1/3
0 -3/4 -1/2 -1/3
第7章非线性系统分析
描述函数的定义是：输入为正弦函数时，输 出的基波分量与输入正弦量的复数比。
其数学表达式为
N
X
R
X
Y1
sin(t X sint
1)
Y1 X
1
A12 B12 arctan A1
A1
1
2
y(t) costdt
0
X
B1
1
B1
2
y(t ) sin tdt
0
7.3 非线性特性的描述函数法
（2）举例说明描述函数
(1) 降低了定位精度，增大了系统的静差。 (2) 使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
4.摩擦特性
Mf
M1 •
M2
•
M f 摩擦力矩
转速
M1 静摩擦力矩
M 2 动摩擦力矩
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
摩擦特性的影响
(1)对随动系统而言，摩擦会增加静差，降低精 度。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
2.饱和特性
x1 a ，等效增益 为常值，即线性段 斜率；
而 x1 a ，输出饱
和，等效增益随输 入信号的加大逐渐 减小。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
饱和特性的影响
(1) 饱和特性使系统开环增益下降， 对动态响应的 平稳性有利。
(2) 如果饱和点过低，则在提高系统平稳性的同时， 将使系统的快速性和稳态跟踪精度有所下降。
7.3 非线性特性的描述函数法
KX sint
y(t) Ka
0 t 1 1 t / 2
∵ y(t) 单值奇对称， A0 0 A1 0
B1
4
第7章 非线性系统的分析
某一初始条件出发在相平面上按照式(7-13)或式(7-14)绘出的
曲线称为相平面轨迹,简称相轨迹。不同初始条件下构成的
相轨迹,称为相轨迹簇。由相轨迹簇构成的图称为相平面图。
利用相平面图分析系统性能的方法,称为相平面分析法。
图7-6为某个非线性系统的相平面图。图中,相轨迹上的
箭头表示相变量随着时间的增加沿相轨迹运动的方向。
第7章 非线性系统的分析 7.2 相平面分析法
7.2.1 相平面的基本概念 设二阶非线性系统的微分方程为
第7章 非线性系统的分析
第7章 非线性系统的分析
1.相平面和相轨迹
前面已经设定
我们称以x1(或x)为横坐
标、以x2(或 )为纵坐标构成的平面为相平面(注意,纵坐标x2
是横坐标x1的一阶导数),如图7-6所示。x1、x2为相变量。由
7.2.2 线性系统的相轨迹 在学习非线性系统的相平面分析法之前,我们先对非常
熟悉的线性系统做相平面分析。设二阶线性系统的微分方程 为
第7章 非线性系统的分析
也就是说,无论系统特征参数ωn和ξ是何值,系统的奇点是 不变的。此外,式(7-21)的特征方程为
系统的特征根为
对于不同的阻尼比ξ,二阶系统特征根的形式是不同的,而 线性系统的时域响应是由特征根决定的。下面介绍系统特征 根与系统的奇点(0,0)以及相轨迹的关系。
行线性化。我们只研究系统平衡点附近的特性时,就可以采 用平衡点附近的线性化方法,将非线性系统在平衡点附近小 范围线性化。当然,也可以将非线性系统分为几个区域,对每 个区域进行分段线性化。
第7章 非线性系统的分析
2.相平面分析法 相平面分析法简称相平面法,是非线性系统的图解分析 法。其基本思路是:建立一个相平面,在相平面上根据非线性 系统的结构和特性,绘制非线性系统的相轨迹。相轨迹就是 非线性系统中的变量在不同初始条件下的运动轨迹,根据相 轨迹就可以对非线性系统进行分析。该方法只适用于一阶和 二阶非线性微分方程。
第7章-非线性系统PPT课件
线性问题。非线性系统的运动规律也与线性系统有许多不同
之处。例如
(1)线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，而与输
入信号的大小及系统的初始条件无关。但非线性系统的稳定
性，除了和系统的结构和参数有关外，还与输入信号的大小
及系统的初始条件有关。因此，在非线性系统中必须针对具
体的某一运动来讨论系统的稳定性问题。有些系统可能在小
这种特性。
2021/3/12
4
xoBox
4．继电特性 一般的继电特性的输入 输出关系如图7－4所示。它相当于上述三 种特性的综合：输出存在死区，当输入达 某值时，输出立即跃变为定值，相当于饱 和，而在输出饱和区中又存在回环。电器。
中的继电器的工作特性就是典型的例子，由于吸合、释放电 压的不同而形成这种特性。继电特性一般是人为的，可以用 来改善系统性能，但也可能带来不利的作用。
2．饱和特性 饱和特性的输入输出关系如
图7－2，有时为简化，可把它近似为理想饱
和特性，即由两条直线来表示。也就是说，
当2021输/3/12入低于某值时，输出与输入成正比，而
3
xoBox
当输入超过此值后，输出就保持定值而不再变化。例如电机的 磁化特性曲线，线性放大器设置限幅时都具有这种饱和特性。
饱和特性使系统在大信号时增益降低，稳态误差增大，还可能
往往是具体情况要具体处理。本章介绍的描述函数法和相平面
法，用于分析非线性系统是相当烦琐和困难的，因此，只是提
供一些基本的概念和方法，对非线性系统的分析主要使用
xoBox分析软件的非线性仿真功能。
系统的非线性一般会对系统的工作产生不利的影响，但在某
些情况下，人为地使系统非线性也可以使控制系统结构简化而
第七章 非线性系统的分析
一次近似，则得到奇点附近关于 微分方程：
x 增量 x 的线性二阶
x 0
线上相轨迹任一点的切线斜率
dx dx ax bx x ax bx 0 dx dx x b x Kx 等倾线方程： x a
相等，所以当相轨迹
运动至特殊等倾线上时，将沿特殊等倾线收敛或发散。
①
b 0时
a2 4 b 2 a2 4 b 2 0 0
解： x dx 2x 0 dx xdx 2 xdx
2 2
(1, 0)
( x) ( x) c x 2 ( ) x 2 a 2 相轨迹是椭圆。
0
x
例7-1：二阶系统微分方程为 m 0，其中 m为常数， x 绘制相平面图。 dx 解： x m0
4) 0
s1,2 jn
这时二阶系统为:
bx 0 x
中心点
0 时线性二阶系统的相平面图
5) 1 0
s1,2 n jn 1 2
两个具有正实
部共轭复根。
不稳定焦点
0.5，n 1 时线性二阶系统的相轨迹
6) 1
Te e Ke T r，Tc c Kc Kr r
K 1 n ， 2n T T 1 T 1 K 2 KT 2 T 1 1 设 0 2 KT
c e
10AcE NhomakorabeaB
C
单位阶跃响应
D F
e
t
1. 相平面
若以 e 为横坐标，以 称这一平面为相平面。 2. 相轨迹 设输入为单位阶跃函数，即
第七章 非线性系统的分析讲解
分析方法：频域上有描述函数法和波波夫法；时域 上有相平面法和李亚普诺夫第二法。计算机仿真的 方法也可以分析复杂的非线性系统。
§7.2
x(t)
非线性系统的描述函数分析法
n(t)
e
一、描述函数法的基本概念
非线性环节N
＋ －
N
非线性部分
x
G(s) 线性部分
c
假设非线性系统的输入函数为
x(t ) A sin(t )
(t ) 0 y (t ) 0 y (t ) 0 y
间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏自 持振荡。同时使稳态误差增大。
5. 继电器特性
y M -a -ma ma a －M
y y M -a x －M a －M x -a a －M x M y
x
0 m a x(t ) a, 0 a x(t ) m a, y (t ) M sgn x(t ) M x(t ) m a, x(t ) m a, M
输出n(t)将是非正弦的周期信号。可以展成傅利叶级数， y(t)是由恒定分量、基波分量、和高次谐波组成。 பைடு நூலகம்设1：如果非线性部分的特性曲线具有中心对称性质，那以 输出信号y(t)的波形具有奇次对称性（波形的后半个周期重复 前半个周期的变化，但符号相反）输出不含直流分量，输出响 应的平均值为零。
假设2：线性部分具有良好的低通滤波性，那么高次谐波的幅值 远小于基波。闭环通道内近似地只有一次谐波信号流通。对于 一般的非线性系统而言这个条件是满足的，线性部分的低通滤 波性越好，用描述函数法分析的精度越高。 上述两个假设满足时，非线性环节的输入是一个正弦信号，系 统的输出是相同频率的正弦信号，对于非线性环节的输出只研 究其基波成分就足够了。 假设系统中非线性环节的输入函数为
自动控制原理第七章非线性系统ppt课件
7.1.3 非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无 法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
4M
sin t
故理想继电器特性的描述函数为
N ( A)
Y1 A
1
4M
A
请牢记！
即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.
2.饱和特性
当输入为x(t)＝Asinωt，且A大于线性区宽度a 时，
饱和特性的输出波形如图7-10所示。
y
x
N
M
k 0a
x
yy
0 ψ1
π
2π
ωt
0 x
ψ1
π
A sin 1
x(t) Asint
则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏级 数：
y(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt ) n1
若系统满足上述第二个条件，则有A0=0
An
1
2 y(t ) cos ntd t
0
Bn
1
2 y(t ) sin ntd t
0
由于在傅氏级数中n越大,谐波分量的频率越高，An，Bn
7第七章非线性系统的分析
第七章 非线性系统的分析
5、 ( 1)
jω
××
λ1 λ2
x
x
系统的运动是非周期发散运动。相轨迹是由原点出发的发散 型抛物线。原点处的奇点称为不稳定节点。
第七章 非线性系统的分析
6、
, 为一正一负两实根
12
jω
×
λ1
0
×
λ2
x
x
系统的自由运动是发散运动，原点处的奇点称为鞍点。 以上6种奇点，类似的奇点在非线性系统中也常见到。
复平面中，根据二者的相对位置可分析非线性系统的稳定
性。
一、非线性系统稳定
Im
1 不被G(j)包围
N(X)
x a
1 N(X)
0
Re
G( j)
第七章 非线性系统的分析
二、非线性系统不稳定 1 被G( j)包围
N(X)
三、非线性系统产生自持振荡
1 与G(j)相交
N(X)
图示系统在a点产生稳定的自 持振荡。由交点可确定自持 振荡的频率和幅值。
Im
0
Re
x a
G( j) 1
N(X)
Im
1 N(X)
a0
Re
x b a
G( j)
非线性系统即使无外界作用，也可能会发生某一 固定振幅和频率的振荡，称为自持振荡。
３、频率响应畸变 非线性系统在输入为正弦函数时，输出为包含一定数
量的高次谐波的非正弦周期函数。
第七章 非线性系统的分析
线性系统分析可用叠加原理，在典型输入信号下系 统分析的结果也适用于其它情况。
非线性系统不能应用叠加原理，没有一种通用的方 法来处理各种非线性问题。
第七章 非线性系统的分析 7
系统的频率特性中相移不是一回事。
退出
典型非线性特性的描述函数 下面介绍几种典型非线性特性的描述函数。 这些特性都是对称奇函数。包括： （1）饱和特性的描述函数； （2）不灵敏区特性的描述函数； （3）间隙特性的描述函数； （4）继电器特性的描述函数；
退出
（1）饱和特性的描述函数
输出 y (t)
y (t)
A
A
1
2 A
(A )
退出
N( A) K
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 A
退出
问题：请大家绘出
1 N( A)
退出
（3）间隙特性的描述函数；
输出 y (t)
退出
一般概念 1 非线性系统的基本概念 （1）实际控制系统在某种程度上都具有非线 性，所谓线性系统是在实际系统中，忽略了非线 性因素后的理想模型。 （2）若系统的非线性特性y=f(x) 在工作点附近能 展开台劳级数，忽略变量增量的高次项，仅取变 量增量的一次项，则函数增量与变量增量之间是 线性关系。此时，系统可近似成线性系统。若 y=f(x) 在工作点附近不能展开成台劳级数，则称 y=f(x) 为本质非线性，这样的系统只能按非线性 系统理论来进行分析。
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 S A
退出
问题：请大家绘出
1 N( A)
S A
退出
（2）不灵敏区特性的描述函数
输出 y (t)
y (t)
K
0
x (t)
0
t
输入
第7章非线性控制系统分析自动控制原理课件
本章将介绍的分析非线性控制系统的相平面法和描 述函数法, 是在非线性控制系统满足一定的条件下, 将 线性控制理论的某些内容给以扩充和变通后得出的, 因 此具有一定的局限性.
7-3相平面法
1. 相平面法的基本概念
所谓相平面法, 是一种二阶微分方程的图解法. 此
法即可用于线性二阶系统, 也可用于线性部分是二阶的
率为-1的直线, 见下图. •
e
0.2 p2 0.1
0.1
0
0.2
0.8
p1
特定的相轨迹为 p1 p2
1 p0
e
0
区域 :
•
e
d
•
e/ de
•
e
•
0.8 e
0.8 /(
1)
•
相轨迹与区域 类似, 但所有相轨迹均趋向于 e 0.8
直线, 见下图.
•
e
0
p3
0.8
0.2 p2 0.1 0
•
4m0 0.8 e 0.2 or e 0,e 0.1
区域 :
•
•
•
••
e
d
e
de d
e
•
e
d
e
dt dt de de
•
•
e
d
e
•
e
0.8
de
•
•
令 d e/ de, 则 e 0.8 /( 1)等倾线为一组平
•
行于 e 轴的直线. 当 0时, e 0.8
•
相轨迹为一组平行的曲线, 所由相轨迹均趋向于e 0.8
x
x0 ,
•
x
•
x0
情况下的
•
7-3相平面法
1. 相平面法的基本概念
所谓相平面法, 是一种二阶微分方程的图解法. 此
法即可用于线性二阶系统, 也可用于线性部分是二阶的
率为-1的直线, 见下图. •
e
0.2 p2 0.1
0.1
0
0.2
0.8
p1
特定的相轨迹为 p1 p2
1 p0
e
0
区域 :
•
e
d
•
e/ de
•
e
•
0.8 e
0.8 /(
1)
•
相轨迹与区域 类似, 但所有相轨迹均趋向于 e 0.8
直线, 见下图.
•
e
0
p3
0.8
0.2 p2 0.1 0
•
4m0 0.8 e 0.2 or e 0,e 0.1
区域 :
•
•
•
••
e
d
e
de d
e
•
e
d
e
dt dt de de
•
•
e
d
e
•
e
0.8
de
•
•
令 d e/ de, 则 e 0.8 /( 1)等倾线为一组平
•
行于 e 轴的直线. 当 0时, e 0.8
•
相轨迹为一组平行的曲线, 所由相轨迹均趋向于e 0.8
x
x0 ,
•
x
•
x0
情况下的
•
第7章 非线性系统分析
1 2
x ≥ a x < −a
2 2
x >
1 1
•
0
− a < x < a x > a x < −a
1
x <
2
•
0
4. 间隙特性
输入输出之间具 有多值关系
输出
齿轮传动中的齿隙 液压传动中的油隙
输入
元件开始运动 输入信号< 无输出信号； 输入信号< a 时，无输出信号； 当输入信号> 以后，输出随输入线性变化。 当输入信号> a 以后，输出随输入线性变化。 元件反向运动 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 输入反向变化>2 输出随输入线性变化。 输入反向变化>2a ，输出随输入线性变化。
§7-2
常见非线性特性 常见非线性特性
一个单输入单输出静态非线性特性的数 学描述为： 学描述为：
y = f (x)
静态非线性特性中，死区特性、饱和特性、继 电特性、间隙特性是最常见的，也是最简单。 也是最简单 也是最简单
1. 死区特性
输出
（不灵敏区特性 不灵敏区特性） 不灵敏区特性
各类液压阀的正重叠量； 各类液压阀的正重叠量； 系统的库伦摩擦； 系统的库伦摩擦； 测量变送装置的不灵敏区； 测量变送装置的不灵敏区； 调节器和执行机构的死区； 调节器和执行机构的死区； 弹簧预紧力；等等。 弹簧预紧力；等等。
如果系统线性部分gs具有良好的低通滤波特性则高次谐波分量通过线性部分后将被衰减到忽略不计可以近似认为当输入为正弦信号xt时只有yt的基波分量沿闭环反馈回路送至比较点其高次谐波分量可忽略不计即只考虑一次谐波sincos非线性环节相当于一个对正弦输入信号的幅值及相位进行变换的环节可以仿照线性系统频率特性的概念建立非线性环节的等效幅相特性
x ≥ a x < −a
2 2
x >
1 1
•
0
− a < x < a x > a x < −a
1
x <
2
•
0
4. 间隙特性
输入输出之间具 有多值关系
输出
齿轮传动中的齿隙 液压传动中的油隙
输入
元件开始运动 输入信号< 无输出信号； 输入信号< a 时，无输出信号； 当输入信号> 以后，输出随输入线性变化。 当输入信号> a 以后，输出随输入线性变化。 元件反向运动 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 输入反向变化>2 输出随输入线性变化。 输入反向变化>2a ，输出随输入线性变化。
§7-2
常见非线性特性 常见非线性特性
一个单输入单输出静态非线性特性的数 学描述为： 学描述为：
y = f (x)
静态非线性特性中，死区特性、饱和特性、继 电特性、间隙特性是最常见的，也是最简单。 也是最简单 也是最简单
1. 死区特性
输出
（不灵敏区特性 不灵敏区特性） 不灵敏区特性
各类液压阀的正重叠量； 各类液压阀的正重叠量； 系统的库伦摩擦； 系统的库伦摩擦； 测量变送装置的不灵敏区； 测量变送装置的不灵敏区； 调节器和执行机构的死区； 调节器和执行机构的死区； 弹簧预紧力；等等。 弹簧预紧力；等等。
如果系统线性部分gs具有良好的低通滤波特性则高次谐波分量通过线性部分后将被衰减到忽略不计可以近似认为当输入为正弦信号xt时只有yt的基波分量沿闭环反馈回路送至比较点其高次谐波分量可忽略不计即只考虑一次谐波sincos非线性环节相当于一个对正弦输入信号的幅值及相位进行变换的环节可以仿照线性系统频率特性的概念建立非线性环节的等效幅相特性
自动控制原理第七章非线性系统分析
或者非线性不严重的准线性系统，常常采用线性化的方 法进行处理，然后在线性分析的基础上加以修正。而对 于包括像继电特性那样根本不存在线性区的非线性特性， 工程上常用相平面方法和描述函数方法进行研究。
7-2 常见非线性因素对系统 运动特性的影响
一.不灵敏区
不灵敏区又叫 死区，系统中
的死区是由测量元件的死区、 放大器的死区以及执行机构的 死区所造成的。
x
（7-14）
（1）无阻尼运动 ( 0)
由方程（7-14），相轨迹方程为：
x2
(t)
x2 (t)
n2
A2
其中
A
x02
x02
2 n
（7-16）
相轨迹如图7－24所示，在相平面上是为一族同心 的椭圆。 每个椭圆相当于一个简谐振动。
图7-24 系统无阻尼运动时的相轨迹
相轨迹的方向如 图7-24中箭头所示。 相轨迹垂直穿过 横轴。 坐标原点处相轨 迹的斜率不能由该 点的坐标唯一地确 定，这种点叫做奇 点。
第7章 非线性系统分析
基本要求 7-1 非线性问题概述 7-2 常见非线性因素对系统运动特性的影响 7-3 相平面法基础 7-4 非线性系统相轨迹分析 7-5 描述函数 7-6 用描述函数分析非线性系统
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基本要求
① 明确非线性系统动态过程的本质特征。掌握系 统中非线性部分、线性部分结构归化的方法。
若继电系统的方框图如图7—41 所示
图7-41
• 研究图中继电特性为图7-40(b) 的情况
e c时
KM c h
Tc(t)
c(t)
0
| c | h
KM c h
• 很明显，相平面以直线c h为界被分成
三个不同的区域，在每个区域里，系统的 相轨迹完全由一个线性微分方程所确定
7-2 常见非线性因素对系统 运动特性的影响
一.不灵敏区
不灵敏区又叫 死区，系统中
的死区是由测量元件的死区、 放大器的死区以及执行机构的 死区所造成的。
x
（7-14）
（1）无阻尼运动 ( 0)
由方程（7-14），相轨迹方程为：
x2
(t)
x2 (t)
n2
A2
其中
A
x02
x02
2 n
（7-16）
相轨迹如图7－24所示，在相平面上是为一族同心 的椭圆。 每个椭圆相当于一个简谐振动。
图7-24 系统无阻尼运动时的相轨迹
相轨迹的方向如 图7-24中箭头所示。 相轨迹垂直穿过 横轴。 坐标原点处相轨 迹的斜率不能由该 点的坐标唯一地确 定，这种点叫做奇 点。
第7章 非线性系统分析
基本要求 7-1 非线性问题概述 7-2 常见非线性因素对系统运动特性的影响 7-3 相平面法基础 7-4 非线性系统相轨迹分析 7-5 描述函数 7-6 用描述函数分析非线性系统
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基本要求
① 明确非线性系统动态过程的本质特征。掌握系 统中非线性部分、线性部分结构归化的方法。
若继电系统的方框图如图7—41 所示
图7-41
• 研究图中继电特性为图7-40(b) 的情况
e c时
KM c h
Tc(t)
c(t)
0
| c | h
KM c h
• 很明显，相平面以直线c h为界被分成
三个不同的区域，在每个区域里，系统的 相轨迹完全由一个线性微分方程所确定
7章非线性分析PPT课件
10
②线性系统自由运动的形式与系统的初
始偏移无关。
非线性系统则不一样，自由运动的时
间响应曲线可以随着初始偏移不同而有 多种不同的形式。
图7-4 非线性系统在不同初 始偏移下的自由运动
11
③ 线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在
临界情况，而这一周期运动是物理上不可能实现的。
非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有
图7-13 图7-12系统的响应
21
根轨迹分析：
图7-14 根轨迹图
若随动系统的方块图如图7—15所示。
图7-15 非线性系统
22
当系统中不存在饱和特性的限制，系统是振荡发散 的；若系统中存在饱和特性的限制，则系统不再发
散，而是出现稳定的 等幅振荡， 如图7-16中的
曲线2。
图7-16系统的时间响应
16
图7-8 斜坡输入时 的系统输出量
图7-7 包含死区的非线性系统
17
二、饱和
•饱和特性也是系统中最常见的一种
非线性特性。
图7-9 部件的饱和现象
18
理想化后的饱和特性典型数学表达式为：
Ka
x2
Kx1
Ka
x1 a | x1 | a x1 a
• 式中：
• a 是线性范围， K为线性范围内的传递系数 （对于放大元件，也称增益）。
图7-21 摩擦力矩示意图
23
三、间隙
传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控 制系统中的一种常见的非线性因素。
图7—17 齿轮传动中的间隙
24
间隙特性的典型形 式如图7-18所示
•数学表达式为
图7—18 间隙非线性特性
x2
Kx1 bsi
②线性系统自由运动的形式与系统的初
始偏移无关。
非线性系统则不一样，自由运动的时
间响应曲线可以随着初始偏移不同而有 多种不同的形式。
图7-4 非线性系统在不同初 始偏移下的自由运动
11
③ 线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在
临界情况，而这一周期运动是物理上不可能实现的。
非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有
图7-13 图7-12系统的响应
21
根轨迹分析：
图7-14 根轨迹图
若随动系统的方块图如图7—15所示。
图7-15 非线性系统
22
当系统中不存在饱和特性的限制，系统是振荡发散 的；若系统中存在饱和特性的限制，则系统不再发
散，而是出现稳定的 等幅振荡， 如图7-16中的
曲线2。
图7-16系统的时间响应
16
图7-8 斜坡输入时 的系统输出量
图7-7 包含死区的非线性系统
17
二、饱和
•饱和特性也是系统中最常见的一种
非线性特性。
图7-9 部件的饱和现象
18
理想化后的饱和特性典型数学表达式为：
Ka
x2
Kx1
Ka
x1 a | x1 | a x1 a
• 式中：
• a 是线性范围， K为线性范围内的传递系数 （对于放大元件，也称增益）。
图7-21 摩擦力矩示意图
23
三、间隙
传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控 制系统中的一种常见的非线性因素。
图7—17 齿轮传动中的间隙
24
间隙特性的典型形 式如图7-18所示
•数学表达式为
图7—18 间隙非线性特性
x2
Kx1 bsi
第七章 非线性系统分析
k
-e
e
f (e)
+M
-e
e
f (e) +M +e0 -e k e
0 +e
0 +e -M
0 +e
-e0
-M
a）线性 + 死区 b）继电 + 死区 c）饱和 + 死区
0, f (e) ke,
M ,
e e e e
f
(e)
0,
M ,
e e e e e e
M ,
f
(e)
0, ke,
M ,
1、解析法作图 •
方程不显含 x时，采用一次积分法得相轨迹方程作图
方程为
••
x f (x) 0
因为 代入方程
•
•
•
•• d 2 x d x dx d x dt • d x
x dt 2
dt
dt
dt
x dx dx
••
x d x f (x)dx
两边一次积分，得相轨迹方程
• •
xd x
f (x)dx
•
•
代入方程得 x x x 0源自等倾线方程为•1
x x
1
等倾线的斜率为
1
k 1
给定不同斜率值 ，作等倾线如图
等倾线 与 相轨迹
线性定常系统的等倾线方程为 过原点的一次曲线族。
•
x
-1 -5/4
-3/2
-5/3
=
-2
-3/7
-3
-5 - x
3
1 1/3
0 -3/4 -1/2 -1/3
三、相轨迹的运动特性
=0
•
e
第七章非线性系统的分析
2、死区非线性
x1 ≤ ∆ 0, x2 = k ( x1 − ∆signx1 ), x1 > ∆
1 signx1 = −1
x1 > 0 x1 < 0
在实际系统中死区可由众多原因引起，它对系统可产生不同的 影响：一方面它使系统不稳定或者产生自振荡；另一方面有时 人们又人为的引入死区特性，使系统具有抗干扰能力。
第七章 非线性控制系统
7-2
1、饱和非线性
kx1 = x2 = ka x2 m −ka = − x 2m
典型非线性环节
x1 < a x1 ≥ a x1 ≤ −a
x2m
x2
−a
0
k
a
x1
此处：输入 x1 − − − − x2 − − − −输出 k − − − −比例系数
− x2m
第七章 非线性控制系统
第七章 非线性控制系统
4）混沌(Chaos)
蝴蝶效应（ The Butterfly Effect） 是指在一个动力系统中，初始条 件下微小的变化能带动整个系统 的长期的巨大的连锁反应。这是 一种混沌现象。 核心理念：看似微不足道的细小 变化，却能以某种方式对社会产 生微妙的影响，甚至影响整个社 会系统的正常运行。
第七章 非线性控制系统
r(t)
e(t)
N(A,ω) NLS
x(t)
G(s)
c(t)
非线性系统的闭环“传递函数”：
G ( jω ) N ( A, ω ) Φ ( jω ) = 1 + G ( jω ) N ( A, ω )
0 闭环“特征方程”： 1 + G ( jω ) N ( A, ω ) =
即
1 G ( jω ) = − N ( A, ω )
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应的线性化微分方程描述。 3．相平面法
相平面法是非线性系统的图解分析法，采用在相平 面上绘制相轨迹曲线，确定非线性系统在不同初始条件 下系统的运动形式。该方法只适用最高为二阶的系统。 4．描述函数法
描述函数法是线性系统频率特性法的推广，采用谐波 线性化将非线性特性近似表示为复变增益环节，应用频率 法分析非线性系统的稳定性和自持振荡。该方法适用于非 线性系统中线性部分具有良好的低通滤波特性的系统。
相应的分析1 法称为相平2 面法； 相平面上的点称为相点；
由某一初始条件出发在相平面上绘出的曲线称 为相平面轨迹，简称相轨迹；
不同初始条件下构成的相轨迹，称为相轨迹族， 由相轨迹族构成的图称为相平面图，简称相图。
2.相轨迹方程和平衡点
考察二阶非线性时不变微分方程:
x f (x, x)
引入相平面的概念，将二阶微分方程改写 成二元一阶微分方程组:
x 0 x 0
M x＜－a
（4）死区加回环继电器特性
0
M
M
y
0
M
M
a xa
1
2
xa 2
x a 1
a xa
2
1
xa 1
x a 2
x 0 x 0
§ 7.3 相平面分析法
相平面法是庞加莱（Poincare）提出的，它是一种 求解二阶非线性微分方程组的图解法，它比较直观、 准确地反映系统的稳定性、平衡状态的特性、不同初 始状态和输入信号下系统的运动形式。虽然相平面法 适用一阶、二阶非线性控制系统的分析，但它形成特 定的相平面法，它对弄清高阶非线性系统的稳定性、 极限环等特殊现象，也起到了直观形象的作用。
第7章 非线性系统分析
内容提要
严格地说，由于控制元件或多或少地带有非线性 特性，所以实际的自动控制系统都是非线性系统。 本章主要介绍分析非线性系统的两种常用方法： 相平面法和描述函数法。
知识要点
非线性系统的特点，非线性系统的相平面法分 析---相轨迹、奇点、奇线、极限环，非线性系 统的描述函数法---描述函数的定义、非线性环 节的描述函数、自持振荡的条件，非线性系统 的校正。
M
0
x
-M
（a）理想继电器
y M
a 0 a
x
-M
（ｃ）回环继电器
y
M
a
0a
x
-M
（b）死区继电器
y M
－a２ a１
0
a１ a２
x
-M
（ｄ）死区＋回环继电器
（1）理想继电器特性
y
M M
（2）死区继电器特性
M
y
0
M
x0 x0
x a x a xa
（3）回环继电器特性
M
y
M M
x＜a x＞a x＜－a
xx12
x x
x2
x1 x2 f (x1,
x2 )
一般形式为
•
x
f (x ,x
)
1 •
112
x 2
f (x ,x ) 212
消去时间变量t，得到相轨迹的斜率方程
dx 2
f (x ,x ) 212
dx f (x , x )
1
112
求解可得相轨迹方程，即
x g(x )
2
1
表示相平面上的一条况下，相轨迹不相交。相点 (x , x ) 处的
12
斜率由 dx 2
f (x ,x ) 212
dx ( x1 ,x2 )
f ( x , x ) ( x1 ,x2 )
1
112
唯一确定，不同条件下的相轨迹是不会相交。
2.当某一相点 (x , x ) 满足 10 20
x1 x2
一的求解方法，其理论也还不完善。由于非线性系统的特 点，线性系统的分析方法均不能采用。分析非线性系统工 程上常采用的方法有： 1．线性化近似法
对于某些非线性特性不严重的系统，或系统仅仅只研 究平衡点附近特性时，可以用小偏差线性化方法，将非线 性系统近似线性化。
2．分段线性近似法 将非线性系统近似为几个线性区域，每个区域有对
7.3.1 相平面的基本概念
设二阶非线性系统的微分方程为：
x f (x, x) 0
若令 x x, x x 则二阶系统可写成两个一阶微分方程，即
1
2
x 1
x 2
x 2
f
(x , 1
x 2
)
dx f (x , x )
2
12
dx
x
1
2
1.相平面，相点和相轨迹
以 x 为横坐标，x 为纵坐标的平面称为相平面，
y
bsign.y
•
•
y0
•
K (x asign y) y 0
间隙特性对系统的影响： 一般来说，间隙使系统输出相位滞后，降低了系统的
稳定裕量，控制系统的动态特性变坏，甚至使系统振荡； 间隙的存在使系统的稳态误差扩大，稳态特性变差。
4．继电器特性
y
继电器特性可 包含理想继电 器特性、死区 继电器特性、 回环继电器特 性和死区加回 环继电器特性 如图所示。
5．李雅普诺夫法 李雅普诺夫法是根据广义能量函数概念分析非线性系统
稳定性。原则上适用所以非线性系统，但对大多数非线性系 统，寻找李雅普诺夫函数相当困难，关于李雅普诺夫法在现 代控制理论中作祥解。 6．计算机辅助分析
利用计算机模拟非线性系统，特别上采用MATLAB软件 工具中的Simulink来模拟非线性系统方便且直观，为非线性 系统的分析提供了有效工具。
y
M
a k
0a
x
M
M
y
kx
M
x a | x | a xa
饱和特性对系统性能的影响： （1）将使系统的开环增益有所降低，对系统的稳定性有利； （2）使系统的快速性和稳态跟踪精度下降。
有时从系统安全性的考虑，常常加入各种限幅装置，其 特性也属饱和特性。
3．间隙特性（回环特性）
y
b
a
k
0a
x
-b
§ 7.2典型非线性特性
按非线性环节特性的形状可以将非线性环节划分为 死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性等。
1.死区特性（不灵敏区）
y k
a 0 a
x
死区特性的的数学描述为：
k(x a) y 0
k(x a)
x a | x | a xa
死区特性对系统性能的影响： （1）由于死区的存在，增大了系统的稳态误差，降低了 系统的控制精度； （2）若干扰信号落在死区段，可大大提高系统的抗干扰 能力。 2．饱和特性
§ 7.1 非线性系统概述
控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件 或环节时，此系统则为非线性系统。 7.1.1 非线性系统的特点
1.非线性系统的数学描述 2.系统的瞬态响应 3.系统的稳定性 4.系统的自持振荡（自激振荡） 5.多值响应和跳跃谐振
7.1.2非线性系统的分析和设计方法 非线性系统采用非线性微分方程描述，至今尚没有统
相平面法是非线性系统的图解分析法，采用在相平 面上绘制相轨迹曲线，确定非线性系统在不同初始条件 下系统的运动形式。该方法只适用最高为二阶的系统。 4．描述函数法
描述函数法是线性系统频率特性法的推广，采用谐波 线性化将非线性特性近似表示为复变增益环节，应用频率 法分析非线性系统的稳定性和自持振荡。该方法适用于非 线性系统中线性部分具有良好的低通滤波特性的系统。
相应的分析1 法称为相平2 面法； 相平面上的点称为相点；
由某一初始条件出发在相平面上绘出的曲线称 为相平面轨迹，简称相轨迹；
不同初始条件下构成的相轨迹，称为相轨迹族， 由相轨迹族构成的图称为相平面图，简称相图。
2.相轨迹方程和平衡点
考察二阶非线性时不变微分方程:
x f (x, x)
引入相平面的概念，将二阶微分方程改写 成二元一阶微分方程组:
x 0 x 0
M x＜－a
（4）死区加回环继电器特性
0
M
M
y
0
M
M
a xa
1
2
xa 2
x a 1
a xa
2
1
xa 1
x a 2
x 0 x 0
§ 7.3 相平面分析法
相平面法是庞加莱（Poincare）提出的，它是一种 求解二阶非线性微分方程组的图解法，它比较直观、 准确地反映系统的稳定性、平衡状态的特性、不同初 始状态和输入信号下系统的运动形式。虽然相平面法 适用一阶、二阶非线性控制系统的分析，但它形成特 定的相平面法，它对弄清高阶非线性系统的稳定性、 极限环等特殊现象，也起到了直观形象的作用。
第7章 非线性系统分析
内容提要
严格地说，由于控制元件或多或少地带有非线性 特性，所以实际的自动控制系统都是非线性系统。 本章主要介绍分析非线性系统的两种常用方法： 相平面法和描述函数法。
知识要点
非线性系统的特点，非线性系统的相平面法分 析---相轨迹、奇点、奇线、极限环，非线性系 统的描述函数法---描述函数的定义、非线性环 节的描述函数、自持振荡的条件，非线性系统 的校正。
M
0
x
-M
（a）理想继电器
y M
a 0 a
x
-M
（ｃ）回环继电器
y
M
a
0a
x
-M
（b）死区继电器
y M
－a２ a１
0
a１ a２
x
-M
（ｄ）死区＋回环继电器
（1）理想继电器特性
y
M M
（2）死区继电器特性
M
y
0
M
x0 x0
x a x a xa
（3）回环继电器特性
M
y
M M
x＜a x＞a x＜－a
xx12
x x
x2
x1 x2 f (x1,
x2 )
一般形式为
•
x
f (x ,x
)
1 •
112
x 2
f (x ,x ) 212
消去时间变量t，得到相轨迹的斜率方程
dx 2
f (x ,x ) 212
dx f (x , x )
1
112
求解可得相轨迹方程，即
x g(x )
2
1
表示相平面上的一条况下，相轨迹不相交。相点 (x , x ) 处的
12
斜率由 dx 2
f (x ,x ) 212
dx ( x1 ,x2 )
f ( x , x ) ( x1 ,x2 )
1
112
唯一确定，不同条件下的相轨迹是不会相交。
2.当某一相点 (x , x ) 满足 10 20
x1 x2
一的求解方法，其理论也还不完善。由于非线性系统的特 点，线性系统的分析方法均不能采用。分析非线性系统工 程上常采用的方法有： 1．线性化近似法
对于某些非线性特性不严重的系统，或系统仅仅只研 究平衡点附近特性时，可以用小偏差线性化方法，将非线 性系统近似线性化。
2．分段线性近似法 将非线性系统近似为几个线性区域，每个区域有对
7.3.1 相平面的基本概念
设二阶非线性系统的微分方程为：
x f (x, x) 0
若令 x x, x x 则二阶系统可写成两个一阶微分方程，即
1
2
x 1
x 2
x 2
f
(x , 1
x 2
)
dx f (x , x )
2
12
dx
x
1
2
1.相平面，相点和相轨迹
以 x 为横坐标，x 为纵坐标的平面称为相平面，
y
bsign.y
•
•
y0
•
K (x asign y) y 0
间隙特性对系统的影响： 一般来说，间隙使系统输出相位滞后，降低了系统的
稳定裕量，控制系统的动态特性变坏，甚至使系统振荡； 间隙的存在使系统的稳态误差扩大，稳态特性变差。
4．继电器特性
y
继电器特性可 包含理想继电 器特性、死区 继电器特性、 回环继电器特 性和死区加回 环继电器特性 如图所示。
5．李雅普诺夫法 李雅普诺夫法是根据广义能量函数概念分析非线性系统
稳定性。原则上适用所以非线性系统，但对大多数非线性系 统，寻找李雅普诺夫函数相当困难，关于李雅普诺夫法在现 代控制理论中作祥解。 6．计算机辅助分析
利用计算机模拟非线性系统，特别上采用MATLAB软件 工具中的Simulink来模拟非线性系统方便且直观，为非线性 系统的分析提供了有效工具。
y
M
a k
0a
x
M
M
y
kx
M
x a | x | a xa
饱和特性对系统性能的影响： （1）将使系统的开环增益有所降低，对系统的稳定性有利； （2）使系统的快速性和稳态跟踪精度下降。
有时从系统安全性的考虑，常常加入各种限幅装置，其 特性也属饱和特性。
3．间隙特性（回环特性）
y
b
a
k
0a
x
-b
§ 7.2典型非线性特性
按非线性环节特性的形状可以将非线性环节划分为 死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性等。
1.死区特性（不灵敏区）
y k
a 0 a
x
死区特性的的数学描述为：
k(x a) y 0
k(x a)
x a | x | a xa
死区特性对系统性能的影响： （1）由于死区的存在，增大了系统的稳态误差，降低了 系统的控制精度； （2）若干扰信号落在死区段，可大大提高系统的抗干扰 能力。 2．饱和特性
§ 7.1 非线性系统概述
控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件 或环节时，此系统则为非线性系统。 7.1.1 非线性系统的特点
1.非线性系统的数学描述 2.系统的瞬态响应 3.系统的稳定性 4.系统的自持振荡（自激振荡） 5.多值响应和跳跃谐振
7.1.2非线性系统的分析和设计方法 非线性系统采用非线性微分方程描述，至今尚没有统