第7章非线性系统分析资料

相轨迹的性质：
1.一般情况下，相轨迹不相交。相点 (x , x ) 处的
12
斜率由 dx 2
f (x ,x ) 212
dx ( x1 ,x2 )
f ( x , x ) ( x1 ,x2 )
1
112
唯一确定，不同条件下的相轨迹是不会相交。
2.当某一相点 (x , x ) 满足 10 20
x1 x2
相应的分析1 法称为相平2 面法； 相平面上的点称为相点；
由某一初始条件出发在相平面上绘出的曲线称 为相平面轨迹，简称相轨迹；
不同初始条件下构成的相轨迹，称为相轨迹族， 由相轨迹族构成的图称为相平面图，简称相图。
2.相轨迹方程和平衡点
考察二阶非线性时不变微分方程:
x f (x, x)
引入相平面的概念，将二阶微分方程改写 成二元一阶微分方程组:
x 0 x 0
M x＜－a
（4）死区加回环继电器特性
0
M
M
y
0
M
M
a xa
1
2
xa 2
x a 1
a xa
2
1
xa 1
x a 2
x 0 x 0
§ 7.3 相平面分析法
相平面法是庞加莱（Poincare）提出的，它是一种 求解二阶非线性微分方程组的图解法，它比较直观、 准确地反映系统的稳定性、平衡状态的特性、不同初 始状态和输入信号下系统的运动形式。虽然相平面法 适用一阶、二阶非线性控制系统的分析，但它形成特 定的相平面法，它对弄清高阶非线性系统的稳定性、 极限环等特殊现象，也起到了直观形象的作用。
应的线性化微分方程描述。 3．相平面法
相平面法是非线性系统的图解分析法，采用在相平 面上绘制相轨迹曲线，确定非线性系统在不同初始条件 下系统的运动形式。该方法只适用最高为二阶的系统。 4．描述函数法
描述函数法是线性系统频率特性法的推广，采用谐波 线性化将非线性特性近似表示为复变增益环节，应用频率 法分析非线性系统的稳定性和自持振荡。该方法适用于非 Hale Waihona Puke Baidu性系统中线性部分具有良好的低通滤波特性的系统。
第7章 非线性系统分析
内容提要
严格地说，由于控制元件或多或少地带有非线性 特性，所以实际的自动控制系统都是非线性系统。 本章主要介绍分析非线性系统的两种常用方法： 相平面法和描述函数法。
知识要点
非线性系统的特点，非线性系统的相平面法分 析---相轨迹、奇点、奇线、极限环，非线性系 统的描述函数法---描述函数的定义、非线性环 节的描述函数、自持振荡的条件，非线性系统 的校正。
5．李雅普诺夫法 李雅普诺夫法是根据广义能量函数概念分析非线性系统
稳定性。原则上适用所以非线性系统，但对大多数非线性系 统，寻找李雅普诺夫函数相当困难，关于李雅普诺夫法在现 代控制理论中作祥解。 6．计算机辅助分析
利用计算机模拟非线性系统，特别上采用MATLAB软件 工具中的Simulink来模拟非线性系统方便且直观，为非线性 系统的分析提供了有效工具。
§ 7.1 非线性系统概述
控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件 或环节时，此系统则为非线性系统。 7.1.1 非线性系统的特点
1.非线性系统的数学描述 2.系统的瞬态响应 3.系统的稳定性 4.系统的自持振荡（自激振荡） 5.多值响应和跳跃谐振
7.1.2非线性系统的分析和设计方法 非线性系统采用非线性微分方程描述，至今尚没有统
§ 7.2典型非线性特性
按非线性环节特性的形状可以将非线性环节划分为 死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性等。
1.死区特性（不灵敏区）
y k
a 0 a
x
死区特性的的数学描述为：
k(x a) y 0
k(x a)
x a | x | a xa
死区特性对系统性能的影响： （1）由于死区的存在，增大了系统的稳态误差，降低了 系统的控制精度； （2）若干扰信号落在死区段，可大大提高系统的抗干扰 能力。 2．饱和特性
一的求解方法，其理论也还不完善。由于非线性系统的特 点，线性系统的分析方法均不能采用。分析非线性系统工 程上常采用的方法有： 1．线性化近似法
对于某些非线性特性不严重的系统，或系统仅仅只研 究平衡点附近特性时，可以用小偏差线性化方法，将非线 性系统近似线性化。
2．分段线性近似法 将非线性系统近似为几个线性区域，每个区域有对
M
0
x
-M
（a）理想继电器
y M
a 0 a
x
-M
（ｃ）回环继电器
y
M
a
0a
x
-M
（b）死区继电器
y M
－a２ a１
0
a１ a２
x
-M
（ｄ）死区＋回环继电器
（1）理想继电器特性
y
M M
（2）死区继电器特性
M
y
0
M
x0 x0
x a x a xa
（3）回环继电器特性
M
y
M M
x＜a x＞a x＜－a
y
bsign.y
•
•
y0
•
K (x asign y) y 0
间隙特性对系统的影响： 一般来说，间隙使系统输出相位滞后，降低了系统的
稳定裕量，控制系统的动态特性变坏，甚至使系统振荡； 间隙的存在使系统的稳态误差扩大，稳态特性变差。
4．继电器特性
y
继电器特性可 包含理想继电 器特性、死区 继电器特性、 回环继电器特 性和死区加回 环继电器特性 如图所示。
xx12
x x
x2
x1 x2 f (x1,
x2 )
一般形式为
•
x
f (x ,x
)
1 •
112
x 2
f (x ,x ) 212
消去时间变量t，得到相轨迹的斜率方程
dx 2
f (x ,x ) 212
dx f (x , x )
1
112
求解可得相轨迹方程，即
x g(x )
2
1
表示相平面上的一条曲线，即相轨迹。
y
M
a k
0a
x
M
M
y
kx
M
x a | x | a xa
饱和特性对系统性能的影响： （1）将使系统的开环增益有所降低，对系统的稳定性有利； （2）使系统的快速性和稳态跟踪精度下降。
有时从系统安全性的考虑，常常加入各种限幅装置，其 特性也属饱和特性。
3．间隙特性（回环特性）
y
b
a
k
0a
x
-b
7.3.1 相平面的基本概念
设二阶非线性系统的微分方程为：
x f (x, x) 0
若令 x x, x x 则二阶系统可写成两个一阶微分方程，即
1
2
x 1
x 2
x 2
f
(x , 1
x 2
)
dx f (x , x )
2
12
dx
x
1
2
1.相平面，相点和相轨迹
以 x 为横坐标，x 为纵坐标的平面称为相平面，