考点2命题及其关系、充分条件与必要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
高考数学 考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.(2010·天津高考文科·T5)下列命题中,真命题是( )(A)m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数()=()是偶函数 (B)m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数()=()是奇函数 (C)m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数()=()都是偶函数 (D)m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数()=()都是奇函数 【命题立意】考查简易逻辑、二次函数的奇偶性。
【思路点拨】根据偶函数的图像关于y 轴对称这一性质进行判断。
【规范解答】选A ,当0m =时函数2()f x x =的图像关于y 轴对称,故选A 。
2.(2010·天津高考理科·T3)命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是( ) (A)若f(x) 是偶函数,则f(-x)是偶函数 (B )若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数 (C )若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数 (D )若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数 【命题立意】考查命题的四种形式中的否命题的概念。
【思路点拨】原命题“若p 则q ”,否命题为“若p ⌝则q ⌝”。
【规范解答】选B ,明确“是”的否定是“不是”,并对原命题的条件和结论分别进行否定,可得否命题为“若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数”。
3.(2010·辽宁高考文科·T4)已知a >0,函数2()f x ax bx c =++,若x 0满足关于x 的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是( )0000(A) R,()() (B) R,()()(C) R,()() (D) R,()()x f x f x x f x f x x f x f x x f x f x ∃∈≤∃∈≥∀∈≤∀∈≥【命题立意】本题考查二次函数的顶点与最值问题,全称命题与特称命题。
高考数学复习 71 命题及其关系、充分条件与必要条件课件 新人教A

二、推理与证明 1.合情推理与演绎推理 ①结合已学过的数学实例和生活中的实例,了解合 情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理, 体会并认识合情推理在数学发现中的作用. ②结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演 绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用 它们进行一些简单推理.
③通过具体实例,了解合情推理和演绎推理之间的 联系和差异.
2.掌握几种推理方法的思维过程和用法. 3.常用逻辑用语主要进行客观题训练,注意解答题 中关键的联结词.归纳推理、类比推理与演绎推理,分 析与综合证明方法应重点落实.
第一节
命题及其关系、 充分条件与必要条件
重点难点 重点:四种命题的关系与充要条件的判断 难点:区分充分不必要条件、必要不充分条件及充 要条件.
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:∵a=b=c=0,则 a、b、c 也成等差数列,但推 不出ab+bc=2;
反过来由ab+bc=2⇒a+c=2b,即 a、b、c 成等差数列. 综上所述,“a、b、c 成等差数列”是“ab+bc=2”的 必要不充分条件,故选 A.
若綈 A⇒綈 B 且綈 B⇒/ 綈 A,则 A 是 B 的必要非充分条件
若綈 A⇔綈 B,则 A 与 B 互为充要条件
集合法: 从集合观点看,建立与命题 p、q 相应的集合.p:A ={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立},那么:
若 A⊆B,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件; 若 A B,则 p 是 q 的充分非必要条件,q 是 p 的必要非 充分条件;
[例 4] (2011·武汉期末)求证:关于 x 的方程 ax2+2x +1=0 至少有一个负根的充要条件是 a≤1.
高中数学选修内容复习讲义(选修1-1)

第1讲命题及其关系、充分条件与必要条件1.了解“p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的,可以的陈述句叫做命题.其中的语句叫真命题,的语句叫假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有的真假性;②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性[思考探究]一个命题的“否命题”与“否定”是同一个命题吗?提示:不是.命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论,而命题的否定仅是否定命题的结论.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q,则p是q的,q是p的;(2)如果p⇒q,q⇒p,则p是q的.1.命题真假的判定对于命题真假的判定,关键是分清命题的条件与结论,只有将条件与结论分清,再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假.2.四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题,否命题和逆命题的等价性,当一个命题直接判断它的真假不易进行时,可以转而判断其逆否命题的真假.[特别警示]当一个命题有大前提而写出其他三种命题时,必须保留大前提,大前提不动.※ 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题、命题的否定,并判断它们的真假: (1)若q ≤1,则方程x 2+2x +q =0有实根;(2)若x 、y 都是奇数,则x +y 是偶数;(3)若xy =0,则x =0或y =0;(4)若x 2+y 2=0,则x 、y 全为0.1.利用定义判断(1)若p ⇒q ,则p 是q 的充分条件; (2)若q ⇒p ,则p 是q 的必要条件;(3)若p ⇒q 且q ⇒p ,则p 是q 的充要条件;(4)若p ⇒q 且q p ,则p 是q 的充分不必要条件; (5)若p q 且q ⇒p ,则p 是q 的必要不充分条件;(6)若p q 且q p ,则p 是q 的既不充分也不必要条件. 2.利用集合判断记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ,则: 若A ⊆B ,则p 是q 的充分条件; 若A B ,则p 是q 的充分不必要条件; 若A ⊇B ,则p 是q 的必要条件; 若A B ,则p 是q 的必要不充分条件; 若A =B ,则p 是q 的充要条件;若A ⊈ B ,且A ⊉ B ,则p 是q 的既不充分也不必要条件.[特别警示] 从集合的角度理解,小范围可以推出大范围,大范围不能推出小范围. ※ 指出下列各组命题中,p 是q 的什么条件?(1) p :a +b =2,q :直线x +y =0与圆(x -a )2+(y -b )2=2相切; (2) p :|x |=x ,q :x 2+x ≥0;(3) 设l ,m 均为直线,α为平面,其中l ⊄α,m ⊂α,p :l ∥α,q :l ∥m ; (4) 设α∈)2,2(ππ-,β∈)2,2(ππ-,p :α<β,q :tan α<tan β.1.条件已知证明结论成立是充分性.结论已知推出条件成立是必要性;2.证明分为两个环节,一是充分性;二是必要性.证明时,不要认为它是推理过程的“双向书写”,而应该进行由条件到结论,由结论到条件的两次证明;3.证明时易出现必要性与充分性混淆的情形,这就要分清哪是条件,哪是结论.※求证:关于x的方程x2 +mx +1=0有两个负实根的充要条件是m≥2.若关于x的方程x2 +mx +1=0有两个正实根,求m的取值范围?第2讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.简单的逻辑联结词:了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.全称量词与存在量词(1)理解全称量词与存在量词的意义(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.命题p∧p2.全称量词3.1.判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是对逻辑联结词“或”、“且”、“非”含义的理解. 数学中的逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”意义不同,日常生活中的“或”带有不能同时具备之意.数学中的逻辑联结词“且”与日常生活中的“且”意义基本一致,表示而且的意思. 数学中的逻辑联结词“非”与日常生活中的“非”意义基本一致,表示否定的意思.2.解决该类问题基本步骤为:(1)弄清构成它的命题p 、q 的真假; (2)弄清它的结构形式;(3)根据真值表判断构成新命题的真假.※ 已知命题p :∃x ∈R ,使tan x =1,命题q :x 2-3x +2<0的解集是{x |1<x <2},下列结论: ①命题“p ∧q ”是真命题; ②命题“p ∧q ”是假命题; ③命题“p ∨q ”是真命题; ④命题“p ∨q ”是假命题. 其中正确的是 ( )A. ②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④1.要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合M 中的每一个元素x ,验证p (x )成立.2.要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合M 中的一个x =x 0,使p (x 0)不成立即可.3.要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合M 中,至少能找到一个x =x 0,使p (x 0)成立即可,否则这一特称命题就是假命题.※ 判断下列命题是否是全称命题或特称命题,若是,用符号表示,并判断其真假. (1)有一个实数α,sin 2α+cos 2α≠1;(2)任何一条直线都存在斜率;(3)所有的实数a ,b ,方程ax +b =0有唯一解; (4)存在实数x ,使得2112=+-x x 。
命题及其关系、充分条件与必要条件

命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1.命题的概念用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题,要么是假命题,不能模棱两可.2.四种命题及其相互关系3.充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件;①A是B的充分不必要条件是指:A⇒B且B A;②A的充分不必要条件是B是指:B⇒A且A B,在解题中要弄清它们的区别,以免出现错误.(2)如果q⇒p,则p是q的必要条件;(3)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的充要条件.充要关系与集合的子集之间的关系设A={x|p(x)},B={x|q(x)},①若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.②若A B,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.③若A=B,则p是q的充要条件.二、常用结论1.四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题,否命题等价于逆命题,所以在命题不易证明时,往往找等价命题进行证明.2.等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件,等价于非q是非p的充分不必要条件.其他情况以此类推.考点一 四种命题及其真假判断[典例] (2019·菏泽模拟)有以下命题: ①“若xy =1,则x ,y 互为倒数”的逆命题; ②“面积相等的两个三角形全等”的否命题;③“若m ≤1,则x 2-2x +m =0有实数解”的逆否命题; ④“若A ∩B =B ,则A ⊆B ”的逆否命题. 其中真命题是( ) A .①② B .②③ C .④D .①②③[解析] ①原命题的逆命题为“若x ,y 互为倒数,则xy =1”,是真命题;②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”,是真命题;③若m ≤1,Δ=4-4m ≥0,所以原命题是真命题,故其逆否命题也是真命题;④由A ∩B =B ,得B ⊆A ,所以原命题是假命题,故其逆否命题也是假命题,故①②③正确.[答案] D [题组训练]1.(2019·长春质监)命题“若x 2<1,则-1<x <1”的逆否命题是( ) A .若x 2≥1,则x ≥1或x ≤-1 B .若-1<x <1,则x 2<1 C .若x >1或x <-1,则x 2>1 D .若x ≥1或x ≤-1,则x 2≥1解析:选D 命题的形式是“若p ,则q ”,由逆否命题的知识,可知其逆否命题是“若非q ,则非p ”的形式,所以“若x 2<1,则-1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤-1,则x 2≥1”.2.已知集合P =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x =k +12,k ∈Z ,Q =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x =k2,k ∈Z ,记原命题:“x ∈P ,则x ∈Q ”,那么,在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )A .0B .1C .2D .4解析:选C 因为P =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x =k +12,k ∈Z =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x =2k +12,k ∈Z ,Q =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x =k2,k ∈Z ,所以P Q ,所以原命题“x ∈P ,则x ∈Q ”为真命题,则原命题的逆否命题为真命题.原命题的逆命题“x ∈Q ,则x ∈P ”为假命题, 则原命题的否命题为假命题,所以真命题的个数为2.考点二 充分、必要条件的判断[典例] (1)(2019·湖北八校联考)若a ,b ,c ,d ∈R ,则“a +d =b +c ”是“a ,b ,c ,d 依次成等差数列”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪x -12<12”是“x 3<1”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件(3)已知p :x +y ≠-2,q :x ,y 不都是-1,则p 是q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件[解析] (1)定义法当a =-1,b =0,c =3,d =4时,a +d =b +c ,但此时a ,b ,c ,d 不成等差数列;而当a ,b ,c ,d 依次成等差数列时,由等差数列的性质知a +d =b +c .所以“a +d =b +c ”是“a ,b ,c ,d 依次成等差数列”的必要不充分条件,故选B.(2)集合法由⎪⎪⎪⎪x -12<12,得0<x <1,则0<x 3<1,即“⎪⎪⎪⎪x -12<12”⇒“x 3<1”; 由x 3<1,得x <1, 当x ≤0时,⎪⎪⎪⎪x -12≥12, 即“x 3<1”“⎪⎪⎪⎪x -12<12”. 所以“⎪⎪⎪⎪x -12<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件. (3)等价转化法因为p :x +y ≠-2,q :x ≠-1或y ≠-1, 所以非p :x +y =-2,非q :x =-1且y =-1,因为非q ⇒非p 但非p非q ,所以非q 是非p 的充分不必要条件,即p 是q 的充分不必要条件.[答案] (1)B (2)A (3)A[提醒] 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,要注意“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是B ”的区别,要正确理解“p 的一个充分不必要条件是q ”的含义.[题组训练]1.[集合法]已知x ∈R ,则“x <1”是“x 2<1”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选B 若x 2<1,则-1<x <1,∵(-∞,1)⊇(-1,1),∴“x <1”是“x 2<1”的必要不充分条件.2.[定义法](2018·南昌调研)已知m ,n 为两个非零向量,则“m·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选B 设m ,n 的夹角为θ,若m ,n 的夹角为钝角,则π2<θ<π,则cos θ<0,则m·n <0成立;当θ=π时,m·n =-|m |·|n |<0成立,但m ,n 的夹角不为钝角.故“m·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件.3.[等价转化法]“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 设p :xy ≠1,q :x ≠1或y ≠1, 则非p :xy =1,非q :x =1且y =1. 可知非q ⇒非p ,非p非q ,即非q 是非p 的充分不必要条件.故p 是q 的充分不必要条件,即“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的充分不必要条件.考点三 根据充分、必要条件求参数的范围[典例] 已知P ={x |x 2-8x -20≤0},非空集合S ={x |1-m ≤x ≤1+m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件,则m 的取值范围是________.[解析] 由x 2-8x -20≤0,得-2≤x ≤10,所以P ={x |-2≤x ≤10},由x ∈P 是x ∈S 的必要条件,知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1-m ≤1+m ,1-m ≥-2,1+m ≤10,所以0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时,x ∈P 是x ∈S 的必要条件,即所求m 的取值范围是[0,3]. [答案] [0,3][变透练清]1.[变结论]若本例条件不变,问是否存在实数m ,使x ∈P 是x ∈S 的充要条件. 解:若x ∈P 是x ∈S 的充要条件,则P =S , 所以{ 1-m =-2,+m =10,解得{ m =3,m =9,即不存在实数m ,使x ∈P 是x ∈S 的充要条件.2.(变条件)若本例将条件“若x ∈P 是x ∈S 的必要条件”变为“若非P 是非S 的必要不充分条件”,其他条件不变,求实数m 的取值范围.解:由例题知P ={x |-2≤x ≤10}, ∵非P 是非S 的必要不充分条件, ∴S 是P 的必要不充分条件,∴P ⇒S 且S P .∴[-2,10][1-m,1+m ].∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1-m ≤-2,1+m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1-m <-2,1+m ≥10. ∴m ≥9,即m 的取值范围是[9,+∞).[课时跟踪检测]1.已知命题p :“正数a 的平方不等于0”,命题q :“若a 不是正数,则它的平方等于0”,则q 是p 的( )A .逆命题B .否命题C .逆否命题D .否定解析:选B 命题p :“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数,则它的平方不等于0”,从而q 是p 的否命题.2.命题“若x 2+3x -4=0,则x =4”的逆否命题及其真假性为( ) A .“若x =4,则x 2+3x -4=0”为真命题B.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”为真命题C.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”为假命题D.“若x=4,则x2+3x-4=0”为假命题解析:选C根据逆否命题的定义可以排除A、D,因为x2+3x-4=0,所以x=-4或1,故原命题为假命题,即逆否命题为假命题.3.原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()A.真,假,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假,假解析:选B当z1,z2互为共轭复数时,设z1=a+b i(a,b∈R),则z2=a-b i,则|z1|=|z2|=a2+b2,所以原命题为真,故其逆否命题为真.取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,所以其逆命题为假,故其否命题也为假.4.(2018·北京高考)设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B a,b,c,d是非零实数,若a<0,d<0,b>0,c>0,且ad=bc,则a,b,c,d不成等比数列(可以假设a=-2,d=-3,b=2,c=3).若a,b,c,d成等比数列,则由等比数列的性质可知ad=bc.所以“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的必要而不充分条件.5.已知命题α:如果x<3,那么x<5;命题β:如果x≥3,那么x≥5;命题γ:如果x≥5,那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中,下列说法正确的是()①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题;②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题;③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题.A.①③B.②C.②③D.①②③解析:选A本题考查命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得,故①正确,②错误,③正确.6.(2018·北京高考)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:选C由|a-3b|=|3a+b|,得(a-3b)2=(3a+b)2,即a 2+9b 2-6a ·b =9a 2+b 2+6a ·b .因为a ,b 均为单位向量,所以a 2=b 2=1, 所以a ·b =0,能推出a ⊥b .由a ⊥b 得|a -3b |=10,|3a +b |=10, 能推出|a -3b |=|3a +b |,所以“|a -3b |=|3a +b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件. 7.如果x ,y 是实数,那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件解析:选C 设集合A ={(x ,y )|x ≠y },B ={(x ,y )|cos x ≠cos y },则A 的补集C ={(x ,y )|x =y },B 的补集D ={(x ,y )|cos x =cos y },显然C D ,所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件.8.(2019·湘东五校联考)“不等式x 2-x +m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A .m >14B .0<m <1C .m >0D .m >1解析:选C 若不等式x 2-x +m >0在R 上恒成立,则Δ=(-1)2-4m <0,解得m >14,因此当不等式x 2-x +m >0在R 上恒成立时,必有m >0,但当m >0时,不一定推出不等式在R 上恒成立,故所求的必要不充分条件可以是m >0.9.在△ABC 中,“A =B ”是“tan A =tan B ”的________条件.解析:由A =B ,得tan A =tan B ,反之,若tan A =tan B ,则A =B +k π,k ∈Z.∵0<A <π,0<B <π,∴A =B ,故“A =B ”是“tan A =tan B ”的充要条件.答案:充要10.在命题“若m >-n ,则m 2>n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是________.解析:若m =2,n =3,则2>-3,但22<32,所以原命题为假命题,则逆否命题也为假命题,若m =-3,n =-2,则(-3)2>(-2)2,但-3<2,所以逆命题是假命题,则否命题也是假命题.故假命题的个数为3.答案:311.已知p (x ):x 2+2x -m >0,若p (1)是假命题,p (2)是真命题,则实数m 的取值范围为________.解析:因为p (1)是假命题,所以1+2-m ≤0,解得m ≥3. 又p (2)是真命题,所以4+4-m >0,解得m <8.故实数m 的取值范围为[3,8). 答案:[3,8)12.(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法:①“若x +y =π2,则sin x =cos y ”的逆命题是假命题;②“在△ABC 中,sin B >sin C 是B >C 的充要条件”是真命题;③“a =1”是“直线x -ay =0与直线x +ay =0互相垂直”的充要条件;④命题“若x <-1,则x 2-2x -3>0”的否命题为“若x ≥-1,则x 2-2x -3≤0”. 以上说法正确的是________(填序号).解析:对于①,“若x +y =π2,则sin x =cos y ”的逆命题是“若sin x =cos y ,则x +y=π2”,当x =0,y =3π2时,有sin x =cos y 成立,但x +y =3π2,故逆命题为假命题,①正确;对于②,在△ABC 中,由正弦定理得sin B >sin C ⇔b >c ⇔B >C ,②正确;对于③,“a =±1”是“直线x -ay =0与直线x +ay =0互相垂直”的充要条件,故③错误;对于④,根据否命题的定义知④正确.答案:①②④13.写出命题“已知a ,b ∈R ,若关于x 的不等式x 2+ax +b ≤0有非空解集,则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.解:(1)逆命题:已知a ,b ∈R ,若a 2≥4b ,则关于x 的不等式x 2+ax +b ≤0有非空解集,为真命题.(2)否命题:已知a ,b ∈R ,若关于x 的不等式x 2+ax +b ≤0没有非空解集,则a 2<4b ,为真命题.(3)逆否命题:已知a ,b ∈R ,若a 2<4b ,则关于x 的不等式x 2+ax +b ≤0没有非空解集,为真命题.第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1.简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词.①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,得到复合命题“p且q”,记作p∧q;②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,得到复合命题“p或q”,记作p∨q;③对命题p的结论进行否定,得到复合命题“非p”,记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足,“且”在集合中的解释为“交集”;“或”的数学含义是至少满足一个条件,“或”在集合中的解释为“并集”;“非”的含义是否定,“非p”只否定p的结论,“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论,而否命题既否定其条件,也否定其结论.(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的,即一真一假,而否命题与原命题的真假无必然联系.(2)命题真值表:命题真假的判断口诀p∨q→见真即真,p∧q→见假即假,p与非p→真假相反.2.全称量词与存在量词4.全称命题与特称命题的否定二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p ∨q 真⇔p ,q 至少一个真⇔(非p )∧(非q)假. (2)p ∨q 假⇔p ,q 均假⇔(非p )∧(非q)真. (3)p ∧q 真⇔p ,q 均真⇔(非p )∨(非q)假. (4)p ∧q 假⇔p ,q 至少一个假⇔(非p )∨(非q)真. 考点一 判断含有逻辑联结词命题的真假[典例] (1)(2017·山东高考)已知命题p :∀x >0,ln(x +1)>0;命题q :若a >b ,则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( )A .p ∧qB .p ∧非qC .非p ∧qD .非p ∧非q(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p :∃x 0∈(0,+∞),x 0+1x 0>3;命题q :∀x ∈(2,+∞),x 2>2x ,则下列命题为真的是( )A .p ∧(非q )B .(非p )∧qC .p ∧qD .(非p )∨q[解析] (1)当x >0时,x +1>1,因此ln(x +1)>0,即p 为真命题;取a =1,b =-2,这时满足a >b ,显然a 2>b 2不成立,因此q 为假命题.由复合命题的真假性,知B 为真命题.(2)对于命题p ,当x 0=4时,x 0+1x 0=174>3,故命题p 为真命题;对于命题q ,当x =4时,24=42=16,即∃x0∈(2,+∞),使得2x0=x20成立,故命题q为假命题,所以p∧(非q)为真命题,故选A.[答案](1)B(2)A[题组训练]1.(2019·惠州调研)已知命题p,q,则“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B充分性:若非p为假命题,则p为真命题,由于不知道q的真假性,所以推不出p∧q是真命题.必要性:p∧q是真命题,则p,q均为真命题,则非p为假命题.所以“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件.2.已知命题p:“若x2-x>0,则x>1”;命题q:“若x,y∈R,x2+y2=0,则xy=0”.下列命题是真命题的是()A.p∨(非q) B.p∨qC.p∧q D.(非p)∧(非q)解析:选B若x2-x>0,则x>1或x<0,故p是假命题;若x,y∈R,x2+y2=0,则x =0,y=0,xy=0,故q是真命题.则p∨q是真命题.考点二全称命题与特称命题[典例](1)命题∀x∈R,e x-x-1≥0的否定是()A.∀x∈R,e x-x-1≤0B.∀x∈R,e x-x-1≥0C.∃x0∈R,e x0-x0-1≤0D.∃x0∈R,e x0-x0-1<0(2)对命题∃x0>0,x20>2x0,下列说法正确的是()A.真命题,其否定是∃x0≤0,x20≤2x0B.假命题,其否定是∀x>0,x2≤2xC.真命题,其否定是∀x>0,x2≤2xD.真命题,其否定是∀x≤0,x2≤2x[解析](1)改全称量词为存在量词,把不等式中的大于或等于改为小于.故选D.(2)已知命题是真命题,如32=9>8=23,其否定是∀x>0,x2≤2x.故选C.[答案](1)D(2)C[题组训练]1.命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≤x2”的否定形式是()A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n>x2B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n>x2C.∃x0∈R,∃n∈N*,使得n>x20D.∃x0∈R,∀n∈N*,使得n>x20解析:选D∀改写为∃,∃改写为∀,n≤x2的否定是n>x2,则该命题的否定形式为“∃x0∈R,∀n∈N*,使得n>x20”.2.已知命题p:∃n∈R,使得f(x)=nxn2+2n是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增;命题q:“∃x0∈R,x20+2>3x0”的否定是“∀x∈R,x2+2<3x”.则下列命题为真命题的是()A.p∧q B.(非p)∧qC.p∧(非q) D.(非p)∧(非q)解析:选C当n=1时,f(x)=x3为幂函数,且在(0,+∞)上单调递增,故p是真命题,则非p是假命题;“∃x0∈R,x20+2>3x0”的否定是“∀x∈R,x2+2≤3x”,故q是假命题,非q是真命题.所以p∧q,(非p)∧q,(非p)∧(非q)均为假命题,p∧(非q)为真命题,选C.考点三根据命题的真假求参数的取值范围[典例]已知p:存在x0∈R,mx20+1≤0,q:任意x∈R,x2+mx+1>0.若p或q为假命题,求实数m的取值范围.[解]依题意知p,q均为假命题,当p是假命题时,则mx2+1>0恒成立,则有m≥0;当q是真命题时,则Δ=m2-4<0,-2<m<2.因此由p,q均为假命题得{m≥0,m≤-2或m≥2,即m≥2.所以实数m的取值范围为[2,+∞).[变透练清]1.(变条件)若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为真命题”,其他条件不变,则实数m的取值范围为________.解析:依题意,当p 是真命题时,有m <0;当q 是真命题时,有-2<m <2,由⎩⎪⎨⎪⎧m <0,-2<m <2,可得-2<m <0. 所以m 的取值范围为(-2,0).答案:(-2,0)2.(变条件)若本例将条件“p 或q 为假命题”变为“p 且q 为假,p 或q 为真”,其他条件不变,则实数m 的取值范围为________.解析:若p 且q 为假,p 或q 为真,则p ,q 一真一假.当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧ m <0,m ≥2或m ≤-2,所以m ≤-2; 当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0,-2<m <2,所以0≤m <2. 所以m 的取值范围为(-∞,-2]∪[0,2).答案:(-∞,-2]∪[0,2)3.(变条件)若本例将条件q 变为:存在x 0∈R ,x 20+mx 0+1<0,其他条件不变,则实数m的取值范围为________.解析:依题意,当q 是真命题时,Δ=m 2-4>0,所以m >2或m <-2.由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0,-2≤m ≤2,得0≤m ≤2, 所以m 的取值范围为[0,2].答案:[0,2][课时跟踪检测]1.(2019·西安摸底)命题“∀x >0,x x -1>0”的否定是( ) A .∃x 0≥0,x 0x 0-1≤0 B .∃x 0>0,0≤x 0≤1 C .∀x >0,x x -1≤0 D .∀x <0,0≤x ≤1解析:选B ∵x x -1>0,∴x <0或x >1,∴x x -1>0的否定是0≤x ≤1, ∴命题的否定是“∃x 0>0,0≤x 0≤1”.2.下列命题中,假命题的是( )A .∀x ∈R,21-x >0 B .∃a 0∈R ,y =xa 0的图象关于y 轴对称C .函数y =x a 的图象经过第四象限D .直线x +y +1=0与圆x 2+y 2=12相切 解析:选C 对于A ,由指数函数的性质可知为真命题;对于B ,当a =2时,其图象关于y 轴对称;对于C ,当x >0时,y >0恒成立,从而图象不过第四象限,故为假命题;对于D ,因为圆心(0,0)到直线x +y +1=0的距离等于12,等于圆的半径,命题成立. 3.(2019·陕西质检)已知命题p :对任意的x ∈R ,总有2x >0;q :“x >1”是“x >2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( )A .p ∧qB .(非p )∧(非q)C .(非p )∧qD .p ∧(非q)解析:选D 由指数函数的性质知命题p 为真命题.易知x >1是x >2的必要不充分条件,所以命题q 为假命题.由复合命题真值表可知p ∧(非q)为真命题.4.(2018·湘东五校联考)下列说法中正确的是( )A .“a >1,b >1”是“ab >1”成立的充分条件B .命题p :∀x ∈R,2x >0,则非p :∃x 0∈R,2x0<0C .命题“若a >b >0,则1a <1b”的逆命题是真命题 D .“a >b ”是“a 2>b 2”成立的充分不必要条件解析:选A 对于选项A ,由a >1,b >1,易得ab >1,故A 正确.对于选项B ,全称命题的否定是特称命题,所以命题p :∀x ∈R,2x >0的否定是非p :∃x 0∈R,2x 0≤0,故B 错误.对于选项C ,其逆命题:若1a <1b,则a >b >0,可举反例,如a =-1,b =1,显然是假命题,故C 错误.对于选项D ,由“a >b ”并不能推出“a 2>b 2”,如a =1,b =-1,故D 错误.故选A.5.(2019·唐山五校联考)已知命题p :“a >b ”是“2a >2b ”的充要条件;命题q :∃x 0∈R ,|x 0+1|≤x 0,则( )A .(非p )∨q 为真命题B .p ∧(非q)为假命题C .p ∧q 为真命题D .p ∨q 为真命题 解析:选D 由题意可知命题p 为真命题.因为|x +1|≤x 的解集为空集,所以命题q 为假命题,所以p ∨q 为真命题.6.下列说法错误的是( )A .命题“若x 2-5x +6=0,则x =2”的逆否命题是“若x ≠2,则x 2-5x +6≠0”B .若命题p :存在x 0∈R ,x 20+x 0+1<0,则非p :对任意x ∈R ,x 2+x +1≥0C .若x ,y ∈R ,则“x =y ”是“xy ≥⎝⎛⎭⎫x +y 22”的充要条件D .已知命题p 和q ,若“p 或q ”为假命题,则命题p 与q 中必一真一假解析:选D 由原命题与逆否命题的关系,知A 正确;由特称命题的否定知B 正确;由xy ≥⎝⎛⎭⎫x +y 22⇔4xy ≥(x +y )2⇔4xy ≥x 2+y 2+2xy ⇔(x -y )2≤0⇔x =y ,知C 正确;对于D ,命题“p 或q ”为假命题,则命题p 与q 均为假命题,所以D 不正确.7.(2019·长沙模拟)已知命题“∀x ∈R ,ax 2+4x +1>0”是假命题,则实数a 的取值范围是( )A .(4,+∞)B .(0,4]C .(-∞,4]D .[0,4)解析:选C 当原命题为真命题时,a >0且Δ<0,所以a >4,故当原命题为假命题时,a ≤4.8.下列命题为假命题的是( )A .存在x >y >0,使得ln x +ln y <0B .“φ=π2”是“函数y =sin(2x +φ)为偶函数”的充分不必要条件 C .∃x 0∈(-∞,0),使3x 0<4x 0成立D .已知两个平面α,β,若两条异面直线m ,n 满足m ⊂α,n ⊂β且m ∥β,n ∥α,则α∥β解析:选C 对于A 选项,令x =1,y =1e,则ln x +ln y =-1<0成立,故排除A.对于B 选项,“φ=π2”是“函数y =sin(2x +φ)为偶函数”的充分不必要条件,正确,故排除B.对于C 选项,根据幂函数y =x α,当α<0时,函数单调递减,故不存在x 0∈(-∞,0),使3x 0<4x 0成立,故C 错误.对于D 选项,已知两个平面α,β,若两条异面直线m ,n 满足m ⊂α,n ⊂β且m ∥β,n ∥α,可过n 作一个平面与平面α相交于直线n ′.由线面平行的性质定理可得n ′∥n ,再由线面平行的判定定理可得n ′∥β,接下来由面面平行的判定定理可得α∥β,故排除D ,选C.9.若命题p 的否定是“∀x ∈(0,+∞),x >x +1”,则命题p 可写为________________________.解析:因为p 是非p 的否定,所以只需将全称量词变为特称量词,再对结论否定即可. 答案:∃x 0∈(0,+∞),x 0≤x 0+110.已知命题p :x 2+4x +3≥0,q :x ∈Z ,且“p ∧q ”与“非q ”同时为假命题,则 x =________.解析:若p 为真,则x ≥-1或x ≤-3,因为“非q ”为假,则q 为真,即x ∈Z ,又因为“p ∧q ”为假,所以p 为假,故-3<x <-1,由题意,得x =-2.答案:-211.已知p :a <0,q :a 2>a ,则非p 是非q 的________条件(填:充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要).解析:由题意得非p :a ≥0,非q :a 2≤a ,即0≤a ≤1.因为{a |0≤a ≤1}{a |a ≥0},所以非p 是非q 的必要不充分条件.答案:必要不充分12.已知命题p :a 2≥0(a ∈R),命题q :函数f (x )=x 2-x 在区间[0,+∞)上单调递增,则下列命题:①p ∨q ;②p ∧q ;③(非p )∧(非q);④(非p )∨q.其中为假命题的序号为________.解析:显然命题p 为真命题,非p 为假命题.∵f (x )=x 2-x =⎝⎛⎭⎫x -122-14, ∴函数f (x )在区间⎣⎡⎭⎫12,+∞上单调递增.∴命题q 为假命题,非q 为真命题.∴p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,(非p )∧(非q)为假命题,(非p )∨q 为假命题. 答案:②③④13.设t ∈R ,已知命题p :函数f (x )=x 2-2tx +1有零点;命题q :∀x ∈[1,+∞), 1x-x ≤4t 2-1.(1)当t =1时,判断命题q 的真假;(2)若p ∨q 为假命题,求t 的取值范围.解:(1)当t =1时,⎝⎛⎭⎫1x -x max =0,1x-x ≤3在[1,+∞)上恒成立,故命题q 为真命题. (2)若p ∨q 为假命题,则p ,q 都是假命题.当p 为假命题时,Δ=(-2t )2-4<0,解得-1<t <1;当q 为真命题时,⎝⎛⎭⎫1x -x max ≤4t 2-1,即4t 2-1≥0, 解得t ≤-12或t ≥12, ∴当q 为假命题时,-12<t <12, ∴t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫-12,12.。
高中数学常用逻辑用语

逆否命题: 若 q 则 p
结论1:要写出一个命题的另外三个命
题关键是分清命题的题设和结论(即
把原命题写成“若p则q”的形式)
注意:三种命题中最难写 的是否命题。 高中数学常用逻辑用语
三、四种命题之间的 关系
原命题
பைடு நூலகம்若p则q
互逆 逆命题
若q则p
互
互
否
否
否命题
逆否命题
若﹁p则﹁q
互逆 若﹁q则﹁p
高中数学常用逻辑用语
x∈N”是“x∈M∩N”的
B
A.充要条件
B必要不充分条件
C充分不必要 D既不充分也不必要
注、集合法
2、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是
A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.0<a<2
A
高中数学常用逻辑用语
练习5、
1.已知p是q的必要而不充分条件, 那么┐p是┐q的___充__分_不__必__要_条__件__.
(2)从这个假设出发,经过推理 论证,得出矛盾;
(3) 由矛盾判定假设不正确, 从而肯定命题的高中数结学常用论逻辑正用语 确。
归谬 结论
1.写出命题“当c>0时,若a>b, 则ac>bc“的逆命题,否命题 与逆否命题,并分别判断他们的真假
2.写出命题“若x≠a且x≠b, 则x2-(a+b)x+ab≠0”的否命题
充分非必要条件
2) 若A B且B A,则甲是乙的
必要非充分条件
3)若A B且B A,则甲是乙的
既不充分也不必要条件 4)若A=B ,则甲是高中乙数学的常用逻充辑用分语 且必要条件。
注意点
1.在判断条件时,要特别注意的是它们能否互相 推出,切不可不加判断以单向推出代替双向推出.
高考一轮复习专题2 命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件

第一章集合与常用逻辑用语第02节命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件【知识清单】1.命题及其关系(1)命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.(2)四种命题及相互关系(3)四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;@网(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.2.逻辑联结词(1)用联结词“且”联结命题p和命题q,记作____,读作______”.(2)用联结词“或”联结命题p和命题q,记作_____,读作“____”.(3)对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作_____,读作“_____”.(4)命题p且q、p或q、非p的真假判断3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.(2)如果p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件.【重点难点突破】考点1四种命题的关系及真假判断【1-1】【北京卷理】能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________.+也是偶数”的逆否命题是()【1-2】命题“若,x y都是偶数,则x y+是偶数,则x与y不都是偶数A.若x y+是偶数,则x与y都不是偶数B.若x y+不是偶数,则x与y不都是偶数C.若x y+不是偶数,则x与y都不是偶数D.若x y【领悟技法】1.四种命题反映出命题之间的内在联系,要注意结合实际问题,理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程,关于逆命题、否命题与逆否命题,也可以叙述为:(1)交换命题的条件和结论,所得的新命题就是原来命题的逆命题;(2)同时否定命题的条件和结论,所得的新命题就是原来的否命题;(3)交换命题的条件和结论,并且同时否定,所得的新命题就是原命题的逆否命题。
注意:在写其他三种命题时,大前提必须放在前面。
专题02 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词(重难点突破)(解析版)

专题02 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理知识点一充分条件与必要条件(1)一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q,这时,我们就说,由p可以推出q,记作p⇒q,并且说,p是q的充分条件,q是p的必要条件.(2)几点说明知识点二充要条件(1)如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q,此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们就说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.(2)如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件.知识点三全称量词和存在量词(1)全称量词有:所有的,任意一个,任给,用符号“∀”表示;存在量词有:存在一个,至少有一个,有些,用符号“∃”表示.(2)含有全称量词的命题,叫做全称命题.“对M中任意一个x,有p(x)成立”用符号简记为:∀x∈M,p(x).(3)含有存在量词的命题,叫做特称命题.“存在M中元素x0,使p(x0)成立”用符号简记为:∃x0∈M,p(x0).知识点四含有一个量词的命题的否定一般地,对于含有一个量词的命题的否定,有下面的结论:(1)全称量词命题p:∀x∈M,p(x),它的否定﹁p:∃x∈M,﹁p(x);(2)存在量词命题p:∃x∈M,p(x),它的否定﹁p:∀x∈M,﹁p(x).全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题.【知识拓展】1.充分必要条件判断精髓:小集合推出大集合,小集合是大集合的充分不必要条件,大集合是小集合的必要不充分条件;若两个集合范围一样,就是充要条件的关系;2.若条件p,q以集合的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则由A⊆B可得,p是q的充分条件,请写出集合A,B的其他关系对应的条件p,q的关系.①若A B,则p是q的充分不必要条件;②若A⊇B,则p是q的必要条件;③若A B,则p是q的必要不充分条件;④若A=B,则p是q的充要条件;⑤若A⊈B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.三、重难点题型突破重难点1 充分必要条件的判断例1(1).(2019·全国高一课时练习)“x+y=3”是“x=1且y=2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也必要条件【答案】B【解析】当x=0,y=3时,满足x+y=3,但x=1且y=2不成立,即充分性不成立,若x=1且y=2,则x+y=3成立,即必要性成立,即“x +y =3”是“x =1且y =2”的必要不充分条件。
第二节充分条件与必要条件全称量词与存在量词课件共44张PPT

答案:B
2.设 a,b 是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:D
3.已知直线 m、n 和平面 α,在下列给定的四个结 论中,m∥n 的一个必要但不充分条件是( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (3)(2019·北京卷)设点 A,B,C 不共线,则“A→B与A→C 的夹角为锐角”是“|A→B+A→C|>|B→C|”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:(1)由“x2-5x<0”可得“0<x<5”;由“|x-1|<1” 可得“0<x<2”.由“0<x<5”不能推出“0<x<2”,但由“0<x<2” 可以推出“0<x<5”,所以“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必 要不充分条件,故选 B. (2)由 a>0,b>0,得 4≥a+b≥2 ab,即 ab≤4,充 分性成立;当 a=4,b=1 时,满足 ab≤4,但 a+b=5>4, 不满足 a+b≤4,必要性不成立,故“a+b≤4”是 “ab≤4”的充分不必要条件,故选 A.
的应用
核心 素养
逻辑推理
1.充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果 p⇒q,则 p 是 q 的充分条件. ①A 是 B 的充分不必要条件是指:A⇒B 且 B A; ②A 的充分不必要条件是 B,是指:B⇒A 且 A B, 在解题中要弄清它们的区别,以免出现错误. (2)如果 q⇒p,则 p 是 q 的必要条件. (3)如果既有 p⇒q,又有 q⇒p,记作 p⇔q,则 p 是 q 的充要条件.
高三数学第一轮复习课件(ppt)目录

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目录 CONTENTS
第二章
2.1 函数及其表示 2.2 函数的单调性与最值 2.3 函数的奇偶性与周期性 2.4 一次函数、二次函数 2.5 指数与指数函数 2.6 对数与对数函数 2.7 幂函数 2.8 函数的图象及其变换 2.9 函数与方程
函数
2.10 函数模型及其应用
第一讲:三角函数
S ABC=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2ah,可得sinA=√15/8,sinC=√15/4。
∴cosA=7/8,cosC=1/4,
∴cos(A-C)=7/8 x 1/4 + √15/8 x √15/4
=11/16 c=2
A
b=2
h=√15/2
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B
C 1/2 a
1/2
C、﹙1,+∞﹚
D、[1,+∞﹚
解析:由于3x>0,所以3x+1>1,所以f(x)>0,集合表示为(0,+∞),答案为A
2、已知函数y=2x+1的值域为(5,7),则对应的自变量x的范围为(
)
A、[2,3)
B、[2,3]
C、(2,3)
D、(2,3]
解析:根据题意:5<2x+1<7,解得2<x<3,用集合表示为(2,3),答案为C
A [1,2]
解析:解二元一次不等式x2 +2x-8≤0,可得-4≤x≤2,所以M为[-4,2]; 解不等式3x-2≥2x-1,可得x≥1,所以N为[1,+∞﹚。此时我们可以应用数轴马 上解决问题:
-4 0 1 2
如图所示,阴影部分即为所求。答案:A 启示:掌握好数轴工具,在集合、函数问题( B
B、﹙-∞,5]
)
D、[5,+∞﹚
高三数学常用逻辑用语试题答案及解析

高三数学常用逻辑用语试题答案及解析1.若“”是“”的充分不必要条件,则实数的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】A【解析】依题意,∴,∴.【考点】充分必要条件.2.下列给出的四个命题中,说法正确的是()A.命题“若,则”的否命题是“若,则”;B.“”是“”的必要不充分条件;C.命题“存在,使得”的否定是“对任意,均有”;D.命题“若,则”的逆否命题为真.【答案】D【解析】本题考查命题的相关概念. 选项,“若,则”的否命题为:“若,则”;可以推出,反之不成立,故“”是“”的充分不必要条件,故选项错;命题“存在,使得”的否定应为:“对任意,均有”,故选项错,正确答案为.【考点】1.四种命题及其关系;2.充分与必要条件;3.全程量词与存在量词.3.已知命题:函数的最小正周期为;命题:若函数为偶函数,则关于对称.则下列命题是真命题的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】函数的最小正周期为知命题为假命题;若函数为偶函数,则,所以关于对称,据此可知命题为真命题,根据真值表可得为真命题.【考点】真值表等基础知识.4.下列命题中,真命题的个数有()①;②;③“”是“”的充要条件;④是奇函数.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】由知①是真命题;当时,知②是真命题;若则,而若且则知“”是“”的必要不充分条件,所以③是假命题;令,显然,则知“是奇函数”是真命题.【考点】真假命题的判断.5.已知命题函数在上单调递增;命题不等式的解集是.若且为真命题,则实数的取值范围是______.【答案】【解析】为真命题是真命题, 是真命题,是真命题, ②是真命题所以为真命题【考点】命题,基本逻辑联结词,一次函数单调性,二次不等式.6.下列命题中,是的充要条件的是()①或;有两个不同的零点;②是偶函数;③;④。
A.①②B.②③C.③④D.①④【答案】D【解析】①有两个不同的零点,由得或.因此①正确;②是偶函数,则不成立;③,但是无意义;④;所以④正确,因此是的充要条件的是①④.【考点】1.充要条件;2.函数的零点;3.奇偶函数的定义等.7.钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是:“好货”是“不便宜”的()A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】若p⇒q为真命题,则命题p是命题q的充分条件;“好货不便宜”,其条件是:此货是好货,结论是此货不便宜,由条件⇒结论.故“好货”是“不便宜”的充分条件.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断点评:本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断,属于基础题8.若集合,集合,则是“”( )A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若,则,,即“”;若,则,即“”,所以是“” 必要不充分条件。
第02讲 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词(解析版)

第2讲充分条件与必要条件、全称量词与存在量词
思维导图
知识梳理
1.充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件;
(2)如果q⇒p,则p是q的必要条件;
(3)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的充要条件.
2.全称量词与全称命题
(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词.
(2)全称命题:含有全称量词的命题.
(3)全称命题的符号表示:
形如“对M中的任意一个x,有p(x)成立”的命题,用符号简记为∀x∈M,p(x).
3.存在量词与特称命题
(1)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词.
(2)特称命题:含有存在量词的命题.
(3)特称命题的符号表示:
形如“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”的命题,用符号简记为∃x0∈M,p(x0).
核心素养分析
常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分,是数学表达和交流的工具,是逻辑思维的基本语言。
本单元的学习,可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象,进行数学推理,体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用,提升交流的严谨性与准确性。
高考数学(理):1-1集合及其运算+1-2命题及其关系、充要条件+1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
规律方法 (1)已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中 的元素,对子集是否为空集进行分类讨论,做到不漏解. (2)在解决两个数集关系问题时,避免出错的一个有效手段是合 理运用数轴帮助分析与求解,另外,在解含有参数的不等式(或 方程)时,要对参数进行讨论.
(×)
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
2.对集合基本运算的辨别
(4)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)总成立.
(√)
(5)(2013·浙江卷改编)设集合S={x|x>-2},T={x|-
4≤x≤1},则S∩T={x|-2<x≤1}.
(√)
பைடு நூலகம்
(6)(2013·陕西卷改编)设全集为R,函数f(x)= 1-x2 的定义
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
考点一 集合的基本概念 【例1】 (1)(2013·江西卷改编)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中
只有一个元素,则a=________. (2)(2013· 山 东 卷 改 编 ) 已 知 集合 A = {0,1,2} , 则 集合 B = {x - y|x∈A,y∈A}中元素的个数是________. 解析 (1)由ax2+ax+1=0只有一个实数解,可得当a=0时,方 程无实数解; 当a≠0时,则Δ=a2-4a=0,解得a=4.(a=0不合题意舍去). (2)x-y∈{-2,-1,0,1,2}. 答案 (1)4 (2)5
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
辨析感悟
1.元素与集合的辨别
(1)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.
高考数学(人教A版):1-2命题及其关系、充分条件与必要条件+1-3简单的逻辑联结词、全称量词

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
精度搜索·基础夯实 深度支招·高频考点 高度警惕·易混易错 高效作业·练就成功
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高三大一轮复习 · 人教A版 · 数学
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归纳拓展:(1)只有“若 p,则 q”形式的(或者可化为这种形 式的)命题,我们才研究其命题的四种形式,其他命题如:简单 命题、全称命题与特称命题等一般不研究其四种命题;
(2)原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价命题,因此 当判断一个命题的真假时,可以通过判断它的等价命题的真假来 进行,另外,在四个命题中,真命题的个数只能为 0,2,4;
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1.命题 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命 题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做 假 命题 .
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解密高考 2.四种命题及其关系
(1)四种命题
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归纳拓展:充分条件与必要条件的两种判断方法见下表:
条件
定义法
p 是 q 的充分条件
p⇒q
p 是 q 的必要条件
q⇒p
p 是 q 的充要条件 p⇒q 且 q⇒p
p 是 q 的充分不必 要条件
特别提醒:在判断充分条件与必要条件时,一定要注意弄清 问题的设问方式,“A 是 B 的充分不必要条件”与“A 的充分不 必要条件是 B”两种说法的含义是不同的.
2023年高考数学(文科)一轮复习——简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考试要求 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义;2.理解全称量词与存在量词的意义;3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.(2)命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断p q p∧q p∨q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)全称量词:短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“∀”表示.(2)存在量词:短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“∃”表示.3.全称命题和特称命题名称全称命题特称命题结构对M中的任意一个x,有p(x)成立存在M中的一个x0,使p(x0)成立简记∀x∈M,p(x)∃x0∈M,p(x0)否定∃x0∈M,綈p(x0)∀x∈M,綈p(x)1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀:p∨q→见真即真,p∧q→见假即假,p与綈p→真假相反.2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.3.“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”,“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”.4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”,可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)命题“5>6或5>2”是假命题.()(2)命题綈(p∧q)是假命题,则命题p,q中至少有一个是假命题.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)∃x0∈M,p(x0)与∀x∈M,綈p(x)的真假性相反.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)错误.命题p∨q中,p,q有一真则真.(2)错误.p∧q是真命题,则p,q都是真命题.(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.2.(2021·全国乙卷)已知命题p:∃x∈R,sin x<1;命题q:∀x∈R,e|x|≥1,则下列命题中为真命题的是()A.p∧qB.(綈p)∧qC.p∧(綈q)D.綈(p∨q)答案 A解析由正弦函数的图象及性质可知,存在x∈R,使得sin x<1,所以命题p为真命题.对任意的x∈R,均有e|x|≥e0=1成立,故命题q为真命题,所以命题p∧q 为真命题,故选A.3.(2017·山东卷)已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是( ) A.p ∧q B.p ∧(綈q ) C.(綈p )∧qD.(綈p )∧(綈q )答案 B解析 由已知得p 真,q 假,故綈q 真,所以p ∧(綈q )真,故选B. 4.(易错题)命题p :“有些三角形是等腰三角形”,则綈p 是________. 答案 所有三角形都不是等腰三角形5.(易错题)命题“∀x ∈R ,ax 2-ax +1>0”为真命题,则实数a 的取值范围为________. 答案 [0,4)解析 ①当a =0时,1>0恒成立; ②当a ≠0时,⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ=a 2-4a <0,∴0<a <4.综上0≤a <4.6.(2021·合肥调研)能说明命题“∀x ∈R 且x ≠0,x +1x ≥2”是假命题的x 的值可以是________(写出一个即可). 答案 -1(任意负数)解析 当x >0时,x +1x ≥2,当且仅当x =1时取等号, 当x <0时,x +1x ≤-2,当且仅当x =-1时取等号, ∴x 的取值为负数即可,例如x =-1.考点一 含有逻辑联结词的命题1.(2021·成都调研)已知命题p :函数y =2sin x +sin x ,x ∈(0,π)的最小值为22;命题q :若a ·b =0,b ·c =0,则a ·c =0.下列命题为真命题的是( ) A.(綈p )∧qB.p ∨qC.p∧(綈q)D.(綈p)∧(綈q) 答案 D解析命题p:函数y=2sin x+sin x,x∈(0,π),由基本不等式成立的条件可知,y>22sin x·sin x=22,等号取不到,所以命题p是假命题.命题q:取a=c=(1,0),b=(0,1),显然a·b=0,b·c=0,但a·c=1≠0,所以命题q是假命题.所以綈p为真,綈q为真.因此,只有(綈p)∧(綈q)为真命题.2.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A.(綈p)∨(綈q)B.p∧(綈q)C.(綈p)∧(綈q)D.p∨q答案 A解析命题p是“甲降落在指定范围”,则綈p是“甲没降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则綈q是“乙没降落在指定范围”,命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围,乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围,乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围,乙没降落在指定范围”.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q).3.(2022·洛阳质检)设a,b,c均为非零向量,已知命题p:a=b是a·c=b·c的必要不充分条件,命题q:x>1是|x|>1的充分不必要条件.则下列命题中为真命题的是()A.p∧qB.p∨qC.(綈p)∧(綈q)D.p∨(綈q)答案 B解析由a=b⇒a·c=b·c,但a·c=b·c a=b,故p为假命题.命题q:∵|x|>1,∴x>1或x<-1,∴由x>1⇒|x|>1,但|x|>1x>1,故q为真命题.故选B.4.(2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题:p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.p4:若直线l⊂平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是________.①p1∧p4;②p1∧p2;③(綈p2)∨p3;④(綈p3)∨(綈p4).答案①③④解析p1是真命题,两两相交不过同一点的三条直线必定有三个交点,且这三个交点不在同一条直线上,由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面”,可知p1为真命题;p2是假命题,因为空间三点在一条直线上时,有无数个平面过这三个点;p3是假命题,因为空间两条直线不相交时,它们可能平行,也可能异面;p4是真命题,因为一条直线垂直于一个平面,那么它垂直于平面内的所有直线.由以上结论知綈p2,綈p3,綈p4依次为真命题、真命题、假命题,从而①③④中命题为真命题,②中命题为假命题.感悟提升 1.“p∨q”,“p∧q”,“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解,其操作步骤是:(1)明确其构成形式;(2)判断其中命题p,q的真假;(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假.2.p∧q形式是“一假必假,全真才真”,p∨q形式是“一真必真,全假才假”,綈p 与p 的真假性相反. 考点二 全称量词与存在量词例1 (1)(2021·江南十校联考)已知f (x )=sin x -tan x ,命题p :∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,f (x 0)<0,则( )A.p 是假命题,綈p :∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,f (x )≥0B.p 是假命题,綈p :∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,f (x 0)≥0C.p 是真命题,綈p :∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,f (x )≥0D.p 是真命题,綈p :∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,f (x 0)≥0(2)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是( ) A.∀x ∈R ,f (-x )≠f (x ) B.∀x ∈R ,f (-x )≠-f (x ) C.∃x 0∈R ,f (-x 0)≠f (x 0) D.∃x 0∈R ,f (-x 0)≠-f (x 0) 答案 (1)C (2)C解析 (1)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,π2时,sin x <1,tan x >1.此时sin x -tan x <0,故命题p 为真命题. 由于命题p 为特称命题, 所以命题p 的否定为全称命题, 则綈p 为:∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,f (x )≥0. (2)∵定义域为R 的函数f (x )不是偶函数,∴∀x ∈R ,f (-x )=f (x )为假命题, ∴∃x 0∈R ,f (-x 0)≠f (x 0)为真命题.感悟提升 1.全称命题与特称命题的否定与一般命题的否定有一定的区别,否定全称命题和特称命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论,而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题“∀x ∈M ,p (x )”是真命题,需要对集合M 中的每一个元素x ,证明p (x )成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内找到一个x =x 0,使p (x 0)成立即可.训练1 (1)设命题p :所有正方形都是平行四边形,则綈p 为( ) A.所有正方形都不是平行四边形 B.有的平行四边形不是正方形 C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形 (2)下列四个命题:p 1:∃x 0∈(0,+∞),⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 0;p 2:∃x 0∈(0,π),sin x 0<cos x 0; p 3:∀x ∈R ,e x >x +1; p 4:∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,13,⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<log 13x .其中真命题是( ) A.p 1,p 3 B.p 1,p 4 C.p 2,p 3D.p 2,p 4答案 (1)C (2)D解析 (1)“所有”改为“存在”(或“有的”),“都是”改为“不都是”(或“不是”),即綈p 为有的正方形不是平行四边形.(2)对于p 1,当x 0∈(0,+∞)时,总有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 0成立,故p 1是假命题;对于p 2,当x 0=π6时,sin x 0<cos x 0,故p 2为真命题;对于p 3,当x =0时,e x =x +1,故p 3为假命题;对于p 4,结合指数函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与对数函数y =log 13x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,13上的图象(图略)可以判断p 4为真命题.考点三 由命题的真假求参数例2 (1)已知命题p :∀x ∈[1,2],x 2-a ≥0;q :∃x 0∈R ,x 20+2ax 0+2-a =0,若(綈p ) ∧q 是真命题,则实数a 的取值范围是________________.(2)(经典母题)已知f (x )=ln(x 2+1),g (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x-m ,若对∀x 1∈[0,3],∃x 2∈[1,2],使得f (x 1)≥g (x 2),则实数m 的取值范围是________________. 答案 (1)(1,+∞) (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫14,+∞解析 (1)∵(綈p )∧q 是真命题, ∴p 假q 真.p :∀x ∈[1,2],x 2-a ≥0为假命题, ∴∃x ∈[1,2],x 2-a <0为真命题, 即a >x 2成立,∴a >1.q :∃x 0∈R ,x 20+2ax 0+2-a =0为真命题,所以Δ=(2a )2-4(2-a )≥0,∴a ≥1或a ≤-2. 综上,a >1.(2)当x ∈[0,3]时,f (x )min =f (0)=0, 当x ∈[1,2]时,g (x )min =g (2)=14-m , 由f (x )min ≥g (x )min , 得0≥14-m ,所以m ≥14.迁移 本例(2)中,若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”,其他条件不变,则实数m 的取值范围是________________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞解析 当x ∈[1,2]时,g (x )max =g (1)=12-m ,对∀x 1∈[0,3],∀x 2∈[1,2]使得f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x )min ≥g (x )max ,得0≥12-m ,∴m ≥12.感悟提升 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤: (1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围; (2)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围. 2.全称命题可转化为恒成立问题.3.含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数的最值解决. 训练2 (2022·许昌质检)已知p :关于x 的方程e x -a =0在(-∞,0)上有解;q :函数y =lg(ax 2-x +a )的定义域为R ,若p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,则实数a 的取值范围是________. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12∪[1,+∞)解析 p 真:a =e x 在(-∞,0)上有解, ∴0<a <1.q 真:ax 2-x +a >0在R 上恒成立, 当a =0时,显然不成立;当a ≠0时,需⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ=(-1)2-4a 2<0,∴a >12.又p ∨q 为真,p ∧q 为假, ∴p 真q 假或p 假q 真.当p 真q 假时,⎩⎨⎧0<a <1,a ≤12,∴0<a ≤12, 当p 假q 真时,⎩⎨⎧a ≤0或a ≥1,a >12,∴a ≥1.∴0<a ≤12或a ≥1.1.(2021·成都诊断)已知命题p:对任意的x∈R,2x-x2≥1,则綈p为()A.对任意的x∉R,2x-x2<1B.存在x∉R,2x-x2<1C.对任意的x∈R,2x-x2<1D.存在x∈R,2x-x2<1答案 D解析p:∀x∈R,2x-x2≥1,∴綈p:∃x∈R,2x-x2<1.2.“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A3.下列命题的否定是真命题的是()A.有些实数的绝对值是正数B.所有平行四边形都不是菱形C.任意两个等边三角形都是相似的D.3是方程x2-9=0的一个根答案 B4.命题“∀x∈R,f(x)·g(x)≠0”的否定是()A.∀x∈R,f(x)=0且g(x)=0B.∀x∈R,f(x)=0或g(x)=0C.∃x0∈R,f(x0)=0且g(x0)=0D.∃x0∈R,f(x0)=0或g(x0)=0答案 D解析根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得:命题“∀x∈R,f(x)g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R,f(x0)=0或g(x0)=0”.故选D.5.命题p:甲的数学成绩不低于100分,命题q:乙的数学成绩低于100分,则p∨(綈q)表示()A.甲、乙两人的数学成绩都低于100分B.甲、乙两人至少有一人的数学成绩低于100分C.甲、乙两人的数学成绩都不低于100分D.甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分答案 D解析由于命题q:乙的数学成绩低于100分,因此綈q:乙的数学成绩不低于100分,所以p∨(綈q)表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分.6.已知命题“∃x∈R,4x2+(a-2)x+14≤0”是假命题,则实数a的取值范围为()A.(-∞,0)B.[0,4]C.[4,+∞)D.(0,4) 答案 D解析因为命题“∃x∈R,4x2+(a-2)x+14≤0”是假命题,所以其否定为“∀x∈R,4x2+(a-2)x+14>0”是真命题.则Δ=(a-2)2-4×4×14=a2-4a<0,解得0<a<4.7.(2021·衡水检测)命题p:若向量a·b<0,则a与b的夹角为钝角;命题q:若cos α·cos β=1,则sin(α+β)=0.下列命题为真命题的是()A.pB.綈qC.p∧qD.p∨q答案 D解析当a,b方向相反时,a·b<0,但夹角是180°,不是钝角,命题p是假命题;若cos αcos β=1,则cos α=cos β=1或cos α=cos β=-1,所以sin α=sin β=0,从而sin(α+β)=0,命题q是真命题,所以p ∨q 是真命题.8.已知命题p :“∀x ∈[0,1],a ≥e x ”;命题q :“∃x 0∈R ,使得x 20+4x 0+a =0”.若命题“p ∧q ”是真命题,则实数a 的取值范围为( )A.[e ,4]B.(-∞,e]C.[e ,4)D.[4,+∞)答案 A解析 若命题“p ∧q ”是真命题,那么命题p ,q 都是真命题.由∀x ∈[0,1],a ≥e x ,得a ≥e ;由∃x 0∈R ,使x 20+4x 0+a =0,得Δ=16-4a ≥0,则a ≤4,因此e ≤a ≤4. 9.命题:∃x 0∈R ,1<f (x 0)<2的否定是________________________.答案 ∀x ∈R ,f (x )≤1或f (x )≥210.若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4,tan x ≤m ”是真命题,则实数m 的最小值为________. 答案 1解析 ∵函数y =tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4上是增函数, ∴y max =tan π4=1,依题意,m ≥y max ,即m ≥1.∴m 的最小值为1.11.下列命题为真命题的是________(填序号).①∃x 0∈R ,x 20+x 0+1≤0;②∀a ∈R ,f (x )=log (a 2+2)x 在定义域内是增函数;③若f (x )=2x -2-x ,则∀x ∈R ,f (-x )=-f (x );④若f (x )=x +1x,则∃x 0∈(0,+∞),f (x 0)=1. 答案 ②③解析 x 20+x 0+1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+122+34>0,故①错误; ∵a 2+2≥2>1,∴f (x )=log (a 2+2)x 在(0,+∞)上是增函数,故②正确; f (x )为奇函数,所以∀x ∈R ,都有f (-x )=-f (x ),故③正确;x0∈(0,+∞)时,f(x0)=x0+1x0≥2,当且仅当x0=1时取“=”,故④错误.综上有②③正确.12.(2022·周口调研)已知p:函数f(x)=x2-(2a+4)x+6在(1,+∞)上是增函数,q:∀x∈R,x2+ax+2a-3>0,若p∧(綈q)是真命题,则实数a的取值范围为________. 答案(-∞,-1]解析依题意,p为真命题,綈q为真命题.若p为真命题,则2a+42≤1,解得a≤-1.①若綈q为真命题,则∃x0∈R,x20+ax0+2a-3≤0成立.∴a2-4(2a-3)≥0,解之得a≥6或a≤2.②结合①②,知a≤-1,即实数a的取值范围是(-∞,-1].13.已知命题p:∀x>0,e x>x+1,命题q:∃x∈(0,+∞),ln x≥x,则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.(綈p)∧qC.p∧(綈q)D.(綈p)∧(綈q)答案 C解析令f(x)=e x-x-1,则f′(x)=e x-1,当x>0时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)>f(0)=0,即e x>x+1,则命题p真;令g(x)=ln x-x,x>0,则g′(x)=1x -1=1-xx,当x ∈(0,1)时,g ′(x )>0;当x ∈(1,+∞)时,g ′(x )<0,即当x =1时,g (x )取得极大值,也是最大值,所以g (x )max =g (1)=-1<0,∴g (x )<0在(0,+∞)上恒成立,则命题q 假,因此綈q 为真,故p ∧(綈q )为真.14.(2019·全国Ⅲ卷)记不等式组⎩⎨⎧x +y ≥6,2x -y ≥0表示的平面区域为D .命题p :∃(x ,y )∈D ,2x +y ≥9;命题q :∀(x ,y )∈D ,2x +y ≤12.下面给出了四个命题 ①p ∨q ;②(綈p )∨q ;③p ∧(綈q );④(綈p )∧(綈q ).这四个命题中,所有真命题的编号是( )A.①③B.①②C.②③D.③④答案 A解析 由不等式组画出平面区域D ,如图阴影部分所示,在图中画出直线2x +y =9,可知p 为真命题,綈p 为假命题,作出直线2x +y =12,2x +y ≤12表示直线及其下方区域,易知命题q 为假命题;命题綈q 为真命题;∴p ∨q 为真,(綈p )∨q 为假,p ∧(綈q )为真,(綈p )∧(綈q )为假.故真命题的编号为①③.15.已知函数f (x )的定义域为(a ,b ),若“∃x ∈(a ,b ),f (x )+f (-x )≠0”是假命题,则f (a +b )=________.答案 0解析 “∃x ∈(a ,b ),f (x )+f (-x )≠0”的否定是∀x ∈(a ,b ),f (x )+f (-x )=0,依题意:命题∀x ∈(a ,b ),f (x )+f (-x )=0为真命题,故函数y =f (x ),x ∈(a ,b )为奇函数,∴a +b =0,∴f (a +b )=f (0)=0.16.若f (x )=x 2-2x ,g (x )=ax +2(a >0),∀x 1∈[-1,2],∃x 0∈[-1,2],使g (x 1)=f (x 0),则实数a 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12 解析 设f (x )=x 2-2x ,g (x )=ax +2(a >0)在[-1,2]上的值域分别为A ,B , 则A =[-1,3],B =[-a +2,2a +2],由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧-a +2≥-1,2a +2≤3,∴a ≤12, 又∵a >0,∴0<a ≤12.。
高三数学(文一轮复习课件第一章3命题及其关系充分条件与必要条件

考纲呈现 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,并理解全称量词与 存在量词的含义. 2.能正确的对含有一个量词的命题进行否定.
诊断型·微题组
课前预习·诊断双基
1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的 且、或、非 叫做逻辑联结词. (2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
命题角度2 含一个量词的命题的否定
(2018河南郑州预测(二))已知命题p:∀x>2,x3-8>0,那么¬p是 ()
A.∀x≤2,x3-8≤0 B.∃x0>2,x30-8≤0 C.∀x0>2,x30-8≤0 D.∃x≤2,x3-8≤0 【答案】B
【解析】依题意,知¬p是“∃x0>2,x30-8≤0”,故选B.
当a=0时,不等式为-x≥0,解得x≤0,显然不成立;当a≠0 时,不等式恒成立的条件是
a>0, Δ=-12-4a2≤0,
解得a≥12.
综上,命题q为真时,a的取值集合为Q=aa≥12
.
由“p∨q是真命题,p∧q是假命题”可知命题p,q一真一
假.当p真q假时,a的取值范围是P∩(∁RQ)={a|0<a<1}∩
4.(教材习题改编)命题“任意两个等边三角形都相似”的否定 为________.
【答案】存在两个等边三角形,它们不相似
形成型·微题组
归纳演绎·形成方法
含有逻辑联结词的命题的真假判断
1.(2018山东枣庄第一学期期末)如果命题“p∨q”与命题 “¬p”都是真命题,则( )
A.命题q一定是真命题 B.命题p不一定是假命题 C.命题q不一定是真命题 D.命题p与命题q真假相同 【答案】A
【解】因为函数y=cx在R内单调递减, 所以0<c<1,即p:0<c<1. 因为c>0,且c≠1,所以¬p:c>1. 又因为f(x)=x2-2cx+1在12,+∞内为增函数, 所以c≤12,即q:0<c≤12. 因为c>0,且c≠1,所以¬q:c>12,且c≠1. 又因为“p或q”为真,“p且q”为假, 所以p真q假或p假q真.
高三理科数学复习资料-命题及其关系、充要条件和简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

高三理科数学复习资料命题及其关系、充要条件和简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一.基础知识1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p,则q逆命题若q,则p否命题若綈p,则綈q逆否命题若綈q,则綈p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;(2)如果p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件.4. 简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词.(2)简单复合命题的真值表:5.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有:“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.(2)常见的存在量词有:“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.(3)全称量词用符号“∀”表示;存在量词用符号“∃”表示. 6.全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题. (2)含有存在量词的命题叫特称命题. 7.命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. (2)p或q的否定为:非p 且非q ;p且q 的否定为:非p或非q . 二.题型分析题型1. 命题正误的判断 题1.(1)给出如下三个命题:①四个非零实数a,b ,c,d 依次成等比数列的充要条件是ad =bc; ②设a ,b ∈R ,且ab ≠0,若\f(a ,b )<1,则ba >1;③若f (x )=lo g2x ,则f (|x |)是偶函数. 其中不正确命题的序号是( ). A .①②③ ﻩB.①② C.②③D .①③解析 对于①,可举反例:如a ,b ,c ,d 依次取值为1,4,2,8,故①错;对于②,可举反例:如a 、b 异号,虽然错误!<1,但错误!<0,故②错;对于③,y=f (|x |)=l og 2|x |,显然为偶函数,故选B 答案 B(2)下列命题中,假命题为( ) A.存在四边相等的四边形不.是正方形 B .1212,,z z C z z ∈+为实数的充分必要条件是12,z z 为共轭复数C.若,x y ∈R ,且2,x y +>则,x y 至少有一个大于1D.对于任意01,n n n n n N C C C ∈+++都是偶数【解析】只要12,z z 的虚部相反,则12z z +,就为实数,比如121,2z i z i =+=-,则有12123z z i i +=++-=为实数,所以B 错误,选B.题型2.四种命题的真假判断题2.(1)已知命题“若函数f (x )=ex-mx 在(0,+∞)上是增函数,则m ≤1”,则下列结论正确的是( ).A.否命题是“若函数f (x )=ex -mx 在(0,+∞)上是减函数,则m >1”,是真命题 B.逆命题是“若m ≤1,则函数f (x )=e x-mx 在(0,+∞)上是增函数”,是假命题 C .逆否命题是“若m >1,则函数f (x )=ex-mx 在(0,+∞)上是减函数”,是真命题 D .逆否命题是“若m>1,则函数f (x)=e x -mx 在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题 [审题视点] 分清命题的条件和结论,理解四种命题间的关系是解题关键.解析 f′(x )=ex -m ≥0在(0,+∞)上恒成立,即m ≤ex在(0,+∞)上恒成立,故m ≤1,这说明原命题正确,反之若m ≤1,则f′(x )>0在(0,+∞)上恒成立,故逆命题正确,但对增函数的否定不是减函数,而是“不是增函数”,故选D. 答案 D(2)给出下列四个命题:①命题“若4πα=,则1tan =α”的逆否命题为假命题; ②命题1sin ,:≤∈∀x R x p .则R x p ∈∃⌝0:,使1sin 0>x ; ③“()2k k Z πϕπ=+∈”是“函数)2sin(ϕ+=x y 为偶函数”的充要条件;④命题:p “R x ∈∃0,使23cos sin 00=+x x ”;命题:q “若sin sin αβ>,则αβ>”,那么q p ∧⌝)(为真命题. 其中正确的个数是( ) A .1ﻩB .2 C .3 D .4【答案】B【解析】①中的原命题为真,所以逆否命题也为真,所以①错误.②根据全称命题的否定式特称命题知,②为真.③当函数为偶函数时,有2k πϕπ=+,所以为充要条件,所以③正确.④因为sin cos )4x x x π+=+32<,所以命题p 为假命题,p ⌝为真,三角函数在定义域上不单调,所以q 为假命题,所以q p ∧⌝)(为假命题,所以④错误.所以正确的个数为2个,选B. 题型3. 充要条件的判断题3.(1)已知函数()cos f x x b x =+,其中b 为常数.那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的( )(A )充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】若0b =,则()cos f x x b x x =+=为奇函数。
高三理科数学复习资料-命题及其关系、充要条件和简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词汇编

高三理科数学复习资料命题及其关系、充要条件和简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一.基础知识1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p,则q逆命题若q,则p否命题若綈p,则綈q逆否命题若綈q,则綈p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;(2)如果p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件.4. 简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词.(2)简单复合命题的真值表:5.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有:“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等. (2)常见的存在量词有:“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.(3)全称量词用符号“∀”表示;存在量词用符号“∃”表示. 6.全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题. (2)含有存在量词的命题叫特称命题. 7.命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. (2)p 或q 的否定为:非p 且非q ;p 且q 的否定为:非p 或非q . 二.题型分析题型1. 命题正误的判断 题1.(1)给出如下三个命题:①四个非零实数a ,b ,c ,d 依次成等比数列的充要条件是ad =bc ; ②设a ,b ∈R ,且ab ≠0,若a b <1,则ba >1;③若f (x )=log 2x ,则f (|x |)是偶函数. 其中不正确命题的序号是( ). A .①②③ B .①② C .②③D .①③解析 对于①,可举反例:如a ,b ,c ,d 依次取值为1,4,2,8,故①错;对于②,可举反例:如a 、b 异号,虽然a b <1,但ba <0,故②错;对于③,y =f (|x |)=log 2|x |,显然为偶函数,故选B 答案 B(2)下列命题中,假命题为( ) A .存在四边相等的四边形不.是正方形 B .1212,,z z C z z ∈+为实数的充分必要条件是12,z z 为共轭复数C .若,x y ∈R ,且2,x y +>则,x y 至少有一个大于1D .对于任意01,nn n n n N C C C ∈+++L 都是偶数【解析】只要12,z z 的虚部相反,则12z z +,就为实数,比如121,2z i z i =+=-,则有12123z z i i +=++-=为实数,所以B 错误,选B.题型2.四种命题的真假判断题2.(1)已知命题“若函数f (x )=e x -mx 在(0,+∞)上是增函数,则m ≤1”,则下列结论正确的是( ).A .否命题是“若函数f (x )=e x -mx 在(0,+∞)上是减函数,则m >1”,是真命题B .逆命题是“若m ≤1,则函数f (x )=e x -mx 在(0,+∞)上是增函数”,是假命题C .逆否命题是“若m >1,则函数f (x )=e x -mx 在(0,+∞)上是减函数”,是真命题D .逆否命题是“若m >1,则函数f (x )=e x -mx 在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题 [审题视点] 分清命题的条件和结论,理解四种命题间的关系是解题关键.解析 f ′(x )=e x -m ≥0在(0,+∞)上恒成立,即m ≤e x 在(0,+∞)上恒成立,故m ≤1,这说明原命题正确,反之若m ≤1,则f ′(x )>0在(0,+∞)上恒成立,故逆命题正确,但对增函数的否定不是减函数,而是“不是增函数”,故选D. 答案 D(2)给出下列四个命题:①命题“若4πα=,则1tan =α”的逆否命题为假命题; ②命题1sin ,:≤∈∀x R x p .则R x p ∈∃⌝0:,使1sin 0>x ; ③“()2k k Z πϕπ=+∈”是“函数)2sin(ϕ+=x y 为偶函数”的充要条件;④命题:p “R x ∈∃0,使23cos sin 00=+x x ”;命题:q “若sin sin αβ>,则αβ>”,那么q p ∧⌝)(为真命题. 其中正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4【答案】B【解析】①中的原命题为真,所以逆否命题也为真,所以①错误.②根据全称命题的否定式特称命题知,②为真.③当函数为偶函数时,有2k πϕπ=+,所以为充要条件,所以③正确.④因为sin cos )4x x x π+=+32<,所以命题p 为假命题,p ⌝为真,三角函数在定义域上不单调,所以q 为假命题,所以q p ∧⌝)(为假命题,所以④错误.所以正确的个数为2个,选B. 题型3. 充要条件的判断题3.(1)已知函数()cos f x x b x =+,其中b 为常数.那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的( )(A )充分而不必要条件(B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】若0b =,则()cos f x x b x x =+=为奇函数。
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考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件、 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.(2010·天津高考文科·T5)下列命题中,真命题是( )(A)m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数()=()是偶函数 (B)m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数()=()是奇函数 (C)m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数()=()都是偶函数(D)m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数()=()都是奇函数 【命题立意】考查简易逻辑、二次函数的奇偶性.【思路点拨】根据偶函数的图像关于y 轴对称这一性质进行判断.【规范解答】选A.当0m =时,函数2()f x x =的图像关于y 轴对称,故选A.2.(2010·天津高考理科·T3)命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是( ) (A)若f(x) 是偶函数,则f(-x)是偶函数 (B )若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数 (C )若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数 (D )若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数 【命题立意】考查命题的四种形式中的否命题的概念.【思路点拨】原命题“若p 则q ”,否命题为“若p ⌝则q ⌝”.【规范解答】选B.明确“是”的否定是“不是”,并对原命题的条件和结论分别进行否定,可得否命题为“若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数”.3.(2010·辽宁高考文科·T4)已知a >0,函数2()f x ax bx c =++,若x 0满足关于x 的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是( )0000(A) R,()() (B) R,()()(C) R,()() (D) R,()()x f x f x x f x f x x f x f x x f x f x ∃∈≤∃∈≥∀∈≤∀∈≥【命题立意】本题考查二次函数的顶点与最值问题,全称命题与特称命题.【思路点拨】02bx a =-,由于a>0,所以0()f x 是()f x 的最小值.【规范解答】选C.由x 0满足方程2ax+b=0,可得02b x a =-.∵a>0,∴0()()2bf x f a =-是二次函数()f x 的最小值,可判定D 选项是真命题,C 选项是假命题;存在x= x 0时,0()()f x f x =,可判定A ,B 选项都是真命题,故选C.4.(2010 ·海南宁夏理科·T5)已知命题1p :函数22x xy -=-在R 上为增函数, 2p :函数22x x y -=+在R 上为减函数,则在命题1q :12p p ∨,2q :12p p ∧,3q :()12p p ⌝∨和4q :()12p p ∧⌝中,真命题是( )(A )1q ,3q (B )2q ,3q (C )1q ,4q (D )2q ,4q【命题立意】本小题主要考查逻辑联结词和判断命题的真假. 【思路点拨】先判断出12,p p 的真假,然后再进行相关的判断,得出相应的结论.【规范解答】选C.因为2x y =为增函数,2x y -=为减函数,易知1p :函数22x xy -=-在R 上为增函数是真命题,2p :函数22x xy -=+在R 上为减函数为假命题.故1q ,4q 为真命题.5.(2010·陕西高考文科·T6)“a >0”是“a>0”的 ( )(A)充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充要条件(D )既不充分也不必要条件【命题立意】本题考查充分条件、必要条件等的基本概念,属送分题. 【思路点拨】由“条件”的定义求解即可. 【规范解答】选A. 因为“a >0” ⇒ “a>0”,但是“a>0” ⇒ “a >0或a<0” ,所以“a>0”推不出“a >0”,故“a >0”是“a>0”的充分不必要条件,故选A.6.(2010·广东高考文科·T8)“x >032x ”成立的( ) (A)充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C)非充分非必要条件 (D )充要条件【命题立意】本题考查充要条件的判断以及不等式的基本性质.【思路点拨】判断由“x >032x ”.【规范解答】选A .Q “x >0” ⇒32x ” 32x ”不能得到“x >0”,故选A .7.(2010·广东高考理科·T5) “14m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的( )(A)充分非必要条件 (B)充分必要条件 (C)必要非充分条件 (D)非充分非必要条件 【命题立意】本题考查充分必要条件,一元二次方程根的判定.【思路点拨】 先求出一元二次方程20x x m ++=”有实数解的条件,再分析与14m <的关系.【规范解答】选A . 由“一元二次方程20x x m ++=”有实数解得:211404m m -≥⇒≤,故选A .8.(2010·福建高考文科·T8)若向量(,3)()a x x R =∈,则“4x =”是“||5a =”的( ) (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分又不必要条件 【命题立意】本题考查充分必要条件,平面向量长度的坐标运算. 【思路点拨】先判断||5a =的充要条件,然后可得结论.【规范解答】选 A.Q 2a 5,x 95,x 4=∴+=∴=±,x 4a 5,a 5∴=⇒==⇒x 4= x=4,所以x 4=是a 5=的充分而不必要条件.9.(2010·北京高考理科·T6)a r ,b r 为非零向量.“a b ⊥r r ”是“函数f (x )=()()xa b xb a+⋅-r r v v为一次函数”的( )(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件 【命题立意】本题考查充分必要条件,向量的数量积、一次函数等知识.【思路点拨】把()f x 展开,由一次函数的条件可得到a b ⊥r r且||||a b ≠r r .【规范解答】选 B.函数222()()f x x a b b a x a b =⋅+--⋅r r r r r r 为一次函数,则2200a b b a ⎧⋅=⎪⎨-≠⎪⎩r r r r ,,即a b ⊥r r 且⇒||||a b ≠r r ,反之不成立,因此“a b ⊥r r ”是“函数()f x =()()xa b xb a +⋅-r r v v 为一次函数”的必要而不充分条件.【方法技巧】(1)0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ;(2)“p q ⇒”.p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件.10.(2010·陕西高考理科·T9)对于数列{n a },“1n na a +>(n=1,2,…)”是“{n a }为递增数列”的( )(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要条件 (D) 既不充分也不必要条件【命题立意】本题考查充分条件、必要条件等的基本概念及数列的基本概念. 【思路点拨】1n n a a +>⇒10n n n a a a +>⇒>⇒{n a }为递增数列;而“{n a }为递增数列”推不出“1n na a +>(n=1,2,…)”.【规范解答】选B .因为1n na a +>,所以0,n a >1n na a +>,即{n a }为递增数列.又“{n a }为递增数列”推不出“1n na a +>(n=1,2,…)”,所以“1n na a +>(n=1,2,…)”是“{n a }为递增数列”的充分不必要条件,故选B.11.(2010·辽宁高考理科·T11)已知a>0,则x 0满足关于x 的方程ax=b 的充要条件是( )(A)220011,22x R ax bx ax bx ∃∈-≥- (B) 220011,22x R ax bx ax bx ∃∈-≤- (C) 220011,22x R ax bx ax bx ∀∈-≥- (D) 220011,22x R ax bx ax bx ∀∈-≤-【命题立意】本题考查充要条件、二次函数的最值,全称命题、特称命题. 【思路点拨】构造二次函数f(x)=21(0)2ax bx a ->,观察对称轴和最值与x 0的关系. 【规范解答】选C.20022000220001() 0,()()2,()()(0),,11,()() ,2211,,()()b bf x ax bx a x f x f a ab x R f x f ab x ax b a x ax R f x f x x R ax bx ax bx x R ax bx ax bx x R f x f x =->=∀∈≥=>=∀∈≥∀∈-≥-∀∈-≥-∀∈≥令()当时取得最小值。
即。
若满足方程即所以有即;反之若,即,.200220001() 0,()()2,()()(0),,11,()() ,22b b f x ax bx a x f x f a a b x R f x f a bx ax b a x a x R f x f x x R ax bx ax bx =->=∀∈≥=>=∀∈≥∀∈-≥-令()当时取得最小值。
即。
若满足方程即所以有即;.圆学子梦想 铸金字品牌 200220002200001() 0,()()2,()()(0),,11,()() ,2211,,()()22()()b b f x ax bx a x f x f a a b x R f x f abx ax b a x ax R f x f x x R ax bx ax bx x R ax bx ax bx x R f x f x x x f x f x =->=∀∈≥=>=∀∈≥∀∈-≥-∀∈-≥-∀∈≥=令()当时取得最小值。
即。
若满足方程即所以有即;反之若,即,即当时取得最小值,而对0022000,11,22bx abx x ax b ax ax b x R ax bx ax bx ====∀∈-≥-而言,当时取得最小值。
所以即满足方程综上,满足方程的充要条件是. 12. (2010·湖南高考文科·T2) 下列命题中的假命题是( )(A ),lg 0x R x ∃∈= (B ),tan 1x R x ∃∈= (C ) 3,0x R x ∀∈> (D ),20x x R ∀∈>【命题立意】本小题以存在性命题和全称命题为载体考查指数不等式、二次不等式、对数不等式和 正切函数的值域.【思路点拨】考查等价化简. 【规范解答】选C.∵lgx=0,∴x=1∈R , ∴A 是真命题.又∵tanx=1时,x=4π∈R,∴B 是真命题. C 显然不对,因为x ≤0时就不成立.对任意x ∈R ,2的x 次幂都大于零, ∴D 是真命题.13.(2010·湖南高考理科·T2)下列命题中的假命题是( ) (A )∀x R ∈,120x -> (B ) ∀*x N ∈,2(1)0x ->(C )∃ x R ∈,lg 1x < (D ) ∃x R ∈,tan 2x =【命题立意】本小题以存在性命题和全称命题为载体考查指数不等式、二次不等式、对数不等式和正切函数的值域.,, , ,圆学子梦想 铸金字品牌 【思路点拨】对各个式子等价化简. 【规范解答】选B.∵120x ->,∴x ∈R ,∴A 是真命题.又∵2(1)0x ->,∴x ∈R 且x ≠1,而1∈N *,∴B是假命题.又lg 1x <,∴0<x<10,∴C 是真命题.又∵y=tanx 的值域为R ,∴D 是真命题.14.(2010·安徽高考文科·T11)命题“存在x R ∈,使得2250x x ++=”的否定是 .【命题立意】本题主要考查特称命题的否定,考查考生的转化能力.【思路点拨】特称命题的否定是全称命题,存在量词“存在” 改为全称量词“任意”,并把结论否定. 【规范解答】“存在” 改为“任意”,“=”改为“≠ ”,即“对任意x R ∈,都有2250x x ++≠”.【答案】“对任意x R ∈,都有2250x x ++≠”15.(2010·安徽高考理科·T11)命题“对任何x ∈R ,243x x -+->”的否定是________.【命题立意】本题主要考查全称命题的否定,考查考生的转化能力.【思路点拨】全称命题的否定是特称命题,全称量词“任何”改为存在量词“存在”,并把结论否定. 【规范解答】“任何” 改为“存在”,“>”改为“≤ ”,即“存在x ∈R ,|2||4|3x x -+-≤”. 【答案】“存在x ∈R ,|2||4|3x x -+-≤”关闭Word 文档返回原板块。