数学建模期末复习

一、 线性规划

1．求解下列线性规划问题： 共20分 max z=2x 1+7x 2-3 x 3

x 1+3x 2+4x 3≤30 （第一种资源限制约束）

x 1+4x 2- x 3≤10 （第二种资源限制约束）

x 1、x 2、x 3≥0

（1） 求出该问题的最优解和最优值；

（2） 第二种资源限量由10变为20，最优解是否改变；若改变请求出新的最优解； （3） 增加一个新变量x 6，其目标函数系数为3，技术消耗系数为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛212616a a ，最优解是否改变；若改变请求出新的最优解。

解：（1）lingo 程序 max =2*x1+7*x2-3*x3;

x1+3*x2+4*x3<=30; x1+4*x2-x3<=10;

最优解（x1 x2 x3）=（10 0 0） 最优值=20

（2） max =2*x1+7*x2-3*x3;

x1+3*x2+4*x3<=30; x1+4*x2-x3<=20;

最优解（x1 x2 x3）=（20 0 0） 最优值=40

或对第一题进行灵敏度分析(第二种资源限量可以在0到30范围内变化，

最优基解不变最优解（x1 x2 x3）=（20 0 0）最优值=40)

（3）max =2*x1+7*x2-3*x3+3*x4; x1+3*x2+4*x3+x4<=30; x1+4*x2-x3+2*x4<=10;

求解得到 最优解（x1 x2 x3 x4）=（10 0 0 0） 最优值=20

2．某校基金会有一笔数额为5000万元的基金，打算将其存入银行。当前银行存款的利率见下表2。取款政策与银行的现行政策相同，定期存款不提前取，活期存款可任意支取。

校基金会计划在5年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在5年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会设计一个基金最佳使用方案，试建立其模型。（15分）

一年期 1.800 二年期 1.944 三年期 2.160 五年期

2.304

3、某公司打算在三个不同的地区设置4个销售点，根据市场预测部门估计，在不同的地区设置不同的数量的销售点，每月可得到的利润如表2所示。试问在各个地区应如何设置销售点，才能使每月获得的总利润最大？其最大利润是多少？并给出最优方案。（15分）

表2 销售点 利润

地区 0 1

2

3

4

1 0 16 25 30 3

2 2 0 12 17 21 22 3

10

14

16

17

解：变量 ij x 为0,1变量 x

ij

0,(i =1,2, 3；j=1,2,3,4,5)

目标函数：Max 35

1

1

ij ij i j z x c ===

∑∑

约束条件：

5

13

5

11

1,1,2,3

[*(1)]4

ij j ij

i j x i x

j =====-=∑

∑∑

Cij=0 16 25 30 32 0 12 17 21 22 0 10 14 16 17

程序： model : sets :

s/1..3/; d/1..5/; link(s,d):c,x; Endsets

max =@sum (link:c*x);

!min=@sum(s(i):@sum(d(j):c(i,j)*x(i,j))); ! 同上面相同的目标函数 ; @for (s(i ):@sum (d(j):x(i,j))=1);

@sum (s(i):@sum (d(j):(j-1)*x(i,j)))=4; data :

c=0 16 25 30 32 0 12 17 21 22 0 10 14 16 17;

Enddata

结果：Global optimal solution found.

Objective value: 47.00000

Infeasibilities: 0.000000

Total solver iterations: 4

Variable Value Reduced Cost

X( 1, 3) 1.000000 0.000000

X( 2, 2) 1.000000 0.000000

X( 3, 2) 1.000000 0.000000

答：地区1设2个销售点，地区2、3个设1个销售点，最大利润为47

4．一个木材储运公司有很大的仓库用以储运出售木材。由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分储存起来以后出售。已知该公司仓库的最大储存量为20万米3，储存费用为（70+100u）千元/万米3，u为存储时间（季度数）。已知每季度的买进卖出价及预计的销售量如表1所示。表1

由于木材不宜久贮，所有库存木材应于每年秋末售完。为使售后利润最大，试建立这个问题的线性规划模型。（15分）

解：xij:第i季度买进，第j季度卖出，（i<=j）

目标函数：Max=x11*(425-410)+x12*(440-410)+x22*(440-430)+x13*(465-410)+x23*(465-430)+x33*( 465-460)+x14*(455-410)+x24*(455-430)+x34*(455-460)+x44*(455-450)-x12*(70+100*1) *0.1-x13*(70+100*2)*0.1-x14*(70+100*3)*0.1-x23*(70+100*1)*0.1-x24*(70+100*2)*0. 1-x34*(70+100*1)*0.1

约束条件：

X11=100

X12+x22=140

X13+x23+x33=200

X14+x24+x34+x44=160

X12+x13+x14<=20