电磁场与微波技术第一二三章课后习题及部分答案概诉
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第 1 章 习 题
1、 求函数()D Cz By Ax u +++=1的等值面方程。 解：
根据等值面的定义：标量场中场值相同的空间点组成的曲面称为标量场的等值面，其方程为
)( ),,(为常数c c z y x u =。
设常数E ，则，()E D Cz By Ax =+++1， 即：()1=+++D Cz By Ax E
针对不同的常数E （不为0），对应不同的等值面。
2、 已知标量场xy u =，求场中与直线042=-+y x 相切的等值线方程。 解：
根据等值线的定义可知：要求解标量场与直线相切的等值线方程，即是求解两个方程存在单解的条件，由直线方程可得：
42+-=y x ，
代入标量场C xy =，得到： 0422=+-C y y ，
满足唯一解的条件：02416=⨯⨯-=∆C ，
得到：2=C ，因此，满足条件的等值线方程为：2=xy
3、 求矢量场z zy y y x x
xy A ˆˆˆ222++=
的矢量线方程。 解：由矢量线的微分方程：
z
y x A dz A dy A dx ==
本题中，2
xy A x =，y x A y 2
=，2
zy A z =， 则矢量线为：
222zy dz
y x dy xy dx =
=，
由此得到三个联立方程：
x dy y dx =，z dz x
dx =，zy dz
x dy =
2，解之，得到： 22y x =，z c x 1=，222x c y =，整理，
y x ±=，z c x 1=，x c y 3±=
它们代表一簇经过坐标原点的直线。
4、 求标量场z y z x u 2322+=在点M (2,0,-1)处沿z z y xy x
x t ˆ3ˆˆ242+-=
方向的方向导数。 解：由标量场方向导数的定义式：
直角坐标系下，标量场u 在可微点M 处沿l 方向的方向导数为
γβαcos cos cos z
u
y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂
α、β、γ分别是l 方向的方向角，即l 方向与z y x
ˆˆˆ、、的夹角。αcos 、βcos 、γcos 分别是l 方向的方向余弦。
422==∂∂M M x z x u ，04==∂∂M M
zy y u
，
1223222=+=∂∂M M y z x z u 令：
8
4
2
2
2
422294)3()()2(z
y x x z xy x ++=++=∆
则：542cos =∆=M M
x α
，0cos 2=∆
-=M
M xy β，5
3
cos -=M
γ
，
4536
0516cos cos cos -=-+=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂M M
M M z u y u x u t u γβα 5、 求标量场z y x xy z y x u 62332222--++++=在点M (0,0,0) 、点M (1,1,1)处的梯度，并找出场中梯度为0的点。 解：由梯度定义：
z z
u y y u x x u u ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=
∇ 则：
z z y x y x
y x z z u y y u x x u u ˆ)66(ˆ)24(ˆ)32(ˆˆˆ-+-++++=∂∂+∂∂+∂∂=
∇
z y x
u ˆ6ˆ2ˆ3)0,0,0(--=∇ y x
u ˆ3ˆ6)1,1,1(+=∇ 若要梯度为零，则需使得梯度中各项分量为零，即：
032=++y x 024=-+x y 066=-z
解之，得到：
1,1,2==-=z y x
即，在点（-2，1，1）处，标量场的梯度为零。
6、 设z z y y x
x r ˆˆˆ++=
，r r =，n 为正整数。求r ∇、n r ∇、()r f ∇。 解：根据题意及梯度定义：
r
r z z y y x x r z z y y x x r z y x z y x z y x r =++=++=++∇++=++∇=∇-)ˆˆˆ(1
)ˆ2ˆ2ˆ2(1
21)()(21)
(22221
2
22222
r
nr r r nr r
nr r n n n n 211---==∇=∇ r
r
r f r
r f r f )
(')(')(=∇=∇ 7、 求矢量场z z y y x
x A ˆˆˆ333++=
在点M (1,0,-1)处的散度。 解：由题意及散度定义： 222333z y x A ++=⋅∇
，将M(1,0,-1)代入：
得到：
6303=++=⋅∇M
A
8、 设a
为常矢量，z z y y x
x r ˆˆˆ++= ，r r =，求()a r ⋅∇、()a r 2⋅∇、()
a r n ⋅∇，证明a r a =⋅∇)( 解：由散度运算公式：
1）
()r
a r r a r r a
r a r a r
⋅=⋅+⋅=⋅∇+⋅∇=⋅∇0 2）
()
a
r r a r r r a
r a r a r
⋅=⋅+⋅=⋅∇+⋅∇=⋅∇2022
222
3）