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高中理科数学复习试题选编31：双曲线(教师版)
理科数学复习试题选编31：双曲线一、选择题1 ．（六校联盟高三回头联考理科数学试题）已知F 1和F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线左支的一点，1PF ⊥2PF ，1PF =C ，则该双曲线的离心率为（ ）A 1B ．12C 1D ．12【答案】C2 ．（绍兴市高三教学质量调测数学（理）试题（word 版） ）已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O ，A 两点.若△AOF 的面积为b ，则双曲线的离心率等于 （ ）A ．3B ．5C ．D ．【答案】D3 ．（高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）直线过点(2,1)P 与曲线1422=-y x 恰有一个公共点，则满足条件的直线的条数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 解：因为点(2,1)P 在渐近线上，故旋转直线一周只有2条符合条件.4 ．（杭州高中高三第六次月考数学（理）试题）设双曲线C ：22221x y a b -=(a >0，b >0)的右焦点为F ，左，右顶点分别为A 1，A 2.过F 且与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 与另一条渐近线相交于P ，若P 恰好在以A 1A 2为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为 （ ）AB ．2C D ．3【答案】A5 ．（高考模拟冲刺（提优）测试一数学（理）试题）已知1F ，2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段21F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 （ ）A ．)2,1(B ．)3,2(C ．)2,3(D ．),2(∞+【答案】D6 ．（嘉兴市高三上学期基础测试数学（理）试题）已知焦点在y 轴上的双曲线的渐近线过椭圆221416x x +=和椭圆2231164x y +=的交点，则双曲线的离心率是（ ）A ．233B ．2C ．5D ．52【答案】B7 ．（杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题）设双曲线22143x y -=的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交双曲线左支于,A B 两点，则22BF AF +的最小值为 （ ）A ．192B ．11C ．12D ．16【答案】B 解：由题意，得：21221121248824AF AF a BF AF AF BF AB BF BF a ⎧-==⎪⇒+=++=+⎨-==⎪⎩ 显然，AB 最短即通径，2min23b AB a=⋅=，故()22min11BF AF +=8 ．（温岭中学高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题 ）已知21F F 、分别是双曲线:C 12222=-by a x 的左、右焦点，若2F 关于渐近线的对称点恰落在以1F 为圆心，||1OF 为半径的圆上，则C 的离心率为： （ ）A ．3B ．3C ．2D ．2【答案】D解析：方法一：设),(y x P 为2F 关于渐近线x aby l =:的对称点，则有： ⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=-=-2)2c x a b y b a c x y （，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2222222)(b a abc y b a b a c x ， 由⋅1=0可得：0222=++y cx x ，将上式代入化简可得：0))((2)(2222222=+-++b a b a b a ，即223a b =，即224a c =，即2==ace ，故选 D ．方法二：如图：设2F 关于其渐近线的对称点为P ，连接PO ﹑1PF ，由于点P 恰落在以1F 为圆心，||1OF 为半径的圆上，故有11PF PO OF c ===，易得02160PF =∠F ，01230PF =∠F 故12PF PF ⊥，又2OH PF ⊥，故0260OHF ∠=，即3600==tan a b ，即2==ace .故选 D ．9 ．（嘉兴市高三第二次模拟考试理科数学试卷）设m 是平面α内的一条定直线，P 是平面α外的一个定点，动直线n 经过点P 且与m 成︒30角，则直线n 与平面α的交点Q 的轨迹是 （ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】C ：动直线n 的轨迹是以点P 为顶点、以平行于m 的直线为轴的两个圆锥面，而点Q 的轨迹就是这两个圆锥面与平面α的交线.10．（【解析】镇海中学高三5月模拟数学（理）试题）已知双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，离心率为2，12,F F 分别是它的左、右焦点，A 是它的右顶点，过1F 作一条斜率为(0)k k ≠的直线与双曲线交于两个点,M N ，则MAN ∠为 （ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．锐角、直角、钝角都有可能【答案】答案：B 解析：由离心率为2，可得2c a =，223b a =，则双曲线方程为22233xy a -=.设1122(,),(,)M x y N x y ，因直线MN 的斜率不为零，则可设其方程为2x my a =-，与双曲线方程联立得222(31)1290m y amy a --+=，从而有2310m -≠，1221231amy y m +=-，且11．（温岭中学高三高考提优冲刺考试（五）数学（理）试题）已知F 1、F 2是双曲线C ：)0(12222>>=-b a by a x的两个焦点，过曲线C 的左焦点F 1(-c ，0)和虚轴端点B(0，b )作直线l 交曲线C 左支于A 点，右支与D 点，连接AO 、DF 2，AO∥DF 2 ，则双曲线的离心率为 （ ） A ．3B ．6C ．36+D ．25+【答案】C 提示 联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=1)(2222b y ax c x c b y 削去x 得02322=+-b y c by 221221,2b y y b c y y =⋅=+(*)，由题意的2212y y =代入(*)中，得到⎪⎩⎪⎨⎧==2222223by b c y ，削去y 得4489c b =，可以解得2692+=e .12．（考试院高三上学期测试数学（理）试题）如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的左、右焦A ，B 两点.若 | AB | ： | BF 2 | ： | AF 2 |=3：4 ： 5，（ ）．13．15 C ．2D ．3【答案】A13．（“六市六校”联盟高三下学期第一次联考数学（理）试题）设F 1，F 2 是双曲线)0,(1x 2222>=-b a by a 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足212F F PF =，且54cos 21=∠F PF ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．043=±y xB ．053=±y xC ．034=±y xD ．045=±y x 【答案】C14．（海宁市高三2月期初测试数学（理）试题）已知点P 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 左支上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交于M ，N 两点(如图)，点N 恰好xy OA B F 1F 2平分线段PF 2，则双曲线的离心率是（ ）5B ．2C ．3D ．215．（普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．23D ．26 【答案】D16．（宁波市高三第一学期期末考试理科数学试卷）设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|：|F 1F 2|：|PF 2|=4：3：2， 则曲线C 的离心率等于 （ ）A ．2332或B ．23或2 C ．12或2 D ．1322或【答案】D17．（嘉兴市第一中学高三一模数学（理）试题）已知双曲线c ： )0(12222>>=-b a b y a x ，以右焦点F为圆心，|OF |为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N (异于原点O)，若|MN|=a 32，则双曲线C的离心率 是（ ）A 2B ．3C ．2D ．13+【答案】COxyA BF 1F 2xyOM NP 1F 2F18．（黄岩中学高三5月适应性考试数学(理)试卷 ）已知A ，B ，P 是双曲线12222=-by a x (0>a ，0>b )上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点O ，若直线PA ，PB 的斜率乘积3=⋅PB PA k k ，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】C19．（温州中学高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，12A A 、是实轴顶点，F 是右焦点，()0,B b 是虚轴端点，若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点(1,2)i p i =，使得12(1,2)i P A A i ∆=构成以12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是 （ ）A ．)+∞B ．1,)2+∞C ．1(1,)2D ．1)2【答案】D ．20．（湖州市高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word 版) ）已知A B P ，，是双曲线()2222100y x a b a b -=>>，上不同的三点，且A B ，连线经过坐标原点O ，若直线PA PB ，的斜率乘积3PA PB k k ⋅=，则双曲线的离心率为 （ ）AB C ．2D【答案】C21．（温州市高三第三次适应性测试数学(理)试题（word 版） ）已知是双曲线14222=-y ax 的左焦点，双曲线右支上一动点P ，且x PD ⊥轴，D 为垂足，若线段PD FP -的最小值为52，则双曲线的离心率为 （ ）A ．53B ．52C ．25D ．5【答案】A22．（杭州市高三第二次教学质检检测数学（理）试题）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b ，A ，B 是双曲线的两个顶点.P 是双曲线上的一点，且与点B 在双曲线的同一支上.P 关于y 轴的对称点是Q 若直线AP ，BQ 的斜率分别是k 1，k 2，且k 1·k 2=45，则双曲线的离心率是 （ ）A ．355 B ．94C ．32D ．95【答案】C23．（温州市十校联合体高三上学期期末联考理科数学试卷）已知抛物线()022>=p px y 与双曲线()0,012222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且x AF ⊥轴，则双曲线的离心率为 （ ）A ．12+B ．13+C ．215+ D ．2122+【答案】A24．（名校新高考研究联盟高三第一次联考数学（理）试题）已知P 为双曲线C ：221916x y -=上的点，点M满足1OM =，且0OM PM ⋅=，则当PM 取得最小值时的点P 到双曲线C 的渐近线的距离为 （ ）A ．95B ．125C ．4D ．5【答案】B 二、填空题25．（永康市高考适应性考试数学理试题 ）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A ，B 两点，且与其中一条渐近线垂直，若FB AF 4=，则该双曲线的离心率为____;【答案】210526．（乐清市普通高中高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）设O 为坐标原点，B A ,是双曲线1322=-y x 的渐近线上异于O 的两点，且2||||==OB OA ，则→→⋅OB OA =_______.【答案】2±，-4 27．（金丽衢十二校高三第二次联合考试理科数学试卷）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”.已知1F 、2F 是一对“黄金搭档”的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当6021=∠PF F 时，这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是_______【答案】328．（温州市高三第二次模拟考试数学（理）试题）己知F 1，F 2分别是双曲线1222=-b y x 的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若 |AF 2|=2且∠F 1AF 2=450.廷长AF 2交双曲线右支于点B ，则ΔF 1AB 及的面积等于___【答案】429．（建人高复高三第五次月考数学（理）试题）已知A 、B 分别是双曲线22:4C x y -=的左、右顶点，则P 是双曲线上在第一象限内的任一点，则PBA PAB ∠-∠=__________.【答案】略30．（五校联盟高三下学期第一次联考数学（理）试题）设双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，左右顶点分别为12,A A ，过F 且与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 与另一条渐近线相交于P ，若P 恰好在以12A A 为直径的圆上，则双曲线的离心率为______________.【答案】231．（宁波市高三第一学期期末考试理科数学试卷）如果双曲我的两个焦点分别为12(0,3)(0,3)F F 和，其中一条渐近线的方程是22y x =，则双曲线的实轴长为______. 【答案】2332．（诸暨中学高三上学期期中考试数学（理）试题）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A ，x 轴上有一点(2,0)Q a ，若双曲线上存在点P ，使AP PQ ⊥，则双曲线的离心率的取值范围是____________【答案】33．（温州市高三第一次适应性测试理科数学试题）已知双曲线22221x ya b-=的一条渐近线方程为2y x=，则其离心率为____【答案】34．（五校联盟高三下学期第二次联考数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的渐近线与圆22420x y x+-+=有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是___________.【答案】。
考点28 双曲线(解析版)
考点28 双曲线【考点剖析】1.最新考试说明：(1)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)【2020年高考全国Ⅱ卷理数8文数9】设O 为坐标原点，直线a x =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D EODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B【思路导引】∵()2222:10,0x y C a b a b-=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a =±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE ∆的面积为8，可得ab值，根据2c =结合均值不等式，即可求得答案．【解析】∵2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点，不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x a b y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，故(,)D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，故(,)E a b -，∴||2ED b =，∴ODE ∆面积为：1282ODES a b ab =⨯==△．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，∴其焦距为28c =≥==，当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8，故选B ．【专家解读】本题的特点是注重双曲线的基本应用，本题考查了双曲线的定义、标准方程及其几何性质，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立．【2020年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点12,F F ，离心率为5．P 是C 上的一点，且P F P F 21⊥．若21F PF ∆的面积为4，则=a（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8 【答案】A【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案． 【解析】解法一：5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=，12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选A ．解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为2tan 221θb S F PF =．∴︒45tan 2b =4，则2=b ， 又∵5==ace ，∴1=a ． 解法三：设n PF m PF ==21,，则421==mn S F PF ，a n m 2=-，5,4222===+ace c n m ，求的1=a ． 【专家解读】本题考查了双曲线的定义、标准方程及其几何性质，考查双曲线焦点三角形的计算，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是双曲线的定义以及性质的应用． 【2020年高考山东卷9】已知曲线22:1C mx ny += （ ）A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若0m n =>，则C C ．若0mn <，则C是双曲线，其渐进线方程为y = D ．若0m =，0n >，则C 是两条直线 【答案】ACD【思路导引】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线．【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n +=，此时曲线C的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n =，y n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确．故选：ACD ．【专家解读】本题考查了圆锥曲线的定义及其几何性质，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是圆锥曲线定义的应用．【2020年高考北京卷12】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为________；C 的焦点到其渐近线的距离是__________． 【答案】(3,0)【解析】∵双曲线22163x y -=，∴26a =，23b =，222639c a b =+=+=，∴3c =，∴右焦点坐标为(3,0)，∵双曲线中焦点到渐近线距离为b，∴b =【专家解读】本题考查了双曲线定义、标准方程及其几何性质，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是双曲线定义的应用．【2020年高考天津卷7】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22144x y -=B ．2214y x -=C ．2214x y -=D ．221x y -=【答案】D【思路导引】由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1yx b+=，即得直线的斜率为b -，再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可得b b a -=-，1bb a-⨯=-即可求出,a b ，得到双曲线的方程． 【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．【专家解读】本题考查了双曲线、抛物线标准方程及其几何性质，考查直线平行与垂直位置关系的应用，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是直线与直线的位置关系的应用．【2020年高考全国Ⅰ卷理数15】已知F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 ．【答案】2【思路导引】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【解析】依题可得，3BFAF =，而2b BF a=，AF c a =-，即23b a c a=-，变形得22233c a ac a -=-，化简可得，2320e e -+=，解得2e =或1e =（舍去）．故答案为：2．【专家解读】本题考查了双曲线标准方程及其几何性质，考查双曲线的离心率的求法，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是双曲线的定义及几何性质的应用．【2020年高考全国Ⅲ卷文数14】设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线为y =，则C的离心率为 ．【思路导引】根据已知可得ba=,,a b c 的关系，即可求解． 【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a ===【专家解读】本题考查了双曲线标准方程及其几何性质，考查双曲线的离心率的求法，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是双曲线渐近线方程与离心率关系．【2020年高考江苏卷6】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)5x y a a -=>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是 ． 【答案】32【解析】由22205x y a -=得渐近线方程为y =，又0a >，则2a =，2259c a =+=，3c =，得离心率32c e a ==． 【专家解读】本题考查了双曲线标准方程及其几何性质，考查双曲线的离心率的求法，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是双曲线渐近线方程与离心率关系． (2) 了解双曲线的简单应用，理解数形结合的思想【2020年高考浙江卷8】已知点()()()0,0,2,0,2,0O A B -．设点P 满足–2PA PB =，且P 为函数y =图像上的点，则OP =（ ）ABCD【答案】D【思路导引】根据题意可知，点P 既在双曲线的一支上，又在函数y =的图象上，即可求出点P 的坐标，得到OP 的值．【解析】由条件可知点P 在以,A B 为焦点的双曲线的右支上，并且2,1c a ==，∴23b =，方程为()22103y x x -=> 且点P为函数y =上的点，联立方程()22103y x x y ⎧-=>⎪⎨⎪=⎩，解得：2134x =，2274y =，OP ∴==D ． 【专家解读】本题考查了双曲线的定义、标准方程及其几何性质，考查函数与方程思想，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是二次曲线的位置关系的应用．【2020年高考全国Ⅰ卷文数11】设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且2OP =，则12PF F ∆的面积为 （ ）A ．72 B ．3 C ．52D ．2 【答案】B【思路导引】由12PF F ∆是以P 为直角直角三角形得到221216PF PF +=，再利用双曲线的定义得到122PF PF -=，联立即可得到12PF PF ，代入121212F F P P S F PF =△中计算即可． 【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，∵12112OP F F ==，∴点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，∴2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，∴12F F P S =△121||||32PF PF =，故选B ． 【专家解读】本题的特点是注重双曲线的基本应用，本题考查了双曲线标准方程及其几何性质，考查双曲线中焦点三角面积的计算问题，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是双曲线的定义的应用．2.命题方向预测：（1）高考对椭圆的考查，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查椭圆的标准方程，结合椭圆的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查椭圆的几何性质，较多地考查离心率问题；四是考查直线与椭圆的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等. （2）高考对双曲线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查双曲线的标准方程，结合双曲线的定义及双曲线基本量之间的关系，利用待定系数法求解；二是考查双曲线的几何性质，较多地考查离心率、渐近线问题；三是考查双曲线与圆、椭圆或抛物线相结合的问题，综合性较强.（3）高考对抛物线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查抛物线的标准方程，结合抛物线的定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、焦点、焦准距等；三是考查直线与抛物线的位置关系问题，过焦点的直线较多.选择题或填空题抛物线与椭圆、双曲线综合趋势较强，涉及直线与抛物线位置关系的解答题增多.3.课本结论总结：1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内； (2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离． 4. 双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a )4.名师二级结论：双曲线： 一条规律双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 两种方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a 、2b 或2c ，从而求出a 2、b 2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a 2、b 2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值． 三个防范(1)区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．双曲线的标准方程中，对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同． 若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±ba x ，y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±abx . 5.考点交汇展示：（1）与椭圆、圆、抛物线交汇【2020·江苏连云港高三】已知双曲线2214y x -=的左､右顶点为A ､B ，焦点在y 轴上的椭圆以A ､B 为顶点，过A 作斜率为k 的直线交双曲线于另一点M ，交椭圆于另一点N ，若AN NM =，则k 的值为______.【答案】3±【解析】对于椭圆，显然1b =，c a =2214y x +=，设()00,N x y ，则由AN NM=得()0021,2M x y +.因为点M 在双曲线上，点N 在椭圆上，所以220014y x +=，()220042114y x +-=，解得，012x =，0y =，所以1,2N ⎛ ⎝ ,()1,0A - 故直线l的斜率k =. 2．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>右支与焦点为F 的抛物线22x py =(0)p >交于A ，B 两点，若||||4||AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A．y x = B ．13y x =±C．y x = D ．12y x =±【答案】C【解析】联立方程222222122222122102x y y ppb y y y a bb a a x py⎧-=⎪∴-+=∴+=⎨⎪=⎩， 2212221||||4||222pb y y p p a b AF BF OF p a +=∴+=++===，故渐近线为y x =。
椭圆与双曲线综合测试题
椭圆与双曲线综合测试题椭圆与双曲线综合测试题一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求。
）1、以x2/412+y2/16=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（）。
A、x2/16+y2/4=1B、x2/4+y2/16=1C、x2/9+y2/16=1D、x2/16+y2/9=12、已知双曲线x2/9-y2/4=1上的一点P为该双曲线的两个焦点，设P到F2的距离为3，到F1的距离为2，则三角形F1PF2的面积是（）。
A、12B、63C、123D、2433、已知以x2/20+y2/16=1为焦点的椭圆C与直线L：x+3y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆C的长轴长是（）。
A、32B、26C、27D、424、已知双曲线C的对称中心在原点，对称轴是坐标轴，且一条渐近线方程是3x+4y=0，双曲线C过点P(2，1)，则双曲线C的方程是（）。
A、9x2/25-4y2/9=1B、4x2/9-9y2/25=1C、9x2/16-4y2/25=1D、4x2/25-9y2/16=15、已知椭圆E:9x2/4+y2/16=1的左右焦点是(-5,0)和(5,0)，点P为E上一动点，当∠EPF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是（）。
A、(-3,3)B、(-5,3)C、(-5,5)D、(3,5)6、若F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1/MF2=2，则椭圆的离心率的取值范围是下列的选项（）。
A、(2/3,1)B、(1/2,1)C、(1,2/3)D、(1,1/2)7、已知椭圆x2/5+y2/4=1(n>2)和双曲线-3y2/5+x2/9=1有相同的焦点F1、F2，P(7，2)是两条双曲线的一个交点且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积是（）。
A、1B、1/2C、2D、3/28、如果已知双曲线的左右焦点分别是F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长是5，若半轴a=5，则三角形ABF2的周长是（）。
江西省南昌市2024届高三第二次模拟测试数学试题 附答案
2024年江西省南昌市高考数学二模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
I.已知向量a=(1,2). Ii=（一2,3),则石Ii=()A.2B.4C.6D.82．设复数z 满足z+ 1 = (2 + i)z,则团＝（）1-2A 石＿2B C.1 D 迈3已知集合A=(xllnx � O}, B = (xl2x � 2}，则”XEA"是“XE B"的（）A ，充分不必要条件c ．充要条件B ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.已知f (x )= { 一x 2-2x ,x < 0lo如(x+l),x�O ，则不等式f(x)< 2的解集是（）A.(-oo, 2)B. (-oo, 3)C.(0,3)D .(3, +oo)5．在三棱锥A -BCD 中，AB l.平面BCD,AB=../3, BC=BD=CD =2, E, F 分别为AC,CD 的中点，则下列结论正确的是（）A. AF, BE 是异面直线，AF l. BEB. AF, BE 是相交直线，AF l. BEC. AF, BE 是异面直线，AF 与BE 不垂直D. AF, BE 是相交直线，AF 与BE 不垂直6已知2cos(2x＋合）cos(x －台－cos3x= ¼，则sin(�-2x ) =( )1-2A B, －-7-8c7-8D227已知双曲线C:5＿兮＝l(a > O,b > 0)的左、右焦点分别为F 1'Fz,双曲线的右支上有一点A,AF 1与双曲线的左支交于8,线段AF 2的中点为M,且满足F 2,若L片AF 2=f ，则双曲线C 的离心率为（）A 岳B 岳c..f6D 石8．校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥P-ABC 的三个侧面沿AB,BC, AC 展开得到面P 1AB,P 2BC, P 3AC,使得平面P 1AB,P 1BC, P 3AC 均与平面ABC 垂直，再将球0放到上面使得p l 'P 2,P 3三个点在球0的表面上，若奖杯的总窝度为6J习，且AB=4,则球0的表面积为（）A. 140n3B. 100n9C. 98兀9D.32兀3cB二、多选题：本题共3小题，共18分。
人教版初中九年级数学上册第二十二章《二次函数》阶段测试(含答案解析)(1)
一、选择题1．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =-．下列结论：①240b ac ->，②0abc <，③420a b c -+>．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③B解析：B 【分析】先由抛物线与x 轴的交点个数判断出结论①，再根据二次函数图像的开口方向，及与y 轴的交点位置，对称轴的位置分别判断出,,a b c 的符号可判断结论②,最后用2x =-时，抛物线再x 轴上方判断结论③． 【详解】由图象知,抛物线与x 轴有两个交点， 方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根， ∴b 2-4ac>0,故①正确，由图象知抛物线的开口向下0a <， 抛物线与y 轴交于正半轴0c >， 对称轴直线为1x =-， ∴102ba-=-<，可推出0b <， ∴0abc >，故②错误，由图象知,当x=-2与x=0对应的y 值相同，0y >， ∴420a b c -+>，故③正确． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线的开口方向，与y 轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解题的关键2．若飞机着陆后滑行的距离()s m 与滑行的时间()t s 之间的关系式为s=60t-1.5t 2，则函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．C解析：C 【分析】根据关系式可得图象的开口方向，可求出函数的顶点坐标，根据s 从0开始到最大值时停止，可得t 的取值范围，即可得答案． 【详解】∵滑行的距离()s m 与滑行的时间()t s 之间的关系式为s=60t-1.5t 2，-1.5＜0， ∴图象的开口向下，∵s=60t-1.5t 2=-1.5（t-20）2+600， ∴顶点坐标为（20，600）， ∵s 从0开始到最大值时停止， ∴0≤t≤20， ∴C 选项符合题意， 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 3．设函数()()12y x x m =--，23y x=，若当1x =时，12y y =，则（ ） A ．当1x >时，12y y < B ．当1x <时，12y y > C ．当0.5x <时，12y y < D ．当5x >时，12y y >D解析：D 【分析】当y 1＝y 2，即（x ﹣2）（x ﹣m ）＝3x，把x ＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m ）＝3，则m ＝4，画出函数图象即可求解． 【详解】解：当y 1＝y 2， 即（x ﹣2）（x ﹣m ）＝3x， 把x ＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m ）＝3， ∴m ＝4，∴y 1＝（x ﹣2）（x ﹣4）， 抛物线的对称轴为：x ＝3，如下图：设点A 、B 的横坐标分别为1，5，则点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，从图象看在点B 处，即x ＝5时，y 1＞y 2， 故选：D ． 【点睛】本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．4．已第二次函数()2240y ax ax a =-+->图象上三点()11,A y -、()21,B y 、()32,C y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．132y y y <<B ．312y y y <<C ．123y y y <<D ．213y y y <<B解析：B 【分析】把三点横坐标代入函数解析式，求出函数值，再进行比较大小即可． 【详解】解：当x=-1时，y=-2a-a-4=-3a-4； 当x=1时，y=-2a+a-4=-a-4； 当x=2时，y=-8a+2a-4=-6a-4； ∵a ＞0∴-6a-4＜-3a-4＜-a-4 ∴312y y y << 故选B 【点睛】本题考查抛物线上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，可以判断y 1，y 2，y 3的大小．5．函数()20y ax a a =-≠与()0y ax a a =-≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．C解析：C 【分析】分a ＞0与a ＜0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论． 【详解】解：①当a ＞0时，二次函数y=ax 2-a 的图象开口向上、对称轴为y 轴、顶点在y 轴负半轴，一次函数y=ax-a(a≠0)的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y 轴同一点；②当a ＜0时，二次函数y=ax 2-a 的图象开口向下、对称轴为y 轴、顶点在y 轴正半轴，一次函数y=ax-a(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y 轴同一点． 对照四个选项可知C 正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数及一次函数系数找出其大概图象是解题的关键． 6．表格对应值：x 1 2 3 4 2ax bx c ++0.5-512.522判断关于x 的方程2ax bx c ++=的一个解x 的范围是（ ）A ．01x <<B ．12x <<C ．23x <<D ．34x <<B解析：B 【分析】利用x =1和x =2所对应的函数值可判断抛物线y=ax 2+bx +c 与x 轴的一个交点在（1，0）和（2，0）之间，则根据抛物线于x 轴的交点问题可判断关于x 的方程ax 2+bx +c =0（a≠0）的一个解x 的范围． 【详解】解：∵x =2时，y =5，即ax 2+bx +c ＞0； x =1时，y =-0.5，即ax 2+bx +c ＜0，∴抛物线y=ax 2+bx +c 与x 轴的一个交点在（1，0）和（2，0）之间， ∴关于x 的方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的一个解x 的范围是1＜x ＜2． 故选：B ． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程． 7．抛物线()2512y x =--+的顶点坐标为（ ） A ．()1,2- B ．()1,2C ．()1,2-D ．()2,1B解析：B 【分析】由于给的是二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：∵y=-5（x-1）2+2，∴此函数的顶点坐标是（1，2）． 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的表示方法．8．把函数2(1)2y x =-+图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ） A ．22y x =+ B ．2(1)1y x =-+C ．2(2)2y x =-+D ．2(1)3y x =-+C解析：C 【分析】先求出y=（x-1）2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：二次函数y=（x-1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2）， ∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2）， ∴所得的图象解析式为y=（x-2）2+2． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，求出平移后的函数图象的顶点坐标直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．9．已知二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9．设该函数图象与 x 轴的一个交点的横坐标为1x ，若15x >则a 的取值范围是（ ） A ．3a 1-<<- B ．2a 1-<< C ．1a 0-<< D ．2a 4<<C解析：C 【分析】根据二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9，可以写出该函数的顶点式，得到0a <，再根据该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，可知，当5x =时，0y >，即可得到a 的取值范围，本题得以解决．【详解】 解：二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9，0a ∴<，该函数解析式可以写成2(2)9y a x =-+，设该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，∴当5x =时，0y >，即2(52)90a -+>，解得，1a >-，a ∴的取值范围时10a -<<，故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．0abc >B ．0a b c ++=C ．420a b c ++=D ．240b ac -<C解析：C 【分析】由二次函数的开口方向，对称轴0x >，以及二次函数与y 的交点在x 轴的上方，与x 轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可． 【详解】A 、观察图象，二次函数的开口向下，∴0a <， 与y 轴的交点在x 轴上方，∴0c >， 又∵对称轴为2bx a=-，在x 轴的正半轴上， 故02bx a=->，即0b >． ∴0abc <，故选项A 不正确；B 、观察图象，抛物线对称轴为直线12122x -+== ∴在对称轴右侧，当1x =时，函数值0y a b c =++>，故选项B 不正确；C 、观察图象，当2x =时，函数值420y a b c =++=，故选项C 正确；D 、∵二次函数与x 轴有两个交点，∴240b ac =->，故D 不正确．故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是解答此题的关键．二、填空题11．有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点： 甲：与x 轴只有一个交点； 乙：对称轴是直线x ＝4；丙：与y 轴的交点到原点的距离为3．满足上述全部特点的二次函数的解析式为_____．y ＝（x ﹣4）2或y ＝﹣（x ﹣4）2【分析】根据甲乙所说的特点可知判断抛物线的顶点坐标为（40）再根据丙所说的特点可得到抛物线与y 轴的交点坐标为（03）或（0﹣3）然后利用待定系数法求出抛物线解析式解析：y ＝316（x ﹣4）2或y ＝﹣316（x ﹣4）2． 【分析】根据甲、乙所说的特点可知判断抛物线的顶点坐标为（4，0），再根据丙所说的特点可得到抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3）或（0，﹣3），然后利用待定系数法求出抛物线解析式即可． 【详解】解：∵抛物线与x 轴只有一个交点且对称轴是直线x ＝4， ∴抛物线的顶点坐标为（4，0）， ∵抛物线与y 轴的交点到原点的距离为3．∴抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3）或（0，﹣3）， 设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣4）2， 把（0，3）代入得3＝a （0﹣4）2，解得a ＝316，此时抛物线的解析式为y ＝316（x ﹣4）2；把（0，﹣3）代入得﹣3＝a （0﹣4）2，解得a ＝﹣316，此时抛物线的解析式为y ＝﹣316（x ﹣4）2；综上，满足上述全部特点的二次函数的解析式为y ＝316（x ﹣4）2或y ＝﹣316（x ﹣4）2． 故答案为y ＝316（x ﹣4）2或y ＝﹣316（x ﹣4）2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及运用待定系数法确定函数解析式，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键．12．若二次函数26y x x c =-+的图象经过()11,A y -，()22,By ，()33C y +三点，则关于1y ，2y ，3y 大小关系正确的是_______．（用“<”连接）【分析】根据函数解析式的特点其对称轴为x=3图象开口向上；利用y 随x 的增大而减小可判断根据二次函数图象的对称性可判断于是【详解】根据二次函数图象的对称性可知中在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小因为于是 解析：231y y y <<【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=3，图象开口向上；利用y 随x 的增大而减小，可判断21y y <，根据二次函数图象的对称性可判断23y y >，于是231y y y <<. 【详解】根据二次函数图象的对称性可知，33()C y 中，|33||32|1+>-=，1(1,)A y -、2(2,)B y 在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，因为112-<<，于是231y y y <<.故答案为231y y y <<. 【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性.13．公园广场前有一喷水池，喷水头位于水池中央，从喷头喷出水珠的路径可近似看作抛物线．如图是根据实际情境抽象出的图象，水珠在空中划出的曲线恰好是抛物线26y x x =-+（单位：m ）的一部分，则水珠落地点（点P ）到喷水口（点O ）的距离为________m ．6【分析】根据题意可以得到水珠落地点（点P ）到喷水口（点O ）的距离就是OP 的长度利用配方法或公式法求得其顶点坐标的横坐标的2倍即为本题的答案【详解】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+6x ∴解析：6 【分析】根据题意可以得到水珠落地点（点P ）到喷水口（点O ）的距离就是OP 的长度，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的横坐标的2倍即为本题的答案． 【详解】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=-x 2+6x ， ∴y=-x 2+6x=-（x-3）2+9， ∴顶点坐标为：（3，9），∴水珠落地点（点P ）到喷水口（点O ）的距离为OP=3×2=6（米）， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题． 14．二次函数223y x =的图象如图所示，点0A 位于坐标原点，点1A ，2A ，3A ，…，2013A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…，2013B 在二次函数223y x =位于第一象限的图象上，若011A B A △，122A B A △，233A B A △，…，201220132013A B A △都为等边三角形，则201220132013A B A △的边长=________．2013【分析】分别过B1B2B3作y 轴的垂线垂足分别为ABC 设A0A1=aA1A2=bA2A3=c 则AB1=aBB2=bCB3=c 再根据所求正三角形的边长分别表示B1B2B3的纵坐标逐步代入抛物线解析：2013【分析】分别过B 1，B 2，B 3作y 轴的垂线，垂足分别为A 、B 、C ，设A 0A 1=a ，A 1A 2=b ，A 2A 3=c ，则AB 1=32a ，BB 2=32b ，CB 3=32c ，再根据所求正三角形的边长，分别表示B 1，B 2，B 3的纵坐标，逐步代入抛物线y=23x 2中，求a 、b 、c 的值，得出规律． 【详解】分别过1B ，2B ，3B 作y 轴的垂线，垂足分别为A 、B 、C ， 设01A A a =，12A A b =，23A A c =，由勾股定理则22101032AB A B AA a =-=，232BB b =，332CB c =， 1111312233AA AB a a ==⨯=，则13,22a B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 2211312233BA BB b b ==⨯=，则23,22b B b a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭， 3331233CA c ===，则33,2c B a b ⎫++⎪⎪⎝⎭， 在正011A B A △中，13,2a B ⎫⎪⎪⎝⎭， 代入223y x =中，得223234a a =⨯，解得1a =，即011A A =，在正122A B A △中，23,12b B ⎫+⎪⎪⎝⎭，代入223y x =中，得2231234b b +=⨯，解得2b =，即122A A =，在正233A B A △中，33,322c B c ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，代入223y x =中，得2233234c c ⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭，解得3c =，即233A A =，…，依此类推由此可得201220132013A B A △的边长2013=．故答案为：2013.【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．勾股定理应用，掌握探究规律题的解题方法，关键是根据正三角形的性质用边长表示抛物线上点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．15．已知点()12,A y -，()23,B y -在二次函数22y x x c =--+的图象上，则1y 与2y 的大小关系为1y ______2y ．（填“>”“<”或“=”）【分析】抛物线开口向下且对称轴为直线x=-1根据二次函数的图象性质：在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大判断即可【详解】解：∵二次函数的解析式为y=-x2-2x+c=-（x+1）2+1+c ∴该抛物线开口解析：>【分析】抛物线开口向下，且对称轴为直线x=-1，根据二次函数的图象性质：在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大判断即可．【详解】解：∵二次函数的解析式为y=-x 2-2x+c=-（x+1）2+1+c ，∴该抛物线开口向下，且对称轴为直线：x=-1．∵点A （-2，y 1），B （-3，y 2）在二次函数y=-x 2-2x+c 的图象上，且-3＜-2＜-1， ∴y 1＞y 2．故答案为＞．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．16．将二次函数 ()2213y x =-+ 的图象先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，则所得图象的函数表达式为________.y=2（x+1）2-1【分析】利用二次函数图像平移规律：上加下减左加右减可得平移后的函数解析式【详解】解：将二次函数 的图象先向左平移2个单位再向下平移4个单位则所得图象的函数表达式为：y=2（x解析：y=2（x+1）2-1【分析】利用二次函数图像平移规律：上加下减，左加右减，可得平移后的函数解析式．【详解】解：将二次函数 ()2213y x =-+ 的图象先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，则所得图象的函数表达式为：y=2（x-1+2）2+3-4∴y=2（x+1）2-1.故答案为：y=2（x+1）2-1.【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．17．单行隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为21 3.258y x =-+，一辆车高3米，宽4米，该车________（填“能”或“不能”）通过该隧道．不能【分析】根据题意将x=2代入求出相应的y 值然后与车高比较大小即可解答本题【详解】解：将x=2代入y=-x2+325得y=-×22+325=275∵275＜3∴该车不能通过隧道故答案为：不能【点睛解析：不能．【分析】根据题意，将x=2代入求出相应的y 值，然后与车高比较大小即可解答本题．【详解】解：将x=2代入y=-18x 2+3.25，得 y=-18×22+3.25=2.75， ∵2.75＜3，∴该车不能通过隧道，故答案为：不能．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．18．已知二次函数()232y x m x m =-+-+的顶点在y 轴上，则其顶点坐标为___________．【分析】先根据二次函数的顶点在y 轴上可得其对称轴为y 轴从而求出m 的值再根据二次函数的解析式即可得出答案【详解】二次函数的顶点在y 轴上此二次函数的对称轴为y 轴即解得二次函数的解析式为其顶点坐标为故答案解析：()0,2【分析】先根据二次函数的顶点在y 轴上可得其对称轴为y 轴，从而求出m 的值，再根据二次函数的解析式即可得出答案．【详解】二次函数()232y x m x m =-+-+的顶点在y 轴上， ∴此二次函数的对称轴为y 轴，即()2023m x -=-=⨯-， 解得2m =，∴二次函数的解析式为232y x =-+，∴其顶点坐标为()0,2，故答案为：()0,2．【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标和对称轴，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键． 19．写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②与y 轴交于点(0,3)-，这个二次函数的解析式可以是_______________________．【分析】根据二次函数的性质可得出a ＜0利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c=-3取a=-1b=0即可得出结论【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c ∵抛物线开口向下∴a ＜0∵抛物线与y解析：23=--y x【分析】根据二次函数的性质可得出a ＜0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c=-3，取a=-1，b=0即可得出结论．【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ．∵抛物线开口向下，∴a ＜0．∵抛物线与y 轴的交点坐标为（0，-3），∴c=-3．取a=-1，b=0时，二次函数的解析式为y=-x 2-3．故答案为：y=-x 2-3（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出a ＜0，c=-3是解题的关键．20．过点()0,2，()2,2，()2,1--的二次函数图象开口向_______（填“上”或“下”）下【分析】先用待定系数法确定二次函数的解析式然后根据二次项系数即可解答【详解】解：设一般式y=ax2+bx+c 由题意得：解得由＜0则该函数图像开口向下故答案为：下【点睛】本题考查了二次函数图像的性质解析：下【分析】先用待定系数法确定二次函数的解析式，然后根据二次项系数即可解答．【详解】解：设一般式y=ax 2+bx+c ，由题意得：2=c 2=42142a b c a b c ⎧⎪++⎨⎪-=-+⎩解得3=-83=42a b c ⎧⎪⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩由3=-8a ＜0，则该函数图像开口向下． 故答案为：下．【点睛】 本题考查了二次函数图像的性质，根据题意确定二次函数的解析式是解答本题的关键．三、解答题21．已知抛物线23y ax bx =++经过点()3,0-，()2,5-．求此抛物线的解析式． 解析：223y x x =--+【分析】将点3,0，2,5代入抛物线23y ax bx =++解方程组求出b 、c 的值即可得答案．【详解】由题意得，93304235a b a b -+=⎧⎨++=-⎩解得，12a b =-⎧⎨=-⎩， 则二次函数的解析式为223y x x =--+．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，把抛物线上的点的坐标代入解析式确定字母的值是解题关键．22．已知二次函数2y ax =与22y x c =-+．（1）随着系数a 和c 的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；（2）若这两个函数图象的形状相同，则a =______；若抛物线2y ax =沿y 轴向下平移2个单位就能与22y x c =-+的图象完全重合，则c =______． （3）二次函数22y x c =-+中x 、y 的几组对应值如下表：解析：（1）见解析；（2）2±，2-；（3）p m n <<【分析】（1）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项的变化会影响开口大小，开口方向，对称轴和顶点坐标，根据二次函数的性质即可得出图像的具体影响．（2）由于函数图像形状相同，可以得到2a =±；根据二次函数平移规律上加下减可求得函数22y ax =-，再由题意就可得到c =-2． （3）将表中数值代入二次函数即可分别得到m 、n 、p 含未知数c 的代数式，比较大小即可．【详解】（1）二次函数2y ax =的图像随着a 的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数22y x c =-+的图像随着c 的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变．（只要学生答对变与不变各一个点就给满分）．（2）由于函数2y ax =与函数22y x c =-+的形状相同，所以2a =-，即2a =±．抛物线2y ax =沿y 轴向下平移两个单位，即得到抛物线22y ax =-．因为该抛物线与22y x c =-+的图像完全重合所以2c =-故答案为2±；2-（3）表中数值代入二次函数22y x c =-+可得; 8m c =-+,2n c =-+,50p c =-+因为50c -+<8c -+<2c -+所以p m n <<．故答案为p m n <<【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图像与几何变换，二次函数上点的坐标特征．特别注意（2）2a =时两个函数图像形状相同．23．“新冠肺炎”疫情期间某工厂为支持国家抗击疫情每天连夜生产急缺的消毒液，已知每瓶消毒液的生产成本为20元，为了合理定价，根据市场调查发现，当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶，但要求销售单价不能低于成本且不高于30元.（1）求每天的销售量y （瓶）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）求每天的利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（3）该工厂负责人决定将每天的利润全部捐献出来进一步支持国家抗击“新冠肺炎”疫情，则当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？解析：（1）函数关系式为y =-1000x +36000；（2）函数关系式为w =-1000x 2+56000x -720000；（3）当销售单价为28元时，最大利润是64000元.【分析】（1）抓住关键的已知条件：当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶，由此可得到y 与x 之间的函数解析式. （2）利用根据每天的利润=每一件的利润×销售量，列出w 与x 之间的函数解析式. （3）将（2）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可得结果.【详解】（1）解：由题意得y =（30-x ）×1×1000+6000=-1000x +36000.∴每天的销售量y （瓶）与销售单价x （元）之间的函数关系式为y =-1000x +36000. （2）解：由题意得w =（x -20）（-1000x +36000）=-1000x 2+56000x -720000.∴每天的利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式为w =-1000x 2+56000x -720000. （3）解：w =-1000x 2+56000x -720000=-1000（x -28）2+64000.∵a =-1000＜0∴当x =28时，w 有最大值为64000.答：当销售单价为28元时，最大利润是64000元.【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用-销售问题；二次函数顶点式的转化也是本题求最值问题的关键．24．（1）若抛物线23y x x a =++与x 轴只有一个交点，求实数a 的值；（2）已知点()3,0在抛物线()233y x k x k =-++-上，求此抛物线的对称轴． 解析：（1）94a =；（2）2x = 【分析】 （1）由根的判别式进行计算，即可求出答案；（2）先求出k 的值，然后代入计算，即可求出对称轴．【详解】解：（1）抛物线23y x x a =++与x 轴只有一个交点，0∴∆=，即940a -=， ∴94a =． （2）点()3,0在抛物线()233y x k x k =-++-上， ()203333k k ∴=-⨯++-，9k ∴=， ∴抛物线的解析式为：23129y x x =-+-，∴对称轴为：1222(3)x =-=⨯-． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出参数的值．25．如图已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，连接BC ，PB ，PC ，设PBC 的面积为S ．①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．解析：（1）2y x 2x 3=-++；（2）①23922S t t =-+；②92P 坐标315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由点A 、B 坐标，利用待定系数法求解抛物线的表达式即可；（2）①过点P 作PH ⊥x 轴于H ，设点P 坐标为(t ，223t t -++)，由PBC PHB BOC OCPH S S S S ∆∆∆=+-梯形即可表示出S 关于t 的函数表达式；②由于BC 为定值，所以点P 到直线BC 的距离最大时即为S 最大，根据二次函数的性质求出S 的最大值，利用勾股定理求出线段BC 的长，再利用等面积法求出点P 到直线BC 的距离的最大值，进而可求出此时的点P 坐标．【详解】解：（1）将点A （﹣1，0）、B （3，0）代入2y x bx c =-++中，得：10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴，抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++；（2）①过点P 作PH ⊥x 轴于H ，如图，当x=0时，y=3，∴C （0，3），OC=3，∵点P 的坐标为（t ，223t t -++）且点P 在第一象限，∴PH=223t t -++，OH=t ，BH=3﹣t ，∴PBC PHB BOC OCPH S S S S ∆∆∆=+-梯形 =22111(233)(3)(23)33222t t t t t t ⋅-+++⋅+⋅-⋅-++-⨯⨯ =23922t t -+， ∴S 关于t 的函数关系式为S=23922t t -+(t ＞0)； ②由S=23922t t -+= 23327()228t --+，且32-＜0，得： 当t= 32时，S 有最大值，最大值为278， ∵OB=3，OC=3，∴2232OB OC +=∵当t=32时，223t t -++=23315()23224-+⨯+= ∴点P 到直线BC 27292832⨯=，此时，点P 的坐标为（32，154）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形的性质、二次函数的性质、割补法求三角形的面积，解答的关键是认真审题，寻找知识点的关联点，利用待定系数法、割补法和数形结合思想进行推理、探究和计算．26．已知抛物线的顶点为()1,4-，且过点()2,5-．（1）求抛物线的解析式；（2）当0y >时，自变量x 的取值范围是______（直接写出结果）．解析：（1）()214y x =--或223y x x =--； （2）1x <-或3x > 【分析】（1）直接利用顶点式求出二次函数解析式即可；（2）首先求出图象与x 轴交点，再利用抛物线图象得出当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围．【详解】（1）设抛物线的解析式为()214y a x =--把点()2,5-代入得 ()25214a =---∴1a =∴()214y x =--或223y x x =-- （2）（2）当y ＝0可得，0＝（x−1）2−4，解得：1x ＝3，2x ＝−1，故抛物线与x 轴的交点为：（−1，0），（3，0），如图所示：可得：当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围为：x ＜−1或x ＞3．【点睛】此题主要考查了利用顶点式求抛物线解析式以及抛物线与x 轴的交点，正确画出函数图象是解题关键．27．已知关于x 的方程222(1)2()10a x a b x b +-+++=．（1）若2b =，且2x =是此方程的根，求a 的值；（2）若此方程有实数根，当51a -<<-时，求函数242y a a ab =++的取值范围．解析：（1）12；（2）27y -≤< 【分析】 （1）把2b =、2x =代入方程可得()()22212222210a a +⋅-+⋅++=，然后解a 关于的方程即可得解；（2）根据根的判别式的意义可得()()()2222424110b ac a b a b ∆=-=-+-⋅+⋅+≥⎡⎤⎣⎦，整理得()210ab -≤，利用非负数的性质得到1ab =，则函数242y a a ab =++为：()222y a =+-，再由51a -<<-可求得函数的取值范围．【详解】解：（1）∵若2b =，且2x =是此方程的根∴()()22212222210a a +⋅-+⋅++= ∴2102a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴1212a a ==∴a 的值为12． （2）∵方程222(1)2()10a x a b x b +-+++=有实数根∴()()()2222424110b ac a b a b ∆=-=-+-⋅+⋅+≥⎡⎤⎣⎦ ∴()210ab -≤ ∴10ab -=∴1ab =∴函数242y a a ab =++为：()224222y a a a =++=+-∵51a -<<-∴可画出函数图象，如图：∴函数242y a a ab =++的取值范围是：27y -≤<．【点睛】本题考查了含参数的一元二次方程、一元二次方程的根的判别式、由自变量取值范围求函数取值范围等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．28．某滑雪场在滑道上设置了几个固定的计时点．一名滑雪者从山坡滑下，测得了滑行距离s （单位：m ）与滑行时间t （单位：s ）的若干数据，如下表所示：位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 滑行时间/s t 0 1.07 1.40 2.08 2.46 2.79 3.36 滑行距离/m s51015202535为观察s 与t 之间的关系，建立坐标系，以t 为横坐标，s 为纵坐标，描出表中数据对应的点（如图）．可以看出，其中绝大部分的点都近似位于某条抛物线上．于是，我们可以用二次函数()20s at bt c t =++≥来近似地表示s 与t 的关系．（1）有一个计时点的计时装置出现了故障，这个计时点的位置编号可能是_________； （2）当0t =时，0s =，所以c =________；（3）当此滑雪者滑行距离为30m 时，用时约为________s （结果保留一位小数）． 解析：（1）3；（2）0；（3）3.1 【分析】（1）由图像及表格可直接进行解答； （2）把t=0代入求解即可；（3）从表格选两个点代入函数解析式求解即可． 【详解】解：（1）由表格及图像可得：出现故障的位置编号可能是位置3； 故答案为3；（2）把t=0，s=0代入()20s at bt c t =++≥得：c=0；故答案为0；（3）由（2）可得：把t=1.07，s=5和t=2.08，s=15代入()20s at bt t =+≥得：221.07 1.0752.08 2.0815a b a b ⎧+=⎨+=⎩，解得： 2.511.98a b ≈⎧⎨≈⎩， ∴二次函数的解析式为：()22.51 1.980s t t t =+≥，把s=30代入解析式得：()230 2.51 1.980t t t =+≥，解得：123.1, 3.9t t ≈≈-（不符合题意，舍去）， ∴当此滑雪者滑行距离为30m 时，用时约为3.1s ； 故答案为3.1． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．。
文科圆锥曲线测试题
圆锥曲线单元复习题一、选择题：在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、F 1、F 1是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是 （ ）A 椭圆B 直线C 线段D 圆2、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ）A 、双曲线B 、双曲线左支C 、一条射线D 、双曲线右支3、已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点F ，x=1及x 轴的交点K ，点A 在C 上且|AK|=2|AF|，则△AFK 的面积为（ ） A 8 B 4 C 2 D 14、抛物线y=x 2上到直线2x —y=4距离最近的点的坐标是（ ）A )45,23( B (1，1) C )49,23( D (2，4)5、设12F F ，分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF •=，则12PF PF +=（A B ． C D ．6.已知椭圆的焦点)1,0(),1,0(21F F -，P 为椭圆上一点，且2121PF PF F F 2+=,则椭圆的方程为（ ） A.13422=+y x B.14322=+y x C.1322=+y xD.1322=+y x7．过椭圆22ax +22b y =1（0<b<a ）中心的直线及椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2(c,0)，则△ABF 2的最大面积是（ ）A ．abB ．acC ．bcD ．b 28、过定点P(0,2)作直线l ，使l 及曲线y 2=4x 有且仅有1个公共点，这样的直线l 共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条9. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面ABB 1A 1内有一动点P 到直线AA 1和BC 的距离相等，则动点P 的轨迹是 （ ）A.线段B.抛物线的一部分C.双曲线的一部分D.椭圆的一部分10，. 若抛物线22y px =的焦点及双曲线22162x y k k+=--的右焦点重合，则p 的值为（ ） A.2- B.2 C.4- D.411、 已知椭圆)0,0(1)0(122222222>>=->>=+n m ny m x b a b y a x 与双曲线有相同的焦点（－c ，0）和（c ，0），若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2及c 2的等差中项，则椭圆的离心率是（ ） A.33 B.22 C.41 D.21 12. θ是任意实数，则方程x 2+y 2sin θ＝４的曲线不可能是（ ） Ａ.椭圆Ｂ.双曲线 Ｃ.抛物线Ｄ.圆13、 的取值范围是则有两个不同的交点与曲线若直线 ,112k y x kx y +=+=（ ） 15、某圆锥曲线C 是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A )32,2(-,B )5,23(-，则（ ）A.曲线C 可为椭圆也可为双曲线B.曲线C 一定是双曲线有C.曲线C 一定是椭圆D.这样的曲线C 不存在16、设椭圆12622=+y x 和双曲线1322=-y x 的公共焦点为21,F F ，P 是两曲线的一个公共点，则cos 21PF F ∠的值等于（ ） A.41 B.31 C.91 D.53 17、 1cos sin ,21cos sin ,22=-=+αααα∆αy x ABC 则方程且的一个内角是已知表示的曲线方程是（ ）A.焦点在x 轴上的双曲线B.焦点在x 轴上的椭圆C.焦点在y 轴上的双曲线D.焦点在y 轴上的椭圆. 18、.则的离心率和分别为圆锥曲线已知, 1x 1,,02222222221=-=+>>by a b y a x e e b a lge 1+lge 2的值（ ）A.一定是正数B.一定是零C.一定是负数D.以上答案均不对19、 设动点P 在直线x =1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰直角OPQ ∆，则动点Q 的轨迹是（ ）A.两条直线B.圆C.抛物线D.双曲线的一支20、 已知点A(t 2,2t )(t ∈R)、B(3,0)，则｜AB ｜的最小值为 （ ）A.2 22.B C.3 D.821、 已知定点A 、B 且|AB|=4，动点P 满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是 （ ）A.21 B.23 C.27 D.522、 关于方程x 2sinα＋y 2cosα＝tanα(α是常数且α≠kπ2，k ∈Z )，以下结论中不正确的是（ ）A .可以表示双曲线B .可以表示椭圆C .可以表示圆D .可以表示直线23、 抛物线x y 42-=上有一点P ，P 到椭圆1151622=+y x 的左顶点的距离的最小值为（ ）A.32B.2+3C.3D.32-25、 设21,e e 分别为具有公共焦点F 1及F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为（ ）A.1B.21C.2D.不确定26、 二次曲线1422=+my x ，当m ∈[－2，－1]时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A.[2，2] B.[2，2] C.[2，2] D.[2，227、直线2y k =及曲线2222918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ）A.1B.2C.3D.428、 若关于x 、y 的二次方程1||2522=-+-k y k x 的轨迹存在，则它一定表示（ ）A. 椭圆及圆B. 椭圆或双曲线C. 抛物线D. 双曲线30、 函数()a f x ax x=+（0a >）的图像具有的特征：①原点是它的对称中心；②最低点是(1,2)a ；③y 轴是它的一条渐近线。
专题54直线与双曲线(课件)-2024年中职数学对口升学考试专题复习精讲课件_42057202
即 k＝±23 3时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且
仅有一个公共点．
4－3k2＜0， ③1－k2≠0，
即 k＜－23 3，或 k＞23 3时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无
公共点．
专题54——直线与双曲线的关系 综上所述， 当－2 3 3＜k＜－1，或－1＜k＜1，或 1＜k＜2 3 3时，直线与双曲线有两个公共点； 当 k＝±1，或 k＝±2 3 3时，直线与双曲线有且只有一个公共点； 当 k＜－23 3，或 k＞2 3 3时，直线与双曲线没有公共点．
1
x2
12x 24 0
则 AB 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2 2 (12)2 4 24 4 6
故 AB 4 6
专题54——直线与双曲线的关系
【题型一 】 直线与双曲线的位置关系
例 1 已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实数 k 的取值范围． (1)直线 l 与双曲线有两个公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点．
|AB|＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2＝ 1＋k2
2k2－3k222－1k22k－2＋2 8
＝ 1＋k2 16k2k－2＋212＝4|k12＋－k22|＝4，
解得 k＝± 22，故这样的直线有 3 条．
专题54——直线与双曲线的关系
2.过双曲线 x2－y32＝1 的左焦点 F1，作倾斜角为π6的直线与双曲线交于 A，B 两
∴|AB|＝|y1－y2|＝4 满足题意．
专题54——直线与双曲线的关系
当直线 l 的斜率存在时，其方程为 y＝k(x－ 3)，
y＝k x－ 3 ， 由x2－y22＝1，
解析几何(2) 双曲线(含答案)
第6课时 双曲线1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质． 2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．【梳理自测】一、双曲线的概念已知点F 1(－4，0)和F 2(4，0)，一曲线上的动点P 到F 1，F 2距离之差为6，该曲线方程是________．答案：x 29－y27＝1(x≥3)◆此题主要考查了以下内容：平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c ＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P ＝{M||MF 1|－|MF 2||＝2a}，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a ＞0，c ＞0； (1)当2a ＜2c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝2c 时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a ＞2c 时，P 点不存在． 二、双曲线标准方程及性质1．(教材改编)双曲线x 210－y22＝1的焦距为( )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 32．双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x3．已知双曲线x 2a 2－y25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )A .31414 B .324 C .32D .434．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________．答案：1.D 2.A 3.C 4.－1 4◆此题主要考查了以下内容：考向一双曲线的定义及标准方程(1)(2014·陕西师大附中模拟)设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为( ) A．19 B．26C．43 D．50(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)和椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．【审题视点】(1)利用双曲线定义|PF2|－|QF2|＝2a及三角形周长的计算求解．(2)已知双曲线的焦点及离心率求双曲线方程．【典例精讲】(1)如图，由双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2|－|PF 1|＝2a ，|QF 2|－|QF 1|＝2a ，将两式相加得|PF 2|＋|QF 2|－|PQ|＝4a ， ∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ| ＝4a ＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.(2)椭圆x 216＋y 29＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，离心率为e ＝74.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，因此a 2＋b 2＝7.又双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝7a ，所以7a ＝274，所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y23＝1.【答案】 (1)B (2)x 24－y23＝1【类题通法】 (1)涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题时，经常考虑双曲线的定义． (2)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y2n ＝1(mn ＞0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)，这种形式在解题时更简便；(3)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值．1．根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x 29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)；(2)与双曲线x 216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．解析：(1)设所求双曲线方程为x 29－y216＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入得λ＝14，∴所求双曲线方程为x 29－y 216＝14，即x 294－y24＝1. (2)设双曲线方程为x 216－k －y24＋k ＝1，将点(32，2)代入得k ＝4(k ＝－14舍去)． ∴所求双曲线方程为x 212－y28＝1.考向二 双曲线的性质及应用(1)(2014·哈尔滨模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A ．2B .7C .13D .15【审题视点】 (1)利用PF 1→ ·PF 2→＝0及e ＝54转化为a ，b 的方程组．(2)利用双曲线定义及余弦定理求a 与c 的关系． 【典例精讲】 (1)由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1→⊥PF 2→，设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ，不妨设m ＞n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5， ∴b ＝3，∴a ＋b ＝7，故选C . (2)如图，由双曲线定义得，|BF 1|－|BF 2|＝|AF 2|－|AF 1|＝2a ，因为△ABF 2是正三角形，所以|BF 2|＝|AF 2|＝|AB|，因此|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝28a 2，所以e ＝7，故选B .【答案】 (1)C (2)B【类题通法】 (1)求双曲线的离心率，就是求c 与a 的比值，一般不需要具体求出a ，c 的值，只需列出关于a ，b ，c 的方程或不等式解决即可．(2)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．2．(2014·济南模拟)过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为________．解析：如图所示，不妨设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM⊥OF 于M.由已知得M 为OF 的中点，由射影定理知|PF|2＝|FM||FO|，又F(c ，0)，渐近线方程为bx －ay ＝0，∴|PF|＝bcb 2＋a2＝b ，∴b 2＝c 2·c ，即2b 2＝c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＝b 2，∴e ＝c a ＝ 1＋b2a2＝ 2.答案： 2考向三 直线与双曲线的综合应用已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)与l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B ，l与y 轴交于点P ，若PA →＝512PB →，则a ＝________．【审题视点】 联立方程组，利用P 、A 、B 坐标之间的关系，建立a 的方程． 【典例精讲】 因为双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实数解，消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－a 2≠0，4a 4＋8a 2（1－a 2）＞0， 解得0＜a ＜2且a≠1. 设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)， 由一元二次方程根与系数的关系， 得x 1＋x 2＝2a2a 2－1，①x 1x 2＝2a2a 2－1，②又P(0，1)，由PA →＝512PB →，得(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，从而x 1＝512x 2，③ 由①③，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝517·2a 2a 2－1，x 2＝1217·2a 2a 2－1代入②， 得517×1217×⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2a 2－12＝2a 2a 2－1， 即2a 2a 2－1＝28960，解得a ＝1713，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝－1713舍去. 【答案】1713【类题通法】 (1)判断直线l 与双曲线E 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入双曲线E 的方程F(x ，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0F （x ，y ）＝0，消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.由此转化为两点坐标的关系．(2)特殊情况考虑与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系，数形结合求解．3．已知点A(－2，0)，点B(2，0)，且动点P 满足|PA|－|PB|＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k(x －2)有两个交点的充要条件为k∈________．解析：由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2－a 2＝1，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 2＝1(x ＞0)，其一条渐近线方程为y ＝x.若P 点的轨迹与直线y ＝k(x －2)有两个交点，则需k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪ (1，＋∞)双曲线与渐近线的关系不清致误(2014·浙江温州适应性测试)已知F 1，F 2为双曲线Ax 2－By 2＝1的焦点，其顶点是线段F 1F 2的三等分点，则其渐近线的方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±24xC ．y ＝±xD ．y ＝±22x 或y ＝±24x 【正解】 依题意c ＝3a ，∴c 2＝9a 2.又c 2＝a 2＋b 2， ∴b 2a 2＝8，b a ＝22，a b ＝24.故选D . 【答案】 D【易错点】 (1)默认为双曲线焦点在x 轴其渐近线为y ＝±ba x ，而错选为A .(2)把双曲线认为等轴双曲线而错选为C .(3)把a ，b ，c 的关系与椭圆c 2＝a 2－b 2混淆致错．【警示】 (1)对于方程x 2a 2－y 2b 2＝1来说，求渐近线方程就相当于求ba 的值，但要分焦点的位置是在x 轴还是在y 轴上，此题没有给出焦点的位置，其渐近线斜率有四种情况．(2)渐近线为y ＝±b a x 所对应的双曲线为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，表示焦点在x 轴上，当λ＜0时，焦点在y 轴上．1．(2013·高考福建卷)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A .25B .45C .255 D .455解析：选C .求出双曲线的顶点和渐近线，再利用距离公式求解．双曲线的渐近线为直线y ＝±12x ，即x±2y ＝0，顶点为(±2，0)，∴所求距离为d ＝|±2±0|5＝255. 2．(2013·高考广东卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3，0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A .x 24－y 25＝1 B .x 24－y25＝1 C .x 22－y 25＝1 D .x 22－y25＝1 解析：选B .求双曲线的标准方程需要确定焦点位置及参数a ，b 的值．右焦点为F(3，0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为c a ＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y25＝1，选B .3．(2013·高考北京卷)双曲线x 2－y2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m ＞12B ．m ≥1C ．m ＞1D ．m ＞2解析：选C .用m 表示出双曲线的离心率，并根据离心率大于2建立关于m 的不等式求解．∵双曲线x 2－y2m＝1的离心率e ＝1＋m ，又∵e ＞2，∴1＋m ＞2，∴m ＞1.4．(2013·高考湖北卷)已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y2sin 2θ－x2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等解析：选D .先根据θ的范围，确定双曲线方程的类型，判断焦点所在的坐标轴，然后分析双曲线C 1和C 2的实轴长、虚轴长、焦距、离心率是否相等．双曲线C 1的焦点在x 轴上，a ＝cos θ，b ＝sin θ，c ＝1，因此离心率e 1＝1cos θ；双曲线C 2的焦点在y 轴上，由于0<θ<π4，所以a ＝sin θ，b ＝sin θtan θ，c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ，因此离心率e 2＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin θ＝sin θ1＋tan 2θsin θ＝1cos θ. 故两条双曲线的实轴长、虚轴长、焦距都不相等，离心率相等。
百色市重点中学2024年高三第二次诊断性测试数学试题试卷
百色市重点中学2024年高三第二次诊断性测试数学试题试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．343．若双曲线E ：221x y m n-=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（ ）A ．33B 3C ．2或233D ．234．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．35．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，e ）B ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．（0，1）6．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，222AB DC AD ===，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，将ADE∆与BEC ∆分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合为点F ，则三棱锥F DCE -的外接球的体积是（ ）A ．68B ．64C ．32π D ．23π 7．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则AB =（ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x xC ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{|1}x x >-8．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A ．120种B ．240种C ．480种D ．600种9．已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( ) A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-10．已知函数()23sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．54π B ．34π C ．2π D ．3π 11．如图，在ABC ∆中，23AN NC =，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+，则实数t 的值为（ ）A ．23B ．25C ．16D ．3412．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月份C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
函数测试(二)
函数测试题（二） 姓名___________学号__________一、填空题 1、函数3+=x y 的自变量的取值范围为___________。
2、已知一次函数5+=kx y 过点P （1-，2），则__________=k 。
3、已知反比例函数的图象经过点（2-，3），则这个反比例函数的解析式为__________________。
4、二次函数2)2(3+=x y 的顶点坐标为__________，二次函数5622++=x x y 的顶点坐标为__________。
5、函数22x y -=的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到的图象的解析式为_______________。
6、抛物线322--=x x y 与x 轴的交点坐标为_______________。
7、已知抛物线142-+-=m x x y 与x 轴有两个交点，则m 的取值范围为_____________8、直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式21k x k x b >+的解集为 ___ 。
9、如图8，若点A 在反比例函数(0)k y k x=≠的图象上，A M x ⊥轴于点M ，A M O △的面积为3，则k =____________。
二、解答题10、如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数k y x=的图象交于M 、N 两点.（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围.11、已知二次函数的图象经过点（0，3-），（1-，0），（3，0），（1）求二次函数的解析式；（2）求出二次函数的顶点，并指出当x 在什么范围内y 随x 的增大而增减小。
12、某农户种植一种经济作物，总用水量y （米3）与种植时间x （天）之间的函数关系式如图10所示． （1）当x ≥20时，求y 与x 之间的函数关系式． （2）种植时间为多少天时，总用水量达到7000米3？13、如图，已知直线y x m =-+与双曲线k y x=（0x >）相交于C 、D 两点，且点C 的坐标为(3,1).（1）求m 的值和双曲线的解析式；（2）观察直线的图象写出: 当1y ≥时，x 的取值范围； （3）观察双曲线的图象写出：当1x ≥时，y 的取值范围.14、某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：（1）若日销售量y 是销售价x 的一次函数，求出y 与x 的函数关系式；（2）要获得最大利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少？图10天)。
人教版九年级数学上册第22章《二次函数》单元检测题(含答案)
人教版九年级数学上册第22章《二次函数》单元检测题（含答案）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是（）A．1B．2C．﹣2D．32．抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣1，3）B．（1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）3．抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（）A．B．C．﹣4D．44．下列对二次函数y＝﹣（x+1）2﹣3的图象描述不正确的是（）A．开口向下B．顶点坐标为（﹣1，﹣3）C．与y轴相交于点（0，﹣3）D．当x＞−1时，函数值y随x的增大而减小5．抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2 6．函数y＝ax+1与y＝ax2+ax+1（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．7．若将双曲线y＝向下平移3个单位后，交抛物线y＝x2于点P（a，b），则a的取值范围是（）A．0＜a＜B．＜a＜1C．1＜a＜2D．2＜a＜38．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（）A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m9．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且经过点A（2﹣m，c），B（m+2，c），则△AOB的面积为（）A．8B．12C．16D．410．已知经过点（﹣1，0）的二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③4a+2b+c＞0；④2a＝b；⑤3a+c＜0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．函数y＝x2m﹣1+x﹣3是二次函数，则m＝．12．已知抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2+1，则抛物线的对称轴是直线．13．在函数y＝（x﹣1）2+1中，当x＞1时，y随x的增大而．（填“增大”或“减小”）14．将抛物线y＝x2+x﹣1向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则此时抛物线的解析式是．15．抛物线y＝x2+bx+c的图象上有两点A（1，m），B（5，m），则b的值为．16．已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的部分对应值如下表：x…123456…y…0﹣3﹣4﹣305…则当x＝0时，y的值为．17．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于两点A（﹣2，p），B（5，q），则不等式ax2+mx+c≤n的解集是．18．若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为．三．解答题（共7小题，满分58分）19．（6分）已知y与x2成正比例，并且x＝1时y＝2．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）当x＝﹣1时y的值．20．（6分）已知抛物线L：y＝（m﹣2）x2+x﹣2m（m是常数且m≠2）．（1）若抛物线L有最高点，求m的取值范围；（2）若抛物线L与抛物线y＝x2的形状相同、开口方向相反，求m的值．21．（8分）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）的图象经过点A（﹣2，0），过点A作直线l 交抛物线于点B（4，m）．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）将抛物线向下平移n（n＞0）个单位，使顶点落在直线l上，求m，n的值．22．（8分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）用配方法把这个二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）当﹣4≤x≤0时，结合图象直接写出y的取值范围．23．（8分）如图，学校要用一段长为32米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为14米．（1）若矩形ABCD的面积为96平方米，求矩形的边AB的长．（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？24．（10分）已知关于x的二次函数y＝x2﹣2ax+a2+2a．（1）当a＝1时，求已知二次函数对应的抛物线的顶点和对称轴；（2）当a＝2时，直线y＝2x与该抛物线相交，求抛物线在这条直线上所截线段的长度；（3）若抛物线y＝x2﹣2ax+a2+2a与直线x＝4交于点A，求点A到x轴的最小值．25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线l 与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；（3）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是﹣2，故选：C．2．【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2+3，∴抛物线顶点坐标为（1，3），故选：B．3．【解答】解：∵抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，∴方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1•c＝0，∴c＝．故选：B．4．【解答】解：A、∵a＝﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，正确，不合题意；B、抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣3），故本小题正确，不合题意；C、令x＝0，则y＝﹣1﹣3＝﹣4，所以抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣4），故不正确，符合题意；D、抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＞−1时，函数值y随x的增大而减小，故本小题正确，不合题意；故选：C．5．【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+c，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝2，∴x≤2时，y随x增大而减小，∴y1＞y2＞y3．故选：B．6．【解答】解：由函数y＝ax+1与抛物线y＝ax2+ax+1可知两函数图象交y轴上同一点（0，1），抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，在y轴的左侧，A、抛物线的对称轴在y轴的右侧，故选项不合题意；B、抛物线的对称轴在y轴的右侧，故选项不合题意；C、由一次函数的图象可知a＞0，由二次函数的图象知道a＞0，且交于y轴上同一点，故选项符合题意；D、由一次函数的图象可知a＞0，由二次函数的图象知道a＜0，故选项不合题意；故选：C．7．【解答】解：双曲线y＝向下平移3个单位后的函数为y′＝﹣3，∵y′＝﹣3交抛物线y＝x2于点P（a，b），∴﹣3＝a2，整理得，a3+3a﹣2＝0，令y＝a3+3a﹣2，且y随a的增大而增大．当a＝0时，y＝﹣2＜0，当a＝时，y＝+﹣2＝﹣＜0，当a＝1时，y＝1+3﹣2＝2＞0，∴若a3+3a﹣2＝0，则a的取值范围为：＜a＜1．故选：B．8．【解答】解：把A代入得：＝﹣×9+k，∴k＝，∴y＝﹣（x﹣3）2+，令y＝0得﹣（x﹣3）2+＝0，解得x＝﹣2（舍去）或x＝8，∴实心球飞行的水平距离OB的长度为8m，故选：C．9．【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（2﹣m，c），B（m+2，c），∴对称轴为直线x＝＝2，∴﹣＝2，∴b＝﹣4，∵点A或点B在y轴上，∴AB＝4，∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，∴b2﹣4c＝0，即16﹣4c＝0，∴c＝4，∴△AOB的面积为：＝8．故选：A．10．【解答】解：由图可知，抛物线对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，即b＝﹣2a，∵抛物线开口向下，∴a＜0，b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；由图可得，抛物线上的点（﹣1，a﹣b+c）在x轴下方，∴a﹣b+c＜0，故②正确；∵抛物线对称轴是直线x＝1，∴x＝0和x＝2时，函数值相等，而x＝0时c＞0，∴4a+2b+c＞0，故③正确；∵b＝﹣2a，∴④错误；∵a﹣b+c＜0，b＝﹣2a，∴a﹣（﹣2a）+c＜0，即3a+c＜0，故⑤正确；∴正确的有②③⑤，共3个，故选：C．二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．【解答】解：∵函数y＝x2m﹣1+x﹣3是关于x的二次函数，∴2m﹣1＝2，∴m＝．故答案为：．12．【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣2）2+1，∴抛物线对称轴为直线x＝2．故答案为：x＝2．13．【解答】解：∵函数y＝（x﹣1）2+1，∴a＝1＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大．故答案为：增大．14．【解答】解：∵y＝x2+x﹣1＝（x+）2﹣，∴将抛物线y＝x2+x﹣1向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则此时抛物线的解析式是y＝（x++2）2﹣+3，即y＝x2+5x+8，故答案为：y＝x2+5x+8．15．【解答】解：∵抛物线经过A（1，m），B（5，m），∴抛物线对称轴为直线x＝3，∴﹣＝3，解得b＝﹣6，故答案为：﹣6．16．【解答】解：依据表格可知抛物线的对称轴为x＝3，∴当x＝0时与x＝6时函数值相同，∴当x＝0时，y＝5．故答案为：5．17．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（5，q）两点，∴﹣2m+n＝p，5m+n＝q，∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（2，p），Q（﹣5，q）两点，观察函数图象可知：当﹣5≤x≤2时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，∴不等式ax2+mx+c≤n的解集是﹣5≤x≤2．故答案为﹣5≤x≤2．18．【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣4），∴顶点到x轴的距离为4，∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，∴m＝4，故答案为：4．三．解答题（共7小题，满分58分）19．【解答】解：（1）∵y与x2成正比例，∴设y＝kx2（k≠0），∵当x＝1时，y＝2，∴2＝k•12，解得，k＝2，∴y与x之间的函数关系式为y＝2x2．（2）∵函数关系式为y＝2x2，∴当x＝﹣1时，y＝2×1＝2．20．【解答】解：（1）∵抛物线L有最高点，∴m﹣2＜0，∴m＜2；（2）∵抛物线L与抛物线y＝x2的性状相同，开口方向相反，∴m﹣2＝﹣1，∴m＝1．21．【解答】解：（1）将A（﹣2，0）代入y＝ax2﹣4ax+3得：0＝4a+8a+3，解得，∴抛物线为，∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，∴顶点坐标为（2，4）；（2）把B（4，m）代入得，m＝﹣4+4+3＝3，将A（﹣2，0），B（4，3）代入y＝kx+b得，解得，∴直线AB的解析式为，∵顶点的横坐标为2，把x＝2代入得：y＝2，∴n＝4﹣2＝2．22．【解答】解：（1）y＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣4，即y＝（x+1）2﹣4；（2）∵y＝（x+1）2﹣4，∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），当x＝0时，y＝﹣3，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），二次函数的图象如图所示：（3）观察图象得，当x＝﹣1时，y取最小值﹣4，当x＝﹣4时，y取最大值，代入函数得，y＝（﹣4）2+2×（﹣4）﹣3＝16﹣8﹣3＝5．∴当﹣4≤x≤0时，﹣4≤y≤5．23．【解答】解：（1）设AB为x米，则BC＝（36﹣2x）米，由题意得：x（32﹣2x）＝96，解得：x1＝4，x2＝12，∵墙长为14米，32米的篱笆，∴32﹣2x≤14，2x＜32，∴9≤x＜16，∴x＝12，∴AB＝12，答：矩形的边AB的长为12米；（2）设AB为x米，矩形的面积为y平方米，则BC＝（32﹣2x）米，∴y＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128，∵9≤x＜16，且﹣2＜0，故抛物线开口向下，∴当x＝9时，y有最大值是126，答：AB边的长应为9米时，有最大面积，且最大面积为126平方米．24．【解答】解：（1）∵a＝1，∴y＝x2﹣2ax+a2+2a＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1．（2）把a＝2代入y＝x2﹣2ax+a2+2a得y＝x2﹣4x+8，令x2﹣4x+8＝2x，解得x1＝2，x2＝4，把x＝2代入y＝2x得y＝4，把x＝4代入y＝2x得y＝8，∴直线与抛物线交点坐标为（2，4），（4，8），∴线段长度为＝2．（3）把x＝4代入y＝x2﹣2ax+a2+2a得y＝16﹣8a+a2+2a＝（a﹣3）2+7，∴点A纵坐标为（a﹣3）2+7，∵（a﹣3）2+7≥7，∴点A到x轴最小距离为7．25．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为x＝1，∵A、B关于直线x＝1对称，所以AC与对称轴的交点为点P，此时C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，此时△BPC的周长最短，∵点C的横坐标是2，y C＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，∴C（2，﹣3），设直线AC的解析式为y＝mx+n（m≠0），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，当x＝1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，∴P（1，﹣2）；（3）存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），设E（x，y），①当AB为对角线时，则，解得：，∴E（0，3）；②当AC为对角线时，解得：，∴E（﹣2，﹣3）；③当BC为对角线时，则，解得：，∴E（6，﹣3）．综上所述，E点坐标为（0，3）或（﹣2，﹣3）或（6，﹣3）。
双曲线知识点总结例题
（二）双曲线知识点及巩固复习1. 双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F i，F2为两定点，P为一动点，⑴若||PF i|-|PF2||=2a①0<2a<|F 1F2I则动点P的轨迹是 _______________________________②2a=|F 1F2I则动点P的轨迹是________________________________③2a=0则动点P的轨迹是_________________________________⑵若|P F i|-|PF2|=2a① ______________________________________________________ 0<2a<|F i F2|则动点P的轨迹是_______________________________________________② ____________________________________________________ 2a=|F 1F2I则动点P的轨迹是_________________________________________________③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程 ________________________x,y的范围 __________________________________顶点__________ 焦点________________ 对称轴_______________ 对称中心实半轴的长 ____________ 虚半轴的长__________________ 焦距 _______________ 离心率e= _____ 范围_____________ e越大双曲线的开口越____ e越小双曲线渐近线焦半径公式|PF i|= |PF2|= ________________ (F l，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的(1)焦点在y轴上的双曲线标准方程 ________________________x,y的范围 __________________________________顶点 __________ 焦点________________ 对称轴_______________ 对称中心_____ 实半轴的长 ____________ 虚半轴的长_________________ 焦距 _______________ 离心率e= _____ 范围_____________ e越大双曲线的开口越____ e越小双曲线的开口越 ________准线 _________________ 渐近线______________________ 焦半径公式|PF i|= [PF2|= _______________________ (F i，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)1. 等轴双曲线：®特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直'丄；③离心率为 _____2. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线的共轭双曲线是6.双曲线系(1)共焦点的双曲线的方程为2,c为半焦距)(2)共渐近线的双曲线的方程为例题在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支考点1、双曲线定义例1、已知动圆M与圆C1 : (x + 4)2 + y2= 2外切,内切，求动圆圆心M的轨迹方程与圆C2: (x - 4)2 + y2 = 2= l(m> 0)与双曲线a白F2, P是两条曲线的一个交点,则|PF i| |PF2|的值是A.m-aS °)有相同的焦点F i,)J±=l例3】已知双曲线与点M (5 , 3)F为右焦点，若双曲线上有一点最小，则P点的坐标为考点2、求双曲线的方程求双曲线标准方程的方法1.定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程.2 •待定系数法(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法一x2 y2 x2 y2①与双曲线a2 —b2 = 1有共同渐近线的双曲线方程可表示为a2 —b2 = t(t工0)；②若双曲线的渐近线方程是y=±a x,则双曲线的方程可表示为a2—y2=t(t却)；一x2 y2 x2 y2③与双曲线a2 —b2 = 1共焦点的方程可表示为a2- k—b2 + k = 1(—b2V k V a2);一x2 y2④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为m + n = 1(mn V0);一x2 y2 x2 y2⑤与椭圆a2 + b2 = 1(a > b > 0)有共同焦点的双曲线方程可表示为a2 -入+ b2 -U1(b2v 入V a2).例4、求下列条件下的双曲线的标准方程.x2 y2(1)与双曲线9 —16 = 1有共同的渐近线，且过点(一3，2);(2)与双曲线16 — 4 = 1有公共焦点,且过点(3, 2).1•在双曲线的标准方程中，若x2的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，且对于双曲线，a不一定大于b.2. 若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx2 + ny2 = 1(mn v 0)，以避免分类讨论.考点3、双曲线的几何性质双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程x2例5、(12分)双曲线C: a2 —y2b2 = 1(a >0，b >0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0),若C上存在一点P，AP PQ使T f=0，求此双曲线离心率的取值范围.x2例6、活学活用】3.（2012北京期末检测）若双曲线a2的两个焦点分别为F i 、F 2, P 为双曲线上一点，且|PF i |二3|PF 2|,则该双曲线的 离心率e 的取值范围是 _________的右焦点，斜率k =2.若'与双曲线的两个交点分别在左右两支上,则双曲线的离心率e 的范围是评注】解题中发现△ PF 1F 2是直角三角形，是事前 不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能 临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维=1(a >0, b > 0)例7】直线！过双曲线口' 沪 B.1<e < 门C.1< e < 乓^-―=1p 卩例8】设尸为双曲线上的一点,是该双曲线的两个焦点，若I 叭I I 布」° ,则“陋的面积为（C.】2人D. 24能力，这正是命题人的高明之处. 渐近线一一双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有.双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开 .双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交 ，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围 由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中设而不求一一与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求 请看下例：设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤 ，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：例9】过点（1，3）且渐近线为 的双曲线方程是以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.共轭双曲线一一虚、实易位的孪生弟兄—2 --j —1将双曲线 ' 的实、虚轴互易，所得双曲线方程为 .这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不例10】两共轭双曲线的离心率分别为证明：例11】双曲线的一弦中点为 （2，1），则此弦所在的直线方程为评注】在双曲线 即为其渐近线.根据这一点，可-1例12】在双曲线- 上,是否存在被点M （1，1 ）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用设而不求”的手段，会有如下解法练习1. （2011安徽高考）双曲线2X2—y2= 8的实轴长是（）A. 2B. 2C. 4D. 4x2 y2 o o2. （2011山东高考）已知双曲线a2 —b2 = 1（a> 0, b > 0）的两条渐近线均和圆C: x2+ y2—6X+ 5 = 0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2A. 5 —4 = 1B.4 —5 = 1C.3 —6 = 1D. 6 —3 = 1x23. （2012嘉兴测试）如图，P是双曲线4 —y2= 1右支（在第一象限内）上的任意一点，A，A2分别是左、右顶点，O是坐标原点，直线PA1，PO，PA>的斜率分别为k1, k2，k3,则斜率之积k j k2k3的取值范围是（）1 1 1A. （0,1）B. （0，8）C. （0，4）D. （0，2）4. （金榜预测）在平面直角坐标系xOy中，已知△ ABC的顶点A（—5,0）和C（5,0），顶点Bx2 y2 sin B在双曲线16 —9 = 1上，则|sin A —sin C|为（）3 2 5 4A.2B.3C.4D.5x2 y25. P为双曲线9 —16 = 1的右支上一点，M、N分别是圆（X+ 5）2+ y2= 4和（X—5）2+ y2=1上的点，则|PM|—|PN|的最大值为（）A. 6B. 7C. 8D. 96 . （2012南宁模拟）已知点F i, F2分别是双曲线的两个焦点，P为该曲线上一点，若厶PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（）A. + 1B.+ 1C. 2D. 2x2 y27.方程2 —m + |m| —3 = 1表示双曲线.那么m的取值范围是& （2012大连测试）在双曲线4x2—y2= 1的两条渐近线上分别取点A和B,使得|OA| OB|= 15,其中0为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是______________x2 y2 b2 + 19.双曲线a2 —b2 = 1(a> 0 , b >0)的离心率是2,贝U 3a的最小值是_____________10（2012肇庆模拟）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（—3,0）, 一条渐近线的方程是x—2y= 0.（1）求双曲线C的方程；⑵若以k（k丸）为斜率的直线I与双曲线C相交于两个不同的点M , N ,且线段MN的一81垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求k的取值范围.11.(文用)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0).⑴求双曲线C的方程；(2)若直线：y= kx+ m(k丸,m丸)与双曲线C交于不同的两点M、N ,且线段MN的垂直平分线过点A(0，- 1),求实数m的取值范围.12已知中心在原点，顶点A i、A2在x轴上，离心率e=' 的双曲线过点P(6 , 6) (1)求双曲线方程.(2)动直线丨经过△ A1PA2的重心G,与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线I,使G平分线段MN ,证明你的结论■13 .已知双曲线，问过点A （1 , 1）能否作直线*，使'与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线I的方程，若不存在，说明理由di14已知点N （1，2），过点N的直线交双曲线工于A、B两点，求直线AB的方程；（2）若过N的直线丨交双曲线于C、D两点，且⑵ D四点是否共圆？为什么？（二）双曲线知识点及巩固复习1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，⑴若||PR|-|PF2||=2a①______________________________________________________ 0<2a<|F1F2I则动点P的轨迹是___________________________________________② 2a=|F 则动点P 的轨迹是 ___________________________________ ③ 2a=0则动点P 的轨迹是 _________________________________ ⑵若 |P F i |-|PF 2|=2a①0<2a<|F 1F 2I 则动点P 的轨迹是 _________________________________ ②2a=|F 1F 2I 则动点P 的轨迹是 ________________________________ ③ 2a=0则动点P 的轨迹是3. 双曲线的性质（1）焦点在x 轴上的双曲线 标准方程 ________________________x,y 的范围 ___________________________________顶点 ___________ 焦点 _______________ 对称轴 ________________ 对称中心 实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= _____ 范围 ____________ e 越大双曲线的开口越 ____ e 越小双曲线[PF 2F ___________________________ （F i ，F 2分别为双曲线的左右两焦点，P 为椭圆上的2.双曲线的标准方程焦半径公式|PF i |=渐近线（2）焦点在y轴上的双曲线标准方程________________________x,y的范围___________________________________顶点___________ 焦点 ________________ 对称轴 _______________ 对称中心_____ 实半轴的长_____________ 虚半轴的长 ________________ 焦距________________ 离心率e= _____ 范围 ____________ e越大双曲线的开口越____ e越小双曲线的开口越_________准线__________________ 渐近线 ______________________ 焦半径公式|PF i|= [PF2|= _______________________ （F i, F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点）3. 等轴双曲线：° V-WF特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直F一'*③离心率为 _____4. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线的共轭双曲线是6.双曲线系(3)共焦点的双曲线的方程为（0<k<c 2,c为半焦距）y3(4) 共渐近线的双曲线的方程为考点1。
高中物理必修二曲线运动测试题精品
中学物理曲线运动单元测试题一、选择题1．关于运动的性质，以下说法中正确的是（ ）A ．曲线运动肯定是变速运动B ．变速运动肯定是曲线运动C ．曲线运动肯定是变加速运动D ．物体加速度大小、速度大小都不变的运动肯定是直线运动 2．关于运动的合成和分解，下列说法正确的是（ ） A ．合运动的时间等于两个分运动的时间之和 B ．匀变速运动的轨迹可以是直线，也可以是曲线 C ．曲线运动的加速度方向可能与速度在同始终线上 D ．分运动是直线运动，则合运动必是直线运动3．关于从同一高度以不同初速度水平抛出的物体，比较它们落到水平地面上的时间（不计空气阻力），以下说法正确的是（ ）A ．速度大的时间长B ．速度小的时间长C ．一样长D ．质量大的时间长 4．做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是（ ）A ．大小相等，方向相同B ．大小不等，方向不同C ．大小相等，方向不同D ．大小不等，方向相同5．甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2 ，转动半径之比为1∶2 ，在相等时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们所受外力的合力之比为（ ）A ．1∶4 B．2∶3 C．4∶9 D．9∶16 6．如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A 的受力状况是（ ）A ．绳的拉力大于A 的重力B ．绳的拉力等于A 的重力C ．绳的拉力小于A 的重力D ．绳的拉力先大于A 的重力，后变为小于重力7．如图所示，有一质量为M 的大圆环，半径为R ，被一轻杆固定后悬挂在O 点，有两个质量为m 的小环（可视为质点），同时从大环两侧的对称位置由静止滑下。
两小环同时滑到大环底部时，速度都为v ，则此时大环对轻杆的拉力大小为（ ）A ．（22M ）gB ．－22C ．2m(2)D ．2m(v 2－g)8．下列各种运动中，属于匀变速运动的有（ ）Av（第6题）（第11题）A ．匀速直线运动B ．匀速圆周运动C ．平抛运动D ．竖直上抛运动 9．水滴自高处由静止起先下落，至落地前的过程中遇到水平方向吹来的风，则（ ） A ．风速越大，水滴下落的时间越长 B ．风速越大，水滴落地时的瞬时速度越大C ．水滴着地时的瞬时速度与风速无关D ．水滴下落的时间与风速无关10．在宽度为d 的河中，水流速度为v 2 ，船在静水中速度为v 1（且v 1＞v 2），方向可以选择，现让该船起先渡河，则该船（ ）A ．可能的最短渡河时间为2dv B ．可能的最短渡河位移为dC ．只有当船头垂直河岸渡河时，渡河时间才和水速无关D ．不管船头与河岸夹角是多少，渡河时间和水速均无关11．关于匀速圆周运动的向心力，下列说法正确的是（ ） A ．向心力是指向圆心方向的合力，是依据力的作用效果命名的 B ．向心力可以是多个力的合力，也可以是其中一个力或一个力的分力 C ．对稳定的圆周运动，向心力是一个恒力 D ．向心力的效果是变更质点的线速度大小 二、试验和填空题12．一物体在水平面内沿半径 R = 20的圆形轨道做匀速圆周运动，线速度v = 0.2 ，则，它的向心加速度为2 ，它的周期为 。
最新人教版初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》测试(答案解析)
一、选择题1．将抛物线2y x 先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，则得到新抛物线的解析式为（ ） A ．()212y x =-+ B ．()212y x =--C ．()212y x =++ D ．()=+-2y x 12 2．一次函数y ＝ax +c 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一个平面坐标系中图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．3．若整数a 使得关于x 的分式方程12322ax x x x -+=--有整数解，且使得二次函数y ＝(a ﹣2)x 2+2(a ﹣1)x +a +1的值恒为非负数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．12 B ．15 C ．17 D ．20 4．已知函数235y x =-+经过A （m ，1y ）、B （m−1，2y ），若12y y >．则m 的取值范围是（ ）A ．0m ≤B ．12m <C ．102m <<D ．12m << 5．设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线2(1)y x =-+上的三点，1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >> 6．将抛物线22y x =先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得的抛物线对应的函数关系式是 （ ）A ．2(2-1)-3y x =B ．22(-1)-3y x =C ．2(21)-3y x =+D ．22(1)-3y x =+ 7．如图所示，一段抛物线：()233044y x x x =-+≤≤记为1C ，它与x 轴交于两点O ，1A ；将1C 绕1A 旋转180°得到2C ，交x 轴于2A ；将2C 绕2A 旋转180°得到3C ，交x 轴于3A ；⋅⋅⋅如此进行下去，直至得到506C ，则抛物线506C 的顶点坐标是（ ）A ．()2020,3B ．()2020,3-C ．()2022,3D ．()2022,3- 8．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y ax b =+的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．9．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP 总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP 总 值为y 千亿元人民币，平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是（ ）A ．7.9(12)y x =+B ．27.9(1)y x =-C ．27.9(1)y x =+D ．27.97.9(1)7.9(1)y x x =++++ 10．抛物线()2526y x =-+-可由25y x =-如何平移得到（ ）A ．先向右平移2个单位，再向下平移6个单位B ．先向右平移2个单位，再向上平移6个单位C ．先向左平移2个单位，再向下平移6个单位D ．先向左平移2个单位，再向上平移6个单位11．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列关于该函数说法中正确的是（ ）A ．0b <B ．0c >C ．0a b c ++=D ．240b ac -< 12．在平面直角坐标系中，将函数22y x =-的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到图象的函数解析式是（ ）A ．22(1)5y x =-++B ．22(1)5y x =--+C ．22(1)5y x =-+-D ．22(1)5y x =---第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．抛物线y ＝﹣12（x +1）2+3的顶点坐标是_____． 14．公园广场前有一喷水池，喷水头位于水池中央，从喷头喷出水珠的路径可近似看作抛物线．如图是根据实际情境抽象出的图象，水珠在空中划出的曲线恰好是抛物线26y x x =-+（单位：m ）的一部分，则水珠落地点（点P ）到喷水口（点O ）的距离为________m ．15．已知抛物线y ＝x 2+9的最小值是y ＝_____．16．将二次函数 ()2213y x =-+ 的图象先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，则所得图象的函数表达式为________.17．若抛物线256y x x =--与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为_______________．18．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 是一次函数y x =图像上两点，它们的横坐标分别为1，4，点E 是抛物线248y x x =-+图像上的一点，则ABE △的面积最小值是______．19．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +m 2﹣1＝0有实数根a ，b ，则代数式a 2﹣ab +b 2的最小值为_____．20．过点()0,2，()2,2，()2,1--的二次函数图象开口向_______（填“上”或“下”）三、解答题21．如图，点O 是矩形ABCD 对角线的交点，过点O 的两条互相垂直的直线分别交矩形与动点E 、F 、G 、H ，点E 在线段AB 上运动，4=AD ，2AB =，设AE x =，AH y =（1）四边形EFGH 是什么特殊四边形？请说明理由；（2）写出y 关于x 的关系式，并写出y 的取值范围；（3）求四边形EFGH 的面积及其最值．22．（1）若抛物线23y x x a =++与x 轴只有一个交点，求实数a 的值；（2）已知点()3,0在抛物线()233y x k x k =-++-上，求此抛物线的对称轴． 23．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223=+-y mx mx 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，4AB =．（1）直接写出抛物线的对称轴为直线____，点A 的坐标为___．（2）求抛物线的解析式（化为一般式）；（3）若将抛物线223=+-y mx mx 沿x 轴方向平移()0n n >个单位长度，使得平移后的抛物线与线段AC 恰有一个公共点，结合函数图象，回答下列问题：①若向左平移，则n 的取值范围是______．②若向右平移，则n 的取值范围是______．24．如图，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，10AC BD ，当AC 、BD 的长是多少时，四边形ABCD 的面积最大？25．某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x 元，每天的销售量利润为y 元．（1）每天的销售量为___瓶，每瓶洗手液的利润是___元；（用含x 的代数式表示） （2）若这款洗手液的日销售利润y 达到300元，则销售单价应上涨多少元？（3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润y 最大，最大利润为多少元？ 26．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y （件）与每件的售价x （元）满足一次函数关系202600y x =+．（1）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？（2）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：将抛物线2y x 先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，就得到抛物线：2(1)2y x =++．故答案为：C ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，图象平移规律“左加右减，上加下减”是解题关键． 2．B解析：B【分析】根据两个函数图象与y 轴交于同一点可排除选项A ，再根据抛物线的开口方向和对应一次函数的增减性即可做出选择．【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y 轴上的（0，c ），∴两个函数图象交于y 轴上的同一点，故A 不符合题意；当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上，一次函数y ＝ax +c 中y 值随x 值的增大而增大，故D 不符合题意；当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上，一次函数y ＝ax +c 中y 值随x 值的增大而减小，故C 不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象与性质，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答的关键．3．B解析：B由抛物线的性质得到20a -＞，2=4(1)4(2)(1)0a a a ∆---+≤然后通过解分式方程求得a 的取值，然后求和．【详解】解：∵二次函数y =（a -2）x 2+2（a -1）x +a +1的值恒为非负数，∴20a -＞，2=4(1)4(2)(1)0a a a ∆---+≤解得3a ≥ 解分式方程12322ax x x x -+=--解得：62x a =- 由x ≠2得，a ≠5，由于a 、x 是整数，所以a =3，x =6，a =4，x =3，a =8，x =1，同理符合a ≥3的a 值共有3，4，8，故所有满足条件的整数a 的值之和=3+4+8=15，故选：B ．【点睛】 本题考查的是抛物线和x 轴交点，涉及到解分式方程，正确理解二次函数的值恒为非负数是解题的关键．4．B解析：B【分析】由235y x =-+图像开口向下，对称轴为y =0知，要使12y y >，需使A 点更靠近对称轴y轴，由此列出关于m 的不等式解之即可 ．【详解】解：∵235y x =-+图像开口向下，对称轴为y =0且12y y > ∴1m m <-，下面解此不等式．第一种情况，当m ＜0时，得1m m -<-，解得m ＜0；第二种情况，当01m ≤<时，得1m m <-，解得12m <； 第三种情况，当m 1≥时，得1m m <-，解得，无解； 综上所述得12m <． 故选：B ．【点睛】此题考查二次函数的图像与性质，比较图像上两点的函数值．其关键是，当二次函数开口向下时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越大；当二次函数开口向上时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越小． 5．A【分析】根据二次函数的对称性、增减性即可得．【详解】由二次函数的性质可知，当1x ≥-时，y 随x 的增大而减小，抛物线2(1)y x =-+的对称轴为1x =-， ∴0x =时的函数值与2x =-时的函数值相等，即为1y ，∴点()10y ,在此抛物线上， 又点()21,B y ，()32,C y 在此抛物线上，且1012-<<<，123y y y ∴>>，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的对称性、增减性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 6．B解析：B【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．【详解】解：抛物线y =22x 的顶点坐标为(0，0)，向右平移1个单位,再向下平移3个单位后的图象的顶点坐标为(1，−3)，所以,所得图象的解析式为y =22(1)x - -3．故选：B【点睛】本题考查了函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图象的变化是解题的规律．7．D解析：D【分析】 解方程2334x x -+＝0得A 1（4，0），再利用旋转的性质得A 2（4×2，0），A 3（4×3，0），依此规律得到A 505（4×505，0），A 506（4×506，0），且抛物线C 506的开口向上，利用交点式，设抛物线C 506的解析式为y ＝34（x−2020）（x−2024），然后确定此抛物线顶点坐标即可．【详解】当y ＝0时，2334x x -+＝0，解得x 1＝0，x 2＝4， ∴A 1（4，0）， ∵将C 1绕A 1旋转180°得到C 2，交x 轴于A 2，将C 2绕A 2旋转180得到C 3，∴A 2（4×2，0），A 3（4×3，0），∴A 505（4×505，0），A 506（4×506，0），即A 505（2020，0），A 506（2024，0）， ∵抛物线C 506的开口向上，∴抛物线C 506的解析式为y ＝34（x−2020）（x−2024）， ∵抛物线的对称轴为直线x ＝2022， 当x ＝2022时，y ＝34（2022−2020）（2022−2024）＝−3， ∴抛物线C 506的顶点坐标是（2022，−3）．故选：D ．【点睛】 本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的几何变换和二次函数的性质．8．C解析：C【分析】根据二次函数图象，知道开口和对称轴，判断a 、b 的符号，再进行判断一次函数的图象．【详解】解：根据二次函数图象知：开口向下，则0a < 故一次函数从左往右是下降趋势．对称轴再y 轴左边，故02b a-< 即得：0b < 故一次函数交y 轴的负半轴． 则一次函数y ax b =+图象便为C 选项故本题选择C ．【点睛】本题属于二次函数与一次函数的综合，关键在意找到系数的正负．9．C解析：C【分析】根据平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，第三季度季度GDP 总值约为7.9（1+x ）元，第四季度GDP 总值为7.9（1+x ）2元，则函数解析式即可求得．【详解】解：设平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是：y=7.9（1+x ）2．故选：C ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键． 10．C解析：C【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．【详解】解：因为()2526y x =-+-．所以将抛物线25y x =-先向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到抛物线()2526y x =-+-．故选：C ．【点睛】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 11．C解析：C【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.【详解】A ．因为抛物线的开口向下，则a<0；又因为抛物线的对称轴在y 轴右侧，则-2b a>0，所以b>0，故A 错误；B ．抛物线与y 轴的交点在y 轴负半轴，则c<0，故B 错误；C ．抛物线与x 轴一个交点为（1，0），则x=1时，0y a b c =++=，故C 正确；D ．抛物线与x 轴有两个交点，则240b ac ∆=->，故D 错误，故选C.【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与×轴的交点等知识点，明确二次函数的相关性质是解题的关键. 12．B解析：B【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y=2x 2的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y=-2（x-1）2；由“上加下减”的原则可知，抛物线y=-2（x-1）2的图象向上平移5个单位长度所得函数图象的关系式是：y=-2（x-1）2+5．故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．二、填空题13．（﹣13）【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k的顶点是（hk）可得答案【详解】y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标是（﹣13）故答案为：（﹣13）【点睛】本题考查了二次函数的性质熟记抛物线解析式的顶点式：解析：（﹣1，3）【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k的顶点是（h，k），可得答案．【详解】y＝﹣12（x+1）2+3的顶点坐标是（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．【点睛】本题考查了二次函数的性质．熟记抛物线解析式的顶点式：y＝a（x−h）2＋k，顶点坐标为（h，k）是解答此题的关键．14．6【分析】根据题意可以得到水珠落地点（点P）到喷水口（点O）的距离就是OP的长度利用配方法或公式法求得其顶点坐标的横坐标的2倍即为本题的答案【详解】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+6x∴解析：6【分析】根据题意可以得到水珠落地点（点P）到喷水口（点O）的距离就是OP的长度，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的横坐标的2倍即为本题的答案．【详解】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+6x，∴y=-x2+6x=-（x-3）2+9，∴顶点坐标为：（3，9），∴水珠落地点（点P）到喷水口（点O）的距离为OP=3×2=6（米），故答案为：6．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．15．9【分析】直接利用二次函数的最值问题求解【详解】解：∵y＝x2+9∴当x＝0时y 有最小值最小值为9故答案为：9【点睛】本题考查了二次函数的最值：对于二次函数y=a （x-k ）2+h 当a ＞0时x=ky 有解析：9【分析】直接利用二次函数的最值问题求解．【详解】解：∵y ＝x 2+9，∴当x ＝0时，y 有最小值，最小值为9．故答案为：9．【点睛】本题考查了二次函数的最值：对于二次函数y=a （x-k ）2+h ，当a ＞0时，x=k ，y 有最小值h ；当a ＜0时，x=k ，y 有最大值h ．16．y=2（x+1）2-1【分析】利用二次函数图像平移规律：上加下减左加右减可得平移后的函数解析式【详解】解：将二次函数 的图象先向左平移2个单位再向下平移4个单位则所得图象的函数表达式为：y=2（x解析：y=2（x+1）2-1【分析】利用二次函数图像平移规律：上加下减，左加右减，可得平移后的函数解析式．【详解】解：将二次函数 ()2213y x =-+ 的图象先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，则所得图象的函数表达式为：y=2（x-1+2）2+3-4∴y=2（x+1）2-1.故答案为：y=2（x+1）2-1.【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键． 17．7【分析】根据抛物线y=x2-5x-6与x 轴分别交于AB 两点可以令y=0求得点AB 的坐标从而可以求得AB 的长【详解】解：∵y=x2-5x-6∴y=0时x2-5x-6=0解得x1=-1x2=6∵抛物线解析：7【分析】根据抛物线y=x 2-5x-6与x 轴分别交于A 、B 两点，可以令y=0求得点A 、B 的坐标，从而可以求得AB 的长．【详解】解：∵y=x 2-5x-6，∴y=0时，x 2-5x-6=0，解得，x 1=-1，x 2=6．∵抛物线y=x 2-5x-6与x 轴分别交于A 、B 两点，∴点A 的坐标为(-1，0)，点B 的坐标为(6，0)，∴AB 的长为：6-(-1)=7．故答案为：7．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，以及数轴上两点间的距离，解题的关键是明确抛物线与x 轴相交时，y=0．18．【分析】设点E （mm2﹣4m+8）过E 作EM 垂直于x 轴交AB 于点M 作BF ⊥EMAG ⊥EM 垂足分别为FG 由题意可得M （mm ）从而可用含m 的式子表示出EM 的长根据二次函数的性质及三角形的面积公式可得答案 解析：218【分析】设点E （m ，m 2﹣4m +8），过E 作EM 垂直于x 轴交AB 于点M ，作BF ⊥EM ，AG ⊥EM ，垂足分别为F ，G ，由题意可得M （m ，m ），从而可用含m 的式子表示出EM 的长，根据二次函数的性质及三角形的面积公式可得答案．【详解】解：设点E （m ，m 2﹣4m +8），过E 作EM 垂直于x 轴交AB 于点M ，作BF ⊥EM ，AG ⊥EM ，垂足分别为F ，G ，由题意得：M （m ，m ），∴EM ＝m 2﹣4m +8﹣m＝m 2﹣5m +8＝257()24m -+， ∴S △ABE ＝S △AEM +S △EMB＝1122EM AG EM BF ⋅+⋅ 1()2EM AG BF =+12=(m 2﹣5m +8)×（4-1） 32=(m 2﹣5m +8) ＝23521()228m -+， 由302>，得S △ABE 有最小值． ∴当m ＝52时，S △ABE 的最小值为218． 故答案为：218． 【点睛】本题考查了二次函数的最值、一次函数与二次函数图象上的点与坐标的关系及三角形的面积计算等知识点，熟练掌握相关性质及定理并数形结合是解题的关键．19．【分析】由韦达定理得出ab 与m 的关系式由一元二次方程的根与判别式的关系得出m 的取值范围再对代数式a2﹣ab+b2配方并将a+b 和ab 整体代入化简然后再配方结合m 的取值范围可得出答案【详解】∵关于x 的 解析：916【分析】由韦达定理得出a ，b 与m 的关系式、由一元二次方程的根与判别式的关系得出m 的取值范围，再对代数式a 2﹣ab +b 2配方并将a +b 和ab 整体代入化简，然后再配方，结合m 的取值范围可得出答案．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +m 2﹣1＝0有实数根a ，b ，∴a +b ＝2m +1，ab ＝m 2﹣1，△≥0，∴△＝[﹣(2m +1)]2﹣4×1×(m 2﹣1)＝4m 2+4m +1﹣4m 2+4＝4m +5≥0，∴m ≥54-． ∴a 2﹣ab +b 2 ＝(a +b )2﹣3ab＝(2m +1)2﹣3(m 2﹣1)＝4m 2+4m +1﹣3m 2+3＝m 2+4m +4＝(m +2)2，∴a2﹣ab+b2的最小值为：2592416⎛⎫-+=⎪⎝⎭．故答案为：9 16．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及利用二次函数的性质求解代数的最值，灵活利用韦达定理及根的判别式，是解决本题的关键，熟悉用函数的思想解决最值问题也是关键点．20．下【分析】先用待定系数法确定二次函数的解析式然后根据二次项系数即可解答【详解】解：设一般式y=ax2+bx+c由题意得：解得由＜0则该函数图像开口向下故答案为：下【点睛】本题考查了二次函数图像的性质解析：下【分析】先用待定系数法确定二次函数的解析式，然后根据二次项系数即可解答．【详解】解：设一般式y=ax2+bx+c，由题意得：2=c2=42142a b ca b c ⎧⎪++⎨⎪-=-+⎩解得3=-83 =42 abc⎧⎪⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩由3=-8a＜0，则该函数图像开口向下．故答案为：下．【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，根据题意确定二次函数的解析式是解答本题的关键．三、解答题21．（1）菱形；（2）522xy=-35()22y≤≤；（3）2(1)4EFGHS x=-+菱，最大值为5，最小值为4．【分析】（1）由矩形的性质可得AO=CO，BO=DO，AB∥CD，AD∥BC，由“AAS”可证△AEO≌△CGO，△DHO≌△BFO，可得EO=GO， HO=FO，可证四边形EHGF是平行四边形，且EG ⊥HF ，可得四边形EHGF 是菱形；（2）由菱形的性质可得EH GH =，由勾股定理可得2222AE AH DH DG +=+，即可求解；（3）由面积的和差关系可得四边形EFGH 的面积=x 2﹣2x +5=(x ﹣1)2+4，由二次函数的性质可求解．【详解】解：（1）在矩形ABCD 中，OD OB =，AD BC ∥∴ADB DBC ∠=∠在ODH 和OBF 中，ADB DBC OD OB HOD FOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ODH OBF ASA ≌∴OH OF =在OAE △和OCG 中，同理可得OE OG =∴四边形EFGH 为平行四边形又∵EG FH ⊥∴平行四边形EFGH 为菱形(2)∵AE x =，AH y =，4=AD ，2AB =∴4DH y =-，2DG BE x ==-由（1）可知EH GH =∴2222AE AH DH DG +=+即2222(4)(2)x y y x +=-+- 25x y +=522x y =- 又52x y =-，0x ≥，20x -≥，即02x ≤≤，∴0522y ≤-≤3522y ≤≤ ∴522x y =-，3522y ≤≤ (3) EFGH 112422(4)(2)22S x y y x =⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅--菱 422x y xy =+-5542222x x x x --=+⋅-⋅ 225x x =-+2(1)4x =-+∵02x ≤≤，∴当0x =或2x =时， 5S =最大；当1x =时， 4S =最小．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，一次函数的性质，二次函数的性质，利用勾股定理列出方程是解本题的22．（1）94a =；（2）2x = 【分析】（1）由根的判别式进行计算，即可求出答案；（2）先求出k 的值，然后代入计算，即可求出对称轴．【详解】解：（1）抛物线23y x x a =++与x 轴只有一个交点， 0∴∆=，即940a -=， ∴94a =． （2）点()3,0在抛物线()233y x k x k =-++-上， ()203333k k ∴=-⨯++-，9k ∴=，∴抛物线的解析式为：23129y x x =-+-，∴对称轴为：1222(3)x =-=⨯-． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出参数的值．23．（1）1x =-，()3,0-；（2）223y x x =+-；（3）①04n <≤，②02n <≤【分析】（1）由对称轴为直线x=-2b a，可求解； （2）将点B 坐标代入可求解； （3）设向左平移后的解析式为：y =（x +1+n ）2-4，设向右平移后的解析式为：y =（x +1-n ）2-4，利用特殊点代入可求解．【详解】解：（1）∵抛物线y=mx2+2mx-3的对称轴为直线x=22mm-=-1，AB=4，∴点A（-3，0），点B（1，0），故答案为：x=-1，（-3，0）；（2）∵抛物线y=mx2+2mx-3过点B（1，0），∴0=m+2m-3，∴m=1，∴抛物线的解析式：y=x2+2x-3，（3）如图，∵y=x2+2x-3=（x+1）2-4，∴设向左平移后的解析式为：y=（x+1+n）2-4，把x=-3，y=0代入解析式可得：0=（-3+1+n）2-4，∴n=0（舍去），n=4，∴向左平移，则n的取值范围是0＜n≤4；设向右平移后的解析式为：y=（x+1-n）2-4，把x=0，y=-3代入解析式可得：-3=（1-n）2-4，∴n=0（舍去），n=2，∴向右平移，则n的取值范围是0＜n≤2，故答案为：0＜n≤4；0＜n≤2．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平移的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．24．当AC=BD=5时，四边形ABCD的面积最大．【分析】直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出12S AC BD=⋅，再利用配方法求出二次函数最值即可．【详解】解：设AC=x，四边形ABCD面积为S，则BD=10-x，则：211125(10)(5)2222S AC BD x x x =⋅=-=--+， ∴当x=5时，S 最大=252， 所以当AC=BD=5时，四边形ABCD 的面积最大．【点睛】本题考查二次函数的应用．理解对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半是解题关键．25．（1）()605x -，()4x +；（2）应上涨2元或6元；（3）当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y 最大，最大利润为320元．【分析】（1）根据销售单价上涨x 元，每天销售量减少5x 瓶即可得，再根据“每瓶的利润=售价-成本价”即可得；（2）结合（1）的结论，根据“这款洗手液的日销售利润y 达到300元”可建立关于x 的一元二次方程，再解方程即可得；（3）根据“每天的利润=（每瓶的售价-每瓶的成本价）⨯每天的销售量”可得y 与x 的函数关系式，再利用二次函数的性质求最值即可得．【详解】（1）由题意得：当销售单价上涨x 元时，每天销售量会减少5x 瓶，则每天的销售量为()605x -瓶，每瓶洗手液的利润是20164x x +-=+（元），故答案为：()605x -，()4x +；（2）由题意得：()()6054300x x -+=，解得16x =，22x =，答：销售单价应上涨2元或6元；（3）由题意得：(605)(4)y x x =-+，化成顶点式为25(4)320x y =--+，由二次函数的性质可知，当4x =时，y 取得最大值，最大值为320，答：当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y 最大，最大利润为320元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，依据题意，正确建立方程和函数关系式是解题关键．26．（1）这种衬衫定价为70元；（2）售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元【分析】（1）根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出方程并求解，最后根据尽量给客户实惠，对方程的解进行取舍即可；（2）求出w 的函数解析式，将其化为顶点式，然后求出定价的取值，即可得到售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少.【详解】解：（1）()()5020260024000x x --+=，解得，170x =，2110x =，∵尽量给客户优惠，∴这种衬衫定价为70元；（2）由题意可得，()()()250202600209032000w x x x =--+=--+，∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价，∴50x ≤，()505030%x -÷≤，解得，5065x ≤≤，∴当65x =时，w 取得最大值，此时19500w =，答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元，【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答.。
高考数学（理）二轮试题：第10章《双曲线及其性质》（含答案）
⾼考数学（理）⼆轮试题：第10章《双曲线及其性质》（含答案）精品题库试题理数1. (2014⼤纲全国,9,5分)已知双曲线C的离⼼率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=()A. B. C. D.1.A1.由题意得解得|F2A|=2a,|F1A|=4a,⼜由已知可得=2,所以c=2a,即|F1F2|=4a,∴cos∠AF2F1===.故选A.2. (2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在⼀点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离⼼率为()A. B. C. D.32.B2.设|PF1|=m,|PF2|=n,依题意不妨设m>n>0,于是∴m·n=··?m=3n.∴a=n,b=n?c=n,∴e=,选B.3. (2014⼴东,4,5分)若实数k满⾜0A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离⼼率相等3.A3.∵00,25-k>0.∴-=1与-=1均表⽰双曲线,⼜25+(9-k)=34-k=(25-k)+9,4. (2014湖北,9,5分)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的⼀个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离⼼率的倒数之和的最⼤值为()A. B. C.3 D.24.A4.解法⼀:设椭圆⽅程为+=1(a1>b1>0),离⼼率为e1,双曲线的⽅程为-=1(a2>0,b2>0),离⼼率为e2,它们的焦距为2c,不妨设P为两曲线在第⼀象限的交点,F1,F2分别为左,右焦点,则易知解得在△F1PF2中,由余弦定理得(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)·(a1-a2)cos 60°=4c2,整理得+3=4c2,所以+=4,即+=4.设a=,b=,∴+=a·b≤|a|·|b|=×=×=,故+的最⼤值是,故选A.解法⼆:不妨设P在第⼀象限,|PF1|=m,|PF2|=n.在△PF1F2中,由余弦定理得m2+n2-mn=4c2.设椭圆的长轴长为2a1,离⼼率为e1,双曲线的实轴长为2a2,离⼼率为e2,它们的焦距为2c,则+===.∴===,易知-+1的最⼩值为.故=.故选A.5.(2014⼭东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C1的⽅程为+=1,双曲线C2的⽅程为-=1,C1与C2的离⼼率之积为,则C2的渐近线⽅程为()A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=05.A5.设椭圆C1和双曲线C2的离⼼率分别为e1和e2,则e1=,e2=.因为e1·e2=,所以=,即=,∴=.A.-=1B.-=1C.-=1D.-=16.A6.由题意得=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从⽽双曲线⽅程为-=1.7.(2014课表全国Ⅰ，4，5分)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的⼀个焦点,则点F到C的⼀条渐近线的距离为()A. B.3C.m D.3m7.由题意知,双曲线的标准⽅程为-=1,其中a2=3m,b2=3,故c==,不妨设F为双曲线的右焦点,故F(,0).其中⼀条渐近线的⽅程为y=x,即x-y=0,由点到直线的距离公式可得d==,故选A.8.(2014天津蓟县第⼆中学⾼三第⼀次模拟考试，8) 已知双曲线, 则双曲线右⽀上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之⽐等于( )A.B.C. 2D. 48. C8. 双曲线的⽅程为，由此可得双曲线的离⼼率. 双曲线右⽀上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之⽐即为该双曲线的离⼼率，故所求值为2.9. (2014⼭西忻州⼀中、康杰中学、临汾⼀中、长治⼆中四校⾼三第三次联考，12) 已知双曲线，过其左焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若双曲线的右顶点在以为直径的圆内，则双曲线离⼼率的取值范围是（）A．B．C．D．9. 令. 由双曲线的性质可得，也即以为直径的圆的半径为，⽽右顶点与左焦点的距离为a+c，由题意可知，整理得，两边同除，，解得或，⼜因为双曲线的离⼼率⼤于1，可得.10. (2014⼭西太原⾼三模拟考试（⼀），9) 设P在双曲线上，F1，F2是该双曲线的两个焦点，∠F1PF2=90°，且1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离⼼率是( )A. 2B. 3C. 410. 不妨设点P在双曲线的右⽀，设、、，则根据双曲线的定义可得①，根据题意可得②、③，由①②得，代⼊到③中得，两边同除得，⼜因为e＞1，所以可得e=5.11. (2014福州⾼中毕业班质量检测, 8) 已知、是双曲线() 的左、右焦点，若双曲线左⽀上存在⼀点与点关于直线对称，则该双曲线的离⼼为( )A.B.C.11. B11. 依题意，过焦点且垂直于渐近线的直线⽅程为，联⽴⽅程组，解得，所以对称中⼼的点的坐标为，由中点坐标公式得对称点的坐标为代⼊双曲线⽅程可得，⼜因为，化简得，故.12.(2014安徽合肥⾼三第⼆次质量检测，4) 下列双曲线中，有⼀个焦点在抛物线准线上的是（）A. B.C. D.12. D12. 因为抛物线的焦点坐标为，准线⽅程为，所以双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴且为满⾜条件. 故选D.13. (2014河北⽯家庄⾼中毕业班复习教学质量检测（⼆），12) 已知双曲线的左右焦点分别为，，点为坐标原点，点在双曲线右⽀上，内切圆的圆⼼为, 圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂⾜为，则与的长度依次为( )A. B. C. D.13. A13.设的内切圆与分别相切于点、,那么：, , 。
椭圆、双曲线测试题(含答案)
椭圆、双曲线测试题(含答案)章末综合测评(二)：圆锥曲线与方程本次测评共分为一、二两大题，时间为120分钟，满分150分。
一、选择题1.椭圆 $x^2+my^2=1$ 的焦点在 $y$ 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 $m$ 的值是（）A。
1.B。
2.C。
4.D。
11/4解析：由题意可得 $2=2\times2$，解得 $m=11/4$。
故选D。
2.下列双曲线中，渐近线方程为 $y=\pm2x$ 的是（）A。
$x^2-4y=1$。
B。
$4x^2-y=1$。
C。
$x^2-2y=1$。
D。
$2x^2-y=1$解析：由渐近线方程为 $y=\pm2x$，可得 $2=\pm x$，所以双曲线的标准方程可以为 $x^2/4-y^2/1=1$ 或 $-x^2/4+y^2/1=1$，舍去 C。
故选 A。
3.若双曲线 $a^2-b^2=1$ 的一条渐近线经过点 $(3,-4)$，则此双曲线的离心率为（）A。
$\sqrt{3}/5$。
B。
$4/3$。
C。
$\sqrt{5}/3$。
D。
$3/2\sqrt{2}$解析：由双曲线的渐近线过点 $(3,-4)$，知 $a=3$，又$b^2=c^2-a^2=16-9=7$，故$e=\sqrt{1+b^2/a^2}=\sqrt{16/9+7/9}=\sqrt{23}/3$，故选 D。
4.平面内有定点 $A$、$B$ 及动点 $P$，设命题甲是“$|PA|+|PB|$ 是定值”，命题乙是“点 $P$ 的轨迹是以 $A$、$B$ 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的（）A。
充分不必要条件。
B。
必要不充分条件。
C。
充要条件。
D。
既不充分也不必要条件解析：点 $P$ 在线段 $AB$ 上时，$|PA|+|PB|$ 是定值，但点 $P$ 的轨迹不一定是椭圆，反之成立，故选 B。
5.已知动圆 $E$ 与圆 $A$：$(x+4)^2+y^2=2$ 外切，与圆$B$：$(x-4)^2+y^2=2$ 内切，则动圆圆心 $E$ 的轨迹方程是（）A。
抛物线测试题及答案
抛物线测试题及答案1. 抛物线的定义抛物线是二次函数的图像，它由一条平滑的曲线组成，这条曲线是在平面上的所有离定点等距的点的轨迹。
抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 为常数。
2. 抛物线的性质- 对称性：抛物线关于 y 轴对称，即对于任意 x，有 y = ax^2 + bx + c，则对于相对应的 -x，仍满足 y = a(-x)^2 + b(-x) + c。
- 顶点：抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，形式为 (h, k)，其中 h 为对称轴上的横坐标，k 为顶点的纵坐标。
- 开口方向：抛物线的开口方向由二次项系数 a 的正负决定。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
- 零点：抛物线与 x 轴交点的纵坐标为 0，可通过解一元二次方程找到零点的横坐标。
3. 抛物线的常见问题3.1 抛物线的参数- 如何确定抛物线的参数 a、b 和 c？通常可以通过已知的点的坐标来确定。
- 如何求取抛物线的顶点坐标？可以通过横坐标的公式 h = -b / (2a) 来计算，然后代入方程求得 k。
- 什么情况下抛物线不存在实零点？当抛物线开口向上时，且顶点的纵坐标 k 大于或等于 0 时，抛物线不存在实零点。
3.2 抛物线的应用- 抛物线在物理学、经济学和工程学等领域中有广泛的应用。
例如，抛物线可以用来描述物体在自由落体中的运动轨迹、图像的放大和缩小等现象。
- 在建筑学中，抛物线也被用于设计拱形桥、碗状天花板等结构。
4. 抛物线测试题答案- 问题一：已知抛物线公式为 y = 2x^2 + 3x + 1，求抛物线的顶点坐标。
- 答案：根据公式 h = -b / (2a)，得到 h = -(3) / (2*2) = -3/4。
将h 代入原方程可求得 k = -1/8。
所以顶点坐标为 (-3/4, -1/8)。
- 问题二：求抛物线 y = x^2 + x - 2 的零点。
【精选试卷】衡水中学中考数学解答题专项练习经典测试题(培优练)
一、解答题1．如图，在平面直角坐标系中，直线10y kx =-经过点(12,0)A 和(,5)B a -，双曲线(0)my x x=>经过点B ． （1）求直线10y kx =-和双曲线my x=的函数表达式； （2）点C 从点A 出发，沿过点A 与y 轴平行的直线向下运动，速度为每秒1个单位长度，点C 的运动时间为t （0＜t ＜12），连接BC ，作BD ⊥BC 交x 轴于点D ，连接CD ， ①当点C 在双曲线上时，求t 的值；②在0＜t ＜6范围内，∠BCD 的大小如果发生变化，求tan ∠BCD 的变化范围；如果不发生变化，求tan ∠BCD 的值； ③当136112DC =时，请直接写出t 的值．2．已知n 边形的内角和θ=（n-2）×180°.（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；（2）若n 边形变为（n+x ）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.3．计算：()()()21a b a 2b (2a b)-+--；()221m 4m 421m 1m m -+⎛⎫-÷⎪--⎝⎭. 4．解不等式组3415122x x x x ≥-⎧⎪⎨--⎪⎩＞，并把它的解集在数轴上表示出来5．如图1，菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA PE =，PE 交CD 于F ，连接CE .（1）证明：ADP CDP△≌△；（2）判断CEP△的形状，并说明理由.（3）如图2，把菱形ABCD改为正方形ABCD，其他条件不变，直接．．写出线段AP与线段CE的数量关系.6．中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广．为了传承优秀传统文化，我市某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列统计图表：抽取的200名学生海选成绩分组表组别海选成绩xA组50≤x＜60 B组60≤x＜70 C组70≤x＜80 D组80≤x＜90E组90≤x＜100请根据所给信息，解答下列问题：（1）请把图1中的条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）（2）在图2的扇形统计图中，记表示B组人数所占的百分比为a%，则a的值为，表示C组扇形的圆心角θ的度数为度；（3）规定海选成绩在90分以上（包括90分）记为“优等”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有多少人？7．已知：如图，点E ，A ，C 在同一条直线上，AB ∥CD ，AB=CE ，AC=CD ．求证：BC=ED ．8．如图1，已知二次函数y=ax 2+32x+c （a≠0）的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为（8，0），连接AB 、AC ．（1）请直接写出二次函数y=ax 2+32x+c 的表达式；（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N 的坐标；（4）如图2，若点N 在线段BC 上运动（不与点B 、C 重合），过点N 作NM∥AC，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求此时点N 的坐标．9．已知关于x 的方程220x ax a ++-=.（1）当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.10．已知：如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，AN 为ABC 外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥．（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当AD 与BC 满足什么数量关系时，四边形ADCE 是正方形？并给予证明11．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ． （1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若5AB =，2BD =，求OE 的长．12．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：232212+=（），善于思考的小明进行了以下探索： 设(2a b 2m 2+=+（其中a b m n 、、、均为整数），则有22a b 2m 2n 2+=++∴22a m 2n b 2mn =+=，．这样小明就找到了一种把部分a b 2+法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：当a b m n 、、、均为正整数时，若(2a b 3m 3+=+，用含m 、n 的式子分别表示a b 、，得a ＝ ，b ＝ ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a b m n 、、、，填空： ＋ ＝( ＋3)2；（3）若(233a m +=＋，且ab m n 、、、均为正整数，求a 的值．13．荆门市是著名的“鱼米之乡”．某水产经销商在荆门市长湖养殖场批发购进草鱼和乌鱼（俗称黑鱼）共75千克，且乌鱼的进货量大于40千克．已知草鱼的批发单价为8元/千克，乌鱼的批发单价与进货量的函数关系如图所示．（1）请直接写出批发购进乌鱼所需总金额y （元）与进货量x （千克）之间的函数关系式；（2）若经销商将购进的这批鱼当日零售，草鱼和乌鱼分别可卖出89%、95%，要使总零售量不低于进货量的93%，问该经销商应怎样安排进货，才能使进货费用最低？最低费用是多少？14．某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？15．如图，点B 、C 、D 都在⊙O 上，过点C 作AC ∥BD 交OB 延长线于点A ，连接CD ，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）求由弦CD 、BD 与弧BC 所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）16．计算：103212sin45(2π)--+-．17．甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款60000元．已知甲公司的人数比乙公司的人数多20℅，乙公司比甲公司人均多捐20元．甲、乙两公司各有多少人？ 18．2x =600答：甲公司有600人，乙公司有500人.点睛：本题考查了分式方程的应用，关键是分析题意找出等量关系，通过设未知数并根据等量关系列出方程.19．计算：219(34)02452-︒⎛⎫ ⎪⎝⎭．20．数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：如图1，将长为12cm 的铅笔AB 斜靠在垂直于水平桌面AE 的直尺FO 的边沿上，一端A 固定在桌面上，图2是示意图． 活动一如图3，将铅笔AB 绕端点A 顺时针旋转，AB 与OF 交于点D ，当旋转至水平位置时，铅笔AB 的中点C 与点O 重合．数学思考（1）设CD=x cm，点B到OF的距离GB=y cm．①用含x的代数式表示：AD的长是_________cm，BD的长是________cm；②y与x的函数关系式是_____________，自变量x的取值范围是____________．活动二（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全．．表格．x(cm)654 3.53 2.5210.50 y(cm)00.55 1.2 1.58 1.0 2.473 4.29 5.08②描点：根据表中数值，描出①中剩余的两个点(x,y)．③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．数学思考（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．21．（问题背景）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E、F 分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．（探索延伸）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．（学以致用）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是边AB上一点，当∠DCE＝45°，BE＝2时，则DE的长为．22．为调查广西北部湾四市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了名市民，扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是 °；（2）请补全条形统计图；（3）若甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种，则甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率是多少？请用画树状图或列表法求解．23．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．（1）求线段AD的长度；（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．24．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．25．2018年“妇女节”前夕，扬州某花店用4000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是第一批所购花束数的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元，求第一批花每束的进价是多少？26．如图，AB是⊙O的直径，点C是AB的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且OEEB =23，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．27．某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度，方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5m的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN项部M的仰角为37°，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M 的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E．请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN 的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan35°≈0.75）28．电器专营店的经营利润受地理位置、顾客消费能力等因素的影响，某品牌电脑专营店设有甲、乙两家分店，均销售A、B、C、D四种款式的电脑，每种款式电脑的利润如表1所示．现从甲、乙两店每月售出的电脑中各随机抽取所记录的50台电脑的款式，统计各种款式电脑的销售数量，如表2所示．表1：四种款式电脑的利润电脑款式A B C D利润（元/台）160200240320表2：甲、乙两店电脑销售情况电脑款式A B C D甲店销售数量（台）2015105乙店销售数量（台）88101418试运用统计与概率知识，解决下列问题：（1）从甲店每月售出的电脑中随机抽取一台，其利润不少于240元的概率为；（2）经市场调查发现，甲、乙两店每月电脑的总销量相当．现由于资金限制，需对其中一家分店作出暂停营业的决定，若从每台电脑的平均利润的角度考虑，你认为应对哪家分店作出暂停营业的决定？并说明理由．29．某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器．已知一台A 型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B 型机器加工60个零件所用时间相等．（1）每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么A，B两种型号的机器可以各安排多少台？30．某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．（1）这次被调查的同学共有人；（2）补全条形统计图，并在图上标明相应的数据；（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供50人食用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、解答题1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．无19．20．21．22．23．24．25．26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、解答题1．（1）直线的表达式为5106y x =-，双曲线的表达式为30y x =-；（2）①52；②当06t <<时，BCD ∠的大小不发生变化，tan BCD ∠的值为56；③t 的值为52或152． 【解析】【分析】（1）由点(12,0)A 利用待定系数法可求出直线的表达式；再由直线的表达式求出点B 的坐标，然后利用待定系数法即可求出双曲线的表达式；（2）①先求出点C 的横坐标，再将其代入双曲线的表达式求出点C 的纵坐标，从而即可得出t 的值；②如图1（见解析），设直线AB 交y 轴于M ，则(0,10)M -，取CD 的中点K ，连接AK 、BK ．利用直角三角形的性质证明A 、D 、B 、C 四点共圆，再根据圆周角定理可得BCD DAB ∠=∠，从而得出tan tan OM BCD DAB OA∠=∠=，即可解决问题； ③如图2（见解析），过点B 作⊥BM OA 于M ，先求出点D 与点M 重合的临界位置时t 的值，据此分05t <<和512t ≤<两种情况讨论：根据,,A B C 三点坐标求出,,AM BM AC 的长，再利用三角形相似的判定定理与性质求出DM 的长，最后在Rt ACD ∆中，利用勾股定理即可得出答案．【详解】（1）∵直线10y kx =-经过点(12,0)A 和(,5)B a -∴将点(12,0)A 代入得12100k -= 解得56k = 故直线的表达式为5106y x =- 将点(,5)B a -代入直线的表达式得51056a -=- 解得6a =(6,5)B ∴- ∵双曲线(0)m y x x=>经过点(6,5)B - 56m ∴=-，解得30m =- 故双曲线的表达式为30y x =-； （2）①//AC y 轴，点A 的坐标为(12,0)A∴点C 的横坐标为12 将其代入双曲线的表达式得305122y =-=- ∴C 的纵坐标为52-，即52AC = 由题意得512t AC ⋅==，解得52t = 故当点C 在双曲线上时，t 的值为52； ②当06t <<时，BCD ∠的大小不发生变化，求解过程如下：若点D 与点A 重合由题意知，点C 坐标为(12,)t -由两点距离公式得：222(612)(50)61AB =-+--=2222(126)(5)36(5)BC t t =-+-+=+-+22AC t =由勾股定理得222AB BC AC +=，即226136(5)t t ++-+=解得12.2t =因此，在06t <<范围内，点D 与点A 不重合，且在点A 左侧如图1，设直线AB 交y 轴于M ，取CD 的中点K ，连接AK 、BK由（1）知，直线AB 的表达式为5106y x =- 令0x =得10y =-，则(0,10)M -，即10OM =点K 为CD 的中点，BD BC ⊥12BK DK CK CD ∴===（直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半） 同理可得：12AK DK CK CD === BK DK CK AK ∴===∴A 、D 、B 、C 四点共圆，点K 为圆心BCD DAB ∴∠=∠（圆周角定理）105tan tan 126OM BCD DAB OA ∴∠=∠===；③过点B 作⊥BM OA 于M由题意和②可知，点D 在点A 左侧，与点M 重合是一个临界位置此时，四边形ACBD 是矩形，则5AC BD ==，即5t =因此，分以下2种情况讨论：如图2，当05t <<时，过点C 作CN BM ⊥于N(6,5(1),2,0),(12,)B A t C --12,6,6,5,OA OM AM OA OM BM AC t ∴===-===90CBN DBM BDM DBM ∠+∠=∠+∠=︒CBN BDM ∴∠=∠又90CNB BMD ∠=∠=︒CNB BMD ∴∆~∆ CN BN BM DM ∴= AM BM AC BM DM -∴=，即655t DM-= 5(5)6DM t ∴=- 56(5)6AD AM DM t ∴=+=+- 由勾股定理得222AD AC CD +=即222513616(5)()612t t ⎡⎤+-+=⎢⎥⎣⎦解得52t =或152t =（不符题设，舍去） 当512t ≤<时，同理可得：222513616(5)()612t t ⎡⎤--+=⎢⎥⎣⎦解得152t =或52t =（不符题设，舍去） 综上所述，t 的值为52或152．【点睛】本题考查反比例函数综合题、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、四点共圆、勾股定理等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 2．（1）甲对，乙不对,理由见解析；（2）2.【解析】试题分析：（1）根据多边形的内角和公式判定即可；（2）根据题意列方程，解方程即可.试题解析：（1）甲对，乙不对.∵θ=360°，∴（n-2）×180°=360°，解得n=4.∵θ=630°，∴（n-2）×180°=630°，解得n=.∵n 为整数，∴θ不能取630°.（2）由题意得，（n-2）×180+360=（n+x-2）×180，解得x=2.考点：多边形的内角和.3．（1）223a 5ab 3b -+-；（2）m m 2-． 【解析】【分析】 ()1根据多项式乘多项式、完全平方公式展开，然后再合并同类项即可；()2括号内先通分进行分式的减法运算，然后再进行分式的除法运算即可.【详解】()()()21a b a 2b (2a b)-+--=2222a 2ab ab 2b 4a 4ab b +---+-223a 5ab 3b =-+-； (2)221m 4m 41m 1m m -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭=()2m m 1m 2m 1(m 2)--⋅-- m m 2=-． 【点睛】 本题考查了整式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键． 4．-1＜x≤1【解析】【分析】分别解两个不等式，然后根据数轴或“都大取大，都小取小，大小小大取中间，大大小小无解了”求解不等式组.【详解】解：341{5122x x x x ≥---＞①② 解不等式①可得x≤1，解不等式②可得x ＞-1在数轴上表示解集为：所以不等式组的解集为：-1＜x≤1.【点睛】本题考查了解不等式组，熟练掌握计算法则是解题关键.5．（1）证明见解析；（2）CEP ∆是等边三角形，理由见解析；（3）2CE =. 【解析】【分析】（1）由菱形ABCD 性质可知，AD CD =，ADP CDP ∠=∠，即可证明； （2）由△PDA ≌△PDC ，推出PA=PC ，由PA=PE ，推出DCP DEP ∠=∠，可知60CPF EDF ∠=∠=︒，由PA═PE=PC ，即可证明△PEC 是等边三角形；（3）由△PDA ≌△PDC ，推出PA=PC ，∠3=∠1，由PA=PE ，推出∠2=∠3，推出∠1=∠2，由∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC ，推出∠FPC=EDF=90°，推出△PEC 是等腰直角三角形即可解答；【详解】（1）证明：在菱形ABCD 中，AD CD =，ADP CDP ∠=∠，在ADP ∆和CDP ∆AD CD ADP CDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADP CDP SAS ∆≅∆.（2）CEP ∆是等边三角形，由（1）知，ADP CDP ∆≅∆，∴DAP DCP ∠=∠，AP CP =，∵PA PE =，∴DAP DEP ∠=∠，∴DCP DEP ∠=∠，∵CFP EFD ∠=∠（对顶角相等），∴180180PFC PCF DFE DEP ︒-∠-∠=︒-∠-∠，即60CPF EDF ∠=∠=︒，又∵PA PE =，AP CP =；∴PE PC =，∴CEP ∆是等边三角形.（3）2CE AP =.过程如下：证明：如图1中，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=DC ，∠ADB=∠CDB=45°，∠ADC=90°，在△PDA 和△PDC 中，PD PD PDA PDC DA DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，，∴△PDA ≌△PDC ，∴PA=PC ，∠3=∠1，∵PA=PE ，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∵∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC ，∴∠FPC=EDF=90°， ∴△PEC 是等腰直角三角形．∴2PC 2AP .【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形判定、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．6．（1）答案见解析；（2）a=15，72°；（3）700人.【解析】试题分析：（1）用随机抽取的总人数减去A 、B 、C 、E 组的人数，求出D 组的人数，从而补全统计图；（2）用B 组抽查的人数除以总人数，即可求出a ；用360乘以C 组所占的百分比，求出C 组扇形的圆心角θ的度数；（3）用该校参加这次海选比赛的总人数乘以成绩在90分以上（包括90分）所占的百分比，即可得出答案．试题解析：（1）D 的人数是：200﹣10﹣30﹣40﹣70=50（人），补图如下：（2）B组人数所占的百分比是×100%=15%；C组扇形的圆心角θ的度数为360×=72°（3）根据题意得：2000×=700（人），答：估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有700人．考点：（1）条形统计图；（2）用样本估计总体；（3）扇形统计图7．见解析【解析】【分析】首先由AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAC=∠ECD，再由条件AB=CE，AC=CD可证出△BAC和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等证出CB=ED.【详解】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ECD，∵在△BAC和△ECD中，AB=EC，∠BAC=∠ECD ，AC=CD，∴△BAC≌△ECD（SAS）.∴CB=ED.【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质.8．（1）y=﹣14x2+32x+4；（2）△ABC是直角三角形．理由见解析；（3）点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣50）、（3，0）、（50）．（4）当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．【解析】【分析】（1）由点A、C的坐标利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）令二次函数解析式中y=0，求出点B的坐标，再由两点间的距离公式求出线段AB、AC、BC的长度，由三者满足AB2+AC2=BC2即可得出△ABC为直角三角形；（3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一点，即可求得点N的坐标；（4）设点N的坐标为（n，0）（-2<n<8），通过分割图形法求面积，再根据相似三角形面积间的关系以及三角形的面积公式即可得出S△AMN关于n的二次函数关系式，根据二次函数的性质即可解决最值问题．【详解】（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），∴，解得．∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形．令y=0，则﹣x2+x+4=0，解得x1=8，x2=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），由已知可得，在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，又∵BC=OB+OC=2+8=10，∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形．（3）∵A（0，4），C（8，0），∴AC==4，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．（4）如图，设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，∴MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，∴=，∵MN∥AC∴=，∴=，∵OA=4，BC=10，BN=n+2∴MD=（n+2），∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN=BN•OA﹣BN•MD=（n+2）×4﹣×（n+2）2=﹣（n﹣3）2+5，当n=3时，△AMN面积最大是5，∴N点坐标为（3，0）．∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，熟练掌握二次函数的知识点是本题解题的关键. 9．（1）12，32；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可.试题解析：（1）设方程的另一根为x1，∵该方程的一个根为1，∴1111{211a x a x +=--⋅=.解得132{12x a =-=. ∴a 的值为12，该方程的另一根为32-. （2）∵()()222241248444240a a a a a a a ∆=-⋅⋅-=-+=-++=-+>，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用. 10．（1）见解析 （2） 12AD BC =，理由见解析． 【解析】【分析】（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE ⊥AN ，AD ⊥BC ，所以求证∠DAE=90°，可以证明四边形ADCE 为矩形．（2）由正方形ADCE 的性质逆推得AD DC =，结合等腰三角形的性质可以得到答案．【详解】（1）证明：在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ， ∴∠BAD=∠DAC ，∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， ∴∠MAE=∠CAE ，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=12×180°=90°， 又∵AD ⊥BC ，CE ⊥AN ， ∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四边形ADCE 为矩形．（2）当12AD BC =时，四边形ADCE 是一个正方形． 理由：∵AB=AC ， AD ⊥BC ，BD DC ∴= 12AD BC =，AD BD DC ∴== ， ∵四边形ADCE 为矩形， ∴矩形ADCE 是正方形． ∴当12AD BC =时，四边形ADCE 是一个正方形． 【点睛】本题考查矩形的判定以及正方形的性质的应用，同时考查了等腰三角形的性质，熟练掌握这些知识点是关键．11．（1）证明见解析；（2）2.【解析】分析：（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可.（2）根据菱形的性质和勾股定理求出2OA ==．根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解.详解：（1）证明：∵AB ∥CD ，∴CAB ACD ∠=∠∵AC 平分BAD ∠∴CAB CAD ∠=∠，∴CAD ACD ∠=∠∴AD CD =又∵AD AB =∴AB CD =又∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形又∵AB AD =∴ABCD 是菱形 （2）解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 交于点O ．∴AC BD ⊥．12OA OC AC ==，12OB OD BD ==， ∴112OB BD ==． 在Rt AOB 中，90AOB ∠=︒．∴2OA =．∵CE AB ⊥，∴90AEC ∠=︒．在Rt AEC 中，90AEC ∠=︒．O 为AC 中点． ∴122OE AC OA ===． 点睛：本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键.12．（1）22m 3n +，2mn ；（2）4，2，1，1（答案不唯一）；（3）a ＝7或a ＝13．【解析】【分析】【详解】(1)∵2(a m +=+，∴2232a m n +=++，∴a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．故答案为m2＋3n2，2mn．(2)设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝13，b＝2mn＝4．故答案为13，4，1，2(答案不唯一)．(3)由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn．∵4＝2mn，且m、n为正整数，∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝13．13．（1）y=26(2040)24(40)x xx x⎧⎨>⎩；（2）该经销商应购进草鱼25千克，乌鱼50千克，才能使进货费用最低，最低费用为1400元．【解析】【分析】【详解】（1）批发购进乌鱼所需总金额y（元）与进货量x（千克）之间的函数关系式y=26(2040) 24(40)x xx x⎧⎨>⎩；（2）设该经销商购进乌鱼x千克，则购进草鱼（75﹣x）千克，所需进货费用为w元．由题意得：4089%(75)95%93%75 xx x>⎧⎨⨯-+⨯⎩解得x≥50．由题意得w=8（75﹣x）+24x=16x+600．∵16＞0，∴w的值随x的增大而增大．∴当x=50时，75﹣x=25，W最小=1400（元）．答：该经销商应购进草鱼25千克，乌鱼50千克，才能使进货费用最低，最低费用为1400元．14．银杏树的单价为120元，则玉兰树的单价为180元．【解析】试题分析：根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．试题解析：解：设银杏树的单价为x元，则玉兰树的单价为1.5x元，根据题意得：1200090001501.5x x+=解得：x=120，经检验x=120是原分式方程的解，∴1.5x=180．答：银杏树的单价为120元，则玉兰树的单价为180元．15．（1）证明见解析；（2）6πcm2．【解析】【分析】连接BC ，OD ，OC ，设OC 与BD 交于点M ．（1）求出∠COB 的度数，求出∠A 的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OCA 的度数，根据切线的判定推出即可； （2）证明△CDM ≌△OBM ，从而得到S 阴影=S 扇形BOC ．【详解】如图，连接BC ，OD ，OC ，设OC 与BD 交于点M ．（1）根据圆周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×30°=60°，∵AC ∥BD ，∴∠A=∠OBD=30°，∴∠OCA=180°﹣30°﹣60°=90°，即OC ⊥AC ，∵OC 为半径，∴AC 是⊙O 的切线；（2）由（1）知，AC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥AC ．∵AC ∥BD ，∴OC ⊥BD ．由垂径定理可知，MD=MB=12BD=33． 在Rt △OBM 中， ∠COB=60°，OB=33cos3032MB ︒==6．在△CDM 与△OBM 中3090CDM OBM MD MBCMD OMB ︒︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴△CDM ≌△OBM （ASA ），∴S △CDM =S △OBM∴阴影部分的面积S 阴影=S 扇形BOC =2606360π⋅=6π（cm 2）．考点：1．切线的判定；2.扇形面积的计算．16．13【解析】【分析】根据负指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值及零指数幂的性质分别化简各项后，再合并即可解答．【详解】原式112132=+-⨯+=111313=． 【点睛】本题主要考查了实数运算，利用负指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值及零指数幂的性质正确化简各数是解题关键．17．甲公司有600人，乙公司有500人.【解析】分析：根据题意，可以设乙公司人数有x 人，则甲公司有(1+20%)x 人；由乙公司比甲公司人均多捐20元列分式方程，解之即可得出答案.详解：设乙公司有x 人，则甲公司就有（1+20％）x 人，即1.2x 人，根据题意，可列方程：60000x 600001.2x-=20 解之得：x =500经检验：x =500是该方程的实数根. 18．19．1【解析】【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和负指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式＝4﹣3+12＝2﹣1＝1．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．(1) ）(6+x),(6−x)，y=6(6−x)6+x，0⩽x⩽6;(2)见解析；（3）①y随着x的增大而减小；②图象关于直线y=x对称；③函数y的取值范围是0⩽y⩽6．【解析】【分析】（1）①利用线段的和差定义计算即可．②利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（2）①利用函数关系式计算即可．②描出点(0,6)，(3,2)即可．③由平滑的曲线画出该函数的图象即可．（3）根据函数图象写出两个性质即可（答案不唯一）．【详解】解：（1）①如图3中，由题意AC=OA=12AB=6(cm)，∵CD=xcm，∴AD=(6+x)(cm)，BD=12−(6+x)=(6−x)(cm)，故答案为：(6+x)，(6−x)．②作BG⊥OF于G．∵OA⊥OF，BG⊥OF，∴BG//OA，∴BGOA =BDAD，∴y6=6−x6+x，∴y=36−6x6+x(0⩽x⩽6)，故答案为：y=36−6x6+x，0⩽x⩽6．（2）①当x=3时，y=2，当x=0时，y=6，故答案为2，6．②点(0,6)，点(3,2)如图所示．③函数图象如图所示．（3）性质1：函数值y的取值范围为0⩽y⩽6．性质2：函数图象在第一象限，y随x的增大而减小．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线分线段成比例定理，函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．【问题背景】：EF＝BE+FD；【探索延伸】：结论EF＝BE+DF仍然成立，见解析；【学以致用】：5.【解析】【分析】[问题背景]延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE ＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；[探索延伸]延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE ＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；[学以致用]过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，利用勾股定理求得DE的长．【详解】[问题背景】解：如图1，在△ABE和△ADG中，∵DG BEB ADG AB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝12∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAF AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+FD，∴EF＝BE+FD；故答案为：EF＝BE+FD．[探索延伸]解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，在△ABE和△ADG中，∵DG BEB ADG AB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝12∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAF AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+FD，∴EF＝BE+FD；[学以致用]如图3，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，由【探索延伸】和题设知：DE＝DG+BE，设DG＝x，则AD＝6﹣x，DE＝x+3，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得x＝2．∴DE＝2+3＝5．故答案是：5．。
二次函数测试题
二次函数测试题一、选一选 ,看完四个选项再做决定!(每小题4分,共40分)1.抛物线y ＝ax 2＋bx (a >0， b < 0)的图象通过 （ ） (A)第一、二、三象限 (B)第一、三、四象限 (C)第一、二、四象限 (D)第一、二、三、四象限2.将抛物线y ＝x 2－2x ＋1向下平移2个单位,再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是（ ）(A)122--=x x y (B)122-+=x x y (C)22-=x y (D)22+=x y 3.已知抛物线c bx ax y ++=2，且0,0a a b c <-+>，则一定有 （ ） (A)ac b 42->0 (B)ac b 42-=0 (C)ac b 42-<0 (D)ac b 42-≤04.若二次函数=ax 2＋c ，当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时,函数值为（ ）（A ）a ＋c （B ）a －c （C ）－c （D ）c5.当k 取任意实数时，抛物线22)(54k k x y +-=的顶点所在的曲线是（ ） (A)2x y = (B)2x y -= (C))0(2>=x x y (D))0(2>-=x x y6.已知函数y ＝ax 和y ＝a (x ＋m )2＋n ，且a > 0，m < 0，n < 0，则这两个函数图象在同一坐标系内的大致图象是 （ ）7.在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为252s t t =+，则当物体经过的路程是88米时，该物体所经过的时间为 （ ） (A)2秒 (B) 4秒 (C)6秒 (D) 8秒8.如图，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心O 左0︒~90︒的旋转， 那么旋转时露出的△ABC 的面积（S ）随着旋转角度（n ）的变化而变化，下面表示S 与n 关系的图象大致是 （ ）9.为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12m 处的挑射正好射中了2．4m 高的球门横梁，若足球运行的路线是抛物线c bx ax y ++=2(如图所示)则下列结论:①601-<a ，②0601<<-a ，③0>+-cb a ，④a b 240-<<其中正确的结论是 （ ）(A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④ 10.抛物线2y ax bx c =++的图象如图，则下列结论：①abc>0；②a ＋b ＋c=2；③a>21；④b<1.其中正确的结论是【 】 （A ）①② （B ）②④ （C ）②③ （D ）③④二、填一填,要相信自己的能力!(每小题4分,共40分)11. 函数42-=x y 的图象与y 轴的交点坐标是________.12.用配方法把二次函数y =2x 2＋2x －5化成y =a (x －h )2＋k 的形式为___________. 13.二次函数y =x 2－8x ＋c 的最小值是0，那么c 的值等于 .14.已知二次函数的图像开口方向下，且于y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函.数解析式 ．15.函数y ＝ax 2＋(3－a )x ＋1的图象与x 轴只有一个交点，则a ＝ .16.抛物线和22x y =的图像形状相同，对称轴平行于y 轴，且顶点坐标为(－1，3)，则它的解析式为 ．17.已知抛物线y =ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴的两个交点的坐标是(5，0)，(－2，0)，则方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的解是_______.18.当 时，函数y ＝x 2－x －2 的函数值大于0． 19.某校运动会上，张强同学推铅球时，铅球行进的高度y(米)与水平距离x(米)之间的函数关系是35321212++-=x x y ，张强同学的最好成绩是 米．20．如图，直角坐标系中一条抛物线经过网格点A 、B 、C ，其中，B 点坐标为)4,4(，则该抛物线的关系式__________．三、做一做,要注意认真审题!(本大题共70分)21．（8分）如图，抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A B ，，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使:5:4APC ACD S S =△△的点P 的坐标．22．（14分）某电脑公司开发出一种软件，从研发到年初上市后，经历了从亏损到盈利的过程，如图所示的二次函数图像（部分）刻画了该公司年初以来累计利润y （万元）与销售时间x （月）之间的函数关系（即x 个月累计利润总和y 与x 之间的关系），根据图像提供的信息解答下列问题：（1）该种软件上市第几个月后开始盈利？（2）求累计利润总和y （万元）与时间x （月）之间的函数关系式． （3）截止到几月末公司累计利润达到30万元？（4）求出该函数图像与y 轴的交点坐标，并说明该点的实际意义．23. （10（1示的坐标系中画出甲车刹车距离y （米）与速度x （千米/时）的函数图象，并求函数的解析式。
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直线与二次曲线单元测试
姓名____________学号__________
一、选择题(1～10小题每小题4分，11～14小题每小题5分，共60分，答案填入下表)
1.圆O:x2＋y2＝9与圆C:x2＋y2－2x＋8y－1＝0的位置关系是
A.外离
B.外切
C.相交
D.内切
2.点P的坐标为(2，a)，则过点P可作圆x2＋y2＝5的切线的条数是
A.2条
B.1条
C.1条或2条
D.0条，1条或2条
3.抛物线y＝2px2(p＞0)上一点M到焦点F的距离为，则该点的纵坐标是
A. B. C. D.
4.已知双曲线mx2＋ny2＝1的焦点在y轴上，则它的焦点坐标为
A.(±，0)
B.(0，±)
C.(±，0)
D.(0，±)
5.方程xy－x＋2y－2＝0所表示的曲线是
A.双曲线
B.两条平行线
C.两条相交直线
D.一个点
6.椭圆4x2＋9y2－8x＋36y＋4＝0关于直线x＋y－2＝0对称的曲线方程为
A.＝1
B.＝1
C.＝1
D.＝1
7.曲线x＝－与曲线x＋|ay|＝0(a∈R)的公共点个数为
A.0
B.1
C.2
D.0或2或4 8.若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是
A.在圆外
B.在圆上
C.在圆内
D.不在圆内
9.设α为锐角，椭圆x2－2xsinα＋y2sin2α＝0的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率e等于
A. B. C. D.
10.椭圆＝1上一点P到两焦点的距离之积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是
A.(±5，0)
B.()
C.(0，±3)
D.(±)
11.过双曲线2x2－y2－8x＋6＝0的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则这样的直线共有
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
12.若抛物线y＝2x2上两点A(x
1
，y
1
)、B(x
2
，y
2
)关于直线y＝x＋m对称，且x
1
x
2
＝－
0.5，则m的值是
A.1.5
B.2
C.2.5
D.3
13.椭圆＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，A(－a，0)、B(0，b)是椭圆的两个顶点，
如果点F到直线AB的距离为，那么该椭圆的离心率为
A. B. C.1－ D.1＋
14.以原点为中心，实轴在x轴上的双曲线，一条渐近线方程为4y＝3x，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的方程为
A.＝1
B.＝1
C.＝1
D.＝1
二、填空题(每小题4分，共20分)
15.圆C
1:(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆C
1
:(x －)2＋(y＋1)2＝10的公共弦所在直线方程
为_____________________.
16.直线y＝kx＋1(k∈R)与焦点在x 轴上的椭圆＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是___________________.
17.若二次函数y＝ax2＋bx＋c对任意实数x，函数值恒大于0，则以2a、2b、2c分别为实轴长、虚轴长和焦距的双曲线的离心率的取值范围是_____________.
18.点A 是椭圆＝1与双曲线－y2＝1的一个交点，设A与椭圆的两个焦点距离之和为m，A与双曲线的两个焦点距离之差为n，则m＋n＝_____________.
19.以双曲线＝1的顶点为焦点，双曲线焦点为顶点的椭圆的离心率等于
___________.
三、解答题(共70分，解答要求写出详细步骤)
20.(12分)已知圆经过点(4，2)和(－2,－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的标准方程。
21.(12分)直线y＝－3x＋b与圆x2＋y2＝r2的两个交点记为A、B，设直线OA、OB的倾斜角分别为α、β，求证：cos(α＋β)是与b无关的定值。
22.(14分)已知椭圆＝1(a＞1)和直线y＝x－1
⑴求椭圆的焦点坐标；
⑵若直线与椭圆交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的左焦点，求a的值。
23.(16分)已知点P在直线x＝2上运动，直线l经过原点且与OP垂直，经过点A(1，0)及点P的直线m和直线l交于点Q，求Q点的轨迹方程，并指出该轨迹的名称和它的焦点坐标。
24.(16分)直线l的方程为x ＝－，其中p＞0，椭圆的中心为D(2＋，0)，焦点在x轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的一个顶点为A(，0)，问p在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线l的距离.。