排序算法时间复杂度分析
排序—时间复杂度为O（nlogn）的两种排序算法
(一)施工控制结构计算的一般原则
➢ 预应力混凝土连续梁桥、连续刚构桥的施工控制计算除了 必须满足与实际施工相符合的基本要求外，还要考虑诸多 相关的其他因素。
➢ 立0号段底模时，同时安装支座及防倾覆锚固装置。如图512所示。
0号块 1 2
3
0号块
1 2 3 4
1.底模架 2.支架 3.墩身
1.底模架 3.节点板
2.三角撑架 4.墩身
图5-12 支架搭设方式图
墩梁临时锚固
0号块
1 2 3 4
0号块
1 2 3
1.临时支座 3.临时支撑
2.永久支座 4.预应力钢绞线
(三)预应力混凝土连续梁的合拢施
工要点
1. 掌握合拢期间的气温预报情况，测试分析气温变化规律， 以确定合拢时间并为选择合拢锁定方式提供依据。
2. 根据结构情况及梁温的可能变化情况，选定适宜的合拢 方式并作力学建算。
3. 选择日气温较低、温度变化幅度较小时锁定合拢口并灌 注合拢段混凝土。
4. 合拢口的锁定，应迅速、对称地进行，先将外刚性支撑 一段与梁端预埋件焊接（或栓接），而后迅速将外刚性 支撑另一端与梁连接，临时预应力束也应随之快速张拉。 在合拢口锁定后，立即释放一侧的固结约束，使梁一端 在合拢口锁定的连接下能沿支座左右伸缩。
目的：桥梁施工控制的目的就是确保施工过程中结构
的可靠度和安全性，保证桥梁成桥桥面线 形及受力状态符合设计要求。
(二) 施工控制的内容
时间复杂度分析及常用算法复杂度排名
时间复杂度分析及常用算法复杂度排名随着计算机技术的不断发展，人们对于算法的效率也提出了更高的要求。
好的算法可以大大地提高程序的运行效率，而坏的算法则会导致程序运行缓慢，浪费更多的时间和资源。
因此，在实际的开发中，需要对算法的效率进行评估和分析。
其中，时间复杂度是评估算法效率的重要指标之一，接下来就让我们来探讨一下时间复杂度分析及常用算法复杂度排名。
一、时间复杂度时间复杂度，简称时间复杂度，是指在算法中用来衡量算法运行时间大小的量。
通常情况下，时间复杂度用 O(n) 来表示，其中n 表示输入数据规模的大小。
由于常数系数和低次项不会对时间复杂度的大致表示产生影响，因此，时间复杂度的精确算法往往会被简化为最高次项的时间复杂度，即 O(n)。
二、时间复杂度的分析时间复杂度可以通过算法中的循环次数来分析。
一般来说，算法中的循环分为两种情况：一种是 for 循环，一种是 while 循环。
因为 for 循环的循环次数一般是固定的，因此可以通过循环次数来估算时间复杂度；而 while 循环的循环次数取决于输入数据的大小，因此时间复杂度的分析需要基于输入数据的规模进行分析和推导。
三、时间复杂度的常见表示法在实际的算法分析中，常常用到以下几种时间复杂度表示法：常数阶 O(1)、对数阶 O(logn)、线性阶 O(n)、线性对数阶 O(nlogn)、平方阶 O(n^2)、立方阶 O(n^3)、指数阶 O(2^n) 等。
常数阶 O(1)：表示算法的时间不随着输入规模的增加而增加，即不论输入数据的大小，算法的运行时间都是固定的。
例如，最好的情况下，二分查找的时间复杂度即为 O(1)。
对数阶 O(logn)：表示算法的时间复杂度随着输入规模的增加而增加，但增长比较缓慢，即随着输入规模的每增加一倍，算法所需的运行时间大致增加一个常数。
例如，二分查找的时间复杂度即为 O(logn)。
线性阶 O(n)：表示算法的时间复杂度随着输入规模的增加而增加，增长速度与输入规模成线性比例关系。
排序—时间复杂度为O（n2）的三种排序算法
排序—时间复杂度为O（n2）的三种排序算法1 如何评价、分析⼀个排序算法？很多语⾔、数据库都已经封装了关于排序算法的实现代码。
所以我们学习排序算法⽬的更多的不是为了去实现这些代码，⽽是灵活的应⽤这些算法和解决更为复杂的问题，所以更重要的是学会如何评价、分析⼀个排序算法并在合适的场景下正确使⽤。
分析⼀个排序算法，主要从以下3个⽅⾯⼊⼿：1.1 排序算法的执⾏效率1）最好情况、最坏情况和平均情况时间复杂度待排序数据的有序度对排序算法的执⾏效率有很⼤影响，所以分析时要区分这三种时间复杂度。
除了时间复杂度分析，还要知道最好、最坏情况复杂度对应的要排序的原始数据是什么样的。
2）时间复杂度的系数、常数和低阶时间复杂度反映的是算法执⾏时间随数据规模变⼤的⼀个增长趋势，平时分析时往往忽略系数、常数和低阶。
但如果我们排序的数据规模很⼩，在对同⼀阶时间复杂度的排序算法⽐较时，就要把它们考虑进来。
3）⽐较次数和交换（移动）次数内排序算法中，主要进⾏⽐较和交换（移动）两项操作，所以⾼效的内排序算法应该具有尽可能少的⽐较次数和交换次数。
1.2 排序算法的内存消耗也就是分析算法的空间复杂度。
这⾥还有⼀个概念—原地排序，指的是空间复杂度为O(1)的排序算法。
1.3 稳定性如果待排序的序列中存在值相等的元素，经过排序之后，相等元素之间原有的先后顺序不变，那么这种排序算法叫做稳定的排序算法；如果前后顺序发⽣变化，那么对应的排序算法就是不稳定的排序算法。
在实际的排序应⽤中，往往不是对单⼀关键值进⾏排序，⽽是要求排序结果对所有的关键值都有序。
所以，稳定的排序算法往往适⽤场景更⼴。
2 三种时间复杂度为O(n2)的排序算法2.1 冒泡排序2.1.1 原理两两⽐较相邻元素是否有序，如果逆序则交换两个元素，直到没有逆序的数据元素为⽌。
每次冒泡都会⾄少让⼀个元素移动到它应该在的位置。
2.1.2 实现void BubbleSort(int *pData, int n) //冒泡排序{int temp = 0;bool orderlyFlag = false; //序列是否有序标志for (int i = 0; i < n && !orderlyFlag; ++i) //执⾏n次冒泡{orderlyFlag = true;for (int j = 0; j < n - 1 - i; ++j) //注意循环终⽌条件{if (pData[j] > pData[j + 1]) //逆序{orderlyFlag = false;temp = pData[j];pData[j] = pData[j + 1];pData[j + 1] = temp;}}}}测试结果2.1.3 算法分析1）时间复杂度最好情况时间复杂度：当待排序列已有序时，只需⼀次冒泡即可。
几种排序的算法时间复杂度比较
几种排序的算法时间复杂度比较1.选择排序：不稳定，时间复杂度 O(n^2)选择排序的基本思想是对待排序的记录序列进行n-1遍的处理，第i遍处理是将L[i..n]中最小者与L[i]交换位置。
这样，经过i遍处理之后，前i个记录的位置已经是正确的了。
2.插入排序：稳定，时间复杂度 O(n^2)插入排序的基本思想是，经过i-1遍处理后,L[1..i-1]己排好序。
第i遍处理仅将L[i]插入L[1..i-1]的适当位置，使得L[1..i] 又是排好序的序列。
要达到这个目的，我们可以用顺序比较的方法。
首先比较L[i]和L[i-1]，如果L[i-1]≤ L[i]，则L[1..i]已排好序，第i遍处理就结束了；否则交换L[i]与L[i-1]的位置，继续比较L[i-1]和L[i-2]，直到找到某一个位置j(1≤j≤i-1)，使得L[j] ≤L[j+1]时为止。
图1演示了对4个元素进行插入排序的过程，共需要(a),(b),(c)三次插入。
3.冒泡排序：稳定，时间复杂度 O(n^2)冒泡排序方法是最简单的排序方法。
这种方法的基本思想是，将待排序的元素看作是竖着排列的“气泡”，较小的元素比较轻，从而要往上浮。
在冒泡排序算法中我们要对这个“气泡”序列处理若干遍。
所谓一遍处理，就是自底向上检查一遍这个序列，并时刻注意两个相邻的元素的顺序是否正确。
如果发现两个相邻元素的顺序不对，即“轻”的元素在下面，就交换它们的位置。
显然，处理一遍之后，“最轻”的元素就浮到了最高位置；处理二遍之后，“次轻”的元素就浮到了次高位置。
在作第二遍处理时，由于最高位置上的元素已是“最轻”元素，所以不必检查。
一般地，第i遍处理时，不必检查第i高位置以上的元素，因为经过前面i-1遍的处理，它们已正确地排好序。
4.堆排序：不稳定，时间复杂度 O(nlog n)堆排序是一种树形选择排序，在排序过程中，将A[n]看成是完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系来选择最小的元素。
各种排序算法的时间复杂度和空间复杂度（阿里）
各种排序算法的时间复杂度和空间复杂度（阿⾥）⼆分查找法的时间复杂度：O(logn) redis,kafka,B+树的底层都采⽤了⼆分查找法参考：⼆分查找法 redis的索引底层的跳表原理实现参考：⼆分查找法参考：⼆分查找法：1.⼆分查找⼆分查找也称为折半查找，它是⼀种效率较⾼的查找⽅法。
⼆分查找的使⽤前提是线性表已经按照⼤⼩排好了序。
这种⽅法充分利⽤了元素间的次序关系，采⽤分治策略。
基本原理是：⾸先在有序的线性表中找到中值，将要查找的⽬标与中值进⾏⽐较，如果⽬标⼩于中值，则在前半部分找，如果⽬标⼩于中值，则在后半部分找；假设在前半部分找，则再与前半部分的中值相⽐较，如果⼩于中值，则在中值的前半部分找，如果⼤于中值，则在后半部分找。
以此类推，直到找到⽬标为⽌。
假设我们要在 2，6，11，13，16，17，22，30中查找22，上图所⽰，则查找步骤为：⾸先找到中值：中值为13（下标：int middle = (0+7)/2），将22与13进⾏⽐较，发现22⽐13⼤，则在13的后半部分找；在后半部分 16，17，22，30中查找22，⾸先找到中值，中值为17（下标：int middle=(0+3)/2），将22与17进⾏⽐较，发现22⽐17⼤，则继续在17的后半部分查找；在17的后半部分 22，30查找22，⾸先找到中值，中值为22（下标：int middle=(0+1)/2），将22与22进⾏⽐较，查找到结果。
⼆分查找⼤⼤降低了⽐较次数，⼆分查找的时间复杂度为：O(logn)，即。
⽰例代码：public class BinarySearch {public static void main(String[] args) {int arr[] = {2, 6, 11, 13, 16, 17, 22, 30};System.out.println("⾮递归结果,22的位置为:" + binarySearch(arr, 22));System.out.println("递归结果,22的位置为:" + binarySearch(arr, 22, 0, 7));}//⾮递归static int binarySearch(int[] arr, int res) {int low = 0;int high = arr.length-1;while(low <= high) {int middle = (low + high)/2;if(res == arr[middle]) {return middle;}else if(res <arr[middle]) {high = middle - 1;}else {low = middle + 1;}}return -1;}//递归static int binarySearch(int[] arr,int res,int low,int high){if(res < arr[low] || res > arr[high] || low > high){return -1;}int middle = (low+high)/2;if(res < arr[middle]){return binarySearch(arr, res, low, middle-1);}else if(res > arr[middle]){return binarySearch(arr, res, middle+1, high);}else {return middle;}}}其中冒泡排序加个标志，所以最好情况下是o(n)直接选择排序：排序过程：1 、⾸先在所有数据中经过 n-1次⽐较选出最⼩的数，把它与第 1个数据交换，2、然后在其余的数据内选出排序码最⼩的数，与第 2个数据交换...... 依次类推，直到所有数据排完为⽌。
二分归并排序的时间复杂度以及递推式
一、简介二分归并排序是一种常见的排序算法，它通过将问题分解为子问题，并将子问题的解合并来解决原始问题。
该算法的时间复杂度非常重要，因为它直接影响算法的效率和性能。
在本文中，我们将深入探讨二分归并排序的时间复杂度，并通过递推式来进一步分析算法的性能。
二、二分归并排序的时间复杂度1. 分析在二分归并排序中，时间复杂度可以通过以下三个步骤来分析：- 分解：将原始数组分解为较小的子数组。
- 解决：通过递归调用来对子数组进行排序。
- 合并：将排好序的子数组合并为一个整体有序的数组。
2. 时间复杂度在最坏情况下，二分归并排序的时间复杂度为O(nlogn)。
这是因为在每一层递归中，都需要将数组分解为两个规模近似相等的子数组，并且在每一层递归的最后都需要将这两个子数组合并起来。
可以通过递推式来进一步证明算法的时间复杂度。
3. 递推式分析我们可以通过递推式来分析二分归并排序的时间复杂度。
假设对规模为n的数组进行排序所需的时间为T(n)，则可以得到以下递推式：T(n) = 2T(n/2) +其中，T(n/2)表示对规模为n/2的子数组进行排序所需的时间表示将两个子数组合并所需的时间。
根据递推式的定义，我们可以得到二分归并排序的时间复杂度为O(nlogn)。
三、结论与个人观点通过以上分析，我们可以得出二分归并排序的时间复杂度为O(nlogn)。
这意味着该算法在最坏情况下也能保持较好的性能，适用于大规模数据的排序。
我个人认为，二分归并排序作为一种经典的排序算法，其时间复杂度的分析对于理解算法的工作原理和性能至关重要。
通过深入研究递推式，可以更加直观地理解算法的性能表现，为进一步优化算法提供了重要的参考依据。
四、总结在本文中，我们探讨了二分归并排序的时间复杂度，通过分析和递推式的方式深入理解了该算法的性能表现。
通过对时间复杂度的分析，我们对算法的性能有了更深入的认识，并且能够更好地理解算法在实际应用中的表现。
相信通过本文的阅读，读者能够对二分归并排序有更全面、深刻和灵活的理解。
快排复杂度及其证明
快排复杂度及其证明快速排序（Quicksort）是一种经典的排序算法，其平均时间复杂度为O(nlogn)。
该算法的核心思想是通过递归地将数组分割成较小的子数组，然后分别对子数组进行排序。
快速排序的步骤如下：首先选择一个基准元素，然后将数组中比基准元素小的元素放在基准元素的左边，将比基准元素大的元素放在基准元素的右边。
接着递归地对左右两个子数组进行排序，直到整个数组有序。
快速排序的时间复杂度分析如下：在最好情况下，每次划分都能平分数组，时间复杂度为O(nlogn)；在最坏情况下，每次划分只能将数组分成一个元素和其余元素两部分，时间复杂度为O(n^2)。
然而，通过随机选择基准元素或者使用三数取中法可以避免最坏情况的发生，从而保证快速排序的平均时间复杂度为O(nlogn)。
快速排序的时间复杂度证明可以通过数学归纳法进行推导。
假设对n个元素的数组进行快速排序的时间复杂度为T(n)，则有：T(n) = 2T(n/2) + O(n)。
其中2T(n/2)表示对左右两个子数组进行排序的时间复杂度，O(n)表示划分数组的时间复杂度。
根据主定理（Master Theorem）可知，对于递推式T(n) = aT(n/b) + f(n)，其中a>=1，b>1，f(n)是多项式，有以下三种情况：1. 若f(n) = O(n^d)，其中d<logba，则T(n) = O(n^logba)；2. 若f(n) = Θ(n^d * log^k n)，其中d=logba，则T(n) = O(n^d * log^(k+1) n)；3. 若f(n) = Ω(n^d)，其中d>logba，则T(n) = O(f(n))。
根据快速排序的递推式T(n) = 2T(n/2) + O(n)，可以得到a=2，b=2，f(n)=O(n)。
因此，根据主定理可知，快速排序的时间复杂度为O(nlogn)。
快速排序是一种时间复杂度为O(nlogn)的高效排序算法，通过合理选择基准元素和递归地划分子数组，可以在平均情况下实现较快的排序速度。
关于算法的实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解快速排序算法的基本原理和实现方法。
2. 掌握快速排序算法的时间复杂度和空间复杂度分析。
3. 通过实验验证快速排序算法的效率。
4. 提高编程能力和算法设计能力。
二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：C++3. 开发工具：Visual Studio 2019三、实验原理快速排序算法是一种分而治之的排序算法，其基本思想是：选取一个基准元素，将待排序序列分为两个子序列，其中一个子序列的所有元素均小于基准元素，另一个子序列的所有元素均大于基准元素，然后递归地对这两个子序列进行快速排序。
快速排序算法的时间复杂度主要取决于基准元素的选取和划分过程。
在平均情况下，快速排序的时间复杂度为O(nlogn)，但在最坏情况下，时间复杂度会退化到O(n^2)。
四、实验内容1. 快速排序算法的代码实现2. 快速排序算法的时间复杂度分析3. 快速排序算法的效率验证五、实验步骤1. 设计快速排序算法的C++代码实现，包括以下功能：- 选取基准元素- 划分序列- 递归排序2. 编写主函数，用于生成随机数组和测试快速排序算法。
3. 分析快速排序算法的时间复杂度。
4. 对不同规模的数据集进行测试，验证快速排序算法的效率。
六、实验结果与分析1. 快速排序算法的代码实现```cppinclude <iostream>include <vector>include <cstdlib>include <ctime>using namespace std;// 生成随机数组void generateRandomArray(vector<int>& arr, int n) {srand((unsigned)time(0));for (int i = 0; i < n; ++i) {arr.push_back(rand() % 1000);}}// 快速排序void quickSort(vector<int>& arr, int left, int right) { if (left >= right) {return;}int i = left;int j = right;int pivot = arr[(left + right) / 2]; // 选取中间元素作为基准 while (i <= j) {while (arr[i] < pivot) {i++;}while (arr[j] > pivot) {j--;}if (i <= j) {swap(arr[i], arr[j]);i++;j--;}}quickSort(arr, left, j);quickSort(arr, i, right);}int main() {int n = 10000; // 测试数据规模vector<int> arr;generateRandomArray(arr, n);clock_t start = clock();quickSort(arr, 0, n - 1);clock_t end = clock();cout << "排序用时：" << double(end - start) / CLOCKS_PER_SEC << "秒" << endl;return 0;}```2. 快速排序算法的时间复杂度分析根据实验结果，快速排序算法在平均情况下的时间复杂度为O(nlogn)，在最坏情况下的时间复杂度为O(n^2)。
几种常见算法的介绍及复杂度分析
几种常见算法的介绍及复杂度分析一、排序算法1.冒泡排序：通过反复交换相邻元素实现排序，每次遍历将最大元素放到最后。
时间复杂度为O(n^2)。
2.插入排序：将未排序元素插入已排序序列的适当位置，时间复杂度为O(n^2)。
3.选择排序：每次选择最小的元素放到已排序序列末尾，时间复杂度为O(n^2)。
4. 快速排序：通过递归将数组分段，并以一个基准元素为准将小于它的元素放在左边，大于它的元素放在右边，时间复杂度为O(nlogn)。
5. 归并排序：将数组递归拆分为多个子数组，对子数组进行排序并合并，时间复杂度为O(nlogn)。
二、查找算法1.顺序查找：从头到尾依次比较目标元素与数组中的元素，时间复杂度为O(n)。
2. 二分查找：依据已排序的数组特性，将目标元素与中间位置的元素比较，并根据大小取舍一半的数组进行查找，时间复杂度为O(logn)。
3.哈希查找：通过哈希函数将目标元素映射到数组的索引位置，时间复杂度为O(1)，但可能需要额外的空间。
三、图算法1.广度优先（BFS）：从起始节点开始，依次访问其邻居节点，再访问邻居的邻居，直到找到目标节点或遍历所有节点。
时间复杂度为O(V+E)，V为顶点数量，E为边的数量。
2.深度优先（DFS）：从起始节点开始一直遍历到没有未访问的邻居，再回溯到上一个节点继续遍历，直到找到目标节点或遍历所有节点。
时间复杂度为O(V+E)，V为顶点数量，E为边的数量。
3. 最短路径算法（如Dijkstra算法）：通过计算起始节点到每个节点的最短路径，找到起始节点到目标节点的最短路径。
时间复杂度为O(V^2)，V为顶点数量。
4. 最小生成树算法（如Prim算法）：通过贪心策略找到连通图的最小权重生成树，时间复杂度为O(V^2)，V为顶点数量。
四、动态规划算法1.背包问题：将问题拆解为若干子问题，并通过求解子问题的最优解推导出原问题的最优解。
时间复杂度为O(nW)，n为物品数量，W为背包容量。
数组排序算法与时间复杂度分析
数组排序算法与时间复杂度分析在计算机科学中，数组排序是一项基本的操作。
排序算法的目的是将一个无序的数组按照一定的规则重新排列，使得数组中的元素按照升序或降序排列。
在实际应用中，排序算法被广泛应用于数据处理、搜索和数据库等领域。
本文将介绍几种常见的数组排序算法，并分析它们的时间复杂度。
一、冒泡排序（Bubble Sort）冒泡排序是一种简单直观的排序算法，它重复地遍历数组，每次比较相邻的两个元素，如果顺序错误就交换它们。
通过多次遍历，将最大（或最小）的元素逐渐“冒泡”到数组的末尾。
冒泡排序的时间复杂度为O(n^2)，其中n是数组的长度。
这是因为冒泡排序需要遍历n次数组，并且每次遍历需要比较n-1次相邻元素。
二、选择排序（Selection Sort）选择排序是一种简单直观的排序算法，它重复地从未排序的部分选择最小（或最大）的元素，将其放到已排序部分的末尾。
选择排序的时间复杂度也为O(n^2)，因为它需要遍历n次数组，并且每次遍历需要比较n-1次未排序元素。
三、插入排序（Insertion Sort）插入排序是一种简单直观的排序算法，它将数组分为已排序和未排序两部分，每次从未排序部分选择一个元素插入到已排序部分的正确位置。
插入排序的时间复杂度为O(n^2)，因为它需要遍历n次数组，并且每次遍历需要比较最多n-1次已排序元素。
四、快速排序（Quick Sort）快速排序是一种高效的排序算法，它采用分治法的思想。
首先选择一个基准元素，然后将数组分成两部分，使得左边的元素都小于基准元素，右边的元素都大于基准元素。
然后递归地对左右两部分进行快速排序。
快速排序的平均时间复杂度为O(nlogn)，最坏情况下为O(n^2)。
这是因为在最坏情况下，每次选择的基准元素都是数组中的最大或最小元素，导致分割不均匀。
五、归并排序（Merge Sort）归并排序是一种稳定的排序算法，它采用分治法的思想。
将数组分成两部分，分别对左右两部分进行归并排序，然后将排序好的两个部分合并成一个有序的数组。
各种排序算法的稳定性和时间复杂度小结
各种排序算法的稳定性和时间复杂度小结选择排序、快速排序、希尔排序、堆排序不是稳定的排序算法，冒泡排序、插入排序、归并排序和基数排序是稳定的排序算法。
冒泡法：这是最原始，也是众所周知的最慢的算法了。
他的名字的由来因为它的工作看来象是冒泡：复杂度为O(n*n)。
当数据为正序，将不会有交换。
复杂度为O(0)。
直接插入排序：O(n*n)选择排序：O(n*n)快速排序：平均时间复杂度log2(n)*n，所有内部排序方法中最高好的，大多数情况下总是最好的。
归并排序：log2(n)*n堆排序：log2(n)*n希尔排序：算法的复杂度为n的1.2次幂关于快速排序分析这里我没有给出行为的分析，因为这个很简单，我们直接来分析算法：首先我们考虑最理想的情况1.数组的大小是2的幂，这样分下去始终可以被2整除。
假设为2的k次方，即k=log2(n)。
2.每次我们选择的值刚好是中间值，这样，数组才可以被等分。
第一层递归，循环n次，第二层循环2*(n/2)......所以共有n+2(n/2)+4(n/4)+...+n*(n/n) = n+n+n+...+n=k*n=log2(n)*n所以算法复杂度为O(log2(n)*n)其他的情况只会比这种情况差，最差的情况是每次选择到的middle都是最小值或最大值，那么他将变成交换法（由于使用了递归，情况更糟）。
但是你认为这种情况发生的几率有多大？？呵呵，你完全不必担心这个问题。
实践证明，大多数的情况，快速排序总是最好的。
如果你担心这个问题，你可以使用堆排序，这是一种稳定的O(log2(n)*n)算法，但是通常情况下速度要慢于快速排序（因为要重组堆）。
本文是针对老是记不住这个或者想真正明白到底为什么是稳定或者不稳定的人准备的。
首先，排序算法的稳定性大家应该都知道，通俗地讲就是能保证排序前2个相等的数其在序列的前后位置顺序和排序后它们两个的前后位置顺序相同。
在简单形式化一下，如果Ai = Aj, Ai原来在位置前，排序后Ai还是要在Aj位置前。
算法分析报告
算法分析报告引言算法作为计算机科学中的重要组成部分，对于解决问题起着至关重要的作用。
在实际应用中，我们需要对不同算法进行分析，以确定其性能和效果，以便选择最适合的算法来解决问题。
本文将针对几种常见的算法进行分析，包括时间复杂度、空间复杂度和优缺点等方面的评估。
算法一：冒泡排序算法算法描述冒泡排序算法是一种简单直观的排序算法，其基本思想是通过不断比较相邻元素并交换位置，使得最大（或最小）的元素逐渐“冒泡”到右（或左）端。
算法分析时间复杂度：冒泡排序算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n表示待排序元素的个数。
算法的最坏情况下需要进行n-1趟排序，每趟需要比较n-i次（i为趟数），因此总的比较次数为(n-1) + (n-2) + ... + 1 = n*(n-1)/2由于进行元素交换的次数与比较次数同数量级，因此总的时间复杂度为O(n^2)。
空间复杂度：冒泡排序算法的空间复杂度为O(1)，因为排序过程中只需要使用少量额外的辅助空间来存储临时变量。
优缺点：冒泡排序算法的优点是简单、易于理解和实现。
而缺点是排序效率低下，特别是在待排序元素个数较多时，性能下降明显。
算法二：快速排序算法算法描述快速排序算法是一种高效的排序算法，其基本思想是通过一趟排序将待排序序列分割成独立的两部分，其中一部分的元素小于（或等于）基准元素，另一部分元素大于（或等于）基准元素，然后对这两部分继续进行排序，使整个序列有序。
算法分析时间复杂度：快速排序算法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n表示待排序元素的个数。
在每一趟排序中，平均需要比较和交换元素n次，共需进行logn趟排序。
因此，总的时间复杂度为O(nlogn)。
空间复杂度：快速排序算法的空间复杂度为O(logn)，因为在每一趟排序中需要使用递归调用栈来存储待排序序列的分割点。
优缺点：快速排序算法的优点是快速、高效。
它是一种原地排序算法，不需要额外的辅助空间。
然而，快速排序算法的缺点是对于已经有序的序列，会退化成最坏情况下的时间复杂度O(n^2)，因此在设计实际应用时需要考虑序列是否有序的情况。
排序算法的时间复杂度分析
排序算法的时间复杂度分析排序算法是计算机科学领域中的重要问题之一，用于将一组未排序的数据按照一定规则重新排列。
排序算法的时间复杂度是评估算法执行效率的一个指标，它表示对于特定输入规模的数据，算法执行所需的计算时间与数据量增加的关系。
在实际应用中，时间复杂度是衡量算法效率的重要标准之一，因为它决定算法在处理大规模数据时的速度。
不同的排序算法具有不同的时间复杂度，根据复杂度不同，其执行时间也不同。
在具体应用场景中，我们需要根据不同的数据规模和数据特征选择合适的排序算法，以确保算法具有高效性和可扩展性。
下面具体介绍几种常见的排序算法及其时间复杂度分析。
1. 冒泡排序算法冒泡排序算法是一种简单的排序算法，其基本思想是通过比较相邻两个数据的大小，将较大的数据往后移，最终实现数据升序或降序排列的目的。
其时间复杂度为O(n^2)，即当数据量增加一倍时，执行时间将增加4倍，算法效率较低。
2. 快速排序算法快速排序算法是一种经典的排序算法，在实际应用中广泛使用。
该算法通过定义基准值，将待排序数据分成两个子序列，并递归地对子序列进行排序，最终实现数据排序的目的。
其时间复杂度为O(n log n)，效率较高，在对大规模数据进行排序时表现出色。
3. 直接插入排序算法直接插入排序算法是一种简单但效率较低的排序算法，其基本思想是将数据依次插入已排序的有序序列中，最终实现数据排序的目的。
该算法的时间复杂度为O(n^2)，随着数据量的增加，算法执行时间增加较快。
4. 堆排序算法堆排序算法是一种基于堆数据结构的排序算法，其基本思想是通过维护一个堆，不断取出堆中最大或最小元素，最终实现数据排序的目的。
其时间复杂度为O(n log n)，执行效率较高，在处理大规模数据时表现出色。
综上所述，排序算法的时间复杂度对算法的效率和可扩展性具有重要影响。
在具体应用场景中，我们需要根据数据特征和数据规模选择合适的排序算法，并结合算法的时间复杂度进行评估，以确保算法具有高效性和可扩展性。
快速排序算法实现快速排序的原理和时间复杂度分析
快速排序算法实现快速排序的原理和时间复杂度分析快速排序是一种常用的排序算法，其基本思想是通过分治法将一个大问题分解为多个小问题进行排序，最终得到有序的结果。
本文将介绍快速排序算法的实现原理，并对其时间复杂度进行分析。
一、快速排序的原理快速排序的思想非常简单，可以概括为以下几个步骤：1. 选择一个基准元素（pivot），通常选择数组第一个或最后一个元素。
2. 对数组进行分区操作，将小于基准元素的数移到基准元素的左边，将大于基准元素的数移到基准元素的右边，相同大小的数可以放到任意一边。
3. 对分区后的两个子数组重复上述步骤，直到每个子数组只剩下一个元素，即完成排序。
具体实现时，可以使用递归或者迭代的方式来进行快速排序。
递归方式需要定义一个递归函数，不断对子数组进行分区和排序，直到排序完成。
迭代方式则使用栈或队列来保存每次分区的起始位置和结束位置，循环进行分区和排序的操作。
二、快速排序的时间复杂度分析快速排序的时间复杂度主要取决于分区操作的效率和递归或迭代的次数。
1. 分区操作的时间复杂度分区操作的时间复杂度为O(n)，其中n表示数组的长度。
在最理想的情况下，每次分区都能将数组均匀地分为两个部分，此时时间复杂度为O(nlogn)。
但在最坏的情况下，每次分区都只能将数组分为一个较小的部分和一个较大的部分，此时时间复杂度为O(n^2)。
平均情况下，快速排序的时间复杂度为O(nlogn)。
2. 递归或迭代的次数递归或迭代的次数取决于快速排序每次选择的基准元素和数组的初始状态。
如果基准元素的选择不合理，可能导致递归或迭代次数过多，增加了时间复杂度。
而如果基准元素的选择合理，可以使得每次分区都接近均匀划分，从而减少递归或迭代的次数，降低时间复杂度。
通常情况下，平均时间复杂度为O(nlogn)。
三、总结快速排序是一种高效的排序算法，其核心思想是通过分治法将一个大问题分解为多个小问题进行排序。
快速排序的时间复杂度主要取决于分区操作的效率和递归或迭代的次数。
归并排序算法实现归并排序的原理和时间复杂度分析
归并排序算法实现归并排序的原理和时间复杂度分析归并排序是一种经典的排序算法，它采用分治策略来解决排序问题。
它的原理是将一个数组分成两个子数组，然后对每个子数组进行排序，最后再合并两个已排序的子数组。
根据分治的思想，我们可以递归地将问题分解为较小的子问题，通过解决子问题并将结果合并来解决原始问题。
1. 归并排序的原理归并排序的原理可以分为三个步骤：分解、解决和合并。
(1) 分解：首先，将待排序的数组分解为两个子数组，直到每个子数组的长度为1。
例如，对于数组[5, 2, 7, 1]，我们将其分解为[5, 2]和[7, 1]两个子数组。
(2) 解决：接下来，对每个子数组递归地应用归并排序算法，直到子数组的长度为1为止。
递归的终止条件是数组长度为1时，这时数组就是有序的。
对于[5, 2]和[7, 1]两个子数组，我们将其分别排序得到[2, 5]和[1, 7]。
(3) 合并：最后，将两个已排序的子数组合并成一个有序的数组。
合并过程中，我们比较两个子数组的第一个元素，将较小的元素放入结果数组，并移动指针，直到一个子数组已经全部放入结果数组中，然后将另一个子数组中的剩余元素放入结果数组。
对于[2, 5]和[1, 7]两个已排序的子数组，我们将其合并得到最终的排序结果[1, 2, 5, 7]。
通过不断地分解、解决和合并的步骤，归并排序算法最终能够对整个数组进行排序。
2. 时间复杂度分析归并排序算法的时间复杂度可以通过递推关系式来分析。
假设待排序的数组长度为n，则归并排序的时间复杂度可以表示为T(n)。
(1) 分解：每次分解过程将数组划分为两个子数组，所以分解过程的时间复杂度为O(log n)。
其中，log n表示以2为底n的对数。
(2) 解决：对每个子数组的解决过程需要的时间复杂度为O(n)。
因为每个子数组的长度为n/2，所以花费的时间为O(n/2)。
递归地应用归并排序算法，最后得到的时间复杂度为O(n)。
(3) 合并：在合并过程中，我们需要比较每个元素并放入结果数组中，所以合并过程的时间复杂度为O(n)。
常见排序算法及对应的时间复杂度和空间复杂度
常见排序算法及对应的时间复杂度和空间复杂度转载请注明出处：（浏览效果更好）排序算法经过了很长时间的演变，产⽣了很多种不同的⽅法。
对于初学者来说，对它们进⾏整理便于理解记忆显得很重要。
每种算法都有它特定的使⽤场合，很难通⽤。
因此，我们很有必要对所有常见的排序算法进⾏归纳。
排序⼤的分类可以分为两种：内排序和外排序。
在排序过程中，全部记录存放在内存，则称为内排序，如果排序过程中需要使⽤外存，则称为外排序。
下⾯讲的排序都是属于内排序。
内排序有可以分为以下⼏类： (1)、插⼊排序：直接插⼊排序、⼆分法插⼊排序、希尔排序。
(2)、选择排序：直接选择排序、堆排序。
(3)、交换排序：冒泡排序、快速排序。
(4)、归并排序 (5)、基数排序表格版排序⽅法时间复杂度（平均）时间复杂度（最坏)时间复杂度（最好)空间复杂度稳定性复杂性直接插⼊排序O(n2)O(n2)O(n2)O(n2)O(n)O(n)O(1)O(1)稳定简单希尔排序O(nlog2n)O(nlog2n)O(n2)O(n2)O(n)O(n)O(1)O(1)不稳定较复杂直接选择排序O(n2)O(n2)O(n2)O(n2)O(n2)O(n2)O(1)O(1)不稳定简单堆排序O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(1)O(1)不稳定较复杂冒泡排序O(n2)O(n2)O(n2)O(n2)O(n)O(n)O(1)O(1)稳定简单快速排序O(nlog2n)O(nlog2n)O(n2)O(n2)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)不稳定较复杂归并排序O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(n)O(n)稳定较复杂基数排序O(d(n+r))O(d(n+r))O(d(n+r))O(d(n+r))O(d(n+r))O(d(n+r))O(n+r)O(n+r)稳定较复杂图⽚版①插⼊排序•思想：每步将⼀个待排序的记录，按其顺序码⼤⼩插⼊到前⾯已经排序的字序列的合适位置，直到全部插⼊排序完为⽌。
希尔排序算法实现希尔排序的原理和时间复杂度分析
希尔排序算法实现希尔排序的原理和时间复杂度分析希尔排序是一种高效的排序算法，它是直接插入排序的改进版本。
希尔排序的核心思想是将待排序序列按照一定的间隔分组，对每个分组进行插入排序，然后逐步缩小间隔，再次进行分组和插入排序，直到间隔为1，最后进行一次完全的插入排序。
1. 原理希尔排序的原理是通过将待排序的序列分割成若干个子序列，分别进行插入排序，从而使整个序列基本有序，最后再进行一次插入排序，即可得到最终有序序列。
其中，间隔的选择是希尔排序的关键，不同的间隔序列会影响到算法的性能。
2. 实现下面是希尔排序算法的伪代码实现：```function shellSort(arr)n := length(arr)gap := n/2while gap > 0 dofor i := gap to n dotemp := arr[i]j := iwhile j >= gap and arr[j - gap] > temp doarr[j] := arr[j - gap]j := j - gaparr[j] := tempgap := gap / 2```3. 时间复杂度分析希尔排序的时间复杂度是根据间隔序列的选择而不同的。
最坏情况下的时间复杂度为O(n^2)，但是通过合理选择间隔序列，可以将时间复杂度降低到O(nlogn)。
希尔排序的优势在于它可以在一开始就使得序列局部有序，从而减少了后面的比较和交换的次数。
通过合理选择间隔序列，可以进一步提升希尔排序的性能。
总结：希尔排序是一种高效的排序算法，通过分组和插入排序的方式，使得序列逐步变得有序。
希尔排序的时间复杂度根据间隔序列的选择而变化，但通过合理选择间隔序列，可以将时间复杂度降低到O(nlogn)。
快速排序算法的时间复杂度分析[详解Mastermethod]
![快速排序算法的时间复杂度分析[详解Mastermethod]](https://img.taocdn.com/s3/m/ef133833182e453610661ed9ad51f01dc2815714.png)
快速排序算法的时间复杂度分析[详解Mastermethod]快速排序算法的时间复杂度分析[详解Master method]经常听⼈谈起各种排序算法的时间复杂度，这个是O(n2)的，那个是O(n)的，这些⼈讲起来可谓滔滔不绝，但是你停下来问问他为什么这个是这个复杂度，他是怎么算出来的？往往没⼏个⼈能说出来。
这个是⼀个浮躁的社会，⼤家都追求速度，到处复制，粘贴代码，拿⼈家的代码跑⼀便，就说⾃⼰会了这个，会了那个..也许有⼈觉得算法分析的太深没有⽤，但是笔者认为，有时候了解细节很重要，⽐如快速排序算法的时间复杂度，有时候是O(nlgn), 有时候就是O(n2), 在你不知道⾃⼰数据特性的情况下，很难选择是否使⽤快速排序，因为他并不总是最快的。
说了些没⽤的，让我们进⼊正题吧：为了分析快速排序的时间复杂度，请先看下⾯的主定理：主定理: T [n] = aT[n/b] + f (n)其中a >= 1 and b > 1 是常量并且f (n)是⼀个渐近正函数，为了使⽤这个主定理，您需要考虑下列三种情况：想必⼤家都知道快速排序的过程，如果对这个过程有什么不了解，请参考下⽂：快速排序的每⼀次划分把⼀个问题分解成两个⼦问题，其中的关系可以⽤下式表⽰：T[n] = 2T[n/2] + O(n) 其中O(n)为PARTITION()的时间复杂度，对⽐主定理，T [n] = aT[n/b] + f (n)我们的快速排序中：a = 2, b = 2, f(n) = O(n)那么为什么还有最坏情况呢？考虑如下极端情况，T[n] = T[n-1] + T[1] + O(n),问题来了，这⼀次的划分⽩玩了，划分之后⼀边是⼀个，⼀边是n-1个，这种极端情况的时间复杂度就是O(n2).总结理解了主定理好多算法分析就迎刃⽽解了，本⽂没有给出注定理的证明，因为对于⼤家意义不⼤，感兴趣的读者可以参考相关的书籍。
最后⽤⼀句话总结：天下⼤事必做于细，差之毫厘有时候真会谬之千⾥..注：本⽂在发布的过程中由于⽂章⾥⾯有公式，不能发布，故改传了两张图..另外，本⽂叙述的master method（主定理）并⾮本⼈原创，⽽是源⾃互联⽹，开始时本⼈并没有感觉此处会引起误解因为称得上定理的东西都不是这种随笔类的⽂章可以原创的，但是还是有⼈觉得没说清楚，于是在此给予澄清。
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算法分析与设计实验报告
姓名：龚一帆
班级：04011404
学号：2014211849
专业：计算机科学与技术
一．实验题目排序问题求解
二．实验目的
1）以排序（分类）问题为例，掌握分治法的基本设计策略。
2）熟练掌握一般插入排序算法的实现；
3）熟练掌握快速排序算法的实现；
4) 理解常见的算法经验分析方法；
三．实验环境
计算机、C语言程序设计环境
四．实验内容与步骤
1.生成实验数据:
代码：
int main()
{
freopen("/Users/shana/Desktop/实验课/算法实验课/1/Data.txt","w",stdout);
srand(static_cast<unsigned>(time(0)));
cout<<2000<<endl;
for(int i=0;i<2000;i++)
{
cout<<rand()%10000+1<<endl;
}
return0;
}
2.实现直接插入排序算法.
思路：每个数以此往前移动，直到遇见一个数比他小，就换下一个数继续移动代码：
void InsertSort(int a[],int n)
{
for(int j=i-1;j>=0;j--)
{
if(a[j]>a[j+1])
{
swap(a[j],a[j+1]);
}
}
}
3.实现快速排序算法.
思路：
使用了二分的思想，将每段数组以与该数组的第一个数比较大小的关系分类并改变它们的位置，实现这段数组总所有比第一个数大的数都在第一个数的后面，比第一个小的数都在第一个数前面，再将本次划分的两段数组再进行本次操作，直到每段数组只有一个数
代码：
void sway(int n,int m)
{
int temp=a[n];
a[n]=a[m];
a[m]=temp;
}
int partition(int p,int q)
{
int n=q,s=1;
while(p!=q)
{
if( s&&a[n]<a[p])
{
s=!s;
sway(n,p);
n=++p;
}
elseif( s&&a[n]>=a[p])
{
n=--q;
}
elseif( !s &&a[n]>a[q])
{
sway(n,q);
n=--q;
}
elseif( !s &&a[n]<=a[q])
{
n=++p;
}
}
return n;
}
void qsort(int p,int q)
{
int j=partition(p,q);
if(p!=j) qsort(p,j-1);
if(q!=j) qsort(j+1,q);
}
五.实验结果与分析
测试时间：
分析：
插入排序的时间复杂度是O（n^2），而快速排序的时间复杂度是O（nlogn），本次数据大小为2000，理论上快排的时间大约是插入排序的百分之一，但由于IO 输入输出数据等步骤的耗时，实际耗时仅为插入排序的十分之一，但效率也已经比插入排序要高许多
六.心得体会
由于之前已经研究过这两种算法，所以本次试验完成的比较顺利。
算法可以说是程序的灵魂，解决同样问题的算法，会由于步骤和思路的不同导致效率大不相同，学习算法可以不断的优化我们的代码，锻炼我们的思维，改变我们的思考方式，所以我一定要好好学习算法！。