立体几何八大定理

合集下载

立体几何常考法则概括(八大法则)

立体几何常考法则概括(八大法则)立体几何是数学中的一个分支，研究的是三维空间中的图形和形状。

在解决立体几何问题时，我们可以借助一些常考的法则来简化求解过程。

本文将介绍八大立体几何常考法则，以帮助读者更好地理解和应用。

1. 平行与垂直关系平行关系：- 平面平行关系：两个平面如果没有公共点或平面间的交线平行于平面的截线，则这两个平面是平行的。

- 直线平行关系：如果两条直线在同一平面内，且不相交，则这两条直线是平行的。

垂直关系：- 平面垂直关系：两个平面的法线向量垂直，则这两个平面是垂直的。

- 直线垂直关系：两条直线的斜率之积为-1，则这两条直线是垂直的。

2. 距离和长度关系距离公式：- 两点距离：两点之间的距离可以通过勾股定理求解：$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$长度关系：- 线段等长关系：如果两条线段的长度相等，则这两条线段是等长的。

3. 角度关系直角关系：- 直角：两条相交的直线产生的两个相邻补角之和为90度。

平面角关系：- 互余角：两个角互补或补角相等。

4. 空间图形性质正方体：- 八个顶点、六个面、十二条边。

- 相对面平行、对角面垂直。

- 对边平行且等长、相邻面的边垂直。

正八面体：- 六个顶点、八个面、十二条边。

- 任意两个顶点之间的连线等长。

圆柱体：- 两个圆底面、一个侧面。

- 侧面是矩形、底面圆心连线垂直于侧面。

圆锥体：- 一个圆底面、一个侧面。

- 侧面是扇形、底面圆心连线垂直于侧面。

球体：- 一个面，无棱无角。

- 任意两点之间的连线长度等于球心间距。

以上是八大立体几何常考法则的概括。

通过了解和熟练运用这些法则，我们可以更轻松地解决立体几何相关的问题。

希望本文对读者有所帮助。

高中立体几何八大定理

高中立体几何八大定理1. 应用背景立体几何是数学中的一个重要分支，研究的是空间中的点、线、面以及它们之间的关系和性质。

高中阶段，学生在立体几何方面需要掌握一些基本定理和方法，以应对各种问题。

其中，高中立体几何的八大定理是关键内容之一。

这八大定理包括：等腰三角形的基本性质、等腰梯形的性质、平行线分线段成比例、相似三角形对应边成比例、直角三角形勾股定理、勾股定理的逆定理、正方体对角线长度与边长关系以及柱台体积比例定理。

掌握这些定理可以帮助我们解决与立体几何相关的问题，并提升解题能力。

2. 八大定理详解2.1 等腰三角形的基本性质等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。

其基本性质包括：•等腰三角形两底角相等：即等腰三角形两个底边所对应的两个内∠相等。

•等腰三角形的顶角平分底角：即等腰三角形的顶角等于底边所对应的内∠的一半。

2.2 等腰梯形的性质等腰梯形是指具有两个底边平行且等长，并且两个非底边也相等的四边形。

其性质包括：•等腰梯形两对角线相等：即等腰梯形的两条对角线长度相等。

•等腰梯形的底角和顶角互补：即等腰梯形的一个底角和一个顶角之和为180°。

2.3 平行线分线段成比例平行线分线段成比例是指一条直线与另外两条平行线相交，将这两条平行线所夹区域上的一条线段与另一条线段所构成的比值，与这两条平行线上任意一点到交点处所构成的两个部分比值相等。

2.4 相似三角形对应边成比例相似三角形是指具有对应∠相等且对应边成比例关系的三角形。

其性质包括：•相似三角形对应边成比例：即相似三角形的对应边之间的长度比值相等。

2.5 直角三角形勾股定理直角三角形勾股定理是指在直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边平方和。

即对于直角三角形ABC，满足AB² + BC² = AC²。

2.6 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理是指如果一个三边长满足a² + b² = c²，那么这个三边长构成一个直角三角形。

高中立体几何八大定理

am an
a mnA m ,n
作用：线线垂直线面垂直
那么这条直线垂直于这个平面
a
A n
m
六、直线与平面垂直的性质定理：
文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行
图形语言：符号语言：
a a // b
b
a b
作用：线面垂直线线平行七、平面与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。图形语言：
线就和交线平行。图形语言：
l // 符号语言： l
l // m m
l m
作用：线面平行线线平行三、平面与平面平行的判定定理文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．图形语言：符号语言：
a
b
abA
//
a∥
b∥
作用：线线平行
面面平行
四、平面与平面平行的性质定理 : 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交图形语言 :
//
符号语言 :
a a // b
b
作用 : 面面平行线线平行
, 那么所得的两条交线平行
1
更多资料请加三好网小好师弟微信：sanhao1001
更多资料请加三好网小好师弟微信：sanhao1001
五、直线与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，图形语言：符号语言：
a
符号表示：
a
a
注：线面垂直面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一
个平面图形语言：
A

常考定理总结(八大定理)

lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行．符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键．．点：在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。

立体几何八个定理

立体几何八个定理
三个角的求法
线线垂直与平行
线面平行的判定定理
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该线与此平面平行。（内外平行）
线线平行→线面平行
异面直线所成的角
先找出异面直线所成的角（利用平行）
再放入某个三角形中计算。
证明线线平行常用的方法
平行公理
三角形中位线
平行四边形对边平行
平行线分线段成比例
四边形对角线情况
平行四边形（平分）
矩形（平分
、相等）
棱形（平分、相互垂直）
正方形（平分直于交线的直线与另一个平面垂直。
面面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。证明两个面垂直就要证明一个面内的一条直线垂直与另一个平面。
线面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
二面角
在二面角α-L-β的棱L上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱L的射线OA和OB；则则射线ＯＡ和ＯＢ构成的∠ＡＯＢ叫做二面角的平面角。
面面平行的判定定理
一个面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两平面平行（两条、相交、平行）
线线平行→线面平行→面面平行
线面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
面面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。（两个平行平面相交，交线平行）
直线与平面所成的角
确定直线与平面的交点。
过直线上的任意一点（端点）作平面的垂线，确定垂足和斜线段在平面的射影斜线和射影所成的角就是斜线和射影平面所成的角。
求解由垂线和斜线段、射影组成的直角三角形。
证明线线垂直常用的方法

高中立体几何八大定理

线面位置关系的八大定理之南宫帮珍创作一、直线与平面平行的判定定理：文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行图形语言：符号语言：作用：线线平行⇒线面平行二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

图形语言：符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m 作用：线面平行⇒线线平行三、平面与平面平行的判定定理文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．图形语言：符号语言：作用：线线平行⇒ 面面平行四、平面与平面平行的性质定理: 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平αbalmβα面相交,那么所得的两条交线平行图形语言:符号语言:////a a bbαβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭作用: 面面平行⇒线线平行五、直线与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面图形语言：符号语言：作用：线线垂直⇒线面垂直六、直线与平面垂直的性质定理：文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行图形语言：符号语言：作用：线面垂直⇒线线平行七、平面与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

图形语言：符号暗示：aaααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭aβααbanmAαa注：线面垂直⇒面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面图形语言：符号语言：lAB ABAB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭作用：面面垂直⇒线面垂直BAlβα。

高中立体几何八大定理

lmβααbanmA αa αbaaβα线面位置关系的八大定理一、直线与平面平行的判定定理：文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行图形语言：符号语言：作用：线线平行⇒线面平行二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

图形语言：符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m作用：线面平行⇒线线平行三、平面与平面平行的判定定理文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．图形语言：符号语言：作用：线线平行⇒ 面面平行四、平面与平面平行的性质定理:文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行图形语言:符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭作用: 面面平行⇒线线平行五、直线与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面图形语言：符号语言：作用：线线垂直⇒线面垂直六、直线与平面垂直的性质定理：文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行图形语言：符号语言：作用：线面垂直⇒线线平行七、平面与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

图形语言：符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭注：线面垂直⇒面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面图形语言：符号语言：lAB ABAB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭作用：面面垂直⇒线面垂直。

立体几何常考定理总结

三、面面平行的判定定理：线面平行面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相．交．直线都平．行．于另一个平．面．，那么这两个平面平行．符号语言： aI b A a ∥ b ∥//关．键．点．：．在．要．证．明．面．面．平．行．的．其．中．一．个．面．内．找．两．条．相四、面面平行的性质定理 : 面面平行线线平行、面面平行线面平行文字语言：如果两个平行平面同时和第三个．平面相．交．,那么所得的两条交．线．平行文字语言：如果两个平面平行，那么其中符号语言 :一个平面内的任意一条直线平行于另一个 a//b符号语言 : / / ,aa//关键点：找第三个平面与已知平面都相关．键．：．只．要．是．其．中．一．个．平．面//关．键．点．：．需．要．借．助．一．个．经．过．已．知．直．线．的．平．面．，．接．着．找．交．线．。

平面 .交．，．则．交．线．平．行．立体几何的八大定理、线面平行的判定定理：线线平行线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行符号语言： b a// a//b 关．键．点．：．在．平．面．内．找．一．条．与．平．面．外．的．直．线．平．行．的．线． a 二、线面平行的性质定理：线面平行线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经．过．这条直线的平面和这个平面相．交．，那么这条直线就和交．线．平行. l // 符号语言： l l //m五、线面垂直的判定定理：线线垂直线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相．交．直线垂．直．，那么这条直线垂直于这个平面符号语言：m nA,n关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直六、线面垂直的性质定理：线面垂直线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内任意一条直线.的lla符号语言：a关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直面面垂直文字语言：如果一个平面经．过．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）a符号表示：a关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂．直．于它们的交．线．的直线垂直于另个平面.符号语言：I l ABABAB lB l 关．键．点．：．先．找．交．线．，．再．在．其．中．一．个．面．内．找．与．交．线．垂．直．的．线．。

高中立体几何八大定理

高中立体几何八大定理 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】lmβααb a线面位置关系的八大定理一、直线与平面平行的判定定理：文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行图形语言：符号语言：作用：线线平行⇒线面平行二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

图形语言：符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m作用：线面平行⇒线线平行三、平面与平面平行的判定定理文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．图形语言：符号语言：作用：线线平行⇒ 面面平行四、平面与平面平行的性质定理:nmAαaαbaaβα面相交,那么所文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平得的两条交线平行图形语言:符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭作用: 面面平行⇒线线平行五、直线与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面图形语言：符号语言：作用：线线垂直⇒线面垂直六、直线与平面垂直的性质定理：文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行图形语言：符号语言：作用：线面垂直⇒线线平行七、平面与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

图形语言：符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭注：线面垂直⇒面面垂直BA l βα八、平面与平面垂直的性质定理：文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面图形语言：符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭作用：面面垂直⇒线面垂直。

立体几何八大定理总结

立体几何八大定理总结《立体几何八大定理总结——那些让我又爱又恨的家伙们》嘿，同学们！今天咱就来唠唠立体几何的八大定理。

别小看它们，这可真是让咱又爱又恨呐！先说线面平行定理吧，它就像个调皮的小精灵，总在那儿晃悠，告诉你一条线和平一个面没交点，这线就和那面平行啦。

有时候我就想，这线咋就这么“安分守己”呢，没交点就平行，咋就这么直接呢。

然后是面面平行定理，这俩面平行就像好朋友，有着相同的“性格”，一组相交线分别平行，嘿，它们就平行了。

感觉就像找朋友似的，条件对上号了，就成了。

线面垂直定理可厉害咯，一条线垂直一个面里的两条相交线，它就和这面垂直啦。

就像个超级英雄，只要打倒两条“小怪兽”线，就能征服整个面。

面面垂直定理呢，像两个打架的武林高手，一个面经过另一个面的垂线，它们就扭打在一起啦，形成了垂直。

还记得三垂线定理不？就像是个魔术，斜线在平面上的投影和平面内的一条直线垂直，那斜线和这直线也垂直。

这简直太神奇了吧，有种变戏法的感觉。

体积那些定理也让人印象深刻啊，特别是三棱锥的体积，计算起来就像解谜题一样，找好底和高，就能算出那小块立体空间的大小。

有时候算错了，哎哟，那感觉就像好不容易搭的积木倒了一样。

这些定理啊，有时候就像迷宫里的线索，得好好琢磨，一旦弄明白了，那简直豁然开朗，就像找到了迷宫的出口，爽歪歪！学这些定理的时候，那真是绞尽脑汁，做题做到头大。

但等你真正掌握了，那成就感爆棚啊！感觉自己就是个立体几何小专家。

总之，立体几何八大定理啊，就是我们学习路上的小伙伴，有时候调皮捣蛋让你头疼，但最终会让你变得更强大。

和它们好好相处吧，相信不久的将来，我们都能在立体几何的世界里游刃有余啦！哈哈！现在，同学们，继续加油，和这些定理大战三百回合吧！。

高中立体几何八大定理

lmβααba线面位置关系的八大定理之袁州冬雪创作一、直线与平面平行的断定定理：文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行图形语言：符号语言：作用：线线平行⇒线面平行二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，颠末这条直线的平面和这个平面相交，那末这条直线就和交线平行.图形语言：符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m作用：线面平行⇒线线平行三、平面与平面平行的断定定理文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另外一个平面，那末这两个平面平行．图形语言：符号语言：作用：线线平行⇒ 面面平行四、平面与平面平行的性质定理:nmAαaαbaaβα文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那末所得的两条交线平行图形语言:符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭作用: 面面平行⇒线线平行五、直线与平面垂直的断定定理：文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那末这条直线垂直于这个平面图形语言：符号语言：作用：线线垂直⇒线面垂直六、直线与平面垂直的性质定理：文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行图形语言：符号语言：作用：线面垂直⇒线线平行七、平面与平面垂直的断定定理：文字语言：如果一个平面颠末另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. 图形语言：B A lβα符号暗示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭注：线面垂直⇒面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：文字语言：如果两个平面互相垂直，那末在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另外一个平面图形语言：符号语言：l AB AB AB l αβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭作用：面面垂直⇒线面垂直。

立体几何八大定理 - 填空

立体几何中的八大定理1.直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)//lα⎫⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎭性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)//l b⎫⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎭2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”),//,αβ⎫⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎭性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面，那么它们的平行//a b⎫⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎭3.直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直,,lα⎫⎪⎪⇒⊥⎬⎪⎪⎭性质定理垂直于同一个平面的两条直线//a b⎫⎪⇒⎬⎪⎭4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的，则这两个平面互相垂直αβ⎫⎪⇒⊥⎬⎪⎭性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于的直线垂直于另一个平面lα⎫⎪⎪⇒⊥⎬⎪⎪⎭。

数学立体几何八大定理

数学立体几何八大定理
1. 柿子定理：一个作为平面多边形底面的凸多面体的侧面积等
于这个凸多面体表面积的一半加上这个多面体面数目乘以它的底面积。

2. 欧拉定理：一个简单凸多面体的面数、顶点数和边数满足公式：面
数+顶点数=边数+2。

3. 狄利克雷定理：如果一个立体角的每个边界面都可以划分成互不相
交有限个平凡的平面角，则这个立体角为平凡的。

一个立体角被称为
平凡的，当且仅当它可以被划分成三角形。

4. 菲赫斯定理：一个多面体的每条棱所在的平面相交于一点（称为多
面体的菲赫斯点）。

5. 球冠切割定理：一个球的表面可以被三个平面分割成球冠。

6. 萨公定理：任何一个超过120度的立体角可以被切割成平凡的立体角。

7. 凸多面体的交角定理：凸多面体中任意两个面交角的余角的总和等
于360度。

8. 柯西・切比雪夫定理：如果两个凸多面体的交集不为空，则它们的
交界面至少有一点。

立体几何证明8条定理

直线与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理不在平面内的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为线线平行⇒线面平行)⎭⎬⎫l⊄αa⊂αl∥a⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为线面平行⇒线线平行)⎭⎬⎫a∥αa⊂βα∩β＝b⇒a∥b平面与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为线面平行⇒面面平行)⎭⎪⎬⎪⎫a⊂αb⊂αa∩b＝Pa∥βb∥β⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎬⎫α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎬⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b平面与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面⎭⎬⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α。