立体几何公理、定理一览表(新)
立体几何常考定理总结(八大定理)
lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点．．．：．在．平面内．．．找一条与．．．．平面外．．．的．直线平行的线．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要．．．．．．借助一个．．．．经过已知直线．．．．．．的．平面．．，接着找交线。
．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：．．．．在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点．．．：找．．第三个平面．．．．．与已知平面都相．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：．．．．在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。
高中数学—立体几何知识点总结(精华版)
立体几何知识点一.根本概念和原理：1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)〔规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]〕斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。
a和一个平面内的任意一条直线都垂直，就说直线a和平面互相垂直.直线a叫平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直，那么这条直线垂直于这个平面。
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
行，那么这条直线和这个平面平行。
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
面，那么这两个平面平行。
行。
8.〔1〕二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
二面角的取值范围为[0°，180°]〔2〕二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
高中立体几何常用定理
立体几何中的公理、定理和常用结论一、定理1．公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α,则l⊂α．2．公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．P∈α，P∈α⇒α∩β＝l，且P∈l．3．公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面．推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．4．异面直线的判定定理:连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．（若a⊂α，A 错误!α，B∈α，B错误!a,则直线AB和直线a是异面直线．) 5．公理4（空间平行线的传递性）:平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：如果一个角的两边和另一角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．7．定理：如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线,那么它也垂直于另一条直线．若b∥c,a⊥b，则a⊥c．8．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．若a错误!α，b⊂α，a∥b,则a∥α．9．直线与平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行．若a∥α，a⊂β，α⋂β＝b，则a∥b．10．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，这条直线和这个平面垂直．若m⊂α，n⊂α，m⋂n＝O，l⊥m，l⊥n，则l⊥α．11．：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也和这个平面垂直．若a∥b，a⊥α，则b⊥α．12．直线与平面垂直的性质定理:若两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．若a⊥α，b⊥α，则a∥b．13．平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行．若a⊂α，b⊂α，a⋂b＝A，a∥β，b∥β，则α∥β．14．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b．15．定理：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．若α∥β，a⊥α,则a⊥β．16．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．若l⊥α，l⊂β，则α⊥β．17．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．若α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，则a⊥β．18．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．若α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β，则a⊂α．19．长方体的体积公式：V长方体＝abc，其中a，b，c分别为长方体的长、宽、高．20．祖暅原理：两个等高（夹在两个平行平面之间）的几何体，如果在任何等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．二、常识1．过空间一点，与已知平面垂直的直线有且只有一条．2．过空间一点，与已知直线垂直的平面有且只有一个．3．经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．三、常用结论（可用来解决选择、填空题）1．空间四点A、B、C、D，若直线AB与CD异面，则AC 与BD，AD与BC也一定异面．2．如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内．3．如果过平面内一点的直线垂直于与此平面垂直的一条直线,那么这条直线在此平面内．4．夹在两个平行平面间的平行线段相等．5．经过两条异面直线中的一条，有且只有一个平面与另一条直线平行．6．若直线a同时平行于两个相交平面，则a一定也平行于这两个相交平面的交线．7．如果一条直线垂直于一个三角形的两边，那么它也垂直于第三边．8．如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在直线上．9．如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行．10．平行于同一平面的两个平面平行．11．空间四面体A－BCD中，若有两对对棱互相垂直，则第三对对棱也互相垂直，且顶点A在平面BCD内的射影是△BCD 的垂心(类似地，顶点B在平面ACD内的射影是ΔACD的垂心，…）．12．空间四面体P－ABC中,若P A、PB、PC两两垂直，则①点P在平面ABC内的射影是ΔABC的垂心；②△ABC的垂心O也是点P在平面ABC内的射影（PO⊥平面ABC）．13．空间四面体P－ABC中，①若P A＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心．②若三个侧面上的斜高PH1＝PH2＝PH3，则点P在平面ABC 内的射影是△ABC的内心．14．如果两个平面同时垂直于第三个平面，那么这两个平面的交线垂直于第三个平面．若α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β，则a⊂α．。
立体几何8个定理
立体几何定理1、直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭2、直线与平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行。
l l l m m αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⋂=⎭如图，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：AP ∥GH .3、直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面. a m a n m n A a m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⎪⋂=⇒⊥⎬⎪⊂⎪⊂⎪⎭4、直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。
a ab b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭证明过程：书本P375、两个平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.a b a b A a b ββαβαα⎫⎪⎪⎪⋂=⇒⎬⎪⊂⎪⊂⎪⎭ 6、两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行。
a ab b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭7、平面与平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.l l ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭8、平面与平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. l AB AB AB l αβαβαβ⊥⎫⎪⋂=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥面ABC,平面PAB ⊥平面PBC求证：BC ⊥AB公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。
立体几何常考定理总结(八大定理)
lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言:如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行,则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点．．．：．在．平面内．．．找一条与．．．．平面外．．．的．直线平行的线．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．,那么这条直线就和交线．．平行。
符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点．．．:．需要．．借助一个．．．．经过已知直线．．．．．．的．平面．．,．接着找交线。
．．．．．． 三、面面平行的判定定理:线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言://a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键．．点：．．在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理： 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．，那么所得的两条交线．．平行。
符号语言：////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点．．．：找．．第三个平面．．．．．与已知平面都相．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面。
符号语言：//,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言:如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面。
(完整word)立体几何公理、定理推论汇总,推荐文档
立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈I I 且作用：① 用来证明两个平面是相交关系；② 用来证明多点共线，多线共点。
公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使，推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭图形语言：作用：用来证明线线平行。
二、平行关系 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
（1） 符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭ 图形语言：线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（2）符号语言：////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭ 图形语言：线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（3）符号语言：////a b a a b βαβα⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭I图形语言：面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ⊂⊂=⎫⎪⇒⎬⎪⎭I 图形语言： 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
立体几何公式定理大全
立体几何公式定理大全、公理定理（一）平面基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
（二）空间中两条直线的位置关系空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角。
范围为0 , 90两异面直线间距离: 公垂线段（有且只有一条） 2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面三）平行关系1．线面平行定义：直线和平面没有公共点判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
2．面面平行定义：空间两平面没有公共点判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
性质定理引理：两个平面互相平行则其中一个平面内的直线平行于另一个平面。
性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。
（四）垂直关系1线面垂直定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
立体几何公理、定理推论汇总
立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
符号语言：作用：①用来验证直线在平面内；②用来说明平面是无限延展的。
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：作用：①用来证明两个平面是相交关系；②用来证明多点共线，多线共点。
公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号语言：推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
符号语言：推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号语言：公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：图形语言：作用：用来证明线线平行。
二、平行关系公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
（1）符号语言：图形语言：线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（2）符号语言：图形语言：线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（3）符号语言：图形语言：面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）符号语言：图形语言：面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
（5）符号语言：图形语言：面面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（6）符号语言：图形语言：面面平行的性质1 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。
（7）符号语言：图形语言：面面平行的性质如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。
高中数学立体几何公式大全
高中数学立体几何公式大全高中数学立体几何公式整理如下：1. 正方体：a-边长，S=6a²，V=a³2. 长方体：a-长，b-宽，c-高，S=2(ab+ac+bc)，V=abc3. 圆柱：r-底半径，h-高，C=2πr，S底=πr²，S侧=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底h=πr²h4. 空心圆柱：R-外圆半径，r-内圆半径，h-高，V=πh(R²-r²)5. 直圆锥：r-底半径，h-高，V=πr²h/36. 圆台：r-上底半径，R-下底半径，h-高，V=πh(R²+Rr+r²)/37. 棱柱：S-底面积，h-高，V=Sh8. 棱锥：S-底面积，h-高，V=Sh/39. 棱台：S1和S2-上、下底面积，h-高，V=h[S1+S2+(S1S1)1/2]/310. 拟柱体：S1-上底面积，S2-下底面积，S0-中截面积，h-高，V=h(S1+S2+4S0)/611. 球：r-半径，d-直径，V=4/3πr³=πd²/612. 球缺：h-球缺高，r-球半径，a-球缺底半径，V=πh(3a²+h²)/6=πh²(3r-h)/3a²=h(2r-h)13. 球台：r1和r2-球台上、下底半径，h-高，V=πh[3(r1²+r2²)+h²]/614. 圆环体：R-环体半径，D-环体直径，r-环体截面半径，d-环体截面直径，V=2π²Rr²=π²Dd²/415. 桶状体：D-桶腹直径，d-桶底直径，h-桶高，V=πh(2D²+d²)/12以上公式涵盖了几何体各个方面的内容。
(完整版)高中立体几何八大定理
线面地址关系的八大定理一、直线与平面平行的判判定理：文字语言：若是平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与平面平行a图形语言：符号语言：a bb a //a // b作用：线线平行线面平行二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：若是一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面订交，那么这条直线就和交线平行。
图形语言：l //l符号语言： l l // mm m作用：线面平行线线平行三、平面与平面平行的判判定理文字语言：若是一个平面内有两条订交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．图形语言：符号语言：aba Ib A//a∥b∥作用：线线平行面面平行四、平面与平面平行的性质定理:文字语言：若是两个平行平面同时和第三个平面订交, 那么所得的两条交线平行图形语言 ://符号语言 :a a // bb作用 :面面平行线线平行五、直线与平面垂直的判判定理：文字语言：若是一条直线和一个平面内的两条订交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面图形语言：符号语言：aa ma na m n Am, nAn m作用：线线垂直线面垂直六、直线与平面垂直的性质定理：文字语言：假设两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行图形语言：符号语言：aa //b b ab作用：线面垂直线线平行七、平面与平面垂直的判判定理：文字语言：若是一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
图形语言：a a符号表示：a注：线面垂直面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：文字语言：若是两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面图形语言：I l符号语言：ABABAB l Al B作用：面面垂直线面垂直。
立体几何公式定理表
《立体几何》主要公式与定理：
主要公式：（*引申公式)
=
S 直棱柱侧面积
=
S 正棱锥侧 =
=S 正棱台侧 = S =扇形面积 = S =圆柱侧 S =圆锥侧 *S =圆台侧 （找出三者联系）
V =立方体 *=L 立方体对角线长
*=R 立方体外接球 *=R 立方体棱切球 *=R 立方体内切球 （找出三者比例关系）
V =长方体 *=L 长方体对角线长 *=R 长方体外接球
*从长方体对角线的一个端点沿表面到另一个端点的最短距离=
V =柱体 V =锥体 V =台体 （找出三者联系） V =圆柱 V =圆锥 V =圆台 （找出三者联系） S =球 =V 球 （二者有何关系？）
*=h 正四面体 *=S 正四面体 *=V 正四面体 *=R 正四面体内切球 *=R 正四面体外接球 （设正四面体的棱长为a ） 主要定理（立体几何藏宝图）：
17、等角定理 18、平行平面截线段成比例定理
19-24、平面的3个基本性质及3个推论（课本35-37页）。
立体几何中的公理、定理和常用结论汇总
立体几何中的公理、定理和常用结论汇总1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．3．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．平行与垂直的八大定理（1）．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)因为l∥a，a⊂α，l⊄α，所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)因为l∥α，l⊂β，α∩β＝b，所以l∥b（2）．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行因为α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b（3）．直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b（4）．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α5．(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(4)如果两个平面平行，那么一个平面的任意一条直线与另一个平面平行．6．垂直关系中的三个重要结论(1)两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直．(2)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直．(3)若果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面中的任意直线垂直．。
立体几何公式定理大全
立体几何公式定理大全立体几何是研究空间中各种图形的性质和关系的分支学科，其主要研究对象是立体图形的特征、构造和性质。
在立体几何的学习过程中，我们需要掌握一些重要的公式和定理，以便解决与立体图形相关的问题。
下面是一些常用的立体几何公式和定理的详细介绍：1.体积公式：-直角三棱柱的体积公式：体积=底面积×高-正方体的体积公式：体积=边长^3-直角三角柱的体积公式：体积=面积×高-圆柱的体积公式：体积=底面积×高-锥体的体积公式：体积=1/3×底面积×高-球体的体积公式：体积=4/3×π×半径^32.表面积公式：-正方体的表面积公式：表面积=6×边长^2-正方体的棱长公式：棱长=根号下(表面积/6)-正方体的对角线长度：对角线长度=边长×根号下(3)-直角三角柱的表面积公式：表面积=(底面积+两倍底面积的开方)+2×底面积-圆柱的表面积公式：表面积=2×π×半径×高+2×π×半径^2-锥体的表面积公式：表面积=π×半径×斜高+π×半径^2-球体的表面积公式：表面积=4×π×半径^23.空间几何定理：-平行线截立体的定理：如果两组平行线截取同一直线的长度成比例，那么这两组平行线截取的其他直线的长度也成比例。
-空间角平分线的定理：空间中的角可由角平分线平分为两个等角。
-立体的等分线定理：平面将一个立体分为两个等体积的立体时，它将该立体的底面分为两个等面积的底面，并且过底面上的任意一点，以该点为顶点作平行于底面的面将该立体分为两个等体积的立体。
-线与面的关系定理：一条不等于底面的直线与底面所围的锥交于一点，但与底面围成的锥不是等体积的。
-垂直平分面定理：垂直与一条直线的平面把这条直线平分为两段，它把这条直线的平面所围的任一立体分为两个等体积的立体。
立体几何的定理
立体几何的定理
立体几何的定理主要包括以下几个方面：
公理：如果一条直线上的两点落在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理：过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面。
推论：一条直线和直线外的一点确定一个平面。
推论：两条相交直线确定一个平面。
三余弦定理（最小角定理）：设点A为平面Γ外的一点，过点A的斜线AB
在平面Γ上的射影为BO，直线BC为平面Γ上的任意直线，那么∠ABC、∠OBA、∠OBC的余弦关系为：cos∠ABC=cos∠OBC⋅cos∠OBA。
三正弦定理（最大角定理）：设二面角M-AB-N的大小为γ，在平面M上有一条射线AC，AC与棱AB所成角为β，和平面N所成角为α，则sinα=sinβ⋅sin γ。
立体几何公理、定理一览表(新)
2.过外一点有且只有一和已知平行.(P33/5）＊
▲等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。(P10）
推论如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角）相等。（P11）
▲最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.(P25）
面面平行
1。如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（P30）
2。垂直于同一条直线的两个平面平行。（P30/eg。1)
3.平行于同一平面的两个平面平行。
面面垂直
1。如果一个平面经过(或平行）另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。(P37）（或(P38/8）*）
2。如果三条共点的直线两两互相垂直，则它们中每两条确定的三个平面也两两互相垂直。(P39/10）*
推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面。
4.平行于同一条直线的两条直线互相平行。(P10）
▲射影定理：1.从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，
（1)垂线段最短；（2）斜线段长相等射影长相等.（P24)
2。如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。（P26/eg。3)和（P29/11)*
三点（线)共线（点）
公理2（即三点(或两线的交点）在两面的交线上）
异面
1。反证法
2.过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。(P14/eg。3)
线线垂直
1.一条直线垂直于两条平行直线中的一条，必垂直于另一条。
立体几何公理、定理推论汇总
立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈且作用：① 用来证明两个平面是相交关系；② 用来证明多点共线,多线共点。
公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.符号语言:,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使，推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面.符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用:用来证明多点共面，多线共面。
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理)。
符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭图形语言：作用：用来证明线线平行。
二、平行关系 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
(1) 符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭ 图形语言：线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（2)符号语言:////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭ 图形语言：线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（3）符号语言：////a b a a b βαβα⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭图形语言：面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ⊂⊂=⎫⎪⇒⎬⎪⎭图形语言： 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
立体几何定理大全
立体几何公式大全基本观点公义 1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的全部的点都在这个平面内。
公义 2：假如两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个点的公共直线。
公义 3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
推论 1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论 2：经过两条订交直线，有且只有一个平面。
推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公义 4 ：平行于同一条直线的两条直线相互平行。
等角定理：假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行而且方向同样，那么这两个角相等。
空间两直线的地点关系：空间两条直线只有三种地点关系：平行、订交、异面1、按能否共面可分为两类：（1）共面：平行、订交（2）异面：异面直线的定义：不一样在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不订交。
异面直线判断定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为 ( 0 °， 90° ) esp. 空间向量法两异面直线间距离 : 公垂线段 ( 有且只有一条 ) esp. 空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点——订交直线；（2）没有公共点——平行或异面直线和平面的地点关系：直线和平面只有三种地点关系：在平面内、与平面订交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面订交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp. 空间向量法 ( 找平面的法向量 )规定： a、直线与平面垂直时，所成的角为直角， b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为 0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0 °， 90° ]最小角定理 :斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理:假如平面内的一条直线, 与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直esp. 直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：假如一条直线 a 和一个平面内的随意一条直线都垂直，我们就说直线 a 和平面相互垂直 . 直线 a 叫做平面的垂线，平面叫做直线 a 的垂面。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
立体几何公理、定理一览表
用“平移法”作异面直线所成的角，关键是选择适当的点，一般选在一对异面直线的一条线段的端点或中点；用“射影法”作斜线与平面所成的角，关键是垂足位置的确定；作二面角的平面角有三种方法，一是“定义法”，二是“垂线法”，三是作棱的“垂面法”。
求距离，找垂足或转换（利用平行间距离相等或三棱锥的顶点转换）；
即：遇到求“距离、线面所成角、面面所成角”等，都要设法找到图中存在或隐藏的“线面垂直、面面垂直”关系。
且要一作（找）、二证（说理）、三计算（平面分离）。