立体几何公理、定理推论汇总

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立体几何公理、定理推论汇总

立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。

公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈I I 且作用：① 用来证明两个平面是相交关系；② 用来证明多点共线，多线共点。

公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使，推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。

符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。

符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。

公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭图形语言：作用：用来证明线线平行。

二、平行关系公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

（1）符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭ 图形语言：线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（2）符号语言：////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭图形语言：线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（3）符号语言：////a b a a b βαβα⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭I图形语言：面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ⊂⊂=⎫⎪⇒⎬⎪⎭I 图形语言：面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

立体几何公理

立体几何定义\公理\定理(一)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条经过该点的公共直线。

公理3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面。

推论3：经过两条平行线，有且仅有一个平面。

公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行等角定理：如果一个角两边和另一个角两边分别平行，且方向相同，那么这两个角相等。

(二)线线关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

两异面直线所成的角：范围为( 0°，90°)两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条)2、线线关系: （1）有且仅有一个公共点—相交直线；（2）没有公共点—平行或异面(三)线和面关系：（1）直线在平面内（2）直线和平面相交（3）直线和平面平行①直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

②直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

③直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

④直线与平面所成的角的范围为（0°，90°】（1）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫斜线与平面所成的角（2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角（3）最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角（4）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是0角⑤线面垂直的判定定理：一条直线与一个面内的两条相交直线都垂直，那么该线与此面垂直。

高一数学必修2立体几何概念定理公理整理

（一）平面的三大基本公理和推论：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即这条直线在这个面内）如图：A∈αB∈α公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。

如图：A∈αA∈β公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

如图：A,B,C 为不在同一直线上的三点，有且只有一个平面α，使推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

如图：B,C∈a，A∈a，有且只有一个平面α，使已知：有一条直线a 和直线外一点A求证：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面证明：在直线a 上取任意不重合两点B，C 又∵A∈a∴A，B，C 不在同一直线上即过A，B，C 三点有且只有一平面α（公理3）∵B，C∈a，又B，C∈α，所以a ⊂α(公理1）所以经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面==>AB ⊂α==>α∩β=a 且A∈aA∈αB∈αC∈αA∈αa∈α：直线a∩b＝A经过两条相交直线，有且只有一个平面上分别取不同于点A 的点B 和点C则过这不在同一直线上的三个点有且只有一个平面,B∈b,又A,B∈α；A，C∈a，又A ,C∈α∴a，b∈α（公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线就在这个平面内）α是过相交直线a，b 的平面.假设过直线a，b 还有一个平面βA，B，C∈βA，B，C 有两个平面α和β矛盾∴原假设错误a，b 的平面有且只有一个∴经过两条相交直线，有且只有一个平面b经过两条平行直线，有且只有一个平面根据平行线的定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行在同一平面内（a，b∈α）上取一点A （A ∈a）a，b 有另一平面β和直线b ∴经过两条平行直线，有且只有一个平面立体几何的概念、公理、定理、推论整理(1.2)高一八单郭祺整理1αABβ公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

1.立体几何中基本概念、公理、定理、推论

立体几何中基本概念、公理、定理、推论1. 三个公理和三条推论：（1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内.这是判断直线在平面内的常用方法.（2）公理2：如果两个平面有一个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上.这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一.（3）公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面.推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.公理3和三个推论是确定平面的依据.2. 直观图的画法（斜二侧画法规则）：在画直观图时，要注意：（1）使045x o y '''∠=(或0135)，x o y '''所确定的平面表示水平平面.（2）已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度和平行性不变，平行于y 轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原来的一半.3. 公理4：平行于同一直线的两直线互相平行.(即平行直线的传递性)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等. (此定理说明角平移后大小不变) 若无“方向相同”,则这两个角相等或互补.4. 空间直线的位置关系：（1）相交直线――有且只有一个公共点.（2）平行直线――在同一平面内，没有公共点.（3）异面直线――不在同一平面内，也没有公共点.5. 异面直线⑴异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.⑵异面直线的判定：连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.⑶异面直线所成的角：已知两条异面直线a 、b ,经过空间任一点O 作直线a '、b ',使//a a '、//b b ',把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 、b 所成的角(或夹角).⑷异面直线所成的角的求法：首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为900；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算”.注意，异面直线所成角的范围是π0,2⎛⎤⎥⎝⎦；求异面直线所成角的方法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角. ⑸两条异面直线的公垂线：①定义：和两条异面直线都垂直且相交的直线，叫做异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线有且只有一条.而和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定相交.②证明：异面直线公垂线的证明常转化为证明公垂线与两条异面直线分别垂直.⑹两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度.6. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交.其中，如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.注意：任一条直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行.其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外.平面与平面的位置关系：（1）平行――没有公共点；（2）相交――有一条公共直线.7.线面平行、面面平行⑴直线与平面平行的判定定理: 如果不在一个平面(α)内的一条直线(l )和平面(α)内的一条直线(m )平行，那么这条直线(l )和这个平面(α)平行.,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒ (作用:线线平行⇒线面平行)⑵直线与平面平行的性质定理:如果一条直线(l )和一个平面(α)平行,经过这条直线(l )的平面(β)和这个平面(α)相交(设交线是m ),那么这条直线(l )和交线(m )平行.//,,//l l m l m αβαβ⊂⋂=⇒ (作用: 线面平行⇒线线平行)⑶平面与平面平行的判定定理:如果一个平面(β)内有两条相交直线(,a b )分别平行于另一个平面(α),那么这两个平面(,βα)平行.,,,//,////a b a b P a b ββααβα⊂⊂⋂=⇒ (作用:线面平行⇒面面平行)推论:如果一个平面(β)内有两条相交直线(,a b )分别平行于另一个平面(α)内的两条直线(,a b ''), 那么这两个平面(,βα)平行.,,,,,//,////a b a b P a b a a b b ββααβα''''⊂⊂⋂=⊂⊂⇒(作用: 线线平行⇒面面平行) ⑷平面与平面平行的性质定理:如果两个平行平面(,αβ)同时与第三个平面(γ)相交(设交线分别是,a b ),那么它们的交线(,a b )平行.//,,//a b a b αβαγβγ⋂=⋂=⇒ (作用: 面面平行⇒线线平行)推论:如果两个平面(,αβ)平行,则一个平面(α)内的一条直线(a )平行于另一个平面(β). //,//a a αβαβ⊂⇒ (作用: 面面平行⇒线面平行)8.线线垂直、线面垂直、面面垂直⑴直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线(l )和一个平面(α)内的两条相交直线(,m n )都垂直,那么这条直线(l )垂直于这个平面(α).,,,,l m l n m n m n P l ααα⊥⊥⊂⊂⋂=⇒⊥ (作用: 线线垂直⇒线面垂直)⑵直线与平面垂直的性质定理:如果一条直线(l )和一个平面(α)垂直,那么这条直线(l )和这个平面(α)内的任意一条直线(m )垂直.,l m l m αα⊥⊂⇒⊥ .⑶三垂线定理: 其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角①定理: 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.②逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.(作用: 线线垂直⇒线线垂直)⑷平面与平面垂直的判定定理: 如果一个平面(α)经过另一个平面(β)的一条垂线(l )，那么这两个平面(,αβ)互相垂直.,l l βααβ⊥⊂⇒⊥ (作用: 线面垂直⇒面面垂直)⑸平面与平面垂直的性质定理:如果两个平面(,αβ)垂直，那么在一个平面(α)内垂直于它们交线(m )的直线(l )垂直于另一个平面(β).,,,m l l m l αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⇒⊥ (作用: 面面垂直⇒线面垂直)9. 直线和平面所成的角⑴最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角,是这条斜线和这个平面内任意一条直线所成的角中最小的角.满足关系式:12cos cos cos θθθ=⋅θ是平面的斜线与平面内的一条直线所成的角；1θ是平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角；2θ是斜线在平面内的射影与平面内的直线所成的角.⑵直线和平面所成的角: 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角. 范围：[0,90]10.二面角⑴二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.棱为l ,两个面分别是α、β的二面角记为l αβ--.二面角的范围：[0,]π⑵二面角的平面角:在二面角的棱上取一点,在二面角的面内分别作两条垂直于棱的射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.11.空间距离⑴点到平面的距离:一点到它在一个平面内的正射影的距离.⑵直线到与它平行平面的距离:一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离.⑶两个平行平面的距离:两个平行平面的公垂线段的长度.⑷异面直线的距离12. 多面体有关概念：（1）多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱.（2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线.（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体.13.棱柱⑴棱柱的定义: 有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）.⑵棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……⑶棱柱的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.⑷平行六面体、长方体、正方体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体叫长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．⑸①平行六面体的任何一个面都可以作为底面；②平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；③平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；④长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和．14.棱锥⑴棱锥的定义: 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点()S ，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段()SO ，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）．⑵棱锥的分类：（按底面多边形的边数）分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥…… ⑶棱锥的性质：定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比．中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面⑷正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥． ⑸正棱锥的性质:①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫斜高）也相等。

高中立体几何常用定理

立体几何中的公理、定理和常用结论一、定理1．公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α,则l⊂α．2．公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．P∈α，P∈α⇒α∩β＝l，且P∈l．3．公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面．推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．4．异面直线的判定定理:连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．（若a⊂α，A 错误!α，B∈α，B错误!a,则直线AB和直线a是异面直线．) 5．公理4（空间平行线的传递性）:平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：如果一个角的两边和另一角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．7．定理：如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线,那么它也垂直于另一条直线．若b∥c,a⊥b，则a⊥c．8．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．若a错误!α，b⊂α，a∥b,则a∥α．9．直线与平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行．若a∥α，a⊂β，α⋂β＝b，则a∥b．10．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，这条直线和这个平面垂直．若m⊂α，n⊂α，m⋂n＝O，l⊥m，l⊥n，则l⊥α．11．：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也和这个平面垂直．若a∥b，a⊥α，则b⊥α．12．直线与平面垂直的性质定理:若两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．若a⊥α，b⊥α，则a∥b．13．平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行．若a⊂α，b⊂α，a⋂b＝A，a∥β，b∥β，则α∥β．14．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b．15．定理：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．若α∥β，a⊥α,则a⊥β．16．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．若l⊥α，l⊂β，则α⊥β．17．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．若α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，则a⊥β．18．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．若α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β，则a⊂α．19．长方体的体积公式：V长方体＝abc，其中a，b，c分别为长方体的长、宽、高．20．祖暅原理：两个等高（夹在两个平行平面之间）的几何体，如果在任何等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．二、常识1．过空间一点，与已知平面垂直的直线有且只有一条．2．过空间一点，与已知直线垂直的平面有且只有一个．3．经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．三、常用结论（可用来解决选择、填空题）1．空间四点A、B、C、D，若直线AB与CD异面，则AC 与BD，AD与BC也一定异面．2．如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内．3．如果过平面内一点的直线垂直于与此平面垂直的一条直线,那么这条直线在此平面内．4．夹在两个平行平面间的平行线段相等．5．经过两条异面直线中的一条，有且只有一个平面与另一条直线平行．6．若直线a同时平行于两个相交平面，则a一定也平行于这两个相交平面的交线．7．如果一条直线垂直于一个三角形的两边，那么它也垂直于第三边．8．如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在直线上．9．如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行．10．平行于同一平面的两个平面平行．11．空间四面体A－BCD中，若有两对对棱互相垂直，则第三对对棱也互相垂直，且顶点A在平面BCD内的射影是△BCD 的垂心(类似地，顶点B在平面ACD内的射影是ΔACD的垂心，…）．12．空间四面体P－ABC中,若P A、PB、PC两两垂直，则①点P在平面ABC内的射影是ΔABC的垂心；②△ABC的垂心O也是点P在平面ABC内的射影（PO⊥平面ABC）．13．空间四面体P－ABC中，①若P A＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心．②若三个侧面上的斜高PH1＝PH2＝PH3，则点P在平面ABC 内的射影是△ABC的内心．14．如果两个平面同时垂直于第三个平面，那么这两个平面的交线垂直于第三个平面．若α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β，则a⊂α．。

立体几何公理、定理一览表(新)

▲唯一性定理:1。过一点有且只有一和一垂直。(P20)
2.过外一点有且只有一和已知平行.(P33/5）＊
▲等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。(P10）
推论如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角）相等。（P11）
▲最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.(P25）
面面平行
1。如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（P30）
2。垂直于同一条直线的两个平面平行。（P30/eg。1)
3.平行于同一平面的两个平面平行。
面面垂直
1。如果一个平面经过(或平行）另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。(P37）（或(P38/8）*）
2。如果三条共点的直线两两互相垂直，则它们中每两条确定的三个平面也两两互相垂直。(P39/10）*
推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面。
4.平行于同一条直线的两条直线互相平行。(P10）
▲射影定理：1.从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，
（1)垂线段最短；（2）斜线段长相等射影长相等.（P24)
2。如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。（P26/eg。3)和（P29/11)*
三点（线)共线（点）
公理2（即三点(或两线的交点）在两面的交线上）
异面
1。反证法
2.过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。(P14/eg。3)
线线垂直
1.一条直线垂直于两条平行直线中的一条，必垂直于另一条。

高中立体几何基本概念公理定理（珍藏）

高中立体几何基本概念公理定理（珍藏）基本概念公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

立体几何性质定理集锦

立体几何性质定理集锦
一、空间点、线、面之间的位置关系
公理1：如果一条直线上的两点在这个平面内，那么这条直线在这个平面内。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：过直线及直线外一点，有且只有一个平面。

推论：过两条平行直线有且只有一平面。

推论：过两条相交平面有且只有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过交点的公共直线。

公理4：（直线平行的传递性）平行于同一条直线的两条直线平行。

二、平行与垂直的判定和性质定理
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平
面平行。

2、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此
平面的交线与该直线平行。

3、平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平
面平行。

4、平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交
线平行。

5、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线
与此平面垂直。

6、直线与平面垂直的性质定理：
（1）一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直这个平面内的所有直线。

（2）垂直同一条直线的两个平面平行。

7、平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

8、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个
平面垂直。

立体几何中的所有结论

第九章：直线、平面、简单几何体小结一、重要的概念和定理 1.公理和推论公理1.如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

作用：判断直线在平面内的依据。

公理2.如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，且这些公共点的集合是通过该公共点的一条直线。

作用：判断两个平面相交和共线的依据。

公理3.经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1.经过一条直线和这条直线外一点，有且作用：确定平面的依据。

只有一个平面。

推论2.经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3.经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4.同平行于一条直线的两条直线互相平行。

作用：判断平行的依据。

2.概念⑴直线与直线 ①异面直线：不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

②异面直线所成角：如果a 、b 是异面直线，经过空间任意一点0作a '∥a ，b '∥b ，那么把a '和b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。

如果两条异面直线所成的角是直角，就称这两条异面直线互相垂直。

显然若设异面直线所成角为α，则0<α≤2π。

③异面直线间的距离：和异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离。

⑵直线和平面①直线和平面平行：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么就说这条直线和这个平面平行。

②直线和平面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就说这条直线和这个平面垂直，这条直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。

③射影：自一点P 向平面α引垂线，垂足P ' 叫做点P 在平面α内的正射影（简称射影）。

如果图形F 上的所有点在一平面内射影构成图形F '，则F '叫做图形F 在这个平面内的射影。

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影。

立体几何平行与垂直所有概念、公理、定理汇总

立体几何的概念、公理、定理（一）立体几何三公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．,A a A a公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

A、B、C不在同一直线上有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

A a 有且只有一个平面，使推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

a∩b＝A有且只有一个平面，使推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

a∥b＝A有且只有一个平面，使（二）空间直线公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

a∥bb∥c等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

cbaaA∈a，B∈aA∈，B∈aA∈aababcba//a c////////AB A BAC A C///BAC B A CA∈PP（三）直线和平面直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

定理：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面。

定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

射影定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；（3）垂线段比任何一条斜线段都短。

立体几何公理定理

（一）四个公理，三个推论公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

（二）空间两直线的位置关系：1.空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面（以公共点的个数分类)2.按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面3.异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角范围为( 0°，90°】两条异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条)（三）直线和平面的位置关系：1.直线和平面只有三种位置关系：线在面内、线面相交、线面平行（以公共点的个数分类)①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点③直线与平面平行-——没有公共点2.直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角（最小角定理）。

规定：①直线与平面垂直时，所成的角为直角，②直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角，由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]3.三垂线定理及逆定理:：如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直.直线和平面垂直（常用于证明两条异面直线垂直）4.直线和平面垂直的定义：如果一条直线阿和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

立体几何定理大全

立体几何公式大全基本概念公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3: 过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线,有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1）共面：平行、相交（2）异面:异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线,与平面内不经过该点的直线是异面直线.两异面直线所成的角：范围为 ( 0°，90°） esp。

空间向量法两异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点-—相交直线;（2）没有公共点-—平行或异面直线和平面的位置关系: 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内-—有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为［0°，90°]最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直esp。

立体几何中的公理、定理和常用结论汇总

立体几何中的公理、定理和常用结论汇总1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．3．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．平行与垂直的八大定理（1）．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)因为l∥a，a⊂α，l⊄α，所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)因为l∥α，l⊂β，α∩β＝b，所以l∥b（2）．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行因为α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b（3）．直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b（4）．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α5．(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(4)如果两个平面平行，那么一个平面的任意一条直线与另一个平面平行．6．垂直关系中的三个重要结论(1)两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直．(2)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直．(3)若果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面中的任意直线垂直．。

高中立体几何常用定理精编版

立体几何中的公理、定理和常用结论一、定理1．公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，则l⊂α．2．公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．P∈α，P∈α⇒α∩β＝l，且P∈l．3．公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．4．异面直线的判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．（若a⊂α，A/∈α，B∈α，B/∈a，则直线AB和直线a是异面直线．）5．公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：如果一个角的两边和另一角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．7．定理：如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线．若b∥c，a⊥b，则a⊥c．8．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．若a⊂／α，b⊂α，a∥b，则a∥α．9．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．若a∥α，a⊂β，α⋂β＝b，则a∥b．10．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，这条直线和这个平面垂直．若m⊂α，n⊂α，m⋂n＝O，l⊥m，l⊥n，则l⊥α．11．：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也和这个平面垂直．若a∥b，a⊥α，则b⊥α．12．直线与平面垂直的性质定理：若两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．若a⊥α，b⊥α，则a∥b．13．平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．若a⊂α，b⊂α，a⋂b＝A，a∥β，b∥β，则α∥β．14．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b．15．定理：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．若α∥β，a⊥α，则a⊥β．16．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．若l⊥α，l⊂β，则α⊥β．17．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．若α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，则a⊥β．18．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．若α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β，则a⊂α．19．长方体的体积公式：V长方体＝abc，其中a，b，c分别为长方体的长、宽、高．20．祖暅原理：两个等高（夹在两个平行平面之间）的几何体，如果在任何等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．二、常识1．过空间一点，与已知平面垂直的直线有且只有一条．2．过空间一点，与已知直线垂直的平面有且只有一个．3．经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．三、常用结论（可用来解决选择、填空题）1．空间四点A、B、C、D，若直线AB与CD异面，则AC 与BD，AD与BC也一定异面．2．如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内．3．如果过平面内一点的直线垂直于与此平面垂直的一条直线，那么这条直线在此平面内．4．夹在两个平行平面间的平行线段相等．5．经过两条异面直线中的一条，有且只有一个平面与另一条直线平行．6．若直线a同时平行于两个相交平面，则a一定也平行于这两个相交平面的交线．7．如果一条直线垂直于一个三角形的两边，那么它也垂直于第三边．8．如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在直线上．9．如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行．10．平行于同一平面的两个平面平行．11．空间四面体A－BCD中，若有两对对棱互相垂直，则第三对对棱也互相垂直，且顶点A在平面BCD内的射影是△BCD 的垂心（类似地，顶点B在平面ACD内的射影是ΔACD的垂心，…）．12．空间四面体P－ABC中，若P A、PB、PC两两垂直，则①点P在平面ABC内的射影是ΔABC的垂心；②△ABC的垂心O也是点P在平面ABC内的射影（PO⊥平面ABC）．13．空间四面体P－ABC中，①若P A＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心．②若三个侧面上的斜高PH1＝PH2＝PH3，则点P在平面ABC 内的射影是△ABC的内心．14．如果两个平面同时垂直于第三个平面，那么这两个平面的交线垂直于第三个平面．若α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β，则a⊂α．。