立体几何公理及定理

立体几何公理及定理

一、空间点、线、面之间的关系

1、两条直线的位置关系有：

2、两个平面的位置关系有：

公理1、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1、一组平行直线确定唯一一个平面。

推论2、一条直线及直线外一点确定唯一一个平面。

公理3、如果有两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理4（平行公理）、平行于同一直线的两直线平行。

二、平行关系

直线与平面平行的判定定理：

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 直线与平面平行的性质定理：

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。 平面与平面平行的判定定理：

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 平面与平面平行的性质定理：

1、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

2、两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。

3、夹在两个平行平面间的平行线段相等。

4、平行于同一平面的两个平面平行。

三、垂直关系

直线与平面垂直的判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。 直线与平面垂直的性质定理：

1、垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

2、如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线。 平面与平面垂直的判定定理：

如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。 平面与平面垂直的性质定理：

如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

三角公式汇总

一、任意角的三角函数

1. ①与α终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}

Z k k ∈+⨯=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {}

Z k k ∈⨯=,180| ββ

③终边在y 轴上的角的集合：{}

Z k k ∈+⨯=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}

Z k k ∈⨯=,90| ββ

⑤ 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π

弧度与角度互换公式： 1rad ＝π

180°≈57.30° 1°＝180

π

3、弧长公式：r l ⋅=||α

. 扇形面积公式：211

||22

s lr r α=

=⋅扇形 4、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

正切、余切

余弦、正割

正弦、余割

5、在角α的终边上任取．．

一点),(y x P ，记：22y x r +=，

正弦：r y =

αsin 余弦：r x =αcos 正切：x

y

=αtan 二、同角三角函数的基本关系式 商数关系：α

α

αcos sin tan = 平方关系：1cos sin

22

=+αα，221

1tan cos αα

+=

，

212sin cos (sin cos )αααα+=+ 212sin cos (sin cos )αααα-=-

三、诱导公式

⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵

απ

+2、απ

-2

、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看．

成．

锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限） 公式组一 公式组二 公式组三 公式组四

sin(2)sin cos(2)cos tan()tan k x x k x x k x x

πππ+=+=+= sin()sin cos()cos x x x x ππ+=-+=-sin()sin cos()cos x x x x

ππ-=-=-

四、和角公式和差角公式

βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβα

sin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-

sin(2)sin cos(2)cos x x x x

ππ-=--=

βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-

βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-

4

2

675cos 15sin -=

=

, tan152-=tan 752=4

2

615cos 75sin +=

= 五、二倍角公式

αααcos sin 22sin = α

α

α2tan 1tan 22tan -=

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）

αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-

2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-

)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a

22sin b a b +=ϕ，2

2cos b a a +=ϕ，a b

=ϕtan .

七、正弦定理

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===（R 为AB

C ∆外接圆半径） 八、余弦定理

A bc c b a cos 2222⋅-+=

B ac c a b cos 2222⋅-+=

C ab b a c cos 2222⋅-+=

222cos 2b c a A bc +-=⋅ 222cos 2a c b B ac +-=⋅ 222

cos 2a b c C ab

+-=⋅

九、三角形的面积公式 高底⨯⨯=

∆21

ABC S B ca A bc C ab S ABC

sin 21

sin 21sin 21===∆（两边一夹角） R

abc

S ABC 4=∆（R 为ABC ∆外接圆半径） r c b a S ABC

⋅++=∆2

（r 为ABC ∆内切圆半径）