2017高考真题理科数学试题及答案-(全国卷)
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4 4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．85．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．357．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．168．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+29．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C210．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．1011．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p 3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．8【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．35【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；4R：转化法．【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形=×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B．【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+2【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．9．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．10【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题． 11．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【考点】72：不等式比较大小．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n+1﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= 2 ．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ﹣5 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 4cm3 ．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】法一：由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h=，求出S△ABC=3，V==，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．法二：设正三角形的边长为x，则OG=，FG=SG=5﹣，SO=h===，由此能示出三棱锥的体积的最大值．【解答】解法一：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h===，=3，则V===，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，则f（x）≤f（2）=80，∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3．故答案为：4cm3．解法二：如图，设正三角形的边长为x，则OG=，∴FG=SG=5﹣，SO=h===，∴三棱锥的体积V===，令b（x）=5x4﹣，则，令b'（x）=0，则4x3﹣=0，解得x=4，∴（cm3）．故答案为：4cm3．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2）根据两角余弦公式可得cosA=，即可求出A=，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=，∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB ⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（﹣3+3）=（9.334，10.606），进而需剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（16×9.97﹣9.22）=10.02，因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09．【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．【考点】K3：椭圆的标准方程；KI：圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），联立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴===﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，，x1x2=，则=====﹣1，又t≠1，∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）由（1）可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围．（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1。
2017年全国卷1(理科数学)含答案
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅰ卷）本试卷5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则【A 】 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是【B 】A ．14 B ．π8 C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为【B 】 A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为【C 】A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是【D 】 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为【C 】 A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为【B 】A ．10B ．12C ．14D ．168．右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入【D 】A ．A >1 000和n =n +1B ．A >1 000和n =n +2C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是【D 】 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为【A 】 A ．16B ．14C ．12D ．1011．设xyz 为正数，且235x y z ==，则【D 】A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的&最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是【A】A．440B．330C．220D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2017•新课标Ⅲ）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A ∩B中元素的个数为（）A．3B．2C．1D．02．（5分）（2017•新课标Ⅲ）设复数z满足（1+i）z＝2i，则|z|＝（）A．B．C．D．23．（5分）（2017•新课标Ⅲ）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．（5分）（2017•新课标Ⅲ）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80B．﹣40C．40D．805．（5分）（2017•新课标Ⅲ）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆+＝1有公共焦点，则C的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝16．（5分）（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）＝cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称C．f（x+π）的一个零点为x＝D．f（x）在（，π）单调递减7．（5分）（2017•新课标Ⅲ）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A．5B．4C．3D．28．（5分）（2017•新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．9．（5分）（2017•新课标Ⅲ）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24B．﹣3C．3D．810．（5分）（2017•新课标Ⅲ）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a ＝（）A．﹣B．C．D．112．（5分）（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3B．2C．D．2二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)
2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B 中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．02．（5分）设复数z 满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A．B．C．D．23．（5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年1 月至2016 年12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8 月D．各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳4．（5 分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．805．（5 分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，且与椭圆+ =1 有公共焦点，则C 的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 6．（5分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．28．（5 分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．9．（5 分）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6 成等比数列，则{a n}前6 项的和为（）A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．810．（5 分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2 为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0 相切，则C 的离心率为（）A．B．C．D．11．（5 分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣B．C．D．112．（5 分）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ 的最大值为（）A．3 B．2C．D．2二、填空题:本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
2017年高考真题全国1卷理科数学(附答案解析)
（2）若 PA=PD=AB=DC， ∠APD = 90o，求二面角 A−PB−C 的余弦值.
19．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取
16 个零件，并测量其尺寸（单位： cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正
( ) 常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N µ,σ 2 ．
x − y ≤ 0
15．已知双曲线 C
：
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
> 0,b > 0) 的右顶点为
A ，以
A 为圆心， b
为半径作
圆 A ，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线于交 M 、 N 两点，若 ∠MAN = 60o，则 C 的离心
率为__________．
16．如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D，E，F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的 等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB， 使得 D，E，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3) 的最大值为______．
（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在
( µ − 3σ , µ + 3σ ) 之外的零件数，求 P ( X ≥ 1) 及 X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( µ − 3σ , µ + 3σ ) 之外的零件，就认为这
条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：
【数学】2017年高考真题——全国III卷(理)(解析版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ)理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}22(,)1=+=A x y x y ，{}(,)==B x y y x ，则A B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 2．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=( )A ．12B ．22C ．2D ．23.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4. 5()(2)+-x y x y 的展开式中33x y 的系数为( ) A.-80 B.-40 C.40 D.805.已知双曲线C:22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆 221123x y += 有公共焦点，则C 的方程为( ) A.221810x y -= B. 22145x y -= C. 22154x y -= D. 22143x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为−2π B ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．28.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A.π B.3π4 C.π2 D.π49.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为( ) A.-24 B.-3 C.3 D.810.已知椭圆C ：22221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为( )C.3D.1311.已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =( )A.12-B.13C.12D.1 12. 在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上． 若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）A.3C. D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若x ，y 满足约束条件0,20,0,-⎧⎪+-⎨⎪⎩x y x y y ≥≤≥则34=-z x y 的最小值为________．14.设等比数列{}n a 满足121+=-a a ，133-=-a a ，则4=a ________．15.设函数10()20xx xf xx+≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x+->的x的取值范围是_________.16.a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所称角的最小值为45°；④直线AB与a所称角的最小值为60°；其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A cos A=0，a,b=2.（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC,求△ABD的面积.18.（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处学科#网理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABD ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值．20.（12分）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程.21.（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222n m ，求m 的最小值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ+sin θ， M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围.参考答案1.【答案】B 【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故A B表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即AB 元素的个数为22．【答案】C 【解析】由题，()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2z -+====+++-，则22112z + 3．【答案】A 【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误， 4．【答案】C 【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为()()()()2332233355C 2C 240x x y y x y x y ⋅-+⋅-=，则33x y 的系数为40，故选C.5．【答案】B 【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为5y =，则5b a =又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,5a b ==，则双曲线C 的方程为22145x y -=，故选B. 6．【答案】D 【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.7．【答案】D【解析】程序运行过程如下表所示：S Mt初始状态 0 100 1 第1次循环结束 100 10-2 第2次循环结束9013此时9091S =<首次满足条件，程序需在3t =时跳出循环，即2N =为满足条件的最小值，故选D.8． 【答案】B 【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径221312r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭则圆柱体体积23ππ4V r h ==，故选B.9．【答案】A 【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d . 则2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++ 又∵11a =，代入上式可得220d d += 又∵0d ≠，则2d =-∴()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A. 10．【答案】A 【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴222ab d a a b==+又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b = ∵222b ac =-，可得()2223a a c=-，即2223c a =∴63c e a ==，故选A 11．【答案】C【解析】因为f （x ）=x 2﹣2x +a （e x ﹣1+e﹣x +1）=﹣1+（x ﹣1）2+a （e x ﹣1+）=0，所以函数f （x ）有唯一零点等价于方程1﹣（x ﹣1）2=a （e x ﹣1+）有唯一解，等价于函数y =1﹣（x ﹣1）2的图象与y =a （e x ﹣1+）的图象只有一个交点．①当a =0时，f （x ）=x 2﹣2x ≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；②当a ＜0时，由于y =1﹣（x ﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y =a （e x ﹣1+）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，所以函数y =1﹣（x ﹣1）2的图象的最高点为A （1，1），y =a （e x ﹣1+）的图象的最高点为B （1，2a ），由于2a ＜0＜1，此时函数y =1﹣（x ﹣1）2的图象与y =a （e x ﹣1+）的图象有两个交点，矛盾；③当a ＞0时，由于y =1﹣（x ﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y =a （e x ﹣1+）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，所以函数y =1﹣（x ﹣1）2的图象的最高点为A （1，1），y =a （e x ﹣1+）的图象的最低点为B （1，2a ），由题可知点A 与点B 重合时满足条件，即2a =1，即a =，符合条件；综上所述，a =，故选：C ． 12．【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =． ∴22125BD =+=． ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD ．∴CE是Rt BCD△中斜边BD上的高．12||||22||||||BCDBC CDSECBD BD⋅⋅⋅====△即C∵P 在C上．∴P点的轨迹方程为224(2)(1)5-+-=x y．设P点坐标00(,)x y，可以设出P点坐标满足的参数方程如下：21xyθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩而00(,)AP x y=，(0,1)AB =，(2,0)AD =．∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB ADλμλμμλ=+=+=∴112xμθ==+，1yλθ==．两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=++=++≤(其中sinϕcosϕ=)当且仅当π2π2kθϕ=+-，k∈Z时，λμ+取得最大值3．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．【答案】1-【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为34z x y =-，则直线344zy x =-纵截距越大，z 值越小． 由图可知：z 在()1,1A 处取最小值，故min 31411z =⨯-⨯=-．14．【答案】8-【解析】{}n a 为等比数列，设公比为q ．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即1121113a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②， 显然1q ≠，10a ≠，②①得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =， ()3341128a a q ∴==⨯-=-．15．【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】()1,02 ,0+⎧=⎨>⎩x x x f x x ≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭由图象变换可画出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图象如下：由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.16． 【答案】②③【解析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1， 故||1AC =，2AB =，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD 为x 轴正方向，CB 为y 轴正方向， CA 为z 轴正方向建立空间直角坐标系．则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线a 的方向单位向量(0,1,0)=a ，||1=a ．B 点起始坐标为(0,1,0)，直线b 的方向单位向量(1,0,0)=b ，||1=b ． 设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ'， 其中θ为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈．那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--，||2AB '=． 设AB '与a 所成夹角为π[0,]2α∈，则(cos ,sin ,1)(0,1,0)22cos |sin |[0,]22a AB θθαθ--⋅==∈'． 故ππ[,]42α∈，所以③正确，④错误．设AB '与b 所成夹角为π[0,]2β∈，cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)|cos |2'⋅='-⋅='=βθθθAB b b AB b AB .当AB'与b 夹角为60︒时，即π3α=，sin 32πθα===． ∵22cos sin 1θθ+=，∴|cos |θ=∴1cos |cos |22βθ==． ∵π[0,]2β∈．∴π=3β，此时AB '与b 夹角为60︒． ∴②正确，①错误．三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分．17． 解:（1）由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈， ∴ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,4AC BC AB ===，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =由勾股定理AD 又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=， 1πsin 26ABD S AD AB =⋅⋅=△18．解:(1)易知需求量x 可取200,300,500()21612003035P X +===⨯()3623003035P X ===⨯ ()257425003035P X ++===⨯.则分布列为：⑵①当200n ≤时：，此时max 400，当200n =时取到.②当200300n <≤时：()()4122002200255Y n n =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦ 880026800555n n n -+=+=此时max 520Y =，当300n =时取到.③当300500n <≤时，()()()()12220022002300230022555Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 320025n-=此时520Y <.④当500n ≥时，易知Y 一定小于③的情况.综上所述：当300n =时，Y 取到最大值为520.19． 解:(1)取AC 中点为O ，连接BO ，DO ；ABC ∆为等边三角形∴BO AC ⊥ ∴AB BC =AB BC BD BDABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴∆≅∆ABD CBD . ∴AD CD =,即ACD ∆为等腰直角三角形， ADC ∠为直角又O 为底边AC 中点 ∴DO AC ⊥令AB a =，则AB AC BC BD a ====易得：22OD a =，32OB a = ∴222OD OB BD +=由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=即OD OB ⊥OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩平面平面OD ABC ∴⊥平面 又∵OD ADC ⊂平面由面面垂直的判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面 (2)由题意可知--=D ACE B ACE V V 即B ,D 到平面ACE 的距离相等 即E 为BD 中点以O 为原点，OA 为x 轴正方向，OB 为y 轴正方向，OD 为z 轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,,02B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,,44a E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 易得：3,,244a a AE a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设平面AED 的法向量为n 1，平面AEC 的法向量为n 2，则110⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩AE n AD n ，解得()13,1,3=n220⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩AE n OA n ，解得()20,1,3=-n 若二面角D AE C --为θ，易知θ为锐角，则12127cos 7⋅==⋅θn n n n20．解:(1)显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立：222y xx my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-． 1212OA OBx x y y ⋅=+ 12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++24(1)2(2)4m m m =-+++0=∴OA OB ⊥，即O 在圆M 上． (2)若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅= 1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= 1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=21212(1)(22)()80m y y m y y +--++= 化简得2210m m --=解得12m =-或1①当12m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径||r OQ ==则圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Q x y ， 12012y y y +==，0023x y =+=，半径||r OQ ==则圆22:(3)(1)10M x y -+-=21．解:(1) ()1ln f x x a x =--，0x >则()1a x af x x x-'=-=，且(1)0f = 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调增，所以01x <<时，()0f x <，不满足题意； 当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,)a 上单调递减； 当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(,)a +∞上单调递增．①若1a <，()f x 在(,1)a 上单调递增∴当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ②若1a >，()f x 在(1,)a 上单调递减∴当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾③若1a =，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∴()(1)0f x f =≥满足题意 综上所述1a =．(2)当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立∴11ln(1)22k k+<，*k ∈N 一方面：221111111ln(1)ln(1)...ln(1)...112222222n n n ++++++<+++=-<，即2111(1)(1)...(1)e 222n +++<．另一方面：223111111135(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n +++>+++=>当3n ≥时，2111(1)(1)...(1)(2,e)222n +++∈∵*m ∈N ，2111(1)(1)...(1)222n m +++<，∴m 的最小值为3．22．解:(1)将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ……①()21:2l y x k =+ ……② ①⨯②消k 可得：224x y -=即P 的轨迹方程为224x y -=；(2)将参数方程转化为一般方程3:0l x y +-= ……③联立曲线C 和3l 2204x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩解得ρ=即M．23．解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--⎧⎪=--<<⎨⎪⎩x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得：①当1-x ≤时显然不满足题意；②当12x -<<时，211-x ≥，解得1x ≥；③当2x ≥时，()31=f x ≥恒成立.综上，()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥.(2)不等式()2-+f x x x m ≥等价为()2-+f x x x m ≥，令()()2g x f x x x =-+，则()g x m ≥解集非空只需要()max ⎡⎤⎣⎦g x m ≥.而()2223,131,123,2⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩x x x g x x x x x x x ≤≥. ①当1-x ≤时，()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦； ②当12x -<<时，()2max 3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭； ③当2x ≥时，()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦.综上，()max 54g x =⎡⎤⎣⎦，故54m ≤.。
2017高考全国卷1数学试题及答案解析(理科)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）理科数学注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2．回答选择题时，选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、 选择题：本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}{}131x A x x B x =<=<，，则（) A ．{}0=<A B x x B ．AB =RC ．{}1=>A B x xD ．A B =∅2. 如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（)A ．14B ．π8C ．12D ．π43. 设有下面四个命题，则正确的是(）1p :若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ;2p ：若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ；3p ：若复数12z z ，满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．A ．13p p ，B ．14p p ，C ．23p p ，D ．24p p ， 4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） A ．1B ．2C ．4D ．85. 函数()f x 在()-∞+∞，单调递减,且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的x的取值范围是（） A ．[]22-，B ．[]11-，C ．[]04，D ．[]13，6.()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为A ．15B ．20C ．30D ．357. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形,这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16 8. 右面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．1000A >和1n n =+B ．1000A >和2n n =+C ．1000A ≤和1n n =+D ．1000A ≤和2n n =+9. 已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C10. 已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ,2l ，直线1l 与C 交于A 、B两点，直线2l 与C 交于D ,E 两点，AB DE +的最小值为（） A ．16 B ．14C ．12D ．1011. 设x ,y ，z 为正数，且235x y z ==，则（）A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x<<D ．325y x z <<12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件,为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码"的活动,这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，在接下来的三项式62，12,22，依次类推,求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A ．440 B ．330 C ．220 D ．110 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.13. 已知向量a ，b 的夹角为60︒，2a =，1b =，则2a b +=________． 14. 设x ,y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为_______．15. 已知双曲线2222:x y C a b-，(0a >，0b >)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点，若60MAN ∠=︒,则C 的离心率为_______．16. 如图，圆形纸片的圆心为O ,半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ，D 、E 、F 为元O 上的点，DBC △，ECA △，FAB △分别是一BC ,CA ，AB 为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBC △，ECA △，FAB △，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当ABC △的边长变化时,所得三棱锥体积（单位：3cm ）的最大值为_______．三、 解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2017年全国各地高考数学真题试卷(含答案和解析)
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圆心2为半径作圆"圆 " 与双曲线% 的 一 条 渐 近 线 交 于 3 1 两点!若.3"1'	则 % 的离心率为!!!!! !&!如图圆形 纸 片 的 圆 心 为 4半 径 为"4:该 纸 片上的等边三角形 "$% 的中心为4!&0 . 为圆4 上 的 点/&$%/0%"/."$ 分 别是以$%%""$ 为底 边 的 等 腰 三 角 形!沿 虚线剪开后分别以 $%%""$ 为 折 痕 折 起
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2017年高考全国1卷理科数学和答案详解(word版本)(可编辑修改word版)
绝密★启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷 5 页，23 小题，满分 150 分。
考试用时 120 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用 2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A ={x |x <1}，B ={x | 3x < 1 }，则 A ． A B = {x | x < 0} C ． A B = {x | x > 1}B ． A B = R D ． A B = ∅2. 如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ． 14C． 123.设有下面四个命题B ． π8D ． π4p ：若复数 z 满足 1∈ R ，则 z ∈ R ； 1zp 2 ：若复数 z 满足 z 2 ∈ R ，则 z ∈ R ；p 3 ：若复数 z 1 , z 2 满足 z 1 z 2 ∈ R ，则 z 1 = z 2 ；p4：若复数 z ∈R，则 z∈R .其中的真命题为A.p1 , p3B.p1 , p4C.p2 , p3D.p2 , p44.记S n 为等差数列{a n } 的前n 项和．若a4 +a5 = 24 ，S6 = 48 ，则{a n } 的公差为A．1 B．2 C．4 D．85.函数f (x) 在(-∞, +∞) 单调递减，且为奇函数．若f (1) =-1，则满足-1 ≤f (x - 2) ≤ 1的x 的取值范围是A．[-2, 2]B．[-1,1]C．[0, 4]D．[1, 3]6．(1+ 1)(1+x)6展开式中x2的系数为x2A．15 B．20 C．30 D．357.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．168.右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000 的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000 和n=n+1B．A>1 000 和n=n+2C．A ≤1 000 和n=n+1D．A ≤1 000 和n=n+29.已知曲线C ：y=cos x，C ：y=sin (2x+ 2π)，则下面结论正确的是1 23⎨ ⎩A. 把 C 1 π 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得6到曲线 C 2B. 把 C 1 π上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得 12 到曲线 C 2C. 把 C 1 1 π 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得26到曲线 C 2D. 把 C 1 1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2 π个单位长度，12得到曲线 C 210.已知 F 为抛物线 C ：y 2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l 1，l 2，直线 l 1 与 C 交于 A 、B 两点， 直线 l 2 与 C 交于 D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1011.设 xyz 为正数，且2x = 3y = 5z ，则 A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4， 8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，21，再接下来的三项是 20，21，22， 依此类推.求满足如下条件的学科网&最小整数 N ：N >100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2017高考全国3卷理科数学试题以及答案
2017高考全国3卷理科数学试题以及答案2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（试题）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}22(,)1A x y x y=+=，{}(,)B x y y x==，则A B中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1D．02．设复数z满足(1i)2iz+=，则z=（）A．12B．22C．2D．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（）A ．-80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线22221x yC a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为5y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y-= D ．22143x y-=6．设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（） A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减 7．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（） A ．5 B ．4 C ．3D ．1311．已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =（）A ．1-２B ．13C ．12D ．112．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）A ．3B ．22C 5D ．2二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x ，y 满足约束条件0,20,0,-⎧⎪+-⎨⎪⎩x y x y y ≥≤≥则34z x y =-的最小值为________．14．设等比数列{}na 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =________．15．设函数1,0,()2,0,+⎧=⎨>⎩xx x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________．16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角； ②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60︒． 其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分． 17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 30A A =，27a =，2b =． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温[)1015，[)1520， [)2025， [)2530， [)3035， [)3540， 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形．ABD CBD ，AB BD ．（1）证明：平面ACD 平面ABC ； （2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D AE C 的余弦值．DABCE20．（12分）已知抛物线2:2C y x ，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，2），求直线l 与圆M的方程．21．（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm ，求m 的最小值．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为,,x t y kt =2+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为,,x m m y k =-2+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设:(cos sin )l ρθθ3+20，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()||||=+1--2．f x x x（1）求不等式()f x≥1的解集；（2）若不等式()f x x x m2≥-+的解集非空，求m的取值范围．2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（答案解析）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}22=+=，{}A x y x y(,)1==，则A B中元B x y y x(,)素的个数为（）A．3 B．2 C．1D．0【答案】B【解析】A表示圆221+=上所有点的集合，B表示x y直线y x=上所有点的集合，故A B表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B元素的个数为2，故选B.2．设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（）A ．12B ．2C ．2D ．2 【答案】C 【解析】由题，()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2z -+====+++-，则22112z =+=，故选C.3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误，故选A.4．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（）A ．-80B ．-40C ．40D ．80【答案】C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为()()()()2332233355C 2C 240x x y y x y x y⋅-+⋅-=，则33x y 的系数为40，故选C.5．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为5y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y-=D ．22143x y -=【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为5y ，则5b a =① 又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229ab c +==②由①②解得2,5a b ==，则双曲线C 的方程为22145x y -=，故选B.6．设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（） A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减 【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π23π53-π36πxyO7．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】D【解析】程序运行过程如下表所示：SM t初始状态 0 100 1第1次循环结束 10010- 2第2次循环结束 901 3 此时9091S =<首次满足条件，程序需在3t =时跳出循环，即2N =为满足条件的最小值，故选D.8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．πB ．3π4C ．π２D ．π4【答案】B【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径221312r ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则圆柱体体积23ππ4V r h ==，故选B.9．等差数列{}na 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}na 前6项的和为（） A ．24- B ．3- C ．3 D ．8【答案】A【解析】∵{}na 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d . 则2326aa a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++ 又∵11a =，代入上式可得220dd +=又∵0d ≠，则2d =- ∴()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A.10．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段1A 2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（）A 6B 3C 2D ．13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴222ab d aa b==+又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b =∵222ba c=-，可得()2223aa c=-，即2223c a =∴6c e a =A 11．已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =（）A ．1-２B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】由条件，211()2(e e )x x f x xx a --+=-++，得： 221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )4442(e e )2(ee)x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点，∴()f x 的零点只能为1x =， 即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=，解得12a =．12．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）A ．3B ．22C 5D ．2 【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ．以A 为原点，AD 为x轴正半轴，AB为y 轴正半轴建立直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =． ∴22125BD +∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．()A O DxyBPCE12||||222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C 255．∵P 在C 上． ∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设P 点坐标0(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：0022552155x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩而0(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =． ∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=∴01512x μθ==+，02155y λθ==． 两式相加得：222515152552()())552sin()3λμθθθϕθϕ+=+=++=++≤(其中5sin ϕ，25cos ϕ)当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x ，y 满足约束条件0,20,0,-⎧⎪+-⎨⎪⎩x y x y y ≥≤≥则34z x y =-的最小值为________． 【答案】1-【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为34z x y=-，则直线344zy x =-纵截距越大，z 值越小．由图可知：z 在()1,1A 处取最小值，故min 31411z =⨯-⨯=-．A B (1,1)(2,0)x y -=20x y +-=yx14．设等比数列{}na 满足121a a+=-，133a a-=-，则4a =________．【答案】8- 【解析】{}n a 为等比数列，设公比为q ．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即1121113a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②，显然1q ≠，10a ≠，②①得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =，()3341128a a q ∴==⨯-=-．15．设函数1,0,()2,0,+⎧=⎨>⎩xx x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________． 【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】()1,02 ,0+⎧=⎨>⎩xx x f x x ≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭由图象变换可画出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图象如下：12-1211(,)44-1()2y f x =-1()y f =-y由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角； ②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60︒． 其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）【答案】②③【解析】由题意知，a b AC、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1，故||1AC=，2AB=，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．以C为坐标原点，以CD为x轴正方向，CB为y轴正方向，CA为z轴正方向建立空间直角坐标系．则(1,0,0)D，(0,0,1)A，直线a的方向单位向量(0,1,0)a=，a=．||1B点起始坐标为(0,1,0)，直线b的方向单位向量(1,0,0)b=，b=．||1设B点在运动过程中的坐标(cos,sin,0)'，Bθθ其中θ为B C'与CD的夹角，[0,2π)θ∈．那么'AB在运动过程中的向量(cos,sin,1)'=--，ABθθAB'=．||2设AB'与a所成夹角为π[0,]α∈，2则(cos ,sin ,1)(0,1,0)22cos sin |a AB θθαθ--⋅=∈'．故ππ[,]42α∈，所以③正确，④错误．设AB '与b所成夹角为π[0,]2β∈，cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)2cos |AB b b AB b AB βθθθ'⋅='-⋅='.当AB '与a夹角为60︒时，即π3α=，12sin 22232πθα=．∵22cos sin 1θθ+=， ∴2|cos |θ=．∴21cos cos |2βθ==．∵π[0,]2β∈．∴π=3β，此时AB '与b 夹角为60︒．∴②正确，①错误．三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分． 17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 30A A =，27a =，2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．【解析】（1）由sin 30A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，∴ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A=+-⋅.又∵127,2,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =. （2）∵2,27,4AC BC AB ===，由余弦定理22227cos 2a b c C ab +-=∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形， 则cos AC CD C =⋅，得7CD . 由勾股定理223AD CD AC =-=又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=，1πsin 326ABDS AD AB =⋅⋅=△18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温[)1015，[)1520， [)2025， [)2530， [)3035， [)3540， 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【解析】⑴易知需求量x 可取200,300,500 ()21612003035P X +===⨯()3623003035P X ===⨯()257425003035P X ++===⨯.则分布列为：X200 300 500 P 15 25 25⑵①当200n ≤时：()642Y n n =-=，此时max400Y=，当200n =时取到.②当200300n <≤时：()()4122002200255Y n n =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦880026800555n n n -+=+=此时max520Y =，当300n =时取到.③当300500n <≤时，()()()()12220022002300230022555Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦320025n -=此时520Y <.④当500n ≥时，易知Y 一定小于③的情况. 综上所述：当300n =时，Y 取到最大值为520.19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形．ABD CBD ，AB BD ．（1）证明：平面ACD 平面ABC ； （2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D AE C 的余弦值．DBCE【解析】⑴取AC中点为O，连接BO，DO ；ABC∆为等边三角形 ∴BO AC ⊥∴AB BC =AB BC BD BDABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD CBD ∴∆≅∆.∴AD CD =,即ACD ∆为等腰直角三角形，ADC ∠ 为直角又O 为底边AC 中点 ∴DO AC ⊥令AB a =，则AB AC BC BD a ==== 易得：2OD =，3OB =∴222OD OB BD+=由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=即OD OB ⊥OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩平面平面OD ABC ∴⊥平面又∵OD ADC ⊂平面由面面垂直的判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面DBC EODABC EyOz⑵由题意可知V V D ACEB ACE--=即B ,D 到平面ACE 的距离相等即E 为BD 中点以O 为原点，OA 为x 轴正方向，OB 为y 轴正方向，OD 为z 轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系， 则()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,0B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,4a E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭易得：3,24a a AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭设平面AED 的法向量为1n ，平面AEC 的法向量为2n ， 则110AE n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(13,1,3n =2200AE n OA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(20,1,3n =-若二面角D AE C --为θ，易知θ为锐角， 则12127cos n n n n θ⋅==⋅20．（12分）已知抛物线2:2C y x ，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，2），求直线l 与圆M的方程．【解析】⑴显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立：222y x x my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y ym+=，124y y =-．1212OA OBx x y y ⋅=+12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++24(1)2(2)4m m m =-+++0=∴OA OB ⊥，即O 在圆M 上． ⑵若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅=1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=化简得2210m m --=解得12m =-或1①当12m =-时，:240l x y +-=圆心为0(,)Q x y ，120122y y y +==-，0019224xy =-+=，半径2291||42r OQ ⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时，:20l x y --=圆心为0(,)Q x y ，12012y y y +==，0023xy =+=，半径22||31r OQ ==+则圆22:(3)(1)10M x y -+-=21．（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm ，求m 的最小值． 【解析】⑴ ()1ln f x x a x =--，0x >则()1a x af x x x-'=-=，且(1)0f = 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调增，所以01x <<时，()0f x <，不满足题意； 当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,)a 上单调递减； 当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(,)a +∞上单调递增． ①若1a <，()f x 在(,1)a 上单调递增∴当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ②若1a >，()f x 在(1,)a 上单调递减∴当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾③若1a =，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∴()(1)0f x f =≥满足题意 综上所述1a =．⑵ 当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立 ∴11ln(1)22k k+<，*k ∈N一方面：221111111ln(1)ln(1)...ln(1) (11)2222222n n n ++++++<+++=-<，即2111(1)(1)...(1)e 222n+++<． 另一方面：223111111135(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n+++>+++=> 当3n ≥时，2111(1)(1)...(1)(2,e)222n+++∈ ∵*m ∈N ，2111(1)(1)...(1)222nm +++<， ∴m 的最小值为3．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为,,x t y kt =2+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为,,x m m y k =-2+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设:(cos sin )l ρθθ3+20，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．【解析】⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ……① ()21:2l y x k=+ ……②①⨯②消k可得：224x y -= 即P的轨迹方程为224x y -=；⑵将参数方程转化为一般方程 3:20l x y += ……③联立曲线C 和3l 22204x y x y ⎧+⎪⎨-=⎪⎩解得322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩解得5ρ=即M 5．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()||||f x x x =+1--2．（1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空，求m 的取值范围．【解析】⑴()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--⎧⎪=--<<⎨⎪⎩x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得：①当1-x ≤时显然不满足题意； ②当12x -<<时，211-x ≥，解得1x ≥；③当2x ≥时，()31=f x ≥恒成立.综上，()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥.⑵不等式()2-+f x x x m≥等价为()2-+f x x x m≥，令()()2g x f x x x=-+，则()g x m ≥解集非空只需要()max ⎡⎤⎣⎦g x m≥.而()2223,131,123,2⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩x x x g x x x x x x x ≤≥.①当1-x ≤时，()()max13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦；②当12x -<<时，()2max3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭；③当2x ≥时，()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦.综上，()max 54g x =⎡⎤⎣⎦，故54m ≤.。
2017年高考真题全国2卷理科数学(附答案解析)
Ν ．若 Μ 为 FΝ 的中点，则 FΝ =____________．
三、解答题
17．
的内角
的对边分别为 a,b, c ，已知 sin( A + C) = 8sin2 B ． 2
（1）求 cos B ； （2）若 a + c =6 ， ∆ABC 面积为 2，求 b ．
18．（2017 新课标全国 II 理科）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量
说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因
为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲
是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了
故选：D．
【点睛】
本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，
属于中档题． 8．B
复数记作 z ．
2．C 【解析】
{ } ∵ 集合 A = {1，2，4} ，=B x | x2 − 4x +=m 0 ， A ∩ B ={1}
∴ x = 1 是方程 x2 − 4x + m =0 的解，即1− 4 + m =0 ∴m = 3
{ } { } ∴ B = x | x2 − 4x + m = 0 = x | x2 − 4x + 3 = 0 = {1，3}，故选 C
B．3 盏
C．5 盏
D．9 盏
4．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几
何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A． 90π
B． 63π
C． 42π
D． 36π
2x+3y − 3 ≤ 0 5．设 x, y 满足约束条件 2x − 3y + 3 ≥ 0 ，则=z 2x + y 的最小值是( )
2017高考数学全国卷1理(附参考答案及详解)
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理科数学 2017年高三2017年全国乙卷理科数学
理科数学
单选题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。
）
1.已知集合A={x|x<1},B={x|},则（）
A.
B.
C.
D.
2.如图，正方形ABCD的图形来自中国古代的太极图，正方形切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
（）
A.
B.
C.
D.
3.设有下面四个命题
若复数满足，则；
若复数满足，则；
若复数满足，则；
若复数，则.
其中的真命题为（）
A.
B.
C.
D.
4.记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
5.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足
的的取值围是（）
A.
B.
C.
D.
6.展开式中的系数为（）
A. 15
B. 20
C. 30
D. 35
7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
8.右面程序框图是为了求出满足3n-2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）
A. A>1000和n=n+1
B. A>1000和n=n+2
C. A1000和n=n+1
D. A1000和n=n+2
9.已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结果正确的是（）
A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个
单位长度，得到曲线C2
B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个
单位长度，得到曲线C2
C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个
单位长度，得到曲线C2
D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个
单位长度，得到曲线C2
10.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于
A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）
A. 16
B. 14
C. 12
D. 10
11.设xyz为正数，且，则（）
A. 2x<3y<5z
B. 5z<2x<3y
C. 3y<5z<2x
D. 3y<2x<5z
12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，
他们退出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是20，接
下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（）
A. 440
B. 330
C. 220
D. 110
填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。
）
13.已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2， | b |=1，则| a +2 b |= ____ 。
14.设x，y满足约束条件，则的最小值为 ____ 。
15.已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。
若∠MAN=60°，则C的离心率为________。
16.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。
D、
E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。
沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，
得到三棱锥。
当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______。
简答题（综合题）（本大题共7小题，每小题____分，共____分。
）
17.（12分）
△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
（1）求sin B sin C;
（2）若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长
18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA=PD=AB=DC,,求二面角A-PB-C的余弦值.
19.（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2)．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天抽取的16个零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；
（2）一天抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天抽取的16个零件的尺寸：
经计算得，，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1,2, (16)
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ–3σ<Z<μ+3σ)=0.997 4，0.997 416≈0.959 2，．
20.（12分）
已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
21.（12分）
已知函数=ae2x+（a﹣2）e x﹣x.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值围.
22. 选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分。
[选修4-4，坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.
（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.
23. 选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分。
[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值围.
答案
单选题
1. A
2. B
3. B
4. C
5. D
6. C
7. B
8. D
9. D 10. A 11. D 12. A
填空题
13.
14.
-5
15.
16.
简答题
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
解析
单选题
略略略略略略略略略略略略填空题
略略略略
简答题
略略略略略略略。