西工大-有限元试题(附答案)

1．针对下图所示的3个三角形元，写出用完整多项式描述的位移模式表达式。

2．如下图所示，求下列情况的带宽:

a)4结点四边形元；

b)2结点线性杆元。

3．对上题图诸结点制定一种结点编号的方法，使所得带宽更小。图左下角的四边形在两种不同编号方式下，单元的带宽分别是多大？

4．下图所示，若单元是2结点线性杆单元，勾画出组装总刚后总刚空间轮廓线。系统的带宽是多大？按一右一左重新编号（即6变成3等）后，重复以上运算。

5． 设杆件1－2受轴向力作用，截面积为A ，长度为L ，弹性模量为E ，试写出杆端力F 1，F 2与杆端位移21,u u 之间的关系式，并求出杆件的单元刚度矩阵)(][e k

6．设阶梯形杆件由两个等截面杆件○

1与○2所组成，试写出三个结点1、2、3的结点轴向力F 1，F 2，F 3与结点轴向位移321,,u u u 之间的整体刚度矩阵[K]。

7． 在上题的阶梯形杆件中，设结点3为固定端，结点1作用轴向载荷F 1=P ，求各结点的轴向位移和各杆的轴力。

8． 下图所示为平面桁架中的任一单元，y x ,为局部坐标系，x ，y 为总体坐标系，x 轴与x 轴的夹角为 。

（1） 求在局部坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k （2） 求单元的坐标转换矩阵 [T]；

（3） 求在总体坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k

9．如图所示一个直角三角形桁架，已知27/103cm N E ⨯=，两个直角边长度

cm l 100=，各杆截面面积210cm A =，求整体刚度矩阵[K]。

10． 设上题中的桁架的支承情况和载荷情况如下图所示，按有限元素法求出各结点的位移与各杆的内力。

11． 进行结点编号时，如果把所有固定端处的结点编在最后，那么在引入边界条件时是否会更简便些？

12． 针对下图所示的3结点三角形单元，同一网格的两种不同的编号方式，单元的带宽分别是多大？

13． 下图所示一个矩形单元，边长分别为2a 与2b ，坐标原点取在单元中心。位移模式取为

xy

y x v xy y x u 87654321αααααααα+++=+++=

导出内部任一点位移v u ,与四个角点位移之间的关系式。

14 桁架结构如图所示，设各杆EA/L 均相等，单元及结点编号如图所示，试写出各单元的单刚矩阵[k]e 。

15 图所示三杆桁架，节点1、节点3处固定，节点2处受力F x2，F y2，所有杆件材料相同，弹性模量为E，截面积均为A，求各杆内力。

16 对下图(a)中所示桁架结构分别采用图(b)、图(c)两种编节点号方式，求其刚度矩阵半带宽。

一般来讲，刚度矩阵的最大半带宽＝节点自由度数x(单元中节点最大编号差+1)。

按图(b)编号方式，最大半带宽为SB Max＝2×(6－1＋1)＝12

按图(c)编号方式，最大半带宽为SB Max＝2×（2＋1)＝6

17 如图所示为一个由两根杆组成的结构(二杆分别沿x,y方向)。结构参数为：E1＝E2＝2×106kg／cm2，A1=2A2=2cm2，试完成下列有限元分析。

(1)写出各单元的刚度矩阵。

(2)写出总刚度矩阵。

(3)求节点2的位移u2，v2

(4)求各单元的应力。

(5)求支反力。

18 单元的形状函数[N]具有什么特征

答案：其中的Ni在i结点Ni=1；在其他结点Ni=0及∑Ni=1

19 为了在位移模式中反映单元的常量应变和刚体位移项，在杆件单元、平面单元和空间单元中各应保存哪些幂次项？

20 将有限单元法的离散化结构与原结构相比，当采用低次幂函数作为位移模式时，其单元的刚度、整体的刚度是增加了还是减少了？

21 如何构造位移模式：

答案：构造位移模式，应考虑

(1)位栘模式中的参数数目必须与单元的结点位栘未知数数目相同；

(2)位栘模式应满足收敛性的条件，特别是必须有反映单元的刚体位移项和常应变项的低幂次项的函数；

(3)在结点，必须使位栘函数在结点处的值与该点的结点位栘值相等．

22 利用平面固结单元刚度矩阵推导下图所示左瑞固定右瑞铰支的杆单元刚度矩阵．

23 一般的杆件结构有限单元法得到的解是近似解还是准确解，为什么？

24 设悬臂梁的自由端由刚度系数为k的弹簧支撑，在荷载P作用下，求图所示端点2的挠度和转角．

答案：

25 用有限单元法计算图所示平面刚架时

(1) 如何进行结点编号使整体刚度距阵[K]的带宽最小?

(2) 在结点编号确定后，按此顺序进行自由度编号，则A结点水平位移对应的主对角线项在[K]中的行列式位置是多少？

(3) 哪些单元对该项的数值有影响？

(4) 在[K]中该项以左哪些元素不等于零？

26在平面问题中，常常将原整体坐标系(x，y)中的四结点直边四边形或八结点曲边四边形等单元变换为局部坐标系(ξ,η)中的规则正方形，再建立位移模式，进行有限单元法分析，其坐标变换式和位移模式采用同样的形函数和相同的参数，因此这种单元称为等参数单元。

27 在平面三结点三角形单元中的位移、应变和应力具有什么特征?

答案：在平面三结点三角形单元中，位移呈线性变化，在公共边界上两单元位移协调；单元内的应变、应力为常量，但在公共边界上应变、应力均有突变现象．

28 在有限单元法中，当单元的尺寸逐步缩小时，单元中的位移、应变、应力有什么特征？

答案：当单元的尺寸非常小时，单元内的位移、应变、应力均趋近于常量．

29 试分析下列平面单元中的位移在两单元公共边界上的连续性：

(1) 三结点三角形单元；

(2) 四结点矩形单元；

(3) 六结点三角形单元；

(4) 四结点直线四边形等参数单元；

(5) 八结点曲线四边形等参数单元．

答案：在单元之间的公共边界上，上述单元的位移均保持连续．

30在有限单元法中，等参数单元的主要优点是什么?

答案：(1) 在原结构中可以采用不规则单元，易于适应边界面的形状和改变单元的大小；

(2) 将不规则单元变换为规则的母单元后，易于构造位移模式。

31 在有限单元法中，应用等参数单元时：

(1) 坐标变换的精度和位移模式的精度是否一样?

(2) 如何建立局部坐标系(ξ,η)与整体坐标系之间的关系?

(3) 为什么要采用高斯积分公式?

(4) 高斯积分点的数目如何确定?

32 对于下图所示问题，用有限单元法分析时，应采用什么措施以提高分析的精度?

答案：(1) 采用高次位移模式的单元；(2)在孔口、支座处加密网格；(3)由于对称，取—半进行计算。

33 对于下图所示的六结点矩形单元，应取什么样的形状函致来表示位移模式?试写出位移模式，并检验是否满足收敛性条件。