第六章 分支限界法1540

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0/1背包的分支限界法过程
1. 问题描述
物品 1 2 重(w) 4 7 价(v) 40 42 容量w=10 价/重(v/w) 10 6
3
4
5
3
25
12
5
4
贪心法的解(1,0,0,0)，价值为40，可作为0/1背包的下界。
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0/1背包的分支限界法过程
2. 求解过程
上界ub可用最好情况来代替ub=w*(v1/w1)=10*10=100 目标函数的界[40, 100]，一般解空间树中第i层的各结 点，代表对物1~i的选择，可这样定限界函数：
2. 算法思想
算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。结点s被扩展后，它的
儿子结点被依次插入堆中。此后，算法从堆中取出具有最小当前 路长的结点作为当前扩展结点，并依次检查与当前扩展结点相邻 的所有顶点。如果从当前扩展结点i到顶点j有边可达，且从源出 发，途经顶点i再到顶点j的所相应的路径的长度小于当前最优路 径长度，则将该顶点作为活结点插入到活结点优先队列中。 这个结点的扩展过程一直继续到活结点优先队列为空时为止。
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分支限界法的基本思想
分支限界法常以广度优先或以最小耗费 （最大效益）优先的方式搜索问题的解空间 树。对已处理的各结点根据限界函数估算目 标函数的可能取值，从中选取使目标函数取 得极值（极大/极小）的结点优先进行广度优 先搜索不断调整搜索方向，尽快找到解。
特点：限界函数常基于问题的目标函数，适 用于求解最优化问题。
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分支限界法的基本思想
在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会 成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次 性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，导致 不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余 儿子结点被加入活结点表中。
此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展 结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持 续到找到所需的解或活结点表为空时为止。
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是否PT中最大值？
否
用X来调整down bound是最少所能 得到的解 继续搜索
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单源最短路径问题
1. 问题描述
下面以一个例子来说明单源最短路径问题：在下 图所给的有向图G中，每一边都有一个非负边权。要 求图G的从源顶点s到目标顶点t之间的最短路径。
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单源最短路径问题
1. 问题描述
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分支限界法的基本思想
常见的两种分支限界法
（1）队列式(FIFO)分支限界法 按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个 结点为扩展结点。 （2）优先队列式分支限界法
按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高 的结点成为当前扩展结点。
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解空间树的动态搜索
（1）回溯求解0/1背包问题，虽剪枝减少了搜索 空间，但整个搜索按深度优先机械进行，是盲目 搜索（不可预测本结点以下的结点进行的如何）。 （2）回溯求解TSP也是盲目的（虽有目标函数，也 只有找到一个可行解后才有意义）
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分支限界法的设计思路
设求解最大化问题，解向量为X=(x1,…,xn)，xi的取值 范围为Si，|Si|=ri。在使用分支限界搜索问题的解空间 树时，先根据限界函数估算目标函数的界[down, up]， 然后从根结点出发，扩展根结点的r1个孩子结点，从 而构成分量x1的r1种可能的取值方式。
下图是用优先队列式分支限界法解有向图G的 单源最短路径问题产生的解空间树。其中，每一个结 点旁边的数字表示该结点所对应的当前路长。
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单源最短路径问题
2. 算法思想
解单源最短路径问题的优先队列式分支限界法用一极 小堆来存储活结点表。其优先级是结点所对应的当前路长。
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单源最短路径问题
x1
x2
r 1 ...
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对这r1个孩子结点分别估算可能的目标函 数bound(x1)，其含义：以该结点为根的子 树所有可能的取值不大于bound(x1)，即：
x2
bound(x1)≥bound(x1,x2)≥…≥ bound(x1,…,xn)
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分支限界法的设计思路



若某孩子结点的目标函数 值超出目标函数的下界， 则将该孩子结点丢弃；否 是 则，将该孩子结点保存在 待处理结点表PT中。 再取PT表中目标函数极大 则X是问题 的最优解； 值结点作为扩展的根结点， 重复上述。 直到一个叶子结点时的可 行解X=(x1,…,xn)，及目标 函数值bound(x1,…,xn)。
ub=V+(W-w)*(vi+1/wi+1)
已装入价值 剩余容量 剩下物品最大单位价值vi+1/wi+1 的积
可参考板书视图
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0/1背包的分支限界法过程
2. 总结 从0/1背包问题的搜索过程可看出：与回溯法相 比，分支限界法可根据限界函数不断调整搜索 方向，选择最可能得最优解的子树优先进行搜 索找到问题的解。
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分支限界法的基本思想
分支限界法与回溯法
（1）求解目标：回溯法的求解目标是找出解空间 树中满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解 目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足 约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。 （2）搜索方式的不同： 回溯法以深度优先的方式搜索解空间树; 而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方 式搜索解空间树。
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解空间树的动态搜索
分支限界法首先确定一个合理的限界函数，并根据限 界函数确定目标函数的界[down, up]； 然后按照广度优先策略遍历问题的解空间树，在某一 分支上，依次搜索该结点的所有孩子结点，分别估算 这些孩子结点的目标函数的可能取值（对最小化问题， 估算结点的down，对最大化问题，估算结点的up）。 如果某孩子结点的目标函数值超出目标函数的界，则 将其丢弃（从此结点生成的解不会比目前已得的更 好），否则入待处理表。
第六章 分支限界法

理解分支限界法的剪枝搜索策略。 掌握分支限界法的算法框架

队列式(FIFO)分支限界法 优先队列式分支限界法
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第五章 分支限界法

通过应用范例学习分支限界法的设计策略。



单源最短路径问题 装载问题； 布线问题 0-1背包问题； 最大团问题； 旅行售货员问题 电路板排列问题 批处理作业调度问题