青岛理工大学2014高数期末(B)答案
青岛理工大学成人教育期末考试 复习题2及答案.doc
一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。
）1.C++对C语言作了很多改进，即从面向过程变成为面向对象的主要原因是（）A.增加了一些新的运算符B.允许函数重载，并允许设置缺省参数C.规定函数说明符必须用原型D.引进了类和对象的概念2•下列符号不能组成标识符的是（）A.连接符B.下划线C.大小写字母D.数字字符3.类型修饰符unsigned不能修饰（）A.charB. intC. long intD. float4.在int a=3,int *p=&a；中，*p 的值是（）A.变量a的地址值B.无意义C.变量p的地址值D.35•下列关于指针的操作中，错误的是（）A.两个同类型的指针可以进行比较运算B.可以用一个空指针赋给某个指针C.一个指针可以加上两个整数之差D.两个同类型的指针可以相加6•重载函数在调用时选择的依据中，错误的是（）A.函数的参数B.参数的类型C.函数的名字D.函数的类型7.—个函数功能不太复杂，但要求被频繁调用，选用（）A.内联函数B.重载函数C.递归函数D.嵌套函数8•下列不是描述类的成员函数的是（）A.构造函数B.析构函数C.友元函数D.拷贝构造函数9.构造函数不具备的特征的是（）A.构造函数的函数名与类名相同B.构造函数可以重载C.构造函数可以设置默认参数D.构造函数必须指定类型说明10.通常，拷贝构造函数的参数是（）A.某个对象名B.某个对象的成员名C.某个对象的引用名D.某个对象的指针名11•继承机制的作用是（）A.信息隐藏B.数据封装C.定义新类D.数据抽象12.类的析构函数的作用是（）A.—般成员函数B.类的初始化C.对象的初始化D.删除对象创建的所有对象13•类的析构函数是在（）调用的。
A.类创建时B.创建对象时C.删除对象时D.不自动调用14.在（）情况下适宜采用inline定义内联函数。
A.函数体含有循环语句B.函数体含有递归语句C.函数代码少、频繁调用D.函数代码多、不常调用15•如果类A被说明成类B的友元，贝!］（）A.类A的成员即类:B的成员B.类B的成员即类A的成员C.类A的成员函数不得访问类:B的成员D.类B不一定是类A的友元16•在类中声明转换函数时不能指定（）A.参数B.访问权限C.操作D.标识符17•在公有继承的情况下，基类成员在派生类中的访问权限（）A.受限制 B.保持不变18.C++类体系中，不能被派生类继承的有()A.转换函数B.构造函数C.虚函数D.静态成员函数19•假定AB为一个类，则执行ABx；语句时将自动调用该类的() A.有参构造函数 B.无参构造函数C.拷贝构造函数D.赋值构造函数20.C++语言建立类族是通过()A.类的嵌套B.类的继承C.虚函数D.抽象类答案如下：l. D 2.A 3.D 4.D 5.D6.A 7.A &C 9.D 10.C11.C 12.C 13.D 14.C 15.D16.C17.B 18.C 19.B 20.B二•下面的每小题有一个或多个答案是正确的，请选出正确选项并将其填入相应括号内。
131青岛理工大学期末考试数控技术与数控机床(专科)复习题B及答案
《数控技术与数控机床》复习题B一、填空题1 所谓插补，就是数据密化的过程。
在实际加工过程中，常采用或来逼近零件的轮廓曲线。
2 DDA直线插补的物理意义是使动点沿矢量的方向前进，这种方法同样适用于DDA插补。
3他激式直流主轴伺服电机调速时，额定转速以下调速称为恒转矩调速，通过调整实现；额定转速以上调速称为恒功率调速，通过实现。
4 SPWM波形的特点是，其各个脉冲的面积与控制正弦波下面相应的面积成比例，等距、等幅而不等，中间宽两边。
5刀具补偿的作用是把转换成。
6采用步进电机的开环伺服系统，对于数控装置发来的一个经驱动线路放大后驱动步进电机转过一个，经过机械传动系统带动工作台移动一个脉冲当量的位移。
7逐点比较法是以折线逼近直线或圆弧曲线，它与给定的之间的最大误差不超过一个。
8 准备功能指令分为模态代码和非模态代码。
模态代码表示该代码一经在一个中应用，直到出现同组的另一个时才失效。
9 数控机床的伺服驱动系统通常包括两种：和。
10 直线式感应同步器由作相对平行移动的和组成。
二、选择题1 插补周期与位置反馈采样周期。
A：相同；B：不相同；C：可以相同，也可以不相同2 在圆弧插补时，一般用切线、内接弧线和内外均差弦线逼近圆弧，其中具有较大的轮廓误差而不宜采用。
A：切线；B：、内接弧线；C：内外均差弦线3 双螺母齿差调隙式滚珠丝杠，两齿轮的齿数分别为Z1=99、Z2=100，丝杠导程t=10mm，若间隙为0.004mm，则相应的螺母应转过个齿即可消除间隙，达到预紧的目的。
A：3；B：4；C：5；D：64 机床数控系统中的PLC经常被用作控制。
A：逻辑顺序；B：智能；C：进给伺服；5 脉冲增量插补法适用于以为驱动装置的开环伺服系统。
A：步进电机；B直流伺服电机：C交流伺服电机：D：直线电机6 步进电机通电方式没有带负载的能力，不能实际应用。
A：三相单三拍；B：三相六拍；C：三项双三拍7 一个零件的轮廓曲线一般是由许多不同的几何元素组成的，把各几何元素间的连接点称为。
2014年青岛市重点高中数学高一上学期期末考考试
2014年青岛市重点高中高一上学期数学期末考试题2014.1一•选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1•已知 U —1,2,3,4,5 ?, A={1,2} , B= {3,4},则(G A)R B =(B) {5}( C ){3, 4} (D ) {3,4,5}「X + V =12•与集合A 二{(x, y) I}表示同一集合的是I 2x —y =2(A) {x =1,y =0} (B ) {1,0}(C ) {(0,1)} 3.棱长为1的正方体的外接球的表面积为5•过点(-1,2)且与直线2x-3y *4 = 0垂直的直线方程为(A ) 3x 2y T = 0 (B ) 3x 2y 7 = 0 (C ) 2x-3y 5 = 0 (D ) 2x-3y 8 = 06.函数f (x ^-.-Z^ -F"3，则函数f(x ，1)的定义域为(A) 1.0^ ( B ) 1, •：： (C )〔2「： (D )〔 -2「：7.设a, b 是两不同直线，-：■：,-是两不同平面，则下列命题错误的是(A )若 a _〉，b // ： •则 a _ b(B) 若 a 」二，b _ 一：， ：• // ［，贝U a // b (C)若 a / , a // 1则〉// 1(D )若 a _ ： - , b // a , b-.,则二丄(A) •一(D ) {(x,y)|x=1,y = 0}(A )二 (B ) 2 - (C ) 3 二 (D ) 4■-28.函数f(x)=x mx 9在区间(一3, •：：)单调递增，则实数m的取值范围为⑴ 09. f(x)=儿刃，，则 f [f (-2)] =+1, x 兰0 15(A )( B )(C ) -3 (D ) 52 410.a = log 0.7 6,b =6°" ,c = 0.7°"，则 a, b, c 的大小关系为(A ) a . b . c (B ) c . a . b(C ) b a . c( D ) b . c a311下列说法中正确 的说法个数 为①由1，—, 1.5 , -0.5 , 0.5这些数组成的集合有 5个元2的函数f (x)满足f(1) • f (2)，则函数f(x)在R 上不是增函数； ④函数f (x)在区间(a,b) 上满足f (a)f (b) ：：： 0，则函数f(x)在(a,b)上有零点；()A. 1B. 2C. 3D. 4212.设x 0是函数f (x)二x log 2 x 的零点，若有0 ：：： a . x 0，贝U f (a)的值满足(A) f (a) =0 (B ) f(a) 0 (C ) f(a)：：：0 (D ) f(a)的符号不确定•填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分.13.直线2x+ay -2 =0与直线ax (a 4)y-1 = 0平行，则a 的值为(第14题图)15.奇函数f x 满足f x i=2x 2 -4x x _0，则当X ：：： 0时f x 等于 ___________________ 。
青岛理工大学高等数学练习教程答案
第一章 函数与极限 第一节 映射与函数选择题1.已知函数)(x f 的定义域是()+∞∞-,，满足)()()(y f x f y x f +=+则)(x f 是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶 D.不能确定2.已知2x e x f =)(()[]x x φf -=1，且()0x ≥φ，()=x φ（ ）A.()x -1ln 1<xB.()x -1ln 0≤xC.()x -1ln 1-<xD.()x -1ln 0x <3.设2211x x x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则()=x f （ ）A.22-xB.22+xC.2-xD.x xx 1122-+4.已知21x y --=直接函数的反函数是21x y --=，则直接函数的定义域是（ ）A.()01,-B.[]11,-C.[]01,-D.[]10, 5.()x e x x x f cos sin = ()+∞<<∞-x 是（ ）A.有界函数B.单调函数C.周期函数D.偶函数6.设()x f 与()x g 分别为定义在()+∞∞-,上的偶函数与奇函数，则()()x g f 与()()x f g 分别（ ）A.都是偶函数B.都是奇函数C.是奇函数与偶函数D.是偶函数与奇函数7.设()⎩⎨⎧>+≤=0022x x x x x x f ，则（ ）A.()()⎩⎨⎧>+-≤-=-0022x xx x x x f B.()()⎩⎨⎧>-≤+-=-022x xx x x x f C.()⎩⎨⎧>-≤=-0022x x x x x x f D.()⎩⎨⎧>≤-=-0022x xx x x x f8.()x f y =的定义域是[]11,-，则()()a x f a x f y -++=的定义域是（ ） 其中10≤≤aA.[]11+-,a aB.[]11+---a ,aC.[]11-+-,a aD.[]11+--a ,a9.函数()x f y =与其反函数()x f y 1-=的图形对称于直线（ ） A.0=y B.0=x C.x y = D.x y -= 答案ABACD ADDC 练习题1.设()x x f y +==11，求()[]x f f解：()[]x f f xxx++=++=21111121-≠-≠,x x 2.指出下列两个函数是否相同，并说明理由 (1)()1+=x x f ()()21x x g += (2)()x x f =，()()x x g arcsin sin =(3)()xx x f =，()xx x g 2=解：(1)不同，对应法则不同(2)不同，定义域不同()x f 的是()+∞<<∞-x ,()x g 的是[]11,- (3)相同，定义域和对应法则都相同3.若()⎩⎨⎧≥<=02x xx xx f ，求()[]x f f 解：()[]()()()[]()()()[]⎩⎨⎧≥<=⎩⎨⎧≥<=00022x x f x x f x f x f x f x f x f f 4.（2001数学二考研题）()⎩⎨⎧>≤=1011x x x f ，则()[]x f f 解()[]()()()()∞+∞-∈≤⎩⎨⎧>≤=,x x f x f x f x f f 1111而5.()⎩⎨⎧<<-≤≤==012102x x x x x f y 求()1+x f解()()()()()⎩⎨⎧-<<-+≤≤-+=⎩⎨⎧<+<-+≤+≤+=+1212011011121101122x x x x x x x x x f6.设()x F 是定义在关于原点对称的某数集X 上的函数，证明()x F 必可表示成一个偶函数与一奇函数之和。
二本2014-2015(1)高数试卷A及答案(1)
郑州轻工业学院2014-2015学年第一学期 高等数学A1、B1 试卷A试卷号：A20150114-1一、单项选择题(每题3分，共15分)1．1x =为函数2sin(1)()1x f x x -=-的（ ） （A ） 可去间断点； （B ）无穷间断点； （C ）跳跃间断点； （D ）震荡间断点．2．设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----，则'()0f x =的实根的个数为（ ）（A ）2； （B ）3； （C ）4； （D ）5．3．极限x x x 121(lim ）+→的值是（ ） （A ）e ； （B ）e1； （C ）2-e ； （D ）2e ． 4．设1,0(),0x f x x a x -≠⎪=⎨⎪=⎩，且3)(lim 0=→x f x ，则有（ ） （A ）3,3==a b ； （B ）,6=b a 可取任意实数；（C ）,3=b a 可取任意实数； （D ）3=a ，b 取任意实数．5．设22()x f x dx x e C =+⎰，则)(x f =（ ） (A) 22x xe ； (B) 222x x e ； (C) 22(1)x xe x +； (D) 2(2)x xe x +.二、填空题(每题3分，共15分)1．曲线243y x x =-+在其顶点处的曲率为__________． 2．若点(1,3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则______,_______a b ==．3. 曲线22132x y x x -=-+水平渐近线为_________，铅直渐近线为_________． 4．设52x y x e =+，则(2015)(0)y =______________．5．3cos x dx =⎰________________． 三、计算题 (每题6分，共36分)1．求极限：20sin 1lim x x e x x →--． 2．求函数32()26187f x x x x =--+的单调区间及极值．3．若函数()y y x =由方程sin y e xy x e ++=所确定，求0|x dy =．4．求曲线sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩在4t π=处的切线方程． 5．求不定积分：cos x e x dx ⎰． 6．求不定积分：4(1)x x dx -⎰．四、解答题（本题7分）设arctan ,0()0x x f x x <⎧⎪=≥，求'()f x ． 五、证明题（每题7分，共14分）1．证明：当1x >时，2(1)ln 1x x x ->+． 2．设函数()f x 在[1,]e 上连续，且0()1f x <<，在(1,)e 内可导，且'()1x f x <．证明在(1,)e 内有且仅有一点ξ，使得()ln f ξξ=．六、应用题（本题8分）将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转一周构成一个圆柱体，当矩形的边长各为多少时，圆柱体的体积最大？七、综合分析题（本题满分5分）设函数)(x f 在),(∞+-∞内有定义，且恒有)()()(y f x f y x f =+，)(1)(x xg x f +=，其中1)(lim 0=→x g x ，试求)('x f ．2014-2015学年第一学期 高等数学A1、B1 试卷A 参考答案试卷号：A20150114-1一、单项选择题(每题3分，共15分)1．1x =为函数2sin(1)()1x f x x -=-的（ A ） （A ） 可去间断点； （B ）无穷间断点； （C ）跳跃间断点； （D ）震荡间断点．2．设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----，则'()0f x =的实根的个数为（ C）（A ）2； （B ）3； （C ）4； （D ）5．3．极限x x x 1021(lim ）+→的值是（ D ）（A ）e ； （B ）e 1； （C ）2-e ； （D ）2e ．4．设1,0(),0x f x x a x -≠⎪=⎨⎪=⎩，且3)(lim 0=→x f x ，则有（B ）（A ）3,3==a b ； （B ）,6=b a 可取任意实数；（C ）,3=b a 可取任意实数； （D ）,3=a b 可取任意实数．5．设22()x f x dx x e C =+⎰，则)(x f =（ C ）(A) 22x xe ； (B) 222x x e ； (C) 22(1)x xe x + ； (D) 2(2)x xe x +.二、填空题(每题3分，共15分)1．曲线243y x x =-+在其顶点处的曲率为___2_____．2．若点(1,3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则a =32-，b = 92．3. 曲线22132x y x x -=-+水平渐近线为1y =，铅直渐近线为2x =．4．设52x y x e =+，则(2015)(0)y = 20152．5．3cos x dx =⎰ 31sin sin 3x x C -+．三、计算题 (每题6分，共36分)1．求极限：20sin 1lim x x e x x →--． 解：原式0cos lim 2x x e xx →-= ……3分0sin 1lim 22x x e x→+== …..6分2．求函数32()26187f x x x x =--+的单调区间及极值．解：函数的定义域为(,)D =-∞+∞2'()612186(3)(1)f x x x x x =--=-+ ……2分令'()0f x =，得驻点1,3x x =-=． ……3分单增区间为(,1],[3,)-∞-+∞，单减区间为[1,3]-，极大值(1)17f -=，极小值(3)47f =-．3．若函数()y y x =由方程sin y e xy x e ++=所确定，求0|x dy =．解：方程两边关于自变量x 求导，()y y x =，则有''cos 0y e y y xy x +++=，所以cos 'y y xy e x +=-+． …….3分当0x =时，代入方程得1y =，所以2'(0)y e=-， ……..5分 故02|x dy dx e==-． ……6分 4．求曲线sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩在4t π=处的切线方程． 解：2sin 24sin cos dydy t dt t dx dx tdt-===-，……3分 在4t π=处，0,2dy x y dx===-，…….5分 所以切线方程为)2y x =--． ……6分 四、解答题（本题7分）5．求不定积分：e cos x x dx ⎰． 解：cos cos cos cos x x x x e x dx x d e e x e d x ==-⎰⎰⎰……2分 cos sin cos sin x x x x e x e x dx e x x d e =+=+⎰⎰cos sin sin (cos sin )cos x x x x x e x e x e d x e x x e xd x =+-=+-⎰⎰…….5分 移项得 1e cos (cos sin )2x x x dx e x x C =++⎰．……6分 6．求不定积分：4(1)x x dx -⎰．解法1：451(1)(1)5x x dx xd x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰⎰ ……2分 5511(1)(1)55x x x dx =---⎰ ……4分 5611(1)(1)530x x x C =---+ ……6分解法2：4454(1)(11)(1)(1)(1)x x dx x x dx x dx x dx -=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰…..4分6511(1)(1)65x x C =-+-+ ……6分 解法3：令1x t -=，则1,x t dx dt =+=，……2分原式454=(1)t t dt t dt t dt +=+⎰⎰⎰ …..4分65651111(1)(1)6565t t C x x C =++=-+-+ ……6分 解法4：4432(1)(4641)x x dx x x x x x dx -=-+-+⎰⎰ …..4分54326543214341(464)65232x x x x x dx x x x x x C =-+-+=-+-++⎰……6分设arctan ,0()0x x f x x <⎧⎪=≥，求'()f x ．解：0x >时,()arctan f x x =，所以21'()1f x x =+；……2分0x <时()f x ='()f x = ……4分0x =时，(0)0f =，且00()(0)arctan '(0)lim lim 1x x f x f x f x x---→→-===，00()(0)'(0)lim lim x x f x f f x x +++→→-===+∞．所以()f x 在0x =处不可导． ……6分故21,01()0x x f x x ⎧<⎪+⎪=⎨>． ……7分五、证明题（每题7分，共14分）1．证明：当1x >时，2(1)ln 1x x x ->+．证法1：令()(1)ln 2(1)f x x x x =+--，1x ≥，则(1)0f =．……2分 11'()ln 2ln 1x f x x x x x +=+-=+-，且'(1)0f =．211''()0,1f x x x x =->>． ……5分所以1x >时，'()'(1)0f x f >=；1x >时，()(1)0f x f >=，整理即得2(1)ln 1x x x ->+． ……7分证法2：2(1)()ln ,11x f x x x x -=-≥+，且(1)0f =．……2分222211(1)14(1)'()2(1)(1)(1)x x x f x x x x x x x +---=-=-=+++． ……5分 当1x >时，'()0f x >，所以()(1)0f x f >=，即2(1)ln 1x x x ->+．……7分 2、设函数()f x 在[1,]e 上连续，且0()1f x <<，在(1,)e 内可导，且'()1x f x <．证明在(1,)e 内有且仅有一点ξ，使得()ln f ξξ=．证明：（1）存在性令()()ln ,1F x f x x x e =-≤≤，显然()F x 在[1,]e 上连续，且(1)(1)0,()()10F f F e f e =>=-<，即(1)()0F F e <，故()F x 在[1,]e 上满足零点定理，所以至少存在一点(1,)e ξ∈，使得()0F ξ=，即()ln f ξξ=． ……5分（2）唯一性 因为1'()1'()'()0xf x F x f x x x-=-=<，所以()F x 在[1,]e 上单减，故()F x 在(1,)e 内至多有一个零点． 综上所述，()F x 在(1,)e 内仅有一个零点，即在(1,)e 内有且仅有一点ξ，使得()ln f ξξ=． ……7分六、应用题（本题8分）将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转一周构成一个圆柱体，当矩形的边长各为多少时，圆柱体的体积最大？解：设矩形一边长x ，则另一边长p x -．将其绕p x -边旋转，则旋转体的体积为223()(),0V x p x px x x p ππ=-=-<<， ……3分2'(23)V px x π=-，令'0V =，得驻点23x p =． 2''(26),''()203p V p x V p ππ=-=-<． ……7分 所以，当23x p =时，V 取极大值． 2133x p p x p =⇒-=． 由问题的实际意义知，当长和宽分别取2,33p p 时，体积最大． ……8分七、综合分析题（本题满分5分）设函数)(x f 在),(∞+-∞内有定义，且恒有)()()(y f x f y x f =+， )(1)(x xg x f +=，其中1)(lim 0=→x g x ，试证明()f x 在R 上处处可导，且)()('x f x f =．解：因为)(1)(x xg x f +=， 所以00()1()1(),lim lim ()1x x f x f x xg x g x x→→--===．……1分 0()()'()lim h f x h f x f x h→+-= ……3分 00()()()()1lim ()lim ()h h f x f h f x f h f x f x h h→→--===．……5分 所以，()f x 在R 上处处可导，且'()()f x f x =．。
高等数学 习题册解答_7.微分方程(青岛理工大学)
1 (u 1) u 1
2
2u 1
4
班级
姓名
学号
成绩：
2u 1 du 4dx u
2u-lnu=4x+C 2(x+2y)-ln(2+2y)=4x+C
§4 一阶线性微分方程 1、微分方程(y2+1)dx=y(y-2x)dy 的通解是（ ）
A.
y
1 1
y2
1
3
y3
C
B.
x
1 1
y2
1
3
y3
du dx 1 u2 x
ln u 1 u2 ln x ln C
u 1 u2 Cx
y
1
y
2
Cx
x
x
y x2 y2 Cx2
将 y|x=1=0 代入的特解为 y x2 y2 x2 或 y 1 x2 1 22
7、求曲线，使其上任一点到原点的距离等于该点的切线在 x 轴上的截距 解：设曲线上任一点 P(x,y)，曲线：y=y(x)，则由题意知：Y-y=y(X-x)
又 x2 y2 x y y
2
得
x y
1 x dx , y dy
令u x y
整理得： y du 1 u2 dy
解得： ln u 1 u2 ln y C
得通解 x x2 y2 C
六、求 y x 2y 1 的解。 2x 4y 1
解：令 u=x+2y，则 u=1+2y'
§5 全微分方程
1.下面方程中不是全微分方程的是（ ） A. (3x2+6xy2）+(6x2y+4y2)dy=0 B. eydx+(xey-2y)dy=0
2014级高等数学第二学期期末试卷(B类)
3.
交换二次积分
1 0
dx
2 x2
x
x2
f
(x, y)dy 的积分次序，结果为
（
）
（
）
(A)
1dy y 0 1 1 y2
f (x, y)dx ；
(B)
1dy y
0
1 1 y2
f (x, y)dx ；
(C)
1 0
dy
1 y
1 y2
f (x, y)dx ；
(D)
1dy 0
2 y y2 y2
f (x, y)dx 。
n1
(2)
若级数 xn
n1
收敛，且级数
an
n1 xn
收敛，请猜测级数 an 是否收敛，
n1
并证明（或说明）你的猜测结论。
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2014 级第二学期《高等数学》期中考试试卷 (B 类) （多元微分学部分试题）
1.
设
f
(x,
y)
2x2 y4 x2 y2
，则 lim x0
f (x, y)
y0
（A） 等于 0 ； （B）等于1； （C）等于 2 ；
2014 级高等数学第二学期期末试卷(B 类)
注 1：下面划去部分试题内容，不是 15 级(本次)期末考试范围。 注 2：后面增加的试题是本次期中考试范围内容。 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1. 设向量 a, b 满足| a b || a b |，则必有
（
）
(A) a 0 ； (B) b 0 ； (C) a b 0 ； (D) a b 0 .
n1
n1
n1
（A） 0 ；
（B）1；
高等数学B(二)B期末考卷及解答 海大
高等数学B（二）试卷B一、解答下列各题(本大题共13小题，总计59分)1、(本小题2分),。
=ln()2，求z zz xyx y2、(本小题2分)设z x y x,。
=+()arctan，求z zx y3、(本小题4分)设f x y (,)有连续偏导数，u f e e x y =(,)，求d u 。
4、(本小题5分)过z 轴及点M (,,)447-，作一平面，求它的方程。
5、(本小题5分)计算二重积分6、(本小题5分)求曲面e e e xz yz +=-22在点(,,)--112处的切平面和法线方程 。
7、(本小题5分)求函数z x y xy y=-+++2322的极值。
8、(本小题5分)计算二重积分其中D是由直线x=0,y=1及y=x所围成的区域。
9、(本小题6分)设a=2,b=3，求a b a b⨯+⋅22()。
10、(本小题6分)求微分方程满足初始条件的解：''-'-=='=⎧⎨⎩y y y y y 200105(),()二、解答下列各题(本大题共2小题，总计10分) 1、(本小题5分)曲线上任意一点的矢径长等于夹在曲线和ox 轴之间的法线长，求此曲线.2、(本小题5分)证明：l x y z y z 1010:++=++=⎧⎨⎩与l x z x y 21010:++=++=⎧⎨⎩垂直。
三、解答下列各题(本大题共3小题，总计15分) 1、(本小题5分)判别∑∞=+132)1(3cosn n n n π的敛散性。
2、(本小题5分)横截面为半圆形的圆柱形的张口容器，其表面积等于S ，当容器的断面半径与长度各为多大时，容器具有最大容积？3、(本小题5分)判别∑∞=+-1)2ln(1)1(n nn 的敛散性，若收敛，说明是条件收敛，还是绝对收敛？四、解答下列各题 (本大题共2小题，总计12分)1、(本小题6分)nn n nn x4)1(1⋅-∑∞=2、(本小题6分) 设()xe xf =，试求函数关于()1+x 的幂级数。
青岛理工大学2014高数期末(B)
5. 微分方程 y′′ − 2 y′ + 5 y = 0 的通解为 ___________________ .
三、计算题 (每题 6 分，共 12 分) 1.求与两平面π 1 : x − 4z = 3 和 π 2 : 2x − y − 5z = 1的交线平行，且过点 ( − 3 ,2 ,5 )的直线方程.
教师试做时间 出题单位
考试成绩期望值
60 分钟 理学院 75 分
出题教师 使用班级 印刷份数
数学教研室
取题时间 考试日期 规定完成时间
2014.07.14 110 分钟
审 教研室主任 核 院（部）长
交教务科印刷日期
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考核方式：（闭）卷
第1页共5页
试题要求: 1.试题后标注本题得分;2.试卷应附有评卷用标准答案,并有每题每步得分标准;3.试卷必须提前一周送考试中心;4.考试前到指定地 点领取试卷；5.考生不得拆散试卷，否则试卷无效。
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理工 专业 13 年级 各 班 2013~2014 学年第 二 学期 高等数学 I (下)（期末）
课试卷 试卷类型： B 卷
题号
一
高数A二B二近四年期末解答A卷 课件
2014级本科高等数学A （二）期末试题解答与评分标准A （理工类多学时）一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共计18分） 1. （A ，B ）函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处的偏导数(,)x f x y 和(,)y f x y 存在是函数在点00(,)x y 的全微分存在的（ B ）.A. 充分条件；B. 必要条件；C. 充要条件；D. 无关条件.2. （A ，B ）设级数1(2)nn n a x ∞=-∑在2x =-处收敛，则级数在5x =处（ C ）.A. 发散；B. 条件收敛；C. 绝对收敛；D. 无法确定敛散性.3. （A ，B ）二阶微分方程224468e xy y y x '''-+=+的特解应具有形式（ C ），其中,,,a b C E 为常数.A. 22+e xax bx C +； B. 22+e xax bx C E ++； C. 222+e xax bx C Ex ++； D. 22+e xax bx C Ex ++.4. （A ，B ）与两平面43x z -=和251x y z --=的交线平行且过点(3,2,5)-的直线方程为（ A ）.A. 325431x y z +--==； B ．325431x y z +--==-； C. 325134x y z +--==； D ．325431x y z -++==.5. （A ，B ）设闭区域D ：229x y +≤，221:9,0D x y y +≤≥，则下列等式中错误的是（ D ）. A.22221e d 2e d x y xy DD σσ++=⎰⎰⎰⎰；B.2222122e d 2e d x y xy DD y y σσ++=⎰⎰⎰⎰；C. 22e d 0xy Dx σ+=⎰⎰；D. 1e d 2e d x y x y DD σσ++=⎰⎰⎰⎰.6. （A ）Ω由不等式2221,x y z z ++≤≥确定，则zdxdydz Ω⎰⎰⎰求解过程错误的是（ B ）.A.2212x y dxdy +≤⎰⎰；B.22210x y z dzzdxdy +≤⎰⎰⎰；C.20rd πθ⎰⎰⎰；D.2134001sin 22d d r dr ππθϕϕ⎰⎰⎰.二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共计18分） 7.（A ，B ）直线234112x y z ---==与平面260x y z ++-=的交点为 (1,2,2).8.（A ，B ）已知二阶齐次线性微分方程有两个特解312e x y =，2e x y -=，则该微分方程为 230y y y '''--=.9. （A ，B ）设函数4sin y z x xy xy =++，则(1,0)zy ∂=∂ 5.10. （A ，B ）交换二次积分的积分次序：2220(,)y ydy f x y dx =⎰⎰402(,)x dx f x y dy ⎰⎰.11. （A ）L 为圆周229x y +=，则对弧长的曲线积分=⎰18π.12. （A ）计算曲线积分(3)(2)LI x y dx y x dy =++-⎰Ñ，其中L 是沿椭圆2214y x +=正向的边界，则I ＝4p -.三、解答题（本大题6小题，每小题8分，共计48分） 13. （A ，B ）计算二重极限00x y →→.解：00x y →→0x y →→= （4分）0x y →→= （2分）14=-. （2分）14. （A ，B ）设函数),()(y x y g y x f z -++=，其中f 二阶可导，),(v u g 有连续的二阶偏导数，求yx z∂∂∂2.解：2zf g x∂''=+∂， (4分) 221222122(1)z f g g f g g x y∂''''''''''''=++-=+-∂∂. (4分)(或写为221221222(1)zf g g f g g x y∂''''''''''''=++-=+-∂∂ )15. （A ，B ）设函数(,)z f x y =由方程e 0z y xz x y x ----+=所确定，在点(0,1,1)处，求d z .解：令(,,)ez y xF x y z z x y x --=--+， （2分）1e e 1e z y x z y x x z y x z F zx x F x ------∂-+=-=∂+， （2分） 1e 1ez y x y z y xz F zx y F x ----∂+=-=∂+， （2分） (0,1,1)(0,1,1)(0,1,1)d d d zz z x y dy xy∂∂=+=∂∂. （2分）16. （A ，B ）求幂级数2121n n x n +∞=+∑的收敛域与和函数，并求数项级数201(21)2nn n ∞=+∑的值. 解：收敛域(1,1)-， （注：在端点处发散） （2分）2121220001(),(0)0,()21211n n n n n n x x S x S S x x n n x ++∞∞∞==='⎛⎫'===== ⎪++-⎝⎭∑∑∑ （2分）所以200111()(0)()d d ln ||121x xxS x S S x x x x x+'-====--⎰⎰，故11()ln ||21xS x x+=-，(11)x -<< （2分） 2210011122()ln 3(21)2(21)22n n n n S n n ∞∞+=====++∑∑. （2分）17. （A ，B ）计算二重积分(32)d d DI x y x y =+⎰⎰，其中D 为由y 轴与直线1x y +=，1x y -=所围成的闭区域. 解： (32)d d 3d d DDI x y x y x x y =+=⎰⎰⎰⎰ （3分）11013xx dx xdy --=⎰⎰（3分）1206()1x x d x =-=⎰. （2分）18. （A ） 计算2(31)xdydz ydzdx z dxdy ∑+++⎰⎰，其中∑为上半球面z =.解：取1∑为xoy 面上的圆盘22:4xy D x y +≤，取下侧，记∑与1∑围成的闭区域为Ω，从而由高斯公式，得 （2分）12(31)xdydz ydzdx z dxdy ∑+∑+++⎰⎰6dv Ω=⎰⎰⎰3262323ππ=⋅⋅=， （2分）而12(31)xdydz ydzdx z dxdy ∑+++⎰⎰1(31)4xyD z dxdy dxdy π∑=+=-=-⎰⎰⎰⎰， （2分）故 原式=32(4)36πππ--=. （2分）四、解答题（本题10分） 19. （A ，B ）设函数()y f t =满足2222()t x y tf t e fdxdy π+≤=+⎰⎰，(1) 求()f t 所满足的微分方程； (2) 求()f t . 解：（1） 2()2()tt f t ef r rdr ππ=+⎰， （2分）求导，得2()22()t f t te tf t πππ'=+,即2()2()2t f t tf t te πππ'-=， （2分） （2）此为一阶线性微分方程，其通解为：22()()tf t e t Cππ=+（C 为任意常数） （3分） 由(0)1f =得1C =， （2分）故22()(1)tf t et ππ=+ . （1分）五、证明题（本题6分）20. （A ，B ）证明：二次曲面222Ax By Cz D ++=上任一点000(,,)x y z 处的切平面为000Ax x By y Cz z D ++=.证：令222(,,)F x y z Ax By Cz D =++-，则0000(,,)2x F x y z Ax =，0000(,,)2y F x y z By =，0000(,,)2z F x y z Cz =， （2分） 故曲面(,,)0F x y z =上点000(,,)x y z 处的切平面方程为：0000002()2()2()0Ax x x By y y Cz z z -+-+-=，（2分） 又222000Ax By Cz D ++=，从而222Ax By Cz D ++=上任一点000(,,)x y z 处的切平面为：000Ax x By y Cz z D ++=. （2分）2014级本科高等数学（二）期末试题解答与评分标准A（理工类少学时）一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. （B ）由曲线2cos a ρθ=所围图形的面积为（ B ）. A. 22a π； B.2a π； C. 24a π； D. 22a π.2. （A ，B ）下列级数收敛的是（ C ）.A.112n n∞=∑； B.21ln n n∞=∑； C. 112nn ∞=∑；D. 1n ∞=3. （A ，B ）微分方程224468e x y y y x '''-+=+的一个特解应具有形式（ C ），其中,,,a b C E 为常数.A.22+e xax bx C +； B.22+e xax bx C E ++； C.222+e xax bx C Ex ++； D.22+e xax bx C Ex ++.4. （A ，B ）与两平面43x z -=和251x y z --=的交线平行且过点(3,2,5)-的直线方程为（ A ）.A. 325431x y z +--==； B ．325431x y z +--==-； C. 325134x y z +--==； D ．325431x y z -++==.5. （A ，B ）设二元函数(,)f x y 在2R 上有(,)0,(,)0x y f x y f x y ><，设1212,x x y y ><，则下列结论正确的是（ B ）.A. 1122(,)(,)f x y f x y <；B. 1122(,)(,)f x y f x y >；C.1112(,)(,)f x y f x y <；D.1121(,)(,)f x y f x y <.6. （A ，B ）设()f x 为连续函数，1()()t tyF t dy f x dx =⎰⎰，则(2)F '=（ D ）.A.2(2)f ；B.(2)f -；C.0；D.(2)f .二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. （B ）由曲线x y e =,直线0,1x x ==和x 轴所围成的平面图形，绕y 轴旋转一周所形成旋转体的体积为2π.8. （A ，B ）设(,)z f x y =由方程e 0z y x z x y x ----+=所确定，则zx∂∂在点(0,1,1)处的值为 0 .9. （A ，B ）2211(2),lim()nn n n x y aa d πσ∞→∞=+≤-+=∑⎰⎰设级数收敛则3π ．10. （A ，B ）已知二阶齐次线性微分方程有两个特解312e x y =，2e x y -=，则该微分方程为230y y y '''--=.11. （A ，B ）曲线2z y =绕z 轴旋转一周所得旋转曲面的方程为22z x y =+.12. （A ，B ）函数2yz xe =在点A (1,0)处沿点A 指向点B (2,1)-的方向导数为2- .三、解答题（本大题共6小题，每小题8分，共48分） 13. （A ，B ）计算二重极限00x y →→.解：(法一)原式= 0x y →→ （4分）00x y →→= （2分）=14-（2分） (法二) 原式=00x y →→ （4分） 001224limx y xy xy →→-⋅⋅= （2分） =14-（2分）14. （A ，B ）计算函数yz x =在(2,1)的全微分． 解： 1,ln y y x y z yx z x x -== （4分）(2,1)1,(2,1)2x yz z == （2分） (2,1)d 2l n 2z d x d y =+ （2分）15. （A ，B ）设函数()f u 可微, ()ln xx z f x y =+,求222,z z x x y∂∂∂∂∂.解：()ln xz f x x y =+ ，1()ln 1z xf x x y y∂'=++∂ （2分） 22211()z x f x y y x ∂''=+∂ （3分） 2231()()z x x x f f x y y y y y∂'''=--∂∂ （3分）16. （A ，B ）求幂级数21021n n x n +∞=+∑的收敛域与和函数，并求数项级数201(21)2nn n ∞=+∑的值． 解： 收敛域为(1,1)- （2分）令210()21n n x S x n +∞==+∑，(0)0S =2122001()211n n n n x S x x n x +∞∞=='⎛⎫'=== ⎪+-⎝⎭∑∑， （2分） 所以200111()(0)()d d ln ||121x x xS x S S x x x x x+'-===--⎰⎰， 故11()ln ||21xS x x+=-， （11x -<<） （2分）2210011122()ln 3(21)2(21)22n n n n S n n ∞∞+=====++∑∑. （2分）17. （A ，B ）计算二重积分(32)d d DI x y x y =+⎰⎰，其中D 为由y 轴与直线1x y +=，1x y -=所围成的闭区域. 解： (32)d d 3d d DDI x y x y x x y =+=⎰⎰⎰⎰ （3分）11013xx dx xdy --=⎰⎰（3分）126()1x xd x =-=⎰ （2分）18. （A ，B ）求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积. 解：设长方体的长宽高为,,x y z ，则问题转化为在条件2(,,)2220x y z x y y z x za ϕ=++-= 下求函数(0,0,0)V xyz x y z =>>>的最大值. （3分） 设拉格朗日函数2(,,)(222)L x y z xyz xy yz xz a λ=+++-，解方程组22()02()02()0222yz y z xz x z xy y x xy yz xz aλλλ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩得x y z ===， （4分） 这是唯一的可能极值点，也是所求问题的最大值点.故表面积为2a3（1分）四、解答题（本题10分）19. （A ，B ）设函数()y f t =满足2222()t x y tf t e fdxdy π+≤=+⎰⎰，(1) 求()f t 所满足的微分方程； (2) 求()f t . 解：(1) 2()2()tt f t ef r rdr ππ=+⎰ （2分）求导得 2()22()t f t te tf t πππ'=+即 2()2()2t f t tf t te πππ'-= （2分） (2) 此为一阶线性微分方程，其通解为22()()tf t et Cππ=+ （C 为任意常数） （3分） 由(0)1f =得1C = （2分）故22()(1)tf t et ππ=+ （1分）五、解答题（本题6分）20. （A ，B ）设2,(,)(,)0,(,)x y Df x y x y D ∈⎧=⎨∉⎩，[0,1][0,1]D =⨯，求函数()(,)d d x y tF t f x y x y +≤=⎰⎰的表达式.解：0t ≤时，()0F t = （1分）01t ≤≤时，221()22F t t t =⋅= （2分）12t <≤时，221()21(2)422F t t t t ⎡⎤=--=--⎢⎥⎣⎦（2分）2t >时，()2F t = （1分）2013级高等数学(二)期末试卷解答A理工类 多、少学时1. （A ，B ）下列函数中有且仅有一个间断点的函数为（ B ）． （A ）x x y +； （B ）22e ln()x x y -+； （C ）xy； （D ）||1xy +．2. （A ，B ）曲线：23,,x t y t z t ==-=的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线（ B ）．（A ） 有一条； （B ）有两条； （C ）有三条； （D ）不存在．3. （A ，B ）设222{(,)|()}D x y x a y a =-+≤，则二重积分22e d x y Dσ--=⎰⎰（ C ）（A ）22cos 0d d a re r r πθθ-⋅⎰⎰； （B ）22cos 0d d a re r πθθ-⎰⎰；（C ）22cos 22d d a r er r πθπθ--⋅⎰⎰；（D ）22cos 202d d a re r πθπθ--⎰⎰4. （A ，B ）微分方程x y y cos =+''的特解具有形式（ B ）（A ）cos sin A x B x + （B ）sin cos Ax x Bx x + （C ）cos A x （D ）cos Ax x5. （A ，B ）已知函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的偏导数存在，则( D )．（A ）(,)f x y 在00(,)x y 可微；（B ）(,)f x y 在00(,)x y 沿任意方向方向导数存在； （C ）(,)f x y 在00(,)x y 连续； （D ）0(,)f x y 在00(,)x y 连续．6. 多（A ）设221:1l x y +=，222:2l x y +=，223:12y l x +=， 224:12x l y +=为四条逆时针封闭曲线，记曲线积分33()d (2)d 63ii l y x I y x x y =++-⎰，1,2,3,4I =，则max{}i I =（ C ）（A ） 1I ； （B ）2I ； （C ）3I ； （D ）4I6. 少（A ，B ）下列各选项正确的是（ C ） A ． 若正项级数∑∞=1n n u 发散，则nu n 1≥； B ． 若级数∑∞=1n nu收敛，且),2,1( =≥n v u n n ，则级数∑∞=1n nv收敛．C ． 若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛，则∑∞=+12)(n n nv u收敛；D ． 若||1nn n vu ∑∞=收敛， 则∑∞=12n n u 与∑∞=12n n v 都收敛；二、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. （A ，B ）幂级数1(3)3n nn x n ∞=-⋅∑的收敛域为[0,6)．8. （A ，B ）已知级数1nn us ∞==∑，则11()n n n u u ∞+=+=∑12s u -．9.（A ，B ）设函数()f u 可微，且(2)1f '=，则函数()z f x y =+在点(1,1)处的全微分(1,1)d |z =d d x y +．10.（A ，B ）微分方程yy x'=-满足初始条件24x y =-=的特解为8xy =-．11.多（A ）设L 为上半圆周：222x y R +=，（0,0R y >>），则曲线积分22()d Lx y s +=⎰3R π．11. 少（A ，B ）设(){},01,11D x y x y =≤≤-≤≤，则二重积分()cos 1d d Dy xy x y +=⎡⎤⎣⎦⎰⎰ 2 ．12.多（A ）设∑是球面2222()x y z R R ++-=的外侧，则曲面积分d d x y ∑=⎰⎰ 0 ．12.少（B ）2d 11A x x +∞-∞=+⎰，则 A = 1π.三、 解答题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）13.（A ，B ）设函数2(,)sin()z f x y xy ==，求(,1)2xx f π，(,1)2xy f π．解：22(,)cos()x f x y y xy =，42(,)sin()xx f x y y xy =-， 232(,)2cos()2sin()xy f x y y xy xy xy =- （6分）(,1)12xx f π=-，(,1)2xy f ππ=- （2分）14.（A ，B ）设函数()y x z z ,=由方程23z e xy z +-=所确定，求(2,1,0)x z 及(2,1,0)y z ．解：令(,,)23z F x y z e xy z =+--， （1分） y F x =，x F y =，2z z F e =- （3分）所以2z z y x e ∂=∂-，2zz xy e ∂=∂- （2分） (2,1,0)1x z =，(2,1,0)2y z =． （2分）15.（A ，B ）求幂级数0(1)1nnn x n ∞=-+∑的收敛域与和函数．解：收敛半径为1R =，收敛域为(1,1]- （2分）令0()(1)1nnn x S x n ∞==-+∑，0x =时，(0)1S =， （1分）0x ≠时，1000()(1)(1)d 1n x nn n n n x xS x x x n +∞∞===-=-+∑∑⎰001()d d ln(1)1x xnn x x x x x∞==-==++∑⎰⎰所以ln(1),0()1,0x x S x xx +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ （5分）16.（A ，B ）计算二重积分2e d d y DI x y -=⎰⎰，其中D 是以(0,0),(0,1),(1,1)为顶点的三角形所围的闭区域．解：21e d d yy I y x -=⎰⎰ （4分）21101e d (1e )2y y y --==-⎰ （4分）17. 多（A ）验证曲线积分(2,1)423(1,0)(23)d (4)d xy y x x xy y -++-⎰在XOY 平面内积分与路径无关，并计算该曲线积分． 解：324Q x y x ∂=-∂，324Px y y∂=-∂，且连续，所以积分与路径无关 （4分）(2,1)423(1,0)(23)d (4)d xy y x x xy y -++-⎰(2,0)(2,1)423(1,0)(2,0)(23)d (4)d xy y x x xy y =-++-⎰⎰21313d (48)d x y y =+-⎰⎰ （2分） 325=+= （2分）17. 少（A ，B ）计算二重极限22222001cos()lim sin ()x y x y x y →→-++．解：222222222220000()1cos()2lim lim sin ()()x x y y x y x y x y x y →→→→+-+=++ （4分） 12=（4分）18. 多（A ）计算曲面积分3d d 2d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =介于平面0z =与平面2z =之间部分的下侧．解：补充曲面221:2,4z x y ∑=+≤，取上侧， （2分） 由高斯公式13d d 2d d d d x y z y z x z x y '∑∑∑+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰6d V Ω=⎰⎰⎰ （2分）16π= ． （2分） 其中，113d d 2d d d d d d 2d d 8Dx y z y z x z x y z x y x y π∑∑++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以3d d 2d d d d 8x y z y z x z x y π∑++=⎰⎰ （2分）18. 少（A ，B ）判断级数1!n n n a n n∞=∑的敛散性，其中0,e a a >≠．解：111(1)!lim lim lim (1)!(1)e n n n n n n n n n n nu a n n a n au n a n n +++→∞→∞→∞+⋅=⋅==++ （4分） 所以0e a <<时，级数收敛；e a >时，级数发散。
【三维设计】山东省青岛理工大学附中2014年高考数学一轮复习 概率精品训练 新人教A版
某某理工大学附中三维设计2014年高考数学一轮复习：概率本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在5X 奖券中有3X 能中奖，甲、乙两人不放回地依次抽取一X ，则在甲抽到中奖奖券的条件下，乙抽到中奖奖券的概率为( )A ．103 B ．53 C ．21 D ．52 【答案】C2．在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是( )A ．65 B ．54 C ．32 D ．21 【答案】C3．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{1,2,3,4}a b ∈。
若||1a b -≤，则称甲乙“心有灵犀”。
现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为( ) A ．38B ．58C ．316D ．516【答案】B4．12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为( )A ．155B ．355C ．14D ．13【答案】B5．某班一学习兴趣小组在开展一次有奖答题活动中，从3道文史题和4道理科题中，不放回地抽取2道题，第一次抽到文史题，第二次也抽到文史题的概率是( )A ． 17；B.649；C.314；D. 949；【答案】A6．从0到9这十个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，则这个数不能被3整除的概率是( )A ．2719 B ．5438 C ．6041 D ．.5435 【答案】D 7．在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆架贮藏着石油，假若在海域中任意一点钻探，那么钻到油层面的概率是( )A ．140B ．125C ．1250D ．1500【答案】B8．有10件产品，其中2件次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是( )A ．145B ．110C ．19D ．25【答案】C9．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是( )A ．21 B ．31 C ．41 D ．51 【答案】B10．已知函数：c bx x x f ++=2)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件：(2)12(2)4f f ≤⎧⎨-≤⎩为事件为A ，则事件A 发生的概率为( ) A ．14B ．12C ． 58D ．38【答案】B11．甲，乙两位同学考入某大学的同一专业，已知该专业设有3个班级，则他们被随机分到同一个班级的概率为( )A ．91B ．61C ．31D ．21【答案】D12．给出以下四个命题：①将一枚硬币抛掷两次，设事件A ：“两次都出现正面”，事件B ：“两次都出现反面”，则事件A 与B 是对立事件；②在命题①中，事件A 与B 是互斥事件；③在10件产品中有3件是次品，从中任取3件．事件A ：“所取3件中最多有2件次品”，事件B ：“所取3件中至少有2件次品”，则事件A 与B 是互斥事件；④两事件对立必然也互斥，反之不成立．试判断以上命题中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．从装有3个白球、2个黑球的盒子中任取两球，则取到全是全是同色球的概率是____________ 【答案】2/5.14．左口袋里装有3个红球，2个白球，右口袋里装有1个红球，4个白球．若从左口袋里取出1个球装进右口袋里，掺混好后，再从右口袋里取出1个球，这个球是红球的概率为____________. 【答案】41515．甲、乙两同学5次综合测评的成绩如茎叶图所示．老师在 计算甲、乙两人平均分时，发现乙同学成绩的一个数字无法看清.若从{0,1,2,...,9}随机取一个数字代替，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为.【答案】0.116．121231234()()()a a b b b c c c c ++++++展开式中，形如x x x a b c 的项称为同序项，形如,,()x x y x y x y x x a b c a b c a b c x y ≠的项称为次序项，如222a b c q 是一个同序项，113a b c 是一个次序项。
2024届青岛市高三数学第一学期期末检测试卷附答案解析
2024届青岛市高三数学第一学期期末检测试卷全卷满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合()13A ,=-，}0{|B x x a =+≥，若{}|1A B x x ⋃=>-，则实数a 的取值范围是（）A ．[]3,1-B ．(]3,1-C ．[)3,1-D ．()3,1-2．复数i z a =+（R a ∈，i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，若()()111z z ++=，则=a （）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．在四边形ABCD 中，四个顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是()2,0-，()1,3-，()3,4，()2,3，E ，F 分别为,AB CD 的中点，则EF AB ⋅=（）A ．10B ．12C ．14D ．164．2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．而今“一带一路”已成为当今世界最受欢迎的国际公共产晶和最大规模的国际合作平台.树人中学历史学科组近期开展了“回望丝路”系列主题活动，组织“一带一路”知识竞赛，并对学生成绩进行了汇总整理，形成以下直方图.该校学生“一带一路”知识竞赛成绩的第60百分位数大约为（）A ．72B ．76C ．78D ．855．已知等差数列{}n a 各项均为正整数，11123a a a a =++，210a <，则其公差d 为（）A ．0B ．1C ．2D ．46．已知点F 是抛物线()2:20E y px p =>的焦点，过点()的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，若2AF BF+的最小值为14，则E 的准线方程为（）A ．4y =-B ．=2y -C ．4x =-D ．2x =-7．已知正方体ABCD ﹣A1B1C1D1，E ，F 是线段AC1上的点，且AE ＝EF ＝FC1，分别过点E ，F 作与直线AC1垂直的平面α，β，则正方体夹在平面α与β之间的部分占整个正方体体积的（）A ．13B ．12C ．23D ．348．已知O 为坐标原点，双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的左、右焦点依次为1F 、2F ，过点1F 的直线与E在第一象限交于点P ，若122PF PF =，OP =，则E 的渐近线方程为（）A．y =B．y =C ．y x =±D ．2y x=±二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．一个密闭的容器中装有2个红球和4个白球，所有小球除颜色外均相同．现从容器中不放回地抽取两个小球．记事件A ：“至少有1个红球”，事件B ：“至少有1个白球”，事件C A B = ，则（）A ．事件A ，B 不互斥B ．事件A ，B 相互独立C ．()()||P A B P B A =D ．()()()|2|P C A P C B P C +>10．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象关于点4π,09⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，在π5π,99⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2π8π39f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．将()y f x =的图象向右平移2π9个单位得到函数()g x 的图象，则（）A ．32ω=B ．ππ3k ϕ=+，k ∈ZC ．()()12023π2024π2f f ++=D ．()g x 为偶函数11．若实数,0a b >，且8ab a b =++，则（）A ．8a b +≤B ．16ab ≥C．34a b +≥+D ．144113a b +≥--12．将函数()y f x =的图象绕原点逆时针旋转π4后得到的曲线依然可以看作一个函数的图象、以下函数中符合上述条件的有（）A ．sin y x =B ．sin 2y x=C ．ln y x x =-D ．exy x =三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．621()x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含42x y 项的系数是（结果用数字表示）.14．正八面体各个面分别标以数字1到8．抛掷一次该正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为{}1,2,3,4,5,6,7,8Ω=.已知事件{}1,2,3,4A =，{}1,2,3,6B =，{}1,,,C a b c =，若()()()()P ABC P A P B P C =但A ，B 与C 均不独立，则事件C =．15．已知动点P ，Q 分别在圆221:(ln )()4M x m y m -+-=和曲线ln y x =上，则PQ 的最小值为．16．若函数2()e 1x f x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．记ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .(1)证明：若2C A =，则2cos a b a C =-；(2)探究：是否存在一个ABC ，其三边为三个连续的自然数，且最大角是最小角的两倍？如果存在，试求出最大边的长度；如果不存在，说明理由．18．已知函数e ()ln (R)xa f x x x a x =-+∈．(1)当0a =时，求()f x 的单调区间；(2)当1a =时，证明：()e 1f x ≥-．19．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面,,4,2,,ABC AB AC SA AB AC D E ⊥===分别为,BC SC 的中点，点,M N 都在棱SA 上，1AM =，且满足//DM 平面BEN .(1)求AN 的长；(2)求平面BEN 与平面DEM 夹角的余弦值.20．为培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某学校每月都会开展学农实践活动．已知学农基地前10个月的利润数据如下表，月份用x 表示，sin t x =，利润用y （单位：万元）表示，已知y 与x 的经验回归方程为ˆsin yb x a =+．x 12345678910y 4.683 4.819 3.282 1.486 1.082 2.441 4.314 4.979 3.824 1.912t0.8410.9090.141-0.757-0.959-0.2790.6570.9890.412-0.544(1)求,a b 的值（结果精确到1）；(2)某班班主任和农学指导教师分别独立从该班5名班级干部名单中各随机选择2人作为组长，设被选出的组长构成集合M ，集合M 中元素的个数记为随机变量X.（i ）求X 的分布列及数学期望；（ii ）规定：进行多轮选择，每轮出现3X =记为A ，出现3X ≠记为B ，先出现AB 为甲胜，先出现AA 为乙胜．记1P 表示“第一轮为A 且最终甲胜的概率”，2P表示“第一轮为B 且最终甲胜的概率”，求1P ，2P及甲胜的概率．参考数据：114.23iii t y∞=≈∑，0.14t ≈， 3.28y =，1021()4.80ii t t =-≈∑．参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ．其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式为：1122211()ˆ()nni iiii i n niii i x x yy x ynx y bx x xnx ====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-．21．已知O 为坐标原点，点P 在椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>上，1C 的左、右焦点12,F F 恰为双曲线2224:13C y x -=的左、右顶点，1C 的离心率12e =．(1)求1C 的标准方程；(2)若直线l 与1C 相交于A ，B 两点，AB 中点W 在曲线22222344:33y y C x x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭上．探究直线AB 与双曲线2C 的位置关系.22．在各项均为正数的数列{}n a 中，12a =，216a =，2114(1)n n n a a a n +-=>．(1)证明数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若21)ln 1n nb n =+⋅+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ．（i ）求nS ；（ii ）证明：12n S >-．答案解析1．C【分析】先求出集合B ，再由并集列出不等式即可解.【详解】由已知，{|}B x x a =≥-，因为{}|1A B x x ⋃=>-，所以13a -<-≤，即31a -≤<.故选：C 2．B【分析】由共轭复数的概念以及复数的乘法运算可得结果.【详解】因为i z a =+，所以i z a =-，()()()()()2111i 1i 111z z a a a ++=+++-=++=，解得1a =-，故选：B.3．A【分析】利用中点坐标公式以及向量的坐标表示进行数量积运算.【详解】由题意，3357,,2222E F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()4,2EF =，()1,3AB =，412310EF AB ⋅=⨯+⨯=.故选：A 4．B【分析】根据频率分布直方图直接计算即可.【详解】由题中频率分布直方图知区间[]50,60的频率为：()10.0270.0250.0160.014100.18-+++⨯=则在区间[][]50,60,60,70的频率为：0.180.027100.45+⨯=，所以第60百分位数在区间[]70,80，且设为x ，则700.60.45100.25x --=，解得76x =.故选：B5．C【分析】先根据已知条件求出公差d 的范围，再根据等差数列{}n a 各项均为正整数，可确定公差d 的值.【详解】因为等差数列{}n a 中，11123110a a a a a d =++=+，所以2310a a d +=，所以11210a d a d d+++=，所以127a d=，得172a d =，因为等差数列{}n a 各项均为正整数，所以公差d 为正整数，因为210a <，所以1910272d d d a d +=+=<，所以2009d <<，因为公差d 为正整数，所以1d =或2d =，当1d =时，由17771222a d ==⨯=，不合题意，舍去，当2d =时，17a =，符合题意，所以2d =，故选：C 6．D【分析】先判断直线l 的斜率存在，设直线l的方程为(y k x =-，代入抛物线方程化简，根据根与系数的关系及基本不等式即可求得结果.【详解】当直线l 斜率存在时，设直线l的方程为(y k x =-，由22(y px y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得22222)80k x p x k -++=，224222)3240p k p ∆=+-=+>，设1122(,),(,)A x yB x y ，则128x x =，且120,0x x >>，当直线l 的斜率不存在时，则直线l为x =128x x =，所以122()()222p p x AF BF x =++++12322x x p =++118322x px =++33822p p≥=+，当且仅当1182xx=，即12x=时取等号，所以2AF BF+的最小值为382p+，所以38142p+=，得4p=，所以抛物线E的准线方程为22px=-=-，故选：D7．C【分析】构造平面1A BD，平面11CB D，设正方体边长为1，根据等体积法计算A到平面1A BD的距离h，从而可得出E，F分别为1AC与平面1A BD和平面11CB D的交点，计算中间几何体的体积得出答案．【详解】解：构造平面1A BD，平面11CB D，则1AC⊥平面1A BD，1AC⊥平面11CB D，设正方体边长为1，则11A B A D BD==1AC，1AE EF FC∴==，11111111326A ABD CBC DV V--∴==⨯⨯=，设A 到平面1A BD 的距离为h，则1121136A AB D V h -==，解得h E ∴∈平面1A BD ，同理可得F ∈平面11CB D ，∴正方体夹在平面α与β之间的部分体积为121263-⨯=，∴体积之比是23，故选：C ．【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．8．A【分析】由平面向量的线性运算可得122PO PF PF =+ ，1221F F PF PF =-uuu ur uuu r uuu r ，由平面向量数量积的运算性质可得出()22221212222PO F F PF PF +=+ ，可得出关于a 、c 的齐次等式，由此可得出a 、b 满足的等量关系，由此可得出该双曲线渐近线的方程.【详解】如下图所示：因为122PF PF =，由双曲线的定义可得1222PF PF PF a-==，则14=PF a，因为O 为12F F 的中点，则120F O F O += ，则1122PO PF F O PO PF F O ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ ，所以，122PO PF PF =+ ，又因为1221F F PF PF =-uuu u r uuu r uuu r ，所以，()()()22222212212112222PO F F PF PF PF PF PF PF +=++-=+ ，即()()()()222222422c a a +=⨯+⨯，整理可得223c a =，即2223a b a +=，所以，b ，因此，该双曲线的渐近线方程为by x a =±=.故选：A.【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程的方法：（1）定义法：直接利用a 、b 求得比值，则焦点在x 轴上时，渐近线方程为by xa =±，焦点在y 轴上时，渐近线方程为a y xb =±；（2）构造齐次式：利用已知条件结合222a b c =+，构建b a 的关系式（或先构建ca 的关系式），再根据焦点位置写出渐近线方程即可.9．AD【分析】根据互斥事件以及相互独立事件的概念，可判断A,B ；根据条件概率的公式计算()|P A B 和()|P B A ，可判断C ，由条件概率结合交事件的性质可判断D.【详解】对于A,由于至少有一个红球和至少有一个白球，可以同时发生，故事件A 与事件B 不互斥，A 正确；对于BC ，112426C C 8()C 15P AB ==,21122426C +C C 3()C 5P A ==,21142426C C C 14()C 15P B +==,所以()()()P AB P A P B ≠，故B 错误；故()8()415|=14()715P AB P A B P B ==，()8()815|=3()95P AB P B A P A ==，故C 错误；对于D ，112426C C 8()=()==C 15P C P AB ,故()()()()()()515|+|=()()2()()()()()314P AC P BC P C P C P C A P C B P C P C P C P A P B P A P B +=+=+>,故D 正确，故选：AD.10．AC【分析】由已知函数()f x 在π5π,99⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则周期8π9T >，又图象关于点4π,09⎛⎫ ⎪⎝⎭对称,关于7π9x =对称，可得4π3T =，从而确定3π()sin()23f x x =+，可判定A 、B 、C ；再由图象平移得函数()3sin 2g x x=，可判断D.【详解】因为函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>在π5π,99⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则周期5ππ8π2999T ⎛⎫>⨯-=⎪⎝⎭，则由2π8π39f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，可知函数()f x 图象关于2π8π7π3992x =+=对称，又函数()f x 图象关于点4π,09⎛⎫⎪⎝⎭对称,所以7π4π4π4993T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以32ω=，A 正确；当7π9x =时，函数()f x 取得最小值，则37π3π2π,292k k ϕ⨯+=+∈Z，π2π,3k k ϕ=+∈Z，B 错误；由3π()sin()23f x x =+，所以()()3π3π2023π2024πsin(2023π)sin(2024π)2323f f +=⨯++⨯+πππ13sin()sin(2332=++=，C 正确；将()y f x =的图象向右平移2π9个单位得到函数()g x 的图象，()2π32ππ3()sin()sin 92932g x f x x x ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭，则()g x 为奇函数，D 错误.故选：AC11．BCD【分析】对于A 项，只需将ab 通过基本不等式放大为2()2a b +，解不等式即得；对于B 项，只需将a b +通过基本不等式缩小为C 项，可以通过原等式消去一元代入所求式，再凑项运用基本不等式即得；对于D 项，应注意到(1)(1)a b --与8ab a b =++的关系，即可整体运用基本不等式求得.【详解】对于选项A ，由28()2a b a b ab +++=≤，当且仅当a b =时等号成立，不妨设a b t +=，则得24320t t --≥，解得：8t ≥或4t ≤-，因,0a b >，则8a b +≥，故A 项错误；对于选项B，由8ab a b -=+≥，当且仅当a b =s =，则2280s s --≥，解得：4s ≥或2s ≤-，因0s >，则4s ≥，即16ab ≥，故B 项正确；对于选项C ，由8ab a b =++可得：(1)8a b b -=+，则1b >，且81b a b +=-，则899331343(1)44111b a b b b b b b b ++=+=++=++-≥+=+---，当且仅当93(1)1b b =--时取等号，即1,1b a =+=时，3a b +有最小值4+，故C 项正确；对于选项D ，由8ab a b =++可得：19ab a b --+=，即(1)(1)9a b --=，且1,1a b >>，则144113a b +≥--，当且仅当1411a b =--时等号成立，由14118a b ab a b ⎧=⎪--⎨⎪=++⎩解得：527a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即当且仅当5,72a b ==时，1411a b +--有最小值43，故D 项正确.故选：BCD.12．AC【分析】若函数()f x 逆时针旋转π4角后所得函数仍是一个函数，则函数()f x 的图象与任一斜率为1的直线y x b =+均不能有两个或两个以上的交点，依次判断选项.【详解】若函数()f x 逆时针旋转π4角后所得函数仍是一个函数，则函数()f x 的图象与任一斜率为1的直线y x b =+均不能有两个或两个以上的交点.不对于sin y x =，设()sin f x x x b =--，则()cos 10f x x '=-≤，则()f x 为R 上的单调递减函数，即方程sin 0x x b --=只有一解，所以sin y x =与y x b =+只有一个交点，故符合题意，A 正确；对于sin 2y x =，设sin )2(g x x x =-，ππππ(0)0,(10,()004422g g g ==->=-<,则()g x 在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭有零点，即方程sin 20x x -=不只有一解，所以sin 2y x =与y x =多个交点，不符合题意，B 错误；对于ln y x x =-，设()ln ln F x x x x b x b =---=--，显然()F x 为()0,∞+上减函数，当e b x -=时，()0F x =，即所以ln y x x =-与y x b =+只有一个交点，故符合题意，C 正确；对于e x y x =，设()e 1xG x x x =--，则22(2)2e 10,(0)10,(2)2e 30G G G --=-+>=-<=->，显然()G x 在()2,0-和()0,2上各有零点，即所以e xy x =与1y x =+有多个交点，故不符合题意，D 错误.故选：AC.【点睛】思路点睛：若函数()f x 逆时针旋转π4角后所得函数仍是一个函数，则函数()f x 的图象与任一斜率为1的直线y x b =+均不能有两个或两个以上的交点.13．25-【分析】根据二项式定理展开式通项的特征即可求解.【详解】展开式中含42x y 项的系数是223366C (1)2C (1)154025⨯-+⨯⨯-=-=-.故答案为：25-14．{}1,5,7,8【分析】由()()()()P ABC P A P B P C =，可知{}1ABC =，又A ，B 与C 均不独立，可解.【详解】由已知()()()12P A P B P C ===又()()()()18P ABC P A P B P C ==，所以{}1ABC =，又A ，B 与C 均不独立，即()()()14P AB P A P B ≠=，()()()14P AC P A P C ≠=，()()()14P BC P B P C ≠=，所以C ={}1,5,7,8.故答案为：{}1,5,7,81512【分析】先得到圆心M 在e xy =上，半径为12，故PQ的最小值等于MQ的最小值减去半径12，由反函数可知，MQ的最小值等于Q 到直线y x =的距离的最小值的2倍，求导得到ln y x =在点()1,0Q 处的切线与y x =平行，求出()1,0Q 到y x =的距离最小值，得到答案.【详解】由题意得()ln ,M m m ，即圆心M 在e xy =上，半径为12，故PQ的最小值等于MQ的最小值减去半径12，设(),ln Q n n ，由于e xy =与ln y x =关于y x =对称，MQ的最小值等于Q 到直线y x =的距离的最小值的2倍，由ln y x =，可得1y x '=，令11n =，解得1n =，故ln y x =在点()1,0Q 处的切线与y x =平行，此时()1,0Q 到y x =的距离最小，2=，故MQ的最小值为222=，则PQ12.122【点睛】方法点睛：两曲线上点的距离最值问题，处理思路如下：①设出两点的坐标，利用两点间距离公式表达出距离，结合基本不等式或求导，得到函数最值；②利用几何关系，找到取最小距离的位置或点的坐标，进行求解.16．e e ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】分1x ≥与01x <<两种情况，求导，然后参变分离，构造函数，求出最值，得到答案.【详解】()()222e 1,1()e 1e 1,01x xx a x x f x a x a x x ⎧+-≥⎪=+-=⎨--<<⎪⎩，当1x ≥时，()e 2x f x ax ='+，令()0f x '≥得e e 202xxax a x +≥⇒≥-，令()e xh x x =-，1x ≥，()()2e 10x x h x x '-=≤在[)1,x ∞∈+上恒成立，故()e xh x x =-在[)1,x ∞∈+上单调递减，又()()max 1eh x h ==-，所以2e a ≥-，解得2a e≥-；当01x <<时，()e 2x f x ax ='-，令()0f x '≥得e e 202xxx ax a -≥⇒≤，令()e xg x x =，01x <<，()()2e 10x x g x x '-=<在()0,1x ∈上恒成立，故()e xg x x =在()0,1x ∈上单调递减，其中()1eg =，故2a e ≤，解得2ea ≤，由于(1)e f =，即()f x 在1x =处连续，综上，e e ,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为：e e ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦17．(1)证明见解析(2)存在，最大边长为6．【分析】（1）由2C A =，利用三角恒等变换证明出sin 2sin cos sin B A C A -=，再利用正弦定理可证得结论成立；（2）假设存在ABC ，其三边为三个连续的自然数1m -、m 、()11m m +>，设这三边所对的角分别为A 、B 、C ，可得2C A =，由（1）中的结论结合余弦定理可求出m 的值，即可求得ABC 最长边的边长.【详解】（1）证明：若2C A =，则()sin 2sin cos sin 2sin cos B A C A C A C-=+-sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C =+-()sin cos cos sin sin sin C A C A C A A=-=-=，所以，由正弦定理得：2cos a b a C =-．（2）解：假设存在ABC ，其三边为三个连续的自然数1m -、m 、()11m m +>，设这三边所对的角分别为A 、B 、C ，则若最大角是最小角的两倍，即2C A =．由（1）知，()121cos m m m C-=--，即()21cos 1m C -=．由余弦定理知，()()()222l l cos 21m m m C m m -+-+=-，所以，241m mm -=，即250m m -=，因为1m >，解得5m =，经检验满足条件．于是最大边长为16m +=．因此，存在一个ABC ，其三边为三个连续的自然数，最大边长为6．18．(1)答案见详解(2)证明见解析【分析】（1）利用导数研究函数单调性；（2）法一：由（1）可知ln 1x x x ≤-<，即e xx <，从而可得此时导函数的正负，可得函数()f x 的最小值，得证；法二：由对数运算得e e ()ln x x f x x x =-，令()()e 0xh x x x =>，利用导数得()(1)e h x h ≥=，令()()ln ,e k x x x x =-≥，则由（1）知：故()k x 在[e,)+∞单调递增，可证.【详解】（1）当0a =时，()ln f x x x=-，则11()1(0)xf x x x x-'=-=>当01x <<时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，故()f x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，（2）（法一）当1a =时，2(e )(1)()(0)x x x f x x x --'=>由（1）可知ln 1x x x ≤-<，即e xx <，当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()f x 在()0,1单调递减，在(1,)+∞单调递增，因此，()()1e 1f x f ≥=-（当且仅当1x =时取得等号）（法二）当1a =时，e e e ()ln lnx x xf x x x x x x =-+=-令()()e 0xh x x x =>，可知(1)e ()x x h x x -'=于是()y h x =在()0,1单调递减，在(1,)+∞单调递增，因此，e ()(1)exh x h x =≥=（当且仅当1x =时取得等号）．令()()ln ,e k x x x x =-≥，则由（1）知：故()k x 在[e,)+∞单调递增，因此()e 1k x ≥-．所以e ()e 1x f x k x ⎛⎫=≥- ⎪⎝⎭．19．(1)2AN =(2)368【分析】（1）由线面平行的性质与三角形的重心的性质求解即可；（2）建立坐标系，利用向量法求解即可【详解】（1）如图，连接SD ，交BE 于点G ，连接NG ，则平面SMD ⋂平面BEN NG =.因为//DM 平面,BEN DM ⊂平面SMD ，所以//DM NG .因为,D E 分别为,BC SC 的中点，所以点G 为SBC △的重心，所以2SG GD =，所以2SN NM =.由题意知14AM SA =，则N 是SA 的中点，1 2.2AN SA ==（2）由题意知SA ⊥底面,ABC AB AC ⊥，所以AB ，,AC AS 两两垂直.以点A 为坐标原点，,,AB AC AS 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图，则()()()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,,0,0,4,,2,0,0,2,0,0,1A B C S D E N M所以()(),2,0,2,(1BE BN DE =-=-=-，()0,2),1,DM =-.设平面BEN 的法向量为()111,,m x y z =，则00m BE m BN ⎧⋅=⎨⋅=⎩即11111220220x z x z ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩令11x =，则110,1y z ==，所以平面BEN 的一个法向量为()1,0,1m =.设平面DEM 的法向量为()222,,n x y z = ，则00n DE n DM ⎧⋅=⎨⋅=⎩即22222200x z x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令22x =，则221y z ==，所以平面DEM的一个法向量为2,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ .故cos ,m n m n m n⋅=，由图象可知平面BEN 与平面DEM 夹角为锐角，所以平面BEN 与平面DEM夹角的余弦值为8.20．(1)3;2(2)（i ）分布列见解析，165；（ii ）1625P =，2425P =，25【分析】（1）借助回归直线方程知识，将题干条件的数据代入计算即可；（2）由题意知，X 的可能取值为2，3，4，分别计算出概率,列出分布列计算期望；依次计算概率即可.【详解】（1）由已知公式得1011014.23100.14 3.289.6i ii t y t y =-≈-⨯⨯≈∑，所以9.6ˆ 2.04.8b =≈，ˆˆ 3.28 2.00.143a y bt =-=-⨯=，所以ˆˆ3,2a b ==.（2）（i ）由题意知，X 的可能取值为2，3，4，555222C 1(2)C C 10P X ===，3112532255C C C 63(3)C C 105P X ====，54422255C C 3(4)C C 10P X ===，其分布列为X234P1103531013316()234105105E X =⨯+⨯+⨯=．当第一轮为A 时，若第二轮为B ，则甲胜；若第二轮为A ，则乙胜，所以13265525P =⨯=;当第一轮为B 时，若第二轮为A ，则最终甲胜的概率为125P ，若第二轮为B ，则最终甲胜的概率为225P ；所以2122226255255P P P P =+=+，解得2425P =．故甲胜的概率1225P P P =+=．21．(1)22143x y +=(2)直线AB 与2C 相切【分析】（1）根据题意双曲线与椭圆的性质列式求,a b ，即可得方程；（2）设:l y kx m =+，00(,)W x y ，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得02434kmx k =-+，2334m y k =+，结合题意可得22443m k =-，再联立直线l 与双曲线方程分析判断位置关系，注意讨论直线l 的斜率是否存在.【详解】（1）由题可知：12(1,0),(1,0)F F -所以221a b-=，22212a b e a -==，解得2,a b ==．所以椭圆C 的标准方程为；22143x y +=．（2）设11(,)A x y ，()22,B x y ，若直线l 斜率存在，设:l y kx m =+，联立方程22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：222(34)84120k x kmx m +++-=，则11228Δ0,34km x x k >+=-+，可得1224234x x km k +=-+，12122()232234y y k x x m mk +++==+，设00(,)W x y ，则02434kmx k =-+，02334m y k =+，可得()222221634k m x k =+，()22022934m y k =+，则22222002224(1216)43(34)34y m k m x k k ++==++，同理可得：2222220022224(1612)4(43)3(34)(34)y m k m k x k k ---==++，因为W 在曲线22222344:33y y C x x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭上，则()222222244(43)3434m m k k k ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭+，解得22443m k =-，联立方程22413y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得：222(34)8430k x kmx m ----=，所以()222Δ123440m k =+-=，直线AB 与2C 相切．若直线l 斜率不存在，由对称性知W 在x 轴上，W 在曲线22222344:33y y C x x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，令0y =，可得()222x x =，且0x ≠，解得1x =±，则()1,0W ±，直线:1AB x =±，此时也有直线AB 与2C 相切，综上可知：直线AB 与2C 相切．【点睛】关键点点睛：对于弦中点问题常用“根与系数的关系”，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件0∆>．22．(1)证明见解析，22n n a =(2)（i ）n S 2(21)ln(1)2ln !n n n n =-+++；（ii ）证明见解析【分析】（1）由等比数列定义证明1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，并写出通项公式，再用累乘法求出22n n a =；（2）（i ）运用对数运算进行分组求和；（ii ）构造数列11121n n ⎧⎫⎛⎫--⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎩⎭，其前n 项和为1111212n ⎛⎫-->- ⎪+⎝⎭，只需证明：1112(21)ln 121n n b n n n n ⎛⎫=++>-- ⎪++⎝⎭，利用导数研究函数11()ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，(0,1)x ∈，恒大于0得证.【详解】（1）由题意知114(1)n n n n a a n a a +-=>，因此数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以218a a =为首项，以4为公比的等比数列，于是2112n n n a a ++=，2112(1)n n n a n a --=>．2(21)(23)11321122122(1)n n n n n n n n a a a a a a n a a a a -+-++---=⋅⋅⋅⋅⋅==> ．又12a =适合上式，所以22n n a =．（2）（i ）因为2(21)ln 2(21)ln (21)ln(1)2ln 1n n b n n n n n n n =++=+--++++，所以()()()()()()2ln13ln 22ln123ln 25ln 32ln 2221ln 21ln 12ln n S n n n n n =+-+++-++++--+++ ()2[03ln 23ln 25ln 3(21)ln (21)ln(1)]2ln1ln 2ln n n n n n n =+-+-++--+++++++ 2(21)ln(1)2ln !n n n n =-+++．（ii ）因为数列11121n n ⎧⎫⎛⎫--⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎩⎭的前n 项和为11111111111212231212n n n ⎛⎫⎛⎫--+-+-=-->- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ，所以只需证明：1112(21)ln 121n n bn n n n ⎛⎫=++>-- ⎪++⎝⎭，也就是()()11211111ln 21121(21)212121n n n n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫>--=-+-=- ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，令(0,1)1n x n =∈+，只需证明11ln 2x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，设函数11()ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，(0,1)x ∈，222111(1)()0222x f x x x x --'=--=≤．所以()()10f x f >=，即11ln 2x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭成立，得证．【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，利用裂项相消法求和.。
山东省2014高考数学压轴卷 理(含解析)
2014山东省高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．集合A={0，1，2}，B={x|x=2a ，a ∈A}，如此A ∩B 中元素的个数为〔 〕 A.0 B.1 C.2 D.3 2. 复数21i z ()i=-，如此复数1z +在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，如此“//αβ〞是“l m ⊥〞的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件4. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，假设a 1=1，a 3=5，S k+2﹣S k =36，如此k 的值为〔 〕 A ． 8 B ． 7C ． 6D ． 55．如图是某一几何体的三视图，如此这个几何体的体积为〔 〕A ． 4B ． 8C ． 16D ． 206.一个算法的程序框图如下列图，如果输入的x 的值为2014，如此输出的i 的结果为〔 〕A．3 B．5 C．6 D．87.函数f〔x〕=2sin〔ωx+φ〕〔ω＞0，0≤φ≤π〕的局部图象如下列图，其中A，B两点之间的距离为5，如此f〔x〕的递增区间是〔〕A.[6K-1，6K+2](K∈Z)B. [6k-4,6k-1] (K∈Z)C.[3k-1,3k+2] (K∈Z)D.[3k-4,3k-1] (K∈Z)8. ．在边长为1的正方形OABC中任取一点P，如此点P恰好落在正方形与曲线围成的区域内〔阴影局部〕的概率为〔〕A．B．C．D．9．抛物线22(0)y px p =>的焦点F 与双曲22145x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且2AK AF =，如此A 点的横坐标为(A)22 (B)3 (C)23 (D)410.函数f 〔x 〕对任意x ∈R 都有f 〔x+6〕+f 〔x 〕=2f 〔3〕，y=f 〔x ﹣1〕的图象关于点〔1，0〕对称，如此f 〔2013〕=〔 〕A.10B.-5C.5D.0二、填空题：本大题共5小题，每一小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11.〔3x+〕6的展开式中常数项为〔用数字作答〕．12. 假设等边△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足，如此=．13. 设x ，y 满足约束条件，假设目标函数z=ax+by 〔a ＞0，b ＞0〕的最大值为12，如此+的最小值为〔 〕 A ． 4 B ． C ． 1 D ． 214.设f 〔x 〕是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f 〔x 〕=x 2，假设对任意x ∈[a ，a+2]，不等式f 〔x+a 〕≥f〔3x+1〕恒成立，如此实数a 的取值范围是________．15. 集合A={f 〔x 〕|f 2〔x 〕﹣f 2〔y 〕=f 〔x+y 〕•f〔x ﹣y 〕，x 、y ∈R}，有如下命题： ①假设f 〔x 〕=，如此f 〔x 〕∈A ；②假设f 〔x 〕=kx ，如此f 〔x 〕∈A ；③假设f 〔x 〕∈A ，如此y=f 〔x 〕可为奇函数； ④假设f 〔x 〕∈A ，如此对任意不等实数x 1，x 2，总有成立．其中所有正确命题的序号是______．〔填上所有正确命题的序号〕三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．在△ABC 中，A=4π，255cos B =．(I)求cosC 的值；(Ⅱ)假设BC=25，D 为AB 的中点，求CD 的长．17.如图，PA⊥平面ABC ，等腰直角三角形ABC 中，AB=BC=2，AB⊥BC，AD⊥PB 于D ，AE⊥PC 于E ．〔Ⅰ〕求证：PC⊥DE；〔Ⅱ〕假设直线AB 与平面ADE 所成角的正弦值为，求PA 的值．18. 在一个盒子中，放有大小一样的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，假设是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为x 、y ，设O 为坐标原点，点P 的坐标为(2,)x x y --，记2OP ξ=． 〔I 〕求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值〞的概率； 〔Ⅱ〕求随机变量ξ的分布列和数学期望．19. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线312y x =-上. 〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T ，并求使-184055327n n n T +≤⨯成立的正整数n 的最大值.20.给定椭圆C：，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆〞，椭圆C的两个焦点分别是．〔1〕假设椭圆C上一动点M1满足||+||=4，求椭圆C与其“伴随圆〞的方程；〔2〕在〔1〕的条件下，过点P〔0，t〕〔t＜0〕作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆〞所得弦长为2，求P点的坐标；〔3〕m+n=﹣〔0，π〕〕，是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆〞上的点到过两点〔m，m2〕，〔n，n2〕的直线的最短距离．假设存在，求出a，b的值；假设不存在，请说明理由．21.函数f〔x〕=ax2﹣〔2a+1〕x+2lnx〔a＞0〕．〔Ⅰ〕假设a≠，求函数f〔x〕的单调区间；〔Ⅱ〕当＜a＜1时，判断函数f〔x〕在区间[1，2]上有无零点？写出推理过程．2014山东省高考压轴卷理科数学参考答案1.【答案】C【解析】：由A={0，1，2}，B={x|x=2a ，a ∈A}={0，2，4}， 所以A∩B={0，1，2}∩{0，2，4}={0，2}． 所以A∩B 中元素的个数为2．应当选C ． 2. 【答案】D【解析】因为22211()1(1)22i i z i i i i -====----，所以1112z i +=-，所以复数1z +在复平面上对应的点位于第四象限. 3. 【答案】A.【解析】当//αβ时，由l ⊥平面α得，l β⊥，又直线m ∥平面β，所以l m ⊥。
2014—2015学年成都理工大学第二学期《高等数学 I、Ⅱ》(下)期末考试试卷 高数下试题及答案
得 分
A、若函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处各偏导数存在，则函数在该点可微分． B、若函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微分，则函数在该点的偏导数一定存 在． C、 若函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续， 则函数在该点的偏导数一定存在． D、若函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处偏导数存在，则函数在该点一定连续．
L AO
x
2
3 y dx y 2 x dy
4 2 0
OA
x
2
3 y dx y 2 x dy
2分
4 d x d y
D
x dx
1分
4分
8
64 3
－5－
2. 已知曲面壳 z 3 x 2 y 2 的面密度 x 2 y 2 z ，求此曲面壳在平面 z 1 以上部分 的质量 M 。 解： 在 xOy 面上的投影为 Dxy：x 2 y 2 2 ，故
2 , 4 ,1 方向的方向导数最大。
3．函数 u x 2 y 2 z 2 在点 P0 (1,1,1) 处沿 OP0 方向的方向导数为
2 3 ，其中 O 为坐标原点。
4 ． 区 域 D ： x 2 y 2 R 2 ( R 0) , 则 积 分
1 3 R 3
( R
所围成的封闭曲面，方向取外侧。 解： P z 2 x ， Q x 2 y ， R y 2 z ， Px z 2 ， Q y x 2 ， Rz y 2 ， 由高斯公式可得 y 2 zdxdy z 2 xdydz x 2 ydzdx
青岛理工大学2010级高等数学(上)B试题及解答
2010高等数学(上)B一、填空题：(每题3分，共18分)1、极限⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→x 2sin x xx sin lim x = 。
2、函数3x 3x 2x )x (f 2---=的间断点为 。
3、设函数2x sin y =，则y4、设函数3ax x 2y 23++=在x=1处取得极值，则5、设2x e 是函数f(x)的一个原函数，则不定积分⎰'(f6、定积分()⎰ππ-+22xdx cos x x =——二、选择题：(每题3分，共15分)1、设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0x ,)x a ln(0x ,x1sin x )x (f 2在(-∞,+∞)上连续，则a= 。
A.1 B.e C.2 D.e1 2、设函数f(x)可导，y=f(x 2)，则微分dy= 。
A.dx )x (f 2'B.dx )x (f 2C.d x )x (f x 22'D.dx ))x (f (x 22'3、设函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)，则方程0)x (f ='的实根个数是 。
A.4B.3C.2D.14、不定积分⎰-dx xe x = 。
A.C e )1x (x +--B.C e )1x (x ++--C.C e )x 1(x +--D.C xe x +-5、在下列反常积分中收敛的是A.⎰∞+0dx xx ln B.⎰∞+e 2dx )x (ln x 1 C.⎰∞+e dx x ln x 1 D.⎰∞+e 21dx )x (ln x 1三、(6分)求极限)x 1ln()x cos 1(x 1cos x x sin 3lim 20x +++→。
四、(6分)设函数y=y(x)由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==⎰2t 02tcos y du u sin x 确定，求二阶导数22dx y d五、计算下列不定积分：(每题5分，共计10分)1、⎰++dx x2cos 1x cos 12 2、⎰xdx tan x 2六、(12分)求函数x xe x f -=2)(的单调区间、函数曲线的凹凸区间、极值及拐点。
14级高数AII期末试卷(A)
六、计算曲面积分和三重积分（共12分，每小题6分）
1.计算 ，其中 是旋转抛物面 介于 及 之间部分的下侧.
2.计算 ，其中Ω是第一卦限中球面 与球面 之间的部分．
七、判断下列级数的敛散性，如果收敛是条件收敛还是绝对收敛
（共10分，每小题5分）
1. 2.
八、求幂级数 的收敛域及和函数．（本题8分）
1.空间直线 与平面 的位置关系是[ ].
．平行 ．垂直 ．不平行也不垂直 ．直线在平面上
2.设 为连续函数， ，则 等于[ ].
． ． ． ．
3.设 是旋转抛物面 ， 的外侧， 是 平面上圆域 ，则曲面积分
可化为二重积分[ ].
． ．
． ．
4.正项级数 收敛是级数 收敛的[ ].
．必要，但非充分条件 ．充分，但非必要条件 ．充要条件 ．无关条件
三、求下列微分方程的解（共10分，每小题5分）
1． .
2．
四、求解下列各题（共15分，每小题5分）
1.求通过点 且与直线 垂直相交的直线方程．
2.求函数 在点A(1, 0, 1)处沿点A指向点 方向的方向导数.
3.求二元函数 的极值.
五、求下列各积分（共15分，每小题5分）
1. ．
2.计算 ，其中 是圆周 的上半部分 .
集美大学试卷纸
2014—2015学年第二学期
课程名称
高等数学AⅡ
试卷
卷别
A卷
适用
学院、专业、年级
2014级电子、通信、电科、物理、光电、电气
等专业
考试
方式
闭卷
开卷□
备注
1.本试卷共6页，答题前请检查；2.考试时间120分钟。
高等数学A(二)B期末考卷及解答海大
高等数学A(二)B期末考卷及解答海大一、选择题（每题1分，共5分）1. 设函数f(x)在x=0处可导，且f'(0)=2，则下列选项中正确的是（）A. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 0B. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 2C. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 1D. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 22. 设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足0≤f(x)≤1，则下列选项中正确的是（）A. ∫(0,1) f(x) dx = 0B. ∫(0,1) f(x) dx = 1C. ∫(0,1) f(x) dx = 0.5D. 无法确定3. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=3，则下列选项中正确的是（）A. A可逆B. A不可逆C. A的行列式为0D. A的行列式为34. 设函数y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为yy0=2(xx0)，则下列选项中正确的是（）A. f'(x0)=0B. f'(x0)=1C. f'(x0)=2D. f'(x0)不存在5. 设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f'(x)>0，则下列选项中正确的是（）A. f(x)在[a,b]上单调递增B. f(x)在[a,b]上单调递减C. f(x)在[a,b]上取得最大值D. f(x)在[a,b]上取得最小值二、判断题（每题1分，共5分）1. 函数f(x)在x=0处可导，则f(x)在x=0处连续。
（）2. 若函数f(x)在区间[a,b]上可导，则f(x)在[a,b]上一定连续。
（）3. 矩阵A的行列式为0，则A不可逆。
（）4. 二重积分的值与积分次序无关。
（）5. 若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则f'(x)>0。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 设函数f(x)=x^33x，则f'(x)=______。
高等数学(下)智慧树知到答案2024年青岛理工大学
高等数学（下）青岛理工大学智慧树知到答案2024年第一章测试1.方程的特解形式为。
（）A:错 B:对答案:B2.设均为某二阶常系数线性非齐次微分方程的通解，则该方程为（）A:错 B:对答案:A3.设常系数线性齐次方程特征根为则此方程通解为（）。
一个。
A: B:C:答案:C4.设非齐次方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是（）一个。
A: B: C:答案:A5.设均为某二阶线性非齐次微分方程的解，则该方程满足的解为（）。
一个。
A: B: C:答案:B第二章测试1.A:B:C:D:答案:B 2.A:B:C:D:答案:A 3.A:B:C:D:答案:A 4.A:B:C:答案:B 5.A:B:C:D:答案:B 第三章测试1.A:（-1,5）B:（1，-5）C:（1,5）D:（-1，-5）答案:A2.A:B:C:D:答案:B3.A:B:C:D:答案:D4.A:0B:-1C:1D:2答案:C 5.A:不存在B:0C:-1D:1答案:B 第四章测试1.A:B:C:D:答案:D 2.A:B:C:D:答案:C 3.A:B:C:D:答案:C 4.A:B:C:20D:10答案:B5.A:无法判断B:大于C:等于D:小于答案:B第五章测试1.A:B:C:D:答案:B 2.A:B:C:D:答案:B3.A:B:其他选项都不对C:D:0答案:D4.A:B:C:D:答案:D5.A:B:C:答案:D第六章测试1.A:发散 B:收敛但和不一定为0C:收敛且和为0 D:可能收敛也可能发散答案:D2.A:B:C:答案:D3.A:B:C:D:答案:B4.A:绝对收敛B:可能收敛也可能发散C:条件收敛D:发散答案:A5.A:B:C:D:答案:A。
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−
2y2 x2
f1′2′
+
2y x3
f2′ +
y2 x4
f 2′2′
∂2z =
∂x∂y
f1′ −
1 x2
f2′ + xyf1′1′ −
y x3
f 2′2′
2分 2分
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青岛理工大学试卷标准答案及评分标准专用纸
∫∫ 四、（7分）I = x2 + y2 − 4 dxdy , 其中 D 是圆域 x2 + y2 ≤ 9.
max V = 4xyz
问题归结为
s.t. z = a 2 − x 2 − y2 4分
( x > 0, y > 0, z > 0)
作拉格朗日函数：L( x, y, z, λ ) = 4 xyz + λ( a2 − x2 − y2 − z)
Lx
=
4 yz
−
λx =0
a2 − x2 − y2
令
L
所求直线方程为 x + 3 = y − 2 = z − 5
4
3
1
2分
2.设函数
z=
f ( xy,
y ), 且 x
∂2z ∂2z f 具有二阶连续偏导数， 求 ∂x2 及 ∂x∂y
.
∂z 解： ∂x
=
yf1′( xy,
y x
)
−
y x2
f 2′(
xy,
y x
)
2分
∂2z 则∂x 2
=
y2
f1′1′
1 解：令 un = ln(n + 2)
lim
n→∞
un
=
lim
n→∞
1 ln(n +
2)
=
0
,且
1 ln(n +
3)
<
1 ln(n +
2)
2分
∴由莱布尼兹定理知，原 级数收敛 .
2分
∑ ∑ ∞
1
对于级数 n=0 ln(n + 2)，
1> ln(n + 2)
1 n+2
∞1
而
发散
n=0 n + 2
Dxy
2
1+
z
2 x
+
z
2 y
dxdy
3分
= ∫∫ 3 dxdy
Dxy
∫∫ = 3 dxdy = 3 × 1 × 2 × 1 = 3
Dxy
2
第2页共4页
2分 2分
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∫ 七、（8分）计算 I =
L
(x
+
y)dx − x2 +
(x y2
−
y)dy
,其中 L : 3x 2
∫∫ 九、（10分）计算 I = 3x3dydz + 3 y3dzdx + 9 (z2 + 2) dxdy,
Σ
2
Σ：z = 1 − x2 − y2 , (z ≥ 0) 取上侧.
解：作辅助面 Σ1 : z = 0 ( x2 + y2 ≤ 1,取下侧 )
则 I = ∫∫ −∫∫ Σ+Σ1 Σ1
2分
= 9∫∫∫ ( x2 + y2 + z) dxdydz − ∫∫ 9 dxdy 2分
∑∞
∴+ 2)
2分
∑∞
∴ 级数
(−1)n−1
条件收敛 .
n=0 ln(n + 2)
2分
六、（7分）计算
I
=
∫∫ (x
Σ
+
2y
+
2z) dS,其中Σ 是平面
x 2
+
y
+
z
=
1在第一
卦限的部分 .
x
解： Σ : z = 1 − − y
2
x
∫∫ I = ( x + 2 y + 2(1 − − y)) ⋅
Ω
Σ1
∫ ∫ ∫ ∫∫ = 9
2π
dθ
1
dρ
1−ρ2 (ρ 2 + z)ρ dz + 9
0
0
0
dxdy
4分
Dxy
= 3π + 9π = 12π
2分
十、（8分）求内接于半径为 a的半球面而体积最大的 长方体的体积 .
解：取上半球面 z = a2 − x2 − y2
设内接长方体的长宽高 为 2x,2 y, z .
∫− L1
x2 + y2
2分
∫∫ ∫ ( x + y)dx − ( x − y)dy
= 0 dxdy −
D
L1
x2 + y2
∫ ( x + y)dx − ( x − y)dy
=− L1
ε2
4分
= −2π
2分
∞
∑ 八、（10分）求幂级数 n(n + 1) xn−1 的收敛域及其和函数， 并求级数
∑∞ n2 + n
n=1
n=1
∑ =
∞
″ x n+1
n=1
=
1
x2 −x
″
=
(1
2 − x)3
,
x ∈ (−1,1 )
5分
∑ ∑ 1
∞ n2 + n 1 ∞ n2 + n 1
2
令 x = , 则有
2
n=1
2n
=⋅ 2 n=1
2n−1
=⋅
=8
2 (1 − 1 )3
2
2分
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4. 2
2.
z2 x2
dx −
z2 y2
dy
3. arcsin 1 14
5. y = e x (C1 cos 2x + C2 sin 2x)
三、计算题（每小题 6分，共 12分）
1.求与两平面π 1 : x − 4z = 3 和 π 2 : 2x − y − 5z = 1的交线平行，且过 点 ( − 3 ,2 ,5 )的直线方程. 解：令所求直线的方向向量 为 s, ij k s = n1 × n2 = 1 0 − 4 = ( − 4 ,−3 ,−1 ) 4分 2 −1 −5
D
∫ ∫ ∫ ∫ 解：I =
2π
dθ
2 (4 − ρ 2 )ρdρ +
2π
dθ
3
(ρ
2
−
4)ρdρ
0
0
0
2
4分
=
2π
2ρ
2
−
ρ4 4
2 0
+
2π
ρ4 4
−
2
ρ
2
3
2
=
41π 2
3分
∑∞
五、（8分）判断级数
(−1)n−1 是否收敛？若收敛，是绝对收敛还 是
n=0 ln(n + 2)
条件收敛？
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2013~2014 学年第二学期 高等数学 I 下（期末）课程试卷
标准答案及评分标准 B 卷
专业 13 级理工专业
班级 各班级
一、选择题 ( 每题 3分，共 15分) 1.C 2. B 3. A 4. A 5. B
二、填空（每小题 3分，共15分）
1. 8 π2
+
y2
=
1
,取正向 .
解： 添加辅助线 L1 : x 2 + y2 = ε 2 (沿顺时针方向)
由格林公式可得，
∫ ( x + y)dx − ( x − y)dy
I= L
x2 + y2
( x + y)dx − ( x − y)dy ( x + y)dx − ( x − y)dy
∫= L+ L1
x2 + y2
n=1
n=1 2n 的和. 解： 收敛半径 R = lim
n(n + 1)
=1
n→∞ (n + 1)(n + 2)
又 当 x = ± 1时级数发散， ∴ 原级数的收敛域为 ( − 1,1 ) 3分
令原级数的和函数为 S( x)，则
∞
∞
∑ ∑ S( x) = n(n + 1)xn = ( xn+1 )′′
y
=
4 xz
−
λy
=0
a2 − x2 − y2
Lz
=
4 xy
−
λ
=
0
z = a 2 − x 2 − y2