高一数学三角函数的基本概念
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(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角(连同α在内)，可以构成一个集合：S＝ {β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
(3)象限角：若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边在第几象限， 就认为这个角是第几象限角．若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何一个 象限．
(4)象限角的表示： (5)终边落在坐标轴上的角的表示
(4)弧度与角度的换算：1°＝1π80 rad,1 rad＝(18π0)°. (5)弧长公式：l＝|α|r， 扇形面积公式：S 扇形＝12l·r＝12|α|·r2.
续表
质疑探究 2：设 α 是一个任意角，点 P(x，y)是 α 的终边上的任意一点，如何求角 α 的 各个三角函数值？
提示：三角函数的值是一个实数，这个实数的大小和点 P(x，y)在终边上的位置无关， 对于确定的角 α，其终边的位置确定了，因此三角函数值也确定了，利用相似三角形的性质 可得：
故csoinsscions2θθ<0.
(1)判断三角函数值的符号就是判断角所在的象限．熟记各个三角函数在每个象 限内的符号是解决此类问题的关键．
(2)对于角所在象限的判断，关键是熟记终边相同角的表示及变形形式．
变式探究11：已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________ 象限．( )
(A)一 (B)二 (C)三 (D)四
解析：因为点 P(tan α，cos α)在第三象限，因此有
tan α<0
4．已知函数 y＝|ssiinn xx|＋|ccooss xx|＋|ttaann xx|，则函数的值域是________．
解析：显然角 x 的终边不在坐标轴上，当 x 是第一象限角时，y＝3；当 x 是第二象限角 时，y＝1－1－1＝－1；当 x 是第三象限角时，y＝－1＋(－1)＋1＝－1；当 x 是第四象限角 时，y＝－1＋1－1＝－1，∴函数的值域为{3，－1}．
第1节 三角函数的概念
1．角的有关概念
(1)角：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图 形．旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边，射线的端 点叫做角的顶点．按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形 成的角叫做负角，若一射线没作任何旋转，称它形成了一个零角．
sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx，其中 r＝|OP|＝ x2＋y2.
1．若α＝k·360°＋140°(k∈Z)，则α的终边在( B )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
解析：根据终边相同角的表示及意义可知，α的终边与140°的终边相同，即终 边落在第二象限，故选B. 2．若 α 是第二象限角，P(x， 5)是其终边上一点，且 cos α＝ 42x，则 x 的值为( D ) (A) 3 (B)2 2 (C)－2 2 (D)－ 3
2．弧度制 (1)1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角． (2)规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为 0，|α|＝rl，l 是 以角 α 作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径． (3)弧度制：用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值rl与 r 的大小无关， 仅与角的大小有关．
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质疑探究1：(1)终边相同的角相等吗？ (2)锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90°的角是锐角吗？
提示：(1)终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍． (2)第一象限角不一定是锐角，如390°，－300°都是第一象限角，但它们不是锐 角． 小于90°的角也不一定是锐角，如0°，－30°，都不是锐角．
解析：∵α 是第二象限角，
∴x<0，r＝ x2＋5，
∴cos α＝
x＝ x2＋5
42x，解得
x＝－
3，故选 D.
3 ． ( 教 材 改 编 题 ) 弧 长 为 3π ， 圆 心 角 为 135° 的 扇 形 半 径 为 ________ ， 面 积 为 ________．
解析：弧长 l＝3π，圆心角 α＝34π， 由弧长公式 l＝|α|·r 得 r＝αl ＝334ππ＝4， 面积 S＝12lr＝6π. 答案：4 6π
sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx，其中 r＝|OP|＝ x2＋y2.
质疑探究 3：设 α 是一个任意角，点 P(x，y)是 α 的终边上的任意一点，如何求角 α 的 各个三角函数值？
提示：三角函数的值是一个实数，这个实数的大小和点 P(x，y)在终边上的位置无关， 对于确定的角 α，其终边的位置确定了，因此三角函数值也确定了，利用相似三角形的性质 可得：
(2)由 θ 是第二象限角，可求 cos θ，sin 2θ 的范围，进而把 cos θ，sin 2θ 看作一个用弧度 制的形式表示的角，并判断其所在的象限，从而 sin(cos θ)，cos(sin 2θ)的符号可定．
解：(1)因为点 P 在第三象限， ∴sin θ·cos θ<0 且 2cos θ<0， 因此必有 sin θ>0，cos θ<0，故 θ 的终边在第二象限． (2)因为 θ 是第二象限角， 所以 cos θ<0，且－1<cos θ<0， 即 cos θ 是第四象限角， 因此 sin(cos θ)<0； 又 sin 2θ＝2sin θ·cos θ<0， 所以－1≤sin 2θ<0， 即 sin 2θ 也是第四象限角， 因此 cos(sin 2θ)>0.
答案：{3，－1}
象限角、三角函数值符号的判断
【例 1】 (1)如果点 P(sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角 θ 的终边所在的象限．
(Baidu Nhomakorabea)若
θ
是第二象限角，则 sincos θ 的符号是什么？ cossin 2θ
思路点拨：(1)由点 P 所在的象限，知道 sin θ·cos θ，2cos θ 的符号，从而可求 sin θ 与 cos θ 的符号．
(3)象限角：若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边在第几象限， 就认为这个角是第几象限角．若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何一个 象限．
(4)象限角的表示： (5)终边落在坐标轴上的角的表示
(4)弧度与角度的换算：1°＝1π80 rad,1 rad＝(18π0)°. (5)弧长公式：l＝|α|r， 扇形面积公式：S 扇形＝12l·r＝12|α|·r2.
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质疑探究 2：设 α 是一个任意角，点 P(x，y)是 α 的终边上的任意一点，如何求角 α 的 各个三角函数值？
提示：三角函数的值是一个实数，这个实数的大小和点 P(x，y)在终边上的位置无关， 对于确定的角 α，其终边的位置确定了，因此三角函数值也确定了，利用相似三角形的性质 可得：
故csoinsscions2θθ<0.
(1)判断三角函数值的符号就是判断角所在的象限．熟记各个三角函数在每个象 限内的符号是解决此类问题的关键．
(2)对于角所在象限的判断，关键是熟记终边相同角的表示及变形形式．
变式探究11：已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________ 象限．( )
(A)一 (B)二 (C)三 (D)四
解析：因为点 P(tan α，cos α)在第三象限，因此有
tan α<0
4．已知函数 y＝|ssiinn xx|＋|ccooss xx|＋|ttaann xx|，则函数的值域是________．
解析：显然角 x 的终边不在坐标轴上，当 x 是第一象限角时，y＝3；当 x 是第二象限角 时，y＝1－1－1＝－1；当 x 是第三象限角时，y＝－1＋(－1)＋1＝－1；当 x 是第四象限角 时，y＝－1＋1－1＝－1，∴函数的值域为{3，－1}．
第1节 三角函数的概念
1．角的有关概念
(1)角：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图 形．旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边，射线的端 点叫做角的顶点．按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形 成的角叫做负角，若一射线没作任何旋转，称它形成了一个零角．
sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx，其中 r＝|OP|＝ x2＋y2.
1．若α＝k·360°＋140°(k∈Z)，则α的终边在( B )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
解析：根据终边相同角的表示及意义可知，α的终边与140°的终边相同，即终 边落在第二象限，故选B. 2．若 α 是第二象限角，P(x， 5)是其终边上一点，且 cos α＝ 42x，则 x 的值为( D ) (A) 3 (B)2 2 (C)－2 2 (D)－ 3
2．弧度制 (1)1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角． (2)规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为 0，|α|＝rl，l 是 以角 α 作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径． (3)弧度制：用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值rl与 r 的大小无关， 仅与角的大小有关．
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质疑探究1：(1)终边相同的角相等吗？ (2)锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90°的角是锐角吗？
提示：(1)终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍． (2)第一象限角不一定是锐角，如390°，－300°都是第一象限角，但它们不是锐 角． 小于90°的角也不一定是锐角，如0°，－30°，都不是锐角．
解析：∵α 是第二象限角，
∴x<0，r＝ x2＋5，
∴cos α＝
x＝ x2＋5
42x，解得
x＝－
3，故选 D.
3 ． ( 教 材 改 编 题 ) 弧 长 为 3π ， 圆 心 角 为 135° 的 扇 形 半 径 为 ________ ， 面 积 为 ________．
解析：弧长 l＝3π，圆心角 α＝34π， 由弧长公式 l＝|α|·r 得 r＝αl ＝334ππ＝4， 面积 S＝12lr＝6π. 答案：4 6π
sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx，其中 r＝|OP|＝ x2＋y2.
质疑探究 3：设 α 是一个任意角，点 P(x，y)是 α 的终边上的任意一点，如何求角 α 的 各个三角函数值？
提示：三角函数的值是一个实数，这个实数的大小和点 P(x，y)在终边上的位置无关， 对于确定的角 α，其终边的位置确定了，因此三角函数值也确定了，利用相似三角形的性质 可得：
(2)由 θ 是第二象限角，可求 cos θ，sin 2θ 的范围，进而把 cos θ，sin 2θ 看作一个用弧度 制的形式表示的角，并判断其所在的象限，从而 sin(cos θ)，cos(sin 2θ)的符号可定．
解：(1)因为点 P 在第三象限， ∴sin θ·cos θ<0 且 2cos θ<0， 因此必有 sin θ>0，cos θ<0，故 θ 的终边在第二象限． (2)因为 θ 是第二象限角， 所以 cos θ<0，且－1<cos θ<0， 即 cos θ 是第四象限角， 因此 sin(cos θ)<0； 又 sin 2θ＝2sin θ·cos θ<0， 所以－1≤sin 2θ<0， 即 sin 2θ 也是第四象限角， 因此 cos(sin 2θ)>0.
答案：{3，－1}
象限角、三角函数值符号的判断
【例 1】 (1)如果点 P(sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角 θ 的终边所在的象限．
(Baidu Nhomakorabea)若
θ
是第二象限角，则 sincos θ 的符号是什么？ cossin 2θ
思路点拨：(1)由点 P 所在的象限，知道 sin θ·cos θ，2cos θ 的符号，从而可求 sin θ 与 cos θ 的符号．