坐标变换
常用的坐标转换方法
常用的坐标转换方法
1. 平移转换呀，这就好像你把一件东西从这个地方挪到那个地方一样。
比如说，在地图上把一个标记点从左边移到右边，这个过程就是平移转换啦！
2. 旋转变换可神奇啦！就像你转动一个玩具，让它换个角度一样。
举个例子，你把一个图形沿着某个点旋转一定角度，哇，它就变样子啦！
3. 缩放转换哦，哎呀，这就跟你在看照片时放大缩小一样嘛。
比如你把一张地图缩小来看整体，或者放大看局部，这就是缩放转换的例子！
4. 镜像转换呢，就如同照镜子一样，会有个相反的影像出来。
像你把一个数字在镜子里看，不就是做了镜像转换嘛！
5. 极坐标转换呀，这个有点难理解哦，但你可以想象成在一个圆形的场地上找位置。
比如确定一个点在一个圆形区域里的具体位置，就是用极坐标转换呢！
6. 投影转换就好像是把一个东西的影子投到另一个地方呀。
比如说，把一个立体图形投影到一个平面上，这就是投影转换啦！
7. 复合转换可复杂啦，但也很有趣哟！就像是把好多步骤结合起来。
比如先平移再旋转，或者先缩放再镜像，这就是复合转换的实际运用呀！
我觉得这些坐标转换方法真的都好有意思，每种都有它独特的用途和奇妙之处，学会了它们，能让我们更好地处理和理解各种坐标相关的问题呢！。
坐标转换方法范文
坐标转换方法范文坐标转换是指将一个坐标系上的点转换成另一个坐标系上的点的操作。
在地理信息系统（GIS）及其他相关领域中，坐标转换是非常重要的。
本文将详细介绍常见的二维坐标转换方法，包括平移、旋转、缩放和镜像。
1.平移：平移是将一个坐标系上的点沿一些方向按一定距离移动到新的位置。
平移操作可以用向量相加来表示。
设点A的坐标为(x1, y1) ，平移向量为(tx, ty)，则点A'的坐标为(x1 + tx, y1 + ty)。
2.旋转：旋转是将一个坐标系上的点绕一些中心点按一定角度旋转。
旋转操作可以用矩阵运算来表示。
设点B的坐标为(x2, y2)，旋转角度为θ，旋转中心为点C(cx, cy)，则点B'的坐标为((x2 - cx) * cosθ - (y2 - cy) * sinθ + cx, (x2 - cx) * sinθ + (y2 - cy) * cosθ + cy)。
3.缩放：缩放是将一个坐标系上的点按照一定比例进行扩大或缩小。
缩放操作可以用矩阵运算来表示。
设点D的坐标为(x3, y3)，在x轴和y轴上的缩放比例分别为sx和sy，则点D'的坐标为(x3 * sx, y3 * sy)。
4.镜像：镜像是将一个坐标系上的点相对于一些轴进行对称变换。
镜像操作可以用矩阵运算来表示。
设点E的坐标为(x4,y4)，镜像轴为x轴，则点E'的坐标为(x4,-y4)。
以上是常见的二维坐标转换方法。
在实际应用中，我们常常需要综合使用多种方法进行坐标转换。
例如，当我们需要将一个点先平移，再旋转，最后进行缩放时，可以按照此顺序依次进行相应操作。
需要注意的是，不同的坐标系有不同的表示方法和计算规则。
因此，在进行坐标转换时，需要先了解两个坐标系的具体定义和规则，然后再选择合适的转换方法。
总之，坐标转换是GIS及其他相关领域中重要的一部分。
掌握多种坐标转换方法可以帮助我们更好地进行空间数据处理和分析。
坐标变换和坐标系的平移
坐标变换和坐标系的平移坐标变换和坐标系的平移是数学中常见且重要的概念，它们在计算机图形学、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍坐标变换和坐标系的平移的基本概念、原理和用途，以及如何进行坐标变换和坐标系的平移。
一、坐标变换的概念和原理坐标变换是一种将一个坐标系中的点的坐标转换到另一个坐标系中的点的坐标的过程。
在二维平面中，我们通常用x、y表示一个点在直角坐标系中的坐标。
当我们需要将一个点从一个坐标系转换到另一个坐标系时，我们需要知道两个坐标系之间的关系。
坐标变换的原理基于线性变换的基本原理。
在二维平面中，我们可以使用矩阵乘法来表示坐标变换。
假设有一个点P=(x, y)在坐标系A中的坐标，我们希望将其转换到坐标系B中。
那么我们可以使用一个2x2的矩阵M，表示从坐标系A到坐标系B的变换。
坐标变换的过程可以表示为：[P'] = [M] [P]其中[P']表示点P在坐标系B中的坐标。
矩阵M的每个元素表示了坐标系的缩放、旋转和错切等变换。
通过选择不同的矩阵M，我们可以实现不同的坐标变换效果。
二、坐标系的平移坐标系的平移是指在原有坐标系的基础上，将整个坐标系沿着某个方向平移一定的距离。
在二维平面中，我们可以将一个坐标系中的点的坐标表示为(x, y)，将坐标系的平移表示为向量(t_x, t_y)。
那么在将点P从坐标系A平移到坐标系B时，我们可以使用以下公式进行计算：[P'] = [P] + (t_x, t_y)其中[P']表示点P在坐标系B中的坐标。
在这个过程中，不仅点的坐标发生了变化，整个坐标系也随之平移。
三、坐标变换和坐标系平移的应用坐标变换和坐标系的平移在计算机图形学、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
它们可以用于处理图像的旋转、缩放和平移，实现图像的变换和变形。
在物理学中，坐标变换可以用于描述和计算粒子在不同坐标系中的运动和相互作用。
在工程学中，坐标变换可以用于处理三维模型的变换和显示。
坐标变换最通俗易懂的解释(推导+图解)
坐标变换的作用
在一个机器人系统中，每个测量元件测量同一物体得出的信息是不一样的，原因
实现坐标变换所需的数据
我们常用出发与坐标系原点终止于坐标系中坐标点的向量来表示坐标系中坐标点相对于坐标原点的位置（距离+方位）。
坐标系的相互转化必须以地球坐标系为媒介才可以实现，即坐标系的相互转化必须已知“任意坐标系中各个坐标轴在world坐标系中的坐标”：
位姿
坐标变换中旋转的实质
坐标变换的实质就是“投影”。
首先，我们解读一下向量是如何转化为坐标的：
其实，这个矩阵的乘法与卷积有着异曲同工之妙。
旋转矩阵的性质：
从B到A的转化：
从A到B的转化：
、都是单位正交仿真，因此
坐标变换中平移的实质
向量可以在坐标系中任意移动，只要不改变向量的方向和大小，向量的属性不会发生变化。
但是我们研究的是坐标系B中一个坐标点在坐标系A中的映射，因此
多坐标变换
首先，我们要知道世界坐标系下坐标系A/坐标系B的各个坐标轴在世界坐标系（参
如何实现坐标变换
其中O1O2是从O1指向O2的向量。
坐标系转换方法
坐标系转换方法
坐标系转换的方法有多种，以下是三种主要的方法：
1. 线性变换法：这种方法将原始坐标系中的点映射到新的坐标系中。
通过选择合适的矩阵，可以将坐标变换为新的形式。
线性变换法在处理平面坐标系时特别有效。
2. 多项式拟合法：这种方法利用多项式来拟合两个坐标系之间的关系。
通过找到一组对应点，并拟合出多项式方程，可以将一个坐标系中的点转换为另一个坐标系中的点。
这种方法适用于任何维度的坐标系转换。
3. 最小二乘法：这种方法利用最小二乘原理，通过优化误差平方和，找到最佳的坐标转换方法。
它可以用于各种类型的坐标系转换，包括线性变换、多项式拟合等。
最小二乘法对于处理具有大量数据点的复杂转换非常有效。
这些方法都有其适用范围和优缺点，在实际应用中需要根据具体情况选择最合适的方法。
平面解析几何中的坐标变换
平面解析几何中的坐标变换在平面解析几何中，坐标系统是我们研究和描述平面上的点和图形的重要工具。
坐标变换是指将一个点的坐标转换为另一个坐标系统中的坐标的过程。
在本文中，我们将探讨平面解析几何中的常见坐标变换，包括平移、旋转、缩放和镜像。
一、平移变换平移变换是指将平面上的点沿着指定的向量移动一定的距离，而保持点在平移之前的方向不变。
假设有一个点P(x, y)，我们要将它平移d单位，那么它的新坐标为P'(x+d, y+d)。
平移变换可以用矩阵表示：⎡x'⎤⎡1 0 d⎤⎡x⎤⎢⎥ = ⎢0 1 d⎥ * ⎢⎥⎣y'⎦⎣0 0 1⎦⎣y⎦其中，(x, y)为原坐标，(x', y')为平移之后的坐标，d为平移的距离。
二、旋转变换旋转变换是指将平面上的点绕着一个给定的旋转中心顺时针或逆时针旋转一定的角度。
假设有一个点P(x, y)，我们要将它绕旋转中心O旋转θ角度，那么它的新坐标为P'(x', y')。
旋转变换可以用矩阵表示：⎡x'⎤⎡cosθ -sinθ⎤⎡x⎤⎢⎥ = ⎢⎥ * ⎢⎥⎣y'⎦⎣sinθ cosθ⎦⎣y⎦其中，(x, y)为原坐标，(x', y')为旋转之后的坐标，θ为旋转角度。
三、缩放变换缩放变换是指将平面上的点按照一定的比例扩大或缩小，而不改变点在所缩放前的方向。
假设有一个点P(x, y)，我们要将它按照给定的比例水平缩放sx，垂直缩放sy，那么它的新坐标为P'(x', y')。
缩放变换可以用矩阵表示：⎡x'⎤⎡sx 0⎤⎡x⎤⎢⎥ = ⎢⎥ * ⎢⎥⎣y'⎦⎣ 0 sy⎦⎣y⎦其中，(x, y)为原坐标，(x', y')为缩放之后的坐标，sx为水平缩放系数，sy为垂直缩放系数。
四、镜像变换镜像变换是指将平面上的点按照给定的镜像轴进行对称翻转。
坐标变换原理
坐标变换原理
坐标变换是一种数学操作，用来在不同的坐标系间进行转换。
它是将一个点或对象的位置从一个坐标系转换到另一个坐标系的方法。
在二维平面坐标系中，通常使用笛卡尔坐标系和极坐标系。
笛卡尔坐标系使用x和y轴来表示一个点的位置，而极坐标系使用半径和角度来表示。
坐标变换可以通过简单的公式来实现：
1. 笛卡尔坐标系转换为极坐标系：给定一个点的笛卡尔坐标(x, y)，可以通过以下公式计算其极坐标(r, θ)：
r = √(x² + y²)
θ = arctan(y/x)
2. 极坐标系转换为笛卡尔坐标系：给定一个点的极坐标(r, θ)，可以通过以下公式计算其笛卡尔坐标(x, y)：
x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)
这些公式将一个点在不同坐标系中的位置进行相互转换。
通过这些转换，可以在不同坐标系之间准确地描述和定位对象的位置。
除了坐标系之间的转换，还可以进行其他类型的坐标变换，如平移、缩放和旋转。
在平移中，点的位置通过添加一个固定的偏移量来改变。
在缩放中，点的位置通过乘以一个缩放因子来改变。
在旋转中，点的位置通过应用旋转矩阵来改变。
通过这些坐标变换，可以单独或组合地对对象进行不同类型的变换，使其在平面内按照所需的方式移动、缩放和旋转。
这在计算机图形学和计算机视觉中经常使用，用于实现图像转换、模型变换等应用。
坐标变换为我们提供了一种非常有用的工具，可以方便地在不同坐标系中进行准确的位置描述与处理。
直角坐标变换公式
直角坐标变换公式直角坐标变换公式是数学中常用的一种变换方法，用于将一个点从一个直角坐标系转换到另一个直角坐标系中。
这种变换可在二维或三维空间中进行，根据不同的坐标系，有不同的公式和方法。
二维空间中的直角坐标变换在二维空间中，通常使用笛卡尔坐标系，即平面直角坐标系。
这个坐标系由两个互相垂直的坐标轴x和y组成，通过这两个轴可以表示一个点的位置。
假设我们有一个点P(x, y)，需要将它从一个直角坐标系转换到另一个直角坐标系。
设转换后的坐标为P’(x’, y’)，两个坐标系之间的关系可以用以下公式表示：x' = a * x + b * y + cy' = d * x + e * y + f其中a、b、c、d、e和f是转换矩阵的元素，它们的具体数值决定了两个坐标系之间的关系。
通过求解这些元素，我们可以获得从一个坐标系到另一个坐标系的变换公式。
使用这些公式，我们可以方便地进行坐标变换。
例如，如果我们知道一个点在一个直角坐标系中的坐标，并且我们知道两个坐标系之间的转换公式，我们就可以计算出这个点在另一个坐标系中的坐标。
三维空间中的直角坐标变换在三维空间中，同样使用笛卡尔坐标系，即空间直角坐标系。
这个坐标系由三个互相垂直的坐标轴x、y和z组成，通过这三个轴可以表示一个点的位置。
类似于二维空间中的情况，假设我们有一个点P(x, y, z)，需要将它从一个直角坐标系转换到另一个直角坐标系。
设转换后的坐标为P’(x’, y’, z’)，两个坐标系之间的关系可以用以下公式表示：x' = a * x + b * y + c * z + dy' = e * x + f * y + g * z + hz' = i * x + j * y + k * z + l同样，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k和l是转换矩阵的元素，通过求解这些元素，我们可以获得从一个坐标系到另一个坐标系的变换公式。
坐标变换讲解
坐标变换讲解
坐标变换是指将一个坐标系中的点或向量转换到另一个坐标系中的过程。
在二维情况下，一般使用2x2的矩阵来表示坐标变换，而在三维情况下则使用3x3的矩阵。
在二维情况下，假设有两个坐标系A和B，坐标系A中的点P(x,y)需要转换到坐标系B中的点P'(x',y')。
坐标变换可以通过以下公式来实现：
[x'] = [a b] [x]
[y'] [c d] [y]
其中，a、b、c和d是转换矩阵的元素，它们定义了从坐标系A 到坐标系B的转换关系。
具体来说，a和d表示坐标轴的缩放因子，b和c表示坐标轴的旋转因子。
在三维情况下，坐标变换的方式稍有不同。
假设有两个坐标系A 和B，坐标系A中的点P(x,y,z)需要转换到坐标系B中的点P'(x',y',z')。
坐标变换可以通过以下公式来实现：
[x'] = [a b c] [x]
[y'] [d e f] [y]
[z'] [g h i] [z]
其中，a、b、c、d、e、f、g、h和i是转换矩阵的元素，它们定义了从坐标系A到坐标系B的转换关系。
具体来说，a、e和i表示坐标轴的缩放因子，b、c、d、f、g和h表示坐标轴的旋转和剪切因子。
需要注意的是，坐标变换不仅仅可以用矩阵表示，还可以使用四元数、欧拉角等方式进行表示。
此外，在实际应用中，坐标变换经常涉及到平移操作，可以通过引入齐次坐标进行处理。
总之，坐标变换是将一个坐标系中的点或向量转换到另一个坐标系中的过程，通过定义适当的转换矩阵或其他表示方式，可以实现不同坐标系之间的转换。
坐标变换知识点总结
坐标变换知识点总结坐标变换是指在一个坐标系中的点通过一定的变化规则，转换到另一个坐标系中的过程。
坐标变换在数学、物理、工程等多个领域中都有广泛的应用。
下面是坐标变换的一些重要知识点总结。
1.坐标系的描述：坐标系是用来描述几何空间中的点的一种数学工具。
常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系、球坐标系等。
直角坐标系由x、y、z轴构成，其中x轴是水平方向，y轴是垂直方向，z轴是垂直于x-y平面的方向。
2.坐标向量：在直角坐标系中，一个点的坐标可以用一个向量表示，这个向量称为坐标向量。
坐标向量的形式为(x,y,z)，其中x、y、z分别表示点在x、y、z轴上的坐标值。
3.坐标变换的表示：坐标变换可以通过矩阵的乘法运算来表示。
假设从坐标系A变换到坐标系B，其中点的坐标向量在坐标系A中表示为P，坐标系B中表示为P'，那么坐标变换可以表示为P'=AP，其中A为变换矩阵。
4.坐标变换矩阵的求解：坐标变换矩阵的求解可以通过点的转换关系来进行。
假设已知坐标系A中的三个基向量a1、a2、a3与坐标系B中的三个基向量b1、b2、b3之间的转换关系为：a1=s11b1+s12b2+s13b3a2=s21b1+s22b2+s23b3a3=s31b1+s32b2+s33b3其中s11、s12、s13等为常数，那么可以得到坐标变换矩阵A为：A=[s11s12s13s21s22s23s31s32s33]5.坐标轴的旋转变换：坐标轴的旋转变换是指基于原有坐标轴的旋转操作，将点的坐标映射到新的坐标系中。
旋转变换可以通过对坐标向量进行矩阵乘法操作来实现。
假设已知原有坐标系中点的坐标为P，将x轴顺时针旋转角度θ得到的新的坐标系中点的坐标为P'，那么旋转变换可以表示为：P' = [cosθ -sinθ 0sinθ cosθ 0001]×P6.坐标轴的缩放变换：坐标轴的缩放变换是指基于原有坐标轴的缩放操作，将点的坐标映射到新的坐标系中。
坐标系变换方法
坐标系变换方法引言：坐标系变换是数学中重要的概念，它在不同学科领域的应用十分广泛。
坐标系变换方法可以帮助我们在解决问题时更好地描述和分析空间中的物体运动、变形以及其他相关性质。
本文将介绍坐标系变换的概念、常见的坐标系以及不同坐标系之间的转化方法。
另外，我们还会探讨一些拓展应用，以增强我们对坐标系变换方法的理解。
正文：一、坐标系的概念坐标系是指用于确定物体在空间中位置和方向的基准系统。
我们常见的三维坐标系是笛卡尔坐标系，也称为直角坐标系，它由三条相互垂直的坐标轴组成，分别用x、y和z表示。
在笛卡尔坐标系中，任何一个点的位置都可以通过该点在各坐标轴上的投影来确定。
除了笛卡尔坐标系，我们还常用极坐标系和球坐标系来描述特定问题。
极坐标系通过极径和极角来定位一个点，常用于描述环形问题。
球坐标系则基于球体的半径、极角和方位角来定位一个点，常用于描述天体运动和物体在球面上的运动。
二、坐标系的转化方法当我们需要在不同坐标系下描述同一个物体的运动或性质时，就需要进行坐标系的转化。
以下介绍几种常见的坐标系转化方法：1. 平移变换：平移变换是指将坐标系沿着某个方向移动一段距离。
例如，在笛卡尔坐标系中，将整个坐标系沿着x轴正方向平移d个单位，可以通过将所有坐标点的x坐标加上d来实现。
2. 旋转变换：旋转变换是指将坐标系绕着某个点或轴旋转一定角度。
在笛卡尔坐标系中，可以通过将点(x, y)绕原点逆时针旋转θ角度得到新的坐标(x',y')。
其中，旋转变换可以通过矩阵运算进行计算。
3. 缩放变换：缩放变换是指将坐标系中的所有点沿着坐标轴方向进行放大或缩小。
在笛卡尔坐标系中，可以通过将点(x, y)的坐标分别乘以经过缩放的因子s来实现。
以上是常见的坐标系变换方法，它们可以在解决具体问题时灵活运用。
三、拓展应用除了将几何问题转换到不同坐标系来求解，坐标系变换方法还有一些有趣的拓展应用。
1. 图像处理：在图像处理中，常用的坐标系转换方法包括旋转、平移和缩放变换。
线性代数 坐标变换
线性代数-坐标变换线性代数中的坐标变换是一个重要的概念，它在数学和工程领域有着广泛的应用。
在这篇文章中，我们将深入探讨线性代数中的坐标变换，包括坐标系的转换、矩阵表示和应用等内容。
坐标系的转换在三维空间中，我们通常使用笛卡尔坐标系来描述点的位置。
当需要将点从一个坐标系转换到另一个坐标系时，我们就需要进行坐标系的转换。
假设有两个坐标系A和B，它们之间的关系可以用一个旋转矩阵R和一个平移向量T来描述。
点P在坐标系A中的坐标表示为向量\[x, y, z\]，在坐标系B中的坐标表示为向量\[x’, y’, z’\]，则坐标系的转换关系可以表示为：\[P_B = R \times P_A + T\]其中，P\_A是点P在坐标系A中的坐标，P\_B是点P在坐标系B中的坐标，R是旋转矩阵，T是平移向量。
矩阵表示坐标变换可以用一个矩阵来表示，这个矩阵由旋转矩阵和平移向量组合而成。
假设有一个点P在坐标系A中的坐标为向量\[x, y, z\]，我们可以将其表示为一个齐次坐标向量\[x, y, z, 1\]。
坐标系A到坐标系B的转换可以表示为一个4x4的矩阵T：\[T = \left[ \begin{array}{cccc} R & T \\ 0 & 1 \end{array} \right]\]其中，R是3x3的旋转矩阵，T是3x1的平移向量，0是一个3x1的零向量，1是一个标量1。
应用坐标变换在计算机图形学、机器人学、计算机视觉等领域有着广泛的应用。
在计算机图形学中，坐标变换可以用来实现物体的旋转、缩放、平移等操作；在机器人学中，坐标变换可以用来描述机器人的位姿和运动；在计算机视觉中，坐标变换可以用来实现图像的几何变换。
总的来说，线性代数中的坐标变换是一个重要的概念，它在数学和工程领域有着广泛的应用。
通过深入研究坐标变换的原理和应用，我们可以更好地理解和应用线性代数的知识。
希望本文能帮助读者更好地理解线性代数中的坐标变换这一概念。
测量坐标转换公式
测量坐标转换公式1. 引言在测量学中，坐标转换是一项重要的任务。
当我们在进行地理测量或者工程测量时，经常需要将不同坐标系下的点进行转换，以便于进行数据分析和地图绘制等工作。
本文将介绍测量中常用的坐标转换公式，包括平面坐标转换和空间坐标转换。
2. 平面坐标转换在平面测量中，我们常常使用直角坐标系来描述点的位置。
而不同的地方可能使用不同的坐标系，需要进行坐标转换。
下面是常见的几种平面坐标转换公式：2.1. 坐标平移坐标平移是将点的位置沿着x轴和y轴方向进行平移。
设原坐标系中点的坐标为(x, y)，平移后的坐标为(x’, y’)，平移的距离分别为dx和dy，则平移后的坐标可以通过以下公式计算：x' = x + dxy' = y + dy2.2. 坐标旋转坐标旋转是将点的位置绕着某个基准点旋转一定角度。
设原坐标系中点的坐标为(x, y)，旋转中心为(cx, cy)，旋转的角度为θ，旋转后的坐标为(x’, y’)，则旋转后的坐标可以通过以下公式计算：x' = (x-cx) * cos(θ) - (y-cy) * sin(θ) + cxy' = (x-cx) * sin(θ) + (y-cy) * cos(θ) + cy2.3. 坐标缩放坐标缩放是将点的位置按照一定比例进行放大或缩小。
设原坐标系中点的坐标为(x, y)，缩放中心为(cx, cy)，横向缩放比例为sx，纵向缩放比例为sy，缩放后的坐标为(x’, y’)，则缩放后的坐标可以通过以下公式计算：x' = (x-cx) * sx + cxy' = (y-cy) * sy + cy2.4. 坐标仿射变换坐标仿射变换是将点的位置进行平移、旋转和缩放的组合操作。
设原坐标系中点的坐标为(x, y)，仿射变换矩阵为A，平移向量为T，仿射变换后的坐标为(x’, y’)，则仿射变换后的坐标可以通过以下公式计算：[x', y'] = A * [x, y] + T3. 空间坐标转换在空间测量中，我们通常使用三维直角坐标系来描述点的位置。
坐标变换
sin cos
(11)
两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系的变换阵是：
cos C2 r / 2s sin
sin cos
(12)
电压和磁链的旋转变换阵也与电流（磁动势）旋转变换阵相同。
3.2 Pake 变换的 MATLAN 实现
在 MATLAB/SIMULINK 环境下，建立 Park 变换模块，并封装为一个子系
α β 坐标系之间的变换，简称 3/2 变换或 Clarke 变换。
2.1 Clarke 变换矩阵
图 1 给出了 A-B-C 坐标系和 α β 坐标系， 为方便起见， 取 A 轴和 α 轴重合。 设三相绕组每相有效匝数为 N 3 ，两相绕组每相有效匝数为 N 2 ，各相磁动势为有 效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关相的坐标轴上。由于交流磁动势的 大小随时间在变化着，图中磁动势矢量的长度是随意的。
图 6 两相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量
d,q 轴和矢量 Fs 都以转速 ω1 旋转， 分量 i d , i q 的长短不变， 相当于 d q 绕组的
直流磁动势。 但 α, β 轴是静止的，α 轴与 d 轴的夹角 θ 随时间而变化， 因此 i s 在 α, β 轴上的分量的长短也随时间变化，相当于绕组交流磁动势的瞬时值。由图可见，
(a)
(b)
(c)
图(5)Clarke 变换仿真图
(d)
(a)原信号；(b)Clarke 变换后信号；(c)Clarke 逆变换后信号；(d)误差信号
3.两相-两相变换(2s/2r 变换)
两相-两相变换即指在两相静止坐标系 α β 坐标系和两相旋转坐标系 d q 坐标系之间的变换，简称 2s/2r 变换或 Park 变换。
地理坐标系转换公式
地理坐标系转换公式以下是几种常用的地理坐标系转换公式：1.地球椭球体转平面：地球椭球体转平面是将地球椭球体上的点的经纬度坐标转换为平面坐标的过程。
常用的公式有墨卡托投影、高斯-克吕格投影等。
-墨卡托投影：墨卡托投影是一种等角圆柱投影，其转换公式如下：x = R * lony = R * log(tan(π/4 + lat/2))其中，R为地球半径，lon为经度，lat为纬度，x和y为平面坐标。
-高斯-克吕格投影：高斯-克吕格投影是一种正轴等角圆锥投影，其转换公式如下：λs=λ-λ0B = 1 / sqrt(1 - e² * sin²(φ))ρ = a * B * tan(π/4 + φ/2) / (1 / sqrt(e² * cos²(φ0 - B * λs)^2))E = E0 + k0 * ρ * sin(B * λs)N = N0 + k0 * [ρ * cos(B * λs) - a * B]其中，λ为经度，φ为纬度，λ0和φ0为中央经线和纬度原点，a 为长半轴，e为椭球体偏心率，E和N为平面坐标，E0和N0为偏移量，k0为比例因子。
2.平面转地球椭球体：平面转地球椭球体是将平面坐标转换为经纬度坐标的过程。
常用的公式有逆墨卡托投影、逆高斯-克吕格投影等。
-逆墨卡托投影：逆墨卡托投影是墨卡托投影的逆过程，其转换公式如下：lat = 2 * atan(exp(y / R)) - π/2lon = x / R其中，R为地球半径，x和y为平面坐标，lat和lon为经纬度。
-逆高斯-克吕格投影：逆高斯-克吕格投影是高斯-克吕格投影的逆过程，其转换公式如下：φ1 = atan[(Z / √(Z² + (N0 - N)²))]φ0 = φ1 + ((e² + 1)/ (e² - 1)) * [sin(2φ1) + ((e² / 2) * sin(4φ1)) + ((e⁴ / 8) * sin(6φ1)) + ((e⁶ / 16) * sin(8φ1))]B = 1 / sqrt(1 - e² * sin²(φ1))β=N/(a*B)φ = φ1 - (β / 2) * [sin(2φ1) + ((e² / 2) * sin(4φ1)) + ((e⁴ / 8) * sin(6φ1)) + ((e⁶ / 16) * sin(8φ1))]λ = λ0 + (at an[(E - E0) / (N0 - N)]) / B其中，Z=√((E-E0)²+(N0-N)²)，φ1为近似纬度，φ0为中央纬度，B为大地纬度变换系数，β为纬度差异因子，φ和λ为经纬度。
坐标变换
坐标在解析几何中，把坐标系的变换（如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向）叫做坐标变换。
实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小，位置都不变，仅仅指改变点的坐标与曲线的方程坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴坐标轴的平移公式设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是（x y）在新坐标系x’O’y’中的坐标（x’y’）设新坐标的原点O’在原坐标系xoy中的坐标是（h k）则（1）x=x’+h y=y’+k或（2）x’=x-h y’=y-k公式（1）（2）叫平移或移轴公式[说明]坐标轴平移时，点的位置，曲线的形状，大小，有关线段的长度都不改变，因而，坐标轴平移前后，圆锥曲线的5个参数a b c p(焦准距), e的值都不改变不含xy项的二元二次方程的化简与讨论用配方法化简不含xy项的二元二次方程的步骤如下表方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0( A、C不同时为0)所表示的圆锥曲线如下当 AC>0 椭圆AC<0 双曲线AC=0 抛物线坐标轴的旋转坐标轴的原点和长度的单位不变，使坐标轴按同一方向绕原点旋转某一角度，这种坐标系的变换叫做坐标轴的旋转，简称轴转。
坐标轴的旋转公式设坐标轴的旋转角度θ，在平面内任取一点M，它在坐标系x0y和x’0’y’的坐标分别为(x y) (x’ y’)那么，M在两个不同的坐标系里的坐标关系是X=x’cosθ-y’sinθ①Y=x’sinθ+y’cosθ由此解出X’=xcosθ+ysinθ②Y’=-xsinθ+ycosθ公式1 是新坐标表示原坐标的旋转变换公式公式2是用原坐标表示新坐标的旋转变换公式统称为旋转转轴公式。
坐标转换算法
坐标转换算法是指将一个坐标系中的坐标转换为另一个坐标系中的坐标的方法。
在实际应用中，由于不同的地图投影、不同的测量基准等原因，需要将一种坐标系下的数据转换为另一种坐标系下的数据。
坐标转换算法可以分为以下几种类型：
1. 几何变换：通过简单的几何变换将一个坐标系下的点转换为另一个坐标系下的点。
这种方法适用于较小的坐标变换，精度要求不高的情况。
2. 多项式拟合：利用多项式函数对原始数据进行拟合，然后通过这个多项式函数将一个坐标系下的点转换为另一个坐标系下的点。
这种方法适用于大规模的、复杂的坐标变换，但需要较多的计算资源和时间。
3. 参数转换：利用已知的参数将一个坐标系下的点转换为另一个坐标系下的点。
这种方法需要知道转换参数，适用于已知转换参数的情况。
4. 插值方法：利用已知的点对未知点进行插值计算，得到转换后的坐标。
这种方法适用于大规模的、复杂的坐标变换，但需要较多的计算资源和时间。
在实际应用中，可以根据具体需求和数据情况选择合适的坐标转换算法。
同时，也需要注意坐标转换的精度和稳定性，避免出现误差和异常情况。
测量坐标转换公式推导过程
测量坐标转换公式推导过程一、二维坐标转换（平面坐标转换）（一）平移变换。
1. 原理。
- 设原坐标系O - XY中的一点P(x,y)，将坐标系O - XY平移到新坐标系O' - X'Y'，新坐标系原点O'在原坐标系中的坐标为(x_0,y_0)。
2. 公式推导。
- 对于点P在新坐标系中的坐标(x',y')，根据平移的几何关系，我们可以得到x = x'+x_0，y = y'+y_0，则x'=x - x_0，y'=y - y_0。
（二）旋转变换。
1. 原理。
- 设原坐标系O - XY绕原点O逆时针旋转θ角得到新坐标系O - X'Y'。
对于原坐标系中的点P(x,y)，我们要找到它在新坐标系中的坐标(x',y')。
- 根据三角函数的定义，设OP = r，α是OP与X轴正方向的夹角，则x = rcosα，y = rsinα。
- 在新坐标系中，x'=rcos(α-θ)，y'=rsin(α - θ)。
2. 公式推导。
- 根据两角差的三角函数公式cos(A - B)=cos Acos B+sin Asin B和sin(A -B)=sin Acos B-cos Asin B。
- 对于x'=rcos(α-θ)=r(cosαcosθ+sinαsinθ)，因为x = rcosα，y = rsinα，所以x'=xcosθ + ysinθ。
- 对于y'=rsin(α-θ)=r(sinαcosθ-cosαsinθ)，所以y'=-xsinθ + ycosθ。
（三）一般二维坐标转换（平移+旋转）1. 原理。
- 当既有平移又有旋转时，先进行旋转变换，再进行平移变换。
2. 公式推导。
- 设原坐标系O - XY中的点P(x,y)，先将坐标系绕原点O逆时针旋转θ角得到中间坐标系O - X_1Y_1，根据旋转变换公式，P在O - X_1Y_1中的坐标(x_1,y_1)为x_1=xcosθ + ysinθ，y_1=-xsinθ + ycosθ。
直角坐标系中的变换知识点归纳总结
直角坐标系中的变换知识点归纳总结1.平移变换：平移是直角坐标系中最简单的变换之一，它保持点的形状和大小不变，只改变其位置。
平移变换可以表示为(X',Y')=(X+a,Y+b)，其中(a,b)是平移的位移向量。
2.缩放变换：缩放是改变图形大小的变换，可以将图形按照比例放大或缩小。
缩放变换可以表示为(X',Y')=(sX,sY)，其中s是缩放的因子。
3. 旋转变换：旋转是将图形绕着一个固定点旋转一定角度的变换。
旋转变换可以表示为(X', Y') = (Xcosθ - Ysinθ, Xsinθ + Ycosθ)，其中θ是旋转的角度。
4.矩阵变换：矩阵变换是直角坐标系中一种通用的线性变换方法，可以表示平移、缩放、旋转和剪切等复合变换。
矩阵变换可以用一个2×2的矩阵表示，对于一个点(X,Y)的变换，可以表示为(X',Y')=(a11X+a12Y,a21X+a22Y)，其中矩阵A=[a11a12;a21a22]表示变换的系数。
5.对称变换：对称变换是指将图形绕着一个直线对称成对称图形的变换。
常见的对称变换包括关于x轴对称、y轴对称、原点对称、直线对称等，对称变换可以通过变换矩阵来表示。
6.剪切变换：剪切变换是指将图形按照一定比例沿着一些方向延伸或收缩的变换。
剪切变换可以表示为(X',Y')=(X+aY,Y+bX)，其中(a,b)是两个剪切因子。
7.一般线性变换：一般线性变换是指包括平移、旋转、缩放、剪切等多种变换同时进行的复合变换。
一般线性变换可以表示为(X',Y')=(aX+bY+c,dX+eY+f)，其中(a,b,c,d,e,f)是六个变换系数。
8.坐标轴变换：坐标轴变换是指将直角坐标系中的坐标轴按照一定角度旋转或者倾斜得到的新的坐标系。
在坐标轴变换中，点的坐标可以通过坐标轴旋转矩阵或者倾斜矩阵来进行变换。
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7.1 简介 7.2 三维几何变换 7.3 三维坐标变换
7.1 简介
三维平移变换、比例变换可看成是二维情况的 三维平移变换、 直接推广。但旋转变换则不然， 直接推广。但旋转变换则不然，因为我们可选 取空间任意方向作旋转轴， 取空间任意方向作旋转轴，因此三维变换处理 起来更为复杂。 起来更为复杂。 与二维变换相似， 与二维变换相似，我们也采用齐次坐标技术 来描述空间的各点坐标及其变换，这时， 来描述空间的各点坐标及其变换，这时，描 述空间三维变换的变换矩阵是4× 的形式 的形式。 述空间三维变换的变换矩阵是 ×4的形式。 由此，一系列变换可以用单个矩阵来表示。 由此，一系列变换可以用单个矩阵来表示。
绕 z 轴旋转
0 1 0 cos α (x′ y′ z′ 1) = (x y z 1) 0 − sin α 0 0 cos β 0 (x′ y′ z′ 1) = (x y z 1) sin β 0
0 sin α cos α 0
绕 x 轴旋转
0 − sin β 1 0 0 cos β 0 0
P2’’• z 2) Rx (α )R y (β )
x
− − R (θ ) = T ⋅ Rx (α ) ⋅ R y (β ) ⋅ Rz (θ ) ⋅ R y 1 (β ) ⋅ Rx 1 (α ) ⋅ T −1
7.2.3 绕任意轴旋转变换的简单算法
给定具有单位长的旋转轴A=[ax,ay,az]和旋转角 θ ， 给定具有单位长的旋转轴 和旋转角 则物体绕OA轴旋转变换的矩阵表示可确定如下： 轴旋转变换的矩阵表示可确定如下： 则物体绕 轴旋转变换的矩阵表示可确定如下
sx 0 (x′ y′ z′ 1) = (x y z 1) 0 0
0 sy 0 0
0 0 sz 0
0 0 0 1
y
z
x
x′ = xs x , y ′ = ys y , z′ = zsz
为正值。 其中 s x , s y , sz 为正值。
（2） 相对于所选定的固定点的比例变换 ） z z （x i f,yf,zf) y (2) （x i f,yf,zf) y x y
(2)旋转物体使旋转轴与某个坐标轴 如z轴)重合 旋转物体使旋转轴与某个坐标轴(如 轴 重合 重合; 旋转物体使旋转轴与某个坐标轴 (3)关于该坐标轴进行指定角度的旋转 关于该坐标轴进行指定角度的旋转; 关于该坐标轴进行指定角度的旋转
y • P’1 (2) x y • P’1 (3) x
P2’’• z
γ 角旋转。 角旋转。
x x y
z
y
z
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
(2)绕x轴正向旋转 α 角，旋转后点的 坐标值不变， 绕 轴正向旋转 旋转后点的x坐标值不变 旋转后点的 坐标值不变， 角旋转。 Y、z坐标的变化相当于在 平面内作正 α 角旋转。 坐标的变化相当于在yoz平面内作正 、 坐标的变化相当于在 0 1 0 cos α (x′ y′ z′ 1) = (x y z 1) 0 − sin α 0 0 0 sin α cos α 0 0 0 0 1
绕 y 轴旋转
旋转变换矩阵规律:
x x y
z
y
z
对于单位矩阵
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 ，绕哪个坐标轴 0 1
旋转，则该轴坐标的一列元素不变。按照二维图 旋转，则该轴坐标的一列元素不变。 形变换的情况， 形变换的情况，将其旋转矩阵 cosθ sin θ
α
x
z
根据矢量的点乘与叉乘，可以算出 根据矢量的点乘与叉乘，可以算出:
sin α = b b2 + c 2 , cos α = c b2 + c 2
因此， 因此，
0 1 c 0 b2 + c 2 Rx (α ) = b 0 − b2 + c 2 0 0 0 b b2 + c 2 c b2 + c 2 0 0 0 0 1
0 1 0 0
a a 2 + b2 + c 2 0 b2 + c 2 a 2 + b2 + c 2 0
0 0 0 1
AV = Rx (α )R y (β )
利用这一结果，则绕任意轴旋转的变换矩阵可表示为： 利用这一结果，则绕任意轴旋转的变换矩阵可表示为： y P2 • P1 • x z y • P’1 x P2’’• z • P’1 3) Rz (θ ) z 1) T y • P’1 • P’2 x
利用这一结果，则绕任意轴旋转的变换矩阵可表示为： 利用这一结果，则绕任意轴旋转的变换矩阵可表示为： y y P2 • P1 • x z z A • P’2 • P’1 x
R (θ ) = T ⋅ M T ⋅ T −1
V ′ = VRx (α ) = a,0, b2 + c 2
(
)
类似地，可以求出 类似地，可以求出:
sin β = − a a +b +c
2 2 2
, cos β =
b2 + c 2 a 2 + b2 + c 2
b2 + c 2 a 2 + b2 + c 2 0 R y (β ) = a − a 2 + b2 + c 2 0
0 0 sz 0 0 0 1
x z
(1 − s )y (1 − s )z
z
f
3. 绕坐标轴的旋转变换 三维空间中的旋转变换比二维空间中的旋转变 换复杂。除了需要指定旋转角外， 换复杂。除了需要指定旋转角外，还需指定旋转 轴。 若以坐标系的三个坐标轴x,y,z分别作为旋转轴， 分别作为旋转轴， 若以坐标系的三个坐标轴 分别作为旋转轴 则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。 则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。 此时用二维旋转公式就可以直接推出三维旋转变 换矩阵。 换矩阵。 规定在右手坐标系中， 规定在右手坐标系中，物体旋转的正方向是右 手螺旋方向， 手螺旋方向，即从该轴正半轴向原点看是逆时针 方向。 方向。
0 1 0 ty
0 0 1 tz
0 0 0 1
x
ห้องสมุดไป่ตู้
补充说明：点的平移、 补充说明：点的平移、 物体的平移、 物体的平移、多面体 的平移、 的平移、逆变换
2. 比例变换
（1） 相对坐标原点的比例变换 ） 一个点P=(x,y,z)相对于坐标原点的比例变换的矩 相对于坐标原点的比例变换的矩 一个点 阵可表示为
(3) 绕y轴正向旋转 β 角，y坐标值不变，z、x的坐标相当 坐标值不变， 轴正向旋转 坐标值不变 、 的坐标相当 于在zox平面内作正 角旋转， 于在 平面内作正 β 角旋转，于是 cos β 0 (z′ y′ x′ 1) = (z y x 1) − sin β 0 0 sin β 1 0 0 cos β 0 0 0 − sin β 1 0 0 cos β 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
z′ = z cos β − x sin β x′ = z sin β + x cos β y′ = y
y
z
cos γ − sin γ (x′ y′ z′ 1) = (x y z 1) 0 0
sin γ cos γ 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
y
A
0 − az a ∗ A = az 0 − ax − a y a x 0 ˆ ˆ M = A + cos θ ⋅ I − A + sin θ ⋅ A*
θ
o
(
)
z
轴角旋转
x
P' = P ⋅ M T
表示M的转置矩阵 的转置矩阵。 其中 M T 表示 的转置矩阵。
P2’’• z
(4) 应用逆旋转变换将旋转轴回到原方向 应用逆旋转变换将旋转轴回到原方向; (5) 应用逆平移变换将旋转轴变换到原位置。 应用逆平移变换将旋转轴变换到原位置。
y • P’2 • P’1 z (4) x y P2 • P1 • x z (5)
求变换A 使过原点的向量V=(a,b,c)与z轴的 例. 求变换 V，使过原点的向量 与 轴的 正向一致。 正向一致。
y y y z (d) z x z (a) (b) x z (c) x x
R (α ) = T ⋅ Rx (α ) ⋅ T −1
2. 绕任意轴旋转的变换 (1)平移物体使旋转轴通过坐标原点 平移物体使旋转轴通过坐标原点; 平移物体使旋转轴通过坐标原点
y y P2 • P1 • x z z (1) • P’2 • P’1 x
（1）绕 z 轴旋转 ）
x′ = x cos γ − y sin γ y ′ = x sin γ + y cos γ z′ = z
y x
x→ y→z→x
（2）绕 x 轴旋转 ）
z z
y ′ = y cos α − z sin α z′ = y sin α + z cos α x′ = x x
x
y
（3）绕 y 轴旋转 ）
7.2.2 组合变换 1. 物体绕平行于某一坐标轴的旋转变换。基本步骤: 物体绕平行于某一坐标轴的旋转变换。基本步骤 (1) 平移物体使旋转轴与所平行的坐标轴重合 平移物体使旋转轴与所平行的坐标轴重合; (2) 沿着该坐标轴进行指定角度的旋转 沿着该坐标轴进行指定角度的旋转; (3) 平移物体使旋转轴移回到原位置。 平移物体使旋转轴移回到原位置。
sx 0 T (− x f ,− y f ,− z f )S (s x , s y , s z )T (x f , y f , z f ) = 0 (1 − s x )x f 0 sy 0