第四章 矩阵的特征值与特征向量问题讲解
第四章 矩阵的特征值与特征向量问题
2 当A可逆时, 0,
由Ax x可得
A1 Ax A1 x A1 x
x A 1 x A 1 x 1 x
故 是矩阵A 的特征值, 且x是A 对应于
1 1 1
1
的特征向量.
★ 特征值和特征向量的性质:
A或AT
特征值
i 1
19
例 估计方阵A特征值的范围
0.1 0.2 1 0.5 3 0.1 A 1 0.3 1 0.2 0.3 0.1 0.3 0.2 0.5 4
解：
G1 = {z：|z – 1| 0.6}；G2 = {z：|z – 3| 0.8}； G3 = {z：|z + 1| 1.8}；G4 = {z：|z + 4| 0.6}。
1i n
因为
a
j 1
n
kj
x j x k
n
( akk ) xk akj x j
j k
akk |
j k
n
n
akj x j xk
| | akj |
j 1 j k
| xj | | xk |
| akj |
j 1 j k
n
Gk Gi
n
I A ( 1 )( 2 ) ( n ) (1) k s k n k
k 0
n s1n 1 s 2 n 2 (1) n A 其中 : s k 为A中一切k阶主子式之和。
(1) 1 2 n a11 a22 ann＝tr（A） ;
5
重数：
det(I A) ( 1 ) ( 2 ) ( P )
4第四章 矩阵的特征值与特征向量
THANKS
演示完毕 感谢观看
定义９ 如果 n 阶矩阵 A 满足 ， AT A I（即A1 AT） 则称 A 为正交矩阵，简称正交阵．
第四章
4.3
相似矩阵与矩阵的对角化
一、相似矩阵
定理２
n 阶矩阵 A 相似于对角阵（即矩阵 A 可对角化）的充分必要条件是矩阵 A 有 n 个线
性无关的特征向量． 推论 若 n 阶矩阵 A 有 n 个不同的特征值，则矩阵 A 与对角阵相似． 证 设 A 有 n 个不同的特征值 1, 2 , , n ，对应的特征向量 1 , 2 , , n ． 根据§4.1定理3，向量组 1 , 2 , , n 线性无关，所以由定理2可知， A 与对角阵 相似，其中
线性代数
主编 金桂堂
普通高等教育”十三五“规划教材
肖马成
矩阵的特征值 与特征向量
第四章
本章主要讨论方阵的特征值与特征向量、方阵的相 似对角化等问题，然后介绍向量空间、基与维数， 以及向量的内积、长度及正交等知识．
第四章
4.2
n维向量空间
一、向量空间与子空间
第四章
ห้องสมุดไป่ตู้
4.2
n维向量空间
四、正交矩阵
四矩阵特征值与特征向量的计算
四矩阵特征值与特征向量的计算四矩阵特征值与特征向量的计算是线性代数中一个非常重要的问题。
特征值和特征向量能够帮助我们理解和描述线性变换对向量空间的影响。
在解决实际问题中，它们也有着广泛的应用，比如在物理学、工程学和计算机科学等领域中。
在矩阵特征值与特征向量的计算中，有几个重要的概念需要了解。
首先是特征向量，它是指在线性变换下保持方向不变或只改变了伸缩比例的向量。
如果一个向量v在一个线性变换A下的变换结果仍然是它的常数倍，则称v为A的特征向量。
特征向量一般用符号v表示。
对于一个矩阵A，特征向量v满足以下条件：Av=λv，其中λ是一个标量，被称为特征值。
换言之，一个特征向量在线性变换下的变换结果是它本身的伸缩。
这样的v和λ的配对称为特征对。
有两种主要的方法可以用来计算矩阵的特征值与特征向量：特征多项式方法和迭代方法。
第一种方法是特征多项式方法，它基于矩阵特征方程的解。
对于一个n阶矩阵A，特征多项式定义为：p(λ) = det(A - λI)，其中I是n阶单位矩阵。
解特征多项式p(λ) = 0可以得到矩阵A的所有特征值λ。
一旦得到特征值，就可以通过求解(A - λI)v = 0，找到对应于每个特征值的特征向量v。
第二种方法是迭代方法，它是一种数值方法，可以用于计算大型矩阵的特征对。
迭代方法的基本思想是通过不断迭代逼近特征值和特征向量。
最著名的迭代方法是幂法，它适用于计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
幂法的思想是通过迭代计算矩阵的幂A^k向一个方向收敛，收敛后的向量就是矩阵A的最大特征向量，而对应的特征值则可以通过A^k向量的模长逼近得到。
除了幂法，还存在其他迭代方法，如反幂法和QR方法等。
这些方法可以用来计算矩阵的其他特征值和特征向量。
反幂法通过计算矩阵的逆来找到最小特征值和对应的特征向量，而QR方法则通过QR分解来逐步收敛到矩阵的特征对。
无论是特征多项式方法还是迭代方法，对于大型矩阵的计算，都需要使用计算机进行实现。
计算方法(5)第四章 矩阵特征值和特征向量的计算
n
使得u 0
i xi
i 1
n
n
uk Auk1 Aku0 Ak (i xi ) iik xi
i 1
i 1
1k [1x1
n i2
( i 1
)k i xi ]
由1 0, 1 i (i 2, 3,L , n) 得
lim(
对矩阵A1用乘幂法得 uk
A-1u
k
，
1
因为A1 的计算
比较麻烦，而且往往不能保持矩阵A 的一些好性质
（如稀疏性），因此，反幂法在实际计算时以求解
方程组
Auk
u
k
，代替迭代
1
uk
A-1uk1求得uk，每
迭代一次要解一线性方程组。 由于矩阵在迭代过
程中不变，故可对A 先进行三角分解，每次迭代只 要解两个三角形方程组。
且
2 p 2 n
2 n
2 n 2
1 p 21 2 n 1 n 1 2 1 n 1
因此，用原点平移法求1可使收敛速度加快。
三、反幂法
反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向 量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最 有效的方法。
0
0.226
0.975
做正交相似变换后得到
3.366
A3 =R2 AR2T
0.0735
0.317
0.0735 1.780
0
0.317
0
1.145
雅可比方法是一个迭代过程，它生成的是一个矩阵的
序列 Ak，当k越大时Ak就越接近于对角矩阵，从而
4求矩阵特征值和特征向量课件-11
4求矩阵特征值和特征向量课件-11第4章求矩阵特征值和特征向量的方法本章探讨求矩阵特征值及特征向量的常用数值方法的构造和原理，主要介绍在计算机上常用的求矩阵特征值和特征向量的的常用方法和有关知识。
重点论述幂法的构造内容。
4.1 实际案例旅游地选择问题通过层次分析法可以转化为求成对比较矩阵的绝对值最大的特征值max 及其对应的特征向量的问题。
求矩阵的特征值及特征向量的问题在实际的科研和工程问题中经常遇到，在这些问题中解出矩阵（特别是高阶矩阵）特征值或特征向量成为解决问题的关键。
求矩阵的特征值及特征向量的计算机解法也称为代数特征问题的计算方法。
4.2问题的描述与基本概念定义1 设矩阵A ∈R 函数n ⨯n，称关于变量λ的行列式为矩阵A 的特征多项式，称方程f A λ=0为特征方程。
nλ定义2若存在某个实数或复数及非零向量x ∈R满足Ax =λx ，则称λ是矩阵A 的一个特征值，而x 称为λ对应的一个特征向量。
f A (λ)是关于λ的n 次多项式，矩阵A 的特征值就是f A (λ)的零点。
在线性代数中，有求解矩阵A 的特征值和特征向量的解法，该解法理论很严密，但由于将特征多项式f A (λ)化为一个n 次多项式很复杂且特征方程对舍入误差很敏感，特别当n 较大时，这些问题更突出。
由于这些原因，实用中在求解代数特征值问题时一般不用如上的线性代数的方法，而采用本章介绍的迭代加变换的计算机求解方法，这些方法具有编程简单，对舍入误差不敏感等优点。
3 幂法幂法---把最大特征值直接从矩阵乘出来！幂法是求矩阵按模最大的特征值及其相应特征向量的方法。
基本思想利用矩阵的特征值与特征向量的关系Ax =λx构造迭代向量序列来求矩阵按模最大的特征值及其相应特征向量。
1、构造原理n ⨯nA ∈R 设方阵, x , x , ⋯, x 是A 的n 个线性无关的特征向量，其对应的特征值为λ1, λ2, ⋯, λn ，任取一个非零向量V (0)∈R n , 则有012n V ()=α1x ()+α2x ()+⋯+αn x () (0)V 用A 左乘，并利用Ax (k )=λk x (k )有(1)(2)(n )AV (0)=α1Ax (1)+α2Ax (2)+⋯+αn Ax (n )=αλx +αλx(1)(2)+⋯+αλx(n )λα1≠0，因为k 1kV (k ) →λ1α1x (1), k →∞令V (k)的第i 个分量为V (k)(k )V 当k 是λ1对应的一个近似特征向量。
线性代数chapter4方阵的特征值与特征向量
相似对角化条件及步骤
3. 将所有基础解系合并成一个矩阵 $P = [alpha_{11}, alpha_{12}, ldots, alpha_{nk}]$。
4. 计算 $P^{-1}AP = Lambda$，其 中 $Lambda = text{diag}(lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_n)$。
特征向量对应于特征值，表示系统在该特征 值对应的特征方向上的运动模态。通过分析 特征向量的性质，可以进一步了解系统的动
态特性。
系统稳定性分析举例
01
举例一
考虑一个简单的二阶线性定常系统，其特征方程为s^2 + 2s + 1 = 0。该方程的特征根为s1,2 = -1，具有负实部，因此 系统是稳定的。
描述函数法
利用描述函数将非线性环节近似为线 性环节，从而采用线性系统稳定性分 析方法进行稳定性判断。
李雅普诺夫法
通过构造李雅普诺夫函数，利用其导 数的正负性来判断非线性系统的稳定 性，适用于高阶系统。
计算机仿真法
利用计算机仿真技术，对非线性系统 进行数值模拟，观察系统响应来判断 稳定性。
感谢您的观看
注意：不是所有矩阵都可以相似对角化，只有当矩阵满足相似对角化的条件时才可以进行相似对角化 。
04 特征值与特征向量在矩阵 分解中应用
矩阵分解基本概念及意义
矩阵分解定义
将一个复杂矩阵分解为若干个简单矩阵的乘 积或和，以便进行后续计算和分析。
矩阵分解意义
降低计算复杂度，提高计算效率；揭示矩阵 内在结构和性质；为矩阵求逆、求解线性方 程组等问题提供有效方法。
特征方程
特征多项式f(λ)=0的方程称为A的特征方程。
特征值与特征向量性质
矩阵的特征值及特征向量
２．相似变换与相似变换矩阵
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A
变成
，而可逆矩阵 称为进行这一变换的
相似变换矩阵．
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算．
对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化．
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解
解之得基础解系
求得基础解系
故 不能化为对角矩阵.
解之得基础解系
例2 A能否对角化？若能对角 解
解之得基础解系
所以 可对角化.
注意
即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
四、小结
二、特征值和特征向量的性质
证明
则
即
类推之，有
ห้องสมุดไป่ตู้
把上列各式合写成矩阵形式，得
注意
１ . 属于不同特征值的特征向量是线性无关 的．
２ . 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３ . 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
三、特征值与特征向量的求法
例5 设A是 阶方阵，其特征多项式为
解
四、小结
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
思考题
思考题解答
、 相似矩阵
一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化
一、相似矩阵与相似变换的概念
《线性代数》第四章第二节 方阵的特征值与特征向量
若P是与对应的特征向量，则显然k 0时， kP也是与对应的特征向量.
6.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合 仍是属于这个特征值的特征向量．
例1
设
A
=
−2 0
1 2
1 0,
求A的特征值与特征向量．
− 4 1 3
分析：
1.特征方程的根就是特征值；
2. (A-E)x=0的通解（去掉零解）就是特征值对应
所以对应于 2 = 3 = 2的全部特征向量为 :
k2 p2 + k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
例2 证明：若 是矩阵A的特征值，x 是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值(m是任意常数).
(2) 当A可逆时,−1是A−1的特征值.
证明 (1) Ax = x A(Ax) = A(x) = (Ax) = (x) A2 x = 2 x
有x.
3. A − E = 0 为A的特征方程。
a11 −
a21
an1
a12
a22 −
an2
a1n
a2n
=0
ann −
记 f ( ) = A − E ,它是的n次多项式, 称其
为方阵A的 特征多项式 .
( ) 4. 设 n阶方阵A = aij 的特征值为1, 2 ,,
n ,则有 (1) 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann; (2) 12 n = A .
将1 = 2 = 1代入(A − E )x = 0,
解之得基础解系
− 2
1 = 1 ,
0
矩阵的特征值与特征向量
1, 2, …, n), 则 P 可逆, 且 P-1AP=
1,
注: 对于实对称矩阵 A，一定有可逆阵 P，使 P－1AP为对角阵， P 的列向量为 A 的特征向量，对角阵中主对角线上的元素为 A 的特征值，而且也一定有正交阵 Q，使 Q－1AQ 为对角阵. 当 A 的特征 值互异时，其特征向量两两正交，只需将特征向量单位化 ，即可求得正交阵 Q；当 A 有 k 重特征值时，这个k 重特征值 一定对应有 k 个线性无关的特征向量，用施密特正交化方法将其 化为两两正交的向量并单位化，就求出正交阵 Q 来了.
矩阵的特征值与特征向量
一. 特征值与特征向量的求法
1.利用定义求特征值与特征向量
注: 用定义求特征值与特征向量，最重要的是求出特征值. 为此， 首先求出矩阵的特征多项式，并将它按降幂排列，然后通过试根或 因式分解将其化为一次式的乘积，从而求出特征值. 求特征向 量 即求齐次方程组(A- E)X=0 的基础解系.
2.利用公式求特征值与特征向量
二.A 与对角阵相似的解题方法
注: 当矩阵有重特征值时，我们用定理“A 与对角阵相似的充 要条件为 r(A- iE)=n-ri”来判定 A 能否与对角阵相似，其中 ri特征值 i的重数，n 为矩阵 A 的阶数.
注: 矩阵相似对角化的步骤: (1) 求出 A 的所有特征值 1, 2,…
三. 方阵 及其特征值、特征向量的互求
四.An 的求法
五.证明题
n,若
1, 2,…,
n 互异, 则 A 与对角阵相似；若
1, 2,…,
异的为
1, 2,…,
m, 每个
i 的重数为 ri, 当 r(A-
i E)=n-
(i=1,2,…m), A 与对角阵相似；否则 A 不能与对角阵相似
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的重要概念之一，特征值与特征向量是矩阵理论中常被提到的概念。
在本文中，我们将详细介绍矩阵的特征值与特征向量，以及它们之间的关系和应用。
一、特征值与特征向量的定义矩阵A是一个n阶方阵，那么非零向量x是矩阵A的特征向量，如果满足以下条件：Ax = λx其中λ为实数，称为矩阵A的特征值。
特征向量是指在变换矩阵作用下，只发生缩放而不改变方向的向量。
特征值则是衡量该变换强度的标量。
二、求解特征值与特征向量的方法1. 特征值的求解要求解特征值，我们需要解方程|A-λI|=0，其中I为单位矩阵。
解这个方程就可以得到矩阵A的特征值。
2. 特征向量的求解当求得特征值λ之后，我们可以将其代入方程(A-λI)x=0中，通过高斯消元法求解得到特征向量。
三、特征值与特征向量的性质1. 特征值的重要性质矩阵A的特征值个数等于其阶数n，且特征值具有唯一性。
2. 特征向量的重要性质特征向量x与特征值λ的关系为：Ax = λx。
这表明特征向量在矩阵A的作用下只发生了缩放，而未改变方向。
3. 特征值与特征向量的关系同一特征值对应的特征向量可由标量倍数唯一确定。
四、特征值与特征向量的应用1. 矩阵的对角化矩阵的特征值与特征向量可以被用于对矩阵进行对角化。
对角化使得矩阵运算更加简单，且能够揭示矩阵的某些性质。
2. 矩阵的相似性特征值与特征向量的概念也被用于定义矩阵的相似性。
相似矩阵具有相同的特征值。
3. 特征值在图像处理中的应用特征值与特征向量的概念在图像处理中有广泛的应用。
例如，它们可以用于图像压缩、边缘检测等领域。
五、总结矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念。
特征值是矩阵的度量，而特征向量则是与特征值相关联的向量。
通过求解特征值和特征向量，我们可以得到揭示矩阵性质的重要信息，并应用于各种实际问题中。
特征值与特征向量的概念在科学领域中有着广泛的应用，如物理学、生物学、经济学等。
它们的理解与掌握对于深入理解矩阵理论以及解决实际问题具有重要的意义。
数值计算方法第04章矩阵特征值与特征向量的计算
• 计算出k=2时的x和y。 • (保留四位有效数字)
22
二、幂法的加速
因为幂法的收敛速度是线性的，而且依赖 于比值 2 ／1 ，当比值接近于1时，幂法收敛 很慢。幂法加速有多种，介绍两种。
23
幂法的加速—原点移位法 应用幂法计算矩阵A的主特征值的收敛速度主要
26
4 14 0 , 2.9, 用原点移位法求矩 例：A 5 13 0 0 1 0 2.8 -4 阵A的按模最大的特征值，要求误差不超过10 。 解：取x (0) (1,1,1)T , 按x ( k 1) ( A pI )x (k )进行计算 0 6.9 14 A 0 I 5 10.1 0 0 0.1 1 (3.1000568, 2.214326, 0.9687661) 4 3.1000568
在一定条件下, 当k充分大时: 相应的特征向量为:
x 1 x
x
( k 1)
( k 1 ) i (k ) i
10
幂法的理论依据 对任意向量x(0), 有 x ( 0 ) i ui , 设1不为零.
i 1 n
x
( k 1 )
Ax
n i 1
(k )
A
k 1
x
(0) n
1 Ak 1 i ui i k i ui i 1
k 1 1
2 k 1 n k 1 1u1 ( ) 2 u2 ( ) n un 1 1
k 1 1 1u1
故 1 xi( k 1) xi( k ) x(k+1)为1的特征向量的近似向量(除一个因子外).
第四章 方阵的特征值和特征向量
4.1.3 反幂法 由Axi=ixi易推得A-1xi=(1/i)xi ,若有
| 1 | | 2 | | 3 | | n |,
则1/n是A-1的按模最大的特征值,我们只要求出A-1的按模最大的 特征值,也就求出了A的按模最小的特征值.为了避免求逆阵,我们 用解方程组的方法构造如下算法：
5 结束
2. 我们假设在(4.3)中α1≠0,这在选择u0时,也无法判断,但这往往不 影响幂法的成功使用.因为若选u0,使α1=0,由于舍入误差的影响, 在迭代某一步会产生uk,它在x1方向上的分量不为零,这时以后的 迭代仍会收敛. 3. 我们假设了 | 1 | | 2 | | 3 | | n |,
u k 1 1 x1
k
2 1
1
Au k
k 1 1
1 x1 1 1 x1 1 u k ,
k 1
不是零向量，
即uk为1的近似的特征向量. 2 结束
实际计算时,为防止uk的模过大或过小,以致产生计算机运算的 上下溢出,通常每次迭代都对uk进行归一化,使‖ uk ‖∞=1,因此 以上幂法公式改进为：
y k 1 u k 1 u k Ay k 1 u k 1
k 1, 2 ,
( 4 .4 )
此时uk仍收敛于1对应的特征向量。1可用如下公式计算：
1
ak a k 1 (4 .7 )
其中ak 是uk 的绝对值最大的分量，a k 1 是yk-1 的绝对值最大 的分量。
cos 为实对称阵， U sin sin cos
1. 二阶实对称矩阵的对角化
设
为二阶旋转矩阵，容易验证U正交。 12 结束
矩阵的特征值与特征向量
1
所以，A 的特征值为 1 2 , 2 3 1,
7
当 1 2 时, 解方程组 ( 2 I A ) x 0 ,
1 x1 2 1 x 2 0, 即 1 2 x 3 1 解之得基础解系为 p 1 1 , 1 2 1 1 1
故 1是 A1的特征值, 且 x 也是 A1对应于1的特征向量.
24
性质2 矩阵 A 和 AT 的特征值相同. 证 因为 IAT = ( I)TAT = ( IA)T 所以 det ( IA) = det ( IAT)
因此, A 和AT 有完全相同的特征值.
补充 性质 设 是方阵 A 的特征值.设
(*)式中不含 的常数项为
a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 an2 a1n a2n a nn
21
( 1) A ,
n
即 c n ( 1) A
n
f 所以， ( ) I A ( 1 )( 2 ) ( n )
的全部特征向量.
9
例
2 设矩阵 A 2 0
2 1 2
0 2 , 求 A 的特征值. 0
解 A 的特征多项式为
2 I A
2 0 2 0 2 ( 2 )( 1 )( 4 ),
1
2
所以，A 的特征值为 1 2 , 2 1 , 3 4 . 特征值的计算不容易！！
0 A 1 1 1 0 1 1 1 0
所以 k 1 p 1 是对应于 1 2 的全部特征向量;
矩阵的特征值和特征向量-习题ppt课件.ppt
三、矩阵的相似及对角化
b c a
例11．设a,
b,
c均为复数，令A
c
a
b
,
a b c
c a b a b c
B
a
b
c
,
C
b
c
a
b c a c a b
(1)证明：A, B,C彼此相似
（2）若BC CB，则A, B,C的特征根至少有两个等于零．
26
0 1 0
0 0 1
证：（1）令T
其中A是矩阵A的伴随矩阵，试求a, b和的值。 9
解：矩阵A的属于特征值的特征向量为，
由于矩阵A可逆，故A可逆。
于是 0，A 0，且A .
两边同时左乘矩阵A，得AA* A，
即A A ，亦即
2 1 11 1
1
1
2 1
1
b
a 1
A
b
1
10
A
3b
由此，得方程组
使得P1 AP 。(2003年数学2)
解 : 矩阵的特征多项式为:
2 2 0 | E A | 8 2 a
0 0 6
( 6)[( 2)2 16] ( 6)2 ( 2)
29
所以A的特征值λ1 λ2 6，λ3 2
由于A相似于对角矩阵，故对应于λ1 λ2 6，
应有两个线性无关的特征向量,
而r
，
1
，n是A的对应于特征值
0的特征向量，
从而1，2， n线性无关。
令P
（1，
，
2
，n），则P可逆，且
2
P1 AP
2 0
0
即A可对角化，且对角阵中2的个数为r。
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重数：
det(I A) ( 1 ) ( 2 ) ( P )
n1 n2 nP
其中： n1 n2 n p n ; i j (i j ) 称ni 为i的代数重数 （简称重数 ）； mi n rank(i I A)为i的几何重数(mi ni )； 如果ni＝1，则称i 为A的一个单特征值 ； 否则称i 为A的一个重特征值 ； 如果mi＝ni，则称该特征值 i 为A的一个半单特征值 ； 如果A的所有特征值都是半单 的，则称A是非亏损 的； A是非亏损的充要条件是 A有n个线性无关的特征向量 。
故 m 是矩阵Am的特征值, 且 x 是 Am 对应于m的特 征向量.
8
2 当A可逆时, 0,
由Ax x可得
A1 Ax A1 x A1 x
x A 1 x A 1 x 1 x
故 是矩阵A 的特征值, 且x是A 对应于
第四章 矩阵的特征值与 特征向量问题
1
第三章 矩阵的特征值与特征向量
4.1 幂法与反幂法 4.2 Jacobi方法（重点） 4.3 多项式方法求特征值问题（自学） 4.4 QR算法 （重点）
Givens矩阵； Householder矩阵； Gram-Schmidt正交化方法
2
3
n
I A ( 1 )( 2 ) ( n ) (1) k s k n k
k 0
n s1n 1 s 2 n 2 (1) n A 其中 : s k 为A中一切k阶主子式之和。
11
注记
１. ２.
属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
属于同一特征值的特征向量的非零线性组合 仍是属于这个特征值的特征向量． ３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而 言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
1 2 的特征向量 ,即有 Ax 1 x , Ax 2 x 1 x 2 x 1 2 x 0, 由于1 2 0, 与定义矛盾 . 则x 0,
因为, 如果设x同时是A的属于特征值 1 , 2的
12
注记
4. 若λ是矩阵A的r重特征值，对应λ有s个线性 无关的特征向量，则1≤s≤r； 若A为实对称矩阵，则对应特征值λ 恰有r 个线性无 关的特征向量。
5.
实对称矩阵的特征值是实数，属于不同特 征值的特征向量正交。
13
注记
6. 设 n 阶方阵 A aij 的特征值为1 , 2 ,, n , 记：
k 1 1 1 k 2 2 2
k x 0.
k 1,2,, m 1
k m m m
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把上列各式合写成矩阵形式，得 m 1 1 1 1 m 1 k1 x1 , k2 x2 ,, km xm 1 2 2 0,0,,0 1 m 1 m m 上式等号左端第二个矩 阵的行列式为范德蒙行 列
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特征值和特征向量的性质
定理： n 阶矩阵 A 与它的转置矩阵AT 有相同的特征值。 证明： 由( A I )T AT I 有：
A I ( A I ) A I
T T
即A与AT有相同的特征多项式，所以它们的特征值相同.
7
定理： 若 是矩阵A 的特征值，x 是 A 的属于 的特征向量，则：
证明: 设有常数 k1 , k2 ,, km 使
k1 x1 k2 x2 km xm 0.
则 Ak1 x1 k2 x2 km xm 0, 由Axi xi 可得
k11 x1 k22 x2 km m xm 0,
k x k x
1 1 1
1
的特征向量.
★ 特征值和特征向量的性质:
A或AT
特征值
x
kA k
Am
A 1
1/
A*
A /
f ( A) f ( )
对应特征 向量 xxm x Nhomakorabeax
x
x
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定理 ： 设1 , 2 ,, m 是方阵A的m 个特征值, x1 , x2 ,
, xm 依次是与之对应的特征 向量。如果1 , 2 ,, m 各不相等, 则 x1 , x2 ,, xm 线性无关。
(1) m是Am的特征值m是任意常数. (2) 当A可逆时, 1是A1的特征值.
证明： 1 Ax x
2 2 A x x A Ax Ax Ax x m m A x x m 2 再继续施行上述步骤 次，就得
概述
定义： 设A是n阶方阵, 是一复数，如果方程 Ax x 存在非零解向量 , 则称 为方阵A的特征值, 相应的非零解向量x 称为与特征值 对应的特征向量, 此特征值 与特征向量x称为一特征对, P （ A的特征多项式 。 A ）＝det (I A)称为矩阵
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注记
1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而 言的.
2. n阶方阵A的特征值, 就是使齐次线性方程组
A I x 0 有非零解的 值 , 即满足方程
A I 0的都是矩阵A的特征值.
3. 是矩阵A的一个特征值，则一定 是 A λ I 0, 的根，因此又称 特征根 。若是 A I 0的k重根, 则称为A的k重特征值(根)。
式,当各i不相等时, 该行列式不等于 0, 从而该矩阵 可逆.于是有 k1 x1 , k2 x2 ,, km xm 0,0,,0,
即 k j x j 0 j 1,2,, m .但 x j 0,故 k j 0 j 1,2,, m .
所以向量组 x1 , x2 ,, xm 线性无关.