大学物理第13章 静电场中的导体与电介质

QA QB
外表面带电荷QA+ QB，电荷在导体表面均 匀分布（图(a)），由带电球面电势的叠加 可求得球A和球壳B的电势。
解：（1 ）由分析可知，球 A的外表面带电 3.010-8C ，球壳 B 内表面带电 -3.010-8C ， 外表面带电 5.010-8C 。由电势的叠加，球 A和球壳B的电势分别为
C rC0
C — 充满介质时电容
C0 —真空中电容
r — 相对介电常数(相对电容率）
几种常见电容器及其电容 平板电容器 圆柱形电容器 球形电容器
C
0 r S
d
C
2 0 r l ln RB RA
C
4 0 r RA RB RB RA
4
4.静电场的能量 电容器是一种储能元件，在电路中用于调谐、滤波、耦合、旁 路、能量转换和延时。 以平行板电容器为例
所以，把它们串连起来在两端加上1000 V电压时，其端电压分别是：
q1 q2 1.2 107 1.2 107 U1 600(V), U 2 400(V). C1 200 1012 C2 300 1012
所以C1首先被击穿，然后1000 V电压全部加在C2上，超出其耐压值 （900V），C2也被击穿。
(b)
qA QA
R1 R3
qA q QA UA A 40 R1 40 R2 40 R3 qA
由 UA= 0 可解出球A所带的电荷qA，再由带电球面 电势的叠加，可求出球A和球壳B的电势。
A B
R2
qA
qA
(c)
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此时球A的电势可表示为
qA q QA UA A 40 R1 40 R2 40 R3 qA
C 0 r S / d
U Ed
1 1 1 2 2 W CU 0 r E Sd 0 r E 2V 2 2 2
能量密度
W e V
1 1 2 e 0 r E D E 2 2
对电场空间积分
电场能量
W e dV
V
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1.在一半径为R1 =6.0 cm的金属球A外面套有一个同心的金属球壳B。 已知球壳B的内、外半径分别为R2 =8.0 cm，R3 =10.0 cm。设球A带有 总电荷QA= 3.010-8C ，球壳B带有总电荷QB= 2.010-8C。 （l）求球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势； （2）将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求球A和球壳B内、 外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势。
分析：（1）根据静电感应和静电平衡 时导体表面电荷分布的规律，电荷QA 均匀分布在球A表面，球壳B内表面带 电荷-QA ,
外表面带电荷QA+ QB，电荷在导体表面 均匀分布（图(a)），由带电球面电势的 叠加可求得球A和球壳B的电势。
QA QB
R1
R3
A B
o
QA QA
R2
(a )
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（l）求球壳B内、外表面上所带的电荷以 及球A和球壳B的电势
[ (A) ] 参考解答：本题可做类比法处理 E0 （空气）平板电容器 极板上自由电荷面密度.


E 0
E
电介质极化后边缘出现极化电荷面 分布，在本例中为均匀面分布，设 极化电荷面密度为′，其产生的电 场可由类比法得到。


E 0
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3. C1和C2两个电容器，其上分别标明 200 pF(电容量)、500 V(耐压值)和 300 pF、900 V．把它们串连起来在两端加上1000 V电压，则 (A) C1被击穿，C2不被击穿． (C) 两者都被击穿． 参考解答： 电容器串连，总电容
由 UA= 0 可解出球A所带的电荷qA，再由带电球面 电势的叠加，可求出球A和球壳B的电势。
R1 R3
R2
qA QA
A B
qA
qA
解：（2）将球壳B接地后断开，再把球A接地， 设球A带电qA，球A和球壳B的电势为
(c)
UA
40 R1
Hale Waihona Puke Baidu
qA

qA q QA A 0 40 R2 40 R3
介质中的电场强度和极化强度的大小分别为
S
E
D
0 r
2.5 106 V m 1
P D 0 E 2.3 105 C m2
D、P、E方向相同，均由正极板指向负极板（图中垂直向下）。
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5.某介质的相对电容率r=2.8，击穿电场强度为18×106 V· m-1 ，如果 用它来作平板电容器的电介质，要制作电容为0.047 F，而耐压为 4.0 kV的电容器，它的极板面积至少要多大。 解：介质内电场强度
R1
R3
A B
o
QA QA
R2
(a )
UA
QA QA Q QB A 5.6 103V 40 R1 40 R2 40 R3
Q A QB UB 4.5 103V 40 R3
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（2）将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求球A和球壳B内、 外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势。
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6. 如图所示，一圆柱形电容器，内筒半径为R1，外筒半径为R2 (R2＜2
R1)，其间充有相对介电常量分别为r1和r2＝r1/2的两层各向同性均匀 电介质，其界面半径为R．若两种介质的击穿电场强度EM相同，问： (1) 当电压升高时，哪层介质先击穿？ (2) 该电容器能承受多高的电压？ 解：(1) 设内、外筒单位长度带电荷为＋l和 －l．两筒间电位移的大小为 D＝l / (2r) 在两层介质中的场强大小分别为 E1 = l / (20 r1r)， E2 = l / (20 r2r) 在两层介质中的场强最大处是各层介质的内表面处，即 E1M = l / (20 r1R1)， E2M = l / (20 r2R) 可得 E1M / E2M = r2R / (r1R1) = R / (2R1)
S D d S q0
S内
通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等于该面包围的自由 电荷的代数和––– 有介质时的高斯定理
3
3. 电容与电容器 计算电容的一般方法：
先假设电容器的两极板带等量异号电荷，再计算出电势差， 最后代入定义式。
理论和实验证明
q Q E U , C U
C C1C2 200 300 120(PF) 120 10 12 (F), C1 C2 500
(B) C2被击穿，C1不被击穿． (D) 两者都不被击穿． [ (C) ]
12 7 电容器串连，电量相同：q1 q2 q CU 120 1000 10 1.2 10 (C),
答案：r ，r
C rC0
1 1 W CU 2 r C0U 2 rW0 2 2
8. 思考题： 电势能、电容器存贮的能量、电场的能量三者之间有什么 区别和联系？
参考解答: 电势能是电场中相对于电势零点的电势高低而具有的能量，其具体 大小与势能零点的选择有关；电容器存贮的能量是由充电过程中非 静电力克服静电力做功而储存在电容器中的能量；电场的能量是以 场的形式储存在电场空间中的能量。电势能、电容器存贮的能量归 根结底都是电场的能量。
2
2. 电介质极化
（1）极化强度与极化电荷的关系
ˆ Pn
ˆ n
介质外法线方向
（2）电介质极化特点：内部场强一般不为零。空间任一点总电场
E E0 E
（3）有电介质时的高斯定理 电位移 D ε0 E P D 0 r E E
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4.一平板电容充电后极板上电荷面密度为0=4.510-5Cm-2。现将两 极板与电源断开，然后再把相对电容率为r=2.0的电介质插人两极板 之间。此时电介质中的D、E和P各为多少？
解：介质中的电位移矢量的大小 由有电介质的高斯定理
DS 0S
D 0 4.5 105 C m2 D 0 r E E, D ε0 E P
1. 导体的静电平衡 静电感应：在静电场力作用下，导体中自由电子在电场力的作用下作宏
观定向运动，使电荷产生重新分布的现象。 导体内部和表面无自由电荷的定向移动，—— 导体处于静电平衡状态。
导体静电平衡的条件
E内 0
P
S
导体各点电势相等，即导体是等势体，表面是等势面。
dS
ˆ E表 n 0
r2 r1
R2 R1
O
R
已知
R1＜2 R1， 可见 E1M＜E2M，因此外层介质先击穿．
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6. 如图所示，一圆柱形电容器，内筒半径为R1，外筒半径为R2 (R2＜2
R1)，其间充有相对介电常量分别为r1和r2＝r1/2的两层各向同性均匀 电介质，其界面半径为R．若两种介质的击穿电场强度EM相同，问： (1) 当电压升高时，哪层介质先击穿？ (2) 该电容器能承受多高的电压？
U 12
R
R1
1 R R2 R 1 lM lM RE ln ln dr dr r2 M R 2 r R R 2 0 r1r 1 r2 r1 0 r2
2
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7. 电容为C0的平板电容器，接在电路中，如图所示．若将相对介电常 量为r的各向同性均匀电介质插入电容器中(填满空间)，则此时电容 器的电容为原来的______倍，电场能量是原来的______倍．
r2 r1
R2 R1
O
解： (1) E1M = l / (20 r1R1)，E2M = l / (20 r2R)
R
R1＜2 R1，可见 E1M＜E2M，因此外层介质先击穿．
(2) 当内筒上电量达到lM，使E2M＝EM时，即被击穿，
lM = 20 r2REM
此时．两筒间电压(即最高电压)为：
UB
qA QA 40 R3
解得
R1R2QA qA 2.12108 C R1R2 R2 R3 R1R 3
U B 7.92 102 V
导体的接地使各导体的电势分布发生变化，打破了原有 的静电平衡，导体表面的电荷将重新分布， 以建立新的静电平衡。
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2. 一平行板电容器中充满相对介电常量为 r 的各向同性均匀电介 质．已知介质表面极化电荷面密度为±′，则极化电荷在电容器中 产生的电场强度的大小为： (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． 0 0 r 2 0 r
导体接地，表明导体与大地等电势（大地电 势通常取为零）。球壳B接地后，外表面的 电荷 与从大地流入的负电荷中和，球壳内 表面带电-QA （图（b））。
R1
R3
A
B
R2
QA QA
再将球A接地，球壳内表面带电-QA？
断开球壳B的接地后，再将球A接地，此时球A的电势 为零。电势的变化必将引起电荷的重新分布，以保持 导体的静电平衡、不失一般性可设此时球A带电qA， 根据静电平衡时导体上电荷的分布规律，可知球壳B 内表面感应qA，外表面带电qAQA（图（c））。此 时球A的电势可表示为
大学物理
教师：郑采星
课程指导课二
第13章 静电场中的导体与电介质
§1 §2 §3 §4 §5 导体的静电平衡 电介质的极化 电极化强度 电位移矢量 电介质中的静电场 电容与电容器 静电场的能量
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第13章 静电场中的导体与电介质
基本要求 理解导体的静电平衡条件及平衡时导体上的电荷分布、电场和电势分布。 理解静电屏蔽。理解电介质的极化、电极化强度；电位移矢量。理解D、E、 P 三个矢量之间的关系，电介质中的高斯定理。掌握电容器电容的计算。 理解电场能量，电场能量密度并会进行简单计算。 教学基本内容、基本公式
E Eb 18 106 V m 1
电容耐压Um = 4.0 kV，因而电容器极板间最小距离
d U m Eb 2.22 104 m
要制作电容为0.047F 的平板 电容器，其极板面积
S
Cd
0 r
0.42 m 2
显然，这么大的面积平铺开来所占 据的空间太大了，通常将平板电容 器卷叠成筒状后再封装。