现代信息决策方法-贝叶斯决策

m a(a a , )x Q (a o,p) t
称为在状态变量为 时的完全信息值 H i 的价值。
如果补充信息值
H
对每一个状态值
i
都是完全信息值，则完
全信息值 H i 对状态 的期望收益值称为完全信息价值的期望值
简称完全信息价值，可表示为 EVPI 。
2．完全信息价值的计算
值 H 的完全信息价值 EVPI，可以通过下式对 求数学期望
E(a2)0
最大期望收益值 E(aop|tH1)7.937
当 HH2时
E ( a 1 ) 0 . 2 1 3 0 . 5 5 6 1 0 0 . 2 9 ( 6 5 ) 2 . 5 51
E(a2)0
最大期望收益值 当 HH3时
E(aop|tH 2)2.519
E ( a 1 ) 0 . 0 1 5 0 . 1 5 5 1 9 0 . 7 ( 9 6 4 ) 3 . 4 65
似然矩阵
假定得到市场调查表的费用为0.6万元，试问： （1）补充信息（市场调查表）价值多少？ （2）如何决策可以使利润期望值最大？
解：第一步，验前分析。该厂生产新产品有两种方案，即生 产方案 (a1) 、不生产方案 (a2)，产品市场有三种状态，即好(1)、
中(2)、坏 (3)，状态的先验概率为
于是，
得到。即
E E m V a , ) Q ( a o P a , ) p E ( x t I a , m ) ( E ( Q ) ( a o , ) a p)
从上面的公式可以看出，完全信息价值 EVPI，实际上是掌 握完全信息与未掌握完全信息时，决策者期望收益值的增加量。
例2 某厂生产某种产品，若市场畅销，可以获得利润15 000元，若市场滞销，将亏损5 000元。根据以往的市场调查情 况，该产品畅销的概率为0.8，滞销的概率为0.2。为了准确地掌 握该产品的销售情况，可以聘请某咨询公司进行市场调查和分 析，它对产品畅销预测的准确率为0.95，滞销预测的准确率为 0.9。
➢该企业进行市场调查，如果销路好，就应该选择 生产；
➢如果销路情况中等，也应该生产；如果销路差， 就选择不生产。
看课本P40例3，实验课带课本
（三）贝叶斯决策分析的信息价值
从理论上分析，可以利用补充信息来修正先验概 率，使决策的准确度提高，从而提高决策的科学 性和效益性。如果获得情报后收益比花费的代价 大，那么获取情报就是正确的决策，如果收益抵 不上代价，那么显然，就不必做试验了。
当 H 2 发生时，P ( H 2 ) 0 . 0 0 . 8 5 0 . 9 0 . 2 0 0 . 0 0 . 1 4 0 . 2 8
P (1|H 2 ) 0 .0 0 .2 5 0 .8 2 0 .18 8P ( 1 2|H 2) 0 .1 0 . 7 0 .2 8 0 .82 1
进行风险决策最常用的数学方法是Bayes(又
称期望值)分析法。
贝叶斯决策
❖根据已有信息和经验估计出的概率（分布） 叫做先验概率（分布）。
❖为提高先验概率分布的准确性和客观性，人 们常设计一些抽样调查，质量检验等方法， 借以收集新信息来修正先验概率分布。被修 正后得到的概率分布叫做后验概率分布。
贝叶斯决策
如果咨询公司预测市场畅销，那么是否应该生产？如果预测 为滞销，是否应该进行生产？
解：第一步，验前分析。先验分布如下表所示
先Байду номын сангаас分布表
每种方案的期望收益：
E ( a 1 ) 1 0 5 0 0 . 8 5 0 0 0 0 . 2 1 01 00
E(a2)0 所以应该进行生产。
第二步，预测分析 现在用 H1 和 H 2分别表示咨询公司提供畅销和滞销这两个情 报，根据给定的条件，其概率分布如表所示。
取得最大利润期望值的最优策略是进行市场调查，如果调 查结果是新产品销路好或中等，则进行生产，否则就不生产。
第三步，验后分析。
➢ 综上所述，如果市场调查费用不超过1.56万元， 就应该进行市场调查，从而使企业新产品开发决策 取得较好的经济效益。如果市场调查费用超过1.56 万元，就不应该进行市场调查。
获得补充信息用已发生的随机事件 H 或已取值的随机变量
表示，称 H或 为信息值。信息值的可靠程度用在状态变量
的条件下，信息值 H 的条件分布用 P(H) 表示，在离散的
情况下，取 n个值 j(j1,2, ,n) H取m个值 H i(i1 ,2, ,m )
则条件分布矩阵
p(H11) p(H12)p(H1n)
或者当状态值≠ 时0 ，总有
P(|Hi)0
则称信息值 H i 为完全信息值。
设决策问题的收益函数为QQ (a,)，其中 a为行动方案，为
状态变量，H
为完全信息值，掌握了
i
H
i
的最满意行动方案为
a(Hi
)
其收益值为 Q (a(H i),)ma,x )，(验前最满意行动方案aopt 的收
益值为 Q(aop,t) ，掌握了完全信息值 H i 前后收益值的增加量.
p(H)
后验概率 n p(H/i) p(i)
p(H/j) p(j)
j1
包含的意义？ ( i 1,2,,n; p(H) 0)
p(i) 为事件 i 的先验概率，而称p(i /H)为事件 i 的后验概率.
（二）贝叶斯决策的基本方法
设风险型决策问题的状态变量为 ，通过市场调查分析所
❖风险型决策的基本方法是将状态变量看成随机 变量，用先验状态分布表示状态变量的概率分布 ，用期望值准则计算方案的满意程度。但是在实 际生活中，先验概率分布往往与实际情况存在误 差。
❖为了提高决策质量，需要通过市场调查， 来收集有关状态变量的补充信息，对先验 分布进行修正，然后用后验状态分布来决 策，这就是贝叶斯决策。
j
|
P(H1| H1)
j)P(
P(H 1)
j)
j1,2,3
计算后验概率
当 H1 发生时，P ( H 1 ) 0 . 9 0 . 8 5 0 . 1 0 . 2 0 0 . 7 0 . 0 6 0 . 7 28
P (1|H 1)0 .9 0 .7 5 0 .8 8 0 .97 44 P (2|H 1)0 .1 0 . 7 0 .2 8 0 .02 65
充分信息，用贝叶斯公式求出在信息值 H或 发生的条件下，
状态变量 的条件分布 p( H)。经过修正的状态变量 的
分布，称为后验分布，后验分布能够更准确地表示状态变量 概率分布的实际情况。 其次，利用后验分布对风险型决策问题 做出决策分析，并测算信息的价值和比较信息的成本，从而提 高决策的科学性和效益性。贝叶斯决策的关键在于依据似然分布 用贝叶斯公式求出后验分布。贝叶斯决策的基本步骤如下：
1.验前分析
依据统计数据和资料，按照自身的经验和判断，应用 状态分析方法测算和估计状态变量的先验分布，并计算 各可行方案在不同自然状态下的条件结果值，利用这些 信息，根据某种决策准则，对各可行方案进行评价和选
择，找出最满意的方案，称之为验前分析。
2.预验分析
考虑是否进行市场调查和补充收集新信息，决策 分析人员要对补充信息可能给企业带来的效益和补充 信息所花费的成本进行权衡分析，比较分析补充信息 的价值和成本，称为预验分析。
所以下面将分析如何在进行试验或抽样前来估计情报 价值的问题。
1.完全情报的价值 通常，将能够提供状态变量真实情况的补充信息称为完全信 息，即在获得补充情报后就完全消除了风险情况，把这种情况称 为完全情报，掌握了完全情报，风险决策就转化为确定型决策。 （1）信息价值的意义
设H i 为补充信息值，若存在状态值 0 ，使得条件概率P(0|H i)1
如果获取补充的费用很小，甚至可以忽略不计， 本步骤可以省略，直接进行调查和收集信息，并依据 所获得的补充信息转入下步骤。
3.验后分析
➢ 经过预验分析，决策分析人员做出补充信息的决定， 并通过市场调查和分析补充信息，为验后分析做准备。
➢验后分析的关键是利用补充信息修正先验分布，得到 更加符合市场实际的后验分布。然后，利用后验分布进 行决策分析，选出最满意的可行方案。
第二步，预测分析。要计算调查后的各个时期值，必须计算
概 率 P(Hi ) 和后验概率 P(j |Hi)。计算概率 P(Hi ) ，可把先
验概率 P(j ) 和条件概率 P(Hi |j) 代入全概率公式，求得
P ( H i ) P ( 1 ) P ( H i |1 ) P ( 2 ) P ( H i |2 ) P ( 3 ) P ( H i |3 )
➢验后分析和预验分析都是通过贝叶斯公式修正先验分 布，不同之处在于，预验分析是依据可能的调查结果， 侧重于判断是否补充信息，验后分析是根据实际调查结 果，侧重于选出最满意的方案。
4.序贯分析
社会经济实际中的决策问题，情况都比较复杂， 可适当地将决策分析的全过程划分为若干阶段，每一 个阶段都包括先验分析、预验分析和后验分析等步骤。 这样多阶段互相连接，前阶段决策结果是后阶段决策 的条件，形成决策分析全过程，称之为序贯决策。序 贯决策属于多阶段决策。
p(H21) p(H22)p(H2n)
p(Hm1) p(Hm2)p(Hmn)
称为贝叶斯决策的似然分布矩阵。此矩阵完整的描述了在不同状态值 j 的条件下，信息值H i 的可靠程度 。
贝叶斯决策的基本方法
基本方法：首先，利用市场调查获取补充信息 H或 ，去
修正状态变量 的先验分布，即依据似然分布矩阵所提供的
有关的概率公
式
设有完备事件组｛θj｝（j=1, 2, …, n），满
足：
i j， i,j （ 1 ,2 , ,n ;i j）
n
j
j1
则对任一随机事件H，有全概率公式：
n
pH p(H /j)p(j) (p (j) 0)
j1
先验概率
有关的概率公
式
贝叶斯公式：
pi
/ H
p(H/i) p(i)
现代信息决策方法
2-5 贝叶斯决策
2012.3.29
第三节 风险型决策
常用的风险型决策方法： （一）最大可能法 （二）期望值决策 （三）决策树决策 （四）贝叶斯决策 （五）效用决策
（一）贝叶斯决策
设不确定型决策问题的状态 i 出现的概
率为
P
（或
i
P ( i ),）连续时记为
f
(
)。
已知 P i 的不确定型决策是风险型决策。
预测似然分布表
其中 P(2)0.2，P(1)0.8， 1 为畅销，2为滞销。
P ( H i ) P ( 1 ) P ( H i|1 ) P ( 2 ) P ( H i|2 )
P ( H i ) P ( 1 ) P ( H i|1 ) P ( 2 ) P ( H i|2 ))
P(
P(1)0.25 P(2)0.3 P(3)0.45
E ( a 2 ) 0 . 2 0 0 5 . 3 0 0 . 4 0 0 5
E ( a 1 ) 0 . 2 1 5 0 . 3 5 1 0 . 4 ( 6 ) 5 1 . 35
由风险型决策的期望值准则得到验前最满意方案：无论市场结果 如何，都要生产，最大期望收益值为 1.35 万元。
计算后验概率 P(j |Hi)，用贝叶斯公式
P(
j
|
P(H1| H1)
j)P(
P(H 1)
j)
j1,2,3
将上述有关概率值代入贝叶斯公式得下表
后验概率 矩阵
由以上可以求得：当市场调查为 HH1时，每个方案 的期望收益为：
E ( a 1 ) 0 . 5 1 7 0 . 2 5 5 1 6 0 . 1 6 ( 6 5 ) 7 . 9 937
例1 某工厂计划生产一种新产品，产品的销售情况有好 1）、中（2）、和差（ 3）三种，据以往的经验 ，估计 三种情况的概率分布和利润如下表所示。
先验概率
为进一步摸清市场对这种产品的需求情况，工厂通过调 查和咨询等方式得到一份市场调查表。销售情况也有好 （H1）、中（ H 2 ）、差（ H 3 ）三种，其概率列在下表中。
E(a2)0
最大期望收益值 E(aop|tH 3)0
该企业通过市场调查所得的期望收益值
E 0 . 2 5 7 . 9 8 0 . 2 3 2 0 2 . 5 6 7 0 . 4 1 5 5 0 5 2 9 . 9 2 1
由上可知，补充信息的价值是 2 .9 1 .3 5 1 .5（6 万元），取 市得场调查表这个补充信息的费用是 0.6万元，因此取得补充信 息是值得的。