《高等数学》知识在物理学中的应用举例

《高等数学》知识在物理学中的应用举例

一 导数与微分的应用

分析 利用导数与微分的概念与运算，可解决求变化率的问题。求物体的运动速度、加速度的问题是典型的求变化率问题。在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量求变化率。在此基础上，灵活运用各类导数和微分公式解决具体问题。

例 1 如图，曲柄,r OA =以均匀角速度ω饶定点O 转动.此曲柄借连杆AB 使滑块B 沿直线Ox 运动.求连杆上C 点的轨道方程及速度.设,a CB AC ==

,ϕ=∠AOB .ψ=∠ABO y

解 1) 如图，点C 的坐标为： ψϕc o s c o s a r x +=， (1) .sin ψa y = (2) 由三角形的正弦定理，有 ,s i n 2s i n ϕ

ψa r = o x 故得

.2sin 2sin r y

r a ==

ψϕ (3) 由(1)得

r

y

a x r a x 2

2cos cos --=

-=ψϕ (4) 由,1cos sin )4()3(2222=+=+ϕϕ得

,12422

222222=---++r

y

a x y a x r y 化简整理,得C 点的轨道方程为:

.)3()(422222222r a y x y a x -++=-

2) 要求C 点的速度,首先对(1),(2)分别求导,得

,s i n c o s 2c o s s i n ψψϕωϕωr r x --=' ,2

c o s

ϕωr y ='

其中.ϕω'=

又因为,sin 2sin ψϕa r = 对该式两边分别求导,得

.c o s

2c o s

ψϕωψa r =

'

所以C 点的速度

2

2

y x V '+'=4

c o s )s i n c o s 2c o s s i n (2222

ϕωψψϕωϕωr r r +

--= .)s i n (c o s s i n 4c o s c o s

22ψϕψϕϕψω

++=

r

例2 若一矿山升降机作加速度运动时,其加速度为),2sin

1(T

t

c a π-=式中c 及

T 为常数,已知升降机的初速度为零,试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程.

解: 由题设及加速度的微分形式dt

dv

a =

,有 ,)2sin

1(dt T

t

c dv π-=

对等式两边同时积分

⎰

⎰-=v

t

dt T

t

c dv 0

,)2sin

1(π

得:

,2cos

2D T

t

T

c

ct v ++=ππ

其中D 为常数.

由初始条件:,0,0==t v 得,2c T

D π

-

=于是

)].12(cos

2[-+

=T

t

T t c v ππ

又因为,dt

ds v =

得 ,)]12(cos

2[dt T

t

T

t c ds -+

=ππ

对等式两边同时积分,可得:

)].2sin 2(221[2t T

t T

T t c s -+=πππ

例 3 宽度为d 的河流，其流速与到河岸的距离成正比。在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为.c 一小船以相对速度u 沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点。

解 以一岸边为x 轴，垂直岸的方向为y 轴，如图建立坐标系。 所以水流速度为

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

≤≤-≤≤=.2),(,20,d y d y d k d y ky v

由河流中心处水流速度为c ，故)2(2d d k d k c -⨯=⨯=，所以d

c

k 2=

. 当20d y ≤

≤时，y d

c v 2=，即 ,2y d

c

dt dx =,ut y = (1) 得tdt d

cu

dx 2=

. 两边积分，有

⎰

⎰

=x

t

dt t d

cu

dx 0

0,2 2

t d

cu x =

, (2) 由(1)-(2)，得

,2

y ud

c x =

20d y ≤≤. (3)

同理，当

d y d ≤≤2时，)(2y d d

c

v -=，即 ),(2)(2ut d d c

y d d c dt dx -=-=

⎰⎰

-=dt ut d d

c

dx )(2， D y ud

c y u c x +-=

2

2， (4)

其中D 为一常数。由(3)知，当2d y =

时，u cd x 4=，代入(4)，得u

cd D 2-=，于是,222u cd y ud c y u c x --=

d y d

≤≤2

. 所以船的轨迹为⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧

≤≤--=≤≤=.2

,22,2

0,22d y d u cd y ud c y u c x d y y ud c x

船在对岸的靠拢地点，即d y =时有.2u

cd

x =

例 4 将质量为m 的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即.22gv mk R = 如上掷时的速度为0v ，试证此质点又落至投掷点时的速度为.12

201v

k v v +=

解：质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降两阶段。取向上的力为正，如图，两个过程的运动方程为： v R

上升：,22y g mk mg y m '--='' 。 。 下降：.22y g mk mg y m '+-=''- mg v

上升时 R 下降时 mg

对上升的阶段：

)1(22v k g dt

dv

+-=，即

),1(22v k g dy vdv dt dy dy dv +-== 于是gdy v k vdv -=+2

21. 两边积分⎰⎰-=+002201v h gdy v k vdv

，

得质点到达的高度

)1ln(212

022

v k g

k h +=

. (1) 对下降的阶段：

),1(22v k g dy vdv dt dy dy dv -==即得⎰⎰=-100221v h gdy v

k vdv

,得)1ln(21

2122

v k g

k h --

=. (2) 由(1)=(2) 得.120

201v

k v v +=