2020年高考数学调研试卷一
2020届高三调研测试(一)文科数学答案
可得每周课外阅读时间与性别的列联表为:
男生 女生 总计
每周平均阅读时 18 7 25
间不超过 2 小时
每周平均阅读时 37 38 75
间超过 2 小时
总计
55 45 100
K
2
=
(a
+
b)
n (ad − bc)2 (c + d)(a + c)
(b
+
d
)
……………………8 分
100 × (18 × 38 − 7 × 37)2
=
1 2
×1×1×
3= 2
3,
4
……………………9 分
所以 . VP−EFD
=
VE
−
PFD
=
1 3
×
S∆PFD
×
AE
=
3 12
解法二：利用 . VP−EFD = VP−ADE −VF−ADE
……………………10 分
S∆ADE
=
1 2
×
AD ×
AE
=
1 2
×
VP−EFD = VP− ADE − VF − ADE
g′(x) = 0 x1 = a −1− (a −1)2 −1, x2 = a −1+ (a −1)2 −1
由 和 得 ， x2 > 1 x1x2 = 1 x1 < 1
……………………10 分
故当 x ∈(1, x2) 时， g′(x) < 0 ， g(x) 在 x ∈(1, x2) 单调递减，
因此 g(x) < 0 .
在 中, Rt∆PDA DF = 1 PA = 1 2
……………………7 分
2020届高三理科数学第一次调研考试
2020届高三第一次调研考试2020届高三第一次调研考试理科数学参考答案及评分细则一、选择题：1．【解析】由M 中不等式得()20x x -<，解得02x <<，即()02M =，，{}1M N ∴=，故选B ．2．【解析】由()()()2i 3i 35i x y +-=++，得()()632i 35i x x y ++-=++， ∴63325x x y +=-=+⎧⎨⎩，解得34x y =-=⎧⎨⎩，∴i 34i 5x y +=-+=．故选A ．3．【解析】由频率分布直方图可得，320名学生中每周的自习时间不足225．小时的人数是()3200020072572⨯+⨯=．．．人．故选B ． 4．【解析】除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，故选A.5．【解析】因为点E 是CD 的中点，所以12EC AB =，点F 是BC 的中点，所以1122CF CB AD ==-， 所以1122EF EC CF AB AD =+=-，故选C ． 6．【解析】由题意得1q ≠±．由639S S =得()()631111911a q a q qq--=⨯--，∴319q +=，∴2q =．又()515112316212a S a -===-，∴12a =．故选B ．7.【解析】因为抛物线的焦点为(1,0),所以22212c b a c a b=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得221545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，双曲线方程为225514y x -=.故选C. 8．【解析】函数sin y x =的图象向左平移2π个单位后，得到函数()sin()cos 2f x x x π=+=的图象，()cos f x x =为偶函数，排除A ；()cos f x x =的周期为2π，排除B ；因为()cos=022f ππ=，所以()f x 的图象不关于直线2x π=对称，排除C. 故选D ．9．【解析】对于A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B ，C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件。
2020年四川省宜宾市高考数学一诊试卷(理科)试题及答案(解析版)
∴ 时，g（x）取得最小值 ，
解 得，a≥4，显然a＜4和a＞4时，都不满足f（x）在（0，2）上是减函数，只有a＝4时满足f（x）在（0，2）上是减函数，
∴满足条件的a的集合是{4}．
故答案为：{4}．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.
2020年四川省宜宾市高考数学一诊试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，4}，则∁UA＝（ ）
A．{5，6}B．{1，2，3，4}C．{2，5，6}D．{2，3，4，5，6}
（1）讨论f（x）在其定义域内的单调性；
（2）若a＝1，且f（x1）＝f（x2），其中0＜x1＜x2，求证：x1+x2+x1x2＞3．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．如图所示，“8”是在极坐标系Ox中分别以 和 为圆心，外切于点O的两个圆．过O作两条夹角为 的射线分别交⊙C1于O、A两点，交⊙C2于O、B两点．
∴cos∠AOB＝ ，即∠AOB＝60°．
（1）若λ＞0，μ＞0，
设 ＝2 ， ＝2 ，则 ＝ + ，
∵|λ|+|μ|＝λ+μ≤2，故当λ+μ＝2时，E，F，P三点共线，
故点P表示的区域为△OEF，
2020年四川省南充市高考数学一诊试卷1 (含答案解析)
2020年四川省南充市高考数学一诊试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1,2，3，4}，B ={y|y =3x −5,x ∈A}，则A ∩B =( )A. {1,2}B. {1,4}C. {2,4}D. {3,4} 2. i(2+3i)=( )A. 3−2iB. 3+2iC. −3−2iD. −3+2i3. 下列命题中的假命题是( )A. ∀x ∈R ，2−x +1>1B. ∀x ∈[1,2]，x 2−1≥0C. ∃x ∈R ，sinx +cosx =32D. ∃x ∈R ，x 2+1x 2+1≤14. α为第四象限角，，则sin α=( )A. 15 B. −15 C. 513 D. −513 5. 在区间(0,100)上任取一数x ，则lg x >1的概率是( )A. 0.1B. 0.5C. 0.8D. 0.96. 若函数f (x )=sin (ωx +π3)−1(ω>0)的最小正周期为2π3，则f (x )图象的一条对称轴为( )A. x =−π18B. x =−5π2C. x =7π18D. x =π27. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(0)=−1，且对任意x ∈R ，有f(x)=−f(2−x)成立，则f(2015)的值为( )A. 1B. −1C. 0D. 2 8. 已知圆x 2+y 2−2x +my −4=0上两点M 、N 关于直线2x +y =0对称，则圆的半径为( )A. 9B. 3C. 2√3D. 29. 函数f(x)=ln(x 2+2)的图象大致是( )A.B.C.D.10. 在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，若将其沿BD 折成直二面角A −BD −C ，则三棱锥A −BDC 的外接球的表面积为( )A. 16πB. 8πC. 4πD. 2π11. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，已知∠A =60°，b =1，面积S =√3，则asinA 等于( )A. 2√393B. 8√33C. 26√33D. √392612. 过双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线于点P ，O 为坐标原点，若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则双曲线的离心率为( ) A. 1+√52B. √52C. √5D. 1+√32二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=a 2x−4+n(a >0且a ≠1)的图像恒过定点P(m,2)，则m +n =____.14. 某班共有36人，编号分别为1，2， 3，…，36.现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知编号3、12、30在样本中，那么样本中还有一个编号是__________． 15. 若变量x ，y 满足约束条件{2x −y +2≥0x +y −2≤02y −1≥0，则z =x −13y 的最大值为______ ．16. 设已知函数f(x)=|log 2x|，正实数m ，n 满足m <n ，且f(m)=f(n)，若f(x)在区间[m 2,n]上的最大值为2，则n +m = 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等差数列{a n }满足：a 1=101，a 3+a 4=187，求数列{|a n |}的前n 项和T n ．18. 为了解某班学生喜爱体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部女生中随机调查2人，恰好调查到的2位女生都喜爱体育运动的概率为320． (1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；(2)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱体育运动与性别有关？说明你的理由； 下面的临界值表供参考：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828(参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d)19.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AC=AA1=2，D,E分别为B1C1，AB中点．(1)证明：平面AA1D⊥平面EB1C1；(2)若AB⊥AC，求点B到平面EB1C1的距离．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于A、B两点，△AF1F2的周长为6．(1)求椭圆C的方程；(2)当直线AB 的斜率为1时，求△F 2AB 的面积．21. 已知函数f(x)=a 2lnx −x 2+ax (a ∈R)．(1)当a =2时，求曲线y =f(x)在点(1,f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调区间．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =acosθy =sinθ(θ为参数，a >0)，直线l 的参数方程为{x =−1+ty =3−t(t 为参数)． (Ⅰ)若a =2，求曲线C 与l 的普通方程；(Ⅱ)若C 上存在点P ，使得P 到l 的距离为√24，求a 的取值范围．23.已知函数f(x)=|x+2|−|x+a|．(1)当a=3时，解不等式f(x)≤1；2(2)若关于x的不等式f(x)≤a解集为R，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查了集合的交集，属于基础题．【解答】解：集合A={1,2，3，4}，B={y|y=3x−5,x∈A}={−2,1，4，7}，则A∩B={1,4}．故选B．2.答案：D解析：【分析】本题考查复数的求法，考查复数的代数形式的乘除运算法则等基础知识，是基础题．利用复数的运算法则直接求解即可．【解答】解：．故选D．3.答案：C解析：解：由于对∀x∈R，2−x>0，故A为真命题；由于y=x2−1在[1,2]上为增函数，则y min=1−1=0，故B为真命题；由于sinx+cosx=√2sin(x+π4)∈[−√2,√2]，而32∉[−√2,√2]，故C为假命题；由于x=0∈R时，x2+1x2+1=1，故D为真命题．故选：C．根据指数函数的值域，我们可以判定A的真假；根据二次函数的图象与性质，我们可以判断B的真假；根据正弦型函数的值域，我们可以判断C的真假；根据不等式的基本性质，可以判断D的真假，进而得到答案．本题考查的知识点是全称命题和特称命题，其中根据基本不等式和正弦型函数的性质，是解答本题的关键．4.答案：D解析：【分析】本题考查的同角三角函数的基本关系，属于基础题．【解答】解：因为α是第四象限角，，所以，，又且α是第四象限角，所以cosα=1213，sinα=−513，故选D．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查几何概型的概率的计算，属于基础题．求出不等式的等价条件，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：在区间(0,100)上任取一数x，结合lgx>1得10<x<100，则在区间(0,100)上任取一数x，则lg x>1的概率为：100−10100−0=90100=0.9，故选D．6.答案：C解析：【分析】本题考查三角函数解析式的求法及对称轴方程的求法，考查计算能力．通过函数的周期求出ω，利用正弦函数的对称性，即可求出对称轴方程，属于基础题．【解答】解：因为函数f(x)=sin(ωx+π3)−1最小正周期为2π3，T=2πω=2π3，∴ω=3，所以3x+π3=kπ+π2，k∈Z，解得x=kπ3+π18，k∈Z，当k=1时，x=7π18，是一条对称轴方程．故选C．7.答案：C解析：由知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)=−f(2−x)可知函数f(x)为周期为4的周期函数，令x=1得，f(1)=−f(2−1)=−f(1)所以，f(1)=0所以f(2015)=f(−1)=f(1)=0．8.答案：B解析：试题分析：求出圆的圆心，代入直线方程即可求出m的值，然后求出圆的半径．因为圆x2+y2−2x+my−4=0上两点M、N关于直线2x+y=0对称，所以直线经过圆的圆心，圆x2+y2−2x+my−4=0的圆心坐标(1,−m2)，所以2×1−m2=0，m=4．所以圆的半径为：12√(−2)2+(4)2+4×4=3故选B9.答案：D解析：【分析】本题考查函数图象的应用，属于基础题．结合函数的奇偶性以及值域可以求解．【解答】解：由f(−x)=f(x)可得函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除C；又ln(x2+2)≥ln2>0，排除A，B；故选D．10.答案：C解析：【分析】本题考察了空间几何体的性质，空间思维能力的运用，镶嵌几何体的求解方法，转为常见的几何体求解，属于中档题．折叠之后，得出三棱锥A −BDC 的外接球与长方体的外接球相同，利用对角线求解即可，再利用面积公式求解即可． 【解答】解：在平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， |AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，若将其沿BD 折成直二面角A −BD −C ， ∴三棱锥A −BDC 镶嵌在长方体中，即得出：三棱锥A −BDC 的外接球与长方体的外接球相同， ∴2R =√3+1=2，R =1， ∴外接球的表面积为4π×12=4π， 故选C ．11.答案：A解析：解：S =√3=12bcsinA =12×b ×c ×√32，⇒bc =4， ⇒c =4，故由余弦定理知：a 2=b 2+c 2−2bccosA =1+16−8×12=13， 故asinA=√13√32=2√393．故选：A ．由三角形的面积公式可求得c ，从而由余弦定理可求得a 的值，从而可求asinA 的值． 本题主要考察了三角形的面积公式的应用，考察了余弦定理的应用，属于基础题．12.答案：C解析： 【分析】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查双曲线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．设F′为双曲线的右焦点，由题设知|EF|=b ，|PF|=2b ，|PF′|=2a ，再由|PF|−|PF′|=2a ，知b =2a ，由此能求出双曲线的离心率． 【解答】解：∵|OF|=c ，|OE|=a ，OE ⊥EF ，∴|EF|=b ， 设F′为双曲线的右焦点，∵OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则E 为PF 的中点，OE 为△FPF′的中位线，∴|PF|=2b ，|PF′|=2a ，∵|PF|−|PF′|=2a ，∴b =2a ，∴e =√1+(ba)2=√5，故选：C13.答案：3解析： 【分析】本题考查指数函数的图象与性质，由指数函数y =a x 图象的性质，我们知道y =a x 的图象恒过(0,1)点．由题可得 {2m −4=01+n =2 ，进而得出答案． 【解答】解：由函数f(x)=a 2x−4+n(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P(m,2)知， {2m −4=01+n =2， 解得{m =2n =1，则m +n =3． 故答案为3．14.答案：21解析： 【分析】本题考查系统抽样，根据系统抽样的定义先求出样本间隔，然后进行计算即可． 【解答】解：样本抽取间隔为36÷4=9， 则样本中还有一个编号是12+9=21， 故答案为21．15.答案：43解析：解：不等式对应的平面区域如图：(阴影部分). 由z =x −13y 得y =3x −3z ，平移直线y =3x −3z ，由平移可知当直线y =3x −3z ，经过点A 时， 直线y =3x −3z 的截距最小，此时z 取得最大值， 由{2y −1=0x +y −2=0， 解得{x =32y =12，即A(32,12)代入z =x −13y 得z =x −13y =32−13×12=43， 故答案为：43根据二元一次不等式组表示平面区域，画出不等式组表示的平面区域，利用平移求出z 最大值，即可．本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．16.答案：52解析： 【分析】本题考查函数图像的应用、对数函数的性质、对数方程，属于中档题．由题意知0<m <1<n ，且mn =1.又函数在区间[m 2,n]上的最大值为2，f(m)=f(n)，f(m 2)=2f(m)，∴f(m 2)=2，即|log 2x|=2，解出m ，n 即可． 【解答】解：∵函数f(x)=|log 2x|，正实数m 、n 满足m <n ，且f(m)=f(n)， ∴0<m <1<n ，且mn =1，∴0<m 2<m <1， 又∵函数在区间[m 2,n]上的最大值为2， ∴当x =m 时，f(x)取最大值，，∴m =12，∴n =2，∴m +n =52．故答案为52．17.答案：解：∵a 1=101，a 3+a 4=a 1+a 6=187，∴a 6=86∴a 6−a 1=5d =−15， ∴a n =−3n +104，∴|a n |={−3n +1043n −104n ∈{1,2,3,…,34}n ∈{35,35,37,…}，当n ∈{1,2，3，…，34}时， T n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯+|a n |，=12[101+(−3n +104)]⋅n =−32n 2+2052n ，当n ∈{35,35，37，…}时，T n =(|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯+|a 34|)+(|a 35|+|a 36|+⋯+|a n |)， =12(101+2)⋅34+12[1+(3n −104)]⋅(n −34)，=32n 2−2052n +3502，∴T n ={−32n 2+2052n32n 2−2052n +3502(n ≤34)(n ≥35)．解析：由题意可知a 1=101，a 3+a 4=a 1+a 6=187，求得a 6=86，根据等差数列的性质，即可求得d ，根据等差通项公式即可求得数列{a n }的通项公式，由当n ≤34时，求得T n =12[101+(−3n +104)]⋅n =−32n 2+2052n ，当n ≥35时，求得T n =32n 2−2052n +3502，即可求得数列{|a n |}的前n项和T n ．本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查含有绝对值的等差数列前n 项和公式的求法，考查分类讨论思想，属于中档题．18.答案：解：(1)因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为35，可得喜爱打篮球的学生为30人， 故可得列联表如下：(2)∵k 2=50(20×15−5×10)230×20×25×25≈8.333>7.879，∴有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．解析：本题考查独立性检验及古典概型，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)根据在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为35，可得喜爱打篮球的学生，即可得到列联表；(2)利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论．19.答案：证明：(1)由已知可得，A1B1=A1C1，则B1C1⊥A1D，∵AA1⊥平面A1B1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，∴B1C1⊥AA1，又∵A1D、AA1⊂平面AA1D，A1D∩AA1=A1，∴B1C1⊥平面AA1D，∵B1C1⊂平面EB1C1，∴平面AA1D⊥平面EB1C1．(2)连接EC，由已知，在Rt△AEC中，EC=√5，∴在Rt△ECC1中，得EC1=3，由题可得，在Rt△EBB1中，EB1=√5，在Rt△A1B1C1中，B1C1=2√2，∴在△EB1C1中，根据余弦定理可得：cos∠EB1C1=√5)2√2)222×√5×2√2=√1010，∴sin∠EB1C1=3√1010，∴S△EB1C1=12B1E⋅B1C1⋅sin∠EB1C1=3，∵C1A1⊥A1B1，C1A1⊥AA1，A1B1、AA1⊂平面BB1E，A1B1∩AA1=A1，∴C1A1⊥平面BB1E，∵S△EBB1=12BB1⋅BE=1，∴V C1−EBB1=13S△EBB1⋅C1A1=23，设点B到平面EB1C1的距离为h，由V C1−EBB1=V B−B1C1E得13S△EB1C1⋅ℎ=23，解得：ℎ=23即点B到平面EB1C1的距离为23．解析：本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)推导出B 1C 1⊥AD ，B 1C 1⊥AA 1，从而B 1C 1⊥平面AA 1D ，由此能证明平面AA 1D ⊥平面EB 1C 1． (2)连接EC ，设点B 到平面EB 1C 1的距离为h ，由V C 1−EBB 1=V B−B 1C 1E ，能求出点B 到平面EB 1C 1的距离．20.答案：解：(1)由离心率e =ca =12，a =2c ，∵△AF 1F 2的周长为6， 即2a +2c =6，即a +c =3， 即可求得a =2，c =1， b 2=a 2−c 2=3 故椭圆C 的方程：x 24+y 23=1；(2)由(1)可知焦点F 1(−1,0)， 直线AB 的方程：y =x +1， 将直线方程代入椭圆方程得： 7x 2+8x −8=0，由x 1+x 2=−87，x 1⋅x 2=−87由弦长公式丨AB 丨=√1+1⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2， =√2×12√27， =247，F 2到直线的距离为d =1+1=√2，△F 2AB 的面积S =12×d ×丨AB 丨=12×√2×247=12√27．解析：(1)利用离心率，椭圆的定义，列出方程组，即可求的a 、b 和c 的值，即可求得椭圆C 的方程；(2)求得焦点坐标，求得AB 的直线方程，代入椭圆方程，求得关于x 的一元二次方程，由韦达定理求得x 1+x 2，x 1⋅x 2，由弦长公式及点到直线的距离公式求得丨AB 丨和d ，由三角形面积公式即可求得△F 2AB 的面积．本题考查椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，考查根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式，三角形的面积公式，考查转化思想，推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：.解：(1)当a =2时，f(x)=4lnx −x 2+2x,∵f (1)=1,∴切点为(1,1)，∵f′(x)=4x −2x +2,∴切线斜率k =f′(1)=4,∴切线方程为y −1=4(x −1)⇒4x −y −3=0 (2)函数f(x)的定义域为(0,+∞) ，f′(x)=a 2+ax−2x 2x=(a−x)(a+2x)x.由f′(x)=0得 x =a 或x =−a2.当a =0时，f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立，所以f(x)的单调递减区间是(0,+∞)，没有单调递增区间．当a >0时，x ，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)的单调递增区间是(0,a)当a <0时，x ，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)的单调递增区间是(0,−a2)2解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性、几何意义、切线方程、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，难度一般．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 的参数方程为{x =acosθy =sinθ(θ为参数，a >0)，由于：a =2，故：{x =2cosθy =sinθ(θ为参数)， 所以转换为直角坐标方程为：x 24+y 2=1．(Ⅱ)设点P(acosθ,sinθ)， 则：点P 到直线的距离d =√2=|√1+a 2sin(β+θ)−2|√2，当√1+a 2≥2时，即a ≥√3时，0≤d ≤√1+a 2+2√2，当√1+a 2<2时， 即：0<a <√3时，2−√a 2+1√2≤d ≤√1+a 2+2√2，由于：√1+a 2+2√2>√2=√2，所以当a ≥√3时,始终满足条件． 当a <√3时，2−√a 2+1√2≤√24， 解得：a ≥√52故：a 的取值范围是：[√52,+∞)．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，无理不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． (Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之进行转换．(Ⅱ)利用点到直线的距离公式的应用和分类讨论的方法，对无理不等式进行求解，最后求出a 的取值范围．23.答案：解：(1)当a =3时，f(x)=|x +2|−|x +3|，f(x)={1, x ≤−3−2x −5 , −3<x <−2−1 , x ≥−2，根据题意{x ≤−31≤12或 {−3<x <−2−2x −5≤12或{x ≥−2−1≤12，−114≤x <−2或x ≥−2，故不等式的解集为：{x|x ≥−114 }； (2)由x 的不等式f(x)≤a 解集为R ， 得函数f(x)max ≤a ，∵|x +2|−|x +a|≤|(x +2)−(x +a)|=|2−a|=|a −2|(当且仅当(x +2)(x +a)≥0取“=”)， ∴|a −2|≤a ，∴{a ≤2−(a −2)≤a 或{a >2a −2≤a ， 解得：a ≥1．则a的取值范围[1,+∞)解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查求函数的最大值，是一道中档题．(1)将a=3代入f(x)，得到关于f(x)的分段函数，求出不等式的解集即可；(2)求出f(x)的最大值，得到|a−2|≤a，解出即可．。
深圳市2020届高三年级第一次调研考试理科数学试题(含答案)
连接 GM ， AA1C1C 是菱形， A1M AC1 .
由（1）知 A1G 平面 AB1C1 ，故 A1G AC1 ，
A1G A1M A1 ， AC1 平面 A1MG ，
GM 平面 A1MG , GM AC1，……7 分
A1MG 为二面角 A1 AC1 B1 的平面角， 不妨设棱柱的棱长为 2 ，
由题意直线的斜率存在，因为 A(−2,0) ，设直线 l ： y = k (x + 2) ， M (x0, y0 ) ，
x2
联立
4
+
y2
=1
，整理得 (1+ 4k2 )x2 +16k2x + (16k2 − 4) = 0 ，
…………6 分
y = k(x + 2)
由韦达定理，
由双曲线定义可知： 2a =| NF1 | − | NF2 |=| MN | + | MF1 | − | NF2 | ，
| MN |=| NF2 | + | OF2 | ，且| OF2 |= c ， 2a = b + c ， b = c − 2a ，
b2 = (c − 2a)2 = c2 − 4ac + 4a2 ，
又
曲线 y
=
f (x) 关于直线 x = − 1 4
对称， − 1 + 4
=
k2
π+
π 2
，（k2 Z) ……（2）
由（1）、（2）可得 = 2(k1 − k2 ) −1π ，即 = (2n −1)π (n Z) ……（3）
f (x) 在 1, 2 上有且仅有 3 个零点， 2π 2 −1 4π ( 0) ，
E 是 AC 的中点， 到点 A ， C 的距离相等的点位于平面 BED 内，
2020年高考数学毕业班第一次调研测试文科(必修+选修Ⅰ)
2020年高考数学毕业班第一次调研测试文科（必修＋选修Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）． 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）．如果事件A 在1次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)kk n k n n P k C P P -=-．球的表面积公式S 球＝4πR 2其中R 表示球的半径．球的体积公式V 球＝43πR 3其中R 表示球的半径．一、选择题：1．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，那么a ＝（A ）－3 （B ）－6 （C ）－32（D ）232．已知等比数列｛a n ｝中，a 2＝1，a 4a 8＝64，则a 10的值是 （A ）15 （B ）16 （C ）32 （D ）643．设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的 （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件4．锐角A 满足sin2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝（A （B （C ）53 （D ）－535．已知集合M ＝｛x ｜3(1)xx -≥0｝，N ＝｛y ｜y ＝3x 2＋1，x ∈R ｝，则M ∩N ＝ （A ）∅ （B ）｛x ｜x ≥1｝（C ）｛x ｜x ＞1｝（D ）｛x ｜x ≥1或x ≤0｝6．函数y ＝log 21xx -（x ＞1）的反函数是 （A ）y ＝221xx -（x ＞0）（B ）y ＝221xx -（x ＜0）（C ）y ＝212x x -（x ＞0） （D ）y ＝212x x -（x ＜0）7．正方体ABCD —A B C D ''''的棱长为a ，EF 在AB 上滑动，且｜EF ｜＝b （b ＜a ），Q 点在D C ''上滑动，则四面体A '—EFQ 的体积为 （A ）与E 、F 位置有关 （B ）与Q 位置有关（C ）与E 、F 、Q 位置都有关 （D ）与E 、F 、Q 位置均无关，是定值8．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有 （A ）670种 （B ）288种 （C ）1530种 （D ）1320种 9．设a r 与b r 是两个不共线向量，且向量a r ＋λb r 与－（b r －2a r）共线，则λ＝ （A ）－0.5 （B ）－1 （C ）－2 （D ）0.510．已知二面角α－l －β的大小为60°，m 、n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m 、n 所成的角为 （A ）30° （B ）60° （C ）90° （D ）120° 11．从椭圆短轴的一个端点看长轴两个端点的视角为120°，那么此椭圆的离心率为（A （B （C ）12（D 12．设函数f （x ）是R 上的偶函数，对于任意的x ∈R 都有f （x ＋6）＝f （x ）＋f （3），且f （2）＝3，则f （2020）＋f （2020）＝ （A ）2020 （B ）2020（C ）－3 （D ）32020年高三毕业班第一次调研测试文科数学（必修＋选修Ⅰ）第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔答在答题卡中相应的位置．2．本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上．13．函数f （x的定义域为▲．14．已知312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为▲．15．双曲线22169y x -＝1的准线方程是▲． 16．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B u u u u r ＝a r ，11A D u u u u u r ＝b r ，1A A u u uu r ＝c r，则向量1B M u u u u r ＝▲．DCA 1B 1ABMD 1C 1三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝2sinπ6x⎛⎫+⎪⎝⎭－2cos x．x∈π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（1）若sin x＝45，求函数f（x）的值；（2）求函数f（x）的值域．18．（本小题满分12分）每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数1，2，3，4，5，6）．（1）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；（2）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；（3）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别为棱AB、BC、DD1的中点．（1）求证：PB⊥平面MNB1；（2）设二面角M—B1N—B的平面角为α，求cosα的值．20．（本小题满分12分）已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b切于点（1，3），（1）求k的值；（2）求a和b的值．A BCD1A1B1C1DPMN已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 的直线PM 交x 轴于点M ，延长MP 到点N ，使||PN u u u r＝||PM u u u r ，且PM PF u u u r u u u rg ＝0．（1）求动点N 的轨迹方程；（2）过点（2，0）的直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若≤｜AB ｜≤l 的斜率的取值范围．22．（本小题满分13分）已知数列a 1，a 2，…，a 30，其中a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列；a 10，a 11，…，a 20是公差为d 的等差数列；a 20，a 21，…，a 30是公差为d 2的等差数列（d ≠0）．（1）若a 20＝40，求d ；（2）试写出a 30关于d 的关系式，并求a 30的取值范围；（3）续写已知数列，使得a 30，a 31，…，a 40是公差为d 3的等差数列，…，依此类推，把已知数列推广为无穷数列．文科数学参考答案及评分标准说明：1．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出错时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：（每小题5分，共60分）二、填空题：（每小题4分，共16分） 13．［－2，2］14．815．y ＝±16516．1122a b c -++r r r三、解答题： 17．解：（1）∵sin x ＝45，x ∈π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴cos x ＝－35． ·········································· 2分f（x）＝21cos2x x⎫+⎪⎪⎝⎭－2cos x ··············································· 4分x－cos x＝4535； ·············································· 6分（2）f（x sin x－cos x＝2sinπ6x⎛⎫-⎪⎝⎭， ············································ 8分∵π2≤x≤π，π3≤x－π6≤5π6，12≤sinπ6x⎛⎫-⎪⎝⎭≤1，······················10分∴函数f（x）的值域是［1，2］．····················································12分18．解：（1）设A 表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则 ·································· 1分∴P （A ）＝6566⨯⨯＝56． ···························································· 3分 答：抛掷2次，向上的数不同的概率为56； ······································· 4分 （2）设B 表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”． ································ 5分∵向上的数之和为6的结果有（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）5种， ∴P （B ）＝566⨯＝536． ··························································· 7分 答：抛掷2次，向上的数之和为6的概率为536； ································ 8分 （3）设C 表示事件“抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次”，即在5次独立重复试验中，事件“向上的数为奇数”恰好出现3次， ················································ 9分∴P （C ）＝P 5（3）＝323511C 22⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1032＝516． ··························· 11分答：抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次的概率为516． ················ 12分 19．解法一：（1）以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，取正方体棱长为2，则P （0，0，1）、M （2，1，0）、B （2，2，0）、B 1（2，2，2）、A （2，0，0）． ······················································································ 3分∵PB u u u r ·1MB u u u ur ＝（2，2，－1）·（0，1，2）＝0， ······························· 4分 ∴MB 1⊥PB ，同理NB 1⊥PB ． ························································· 5分 ∵MB 1∩NB 1＝B 1，∴PB ⊥平面MNB 1； ············································ 6分 （2）∵PB ⊥平面MNB 1，BA ⊥平面B 1BN ， ∴PB u u u r ＝（2，2，－1）与BA u u u r＝（0，2，0）所夹的角即为α， ·············· 9分cosα＝||||PB BA PB BA ⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ＝23． ······························································· 12分解法二：（1）取CC 1的中点E ，连结BE ，PE ，则B 1N ⊥BE ，PE ⊥平面BCC 1B 1， ········· 2分∴PB ⊥B 1N ，同理PB ⊥B 1M ． ·························································· 4分 ∴PB ⊥平面MNB 1； ······································································· 6分 （2）设BE 交B 1N 于点F ，∵AB ⊥平面BNB 1，BF ⊥B 1N ，连结MF ，则MF ⊥B 1N ，·················································· 7分 ∴∠MFB ＝α， ················································· 8分ABCD1A 1B 1C 1D P MNEF取正方体棱长为2，则BF ，MF ································ 10分 在Rt △BFM 中，cosα＝BF MF＝23． ················································ 12分 20．解：（1）∵直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 切于点（1，3），∴点（1，3）在直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 上． ···························· 2分 ∴3＝k ＋1，3＝1＋a ＋b ．∴k ＝2； ························································ 5分 （2）∵y '＝（x 3＋ax ＋b )'＝3x 2＋a ， ···················································· 6分 由导数的几何意义可知：k ＝y '｜x ＝1＝3＋a ＝2 ········································· 8分 ∴a ＝－1． ······················································································ 10分 又∵3＝1＋a ＋b ．∴b ＝3． ························································································· 12分21．解：（1）设动点N 的坐标为N （x ，y ），则M （－x ，0），P 0,2y ⎛⎫⎪⎝⎭． ··················· 1分PM u u u r ＝,2y x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，PF u u u r ＝1,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ················································ 3分 由PM PF u u u r u u u r g ＝0，得，－x ＋24y ＝0， ················································· 5分∴动点N 的轨迹方程为y 2＝4x ． ······················································ 6分 （2）设直线l 的方程为y ＝k （x －2）， ····················································· 7分则由24,(2),y x y k x ⎧=⎨=-⎩得ky 2－4y －8k ＝0， ············································· 9分∴△＝16＋32k 2＞0，｜AB ｜2＝22211632k k k +⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ····························· 10分∵≤｜AB ｜≤96≤22211632k k k +⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤480． ·················· 11分 解得直线l 的斜率k 的取值范围是111,,122⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ． ························· 13分22．解：（1）∵a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，∴a10＝10． ················································································ 2分又∵a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列，∴a20＝10＋10d＝40，∴d＝3；······················································· 5分（2）∵a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列，∴a30＝a20＋10d2＝10＋10d＋10d2＝10(1＋d＋d2），（d≠0）··················· 7分∴a30＝1021324d⎡⎤⎛⎫++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ···························································· 8分∵d≠0，∴a30∈［7.5，＋∞）且a30≠10； ·····································10分（3）所给数列可推广为无穷数列｛a n｝，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；当n≥1时，数列a10n，a10n＋1，…，a10(n＋1）是公差为d n的等差数列．·······················13分。
2020年高考调研测试数学试题含答案
2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，孩子们！数学科试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号，用钢笔或签字笔填写在答题卡密封线内。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后在写上新的答案；不准采用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P （A +B ）＝P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k kn n P P C k P --=)1()(锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示底面积，h 表示高。
函数求导公式：'''''''''2()()()(0)u v u v uv u v uv u u v uv v v v±=±=+-=≠第Ⅰ卷（选择题，共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知集合M={－1，0，1}，N={y ︱y=cosx ，x ∈M}，则M ∩N 是A ．{－1，0，1}B ．{0，1}C ．{0}D ．{1} （2）函数y=cosx （sinx+cosx ）的最小正周期为 A4π B 2πC πD 2π （3）下列各组命题中，“p 或q ”形式的复合命题为假命题的是A ．p ：函数1y x=-在R 上是增函数；q ：函数2y x =在R 上连续；B ．p ：导数为零的点一定是极值点；q ：最大值点的导数一定为零；C ．p ：互斥事件一定是对立事件；q ：对立事件一定是互斥事件；D ．p ：复数(1)i i +与复数1i --对应点关于y 轴对称；q ：复数11i i-+是纯虚数.高三数学调研测试第1页（共4页）（4）已知点P （x,y ）在线性区域 x+4y ≤1A 3B 4C 5 D125（5）盒中装有大小相同的黑、白两色小球，黑色小球15个，白色小球10个。
2020届高三数学第一次调查研究考试试题文(含解析)
2020届高三数学第一次调查研究考试试题文（含解析）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷，草稿纸上答题无效.满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共60分）注意事项：1.选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2.第一部分共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的补运算和交运算，即可求得结果.【详解】由题知或，所以，故选：C.【点睛】本题考查二次不等式的解法，集合的运算，属于容易题.2.式子的值等于（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据余弦的倍角公式，结合诱导公式，即可化简.【详解】，故选：A.【点睛】本题考查诱导公式，余弦的倍角公式，属于容易题.3..已知，对应的复数为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量减法坐标公式，解得坐标，再写出对应的复数和其共轭复数.【详解】由题可知，故对应的复数为，则，故选：D.【点睛】此题考查复平面内点对应的向量，以及共轭复数的概念，属于容易题.4.在一次期末考试中，随机抽取200名学生的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：.据此绘制了如下图所示的频率分布直方图.则这200名学生中成绩在中的学生有（）A. 30名B. 40名C. 50名D. 60名【答案】B【解析】【分析】根据面积之和为1，计算出所在长方形的面积，即为频率，乘以样本容量即可.【详解】由题知，成绩在内的学生所占的频率为，所以这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有名，故选：B.【点睛】本题考查频率分布直方图的概念及应用，属于容易题.5.函数的零点之和为（）A. -1B. 1C. -2D. 2【答案】A【解析】【分析】由函数零点与方程的根的关系可得函数的零点即方程，的根，解方程后再将两根相加即可得解.【详解】解：令，解得，令，解得，则函数的零点之和为，故选A.【点睛】本题考查了分段函数零点的求解，重点考查了对数的运算，属基础题.6.我市高中数学研究会准备从会员中选拔名男生，名女生组成一个小组去参加数学文化知识竞赛，若满足约束条件，则该小组最多选拔学生（）A. 21名B. 16名C. 13名D. 11名【答案】B【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，构造目标函数，数形结合即可求得.【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示：目标函数，求得，观察可知，当直线过点时，有最大值16，故选：B.【点睛】本题考查线性规划的实际应用以及最优解，考查数形结合思想，属于中档题.7.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据目标函数是奇函数，并且定义域为，据此判断.【详解】因为，所以函数是奇函数，根据奇函数图象的特点可以排除A、D，又因为函数的定义域是，排除C.故选：B.【点睛】此题考查函数的奇偶性，函数图象识别，属于中档题；一般地，我们从定义域，奇偶性，单调性以及特值得角度来判断.8.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示.若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”，即输出值是输入值的，则输入的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，使得最后退出循环时，即可得解.【详解】时，；时，；时，；时，退出循环.此时，，解得.故选C【点睛】本题主要考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确结论，属于基础题.9.已知三个数，则它们之间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将数据与或者1比较大小，从而判断三个数据的大小关系.【详解】由题知，即，又因为，故；所以，故选：B.【点睛】此题考查指数、对数函数的基本性质，弧度制、三角函数的单调性，属于中档题.10.已知单位向量分别与平面直角坐标系轴的正方向同向，且向量，，则平面四边形的面积为（）A. B. C. 10 D. 20【答案】C【解析】分析】由已知可得，可得，可得平面四边形的面积．【详解】由向量正交分解的定义可知，，，则，.因为，所以，所以平面四边形的对角线互相垂直，所以该四边形的面积为.故选：C.【点睛】本题考查向量数量积运算性质、对角线互相垂直的四边形面积的计算，考查推理能力与运算求解能力．11.已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数使得函数，在区间单调递增；同时也要根据指数型复合函数的单调性，保证在区间上单调递增；最后再保证在分割点处，使得的函数值小于等于的函数值即可.【详解】由题知，，即；由得只需保证在上恒成立，则在上恒成立，即；又函数在上单调递增，则需满足，综上，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】此题考查分段函数的单调性，三次函数单调性，恒成立问题等，涉及导数的计算，属于较难题.12.已知，为图象的顶点，O，B，C，D为与x轴的交点，线段上有五个不同的点．记，则的值为（）A. B. 45 C. D.【答案】C【解析】【分析】通过分析几何关系，求出，，再将表示成，结合向量的数量积公式求解即可【详解】解：由图中几何关系可知，,,,，,∴，即．则，答案选C【点睛】本题结合三角函数考查向量的线性运算，找出两组基底向量，是关键第二部分（非选择题共90分）注意事项：1.本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答.2.考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.3.本部分共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13.命题“”的否定形式是____________.【答案】【解析】【分析】根据全称命题的否定的求解原则，直接得出结论.【详解】由题可知命题“”的否定形式是“”.故答案为：.【点睛】此题考查全称命题的否定的概念，属于容易题.14.如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则；函数在处的导数．【答案】2 ；-2【解析】；．15.如图，在单位圆中，为等边三角形，且，则__________.【答案】【解析】【分析】根据三角形的面积，可求得，再利用角度关系，应用正弦的和角公式即可求得.【详解】记，∵，∴，∴，∵，∴∴，∴.故答案为：.【点睛】本题考查三角形面积，单位圆的概念，角的分拆，和差角的三角函数，数形结合思想、逻辑推理能力等，属于中档题.16.已知中，角、、对应的边分别为、、，是上的三等分点（靠近点），且，则的最大值为_____.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理将角化边，反凑余弦定理，求得角；再利用向量的定比分点，结合均值不等式求得最大值.【详解】由，结合正弦定理得，整理得，得，可得；因为点是边上靠近点的三分点，则，故即，即，当且仅当时取等号，解得，即的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查正（余）弦定理，均值不等式的应用，逻辑推理能力等，属于较难题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17.已知是递增的等差数列，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和的最小值.【答案】（1）；（2）-225.【解析】【分析】（1）巧用等差数列的下标和性质，再由等差数列的基本量，根据题意列方程组即可求得.（2）由（1）知，数列是等差数列，故直接用公式法求得，再求其最小值即可.【详解】（1）因为为等差数列，则，又，故是方程的两根，∵是递增的等差数列，解得，则的公差，故.（2）由（1）知，因为，故数列是首项为-29，公差为2的等差数列，由公式可得，由二次函数的单调性，可得当时，的最小值为.【点睛】本题考查由基本量计算等差数列的通项公式，以及用公式法求解前项和，涉及其最小值的求解，属综合性基础题.18.在中，内角对应的边分别为，且满足.（1）求；（2）若，的面积为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可得到，再根据同角三角函数关系求得，结合正弦的倍角公式即可求得；（2）利用（1）中结论，以及面积公式，即可得的一个方程；再根据余弦定理，得到的另一个方程，解方程组即可.【详解】（1）由正弦定理可得：，故，又，所以，则.（2）由，又，可得.又，得，即，故.【点睛】本题考查利用正弦定理将边化角，同角三角函数关系，正弦的倍角公式，以及三角形面积公式，余弦定理解三角形，属综合性基础题.19.已知四棱锥中，侧面，，是边长为2的正三角形，底面是菱形，点为的中点.（1）求证：（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连结，交于，，欲证，只需证即可，再由题意可证明；（2）由已知条件可得，再求出的体积即可得解.【详解】解：（1）连结，交于，由于底面为菱形，为中点又为的中点，，又（2）过作，垂足为，由于为正三角形，为的中点，由于侧面，由面面垂直的性质得，由，得，因为为的中点，所以，故三棱锥的体积为.【点睛】本题考查了线面平行的判定及三棱锥的体积的求法，重点考查了运算能力，属中档题.20.某校为了了解篮球运动是否与性别相关，在高一新生中随机调查了40名男生和40名女生，调查的结果如下表：（1）根据题意完成上面的列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为喜欢篮球运动与性别有关？（2）从女生中按喜欢篮球运动与否，用分层抽样的方法抽取5人做进一步调查，从这5人中任选2人，求2人都喜欢篮球运动的概率.附：0.102.706.【答案】（1）填表、分析见详解，能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为喜欢篮球运动与性别有关；（2）.【解析】【分析】（1）根据男生和女生各有40个，即可得到表格中的所有数据，再根据表格数据，利用参考公式，计算，即可进行判断；（2）先根据分层抽样的等比例抽取的性质，计算出5人中喜欢篮球和不喜欢篮球的人；从而列举出所有从5人中抽取2人的可能性，再找出满足题意的可能性，用古典概型概率计算公式即可求得.【详解】（1）填表如下：∴.所以能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为喜欢篮球运动与性别有关.（2）从女生中按喜欢篮球运动与否，用分层抽样的方法抽取5人，则其中喜欢篮球运动的有（人），不喜欢篮球运动的有（人）设喜欢篮球运动的4人记为，不喜欢篮球运动的记为，则从这5人中任选2人的所有结果有：，共10种.其中恰好2人都喜欢篮球运动的有，共6种.所以从这5人中任选2人，2人都喜欢篮球运动的概率为.【点睛】本题考查的计算，以及古典概型的概率计算，涉及分层抽样的计算，属综合性中档题.21.已知函数.（1）若是函数的一个极值点，试讨论的单调性；（2）若在R上有且仅有一个零点，求的取值范围.【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.【解析】【分析】（1）根据极值点处导数为零，计算出参数以及，再对求导，对参数进行分类讨论，从而求得该函数的单调区间；（2）分离参数，构造函数，通过讨论构造的函数的单调性求得值域，即可求得参数的取值范围.【详解】（1），因为是函数的一个极值点，则，所以，则，当，当时，恒成立，在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）在上有且仅有一个零点，即方程有唯一的解，令，可得，由，得或，（1）当时，，所以在上单调递减，所以，所以的取值范围为.（2）当时，，所以在上单调递增，所以，即，故的取值范围为.（3）当时，，所以在上单调递减，所以，即，即的取值范围为.所以，当或，即或时，在上有且只有一个零点，故的取值范围为.【点睛】本题考查对含参函数单调性的讨论，以及利用导数研究由函数零点个数求参数范围的问题，涉及分离参数，构造函数的数学方法，属综合性中档题.请考生在第22-23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，直线与轴的交点为，与曲线相交于两点，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)先将和化为普通方程，可知是两个圆，由圆心的距离判断出两者相交，进而得相交直线的普通方程，再化成极坐标方程即可；(2)先求出l的普通方程有，点，写出直线l的参数方程，代入曲线：，设交点两点的参数为，，根据韦达定理可得和，进而求得的值．【详解】(1) 曲线的普通方程为：曲线的普通方程为：，即由两圆心的距离，所以两圆相交，所以两方程相减可得交线为，即.所以直线的极坐标方程为.(2) 直线的直角坐标方程：，则与轴的交点为直线的参数方程为，带入曲线得.设两点的参数为，所以，，所以，同号.所以【点睛】本题考查了极坐标，参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度，是常见考题．23.已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为8【解析】【分析】（1）利用基本不等式可得 , 再根据0＜xy＜1时, 即可证明|x+z|⋅|y+z|＞4xyz.（2）由＝, 得，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3，从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.【详解】（1）证明：∵x，y，z均为正数，∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，当且仅当x＝y＝z时取等号．又∵0＜xy＜1，∴，∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）∵＝，即．∵，，，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，∴，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．【点睛】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．2020届高三数学第一次调查研究考试试题文（含解析）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷，草稿纸上答题无效.满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共60分）注意事项：1.选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2.第一部分共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的补运算和交运算，即可求得结果.【详解】由题知或，所以，故选：C.【点睛】本题考查二次不等式的解法，集合的运算，属于容易题.2.式子的值等于（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据余弦的倍角公式，结合诱导公式，即可化简.【详解】，故选：A.【点睛】本题考查诱导公式，余弦的倍角公式，属于容易题.3..已知，对应的复数为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据向量减法坐标公式，解得坐标，再写出对应的复数和其共轭复数.【详解】由题可知，故对应的复数为，则，故选：D.【点睛】此题考查复平面内点对应的向量，以及共轭复数的概念，属于容易题.4.在一次期末考试中，随机抽取200名学生的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：.据此绘制了如下图所示的频率分布直方图.则这200名学生中成绩在中的学生有（）A. 30名B. 40名C. 50名D. 60名【答案】B【解析】【分析】根据面积之和为1，计算出所在长方形的面积，即为频率，乘以样本容量即可.【详解】由题知，成绩在内的学生所占的频率为，所以这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有名，故选：B.【点睛】本题考查频率分布直方图的概念及应用，属于容易题.5.函数的零点之和为（）A. -1B. 1C. -2D. 2【答案】A【分析】由函数零点与方程的根的关系可得函数的零点即方程，的根，解方程后再将两根相加即可得解.【详解】解：令，解得，令，解得，则函数的零点之和为，故选A.【点睛】本题考查了分段函数零点的求解，重点考查了对数的运算，属基础题.6.我市高中数学研究会准备从会员中选拔名男生，名女生组成一个小组去参加数学文化知识竞赛，若满足约束条件，则该小组最多选拔学生（）A. 21名B. 16名C. 13名D. 11名【答案】B【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，构造目标函数，数形结合即可求得.【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示：目标函数，求得，观察可知，当直线过点时，有最大值16，故选：B.【点睛】本题考查线性规划的实际应用以及最优解，考查数形结合思想，属于中档题.7.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据目标函数是奇函数，并且定义域为，据此判断.【详解】因为，所以函数是奇函数，根据奇函数图象的特点可以排除A、D，又因为函数的定义域是，排除C.故选：B.【点睛】此题考查函数的奇偶性，函数图象识别，属于中档题；一般地，我们从定义域，奇偶性，单调性以及特值得角度来判断.8.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示.若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”，即输出值是输入值的，则输入的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，使得最后退出循环时，即可得解.【详解】时，；时，；时，；时，退出循环.此时，，解得.故选C【点睛】本题主要考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确结论，属于基础题.9.已知三个数，则它们之间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将数据与或者1比较大小，从而判断三个数据的大小关系.【详解】由题知，即，又因为，故；所以，故选：B.【点睛】此题考查指数、对数函数的基本性质，弧度制、三角函数的单调性，属于中档题. 10.已知单位向量分别与平面直角坐标系轴的正方向同向，且向量，，则平面四边形的面积为（）A. B. C. 10 D. 20【答案】C【解析】分析】由已知可得，可得，可得平面四边形的面积．【详解】由向量正交分解的定义可知，，，则，.因为，所以，所以平面四边形的对角线互相垂直，所以该四边形的面积为.故选：C.【点睛】本题考查向量数量积运算性质、对角线互相垂直的四边形面积的计算，考查推理能力与运算求解能力．11.已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数使得函数，在区间单调递增；同时也要根据指数型复合函数的单调性，保证在区间上单调递增；最后再保证在分割点处，使得的函数值小于等于的函数值即可.【详解】由题知，，即；由得只需保证在上恒成立，则在上恒成立，即；又函数在上单调递增，则需满足，综上，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】此题考查分段函数的单调性，三次函数单调性，恒成立问题等，涉及导数的计算，属于较难题.12.已知，为图象的顶点，O，B，C，D为与x轴的交点，线段上有五个不同的点．记，则的值为（）A. B. 45 C. D.【答案】C【解析】【分析】通过分析几何关系，求出，，再将表示成，结合向量的数量积公式求解即可【详解】解：由图中几何关系可知，,,,，,∴，即．则，答案选C【点睛】本题结合三角函数考查向量的线性运算，找出两组基底向量，是关键第二部分（非选择题共90分）注意事项：1.本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答.2.考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.3.本部分共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13.命题“”的否定形式是____________.【答案】【解析】【分析】根据全称命题的否定的求解原则，直接得出结论.【详解】由题可知命题“”的否定形式是“”.故答案为：.【点睛】此题考查全称命题的否定的概念，属于容易题.14.如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则；函数在处的导数．【答案】2 ；-2【解析】；．15.如图，在单位圆中，为等边三角形，且，则__________.【答案】【解析】【分析】根据三角形的面积，可求得，再利用角度关系，应用正弦的和角公式即可求得.【详解】记，∵，∴，∴，∵，∴∴，∴.故答案为：.【点睛】本题考查三角形面积，单位圆的概念，角的分拆，和差角的三角函数，数形结合思想、逻辑推理能力等，属于中档题.16.已知中，角、、对应的边分别为、、，是上的三等分点（靠近点），且，则的最大值为_____.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理将角化边，反凑余弦定理，求得角；再利用向量的定比分点，结合均值不等式求得最大值.【详解】由，结合正弦定理得，整理得，得，可得；因为点是边上靠近点的三分点，则，故即，即，当且仅当时取等号，解得，即的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查正（余）弦定理，均值不等式的应用，逻辑推理能力等，属于较难题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17.已知是递增的等差数列，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和的最小值.【答案】（1）；（2）-225.【解析】【分析】（1）巧用等差数列的下标和性质，再由等差数列的基本量，根据题意列方程组即可求得.（2）由（1）知，数列是等差数列，故直接用公式法求得，再求其最小值即可.【详解】（1）因为为等差数列，则，又，故是方程的两根，∵是递增的等差数列，解得，则的公差，故.（2）由（1）知，因为，故数列是首项为-29，公差为2的等差数列，由公式可得，由二次函数的单调性，可得当时，的最小值为.【点睛】本题考查由基本量计算等差数列的通项公式，以及用公式法求解前项和，涉及其最小值的求解，属综合性基础题.18.在中，内角对应的边分别为，且满足.（1）求；（2）若，的面积为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可得到，再根据同角三角函数关系求得，结合正弦的倍角公式即可求得；（2）利用（1）中结论，以及面积公式，即可得的一个方程；再根据余弦定理，得到的另一个方程，解方程组即可.【详解】（1）由正弦定理可得：，故，又，所以，则.（2）由，又，可得.又，得，即，故.【点睛】本题考查利用正弦定理将边化角，同角三角函数关系，正弦的倍角公式，以及三角形面积公式，余弦定理解三角形，属综合性基础题.19.已知四棱锥中，侧面，，是边长为2的正三角形，底面是菱形，点为的中点.（1）求证：（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连结，交于，，欲证，只需证即可，再由题意可证明；（2）由已知条件可得，再求出的体积即可得解.【详解】解：（1）连结，交于，由于底面为菱形，为中点又为的中点，，又（2）过作，垂足为，由于为正三角形，为的中点，由于侧面，由面面垂直的性质得，由，得，因为为的中点，所以，故三棱锥的体积为.。
高中2020届高三第一次调查研究考试(12月)数学
高中2020届高三第一次调查研究考试(12月)数学数学(理工农医类)本试题卷分第－部分(选择题)和第二部分(非选择题)两部分。
第－部分1至2页，第二部分3至4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷，草稿纸上答题无效。
满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试题卷和答题卡－并交回。
第一部分(选择题 共60分)注意事项：1.选择题必须用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上。
2.第一部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|(x ＋2)(x －3)<0}，B ＝{x|y＝1x -}，则A ∩(R ðB)＝(A)[－2，1) (B)[1，3] (C)(－∞，－2) (D)(－2，1)2.已知O A u uu r ＝(5，－1)，O B uuur ＝(3，2)，A B uuu r 对应的复数为z ，则z r ＝ (A)5－i (B)3＋2i (C)－2＋3i (D)－2－3i3.(2x －y)5的展开式中，含x 3y 2的系数为(A)80 (B)－80 (C)40 (D)－404.在一次期末考试中，随机抽取200名学生的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)。
据此绘制了如下图所示的频率分布直方图。
则这200名学生中成绩在[80，90)中的学生有(A)30名 (B)40名 (C)50名 (D)60名5.函数332,0()l o g 6,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点之和为(A)－1 (B)1 (C)－2 (D)26.我市高中数学研究会准备从会员中选拔x 名男生，y 名女生组成－个小组去参加数学文化知识竞赛，若x，y 满足约束条件251127x y y x x -≥⎧⎪⎪≥-⎨⎪≤⎪⎩，则该小组最多选拔学生(A)21名 (B)16名 (C)13名 (D)11名7.设m ＝－log 0.30.6，n＝21lo g 0.62，则(A)m ＋n<mn<0 (B)mn<0<m ＋n (C)m ＋n<0<mn (D)mn<m ＋n<08.元代著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有－首诗：“我有－壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当有多少酒?”用程序框图表达如图所示。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一次调研考试理科数学
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一次调研考试理科数学第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集{}，，，，，43210=U 集合{}，，，321=A {}，，42=B 则U C A B （）为（ ）． （A ）{}421，，（B ）{}432，， （C ）{}420，， （D ）{}4320，，， （2）复数i-+251（i 是虚数单位）的模等于（ ）． （A ）10（B ）10（C D ）5 （3）下列命题中的假命题是（ ）．（A ）0lg ,=∈∃x R x （B ）0tan ,=∈∃x R x （C ）02,>∈∀x R x （D ）0,2>∈∀x R x（4）已知向量(,2),(1,1)m a n a =-=-，且//m n ，则实数a ＝（ ）．（A ）－1 （B ）2或－1 （C ）2 （D ）－2 （5）ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3,2,a b c A ===∠则＝（ ）．（A ）O 30（B ）O 45（C ）O 60（D ）O 90 （6）已知函数⎩⎨⎧≤>=0,20,log )(3x x x x f x ，则))91((ff =（ ）.（A）12（B ）14（C ）16（D ）18（7）已知某几何体的三视图如右图所示，正视图和侧视图是主视图侧视图边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（ ）． （A ）2（B ）1（C ）21（D ）13（8）已知实数,x y 满足约束条件10100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）．（A ）2- （B ）2（C ）1（D ）1-（9）函数x x x f 32cos 32sin )(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为（ ）．（A ）3π （B ）π34 （C ）π23 （D ）π67（10）设,,αβγ为不同的平面，,,m n l 为不同的直线，则m β⊥的一个充分条件为（ ）．（A ）αβ⊥，l αβ=，m l ⊥ （B ）m αγ=，αγ⊥，βγ⊥ （C ）αγ⊥，βγ⊥，m α⊥ （D ）n α⊥，n β⊥，m α⊥（11）将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为（ ）种。
2020届高三第一次调研考试数学(理)试题(高清版,含答案解析)
惠州市2020届高三第一次调研考试理科数学参考答案及评分细则一、选择题：1．【解析】由M 中不等式得()20x x -<，解得02x <<，即()02M =，，{}1M N ∴=I ，故选B ． 2．【解析】由()()()2i 3i 35i x y +-=++，得()()632i 35i x x y ++-=++， ∴63325x x y +=-=+⎧⎨⎩，解得34x y =-=⎧⎨⎩，∴i 34i 5x y +=-+=．故选A ．3．【解析】由频率分布直方图可得，320名学生中每周的自习时间不足225．小时的人数是()3200020072572⨯+⨯=．．．人．故选B ． 4．【解析】除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，故选A.5．【解析】因为点E 是CD 的中点，所以12EC AB =u u u r u u u r ，点F 是BC 的中点，所以1122CF CB AD ==-u u u r u u u r u u ur ，所以1122EF EC CF AB AD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故选C ．6．【解析】由题意得1q ≠±．由639S S =得()()631111911a q a q qq--=⨯--，∴319q +=，∴2q =．又()515112316212a S a -===-，∴12a =．故选B ．7.【解析】因为抛物线的焦点为(1,0),所以22212c b a c a b=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得221545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，双曲线方程为225514y x -=.故选C. 8．【解析】函数sin y x =的图象向左平移2π个单位后，得到函数()sin()cos 2f x x x π=+=的图象，()cos f x x =为偶函数，排除A ；()cos f x x =的周期为2π，排除B ；因为()cos=022f ππ=，所以()f x 的图象不关于直线2x π=对称，排除C. 故选D ．9．【解析】对于A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B ，C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件。
2020全国一卷文数调研卷
数学 （文科 ） 第４页 共４页
犖 两点，则△犕犉犖 的面积为
Ａ．８槡２
Ｂ．８３槡２
Ｃ．４３槡２
Ｄ．４槡２
｛ １２． 已知函数犳（狓）＝
－狓２＋６狓，狓＜４，若 ２狓－１，狓≥４
存在
实
数
狓１，狓２，狓３
满足犳（狓１）＝犳（狓２）＝犳（狓３），
其
中
狓３
＞狓２
＞狓１，
则 狓３ 狓１＋狓２
的
取
值
范
围
是
Ａ．（８，９）
（ ） Ｂ．
２ ，１＋２ｌｏｇ２３
１犫 ２
Ｄ．犪犮２＜犫犮２
６．
执
行如
程序
框
图所
示的
程
序，
若输
出
的狊的
值为
６ ７
，则
判
断框中填入的条件可以是
Ａ．狀≥６ Ｂ．狀≤６ Ｃ．狀≥７ Ｄ．狀≤７ ７． 下 列 命 题 中 ， 错 误 的 是 Ａ． 一 条 直 线 与 两 个 平 行 平 面 中 的 一 个 平 面 相 交 ， 则 必 与 另 一 个 平 面 相 交 Ｂ． 平 行 于 同 一 个 平 面 的 两 个 不 同 平 面 平 行 Ｃ． 若 两 个 平 面 垂 直 ， 则 一 个 平 面 内 的 已 知 直 线 必 垂 直 于 另 一 个 平 面 的 无 数 条 直 线 Ｄ． 若 两 个 平 面 垂 直 ， 过 一 个 平 面 内 任 意 一 点 作 交 线 的 垂 线 ， 则 此 垂 线 必 垂 直 于 另 一 个
点 犖 （狀，０），使得 犖犗 为∠犃犖犅 的角平分线？若 存 在 求 出 点 犖（狀，０），若 不 存
在，说明理由．
２１．（１２分） 已知函数犳（狓）＝犲狓＋（犪－犲）狓－犫， 曲 线狔＝犳（狓）在（１，犳（１））处 的 切 线 方 程 为 狔＝２狓－１． （参 考 数 据ｌｎ２≈０．６９３１４７１８０５５９９５） （１） 求犪，犫 的 值 ； （２） 证明：当狓＞０时，犳（狓）－狓２≥０．
2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷(理科)(解析版)
2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A＝{x∈N*|x≤3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．（0，3]D．（3，4]2．若b＜a＜0，则下列结论不正确的是（）A．B．ab＞a2C．|a|+|b|＞|a+b|D．3．下列函数中的定义域为R，且在R上单调递增的是（）A．f（x）＝x2B．C．f（x）＝ln|x|D．f（x）＝e2x 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝2，S3＝3，则a6＝（）A．4B．5C．10D．155．已知函数，若f（﹣m）＝2，则f（m）＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．6．已知命题p：函数的最小值为；命题q：若向量，，满足•＝•，则＝．下列正确的是（）A．￢p∧q B．p∨q C．p∧￢q D．￢p∧￢q 7．若，b＝3﹣0.8，c＝ln3，则a，b，c的大小关系（）A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b8．已知x，y满足线性约束条件，则z＝2x+y的最小值为（）A．.4B．.2C．.1D．9．设函数f（x）＝ae x﹣lnx（其中常数a≠0）的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l 在y轴上的截距为（）A．1B．2C．ae﹣1D．1﹣2ae10．某数学小组进行社会实践调查，了解某公司为了实现1000万元利率目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．同学们利用函数知识，设计了如下的函数模型，其中符合公司要求的是（参考数据：1.0021000≈7.37，lg7≈0.845）（）A．y＝0.25x B．y＝1.002xC．y＝log7x+1D．11．函数在上单调递增，且图象关于x＝﹣π对称，则ω的值为（）A．B．C．2D．12．在△ABC中，角A为，角A的平分线AD交BC于点D，已知，且，则在方向上的投影是（）A．1B．C．3D．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．13．已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x）＝f（x+2），当x∈[0，2]时，f（x）＝e x，则f（7）＝．14．已知向量＝（﹣2，2），向量的模为1，且|﹣2|＝2，则与的夹角为．15．2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，则直升机飞行的高度为（结果保留根号）．16．若函数有且仅有一个零点，则实数m的取值范围．三、填空题：共70分．17．已知函数f（x）＝（cos x﹣sin x）2﹣2sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）若f（x0）＝﹣1，且，求x0的值．18．已知数列{a n}满足，且a1＝1，a4＝7，数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和T n．19．已知△ABC中三个内角A，B，C满足．（1）求sin B；（2）若，b是角B的对边，，求△ABC的面积．20．已知函数．（1）求函数f（x）在区间[1，+∞）上的值域；（2）若实数x1，x2均大于1且满足，求f（x1x2）的最小值．21．已知函数f（x）＝e x﹣ax2，a∈R，x∈（0，+∞）．（1）若f（x）存在极小值，求实数a的取值范围；（2）若，求证：f（x）＞ax（lnx﹣x）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点0为极点，x的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程．（1）求曲线C的普通方程与极坐标方程；（2）设射线OM：与曲线C交于点A，与直线l交于点B，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣m|+|x+1|+5（m∈R）．（1）当m＝2时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≥﹣2，求实数m的取值范围．2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A＝{x∈N*|x≤3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．（0，3]D．（3，4]【解答】解：由题意得：A＝{x∈N*|x≤3}＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}＝{x|0≤x≤4}，∴所以A∩B＝{1，2，3}，故选：A．2．若b＜a＜0，则下列结论不正确的是（）A．B．ab＞a2C．|a|+|b|＞|a+b|D．【解答】解：∵b＜a＜0，∴＜，ab＞a2，由函数y＝在R上单调递增，可得：＜．设a＝﹣2，b＝﹣1时，|a|+|b|＝|a+b|与C矛盾．因此只有C错误．故选：C．3．下列函数中的定义域为R，且在R上单调递增的是（）A．f（x）＝x2B．C．f（x）＝ln|x|D．f（x）＝e2x【解答】解：由f（x）＝的定义域为[0，+∞），不符合题意，C：函数的定义域x≠0，不符合题意，A：y＝x2在（﹣∞，0]单调递减，在[0，+∞）单调递增，不符合题意，故选：D．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝2，S3＝3，则a6＝（）A．4B．5C．10D．15【解答】解：由题意得，解得a1＝0，d＝1，∴a6＝a1+5d＝5．故选：B．5．已知函数，若f（﹣m）＝2，则f（m）＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．【解答】解：∵，∴f（﹣x）+f（x）＝+＝＝1，∵f（﹣m）＝2，∴f（m）＝﹣1．故选：B．6．已知命题p：函数的最小值为；命题q：若向量，，满足•＝•，则＝．下列正确的是（）A．￢p∧q B．p∨q C．p∧￢q D．￢p∧￢q【解答】解：由题意得：命题p：函数，由基本不等式成立的条件，y≥2＝2，知等号取不到，所以p命题是假的；命题q：若向量，，满足＝，∴，，有可能是零向量或者，所以q是错误的．∴￢p∧q，p∨q，p∧￢q，是假命题，￢p∧￢q为真命题；故选：D．7．若，b＝3﹣0.8，c＝ln3，则a，b，c的大小关系（）A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b【解答】解：由指数函数y＝在R上单调递减，又，b＝3﹣0.8＝，∴1＞a＞b．c＝ln3∈（1，2）∴c＞a＞b．故选：B．8．已知x，y满足线性约束条件，则z＝2x+y的最小值为（）A．.4B．.2C．.1D．【解答】解：先根据x，y满足线性约束条件画出可行域，平移直线0＝2x+y，当直线z＝2x+y过点B（0，1）时，z取最小值为1．故选：C．9．设函数f（x）＝ae x﹣lnx（其中常数a≠0）的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l 在y轴上的截距为（）A．1B．2C．ae﹣1D．1﹣2ae【解答】解：由f（x）＝ae x﹣lnx，得，∴f′（1）＝ae﹣1，又x＝1时，f（1）＝ae，∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（ae）＝（ae﹣1）（x﹣1），取x＝0，得在y轴上截距y＝（ae﹣1）（0﹣1）+ae＝1．故选：A．10．某数学小组进行社会实践调查，了解某公司为了实现1000万元利率目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．同学们利用函数知识，设计了如下的函数模型，其中符合公司要求的是（参考数据：1.0021000≈7.37，lg7≈0.845）（）A．y＝0.25x B．y＝1.002xC．y＝log7x+1D．【解答】解：由题意得：有两个条件①奖金y≤5；②奖金y≤0.25x．且10≤x≤1000．A选项，当x≥20时，y≥5，不符合题意．B选项，当x＝1000时，1.0021000≈7.37，也超出了5，不符合题意．D选项，当x＝1000时，＝y＝tan（2）是一个负数，不符合题意．故选：C．11．函数在上单调递增，且图象关于x＝﹣π对称，则ω的值为（）A．B．C．2D．【解答】解：要使函数的递增，则，化简得：，已知在单增，所以．又因为图象关于x＝﹣π对称，，所以，因为ω＞0，此时k＝﹣1，所以，故选：A．12．在△ABC中，角A为，角A的平分线AD交BC于点D，已知，且，则在方向上的投影是（）A．1B．C．3D．【解答】解：由λ＝﹣可得：＝λ+，∵B，C，D三点共线，故λ+＝1，即λ＝．∴＝+．以A为原点，以AB为x轴建立平面直角坐标系如图所示，则D（3，），设B（m，0），C（n，n），由＝+得：，解得m＝3，n＝3．故B（3，0），∴在上的投影为|AB|cos30°＝．故选：D．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．13．已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x）＝f（x+2），当x∈[0，2]时，f（x）＝e x，则f（7）＝e．【解答】解：因为f（x）＝f（x+2），周期T＝2，当x∈[0，2]时，f（x）＝e x，∴f（7）＝f（1）＝e．故答案为：e．14．已知向量＝（﹣2，2），向量的模为1，且|﹣2|＝2，则与的夹角为．【解答】解：由已知得：||＝2，||＝1，|﹣2|＝2，2﹣4+42＝4，∴设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，＝2＝2•1•cosθ，∴cosθ＝，θ＝，故答案为：．15．2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，则直升机飞行的高度为（结果保留根号）．【解答】解：如图由题上条件可得线AC平行于东西方向，∠ABD＝60°，∠CBD＝75°；AC＝72；∴∠ABC＝135°；∠BAC＝30°；在△ABC中，＝⇒＝⇒BC＝＝72．如图D1C⊥平面ABC，在直角△BD1C中，tan∠D1BC＝＝⇒h＝BC•tan∠D1BC＝72×tan∠30°＝．故答案为：．16．若函数有且仅有一个零点，则实数m的取值范围{m|m＝﹣或m≥0}．【解答】解：令u（x）＝x﹣lnx，x＞0；则u'（x）＝，∴0＜x＜1时，u'（x）＜0；x＞1时，u'（x）＞0；于是u（x）＝x﹣lnx在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增；最小值为u（1）＝1＞0，∴∀x∈（0，+∞），x﹣lnx＞0；由f（x）＝0，即+m（lnx﹣x）﹣x＝0，解得：m＝；设g（x）＝，y＝m；由于函数有且仅有一个零点；所以直线y＝m与函数g（x）有且只有一个交点；由g'（x）＝，此时不能完全判断导函数值的正负；再令h（x）＝x+2﹣2lnx，得h'（x）＝，当x∈（0，2）时，h'（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，h'（x）＞0；于是，h（x）在（0，2）上递减，（2，+∞）上递增．那么h（x）≥h（2）＝2（2﹣ln2）＞0．由此，g'（x）的正负只同x﹣1有关，由此得g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，且g（x）的极小值为g（1）＝﹣；又x→0时，g（x）→0；x→+∞时，g（x）→+∞；g（x）图象大值如图所示，结合g（x）的图象，得m≥0或m＝﹣．故答案为：{m|m＝﹣或m≥0}．三、填空题：共70分．17．已知函数f（x）＝（cos x﹣sin x）2﹣2sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）若f（x0）＝﹣1，且，求x0的值．【解答】解：（1）函数f（x）＝（cos x﹣sin x）2﹣2sin2x＝1﹣2sin x cos x﹣2•＝cos2x﹣sin2x＝cos（2x+），所以函数f（x）的最小正周期为T＝＝π，又函数y＝cos x的单调减区间为[2kπ，2kπ+π]，k∈Z；令2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z；解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；所以f（x）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）若f（x0）＝﹣1，则cos（2x0+）＝﹣1，即cos（2x0+）＝﹣，再由，可得2x0+∈（﹣，﹣）；所以2x0+＝﹣，解得x0＝﹣．18．已知数列{a n}满足，且a1＝1，a4＝7，数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）数列{a n}满足，可得a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n，即{a n}为等差数列，a1＝1，a4＝7，可得公差d＝＝2，则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；数列{b n}的前n项和，可得b1＝S1＝4﹣2＝2；n≥2时，b n＝S n﹣S n﹣1＝2n+1﹣2﹣2n+2＝2n，则b n＝2n，n∈N*；（2）＝22n﹣1+n，则前n项和T n＝（2+8+…+22n﹣1）+（1+2+…+n）＝+n（n+1）＝（4n﹣1）+（n2+n）．19．已知△ABC中三个内角A，B，C满足．（1）求sin B；（2）若，b是角B的对边，，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵．sin（A+C）＝sin B，∴cos B＝sin B+1，又sin2B+cos2B＝1，化为：3sin2B+2sin B﹣1＝0，1＞sin B＞0．联立解得sin B＝．（2），又A+B+C＝π，可得：2A＝﹣B，C为钝角．∴sin2A＝cos B．又，∴＝＝＝3，∴a＝3sin A，c＝3sin C，B为锐角，∴cos B＝．∴△ABC的面积S＝ac sin B＝×3sin A×3sin C×＝sin A sin（+A）＝sin A cos A＝sin2A＝cos B＝×＝．∴∴△ABC的面积S为．20．已知函数．（1）求函数f（x）在区间[1，+∞）上的值域；（2）若实数x1，x2均大于1且满足，求f（x1x2）的最小值．【解答】解：（1）由题意得f（x）＝，由x≥1，知lnx≥0，于是lnx+2≥2，∴0＜，即﹣2≤﹣，∴﹣1≤1﹣＜1，∴f（x）的值域为[﹣1，1）．（2）f（x1）+f（x2）＝1﹣+1﹣＝，所以，又x1＞1，x2＞1，∴lnx1x2＝lnx1+lnx2＝lnx1+2+lnx2+2﹣4＝，＝≥，当且仅当，即x1＝x2时，取“＝”，故（x1x2）min＝e，∵f（x）在（1，+∞）上是增函数，∴f（x1x2）min＝．21．已知函数f（x）＝e x﹣ax2，a∈R，x∈（0，+∞）．（1）若f（x）存在极小值，求实数a的取值范围；（2）若，求证：f（x）＞ax（lnx﹣x）．【解答】解：（1）：∵f′（x）＝e x﹣2ax＝x（﹣2a），令H（x）＝，则H′（x）＝，当0＜x＜1时，H′（x）＜0，H（x）单调递减，且x→0时，H（x）→+∞，当x＞1时，H′（x）＞0，H（x）单调递增，且x→+∞时，H（x）→+∞，∴H（x）min＝H（1）＝e，①当2a≤e即a时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，没有极值，②当a＞时，存在0＜x1＜1＜x2，使得f′（x1）＝f′（x2）＝0，当x∈（0，x1），（x2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴x2是f（x）的极小值，综上可得，a（2）要证f（x）＞ax（lnx﹣x），即证e x＞axlnx，①当0＜x≤1时，e x＞1，axlnx≤0，显然成立，②当x＞1时，xlnx＞0，结合已知0＜a可得，0＜axlnx，于是问题转化为，即证，令g（x）＝，则g′（x）＝，令h（x）＝2e x﹣2（x﹣1）﹣x，则h′（x）＝2xe x﹣2﹣1，且在（0，+∞）上单调递增，∵＜0，h′（2）＝3＞0，存在x0∈（1，2）使得h（x0）＝0，即＝1，∴h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，又h（1）＝﹣1＜0，h（2）＝0，故当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x）≥g（2）＝1﹣ln2＞0，故g（x）＞0，得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点0为极点，x的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程．（1）求曲线C的普通方程与极坐标方程；（2）设射线OM：与曲线C交于点A，与直线l交于点B，求线段AB的长．【解答】解：（1）由，两边平方作和得，，∴曲线C的普通方程为x2+y2＝4．∵x2+y2＝ρ2，∴ρ2＝4，则ρ＝2；（2）把代入，可得，解得．即B点的极径为．由（1）得ρA＝2，∴|AB|＝|ρA﹣ρB|＝．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣m|+|x+1|+5（m∈R）．（1）当m＝2时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≥﹣2，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m＝2时，f（x）＝|x﹣2|+|x+1|＝5，当x≤﹣1，f（x）＝﹣（x﹣2）﹣（x+1）﹣5≥0，解得x≤﹣2；当﹣1＜x＜2，f（x）＝﹣（x﹣2）+x+1﹣5≥0，无解；当x≥2时，f（x）＝x﹣2+x+1﹣5≥0，解得x≥3；综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．（2）由f（x）＝|x﹣m|+|x+1|﹣5≥|（x﹣m）﹣（x+1）|﹣5＝|m+1|﹣5≥﹣2，所以|m+1|≥3，即m≥2或者m≤﹣4．。
2020届高三数学统一调研测试试题(一)(含解析)_1
2020届高三数学统一调研测试试题（一）（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡的相应位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵集合∴集合∵集合∴故选A.2. 下列函数中与函数（）相同的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义对选项逐个进行分析即可得结果.【详解】的定义域为，与（）的定义域不同，两函数不相同；和与（）解析式不同，两函数不相同；的定义域为，与（）的解析式和定义域都相同，两函数相同．故选：D.【点睛】本题主要考查函数的定义，判断两函数是否相同的方法：看解析式和定义域是否都相同，属于基础题.3. 设等差数列的前n项和为，若，则（）A. B. C. 7 D. 2【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质并结合已知可求出，再利用等差数列性质可得，即可求出结果．【详解】因为，所以，所以，所以，故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前项和公式，属于基础题．4. 函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：利用函数的奇偶性排除选项，利用函数通过的特殊点，排除选项，即可推出结果.详解：函数，可得，函数是奇函数，排除B，时，，排除D，时，，对应点在第四象限，排除C.故选：A.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．5. 若满足不等式组，则的最小值是（）A. B. C. 0 D. 5【答案】B【解析】【分析】由题意作出其平面区域，将化为，相当于直线的纵截距，由几何意义可得结果.【详解】由题意作出不等式组所表示平面区域：将化为，相当于直线的纵截距，则由解得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，故的最小值是，故选：B.【点睛】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，根据几何意义是解题的关键，属于基础题.6. 执行如图所示的程序框图，则输出n的值是（）A. 2B. 4C. 5D. 6【解析】【分析】根据题意，利用程序框图循环结构计算求得n的值，可得答案.【详解】初始值n=0，执行程序依次为:否；否；是，循环结束，输出n=6故选D【点睛】本题主要考查了程序框图的循环结构判断求值，属于基础题.7. 如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A. AC⊥SBB. AB∥平面SCDC. SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D. AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【答案】D试题分析：A中由三垂线定理可知是正确的；B中AB，CD平行，所以可得到线面平行；C中设AC,BD相交与O，所以SA 与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角分别为所以两角相等，D中由异面直线所成角的求法可知两角不等考点：1．线面平行垂直的判定；2．线面角，异面直线所成角8. 如图所示，中，，点E是线段AD的中点，则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出．【详解】如图所示，，，，，．故选C．【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9. 已知是等比数列，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出，再求出，即得解【详解】由题得.所以，所以.所以，所以数列是一个等比数列.所以=.故选：D【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法和前n项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10. 关于函数，有下述四个结论：①函数在上是增函数②最小正周期为③是奇函数④的定义域其中所有正确结论的编号是（）A. ①②③B. ②④C. ①④D. ①③【答案】D【解析】【分析】直接根据正切型函数的定义域可判断④，利用切化弦思想以及二倍角公式可将化简为，根据正弦型函数的性质可判断①②③.【详解】要使有意义，需满足，解得，即函数的定义域为，故④错误；∵，∵，∴，则可得在上是增函数，故①正确；∴结合函数的定义域可得最小正周期为，故②错误；又∵定义域关于原点对称，，∴是奇函数，故③正确；故选：D.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.11. 已知，，，，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，，，，面，则球的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据已知中的平行关系和长度关系可确定中点为底面梯形的外接圆圆心，根据球的性质可知平面，利用勾股定理构造出关于和球的半径的方程，解方程求得，代入球的体积公式可求得结果.【详解】取中点，连接且四边形为平行四边形，又为四边形的外接圆圆心设为外接球的球心，由球的性质可知平面作，垂足四边形为矩形，设，则，解得：球的体积：本题正确选项：【点睛】本题考查棱锥外接球体积的求解问题，关键是能够明确外接球球心的位置，主要是根据球心与底面外接圆圆心连线垂直于底面的性质，通过勾股定理构造方程求得结果.12. 甲乙二队进行篮球比赛，若有一队胜4场，比赛就结束，假设甲，乙二队在每场比赛中获胜的概率都是0.5，则所需比赛的场数的数学期望为（）A. 4B. 5.8125C. 6.8125D. 7【答案】B【解析】【分析】先确定比赛需要的场数的可能取值为4、5、6、7，求出相应的概率，即可求得数学期望..【详解】由题意可知，比赛需要的场数的可能取值为4、5、6、7，；；；∴，故选：B.【点睛】本题考查独立重复试验，理解次独立重复试验的模型与二项分布的区别，能进行一些与次独立重复试验的模型及二项分布有关概率的计算，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在复平面内，复数与对应的向量分别是与，其中是原点，则向量对应的复数为__________.【答案】【解析】【分析】根据所给的两个向量的代数形式，先求两个向量的差，求出，得到向量的代数形式的表示式即可.【详解】∵复数与对应的向量分别是与，∴，故答案为：.【点睛】本题主要考查复数的几何意义，向量的线性运算，属于基础题.14. 在中，，，，则的值为________．【答案】-20【解析】分析】在中，，，则然后用数量积求值即可．【详解】解：.故答案为：．【点睛】本题考查平面向量的数量积，多数同学错误认为，从而出错．15. 测量某一目标的距离时，所产生的随机误差服从正态分布，如果独立测量3次，至少一次测量误差在内的概率是__________.附参考数据：，，，，，，.【答案】0.994【解析】【分析】根据正态分布的性质求出在一次测量中误差在内的概率，再求出测量3次，每次测量误差均不在内的概率，根据对立事件的性质可得结果.【详解】由题意可知在一次测量中误差在内满足，其概率为，测量3次，每次测量误差均不在内的概率为：，∴独立测量3次，至少一次测量误差在内的概率是，故答案为：0.994.【点睛】本题主要考查正态分布概率的求法，次独立重复试验的模型，利用对立事件解决问题是解题的关键，属于中档题.16. 已知是椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，，则周长的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】根据椭圆的定义可将周长转化为，当最大时，、、三点共线，即求出最大值.【详解】∵的周长为，而，∴的周长为，当最大时，、、三点共线，如图所示，由题意得，，点坐标为，坐标为，则的周长最大为：，故答案为：.【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17. 在中，分别为内角的对边，且满足.（1）若，求；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：本题是典型角正余弦定理解三角形问题，由于是关于边这里面次式，所以先统一角做．由（1）中知道，所以可以选择正弦定理，从而解出此三角形．由（2）及.两边及一对角的题型，所以可以选择余弦定理．试题解析：因为，所以由正弦定理得，即有，则，因为，所以.（1）由，得，因为，所以，又，解得.（2）因为，所以，即，解得或（舍去），所以18. 如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．【解析】【详解】【分析】试题分析：（Ⅰ）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判定定理可证；（Ⅱ）以为坐标原点，的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系，然后通过求直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值来求解与平面所成角的正弦值．试题解析：（Ⅰ）由已知得.取的中点，连接，由为中点知，.又，故，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取的中点，连结.由得，从而，且.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，，，，，，，.设为平面的一个法向量，则即可取.于是.【考点】空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角．【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．19. 如图，已知直线与抛物线（）交于点，且，（1）若交于点，求点的轨迹方程；（2）求面积的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设点的坐标，点的坐标，点的坐标为，由，得，由此入手能求出点的轨迹方程；（2）设出的方程代入抛物线求得的值，进而表示出的坐标，同理可表示出的坐标，进而可表示出，，利用面积公式求解即可.【详解】（1）设点的坐标，点的坐标，点的坐标为，由，得，由已知，得直线的方程为，又有，，，，由得，把代入并消去得，得，代入，得，故所求点的轨迹方程为.（2）设，代入，得，，，，面积，当且仅当时，取等号，所以面积的最小值为.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查了面积的最值计算，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题.20. 甲乙二人轮流抛一枚均匀的骰子，甲先掷，一直到掷了1点，交给乙掷，而到乙掷出1点，再交给甲掷，井如此一直下去，若第次由甲掷骰子的概率为.（1）求；（2）写出与的递推关系式，并判断数列是什么数列，并求；（3）当足够大时，趋近什么数，它统计意义是什么？【答案】（1），；（2），是等比数列，；（3），意义见解析.【解析】【分析】（1）直接根据规则，可求，，的值；（2））第次由甲投掷而第次仍由甲投掷的概率是，第次由乙投掷而第次由甲投掷的概率是，两者相加可得与的递推关系式，构造即可得为等比数列；（3）通过极限的思想可得趋近，其意义在于当足够大时，甲掷骰子和乙掷骰子的可能性基本相同【详解】（1）由题意，，；（2）第次由甲投掷而第次仍由甲投掷的概率是，第次由乙投掷而第次由甲投掷的概率是于是，所以，即，，故数列是以为首项，为公比的等比数列；所以，故.（3）当足够大时，趋于0，则趋于，它的统计意义在于当足够大时，甲掷骰子和乙掷骰子的可能性基本相同.【点睛】本题考查概率知识的运用，考查数列通项的确定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.21. 已知函数，其中a为常数.(1)若f(x)的图象在x=1处的切线经过点(3，4)，求实数a的值；(2)若0<a<1，求证：；(3)当函数存在三个不同的零点时，求实数a的取值范围【答案】（1）；（2）详见解析；（3） .【解析】【详解】试题分析：(1)根据导数的几何意义可得：，再结合斜率公式进而得出的值；(2)表示出，然后构造函数通过讨论函数的单调性证明；(3)将函数零点的问题转化为函数图像与轴交点个数的问题，通过导数讨论函数的单调性来解决.试题解析：由题知（Ⅰ）（Ⅱ），令，则∴时，单调递减，故时，，∴当时，（Ⅲ）①∴至多只有一个零点，不合题意；②∴至多只有一个零点，不合题意；③此时，在上递减，上递增，上递减，所以，至多有三个零点.因为在递增，所以，又因为，所以，使得，又，所以恰有三个不同零点：，所以函数存在三个不同的零点时，的取值范围是.考点：函数与导数综合应用.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与轴的正半轴重合，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（是参数）（1）求直线的直角坐标方程及曲线的普通方程；（2）若直线与曲线交于点，求以为直径的圆的极坐标方程.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换即可；（2）利用二元二次方程的解法求出的坐标，进一步求出圆的方程.【详解】（1）直线的极坐标方程为，整理得，转换为直角坐标方程为，即；曲线的参数方程是（是参数）．两式平方相减可转换为直角坐标方程为.（2）直线与曲线交于点，所以，解得，即，所以的中点坐标为，半径，整理得，转换为极坐标方程为，整理得：.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，二元二次方程组的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档型23. 已知定义在上的函数的最小值为.（1）试求的值；（2）若，且.求证.【答案】（1）3；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式可得当时，的最小值为3，结合二次函数的性质即可得结果；（2）直接利用柯西不等式即可得结果.【详解】（1）由绝对值三角不等式可得：，当且仅当，即时取等号；由于，当且仅当时取等号，故，当且仅当时取等号，故，即.（2）由于，由柯西不等式，即，当且仅当取等号.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的性质，以及利用柯西不等式证明不等式，利用不等式求最值时注意取等号条件，属于中档题.2020届高三数学统一调研测试试题（一）（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡的相应位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵集合∴集合∵集合∴故选A.2. 下列函数中与函数（）相同的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义对选项逐个进行分析即可得结果.【详解】的定义域为，与（）的定义域不同，两函数不相同；和与（）解析式不同，两函数不相同；的定义域为，与（）的解析式和定义域都相同，两函数相同．故选：D.【点睛】本题主要考查函数的定义，判断两函数是否相同的方法：看解析式和定义域是否都相同，属于基础题.3. 设等差数列的前n项和为，若，则（）A. B. C. 7 D. 2【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质并结合已知可求出，再利用等差数列性质可得，即可求出结果．【详解】因为，所以，所以，所以，故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前项和公式，属于基础题．4. 函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：利用函数的奇偶性排除选项，利用函数通过的特殊点，排除选项，即可推出结果.详解：函数，可得，函数是奇函数，排除B，时，，排除D，时，，对应点在第四象限，排除C.故选：A.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．5. 若满足不等式组，则的最小值是（）A. B. C. 0 D. 5【答案】B【解析】【分析】由题意作出其平面区域，将化为，相当于直线的纵截距，由几何意义可得结果.【详解】由题意作出不等式组所表示平面区域：将化为，相当于直线的纵截距，则由解得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，故的最小值是，故选：B.【点睛】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，根据几何意义是解题的关键，属于基础题.6. 执行如图所示的程序框图，则输出n的值是（）A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用程序框图循环结构计算求得n的值，可得答案.【详解】初始值n=0，执行程序依次为:否；否；是，循环结束，输出n=6故选D【点睛】本题主要考查了程序框图的循环结构判断求值，属于基础题.7. 如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A. AC⊥SBB. AB∥平面SCDC. SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D. AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【答案】D【解析】试题分析：A中由三垂线定理可知是正确的；B中AB，CD平行，所以可得到线面平行；C中设AC,BD相交与O，所以SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角分别为所以两角相等，D中由异面直线所成角的求法可知两角不等考点：1．线面平行垂直的判定；2．线面角，异面直线所成角8. 如图所示，中，，点E是线段AD的中点，则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出．【详解】如图所示，，，，，．故选C．【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9. 已知是等比数列，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出，再求出，即得解【详解】由题得.所以，所以.所以，所以数列是一个等比数列.所以=.故选：D【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法和前n项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10. 关于函数，有下述四个结论：①函数在上是增函数②最小正周期为③是奇函数④的定义域其中所有正确结论的编号是（）A. ①②③B. ②④C. ①④D. ①③【答案】D【解析】【分析】直接根据正切型函数的定义域可判断④，利用切化弦思想以及二倍角公式可将化简为，根据正弦型函数的性质可判断①②③.【详解】要使有意义，需满足，解得，即函数的定义域为，故④错误；∵，∵，∴，则可得在上是增函数，故①正确；∴结合函数的定义域可得最小正周期为，故②错误；又∵定义域关于原点对称，，∴是奇函数，故③正确；故选：D.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.11. 已知，，，，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，，，，面，则球的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据已知中的平行关系和长度关系可确定中点为底面梯形的外接圆圆心，根据球的性质可知平面，利用勾股定理构造出关于和球的半径的方程，解方程求得，代入球的体积公式可求得结果.【详解】取中点，连接且四边形为平行四边形，又为四边形的外接圆圆心设为外接球的球心，由球的性质可知平面作，垂足四边形为矩形，设，则，解得：球的体积：本题正确选项：【点睛】本题考查棱锥外接球体积的求解问题，关键是能够明确外接球球心的位置，主要是根据球心与底面外接圆圆心连线垂直于底面的性质，通过勾股定理构造方程求得结果.12. 甲乙二队进行篮球比赛，若有一队胜4场，比赛就结束，假设甲，乙二队在每场比赛中获胜的概率都是0.5，则所需比赛的场数的数学期望为（）A. 4B. 5.8125C. 6.8125D. 7【答案】B【解析】【分析】先确定比赛需要的场数的可能取值为4、5、6、7，求出相应的概率，即可求得数学期望..【详解】由题意可知，比赛需要的场数的可能取值为4、5、6、7，；；；∴，故选：B.【点睛】本题考查独立重复试验，理解次独立重复试验的模型与二项分布的区别，能进行一些与次独立重复试验的模型及二项分布有关概率的计算，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在复平面内，复数与对应的向量分别是与，其中是原点，则向量对应的复数为__________.【答案】【解析】【分析】根据所给的两个向量的代数形式，先求两个向量的差，求出，得到向量的代数形式的表示式即可.【详解】∵复数与对应的向量分别是与，∴，故答案为：.【点睛】本题主要考查复数的几何意义，向量的线性运算，属于基础题.14. 在中，，，，则的值为________．【答案】-20【解析】分析】在中，，，则然后用数量积求值即可．【详解】解：.故答案为：．【点睛】本题考查平面向量的数量积，多数同学错误认为，从而出错．15. 测量某一目标的距离时，所产生的随机误差服从正态分布，如果独立测量3次，至少一次测量误差在内的概率是__________.附参考数据：，，，，，，.【答案】0.994【解析】【分析】根据正态分布的性质求出在一次测量中误差在内的概率，再求出测量3次，每次测量误差均不在内的概率，根据对立事件的性质可得结果.【详解】由题意可知在一次测量中误差在内满足，其概率为，测量3次，每次测量误差均不在内的概率为：，∴独立测量3次，至少一次测量误差在内的概率是，故答案为：0.994.【点睛】本题主要考查正态分布概率的求法，次独立重复试验的模型，利用对立事件解决问题是解题的关键，属于中档题.16. 已知是椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，，则周长的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】根据椭圆的定义可将周长转化为，当最大时，、、三点共线，即求出最大值.【详解】∵的周长为，而，∴的周长为，当最大时，、、三点共线，如图所示，由题意得，，点坐标为，坐标为，则的周长最大为：，故答案为：.【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17. 在中，分别为内角的对边，且满足.（1）若，求；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：本题是典型角正余弦定理解三角形问题，由于是关于边这里面次式，所以先统一角做．由（1）中知道，所以可以选择正弦定理，从而解出此三角形．由（2）及.两边及一对角的题型，所以可以选择余弦定理．试题解析：。
广西桂林市2020届高三第一次联合调研考试数学(理)试题附全解全析
桂林市2020年高考第一次联合调研考试数学（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,24x A y y B x ===≤，则A B ⋂=（ ）A.[]0,2B.[]1,2-C.[)1,-+∞D.(],2-∞2.若复数z 满足()211i i z-=+，则z =（ ）B.2C.3.人体的体质指数（BMI ）的计算公式：BMI =体重÷身高2（体重单位为kg ，身高单位为m ）.其判定标准如下表：某小学生的身高为1.4m ，在一次体检时，医生告诉她属于正常类，则她的体重可能是（ ） A.35.6 B.36.1 C.42.4 D.48.24.设,m n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则αβ⊥的一个充分不必要条件是（ ） A.,m m αβ⊥⊥ B.,,m n m n αβ⊂⊂⊥ C.//,,m n m n αβ⊥⊥ D.//,m m αβ⊥5.设,x y 满足约束条件3302400,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则目标函数z x y =+的最大值为（ ）A.8B.7C.6D.56.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代乙种质量单位），在这个问题中，甲比戊多得_______钱？A.23 B.13 C.56 D.167.已知函数()y f x =的大致图象如图所示，则函数()y f x =的解析式可能为（ ）A.1()cos ln1x f x x x -=⋅+ B.1()cos ln 1x f x x x +=⋅- C.1()sin 1x f x x ln x -=⋅+ D.1()sin ln 1x f x x x +=⋅-8.已知α是锐角，向量()1sin ,,1,cos 2a b αα⎛⎫== ⎪⎝⎭r r，满足a b a b =⋅r r r r ，则为（ ）A.12π B.3π C.6π D.4π9.如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为（ ）A.27πB.36πC.12πD.18π10.已知函数2()2sin 12f x x x =-，将函数()f x 的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得图象向上平移2个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若12()()16g x g x =，则12x x -的值可能为（ ） A.2πB.πC.2πD.3π 11.已知双曲线()22122:10,,8x y C a F F a -=>是C 的左右焦点，P 是双曲线C 右支上任意一点，若212PF PF 的最小值为8，则双曲线C 的离心率为（ ）B.3C.212.已知函数()1()ln 1,,2xf x ex x ⎡⎫=-∈+∞⎪⎢⎣⎭，若存在[]2,1a ∈-，使得21223f a a e m ⎛⎫-≤+-- ⎪⎝⎭成立，则实数m 的取值范围为（ ）A.2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.[)1,+∞C.2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D.31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.二项式6x⎛- ⎝展开式中的常数项为240，则实数a 的值为________.14.已知等比数列{}n a 中，21343,a a a ==，则5a =________.15.已知1F 为椭圆22:14x C y +=的左焦点，过点1F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，若113BF F A =u u u r u u u r ，则直线l 的斜率为________.16.已知函数2()65f x x x =-+-，若函数()()g x f x kx =-有4个零点，则实数k 的取值范围为__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.在锐角ABC ∆中，内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，已知()22cos cos c b A a B c -=- （1）求证：2b c =；（2）若sin 2A a ==，求ABC ∆的面积. 18.在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（1）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列（利润=产量⨯市场价格-成本）； （2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中的利润都在区间()1200,1600的概率.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AA AB BC ===，E 为1BB 的中点，F 为1AC 的中点.（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）求平面11AB D 与平面1AEC 所成二面角的正弦值. 20.已知函数()()ln ,f x x a x b a b R =-+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）是否存在实数a b 、，且32b ≤，使得函数()f x 在区间[]1,e 的值域为[]2,e ？若存在，求出a b 、的值；若不存在，请说明理由.21.已知抛物线()2:20C y px p =>，抛物线C 与圆()22:14D x y -+=的相交弦长为4.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）点F 为抛物线C 的焦点，A B 、为抛物线C 上两点，90AFB ∠=︒，若AFB ∆的面积为2536，且直线AB 的斜率存在，求直线AB 的方程.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作的第一题计分. 22. [选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为42x ty t=⎧⎨=-⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，求PQ 的最小值. 23. [选修4-5：不等式选讲] 设,,a b c R ∈，且3a b c ++=（1）求证：()()222113a b c +++-≥；（2）若1t ≥，求证：()()()222123a b t c t -+-++≥.2020年高考桂林市第一次联合调研考试 数学（理科）参考答案、提示及评分细则1. B {}{}[]1,2,1,2A y y B x x A B =≥-=≤⋂=-2. A ()()()()2121211111i i i iz i ii i i ----====--+++-，z ∴=3. C 由题知，此学生题中的正常值在36.26~46.844之间. 4. D5. D 作图可知当2,3x y ==时z 取最大值，即5a b +=6. A 设甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数分别为12345,,,,a a a a a ，公差为d ，则1234552a a a a a +=++=，即115225392a d a d ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得14316a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，15243a a d ∴-=-=7. C 由图象知，函数()f x 为偶函数，排除A,B ，又12x <<时，()0f x <，排除D ，故选C8. D 由a b a b =⋅r r r r 可得//a b r r ，则1sin cos 2αα=，即sin 21α=，又α是锐角，4απ∴=9. B 由三视图知，该几何体是一个圆台，圆台的上底面半径为1，圆台的高为设圆台的外接球半径为R=3R =，∴外接球的体积为34363R π=π .10. C 2()2sin 122cos 22sin 22f x x x x x x π⎛⎫=-+=-=-⎪⎝⎭，经过平移后得到函数 ()2sin 26g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()g x 的值域为[]0,4，又()()1216g x g x =，()()()()1212max 4,2,*g x g x g x x x nT T n N ∴===-==π∈11. B 由双曲线的定义知122PF PF a =+()22221222224448PF a PF a PF a a a PF PF PF +==++≥=，当且仅当22PF a =时取等号88,1,3,3a a c e ∴====∴=12. A 1'()ln 1x f x e x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭令1()ln 1g x x x =+-，则22111'()x g x x x x -=-=，故当112x <<时，'()0g x <，()g x 单调递增，当1x >时，'()0,()g x g x >单调递增，()(1)0g x g ∴≥=从而当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，'()0f x ≥，()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增.设()()222314h a a a e a e =+--=+--，则()h a 在[]2,1-上单调递减，在[]1,1-上单调递增，()max ()1h a h e ==-，存在[]2,1a ∈-，使得21223f a a e m ⎛⎫-≤+-- ⎪⎝⎭成立，等价于()121f e f m ⎛⎫-≤-= ⎪⎝⎭1211122m m ⎧-≤⎪⎪∴⎨⎪-≥⎪⎩，解得213m ≤≤13.2±()3662166rr r r r r r T C x C a x --+⎛==- ⎝，由3602r -=得()4464,240r C a =∴-=，解得2a =±. 14.127 由224331411,3a a q a a q a ====，得45111,327q a a q =∴==15. 设()()1122,,A x y B x y，由()1F知()122,BF x y =-u u u r，()111F A x y =u u u r，则212133x x y y =+-=21213,3x x y y ∴=-=-，又222221211,144x x y y +=+=111121e y x y k ∴++=∴==∴=16.(0,6-17.解：（1）证明：由正弦定理有()2sin 2cos sin cos sin C siB A A B C -=-得2sin cos 2sin cos sin cos sin C A B A A B C -=-，有2sin cos sin cos sin sin C A B A C C -=- 得2sin cos sin cos 0C A B A -=，由cos 0A >，可得sin 2sin B C =，由正弦定理得2b c = （2）由题意有1cos 4A ==由余弦定理有221244b c bc +-⨯=，得22142b c bc +-=，代入2b c =，解得：1,2c b ==故ABC ∆的面积为12244⨯⨯= 18.解：（1）设A 表示事件“作物产量为400kg ”，表示事件“作物市场价格为5元/kg ”， 由题设知()()0.6,0.5P A P B ==.（注：基本事件叙述各1分） 利润=产量⨯市场价格-成本X ∴所有可能的取值为400510001000,400610001400⨯-=⨯-= 500510001500,500610002000⨯-=⨯-=()()()10000.50.60.3P X P A P B ===⨯=()()()()140010.50.60.3P X P A P B ===-⨯= ()()()15000.50.40.2P X P A P B ===⨯= ()()()20000.40.50.2P X P A P B ===⨯=X ∴的分布列为（2）每一季利润在区间()1200,1600的概率为0.30.20.5+= 故3季中的利润都在区间()1200,1600的概率为310.58=19.解：（1）证明：如图，连AC BD 、相交于点O ，连OF11//,2,//,FO BB FO BB FO BE FO BE =∴=Q四边形BEFO 为平行四边形，可得//EF OBOB ⊂Q 平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，//EF 平面ABCD（2）如图，以点D 为坐标原点，向量1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u u r方向分别为x y z 、、轴建立如图所示空间直角坐标系.各点坐标分别为()()()()0,0,01,0,00,1,01,1,1D A C E 、、、，()()()()11111,0,2,1,1,2,0,1,20,0,2A B C D 、设平面1AEC 的法向量为()()()1,,,1,1,2,0,1,1m x y z AC AE ==-=u r u u u u r u u u r有111020m D B a b n AD a c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u r u u u u r r u u u u r ，取1,1,1x y z =-==-，有()1,1,1m =--u r 设平面11AB D 的法向量为()()()111,,,1,1,0,1,0,2n a b c D B AD ⋅==-r u u u u r u u u u r有111020n D B a b n AD a c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩r u u u u r r u u u u r ，取2,2,1a b c ==-=，有()2,2,1n =-r有5,3,cos m n m n m n ⋅=-==〈⋅〉==u r r u r r u r r 故平面11AB D 与平面1AEC= 20.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞'()1a x af x x x-=-=①当0a ≤时，'()0f x >，函数()f x 的增区间为()0,+∞②当0a >时，令'()0f x >可得x a >，故函数()f x 的增区间为(),a +∞，减区间为()0,a （2）①当0a ≤时，(1)12()f b f e e a b e=+=⎧⎨=-+=⎩得1,1a b ==舍去；②当01a <≤时，(1)12()f b f e e a b e =+=⎧⎨=-+=⎩得1,1a b ==符合题意；③当1a e <<时，由35(1)1122f b e =+≤+=<，不合题意； 必有()ln 2()f a a a a b f e e a b e =-+=⎧⎨=-+=⎩，可得2ln 22a a ab -=⎧⎨=⎩令()()2ln 21,'()1ln 0g x x x x x e g x x =--≤<=->，故函数()g x 单调递增 又由(1)0g =，故当1a e <<时，2ln 2a a a ->，不存在这样的a④当a e ≥时，(1)1()2f b ef e e a b =+=⎧⎨=-+=⎩，得23,1a e b e =-=-舍去；由上知满足条件的a b 、值为1,1a b ==21.解：（1）由圆及抛物线的对称性可知，点(),2a 既在抛物线C 上也在圆D 上，有：()224144pa a =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,2a p == 故抛物线C 的标准方程的24y x =（2）设直线AB 的方程为()0y kx b k =+≠，点A B 、的坐标分别为()()1122,,,x y x y .联立方程24y x y kx b⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()222240k x kb x b +-+=，可得12242kb x x k -+= 2122b x x k=联立方程24y x y kx b⎧=⎨=+⎩，消去x 后整理为2440ky y b -+=，可得124b y y k =16160kb ∆=->，得1kb <由90AFB ∠=︒有，()()11221,,1,FA x y FB x y -=-u u u r u u u r，()()()1212121212111FA FB x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+=+=u u u r u u u r 22242410b kb bk k k--++=，可得2264b kb k +=AFB ∆的面积为()()()121212111111222AF BF x x x x x x ⨯=++=+++()222222222222222261422421222b kb k b kb k b kb b kb k b kb k b k k k k k k k -++++⎛⎫--+++++⎛⎫=++==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得56b k k +=±，有6k b =-或116kb =-联立方程22646b kb k k b⎧++=⎨=-⎩解得122k b =-⎧⎨=⎩或122k b =⎧⎨=-⎩，又由241kb =-<，故此时直线AB 的方程为122y x =-或122y x =-+联立方程2264116b kb k kb ⎧++=⎪⎨=-⎪⎩，解方程组知方程组无解. 故直线AB 的方程为122y x =-或122y x =-+ 22.解：（1）直线l 的普通方程为42y x =-曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2212y x += （2）曲线的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩设点Q的坐标为()cos ββ5PQ ≥=故PQ23.证明：（1）由()()()()()()()()222229111121211a b c a b c a b c a b b c =++=+++-=+++-++++-⎡⎤⎣⎦()()()()()()()()()22222222222221111111311a c a b c a b b c a c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡+-≤+++-++++++-++-=+++-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣（当且仅当时1,0,2a b c ===取等号） 故有()()22113a b c +++-≥ （2）()()()()()()()()()()22222221121221t a b c t a b t c t a b t c t a b t +=++-+=-+-++=-+-+++--⎡⎤⎣⎦()()()()22212b t c t a c t +-++-+()()()()()()()()()222222222121212a b t c t a b t b t c t a c t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤-+-+++-+-+-+++-++⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()222312a b t c t ⎡⎤=-+-++⎣⎦由1t ≥，有()229t +≥222 t≥时，()()()-+-++≥.a b t c t123故当1。
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷(理科)
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1. 设集合M＝{−1, 0, 1}，N＝{x|x−1<0}，则M∩N＝（）A.{0}B.{1}C.{0, 1}D.{−1, 0}2. 若sinα=13，则cos2α()A.−79B.−29C.29D.793. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S7＝28，则a4＝（）A.4B.7C.8D.144. 若a，b均为不等于1的正实数，则“a>b>1”是“log b2>log a2”的（）A.既不充分也不必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.充分必要条件5. 函数f(x)＝sin(ωx−π3)在区间[0, 2π]上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（）A.2B.3C.4D.56. 已知函数f(x)＝x3+(a−5)x2+(b+4)x，若函数f(x)是奇函数，且曲线y＝f(x)在点（3, f(3)）的切线与直线y=16x+3垂直，则a+b＝（）A.−32B.−20C.25D.427. 设实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，则7x+3y−1的最小值为（）A.−13B.−15C.−17D.−198. 已知定义在R上的函数f(x)＝a−22−x与函数g(x)＝2x−2+|x−2|的图象有唯一公共点，则实数a的值为（）A.−1B.0C.1D.29. 已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n−2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则1m +9n的最小值为（）A.145B.114C.83D.10310. 设函数f(x)＝ae x−2sinx，x∈[0, π]有且仅有一个零点，则实数a的值为（）A.√2eπ4B.√2e−π4C.π2D.−π211. 定义在[0, +∞)上的函数f(x)满足：当0≤x<2时，f(x)＝2x−x2：当x≥2时，f(x)＝3f(x−2)．记函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1，a2，…，a n，…，并记相应的极大值为b1，b2，…，b n，…，则a1b1+a2b2+...+a20b20的值为（）A.19×320+1B.19×319+1C.20×319+1D.20×320+112. 已知函数f(x)={|log2x|,0<x<2sin(π4x),2≤x≤10，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则(x3−2)(x4−2)x1x2的取值范围是（）A.(0, 12)B.(0, 16)C.(9, 21)D.(15, 25)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的横线上已知向量a→=(−2,−1)，b→=(1,λ)，若(a→+2b→) // (2a→−b→)，则实数λ＝________．函数f(x)＝Asin(ωx+φ)，其中ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin3x的图象，只需将f(x)的图象向右平移________个单位．在△ABC中，AB＝4，O为三角形的外接圆的圆心，若AO→=xAB→+yAC→(x, y∈R)，且x+2y＝1，则△ABC 的面积的最大值为________．已知恰有两条不同的直线与曲线y＝e x−2和x2＝2py都相切，则实数p的取值范围是________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知asin A+C2=bsinA．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．函数f(x)＝Asin2(ωx+φ)(A>0, ω>0, 0<φ<π2)，且y＝f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1, 2)．（1）求φ；（2）计算f(1)+f(2)+...f(2019)．设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，{b n }是等差数列．已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N ∗)， ①求T n ； ②证明∑(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)n k=1=2n+2n+2−2(n ∈N ∗)．已知函数f(x)=lnx x．(1)求函数f(x)的单调区间与极值；(2)若不等式f(x)≤kx 对任意x >0恒成立，求实数k 的取值范围．已知函数f(x)＝alnx(a ≠0)，g(x)＝x −1x ．（1）当a ＝2时，比较f(x)与g(x)的大小，并证明；（2）令函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2，若x ＝1是函数F(x)的极大值点，求a 的取值范围．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3t y =−√3t （t 为参数），曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ （θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3cosθ−2sinθ．(Ⅰ)分别求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 交曲线C 1于O ，A 两点，交曲线C 2于O ，B 两点，求|AB|的长．已知函数f(x)=|2x −1|−|x −a|，a ≤0． (1)当a =0时，求不等式f(x)<1的解集；(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于32，求a 的取值范围．设函数f(x)＝|x +3|+|x −1|，x ∈R ，不等式f(x)≤6的解集为M ， （1）求M ；（2）当x ∈M 时，f(x)≥a|x −1|恒成立，求正数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1.【答案】 D【考点】 交集及其运算 【解析】先化简集合N ，再求M ∩N 得解． 【解答】由题得N ＝{x|x <1}，所以M ∩N ＝{−1, 0}． 2.【答案】 D【考点】二倍角的三角函数 【解析】由已知直接利用二倍角的余弦求解． 【解答】 ∵ sinα=13，∴ cos2α=1−2sin 2α=1−2×(13)2=79． 3.【答案】 A【考点】等差数列的前n 项和 【解析】根据等差中项的性质，将S 7转化为a 4的算式，解方程即可． 【解答】因为数列{a n }是等差数列，S 7＝28=a 1+a 72×7=2a 42×7=7a 4，所以a 4＝4．4.【答案】 B【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法进行判断即可． 【解答】当若“a >b >1”时，由对数函数的性质可得：log 2a >log 2b >0， 可得log b 2>log a 2成立． 当若：“log b 2>log a 2”有①若a ，b 均大于1，由log b 2>log a 2，知log 2a >log 2b >0，必有a >b >1； ②若a ，b 均大于0小于1，依题意，0>log 2a >log 2b ，必有0<b <a <1； ③若log a 2<0<log b 2，则必有0<a <1<b ； 故：“log b 2>log a 2”不能推出a >b >1；综上所述由充要条件的定义知，a >b >1”是“log b 2>log a 2”的充分不必要条件． 5.【答案】 B【考点】三角函数的周期性及其求法 【解析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果． 【解答】函数f(x)＝sin(ωx −π3)在区间[0, 2π]上至少存在5个不同的零点， 则：2T +3T 4<2π，整理得：114⋅2πω<2π，解得：ω>114，6.【答案】 A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】先根据函数是奇函数求出a 的值，再根据切线与直线垂直得到b 的值，即得a +b 的值． 【解答】因为函数f(x)是奇函数，所以f(−x)＝−f(x)，所以a ＝5． 由题得f′(x)＝3x 2+(b +4)，∴ k ＝f′(3)＝b +31， 因为切线与直线y =16x +3垂直，所以b +31＝−6， 所以b ＝−37． 所以a +b ＝−32． 7.【答案】 B【考点】 简单线性规划 【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z ＝7x +3y −1表示直线在y 轴上的截距，只需求出可【解答】先根据实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，画出可行域，A(0, 3)，B(2, 0)，C(0, −3)，D(−2, 0)，当直线z＝7x+3y−1过点D时，目标函数取得最小值，7x+3y−1最小是：−15，8.【答案】D【考点】函数与方程的综合运用【解析】由函数图象的交点个数与方程的解的个数的相互转化得：函数f(x)＝a−22−x与函数g(x)＝2x−2+|x−2|的图象有唯一公共点，可得方程a−22−x＝2x−2+|x−2|有且只有1个解，方程a＝2x−2+22−x+|x−2|有且只有1个解，即直线y＝a与y＝2x−2+22−x+|x−2|的图象只有一个交点，由函数图象的性质得：设ℎ(x)＝2x−2+22−x+|x−2|，由ℎ(x)＝ℎ(4−x)，可得函数ℎ(x)关于直线x＝2对称，若a＝2x−2+22−x+|x−2|有且只有1个解，则a＝ℎ(2)＝2，得解．【解答】由函数f(x)＝a−22−x与函数g(x)＝2x−2+|x−2|的图象有唯一公共点，可得方程a−22−x＝2x−2+|x−2|有且只有1个解，方程a＝2x−2+22−x+|x−2|有且只有1个解，即直线y＝a与y＝2x−2+22−x+|x−2|的图象只有一个交点，设ℎ(x)＝2x−2+22−x+|x−2|，由ℎ(x)＝ℎ(4−x)，可得函数ℎ(x)关于直线x＝2对称，若a＝2x−2+22−x+|x−2|有且只有1个解，则a＝ℎ(2)＝2，9.【答案】B【考点】基本不等式及其应用数列的求和【解析】运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得a n＝2n．求得m+n＝6，1m +9n=16(m+n)(1m+9n)=1 6(10+nm+9mn)，运用基本不等式，检验等号成立的条件，即可得到所求最小值．【解答】S n＝2a n−2，可得a1＝S1＝2a1−2，即a1＝2，n≥2时，S n−1＝2a n−1−2，又S n＝2a n−2，相减可得a n＝S n−S n−1＝2a n−2a n−1，即a n＝2a n−1，{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．所以a n＝2n．a m a n＝64，即2m⋅2n＝64，得m+n＝6，191191n9m18当且仅当nm=9mn时取等号，即为m=32，n=92．因为m、n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1m+9n>83，验证可得，当m＝2，n＝4时，1m+9n取得最小值为114．10.【答案】B【考点】函数与方程的综合运用【解析】由函数的零点与函数图象的交点的相互转化得：函数f(x)＝ae x−2sinx，x∈[0, π]有且仅有一个零点等价于a=2sinxe，x∈[0, π]有且仅有一个解，即直线y＝a与g(x)=2sinxe x，x∈[0, π]的图象只有一个交点，由利用导数研究函数的图象得：g(x)=2sinxe x，x∈[0, π]，则g′(x)=2√2cos(x+π4)e x，即g(x)在[0, π4)为增函数, 在(π4, π]为减函数，又g(0)＝0，g(π)＝0，g(π4)=√2e−π4，则可得实数a的值为√2e−π4，得解．【解答】函数f(x)＝ae x−2sinx，x∈[0, π]有且仅有一个零点等价于a=2sinxe x，x∈[0, π]有且仅有一个解，即直线y＝a与g(x)=2sinxe x，x∈[0, π]的图象只有一个交点，设g(x)=2sinxe x，x∈[0, π]，则g′(x)=2√2cos(x+π4)e x，当0≤x<π4时，g′(x)>0，当π4<x≤π时，g′(x)<0，即g(x)在[0, π4)为增函数, 在(π4, π]为减函数，又g(0)＝0，g(π)＝0，g(π4)=√2e−π4，则可得实数a的值为√2e−π4，11.【答案】A【考点】数列的求和【解析】由二次函数的最值求法，可得f(x)的最小极大值点和极大值，再讨论x的范围，可得其余的极大值点和极大【解答】当0≤x <2时，f(x)＝2x −x 2＝1−(x −1)2， 可得f(x)的极大值点a 1＝1，b 1＝1，当2≤x <4，即有0≤x −2<2，可得f(x)＝3f(x −2)＝3[1−(x −3)2]， 可得a 2＝3，b 2＝3，当4≤x <6，即有0≤x −4<2，可得f(x)＝9f(x −4)＝9[1−(x −5)2]， 可得a 3＝5，b 3＝9， …即有a 20＝39，b 3＝319，则S 20＝a 1b 1+a 2b 2+...+a 20b 20＝1⋅1+3⋅3+5⋅9+...+39⋅319， 3S 20＝1⋅3+3⋅9+5⋅27+...+39⋅320，相减可得−2S 20＝1+2(3+9+27+...+319)−39⋅320 ＝1+2⋅3(1−319)1−3−39⋅320，化简可得S 20＝1+19⋅320， 12.【答案】 A【考点】分段函数的应用 【解析】作出函数f(x)的图象，由图象及对称性可得，x 1x 2＝1，x 3+x 4＝12，即为x 4＝12−x 3，2<x 3<4，代入所求式子，运用二次函数的值域，结合单调性可得所求范围． 【解答】作出函数f(x)={|log 2x|,0<x <2sin(π4x),2≤x ≤10 的图象， 存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1<x 2<x 3<x 4， 且f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)＝f(x 4)，可得−log 2x 1＝log 2x 2，即有x 1x 2＝1，且x 3+x 4＝2×6＝12，即为x 4＝12−x 3，2<x 3<4， 则(x 3−2)(x 4−2)x 1x 2=(x 3−2)(x 4−2)＝(x 3−2)(10−x 3)＝−(x 3−6)2+36， 可得在(2, 4)递增， 即所求范围为(0, 12)．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的横线上 【答案】12【考点】平行向量（共线） 【解析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值． 【解答】→→则a →+2b →=(0, 2λ−1)， 2a →−b →=(−5, −λ−1)，又(a →+2b →) // (2a →−b →)，所以0×(−λ−1)−(−5)×(2λ−1)＝0， 解得实数λ=12． 【答案】 π12【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果． 【解答】根据函数的图象：A ＝1， 由于T 4=5π12−π4=π6，整理得T =2π3，所以ω=2π2π3=3，当x =π4时，3⋅π4+φ＝kπ(k ∈Z)，解得φ＝kπ−3π4(k ∈Z)，由于|ϕ|<π2，当k ＝1时φ=π4． 所以f(x)＝sin(3x +π4)，所以为了得到g(x)＝sin3x 的图象，只需将f(x)的图象向右平移π12个单位即可． 【答案】 8【考点】基本不等式及其应用 【解析】先取AC 的中点D ，根据已知得到B ，O ，D 三点共线，且BD ⊥AC ，设AD ＝DC ＝m ，求出△ABC 面积的表达式，再利用基本不等式求其最大值即可得解． 【解答】取AC的中点D，因为AO→=xAB→+yAC→(x, y∈R)，所以AO→=xAB→+2YAD→，又因为x+2y＝1，所以B，O，D三点共线，因为O是三角形的外接圆的圆心，所以BD⊥AC，设AD＝DC＝m，则BD=2，所以S△ABC=12⋅2m⋅√16−m2=√m2(16−m2)≤√(m2+16−m22)2=8，当且仅当m＝2√2时取等号．【答案】0<p<2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】由题意可得y＝e x−2和x2＝2py在第一象限有两个不同的交点，即为2p=x2e x−2，设f(x)=x2e x−2，求得导数和单调性、极值，即可得到p的范围．【解答】恰有两条不同的直线与曲线y＝e x−2和x2＝2py都相切，可得y＝e x−2和x2＝2py在第一象限有两个不同的交点，即为2p=x2e x−2，设f(x)=x2e x−2，f′(x)=x(2−x)e x−2，可得0<x<2时，f(x)递减；x>2或x<0时，f(x)递增，即有f(x)的极小值为f(0)＝0，极大值为f(2)＝4，则0<2p<4，可得0<p<2．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）【答案】asin A+C2=bsinA，即为asinπ−B2=acos B2=bsinA，可得sinAcos B2=sinBsinA＝2sin B2cos B2sinA，∵sinA>0，∴cos B2=2sin B2cos B2，若cos B2=0，可得B＝(2k+1)π，k∈Z不成立，∴sin B2=12，由0<B<π，可得B=π3；若△ABC为锐角三角形，且c＝1，由余弦定理可得b=√a2+1−2a⋅1⋅cosπ3=√a2−a+1，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2−a+1>1且1+a2−a+1>a2，且1+a2>a2−a+1，解得12<a<2，可得△ABC面积S=12a⋅sinπ3=√34a∈(√38, √32)．【考点】解三角形三角形的面积公式【解析】（1）运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；（2）运用余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2−a+1>1且1+a2−a+1>a2，求得a的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围．【解答】asin A+C2=bsinA，即为asinπ−B2=acos B2=bsinA，可得sinAcos B2=sinBsinA＝2sin B2cos B2sinA，∵sinA>0，∴cos B2=2sin B2cos B2，若cos B2=0，可得B＝(2k+1)π，k∈Z不成立，∴sin B2=12，由0<B<π，可得B=π3；若△ABC为锐角三角形，且c＝1，由余弦定理可得b=√a2+1−2a⋅1⋅cosπ3=√a2−a+1，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2−a+1>1且1+a2−a+1>a2，且1+a2>a2−a+1，1可得△ABC面积S=12a⋅sinπ3=√34a∈(√38, √32)．【答案】函数f(x)＝Asin2(ωx+φ)=A2−A2cos(2ωx+2φ)，由y＝f(x)的最大值为2，则A>0，且A2+A2=2，解得A＝2；又f(x)图象相邻两对称轴间的距离为2，且ω>0，所以12⋅2π2ω=2，解得ω=π4；所以f(x)＝1−cos(π2x+2φ)，又y＝f(x)过(1, 2)点，所以1−cos(π2+2φ)＝2，求得cos(π2+2φ)＝−1，所以sin2φ＝1，解得2φ＝2kπ+π2，k∈Z；所以φ=kπ+π4，k∈Z，又0<φ<π2，所以φ=π4；由φ=π4，所以y＝f(x)＝1−cos(π2x+π2)＝1+sinπ2x；所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)＝2+1+0+1＝4，又y＝f(x)的周期为4，且2019÷4＝504...3，所以f(1)+f(2)+...+f(2019)＝504×4+3＝2019．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义【解析】（1）化函数f(x)为余弦型函数，根据余弦函数的图象与性质求出A、ω和φ的值；（2）由（1）写出y＝f(x)的解析式，再根据函数f(x)的周期性计算f(1)+f(2)+...+f(2019)的值．【解答】函数f(x)＝Asin2(ωx+φ)=A2−A2cos(2ωx+2φ)，由y＝f(x)的最大值为2，则A>0，且A2+A2=2，解得A＝2；又f(x)图象相邻两对称轴间的距离为2，且ω>0，所以12⋅2π2ω=2，解得ω=π4；所以f(x)＝1−cos(π2x+2φ)，又y＝f(x)过(1, 2)点，ππ所以sin2φ＝1，解得2φ＝2kπ+π2，k∈Z；所以φ=kπ+π4，k∈Z，又0<φ<π2，所以φ=π4；由φ=π4，所以y＝f(x)＝1−cos(π2x+π2)＝1+sinπ2x；所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)＝2+1+0+1＝4，又y＝f(x)的周期为4，且2019÷4＝504...3，所以f(1)+f(2)+...+f(2019)＝504×4+3＝2019．【答案】（1）解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2−q−2=0．∵q>0，可得q=2．故a n=2n−1．设等差数列{b n}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，∴b1=d=1．故b n=n．所以数列{a n}的通项公式为a n=2n−1，数列{b n}的通项公式为b n=n．（2）①解：由(1)，有S n=1−2n1−2=2n−1，故T n=∑(nk=12k−1)=∑2knk=1−n=2×(1−2n)1−2−n=2n+1−n−2．②证明：因为(T k+b k+2)b k(k+1)(k+2)=(2k+1−k−2+k+2)k(k+1)(k+2)=k⋅2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2−2k+1k+1，所以∑(T k+b k+2)b k(k+1)(k+2)nk=1=(233−222)+(244−233)+⋯+(2n+2n+2−2n+1n+1)=2n+2n+2−2．【考点】等差数列与等比数列的综合数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】（1）解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2−q−2=0．∵q>0，可得q=2．故a n=2n−1．设等差数列{b n}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，∴b1=d=1．故b n=n．所以数列{a n}的通项公式为a n=2n−1，数列{b n}的通项公式为b n=n．（2）①解：由(1)，有S n=1−2n1−2=2n−1，2×(1−2n)②证明：因为(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)=(2k+1−k−2+k+2)k(k+1)(k+2)=k⋅2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2−2k+1k+1， 所以∑(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)n k=1=(233−222)+(244−233)+⋯+(2n+2n+2−2n+1n+1)=2n+2n+2−2．【答案】解：(1)定义域为(0, +∞),f ′(x)=1−lnx x 2，令f ′(x)=1−lnx x 2=0，得x =e ． f(x)的单调递增区间为(0, e)，单调递减区间为(e, +∞)． f(x)的极大值为f(e)=lne e=1e ，无极小值．(2)∵ x >0，lnx x≤kx ，∴ k ≥lnx x 2，令ℎ(x)=lnxx 2，又ℎ′(x)=1−2lnx x 3，令ℎ′(x)=0，解得x =√e ，ℎ(x)的单调递增区间为(0,√e)，单调递减区间为(√e,+∞)． 当x =√e 时函数ℎ(x)有最大值，且最大值为12e ， 所以k ≥12e ．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性以及函数的极值即可．（2）化简函数的解析式，求出函数的导数，判断函数的单调性，求出函数的最值然后推出k 即可． 【解答】解：(1)定义域为(0, +∞),f ′(x)=1−lnx x 2，令f ′(x)=1−lnx x 2=0，得x =e ．f(x)的单调递增区间为(0, e)，单调递减区间为(e, +∞)． f(x)的极大值为f(e)=lne e=1e ，无极小值．(2)∵ x >0，lnx x≤kx ，∴ k ≥lnxx 2， 令ℎ(x)=lnx x 2，又ℎ′(x)=1−2lnx x 3，令ℎ′(x)=0，解得x =√e ，ℎ(x)的单调递增区间为(0,√e)，单调递减区间为(√e,+∞)．当x =√e 时函数ℎ(x)有最大值，且最大值为12e ， 所以k ≥12e ．【答案】a ＝2时，设F(x)＝2xlnx −x 2+1，F(1)＝0． 则x >0，F′(x)＝2(1+lnx −x)， 令u(x)＝1+lnx −x ，u′(x)=1x −1=−(x−1)x，可得x ＝1时，函数u(x)取得极大值，∴ u(x)≤u(1)＝0．∴ F′(x)＝2(1+lnx −x)≤0， ∴ F(x)是(0, +∞)上的减函数，∴ 0<x <1，F(x)<0，即2xlnx <x 2−1，∴ 2lnx <x −1x ． x ＝1时，可得2lnx ＝x −1x ．x >1时，2lnx >x −1x ．函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2=[aln √x]2−(√x √x )2=14a 2ln 2x −x −1x +2． F′(x)=12a 2lnx x−1+1x ．∵ x ＝1是函数F(x)的极大值点， ∴ x >1时，F′(x)=12a 2lnx x−1+1x 2>0.0<x <1时，F′(x)=12a 2lnx x−1+1x 2<0．①x >1时，F′(x)=12a 2lnx x−1+1x >0．化为：12a 2<x 2−1xlnx，令ℎ(x)=x 2−1xlnx，x >1．ℎ′(x)=x 2lnx+lnx−x 2+1(xlnx)2，令u(x)＝x 2lnx +lnx −x 2+1，u′(x)＝2xlnx −x +1x =v(x)， v′(x)＝2lnx +1−1x 2>0．∴ u′(x)>v(1)＝0． ∴ u(x)>u(1)＝0．∴ ℎ′(x)>0． ∴ ℎ(x)在x ∈(1, +∞)上单调递增． ∴ x →1时，x 2−1xlnx→2xlnx+1=2，∴ 12a 2≤2，可得a 2≤4． ②0<x <1时，F′(x)=12a 2lnx x−1+1x 2<0．综上可得：a2＝4，解得a＝±2．∴a的取值范围是{−2, 2}．【考点】利用导数研究函数的极值【解析】（1）a＝2时，设F(x)＝2xlnx−x2+1，F(1)＝0．x>0，F′(x)＝2(1+lnx−x)，令u(x)＝1+lnx−x，利用导数研究函数F(x)在(0, +∞)上单调性，即得出大小关系．（2）函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2=[aln√x]2−(√x−√x )2=14a2ln2x−x−1x+2．F′(x)=12a2lnxx−1+1 x2．根据x＝1是函数F(x)的极大值点，可得x>1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2>0.0<x<1时，F′(x)=1 2a2lnxx−1+1x2<0．利用导数研究函数的单调性极值即可得出．【解答】a＝2时，设F(x)＝2xlnx−x2+1，F(1)＝0．则x>0，F′(x)＝2(1+lnx−x)，令u(x)＝1+lnx−x，u′(x)=1x −1=−(x−1)x，可得x＝1时，函数u(x)取得极大值，∴u(x)≤u(1)＝0．∴F′(x)＝2(1+lnx−x)≤0，∴F(x)是(0, +∞)上的减函数，∴0<x<1，F(x)<0，即2xlnx<x2−1，∴2lnx<x−1x．x＝1时，可得2lnx＝x−1x．x>1时，2lnx>x−1x．函数F(x)＝[f(√x)]2−[g(√x)]2=[aln√x]2−(√x√x )2=14a2ln2x−x−1x+2．F′(x)=12a2lnxx−1+1x．∵x＝1是函数F(x)的极大值点，∴x>1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2>0.0<x<1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2<0．①x>1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2>0．化为：12a2<x2−1xlnx，令ℎ(x)=x2−1xlnx，x>1．ℎ′(x)=x2lnx+lnx−x2+1(xlnx)2，令u(x)＝x2lnx+lnx−x2+1，u′(x)＝2xlnx−x+1x =v(x)，v′(x)＝2lnx+1−1x2>0．∴u′(x)>v(1)＝0．∴u(x)>u(1)＝0．∴ℎ′(x)>0．∴ℎ(x)在x∈(1, +∞)上单调递增．∴x→1时，x2−1xlnx→2xlnx+1=2，∴12a2≤2，可得a2≤4．②0<x<1时，F′(x)=12a2lnxx−1+1x2<0．同理可得：4≤a2．综上可得：a2＝4，解得a＝±2．∴a的取值范围是{−2, 2}．【答案】（1）直线l的参数方程为{x=3ty=−√3t（t为参数），转换为直角坐标方程为：yx=−√33，所以直线的倾斜角为5π6．所以：θ=5π6，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosθy=2sinθ（θ为参数），转换为直角坐标方程为：(x−2)2+y2＝4．转换为极坐标方程为：ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=2√3cosθ−2sinθ，转换为直角坐标的方程为：x2+y2=2√3x−2y，整理得：x2+y2−2√3x+2y=0，线l交曲线C1于O，A两点，则：{θ=5π6ρ=4cosθ，解得：A(−2√3, 5π6)，直线θ=5π6和曲线C2于O，B两点则：{θ=5π6ρ=2√3cosθ−2sinθ，解得：B(−4, 5π6)，所以：|AB|＝|ρ1−ρ2|＝4−2√3．【考点】【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用直线和曲线的位置关系，建立方程组，利用极径的应用求出结果． 【解答】（1）直线l 的参数方程为{x =3ty =−√3t （t 为参数），转换为直角坐标方程为：yx =−√33， 所以直线的倾斜角为5π6． 所以：θ=5π6，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ （θ为参数），转换为直角坐标方程为：(x −2)2+y 2＝4． 转换为极坐标方程为：ρ＝4cosθ，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3cosθ−2sinθ，转换为直角坐标的方程为：x 2+y 2=2√3x −2y ， 整理得：x 2+y 2−2√3x +2y =0， 线l 交曲线C 1于O ，A 两点， 则：{θ=5π6ρ=4cosθ ， 解得：A(−2√3, 5π6)， 直线θ=5π6和曲线C 2于O ，B 两点则：{θ=5π6ρ=2√3cosθ−2sinθ，解得：B(−4, 5π6)，所以：|AB|＝|ρ1−ρ2|＝4−2√3． 【答案】解：(1)当a =0时，f(x)<1化为|2x −1|−|x|−1<0． 当x ≤0时，不等式化为x >0，无解； 当0<x ≤12时，不等式化为x >0， 解得0<x ≤12；当x >12时，不等式化为x <2， 解得12<x <2；综上，f(x)<1的解集为{x|0<x <2}．(2)由题设可得f(x)={−x +1−a,x <a,−3x +1+a,a ≤x ≤12,x −1+a,x >12,所以f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为, (a+13, 0)，(1−a, 0)，(12,a −12)，该三角形的面积为12×[(1−a)−(a+13)]×|a −12|=(1−2a)26．由题设(1−2a)26>32，且a <0，解得a <−1．所以a 的取值范围是(−∞, −1)． 【考点】函数与方程的综合运用绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）将a =0代入，根据零点分段去掉绝对值，分别求出x 的范围再合并；（2）由a ≤0，按照零点分段对函数去掉绝对值，求出三角形的三个顶点坐标，根据三角形面积公式求出的代数式大于32，解出a 的范围即可． 【解答】解：(1)当a =0时，f(x)<1化为|2x −1|−|x|−1<0． 当x ≤0时，不等式化为x >0，无解； 当0<x ≤12时，不等式化为x >0， 解得0<x ≤12；当x >12时，不等式化为x <2， 解得12<x <2；综上，f(x)<1的解集为{x|0<x <2}． (2)由题设可得f(x)={−x +1−a,x <a,−3x +1+a,a ≤x ≤12,x −1+a,x >12,所以f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为, (a+13, 0)，(1−a, 0)，(12,a −12)，该三角形的面积为12×[(1−a)−(a+13)]×|a −12|=(1−2a)26．由题设(1−2a)26>32，且a <0，解得a <−1．所以a 的取值范围是(−∞, −1)．第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 函数f(x)＝|x +3|+|x −1|，当x ≤−3时，f(x)＝(3−x)−(x +1)＝−2−2x ，不等式f(x)≤6化为−2−2x ≤6，解得x ≥−4，此时，−4≤x ≤−3；当−3<x <1时，f(x)＝3−x +x +1＝4<6，恒成立；当x ≥1时，f(x)＝x −3+x +1＝2x +2，不等式f(x)≤6化为2x +2≤6，解得x ≤2．综上所述，不等式f(x)≤6的解集为[−4, 2]，即M ＝[−4, 2]；当−4≤x ≤−3时，f(x)＝−2x −2，不等式f(x)≥a|x −1|化为−2x −2≥−a(x −1)，即a ≤2x+2x−1，∴ a ≤2+4x−1，求得a ≤1；当−3<x <1时，f(x)＝4，不等式f(x)≥a|x −1|化为4≥−a(x −1)，即a ≤4−(x−1)，求得0<a ≤1；当x ＝1时，f(x)＝4，不等式f(x)≥a|x −1|化为4≥0，恒成立，此时a >0；当1<x ≤2时，f(x)＝2x +2，不等式f(x)≥a|x −1|化为2x +2≥a(x −1)，即a ≤2x+2x−1，∴ a ≤2+4x−1，求得0<a ≤6．综上所述，a 的取值范围是(0, 1]．【考点】函数恒成立问题【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求不等式f(x)≤6的解集即可；（2）分别讨论x 的取值，从而求出不等式f(x)≥a|x −1|恒成立时a 的取值范围．【解答】函数f(x)＝|x +3|+|x −1|，当x ≤−3时，f(x)＝(3−x)−(x +1)＝−2−2x ，不等式f(x)≤6化为−2−2x ≤6，解得x ≥−4，此时，−4≤x ≤−3；当−3<x <1时，f(x)＝3−x +x +1＝4<6，恒成立；当x ≥1时，f(x)＝x −3+x +1＝2x +2，不等式f(x)≤6化为2x +2≤6，解得x ≤2．综上所述，不等式f(x)≤6的解集为[−4, 2]，即M ＝[−4, 2]；当−4≤x ≤−3时，f(x)＝−2x −2，不等式f(x)≥a|x −1|化为−2x −2≥−a(x −1)，即a ≤2x+2x−1，∴ a ≤2+4x−1，求得a ≤1；当−3<x <1时，f(x)＝4，不等式f(x)≥a|x −1|化为4≥−a(x −1)，即a ≤4−(x−1)，求得0<a ≤1；当x ＝1时，f(x)＝4，不等式f(x)≥a|x −1|化为4≥0，恒成立，此时a >0；当1<x ≤2时，f(x)＝2x +2，不等式f(x)≥a|x −1|化为2x +2≥a(x −1)，即a ≤2x+2x−1，∴ a ≤2+4x−1，求得0<a ≤6．综上所述，a 的取值范围是(0, 1]．。
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