《随机信号分析》第五章-窄带随机过程_第三讲

c
s
t t
t cos 2 ˆ t cos 2
fct fct
ˆ t sin 2 t sin 2
fct fct
■ 若E t 0，E c t E s t 0.
■ 若 t 是高斯过程，c t 和s t 也是高斯过程. ■ 若 t 是广义平稳过程，c t 和s t 是联合广义平稳随机
(t
)
arctan
s c
(t (t
) )
2020/7/24
2
窄带随机过程的低通表示
■ t 的等效低通表示
(t ) (t ) jˆ(t ) L (t )e j2 fct
复包络 复载波
其中L (t) ~(t)e j2fct
L (t) c (t) js (t) a (t)e j (t)
(t ) Re t Re L (t)e j2 fct
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3
5.3.2窄带随机过程的统计特性
解析信号的统计特性
■ R E * t t E (t) jˆ(t) (t ) jˆ(t )
R Rˆ jRˆ jRˆ 2 R jRˆ
P ( f ) A
0
fc
fc fc f
f
A P ( f fc )
0
2 fc
fc
0 f
f
A P ( f fc )
0
f 0
fc
2 fc
f
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Pc ( f ) Ps ( f )
2A
f 0 f
f
10
5.4 窄带随机过程包络和相位的分布
窄带正态噪声的包络和相位分布
一维分布 二维分布
12
5.4.1
J 为Jocabian行列式。
c a cos , s a sin
c
J
a c
s
a s
cos a sin
sin a cos
a
f
a ,
a 2
2
exp
a2 2 2
f
a
f
a ,
d
a 2
exp
a2 2 2
,
a 0
瑞利分布
f
f
a ,
1
da 2 ,
■ c t 和s t 的联合概率密度
假定 t 为高斯分布，则在同一时刻
f
c ,s
f
c
f
s
1
2
2
exp
2 c
2
2 s
2
a t
2 c
t
2 s
t
,
t
arctg
s c
t t
f a , f c (a , ),s (a , ) J
1 2
2
exp
a2 2 2
J
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《随机信号分析》第五章-窄带随机 过程_第三讲
窄带随机过程的准正弦表示
(t) a (t)cos 2 fct (t)
c t cos 2 fct s t sin 2 fct
同向分量
正交分量
c (t) a (t) cos (t)
s (t) a (t) sin (t)
a (t) c2 (t) s2 (t)
窄带正态噪声加正弦信号的包络和相位的分布
表示形式 包络的概率密度 相位的概率密度
窄带正态过程包络平方的分布
窄带噪声包络平方的分布 正弦信号加窄带噪声包络平方的分布
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11
假设：窄带正态过程均值为零，功率谱密度关于中心频率对称分布
5.4.1 窄带正态随机过程包络和相位的分布
0 2
均匀分布
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13
结论2
结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程， 其包络的一维分布是瑞利分布，而其相位的一维 分布是均匀分布，并且就一维分布而言，包络和 相位是统计独立的。
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14
二维分布
a (t) 2c t 2s t 1 2
a
(t
)
c2
(t
)
2s
(t
)
P ( f )
PL f P f fc
基带随机过程
P ( f )
A
0
f
f
P ( f )
fc
f5
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5.3.2
■ （2） c t 和s t 的统计特性
(t ) (t ) jˆ(t ) L (t )e j2 fct L (t ) c (t ) js (t )
1
2
(t) arctan s (t) c (t) (t ) arctan s (t ) c (t )
fa (a1, a2 , 1, 2 ) fcs (c1, s1, c2 , s2 ) | J |
fcs
(c1,s1,c2 ,s2 )
1
(2 )4/ 2 |
K
|1/ 2
exp(
1 2
xT K 1x)
P f 4P f u f
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4
5.3.2窄带随机过程的统计特性
■ （1）L t 的自相关函数和功率谱密度
■ RL E L * t L t E * t e j2 fct t e j2 fc t
R e j2 fc
PL ( f )
过程(互相关函数仅与时间间隔有关).
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc Rc s Rs c Rˆ cos 2 fc R sin 2 fc
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6
5.3.2
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc
Rc s Rs c Rˆ cos 2 fc R sin 2 fc
奇函数
Rˆ 0 0
■ Rc 0 Rs 0 R 0 E t 0
2.
■ Rcs 0 Rsc 0 0.
高斯 同一时刻不相关
独立
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06-9-27 7
5.3.2 结论1
对于均值为零的窄带平稳高斯过程
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Cov(c1, c1)
其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同；
在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相 关的或统计独立的。
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8
5.3.2
■ 对于严格限频信号，当f fc时有
Pc
f
Ps
f
P
0,
f fc
其它
P
f
fc ,
fc f fc
P ( f ) A
0
fc
fc fc f
f
A P ( f fc )
0
2 fc
fc
0 f
f
A P ( f fc )
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f 0
0 ) A
f 0 f
f
9
f
5.3.2
当 P ( f )对称于fc时，有 R ( ) Rc ( ) cos 2fc Rs ( ) cos 2fc