道路工程制图 第四章

k
1、过点K作平面 KMN// ABC平面。
h
e e
2、过直线EF作正垂 平面P。 3、求平面P与平面 KMN的交线ⅠⅡ。 4、求交线ⅠⅡ 与 EF的交点H。
h f
n
2 k
5、连接KH，KH即 为所求。
m 1
§ 4-3 直线与平面、平面与平面垂直
直线与平面垂直

直线与平面垂直的几何条件： 若一直线垂直于一平面，则必 垂直于属于该平面的一切直线。
b
a d k b
A0k即为A到 BCD的距离
c
附加例题 h PV k
试过定点K作特殊位置平面的法线。 SV k h h
k
k
h
k
h
QH
h
k
例题9
试过定点K作一直线与一般位置直线AB垂直相交。
a f
m
k f b e b k
m
a
KM即为所求的直线 e
附加例题 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂 直于定平面。 a e f c m
m
n 直线MN即为所求的交线
附加例题 试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直 线EF相交 。
c a b a b f
k
f e e
c
k
分析
K 过已知 点K作平面 P平行于 ABC；直 线EF与平 面P交于H； 连接KH， KH即为所 求。 F H C A
E
B
作图步骤
c PV m a b a b c f1 2 n
a
b m
e k c
2
a
l
1
n

两一般位置平面相交求交线的方法 B M
K
A
F
N
L
C

两平面相交，判别可见性 b 1 ( k n ) l
3
c
2
4
m
e a
b 2 e a
m
3 4
c
( ) k
l
1
n
例题7 已知一般位置的平行四边和一般位置的三角形相 交，求它们的交线 。
m n
第四章 直线与平面、平面与 平面的相对位置
1
本章教学要求
教学
直线与平面各种位置关系的掌握
重点
教学 难点 能力 目标
直线与平面相交、平面与平面相 交的作图方法
能够根据直线与平面的位置关系 做出一般直线平面图形
本章主要内 容
1 2 3 直线与平面、平面与平面平行
直线与平面、平面与平面相交
直线与平面、平面与平面垂直
P
c
l
a
F
m
k b f c
H
a
l
n
平 面 的 可 见 性 判 断
m V M B K F c f n
b k
l a a l
L
N k a l c H
m k b
m
C c
f n
f
n
QV
f
c
1
一 般 位 置 直 线 与 一 般 位 置 平 面 相 交
b
k
2
e f a a
c
附加例题
试判断直线AB是否平行于定平面
c g b
d f e a
f
d
e
a g b
结论：直线AB不平行于定平面
c

两平面平行 P E D B S
A C
F
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一
平面的相交两直线，则此两平面平行
例题3
试判断ΔABC和ΔABC两平面是否相互平行
d a
V C E
A
B
D
定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于 该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面 的正平线的正面投影。 n V
a C
E B D n a k
k d
e
c
b
A
e d
c b
定理2（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直 线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直 于该平面。 n V f
c A
C E B d f d a k a b k
D
c
b n
附加例题 平面由 BDF给定，试过定点K作平面的法线。
n
f c a d b
k
f a
d c b
直线KN即为所求的法线
k
n
例题8 已知 BCD平面及平面外一点A，求点A到平面 BCD的距离。
a d A0 k c
以正垂 面为辅助平 面求交点步 骤： 1、 过EF作正 垂平面Q。 2、求Q平面与 ΔABC的交线 ⅠⅡ。 3、求交线 ⅠⅡ与EF的交 点K。
2
k
b
1
c
e

以正垂面为辅助平面求线面交点示意图
A
M
C
B
N 过MN作平面Q垂直于V投影面

直线EF与平面 ABC相交，判别可见性。
f
b
c ( 2 )
k f
a c b
e
d
k
a e c 两相交直线KE和KF所组成的平面即为所求的平面 f
附加例题 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作 一平面平行于已知平面 。 a s d k e f m n b c r
c
b n d a
r
k f s e
m
两相交直线KE和KF所组成的平面即为所求的平面
c g
d a
e
f
b
a e
b
g
d 两平面互相垂直
c
f
谢 谢!
1
b
d
n
b
e
d
a c f
m n
结论：MN不垂直于定平面

两平面互相垂直
两平面垂直的几何条件： 若一直线垂直于一定平面，则包含 这条直线的所有平面都垂直于该平面。 反之，两平面相互垂直，则由属于 第一个平面的任意一点向第二个平面作 的垂线必属于第一个平面。
A
Ⅱ
D
A A
Ⅰ Ⅱ
D
Ⅰ
D
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直
§ 4-1直线与平面、平面与平面平行

直线与平面平行
几何条件：若平面外的一条直线与平面内的一
条直线平行，则该直线与该平面平
行。这是解决直线与平面平行作图 问题的依据。 解决问题：判别已知线面是否Βιβλιοθήκη Baidu行；作直线与
已知平面平行；包含已知直线作平
面与另一已知直线平行。

直 线 与 平 面 平 行 P C A
附加例题 试判断两平面是否平行。 s e f d b r c
a
e s
SH
d
a c b
f
结论：两平面平行
r P H
§ 4-2直线与平面、平面与平面相交
直线与平面或平面与平面之间，若不 平行则必相交。 直线与平面相交产生交点，平面与平 面相交产生交线。 交点或交线是两个几何元素的共有元 素，也是在投影中几何元素重影部分可见 与不可见的分界点或分界线。
1
k
4
利 用 重 影 点。 判 别 可 见 性
3
e
a
f
b
2
a
k 1
（3 ） 4
c
e

直线EF与平面Δ ABC相交，判别可见性示意图 f c 1 (2) k F a V
b
Ⅱ Ⅰ
K
e
C
Ⅲ Ⅳ
k
A a
B
f b
3
c (4)
E e
H
例题6 求一般位置直线DF与一般位置平面ΔABC的交点K，并 判断可见性。

投影面垂直线与一般位置平面相交
e b a e k c f a b K` c b b
a
c f a
e(f) c
e(f)

一般位置直线与投影面垂直面相交
b
V
N B P A PH M a b k c K m a k
n
c
a
C H k b
n
m
c

直线的可见性判断 b n
b
e d b e f f g a c
k
g
k
结论： ΔABC和ΔABC两平面平行
c
附加例题
试判断两平面是否平行
a f s r e
b
n m c d c n m a d
e
s r
b
结论：两平面平行
f
例题4 过点K作一平面与平行两直线AB和CD所决定的平面平行 。
b d
例题10 过直线AB作一平面垂直于 DEF。
b k e
a
d
f d b 相交直线AB和 AK所组成的平面 即为所求的平面 f k
a
e
例题11 判别 ABC平面和 DEF平面是否互相垂直 。
a d e
b
c a b d
f
f
e
两平面互相垂直
c
例题12 判别 ABC平面和EFG平面是否互相垂直 。
D
B
若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线 与平面平行
例题1
过平面外一点D，作一水平直线DE与ΔABC平行 a f b e d
c b c d
e f
a
例题2 已知ABCD平面与平面外一直线MN，试检查MN是 否与该平面平行。 b d m e
a
n
c
b m d e n
a
结论：MN与平面ABCD平行
b m f
a d
k
n
b d m k n a RH f
c
a

一般位置平面与一般位置平面相交
PV n b
两一般 位置平面相 交，求交线 步骤：
1、用直线与 平面求交点 的方法求出 两平面的两 个共有点K、 E。 2、连接两个 共有点，画 出交线KE。
2
c
1
m
k
l
QV
e'
V
N B P A PH M K a m k
c
a
b k c
a
C H k b
n
m
c
例题5 求直线EF与ΔABC平面的交点K。
e b
k a
d
f
b
c
a
e(f) (k)
d
c
一般位置平面与投影面垂直面相交 b
f n m
L N C c PH f n b k a l
m
V
k
M
B K