材料力学(赵振伟)应力状态分析
材料力学(赵振伟)梁的弯曲变形2

3. 应用叠加原理的若干情况 1 ) 荷载的分解或重组
q m
q
L/2 L/2
L
F
q
q
m L/2 L/2
F
例
q0
EI
A 求图示自由端的挠度。
L2
L2
q0
L
w1
q0
w3
B
w2
L2
L2
w1
q0 L4 8EI
w2
q0 L 24
8EI
q0 L4 128EI
w3
B
L 2
q0 L 23
6EI
L 2
q0 L4 96EI
wA
w1
w2
w3
41q0 L4 384EI
2) 逐段刚化法
依据: 若结构可分为若干部分,且各部分在荷载作用下的 变形不是相互独立的,那么,结构中 A 点的位移是各个部 分在这一荷载作用下的变形在 A 点所引起的位移的叠加。
A EI a
变形刚体
F
F
Fa 2
B
C
a/2
wwww1122
B (F1, F2,, Fn ) B1(F1) B2 (F2 ) Bn(Fn )
yB (F1, F2,, Fn ) yB1(F1) yB2 (F2 ) yBn(Fn )
叠加法的特征: 1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查; 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。
分析和讨论
q
在下列不同的支承方 式中,哪一种刚度最高?
q
q
分析和讨论
q
梁由混凝土材料制成,如果横截面从左图改为右图,能 够改善强度吗?能够改善刚度吗?
梁的材料由普通钢改为优质钢,能够改善强度吗? 梁的材料由普通钢改为优质钢,能够改善刚度吗?
材料力学:第七章 应力、应变状态分析(上)

s
N1
s3
ON 2
t
tan 300
t
cos 300
11.6 Mpa
A
由于ACN1=1200,所以,s1的主平面法
线与A面的夹角为a0= 600。于是,A面的 法线逆时针旋转600可得到s1的主平面法
t
线,从而确定s1的主平面的位置。确定 s1的主平面的位置后,可确定s3的主平
s3
t
面的位置,而s2的主平面为单元体的前
平面应力状态分析的图解法
主应力及最大、最小切应力
– 应力圆与s 轴的两个交点N1,
N2
N2的横坐标,对应于单元的主
应力s1,s2。弧DN1所对应的圆
N1
心角2a0,就是x面的外法线与
s1所在的主平面的外法线的夹
角的两倍
显然
ON1 ON 2
sx
s
2
y
s x
s y
2
2
t xy 2
s s
max min
tan
2a 0
s
2t xy x s
y
平面应力状态分析的图解法
– 应力圆的垂直半径CG1和CG2分
别等于最大、最小切应力,即
G1
CG1 CG2
s
x
s
2
y
2
t
2 xy
s max
s min
2
t t
max min
N2 N1
G2
在应力圆上,由N1到G1和G2的 圆心角分别为900,因此,主 平面法线与剪应力极值所在平 面的法线的夹角为450。
大的一个靠得近些(夹角<45。)
平面应力状态分析的图解法
前面导出了平面应力状态 的解析计算公式
材料力学应力状态分析强度理论

7-3 二向应力状态分析——图解法
解:(一)使用解析法求解
7-3 二向应力状态分析——图解法
使用图解法求解 作应力圆,从应力圆上可量出:
7-4 三向应力状态
三个主应力都不为零的应力状态
7-4 三向应力状态
已知:斜截面法向的方向余弦为
任意斜截面的应力
§7-4 三向应力状态
由三向应力圆可以看出:
屈服条件
强度条件
3. 最大切应力理论(第三强度理论)
低碳钢拉伸
低碳钢扭转
§7-8 四种常见强度理论及强度条件
实验表明:此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到 较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生 塑性变形或断裂的事实。 局限性: 2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象, 1、未考虑 的影响,试验证实最大影响达15%。 3. 最大切应力理论(第三强度理论) §7-8 四种常见强度理论及强度条件
7—1 应力状态的概念
01
02
04
平面(二向)应力状态:一个主应力为零
单向应力状态:两个主应力为零
空间(三向)应力状态:三个主应力均不为零
§7—2 二向应力状态分析——解析法
x
y
α
1.斜截面上的应力
dA
α
n
t
§7—2 二向应力状态分析——解析法
列平衡方程 dA α n t
§7—2 二向应力状态分析——解析法
例题1:一点处的平面应力状态如图所示。
已知
§7—2 二向应力状态分析——解析法
解: (1) 斜面上的应力
§7—2 二向应力状态分析——解析法
(2)主应力、主平面
§7—2 二向应力状态分析——解析法
材料力学7-第七章应力状态分析强度理论汇总

第七章 应力状态分析 强度理论§ 7.1 应力状态概述、工程实例1. 压缩破坏2. 弯曲拉伸破坏3. 弯曲剪切破坏4. 铸铁扭转破坏5. 低碳钢扭转破坏、应力状态的概念1. 点的应力状态过一点所作各斜截面上的应力情况,即过一点所有方位面上的应力集合。
2. 一点应力状态的描述 以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体 (单元体)为研究对象,单元体三对互相垂直的面上 的应力可描述一点应力状态。
3. 求一点应力状态(1)单元体三对面的应力已知,单元体平衡 (2)单元体任意部分平衡(3)截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力, 即点在任意方位的应力。
三、应力状态的分类1. 单元体:微小正六面体2. 主平面和主应力: 主平面:无切应力的平面 主应力:作用在主平面上的正应力3. 三种应力状态单项应力状态:三个主应力只有一个不等于零,如 A 、E 点 二向应力状态:三个主应力中有两个不等于零,如 B 、D 点 三向应力状态:三个主应力都不等于零斜向主 拉应力垂直裂缝 斜裂缝四、应力状态分析的方法1. 解析法2. 图解法7.2 应力状态分析的解析法、解析法q图示单元体,已知应力分量x y 、xy 和yx 。
y y(一)任意截面上的正应力和切应力:利用截面法,考虑楔体 bef 部分的平衡。
设 ef 面的面积为 dA , F n 0 dA ( xy dA cos )sin ( x dA cos )cos ( yx dA sin )cos ( y dAsin )sin 0 F t 0dA ( xy dA cos )cos ( x dAcos )sin ( y dA sin )cos ( yx dAsin )sin 0根据切应力互等定理: xy yx三角函数关系:2 1 cos2 2 1 cos2cos , sin, sin2 2sin cos22解得:x y x ycos2 xy sin2 (7-1) 2 2xyxysin 2 xy cos2(7-2)二)主应力即主平面位置并令其等于零可确定正应力的极值和所在平面的位置。
材料力学(赵振伟)弯曲应力

切应力 最大切应力
FSS
bI z
max
k
FS A
正应力引起的破坏
脆性材料
断裂(fracture)
塑性材料
塑性铰(plastic hinge)
切应力引起的破坏
一般max发生在FSmax所在截面的中性轴处。不计挤压,
则max所在点处于纯剪切应力状态。
q E mG C
mH D l/2
q= 3.6kN/m A L= 3m Fs ql/ 2
M
例、矩形截面 (bh=0.12m0.18m)
木梁如图,[]=7 M Pa,[]=0. 9 M Pa,
B
试求最大正应力和最大切应力之比,
并校核梁的强度。
x -ql/ 2
ql2/ 8
解:、画内力图求危险面内力
qL 3600 3 Fsmax 2 2 5400(N )
16FS 3πd 2
max
4 FS 3A
3. 常用截面最大切应力公式
最大切应力一般出现在中性轴上。
FSS
bI z
max
k
FS A
k = 3/2
k = 4/3
k=2
k=1
6.3 梁的强度及破坏
6.3.1 梁的强度校核
正应力
My
I
最大正应力
max
M max W
N1
dA
A
M Iz
ydA
A
M Iz
S
前面正应力合力
N2
(M
dM Iz
)
材料力学:第八章-应力应变状态分析

正负符号规定:
切应力 t - 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a - 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等,同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
材料力学(赵振伟)弯曲应力

M
Izb
材料在横力弯曲时的许用切应力
ql/2 ql2/8 ql/2
切应力引起的破坏
q= 3.6kN/m A L= 3m Fs ql/ 2
M
例、矩形截面 (bh=0.12m0.18m)
木梁如图,[]=7 M Pa,[]=0. 9 M Pa,
B
试求最大正应力和最大切应力之比,
并校核梁的强度。
N2
(M
dM Iz
)
S
下面切应力合力 F bdx
平衡方程
N1 F N2
M S b dx M dM S
Iz
Iz
S dM
bI z dx
重要公式
FS S
b Iz
h 2–y
重要公式
FS S
b Iz
hy
(h 2 + y ) 2
b
S b h y 1 h y 1 b h2 y2 2 22 2 4
(2)根据材料性质考虑截面
塑性材料: 宜采用中性轴是对称轴的截面
脆性材料: 宜采用中性轴偏于受拉一侧的截面
q
合理的梁截面,应使
yc yt
t max
[ t ]
yt
c max
[ c ]
yc
应力分布
(3)等强度梁的概念
max
M max ( x) Wz (x)
[ ]
Wz
(
x)
M max
[
( ]
x)
由此即可确定截面的尺寸。
矩形横截面上的弯曲切应力是 如何分布的?
假定
方向: 矩形横截面中弯曲切应力方 向与剪力方向相同。
大小: 高宽比较大的矩形截面中的 弯曲切应力沿宽度均匀分布。
材料力学(机械工业出版社)知识小结:第七章 应力状态与应变状态分析

第七章应力状态与应变状态分析7–1应力状态的概念一、一点的应力状态:过受力构件内一点有无数的截面,这一点的各个截面上应力情况的集合,称为这点的应力状态二、为什么要研究应力状态?三、怎样研究应力状态单元体:单元体——构件内的点的代表物,是包围被研究点的无限小的几何体,常用的是正六面体。
单元体的性质——a 、每个平面上,应力均布; b 、平行面上,应力相等。
四、普遍状态下的应力表示(图略6)五、剪应力互等定理过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。
yx xy ττ=六、原始单元体(已知单元体):七、主单元体、主平面、主应力1、主单元体:各侧面上剪应力均为零的单元体。
2、主平面:剪应力为零的截面。
3、主应力:主平面上的正应力。
4、主应力排列规定:按代数值大小,321σσσ≥≥5、三向应力状态:三个主应力都不为零的应力状态。
6、二向应力状态:一个主应力为零的应力状态。
7、单向应力状态:一个主应力不为零的应力状态。
7–2平面应力状态分析——解析法一、任意斜截面上的应力规定:1、σα截面外法线同向为正;2、t a 绕研究对象顺时针转为正;3、a 逆时针为正。
ατασσσσσα2sin 2cos 22xy y x y x --++= ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=二、极值应力yx xyσστα--=22tg 0 和两个极值:)、(20101παα+⎪⎩⎪⎨⎧+-±+=22minmax )2(2xy y x y x τσσσσσσ⎪⎩⎪⎨⎧+-±=22minmax )2(xy y x τσσττ7–3平面应力状态分析——图解法一、应力圆⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--++=ατασστατασσσσσαα2cos 2sin 22sin 2cos 22xy y x xy y x y x 对上述方程消去参数(2α),得:222222xy y x y x τσστσσσαα+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,此方程曲线为圆—应力圆 二、应力圆的画法1、建立应力坐标系,如下图所示,(注意选好比例尺)2、在坐标系内画出点A (σx ,τxy )和B (σy ,τyx )3、AB 与σa 轴的交点C 便是圆心4、以C 为圆心,以AC 为半径画圆——应力圆三、单元体与应力圆的对应关系1、α面上的应力(σα,τα)→应力圆上一点(σα,τα)2、α面的法线→应力圆的半径3、两面夹角α→两半径夹角2α;且转向一致。
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yx
H
xy
x
x
D’
(y ,yx)
H ( a , a )
2 D (x ,xy)
c
x y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致; 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
x
B
A
x'45ºx E
y
D y'
x
b
d
2×45º
o
c
a
2×45º
e
D
1=
B
3=
E
a (0, )
1= B
(50)2
80.7(MPa) 60.7(MPa)
1 80.7 (MPa), 2 0, 3 60.7 (MPa)
主平面位置: y
1
tg 2 0
2 xy x y
40 50
0
x x x
3
60
2(50) 1 40 60
0 67.50
§8 -3 平面应力的应力状态分析 — 图解法
哪一个面上? 哪一点?
指明
哪一点? 哪个方向面?
过一点不同方位截面上应力情况,称为这一点的应力 状态(State of the Stresses of a Given Point)。
研究应力状态的目的:找出一点处沿不同方向应力的变化规律,确定出最 大应力,从而全面考虑构件破坏的原因,建立适当 的强度条件。
2)主应力、主平面(单位:MPa)。
40
解:1、按比例画此单元体对应的应力圆
0 20
τ
80 60
D’
A2
2、量出所求的物理量
300 OF ; 300 EF.
1 OA1; 2 0; 3 OA2.
0
DCA1 2
.
60 OC
E ( 30 , 30 )
A1 σ 2 0 F
D
§8 -4
空间应力的应力状态分析
y
F 80 MPa, A
x
?,
z 0.
x 0, y ?, z ? .
第八章 应力状态分析 强度理论
§8-1 应力状态的概念 §8-2 平面应力状态分析——解析法 §8-3 平面应力状态分析——图解法(应力圆) §8-4 空间应力的应力状态分析——一点的最大应力 §8-5 广义胡克定律 §8-6 强度理论概念
§8-1 应力状态的概念
1、问题的提出
问题1:同一点处不同方位截面上的应力不相同;
50
y
2)求y—z面内的最大、最小正应力。
max m in
y
z
2
(
y
2
z
)2
2 yz
0 30 (0 30)2 (40)2 57.7
z
2
2
27.7
3)主应力
1 57.7; 2 50; 3 27.7
4)最大切应力
max
1
2
3
57.7 (27.7) 2
42.7 MPa
B A 40 C 50 30
一、应力圆:
y
x x
y
2
y
2
x
2
sin 2
y cos 2 xy cos 2
xy
sin
2
y x
对上述方程消参数(2),得:
o x
y
x x
y
(
x
y )2
2
2
(
x
y
2
)2
2xy
这个方程恰好表示一个圆,这个圆称为应力圆
圆心:
(
x
y
,0)
2
半径:
R
(
x
2
y
)2
2 xy
应力圆:
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态, 可对一个包围该点的微小正 六面体——单元体进行分析
各边边长 dx , dy , dz
在单元体各面上标上应力—— 应力单元体
z
zx zy
xz yz
x
xy
yx
y
取单元体示例一
FP
S 截面
l/2
l/2
5 FP
S截面
5
42
3
Mz
FPl 4
4 3
2
2
1
3
1 E
3
( 1
2)
2 +
——(广义虎克定律)
1
1 3 3
2 3
1 2
三、、广义胡克定律的一般形式:
z
x
1 E
[ x
(
y
z )]
x
zx zy
xz yz
xy
yx
y
y
1 E
[
y
(
z
x
)]
z
1 E
[ z
( x
y )]
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
主应力与主应变方向是否一致?
2
xy2
——xy 面内的最大切应力
tan 20 tan 21 1
(1 0 450 )
将 max与 max, min画在原单元体上。
tan 20
2 xy x y
——主平面的位置
tan
21
x 2 xy
y
——最大切应力 所在的位置
1 0 450
y
min
(0 ; (1 ;
0 0 90 0 ) 1 1 900 )
x
x
y
2
sin
2
xy
cos 2
a y
c
y t
x
符号规定:1)“”正负号同“”;
2) 正负号同“ ;
3) “a为斜面的外法线与 x 轴正向的夹角,逆时针为正,顺时针
为负。注意:用公式计算时代入相应的正负号。
讨论:
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
(1)
x
y
2
sin 2
xy cos2
x
o
x x x
-- 逆时针转为正。
y
y
y
x b
a
c x x
y
b x
x
a y
c
y t
n 单元体各面面积
x bc : dA
ab: dAcos ac : dAsin
设:斜截面面积为dA,由分离体平衡得:
Fn 0 ;
dA ( xdAcos ) cos ( xdAcos )sin
( ydAsin )sin ( ydAsin ) cos 0
—
一点的最大应力
o 3
y
y
xz
1
与σ3平行的斜截面上的应力可在σ1、σ2 应力圆的圆周上找到对应的点。
与σ2平行的斜截面上的应力可在σ1、σ3 应力圆的圆周上找到对应的点。 与σ1平行的斜截面上的应力可在σ2、σ3 应力圆的圆周上找到对应的点。
max
o 3
1
图a
结论 ——
图b
1).弹性理论证明,图a单元体内任意截面上的应力都对
(0 ; 0 0 900 )
max
m in
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 xy
——主应力的大小
3)、 切应力 的极值及所在截面
由
x
y
2
sin 2
xy cos 2 ,
令 d
0
d 1
tan
21
x 2 xy
y
(1 ; 1 1 900 )
——最大切应力 所在的位置
max
m in
(
x
y )2
单位:MPa
10
1 10;
30 2 0;
3 30;
(2)、应力状态的分类
a、单向应力状态:只有一个主应力不等于零,另两个主应力 都等于零的应力状态。
b、二向应力状态:有两个主应力不等于零 ,另一个主应力 等于零的应力状态。
c、三向应力状态:三向主应力都不等于零的应力状态。 平面应力状态:单向应力状态和二向应力状态的总称。 空间应力状态:三向应力状态 简单应力状态:单向应力状态。 复杂应力状态:二向应力状态和三向应力状态的总称。 纯剪切应力状态:单元体上只存在剪应力无正应力。
应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。
2).整个单元体内的最大切应力为: 13
1
3
2
max
3):整个单元体内的最大切应力所在的平面:
y
2
z
3
x
2
1 1
2
13
13
1 3
2
max
(1, 3, 13 ) 2
3
2
23
23
2
3
2
,
12
1
2
2
1
1 2 3,
3
max
1
2
3
例:求图示单元体的主应力和最大切应力。(M P a)
0.6
p 15.48
(10,0)
f
o c 2o
60
b(60,30)
d (9.02,58.3)
R (60 (40))2 ( 30 30)2 58.31MPa
2
2
主应力单元体:
3
o
1
1 68.3MPa, 2 0,3 48.3MPa
例:求 1)图示单元体α=300 斜截面上的应力
max x
min
max min