材料力学(赵振伟)应力状态分析
材料力学(赵振伟)梁的弯曲变形2
3. 应用叠加原理的若干情况 1 ) 荷载的分解或重组
q m
q
L/2 L/2
L
F
q
q
m L/2 L/2
F
例
q0
EI
A 求图示自由端的挠度。
L2
L2
q0
L
w1
q0
w3
B
w2
L2
L2
w1
q0 L4 8EI
w2
q0 L 24
8EI
q0 L4 128EI
w3
B
L 2
q0 L 23
6EI
L 2
q0 L4 96EI
wA
w1
w2
w3
41q0 L4 384EI
2) 逐段刚化法
依据: 若结构可分为若干部分,且各部分在荷载作用下的 变形不是相互独立的,那么,结构中 A 点的位移是各个部 分在这一荷载作用下的变形在 A 点所引起的位移的叠加。
A EI a
变形刚体
F
F
Fa 2
B
C
a/2
wwww1122
B (F1, F2,, Fn ) B1(F1) B2 (F2 ) Bn(Fn )
yB (F1, F2,, Fn ) yB1(F1) yB2 (F2 ) yBn(Fn )
叠加法的特征: 1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查; 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。
分析和讨论
q
在下列不同的支承方 式中,哪一种刚度最高?
q
q
分析和讨论
q
梁由混凝土材料制成,如果横截面从左图改为右图,能 够改善强度吗?能够改善刚度吗?
梁的材料由普通钢改为优质钢,能够改善强度吗? 梁的材料由普通钢改为优质钢,能够改善刚度吗?
材料力学:第七章 应力、应变状态分析(上)
s
N1
s3
ON 2
t
tan 300
t
cos 300
11.6 Mpa
A
由于ACN1=1200,所以,s1的主平面法
线与A面的夹角为a0= 600。于是,A面的 法线逆时针旋转600可得到s1的主平面法
t
线,从而确定s1的主平面的位置。确定 s1的主平面的位置后,可确定s3的主平
s3
t
面的位置,而s2的主平面为单元体的前
平面应力状态分析的图解法
主应力及最大、最小切应力
– 应力圆与s 轴的两个交点N1,
N2
N2的横坐标,对应于单元的主
应力s1,s2。弧DN1所对应的圆
N1
心角2a0,就是x面的外法线与
s1所在的主平面的外法线的夹
角的两倍
显然
ON1 ON 2
sx
s
2
y
s x
s y
2
2
t xy 2
s s
max min
tan
2a 0
s
2t xy x s
y
平面应力状态分析的图解法
– 应力圆的垂直半径CG1和CG2分
别等于最大、最小切应力,即
G1
CG1 CG2
s
x
s
2
y
2
t
2 xy
s max
s min
2
t t
max min
N2 N1
G2
在应力圆上,由N1到G1和G2的 圆心角分别为900,因此,主 平面法线与剪应力极值所在平 面的法线的夹角为450。
大的一个靠得近些(夹角<45。)
平面应力状态分析的图解法
前面导出了平面应力状态 的解析计算公式
材料力学应力状态分析强度理论
7-3 二向应力状态分析——图解法
解:(一)使用解析法求解
7-3 二向应力状态分析——图解法
使用图解法求解 作应力圆,从应力圆上可量出:
7-4 三向应力状态
三个主应力都不为零的应力状态
7-4 三向应力状态
已知:斜截面法向的方向余弦为
任意斜截面的应力
§7-4 三向应力状态
由三向应力圆可以看出:
屈服条件
强度条件
3. 最大切应力理论(第三强度理论)
低碳钢拉伸
低碳钢扭转
§7-8 四种常见强度理论及强度条件
实验表明:此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到 较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生 塑性变形或断裂的事实。 局限性: 2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象, 1、未考虑 的影响,试验证实最大影响达15%。 3. 最大切应力理论(第三强度理论) §7-8 四种常见强度理论及强度条件
7—1 应力状态的概念
01
02
04
平面(二向)应力状态:一个主应力为零
单向应力状态:两个主应力为零
空间(三向)应力状态:三个主应力均不为零
§7—2 二向应力状态分析——解析法
x
y
α
1.斜截面上的应力
dA
α
n
t
§7—2 二向应力状态分析——解析法
列平衡方程 dA α n t
§7—2 二向应力状态分析——解析法
例题1:一点处的平面应力状态如图所示。
已知
§7—2 二向应力状态分析——解析法
解: (1) 斜面上的应力
§7—2 二向应力状态分析——解析法
(2)主应力、主平面
§7—2 二向应力状态分析——解析法
材料力学7-第七章应力状态分析强度理论汇总
第七章 应力状态分析 强度理论§ 7.1 应力状态概述、工程实例1. 压缩破坏2. 弯曲拉伸破坏3. 弯曲剪切破坏4. 铸铁扭转破坏5. 低碳钢扭转破坏、应力状态的概念1. 点的应力状态过一点所作各斜截面上的应力情况,即过一点所有方位面上的应力集合。
2. 一点应力状态的描述 以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体 (单元体)为研究对象,单元体三对互相垂直的面上 的应力可描述一点应力状态。
3. 求一点应力状态(1)单元体三对面的应力已知,单元体平衡 (2)单元体任意部分平衡(3)截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力, 即点在任意方位的应力。
三、应力状态的分类1. 单元体:微小正六面体2. 主平面和主应力: 主平面:无切应力的平面 主应力:作用在主平面上的正应力3. 三种应力状态单项应力状态:三个主应力只有一个不等于零,如 A 、E 点 二向应力状态:三个主应力中有两个不等于零,如 B 、D 点 三向应力状态:三个主应力都不等于零斜向主 拉应力垂直裂缝 斜裂缝四、应力状态分析的方法1. 解析法2. 图解法7.2 应力状态分析的解析法、解析法q图示单元体,已知应力分量x y 、xy 和yx 。
y y(一)任意截面上的正应力和切应力:利用截面法,考虑楔体 bef 部分的平衡。
设 ef 面的面积为 dA , F n 0 dA ( xy dA cos )sin ( x dA cos )cos ( yx dA sin )cos ( y dAsin )sin 0 F t 0dA ( xy dA cos )cos ( x dAcos )sin ( y dA sin )cos ( yx dAsin )sin 0根据切应力互等定理: xy yx三角函数关系:2 1 cos2 2 1 cos2cos , sin, sin2 2sin cos22解得:x y x ycos2 xy sin2 (7-1) 2 2xyxysin 2 xy cos2(7-2)二)主应力即主平面位置并令其等于零可确定正应力的极值和所在平面的位置。
材料力学(赵振伟)弯曲应力
切应力 最大切应力
FSS
bI z
max
k
FS A
正应力引起的破坏
脆性材料
断裂(fracture)
塑性材料
塑性铰(plastic hinge)
切应力引起的破坏
一般max发生在FSmax所在截面的中性轴处。不计挤压,
则max所在点处于纯剪切应力状态。
q E mG C
mH D l/2
q= 3.6kN/m A L= 3m Fs ql/ 2
M
例、矩形截面 (bh=0.12m0.18m)
木梁如图,[]=7 M Pa,[]=0. 9 M Pa,
B
试求最大正应力和最大切应力之比,
并校核梁的强度。
x -ql/ 2
ql2/ 8
解:、画内力图求危险面内力
qL 3600 3 Fsmax 2 2 5400(N )
16FS 3πd 2
max
4 FS 3A
3. 常用截面最大切应力公式
最大切应力一般出现在中性轴上。
FSS
bI z
max
k
FS A
k = 3/2
k = 4/3
k=2
k=1
6.3 梁的强度及破坏
6.3.1 梁的强度校核
正应力
My
I
最大正应力
max
M max W
N1
dA
A
M Iz
ydA
A
M Iz
S
前面正应力合力
N2
(M
dM Iz
)
材料力学:第八章-应力应变状态分析
正负符号规定:
切应力 t - 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a - 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等,同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
材料力学(赵振伟)弯曲应力
M
Izb
材料在横力弯曲时的许用切应力
ql/2 ql2/8 ql/2
切应力引起的破坏
q= 3.6kN/m A L= 3m Fs ql/ 2
M
例、矩形截面 (bh=0.12m0.18m)
木梁如图,[]=7 M Pa,[]=0. 9 M Pa,
B
试求最大正应力和最大切应力之比,
并校核梁的强度。
N2
(M
dM Iz
)
S
下面切应力合力 F bdx
平衡方程
N1 F N2
M S b dx M dM S
Iz
Iz
S dM
bI z dx
重要公式
FS S
b Iz
h 2–y
重要公式
FS S
b Iz
hy
(h 2 + y ) 2
b
S b h y 1 h y 1 b h2 y2 2 22 2 4
(2)根据材料性质考虑截面
塑性材料: 宜采用中性轴是对称轴的截面
脆性材料: 宜采用中性轴偏于受拉一侧的截面
q
合理的梁截面,应使
yc yt
t max
[ t ]
yt
c max
[ c ]
yc
应力分布
(3)等强度梁的概念
max
M max ( x) Wz (x)
[ ]
Wz
(
x)
M max
[
( ]
x)
由此即可确定截面的尺寸。
矩形横截面上的弯曲切应力是 如何分布的?
假定
方向: 矩形横截面中弯曲切应力方 向与剪力方向相同。
大小: 高宽比较大的矩形截面中的 弯曲切应力沿宽度均匀分布。
材料力学(机械工业出版社)知识小结:第七章 应力状态与应变状态分析
第七章应力状态与应变状态分析7–1应力状态的概念一、一点的应力状态:过受力构件内一点有无数的截面,这一点的各个截面上应力情况的集合,称为这点的应力状态二、为什么要研究应力状态?三、怎样研究应力状态单元体:单元体——构件内的点的代表物,是包围被研究点的无限小的几何体,常用的是正六面体。
单元体的性质——a 、每个平面上,应力均布; b 、平行面上,应力相等。
四、普遍状态下的应力表示(图略6)五、剪应力互等定理过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。
yx xy ττ=六、原始单元体(已知单元体):七、主单元体、主平面、主应力1、主单元体:各侧面上剪应力均为零的单元体。
2、主平面:剪应力为零的截面。
3、主应力:主平面上的正应力。
4、主应力排列规定:按代数值大小,321σσσ≥≥5、三向应力状态:三个主应力都不为零的应力状态。
6、二向应力状态:一个主应力为零的应力状态。
7、单向应力状态:一个主应力不为零的应力状态。
7–2平面应力状态分析——解析法一、任意斜截面上的应力规定:1、σα截面外法线同向为正;2、t a 绕研究对象顺时针转为正;3、a 逆时针为正。
ατασσσσσα2sin 2cos 22xy y x y x --++= ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=二、极值应力yx xyσστα--=22tg 0 和两个极值:)、(20101παα+⎪⎩⎪⎨⎧+-±+=22minmax )2(2xy y x y x τσσσσσσ⎪⎩⎪⎨⎧+-±=22minmax )2(xy y x τσσττ7–3平面应力状态分析——图解法一、应力圆⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--++=ατασστατασσσσσαα2cos 2sin 22sin 2cos 22xy y x xy y x y x 对上述方程消去参数(2α),得:222222xy y x y x τσστσσσαα+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,此方程曲线为圆—应力圆 二、应力圆的画法1、建立应力坐标系,如下图所示,(注意选好比例尺)2、在坐标系内画出点A (σx ,τxy )和B (σy ,τyx )3、AB 与σa 轴的交点C 便是圆心4、以C 为圆心,以AC 为半径画圆——应力圆三、单元体与应力圆的对应关系1、α面上的应力(σα,τα)→应力圆上一点(σα,τα)2、α面的法线→应力圆的半径3、两面夹角α→两半径夹角2α;且转向一致。
六、 材料力学应力状态分析(1)
z
一点处应力状态的描述及其分类
b、平面应力状态(二向应力状态)
y
σy τxy τyx
x
y
在平面单元体上两个垂直面上都
有应力存在;
τyx
σy σx τxy
x
σx
c、空间应力状态(三向应力状态) 在空间单元体的六个平面上都有 应力存在; 平面应力状态是空间应力状态的 特殊情况;单向应力状态又是平 面应力状态的特殊情况, 工程中常见平面应力状态,也是 我们课程研究的重点。
FP l
FQ
+ Mz -
FP x x
FPl
σmax
A
x
τ σ
A
τ σ
一点处应力状态的描述及其分类
2、应力状态有三种:
y y σx σx x
z
a、单向应力状态(如图所示)
简单拉伸(压缩)的单元体;
σx
σx x
圆轴扭转(纯切应力)的单元 体;
y τ x y τ x
可以将空间单元体简化为平面
图形的单元体表示;
A x’
τxy
yˊ[σ0(1-cos2θ)/2; σ0(sin2θ)/2]
σ0(1+cos2θ)/2
c
2θ
σ0 σ
xˊ[σ0(1+cos2θ)/2; -σo(sin2θ)/2]
σ0(1-cos2θ)/2
τ σ0(sin2θ)/2 σ0(3+cos2θ)/2
x’
τmax
C=σ0
0
2
(1 cos 2q ) 2 sin 2 2q
2、将两单元体同方向上的应力 相加得到新的应力状态单元体。 3、用应力圆分析新单元体应力 状态,圆心c =σ 0;
材料力学课件:第7章 应力状态分析
显然,用主应力表示的应力状态要比用一般 应力分量表示的应力状态简单。用主应力表 示一点处的应力状态可以说明某些应力状态 表面上是不同的,但实质是相同的,即其主 应力和主方向都相同。
纯剪切状态的最大应力
TSINGHUA UNIVERSITY
TSINGHUA UNIVERSITY
TSINGHUA UNIVERSITY
平面应力状态有两个不等于零主应力,这两个 不等于零的主应力以及上述平面应力状态固有的等于 零的主应力,分别用表示 :
根据主应力的大小与方向可以确定材料何时发生 失效或破坏,确定失效或破坏的形式。因此,可以说 主应力是反映应力状态本质内涵的特征量。
TSINGHUA UNIVERSITY
根据上述分析结果,原来用x、y、xy 和yx表示的应力状态,现在可以用主应力表
( x y ) sin 20 2 xy cos 20 0
2
(
σx
σy 2
) s
i
n
2α0
τx
yc
o
s
2α0
2τα0
0
即α=α0 时,切应力为零
y
2 xy x
2 0
tan
TSINGHUA UNIVERSITY
TSINGHUA UNIVERSITY
TSINGHUA UNIVERSITY
1 2
(
x
y)
1 2
( x
y ) cos 2
xy
sin
2
1 2
( x
y ) sin
2
xy
cos 2
法二: 解析法
1 2
(
x
y)
1 2
(
x
材料力学《第七章》应力状态分析
上海交通大学
受力: sadA、 tadA 受力: sxdAcosa、 txydAcosa
受力: sydAsina、 tyxdAsina
n
sx
txy
a
sa a
a
x
ta
tyx
e
切线方向上: Σ Fτ 0
σx σy σx σy σα cos2α τ xy sin2α 2 2
b
sy
τα d A ( σ x d A cos α )sin α ( τ xy d A cos α )cos α ( σ y d A sin α )cos α ( τ yx d A sin α )sin α 0
s1
一个主应力为零,其他二个主应力不为零。
3. 三向应力状态(空间应力状态): 三个主应力均不为零。
上海交通大学
一般要找出主应力后才能确定应力状态。
四、应力状态分析步骤
s2
1. 确定构件危险截面危险点;
2. 取危险点单元体;
s3
3. 计算单元体各面应力;
4. 截面法取部分单元体; 5. 由平衡条件确定单元体斜截面上的应力。 应力状态分析方法: 解析法、图解法。
上海交通大学
三、应力状态的分类 定义:单元体 上应力为零的面称为零应力面; 单元体上只有 s 而无 t 的面称为主平面。 主平面上的正应力 s 称为主应力。
s2
s3
单元体在某一特殊方向上,三个互相垂直的截面上只有 s,而 无 t ,即为单元体的三个主平面。 用 s1 ≥ s2 ≥ s3 表示三个主应力,此单元体称为主单元体。 1. 单向应力状态: 一个主应力不为零,其他二个主应力为零。如:轴向拉伸。 2. 二向应力状态(平面应力状态):
知识资料材料力学知识资料弯曲变形应力状态分析和强度理论(一)(新版)
需要课件请或弯曲变形粱的挠度与转角(一)挠曲线在外力作用下,梁的轴线由直线变为光洁的弹性曲线,梁弯曲后的轴线称为挠曲线。
在平面弯曲下,挠曲线为梁形心主惯性平面内的一条平面曲线v=f(x)(见图5-8-1)。
(二)挠度与转角梁弯曲变形后,梁的每一个横截面都要产生位移,它包括三部分:1. 挠度梁横截面形心在垂直于轴线方向的线位移,称为挠度,记作v。
沿梁轴各横截面挠度的变化规律,即为梁的挠曲线方程。
v=f(x)2.转角横截面相对本来位置绕中性轴所转过的角度,称为转角,记作θ。
小变形情况下,3.此外,横截面形心沿梁轴线方向的位移,小变形条件下可忽略不计。
(三)挠曲线近似微分方程在线弹性范围、小变形条件下,挠曲线近似微分方程为上式是在图5—8—l所示坐标系下建立的。
挠度w向下为正,转角θ顺时针转为正。
积分法计算梁的位移按照挠曲线近似微分方程(5—8—1),积分两次,即得梁的转角方程和挠度方程,即由第1 页/共6 页式中积分常数C、D,可由梁的边界条件来决定。
当梁的弯矩方程需分段列出时,挠曲线微分方程也需分段建立,分段积分。
于是全梁的积分常数数目将为分段数目的两倍。
为了决定所有积分常数,除利用边界条件外,还需利用分段处挠曲线的延续条件(在分界点处左、右两段梁的转角和挠度均应相等)。
用叠加法求梁的位移(一)叠加原理几个荷载同时作用下梁的任一截面的挠度或转角等于各个荷载单独作用下同一截面挠度或转角的总和。
(二)叠加原理的适用条件叠加原理仅适用于线性函数。
要求挠度、转角为梁上荷载的线性函数,必须满意: 1.材料为线弹性材料;2.梁的变形为小变形;3.结构几何线性。
(三)叠加法的特征1.各荷载同时作用下挠度、转角等于单独作用下挠度、转角的总和,应该是几何和,同一方向的几何和即为代数和。
2.梁在容易荷载作用下的挠度、转角应为已知或可查手册。
3.叠加法相宜于求梁某一指定截面的挠度和转角。
[例 5—8—1] 用积分法求图5—8—3所示各梁的挠曲线方程时,试问应分为几段?将浮上几个积分常数? 并写出各梁的边界条件和延续条件。
材料力学第九章 应力状态分析
Dy
0,
35.7
连接Dx和Dy,其连线交σ轴于C点,以C
为圆心, CD为x 半径画出应力圆。
30
EC O
60
2.在应力圆上由CDx 顺时针转到60°确 定 D 点,量取
30
D
30 30
n
30MPa
Dx 63.7,35.7
OE 30o 17MPa, ED-30o 30o 46MPa
用比例尺量得的结果不够精确,
(9—1)
x
y
2
sin 2
x
cos 2
(9—2)
取 x , x y 0 可得
45
max
sin 2
(c)
45
min
max
cos 2
(d)
0
max
min
n
x
min
45
x
45
max
例9-1 图(a)中,d=100mm, F=500kN, Me=7kN.m,求圆杆表面
ydAsin sin ydAsin cos 0
Ft 0 dAxdAcos sin xdAcos cos
ydAsin cos ydAsin sin 0
(c)
注意到 x 和 y 的大小相等,其指向已画在图中,以 x 代替 y ,简化后得到
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
45
x
sin 2
(1)
cos 2
(2)
由(1)式和(2)式得:
45
t,max
45o t,max ; 45o c,max 45o 45o 0
主平面:切应力等于零的平面; 主应力:主平面上的正应力。
材料力学:第七章 应力、应变状态分析(下)
❖ 解析法和几何法(图解法)
平面应变状态的应变分析
解析方法
实际测量时,采用由三个电阻 丝应变片组成的直角应变花,测量
三个方向的线应变e0、e45和e90。
由于ex=e0, ey=e90。
从而由
e90 e45 450
900
e0
e
ex
ey
可以证明:总存在一个特 殊的微元体,这个微元体 的每个侧面上只有正应力, 而没有切应力,此时的三 个正应力称为主应力。
y sy
tyx
tyz tzy
txy
sx
tzx txz x
sz
z
一. 三向应力圆
step1:求主应力
y sy
tyx
tyz tzy
txy
sx
tzx txz
x
sz
z
三向应力状态
s s s s x t xy t xz
任意方位的应变分析
yC
B
设有微元体,其边长为dx
和dy,棱边OA、OC的正应变
dy
e切直x,应 角e变y和AxO切y定C应的义变改为变x位y已量于知,原,并点这规O里的定
使直角增大为正。
o
y C
dx A x B
下面分析微元段OB的线应变 dy ——( OB的伸长率) o dx A x
平面应变状态的应变分析
根据叠加原理,微元段OB的线 y
应变等于应变ex,ey和xy单独作用 C
时OB线应变的代数和,下面依次 dy
分析OB的线应变。
o
B
dx A x
1. 设微元体沿x方向的正应变
为 变e为x,则微元段OB的正应 y
材料力学第17讲 Chapter7-1第七章 应力状态(解析法)
201 78.790, 01 39.3450 02 39.3450 - 900 -50.6550
12
41MPa -61MPa
39
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作业: Page 250: 7-1(c,d);7-2 Page 251: 7-6
下次课讲应力圆
40
- xycsc20
02
01
2
将02也限制在[-900,900 ],取 01 0 :02 01 900 01 0 :02 01 - 900
xy 0时:
大于零的那个角(第一象限角) 对应第一主应力
32
=0面上的切应力:
0
x
- y
2
sin 20
xy
x -y
2
cos 20
sin 2
x
dA
dA - x (dAcos)sin
xy
y
- xy (dAcos) cos xy (dAsin)sin
x ' y (dAsin)cos 0
x sin cos - y sin cos xy (cos2 - sin2 )
19
最后,得到以下两个方程:
x cos2 y sin2 - xy sin 2 x sin cos - y sin cos xy (cos2 - sin2 ) 引入 2 sincos sin2
27
主应力与主平面(二)
0
x
y
2
- xycsc20
1 0 y y
x
2 0 x
x
tg20
-
2 xy x -
y
(2) 若 xy 0, x y ;
tan 20 0, 0 0, csc20 0
材料力学(赵振伟)梁的应力1
(2)纵向纤维假设:梁是由许多纵向纤维组成的,且各纵向纤维 之间无挤压。
凹入一侧纤维缩短
突出一侧纤维伸长
根据变形的连续性可知, 梁弯曲时从其凹入一侧的 纵向线缩短区到其凸出一 侧的纵向线伸长区,中间 必有一层纵向无长度改变
的过渡层--------称为中 性层 。
中间层与横截面 的交线
d
在弹性范围内, E E Ey ...... (2)
O
O1
A1
B1 x
y
应力的分布图:
E Ey
σmax
M
Z
σmax
y
中性轴的位置? 中性层的曲率1 ?
1
为梁弯曲变形后的曲率
M Z
y zAσ
(三)、静力方面:
由横截面上的弯矩和正应 x 力的关系→正应力的计算公
式。
y
(1)
120
C 截面弯矩
B
x
180
K
30
z MC 60kN m
FBY
y
IZ 5.832105 m4
FS 90kN
x
90kN
x
Cmax
M C ymax IZ
60 103 180 103
2 5.832 105
92.55106 Pa 92.55MPa
M ql2 / 8 67.5kN m
q=60kN/m
--中性轴
梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转
动了一个角度,等高度的一层纤维的变形完全相同。
4、线应变的变化规律:
ac
A1B1 AB A1B1 OO1
AB
OO1
( y)d d y
d
y
...... (1)
应力状态分析
应⼒状态分析第⼆章应⼒状态分析⼀. 内容介绍弹性⼒学的研究对象为三维弹性体,因此分析从微分单元体⼊⼿,本章的任务就是从静⼒学观点出发,讨论⼀点的应⼒状态,建⽴平衡微分⽅程和⾯⼒边界条件。
应⼒状态是本章讨论的⾸要问题。
由于应⼒⽮量与内⼒和作⽤截⾯⽅位均有关。
因此,⼀点各个截⾯的应⼒是不同的。
确定⼀点不同截⾯的应⼒变化规律称为应⼒状态分析。
⾸先是确定应⼒状态的描述⽅法,这包括应⼒⽮量定义,及其分解为主应⼒、切应⼒和应⼒分量;其次是任意截⾯的应⼒分量的确定—转轴公式;最后是⼀点的特殊应⼒确定,主应⼒和主平⾯、最⼤切应⼒和应⼒圆等。
应⼒状态分析表明应⼒分量为⼆阶对称张量。
本课程分析中使⽤张量符号描述物理量和基本⽅程,如果你没有学习过张量概念,请进⼊附录⼀,或者查阅参考资料。
本章的另⼀个任务是讨论弹性体内⼀点-微分单元体的平衡。
弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分⽅程和切应⼒互等定理;边界单元体的平衡条件为⾯⼒边界条件。
⼆. 重点1.应⼒状态的定义:应⼒⽮量;正应⼒与切应⼒;应⼒分量;2.平衡微分⽅程与切应⼒互等定理;3.⾯⼒边界条件;4.应⼒分量的转轴公式;5.应⼒状态特征⽅程和应⼒不变量;§2.5 ⾯⼒边界条件学习思路:在弹性体内部,应⼒分量必须与体⼒满⾜平衡微分⽅程;在弹性体的表⾯,应⼒分量必须与表⾯⼒满⾜⾯⼒边界条件,以维持弹性体表⾯的平衡。
⾯⼒边界条件的推导时,参考了应⼒⽮量与应⼒分量关系表达式。
只要注意到物体边界任意⼀点的微分四⾯体单元表⾯作⽤应⼒分量和⾯⼒之间的关系就可以得到。
⾯⼒边界条件描述弹性体表⾯的平衡,⽽平衡微分⽅程描述物体内部的平衡。
当然,对于弹性体,这仅是静⼒学可能的平衡,还不是弹性体实际存在的平衡。
⾯⼒边界条件确定的是弹性体表⾯外⼒与弹性体内部趋近于边界的应⼒分量的关系。
学习要点:1. ⾯⼒边界条件。
物体在外⼒作⽤下处于平衡状态,不仅整体,⽽且任意部分都是平衡的。
在弹性体内部,应⼒分量必须与体⼒满⾜平衡微分⽅程;在弹性体的表⾯,应⼒分量须与表⾯⼒满⾜⾯⼒边界条件,以满⾜弹性体表⾯的平衡。
材料力学(赵振伟)第二章 轴向拉压与压缩
§2-1 轴向拉伸和压缩的基本概念
一、工程实例: 活塞杆、厂房的立柱等。
2
3
4
受力简图: F
F
FN1
FN1
F
F
FN2
FN2
二、轴向拉压的概念:
(1)受力特点:杆两端各受一外力F,两个力的大小
相等,方向相反,作用线与杆轴线重合。
(2)变形特点:杆沿轴线方向伸长或缩短。
5
§2-2 内力 ·截面法 ·轴力及轴力图
[ ]
29.7o
[F ] bt[ ] 501014 9.28 kN cos2 cos2 29.7o
38
39
§2-4 拉压杆的变形·胡克定律
40
41
§2-4 轴向拉压杆的变形
一、概念 1、轴向变形:轴向尺寸的减小或增大。 2、横向变形:横向尺寸的减小或增大。
二、分析两种变形
(4)应力与应变的关系:(胡克定律的另一种表达方式)
L FN L FN E L
EA
A
L
E
44
2、横向变形:b d1 d
泊松效应
横向正应变: d
d
横向变形系数(泊松比):
三、小结:
变形——构件在外力作用下或温度影响下所引起的形状尺 寸的变化。
35
p cos cos2
F
p
s in
2
sin 2
2、符号规定
p
⑴α:斜截面外法线与x轴的夹角。
n
p
x 轴正向逆时针转到 n 轴“α”规定为正值;
x 轴正向顺时针转到 n 轴“α”规定为负值。
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yx
H
xy
x
x
D’
(y ,yx)
H ( a , a )
2 D (x ,xy)
c
x y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致; 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
x
B
A
x'45ºx E
y
D y'
x
b
d
2×45º
o
c
a
2×45º
e
D
1=
B
3=
E
a (0, )
1= B
(50)2
80.7(MPa) 60.7(MPa)
1 80.7 (MPa), 2 0, 3 60.7 (MPa)
主平面位置: y
1
tg 2 0
2 xy x y
40 50
0
x x x
3
60
2(50) 1 40 60
0 67.50
§8 -3 平面应力的应力状态分析 — 图解法
哪一个面上? 哪一点?
指明
哪一点? 哪个方向面?
过一点不同方位截面上应力情况,称为这一点的应力 状态(State of the Stresses of a Given Point)。
研究应力状态的目的:找出一点处沿不同方向应力的变化规律,确定出最 大应力,从而全面考虑构件破坏的原因,建立适当 的强度条件。
2)主应力、主平面(单位:MPa)。
40
解:1、按比例画此单元体对应的应力圆
0 20
τ
80 60
D’
A2
2、量出所求的物理量
300 OF ; 300 EF.
1 OA1; 2 0; 3 OA2.
0
DCA1 2
.
60 OC
E ( 30 , 30 )
A1 σ 2 0 F
D
§8 -4
空间应力的应力状态分析
y
F 80 MPa, A
x
?,
z 0.
x 0, y ?, z ? .
第八章 应力状态分析 强度理论
§8-1 应力状态的概念 §8-2 平面应力状态分析——解析法 §8-3 平面应力状态分析——图解法(应力圆) §8-4 空间应力的应力状态分析——一点的最大应力 §8-5 广义胡克定律 §8-6 强度理论概念
§8-1 应力状态的概念
1、问题的提出
问题1:同一点处不同方位截面上的应力不相同;
50
y
2)求y—z面内的最大、最小正应力。
max m in
y
z
2
(
y
2
z
)2
2 yz
0 30 (0 30)2 (40)2 57.7
z
2
2
27.7
3)主应力
1 57.7; 2 50; 3 27.7
4)最大切应力
max
1
2
3
57.7 (27.7) 2
42.7 MPa
B A 40 C 50 30
一、应力圆:
y
x x
y
2
y
2
x
2
sin 2
y cos 2 xy cos 2
xy
sin
2
y x
对上述方程消参数(2),得:
o x
y
x x
y
(
x
y )2
2
2
(
x
y
2
)2
2xy
这个方程恰好表示一个圆,这个圆称为应力圆
圆心:
(
x
y
,0)
2
半径:
R
(
x
2
y
)2
2 xy
应力圆:
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态, 可对一个包围该点的微小正 六面体——单元体进行分析
各边边长 dx , dy , dz
在单元体各面上标上应力—— 应力单元体
z
zx zy
xz yz
x
xy
yx
y
取单元体示例一
FP
S 截面
l/2
l/2
5 FP
S截面
5
42
3
Mz
FPl 4
4 3
2
2
1
3
1 E
3
( 1
2)
2 +
——(广义虎克定律)
1
1 3 3
2 3
1 2
三、、广义胡克定律的一般形式:
z
x
1 E
[ x
(
y
z )]
x
zx zy
xz yz
xy
yx
y
y
1 E
[
y
(
z
x
)]
z
1 E
[ z
( x
y )]
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
主应力与主应变方向是否一致?
2
xy2
——xy 面内的最大切应力
tan 20 tan 21 1
(1 0 450 )
将 max与 max, min画在原单元体上。
tan 20
2 xy x y
——主平面的位置
tan
21
x 2 xy
y
——最大切应力 所在的位置
1 0 450
y
min
(0 ; (1 ;
0 0 90 0 ) 1 1 900 )
x
x
y
2
sin
2
xy
cos 2
a y
c
y t
x
符号规定:1)“”正负号同“”;
2) 正负号同“ ;
3) “a为斜面的外法线与 x 轴正向的夹角,逆时针为正,顺时针
为负。注意:用公式计算时代入相应的正负号。
讨论:
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
(1)
x
y
2
sin 2
xy cos2
x
o
x x x
-- 逆时针转为正。
y
y
y
x b
a
c x x
y
b x
x
a y
c
y t
n 单元体各面面积
x bc : dA
ab: dAcos ac : dAsin
设:斜截面面积为dA,由分离体平衡得:
Fn 0 ;
dA ( xdAcos ) cos ( xdAcos )sin
( ydAsin )sin ( ydAsin ) cos 0
—
一点的最大应力
o 3
y
y
xz
1
与σ3平行的斜截面上的应力可在σ1、σ2 应力圆的圆周上找到对应的点。
与σ2平行的斜截面上的应力可在σ1、σ3 应力圆的圆周上找到对应的点。 与σ1平行的斜截面上的应力可在σ2、σ3 应力圆的圆周上找到对应的点。
max
o 3
1
图a
结论 ——
图b
1).弹性理论证明,图a单元体内任意截面上的应力都对
(0 ; 0 0 900 )
max
m in
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 xy
——主应力的大小
3)、 切应力 的极值及所在截面
由
x
y
2
sin 2
xy cos 2 ,
令 d
0
d 1
tan
21
x 2 xy
y
(1 ; 1 1 900 )
——最大切应力 所在的位置
max
m in
(
x
y )2
单位:MPa
10
1 10;
30 2 0;
3 30;
(2)、应力状态的分类
a、单向应力状态:只有一个主应力不等于零,另两个主应力 都等于零的应力状态。
b、二向应力状态:有两个主应力不等于零 ,另一个主应力 等于零的应力状态。
c、三向应力状态:三向主应力都不等于零的应力状态。 平面应力状态:单向应力状态和二向应力状态的总称。 空间应力状态:三向应力状态 简单应力状态:单向应力状态。 复杂应力状态:二向应力状态和三向应力状态的总称。 纯剪切应力状态:单元体上只存在剪应力无正应力。
应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。
2).整个单元体内的最大切应力为: 13
1
3
2
max
3):整个单元体内的最大切应力所在的平面:
y
2
z
3
x
2
1 1
2
13
13
1 3
2
max
(1, 3, 13 ) 2
3
2
23
23
2
3
2
,
12
1
2
2
1
1 2 3,
3
max
1
2
3
例:求图示单元体的主应力和最大切应力。(M P a)
0.6
p 15.48
(10,0)
f
o c 2o
60
b(60,30)
d (9.02,58.3)
R (60 (40))2 ( 30 30)2 58.31MPa
2
2
主应力单元体:
3
o
1
1 68.3MPa, 2 0,3 48.3MPa
例:求 1)图示单元体α=300 斜截面上的应力
max x
min
max min