2018年安徽师大附中自主招生数学试卷

2018年安徽师大附中自主招生数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题卷相应位置上）
1．（4分）的平方根是（）
A．4B．±4C．2D．±2
2．（4分）若＝x﹣1成立，则x满足（）
A．x≥0B．x≥1C．x≤1D．x＜1
3．（4分）已知m＝﹣1，则m2+2m的值是（）
A．2B．3C．4D．5
4．（4分）如图所示的四条直线a、b、c、d，直线a、b与水平线平行，以其中一条为x轴，取向右为正方向；直线c、d与水平线垂直，以其中一条为y轴，取向上为正方向．某同学在此坐标平面上画了二次函数y＝mx2+2mx+（m≠0）的图象如图，则下面结论正确的是（）
A．a为x轴，c为y轴B．a为x轴，d为y轴
C．b为x轴，c为y轴D．b为x轴，d为y轴
5．（4分）如图，已知AB为圆的直径，C为半圆上一点，D为半圆的中点，AH⊥CD，垂足为H，HM平分∠AHC，HM交AB于M．若AC＝3，BC＝1，则MH长为（）
A．1B．1.5C．0.5D．0.7
6．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠ADC＝3∠BAD，BD＝8，DC＝7．则AB的值为（）
A．15B．20C．2+7D．2+
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答．题．卷．相．应．位．置．上）
7．（4分）已知实数x、y满足，则x﹣y＝．
8．（4分）分解因式：x2+4xy+4y2+x+2y﹣2＝．
9．（4分）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（m，3），（3m﹣1，3），若线段AB 与直线y＝2x+1相交，则m的取值范围为．
10．（4分）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是cm．
11．（4分）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E 的直线翻折后，点C、D分别落在M、N处，且点M、N、B在同一直线上，折痕与边AD交于点F，NF与BE交于点G．设AB＝，那么△EFG的周长为．
12．（4分）如图，已知点A1，A2，…，A n均在直线y＝x﹣1上，点B1，B2，…，B n均在双曲线y＝﹣上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，
A n
B n⊥x轴，B n A n+1⊥y轴，…，记点A n的横坐标为a n（n为正整数）．若a1＝﹣1，则
a2016＝．
13．（4分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝．动点D在边AC上，以BD为边作等边△BDE（点E、A在BD的同侧）．在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线长为．
14．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3，点M是直线BC上一动点，且∠CAM+∠CBA＝45°，则BM的长为．
15．（4分）在平面直角坐标系中，有三条直线l1，l2，l3，它们的函数解析式分别是y＝x，y＝x+1，y＝x+2．在这三条直线上各有一个动点，依次为A，B，C，它们的横坐标分别为a，b，c，则当a，b，c满足条件时，这三点不能构成△ABC．
16．（4分）如图，已知点P（2，0），Q（8，0），A是x轴正半轴上一动点，以OA为一边在第一象限内作正方形OABC，当PB+BQ取最小值时，点B的坐标是．
三、解答题（本大题共8题，共86分．请在答．题．卷．指．定．区．域．作答，解答题时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）若关于x的分式方程无解，求m的值．
18．（10分）甲、乙两人周末从同一地点出发去某景点，因乙临时有事，甲坐地铁先出发，甲出发0.2小时后乙开汽车前往．设甲行驶的时间为x（h），甲、乙两人行驶的路程分别为y1（km）与y2（km）．如图①是y1与y2关于x的函数图象．
（1）分别求线段OA与线段BC所表示的y1与y2关于x的函数表达式；
（2）当x为多少时，两人相距6km？
（3）设两人相距S千米，在图②所给的直角坐标系中画出S关于x的函数图
象．
19．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD的中点，CE⊥AB 于E，设∠ABC＝α（60°≤α＜90°）．
（1）当α＝60°时，求CE的长；
（2）当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k，使得∠EFD＝k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明
理由．
②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．
20．（10分）如图，过原点的直线y＝k1x和y＝k2x与反比例函数y＝的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA．
（1）四边形ABCD一定是四边形；（直接填写结果）
（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1，k2之间的关系式；若不能，说明理由；
（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y＝图象上的任意两点，a＝，b＝，试判断a，b的大小关系，并说明理由．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF．
（1）求线段AE的长；
（2）若AB﹣BO＝2，求的值；
（3）若△DEF与△AEB相似，求的值．
22．（10分）问题：如图1，a、b、c、d是同一平面内的一组等距平行线（相邻平行线间的距离为1）．画出一个正方形ABCD，使它的顶点A、B、C、D分别在直线a、b、d、c 上，并计算它的边长．
小明的思考过程：
他利用图1中的等距平行线构造了3×3的正方形网格，得到了辅助正方形EFGH，如图2所示，再分别找到它的四条边的三等分点A、B、C、D，就可以画出一个满足题目要求的正方形．请回答：图2中正方形ABCD的边长为．
请参考小明的方法，解决下列问题：
（1）请在图3的菱形网格（最小的菱形有一个内角为60°，边长为1）中，画出一个等边△ABC，使它的顶点A、B、C落在格点上，且分别在直线a、b、c上，并直接写出等边△ABC的边长（只需要画出一种即可）．
（2）如图4，a、b、c是同一平面内的三条平行线，a、b之间的距离是1，b、c之间的距离是，等边△ABC的三个顶点分别在a、b、c上，直接写出△ABC的边长．
23．（14分）已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象是经过y轴上点C（0，2）的一条抛物线，顶点为A，对称轴是经过点H（2，0）且平行于y轴的一条直线．点P是对称轴上位于点A下方的一点，连接CP并延长交抛物线于点B，连接CA、AB．
（1）求这个二次函数的表达式及顶点A的坐标；
（2）当∠ACB＝45°时，求点P的坐标；
（3）将△CAB沿CB翻折后得到△CDB，问点D能否恰好落在坐标轴上？若能，求点P 的坐标，若不能，说明理由．
24．（12分）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形W1，W2给出如下定义：点P为图形W1上一点，点Q为图形W2上一点，当点M是线段PQ的中点时，称点M是图形W1，W2的“中立点”．如果点P（x1，y1），Q（x2，y2），那么“中立点”M的坐标为（，
）．
已知，点A（﹣3，0），B（0，4），C（4，0）．
（1）连接BC，在点D（，0），E（0，1），F（0，）中，可以成为点A和线段BC 的“中立点”的是；
（2）已知点G（3，0），⊙G的半径为2，如果直线y＝﹣x+1存在点K可以成为点A和⊙G的“中立点”，求点K的坐标；
（3）以点C为圆心，半径为2作圆，点N为直线y＝2x+4上的一点，如果存在点N，使得y轴上的一点可以成为点N与⊙C的“中立点”，直接写出点N的横坐标的取值范围．。