温州中学自主招生考试数学试卷

2015年温州中学自主招生素质测试数学试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置． 1．关于反比例函数4y x=的图象，下列说法正确的是（ ▲ ） A ．必经过点（1，1） B ．两个分支分布在第二、四象限C ．两个分支关于x 轴成轴对称D ．两个分支关于原点成中心对称2． 已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a b -的值为（ ▲ ）A ．1-B ．1C ．2D ．33． 已知平面上的n 个点，任三个点都能构成直角三角形，则n 的最大值为（ ▲ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．如图1，AC 、BC 为半径为1的⊙O 的弦，D 为BC 上动点，M 、N 分别为AD 、BD 的中点，则ACB ∠sin 的值可表示为（ ▲ ）A ．DNB ．DMC ．MND ．CD5．已知甲盒中有若干个白球，乙盒中有若干个白球和黑球，白球和黑球的数量均多于3个．从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中．放入i 个球后，从甲盒中取1个球是白球的概率记为()1,2i p i =，则（ ▲ ） A ．12p p >，B ．12p p =， C ．12p p <， D ．以上均有可能6．已知5个实数12345,,,,a a a a a 满足123450a a a a a ≤≤≤≤≤，且对任意的正整数(),15i j i j ≤≤≤，均存在k ()1,2,3,4,5k =，使得k a =j i a a -．① 10a =； ② 524a a =；③4223a a a =；④ 当15i j ≤≤≤时，i j a a +的可能值共有9个．则上述论断正确的有（ ▲ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．47．二元方程2233y x y x =+的正整数解的组数为（ ▲ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．如图2，点F E D ,,分别是ABC ∆三边上点，且满足4CD DB =，4AE EC =，4BF FA =，AD 、BE 、CF两两分别交于1A 、1B 、1C ，若ABC ∆的面积为1，则111C B A ∆的面积为（ ▲ ）图1图2A ．17 B ．316 C ．73 D ．1631 二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，共42分．请将答案填在答题卷的相应位置． 9．设2015-a，2015+的小数部分为b ，则()()12a b -+的值 为 ▲ ．10．若实数b a ,满足122=+b a ，则},max{b a b a ++的最大值为 ▲ ．（其中},max{b a 表示b a ,中的较大者）11．6名儿童分坐两排，每排3人要求面对面而坐，但其中两个儿童不可相邻 ，也不可面对面，有 ▲ 种排法．12．如图3，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M 为棱11C D 的中点，点P 为平面11A BCD 上的动点，则1MP B P +的最小值为 ▲ ．13．若正实数c b a ,,满足c b a c b a ++=++2015111，则abca c cb b a ))()((+++的值为 ▲ ． 14．如图4是一个残缺的乘法竖式，在每个方框中填入一个不是2的数字，可使其成为正确的算式，那么所得的乘积是 ▲ ．15． 对于任意的102x ≤≤，有1ax b +≤，则对于任意的102x ≤≤，bx a +的最大值 为 ▲ ．图4图32015年温州中学自主招生素质测试数学试题答题卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，共42分．9．； 10．； 11．；12．； 13．； 14．；15．；三、解答题：（本大题共5小题，16题8分，17、18、19、20题各15分，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．在函数y=x的取值范围．17． 如图5，,,,M A B C 为抛物线2y ax =上不同的四点，()2,1M -，线段MC MB MA ,,与y 轴的交点分别为,,E F G ，且1EF FG ==，（1）若F 的坐标为()0,t ，求点B 的坐标（用t 表示）； （2）若AMB ∆的面积是BMC ∆面积的21，求直线MB 的解析式．.图518．如图6，在ABC ∆中，BAC ∠的平分线交BC 于点M ，点D 、E 分别为ABC ∆的内切圆在边AB 、AC 上的切点，点1I 、2I 分别为ABM ∆与ACM ∆的内心． 求证：2212221I I EI DI =+．19．试求出所有的正整数k ，使得对一切奇数10n >，数165nn+均可被k 整除．图620．如图7，在ABC ∆中，AD 为边BC 上的高，AB DE ⊥于点E ，AC DF ⊥于点F ，EF 与AD 交于G 点，BEG ∆与CFG ∆的外心分别为1O 和2O ，求证：BC O O //21．图7温州中学2014年自主招生综合素质测试笔试数学试题答题卷二、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，共42分．9． 2- ； 10 11． 384 ；12．32； 13． 2014 ； 14． 30096 ；15． 4三、解答题：（本大题共5小题，16题8分，17、18、19、20题各15分，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．在函数y =x 的取值范围解：[][]2,06,8-U17． 如图，,,,M A B C 为抛物线2y ax =上不同的四点，()2,1M -，线段MC MB MA ,,与y轴的交点分别为,,E F G ，且1EF FG ==，（1）若F 的坐标为()0,t ，求点B 的坐标（用t 表示）； （2）若AMB ∆的面积是BMC ∆面积的21，求直线MB 的解析式.解：（1）∵()0,F t ，∴可设直线MB 的解析式为y kx t =+， 由点()2,1M -在抛物线2y ax =上得14a =，∴214y x = 由点()2,1M -在直线MB 上得12k t =-+ 将y kx t =+代入214y x =整理得：2440x kx t --= ∴4M B x x t ⋅=-即24B x t -⋅=-，∴2B x t =，从而得2B y t =故所求点B 的坐标为()22,t t（2）（解法一）∵()0,F t ，∴()0,1E t -， ()0,1G t + 由（1）同理可得点()22(1),(1)A t t --，()22(1),(1)C t t ++2AMB S t t ∆=+，232CMB S t t ∆=++∵AMB ∆的面积是BMC ∆面积的21， ∴22322()t t t t ++=+，解得2t =或1t =-（舍去）∴12k = ∴所求直线MB 的解析式为122y x =+， （解法二）过点A 作y 轴的平行线分别交,MB MC 于,L H ， 由EF FG =得HL AL =，∴AMB HMB S S ∆∆=， 又∵2CMB AMB S S ∆∆=∴HBC HMB S S ∆∆= ∴点H 为MC 的中点，22A H M C x x x x ==+ 即4(1)22(1)t t -=-++解得2t =从而12k = ∴所求直线MB 的解析式为122y x =+ 18．如图，在ABC ∆中，BAC ∠的平分线交BC 于点M ，点D 、E 分别为ABC ∆的内切圆在边AB 、AC 上的切点，点1I 、2I 分别为与ABM ∆与ACM ∆的内心．求证：2212221I I EI DI =+．解：设ABC ∆的内切圆在边BC 上的切点为F ，21,I I 在边BC 上的射影分别为Q P ,．连接P I 1，Q I 2，M I 1，M I 2，F I 1，F I 2． 由内心性质知MQ ACAM CM AM BA BM AC BA BC BP BF PF =-+=-+--+=-=222所以QF PM =易知M I M I 21⊥，从而PM I 1∆∽2MQI ∆ 所以QI FQQ I PM MQ P I PF P I 2211===，从而PF I 1∆∽2FQI ∆ 从而易得F I F I 21⊥，又D I F I 11=，E I F I 22= 所以2221221EI DI I I +=．19．试求出所有的正整数k ，使得对一切奇数10n >，数165nn+均可被k 整除 解：()()()11111116516516165521161655n n n n n n n n ------+=+-⋅++=⋅-⋅++L L 故有21165n n +，故1,3,7,21k =均满足条件；下证，对于其他的正整数k 均不满足条件。

若1,3,7,21k ≠，但是有165n n k +， 则1111165k +，1313165k +，故有()()21111131316165165k +-+，即112315k ⨯。

显然，k 不能整除5，故只有231k 。

2311173=⨯⨯ 考虑11k =，()165250mod11nnn+≡⨯≡。

故只有1,3,7,21k =。

20．如图，在ABC ∆中，AD 为边BC 上的高，AB DE ⊥于点E ，AC DF ⊥于点F ，EF 与AD 交于G 点，BEG ∆与CFG ∆的外心分别为1O 和2O ，求证：BC O O //21．证明：延长AD 交ABC ∆的外接圆于H ，连接CH BH ,易知 F D E A ,,,四点共圆所以 AHB ACD ADF AEF ∠=∠=∠=∠ 故 B H G E ,,,四点共圆 同理，C H G F ,,,四点共圆 所以 GH 为圆21,O O 的公共弦 故GH O O ⊥21 又BC GH ⊥ 所以BC O O //21.。