电工学讲义

电工学讲义
第3章一阶动态电路的分析
§1三要素法
前面已介绍，电容或电感的伏安关系（电压和电流的关系）是通过微分或积分来表示的，具有这种特性的元件称为动态元件，又称为储能元件。

如果电路中仅含有一个动态元件，利用戴维南定理，可以将动态元件以外的电路等效为一个电压源和一个电阻相串联的电路，从而将原电路等效成如教材95页图3-1所示的简单RC或简单RL电路，这样的电路称为一阶动态电路。

本章介绍一阶动态电路在外加电源的激励下，或在初始储能的作用下，以及电路工作状态发生改变时，电路中电压、电流随时间变化的规律，并介绍相应的分析计算方法。

动态电路的经典分析方法是：根据KVL、KCL以及元件的伏安特性建立描述电路动态特性的微分方程，然后求解满足初始条件下该微分方程的解，从而得到所需要的结果。

对这种经典的动态电路分析方法，教材上有所介绍，有兴趣者可阅读教材。

我们在这里主要介绍工程上针对一阶动态电路常用的分析求解方法——三要素法，以及相关的一些概念。

一、有关概念
零输入响应：所谓零输入响应，就是动态电路在没有外加电源激励时，由电路中电容或电感上的初始储能所产生的响应。

可以证明，简单RC电路和简单RL电路的零输入响应，都是随时间以指数规律形式衰减的，最后衰减到零（教材99页图3-3(a)图和(b)图）。

零输入响应描述了电容C或电感L的放电过程（其初始储能的释放过程）。

RC电路，在放电过程中电容C储存的电场能量，通过电流消耗在电阻元件中转换为热能，随着时间的推延，电阻消耗的能量逐渐增加，而电容的储能逐渐减少，电容电压也随之逐渐下降，因而电流也就逐渐减小，最后电容的储能被电阻消耗殆尽，这时电容电压为零，电流也为零，放电过程便全部结束。

所以，电容放电的过程就是电容的电场能量释放转换为热能的过程。

RL电路的放电（消磁）过程，是将磁场能量释放在电阻元件中转换成热能的过程。

零状态响应：所谓零状态响应，就是电路在初始状态为零的条件下（电容或电感的初始储能为零），由外加激励所产生的响应。

显然，这一响应与输入的激励有关，我们在这里仅讨论在直流电源激励下一阶电路的零状态响应。

可以证明，在直流电源的作用下，简单RC电路和简单RL电路的零状态响应，都是随时间以指数规律上升的，最后趋向于一个固定值（教材99页(c)图和(d)图），即所谓的稳态值。

零状态响应描述了电容C和电感L的充电过程。

电容充电过程的实质，就是将电源提供的能量（不可能是全部的），逐渐储存于电容电场中转换为电场能量的过程。

电感充电的过程，就是将电源提供的能量，逐渐储存于电感磁场中转换为磁场能量的过程。

二、三要素法
一阶动态电路在非零状态下（电容或电感的初始储能不为零），同时有外加激励作用下所产生的响应，称为一阶电路的完全响应。

对于我们所讨论的线性、非时变电路，根据叠加定理，完全响应是零输入响应和零状态响应的叠加。

但有以下更简捷实用的结论：一阶动态电路的完全响应的一般表达式可写成如下的形式
ƒ(t)= ƒ(∞)+[ƒ(0+)-ƒ(∞)]e-t/τ
ƒ(0+)为换路瞬间（后）的初始值，ƒ(∞)为换路后的稳态值（即t趋于∞后的值），τ为换路后的电路时间常数，三者合称为求解一阶动态电路的三要素。

对一个一阶动态电路中的任何一个电压或电流，只要求得以上三个要素，就可以由上式写出该电压或电流的完全响应。

三、三要素的求法
1、换路定则及初始值的确定
换路：所谓换路，就是电路工作状况的改变，包括突然接入或切除电源，改变电路的结构和电路中元件的参数等等，统称为换路。

在研究电路问题时，通常将换路的时刻定为t=0。

为了叙述方便，把刚开始换路前的瞬间记为t=0-，把换路刚结束后的瞬间记为t=0+，换路所经历的时间是从t=0-到t=0+。

根据电容电压不会突变和电感电流不会突变的特点（否则根据电容和电感的伏安特性，会产生无穷大的电容电流和电感电压，显然这是不现实的），可得换路定则为
u C(0-)=u C(0+)
i L(0-)=i L(0+)
由换路定则确定了u C(0+)或i L(0+)初始值后，电路中其它电压、电流的初始值（即t=0+时的值）可按以下原则来确定：
换路瞬间，电容元件当作恒压源（恒压源电压等于零时作短路处理），电感元件当作恒流源（恒流源电流等于零时作开路处理），运用KCL和KVL及直流电路的分析方法，计算电路在换路瞬间相应的电压、电流的初始值。

2、时间常数τ的求法
时间常数τ：一阶RC动态电路，τ=RC；一阶RL动态电路，τ=L/R。

其中R是指换路后，从动态元件两端看出去的电路其余部分的戴维南等效电路中的等效电阻。

计算R时应与戴维南定理中求等效电阻的方法一样，将电路中的所有独立电源作零值处理（电压源短路，电流源开路）。

时间常数τ由换路后电路的结构和元件的参数来确定，它的大小反映了一阶动态电路过渡过程进展的速度，它是反映过渡过程特征的一个物理量。

τ小则过渡过程快，τ大则过渡过程慢。

3、稳态值的计算
稳态值的计算，由t=∞的稳态等效电路来计算。

t=∞时，电容相当于开路，电感相当于短路。

四、举例
例：教材101页例3-4
例：教材102页例3-5
例：教材110页习题3.2
例：教材111页习题3.3
§2 RC一阶电路在脉冲作用下的暂态过程
一、微分电路
电路如教材104页图3-13（a）所示，同时电路的时间常数远小于输入脉冲的宽度，即τ<<t W。

原理：由于时间常数很小，电容的充电、放电过程相对于脉冲宽度很短，所以在输入脉冲
正负跳变时，在输出端出现正负尖脉冲。

而在输入脉冲正负跳变后的很短时间里，电容的充放电即完成，电阻R上的电流为0，输出电压为0。

根据微分的含义，输出相当于是输入的微分，所以该电路称为微分电路（输出反映输入的变化）。

二、RC（阻容）耦合电路
电路如微分电路，但这时电路的时间常数远大于输入脉冲的宽度，即τ>>t W。

原理：由于时间常数很大，电容的充放电过程相对于脉冲宽度很长，电容两端的电压几乎不变（变化很小），所以在输入为高电平时，电阻上有大小几乎不变的充电电流，在电阻上形成正电压；在输入为低电平时，电阻上有大小几乎不变的放电电流，在电阻上形成负电压，所以有图3-14所示的输入输出波形。

三、积分电路
电路如教材105页图3-15（a），电路的时间常数远大于输入脉冲的宽度，即τ>>t W。

原理：同阻容耦合电路，但现在输出是取自电容两端的电压。

当输入为高电平时，大小几乎不变的充电电流使电容两端的电压几乎成线性的增加，当输入为低电平时，大小几乎不变的放电电流使电容两端的电压几乎成线性的减小（要增加电容两端电压的变化速度，可减小时间常数）。

所以有图3-15所示的输入输出波形。

根据波形，电路的输出电压类似于是对输入电压的积分，所以该电路称为积分电路（输出是输入的积累）。

由上面的讨论可知，同样的RC电路，因信号的输出端的不同，可以组成微分电路，也可以组成积分电路；因参数选择的不同，可以组成微分电路，也可以组成阻容耦合电路。

§3 RC一阶电路在正弦信号激励下的响应
从前面的介绍可知，电容的容抗为1/(ωC)，是频率的函数，对不同频率的正弦信号呈现出不同的容抗。

利用这种特性可以组成各种不同形式的滤波器。

所谓滤波器就是能够让指定频段的信号（正弦信号）顺利通过，而将其他频段的信号衰减掉的电路。

一、RC低通滤波器
电路如教材106页图3-16。

原理：当频率很高时，容抗趋于0，输出几乎短路，所以频率较高的正弦信号不能通过该电路。

相反，频率很低时，容抗趋于无穷大，输出就等于输入，即能通过低频正弦信号。

电压放大倍数、幅频特性、相频特性、波特图、截止频率、分贝（dB）等。

波特图中电压放大倍数（增益）的单位为分贝（dB）。

0dB相当放大倍数为1，20dB相当于放大倍数为10，40dB相当于放大倍数是100，-20dB相当于放大倍数是1/10（即衰减为10分之一），-40dB相当于放大倍数是1/100（即衰减为100分之一）。

截止频率为1/(2πRC)。

低通滤波器的增益随频率的增大而下降，当低通滤波器的增益下降了3dB时所对应的频率即为低通滤波器的截止频率。

幅频特性：
当频率远小于截止频率时，为0dB。

当频率等于截止频率时，为-3dB。

当频率远大于截止频率时，为每增加10倍频程，放大倍数下降20dB。

真实的波特图（曲线形式）和近似画法的波特图（折线形式）。

相频特性：教材中给出的是近似画法的。

频率为截止频率时，输出落后于输入45度（arctg1=45度）。

频率为0.1倍的截止频率时，输出几乎还与输入同相（实际已有落后，但还比较小）。

频率为10倍的截止频率时，输出几乎落后于输入90度（实际还不到90度，但已比较接近）。

随着频率增加，输出最多落后输入90度。

二、RC高通滤波器
电路如教材108页图3-18。

原理：频率很低时，容抗很大，趋于开路（极端情况为直流输入，这时电容容抗无穷大，相当于开路），电阻上没有电流，所以输出为0。

频率很高时，容抗很小，趋于短路，输出就等于输入。

截止频率的公式与低通滤波器相同。

幅频特性和相频特性的分析方法与低通滤波器类似。

注意，教材中的相频特性3-30式有误，应该为
φ=π/2-arctan(ƒ/ƒp)
同样的RC电路，在不同的场合所起的作用完全不一样。

在脉冲信号的作用下，RC电路起微分电路、积分电路或阻容耦合电路的作用；在正弦信号的作用下，RC电路可以组成高通电路和低通电路。

利用RC电路的相频特性还可以组成移相电路（教材没介绍）。