河北省邢台市威县第一中学2020-2021学年高一上学期期末抽测数学试题【含答案解析】
2021-2022学年河北省邢台市高一上学期期末数学试题
邢台市2021~2022学年高一（上）期末测试数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}0,1,2,3,5,6A =，{}0,2,4,6B =，则A B = （）A ．{}2,6B ．{}0,1,2C ．{}0,2,6D ．{}0,2,3,62．ππ:33p α-<<，π:03q α<<，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()5log 3f x x x =--+的零点所在区间为（）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,54．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．()2cos f x x x =B ．()3f x x x=+C ．()sin f x x x =D ．()2cos f x x x=+5．已知sin 2α=，则cos α=（）A ．1625-B ．1625C ．2125-D ．21256．已知一扇形的周长为28，则该扇形面积的最大值为（）A ．36B ．42C ．49D ．567．已知12log 3a =，22sin3b =，0.12c -=，则（）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．a b c<<D ．b c a<<8．某服装厂2020年生产了15万件服装，若该服装厂的产量每年以20%的增长率递增，则该服装厂的产量首次超过40万件的年份是（参考数据：取lg 20.3=，lg 30.48=）（）A ．2023年B ．2024年C ．2025年D ．2026年二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()25f x x x =++，则（）A ．()00f =B ．函数()()g x xf x =为奇函数C ．()17f -=-D ．当0x <时，()25f x x x =-+-10．已知不等式21620x x ++<的解集为()tan ,tan αβ，则（）A ．tan tan 16αβ+=B ．tan tan 2αβ=C ．()tan 16αβ+=D ．sin cos cos sin 8sin sin αβαβαβ+=-.11．已知函数()13sin cos 1(08)63f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=++-+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的值域为[]1,3-B ．()f x 的最小正周期可能为2πC ．()f x 的图象可能关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象可能关于点,136π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称12．若函数()22153,0,44153,0,44x x a a x f x a a x -⎧++<⎪⎪=⎨⎪--->⎪⎩则下列说法正确的是（）A ．()f x 是奇函数B ．若()f x 在定义域上单调递减，则4a ≤-C ．当1a ≥-时，若()()23f x f x ->+，则()()1,00,x ∞∈-⋃+D ．若函数()()12g x f x =+有2个零点，则32a -<<-三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知幂函数()12m f x m x =在()0,∞+上单调递减，则()2f =______．14．写出一个能说明“若函数()f x 满足()()4f x f x =+，则()f x 为奇函数”是假命题的函数：()f x =______．15．函数()22125cos sin f x x x=+的最小值为______．16．某挂钟秒针的端点A 到中心点O 的距离为20cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0=t 时，点A 与钟面上标12的点B 重合，A 与B 两点距离地面的高度差()cm h 与()s t 存在函数关系式，则解析式()h t =___________，其中[]0,60t ∈，一圈内A 与B 两点距离地面的高度差不低于30cm 的时长为___________s .四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知集合{}2A x a x a =<<，{}2120B x x x =+-≥．(1)当2a =时，求()R A B ⋃ð；(2)若R A B ⊆ð，求a 的取值范围．18．求值：(1)()12338180.25272-⎛⎫-+⨯ ⎪⎝⎭(2)()()2ln 2lg 2lg 5lg 5lg 2lg 2lg 5002lg 2e +++⋅-+．19．已知函数()()sin (0,0,)f x A x b A ωϕωϕπ=++>><的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式；(2)把()f x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的12，再向左平移524π个单位长度，向下平移1个单位长度，得到()g x 的图象，求()g x 的单调区间.20．已知函数()()22log 3f x x ax a =-++．(1)若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围；(2)若()1f x ≥对[]2,3x ∈恒成立，求a 的取值范围．21．已知函数()251sin cos cos cos 222242x x x f x x π⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭.(1)若()0,x π∈，求()2f x 的解集；(2)若α为锐角，且()f α=，求tan2α的值.22．已知二次函数()()210f x mx bx m =+-≠的图象关于直线1x =-对称，且关于x 的方程()20f x +=有两个相等的实数根．(1)求函数()()2f xg x x+=的值域；(2)若函数()()4log log a a h x f x x =-（0a >且1a ≠）在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有最小值﹣2，最大值7，求a 的值．1．C 【分析】根据集合的交集运算求解即可.【详解】解：因为{}0,1,2,3,5,6A =，{}0,2,4,6B =，所以A B = {}0,2,6故选：C 2．B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：因为ππ:33p α-<<，π:03q α<<，所以由p 不能推出q ，由q 能推出p ，故p 是q 的必要不充分条件．故选：B 3．B 【分析】由零点存在定理判定可得答案.【详解】因为()f x 在()0,∞+上单调递减，且()52log 210f =-+>，()53log 30f =-<，所以()5log 3f x x x =--+的零点所在区间为()2,3．故选：B.4．C 【分析】根据奇偶性排除A 和D ，由()2cos f x x x =+排除B.【详解】由图可知，()f x 的图象关于原点对称，是奇函数,()()2cos f x x x f x -==，()()2cos f x x x f x -=+=，则函数()2cos f x x x =，()2cos f x x x =+是偶函数，排除A 和D ．当0x >时，()30f x x x =+>恒成立，排除B.故选：C ．5．D 【分析】利用余弦的二倍角公式即可求解.【详解】由题意得，221cos 12sin225αα=-=.故选：D.6．C 【分析】由题意，根据扇形面积公式及二次函数的知识即可求解.【详解】解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，由题意得228R l +=，则扇形的面积()()2211282147494922S Rl R R R R R ==-=-+=--+≤，所以该扇形面积的最大值为49，故选：C.7．A 【分析】根据中间值比大小.【详解】因为0.1122π2sin 2sin 120log 336->=>>>，所以a c b <<．故选：A 8．D 【分析】设该服装厂的产量首次超过40万件的年份为n ，进而得()20201510.240n -+>，再结合对数运算解不等式即可得答案.【详解】解：设该服装厂的产量首次超过40万件的年份为n ，则()20201510.240n -+>，得658log 20203n >+，因为()658lg8lg8lg 33lg 2lg 33log 202020202020202063lg 6lg 5lg 2lg 31lg 2lg 5--+=+=+=+-+--3lg 2lg 320202025.252lg 2lg 31-=+=+-，所以2026n ≥．故选：D 9．ACD 【分析】根据定义在R 上的奇函数性质，可判断A;利用奇函数的定义来判断B;利用f (-1)=-f (1)可判断C;根据奇函数满足f(-x)=-f(x)可判断D.【详解】对于A,()f x 是定义在R 上的奇函数,故()00f =，A 正确．对于B ，由()()()()g x xf x xf x g x -=--==，得()g x 为偶函数，B 错误．对于C,()()117f f -=-=-，C 正确,对于D,当0x <时，0x ->，()()25f x f x x x =--=-+-，D 正确．故选：ACD.10．BCD 【分析】由一元二次不等式的解集与其对应的一元二次方程的根的关系，结合两角和的正切公式和弦切互化法即可求解.【详解】由题意得，tan tan 16tan tan 2αβαβ+=-⎧⎨=⎩，故A 错误，B 正确，由于()tan tan tan 161tan tan αβαβαβ++==-，故C 正确，又sin cos cos sin sin cos cos sin tan tan 16cos cos cos cos 8sin sin sin sin tan tan 2cos cos αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++-====-，故D 正确.故选：BCD.11．ACD 【分析】先通过诱导公式将函数化简，进而通过三角函数的图象和性质求得答案.【详解】()[]sin cos 12sin 11,36626f x x x x ππππωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+=++∈- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 正确；由2sin 12336f πππω⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得()2Z 366k k πππωπ+=+∈或()52Z 366k k πππωπ+=+∈，即()6Z k k ω=∈或()26Z k k ω=+∈，因为08ω<<，所以2ω=或6ω=，当2ω=时，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则(),2,662T f x ππππ=⨯+=的图象关于直线6x π=对称，C 正确；当6ω=时，()2sin 616f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则,603366T πππ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，B 错误，D 正确.故选：ACD.12．ACD 【分析】根据函数解析式，结合选项逐项分析即可求出结果.【详解】函数()f x 的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，定义域关于原点对称，当0x <时，0x ->，则()()215344xf x a a f x --=---=-，当0x >时，0x -<，则()()215344xf x a a f x -=++=-，即()()f x f x -=-，故()f x 是奇函数，A 正确．因为()f x 在定义域上单调递减，所以02021515334444a a a a ++≥---，得4a ≤-或1a ≥-，B 错误．当1a ≥-时，()f x 在定义域上单调递减，由23,20,30,x x x x -<+⎧⎪-≠⎨⎪+≠⎩得1x >-且0x ≠，C 正确．()()12g x f x =+的零点个数等于()f x 的图象与直线12y =-的交点个数，由题意得21511442a a ++<-，解得32a -<<-，D 正确．故选：ACD.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．13．14##0.25【分析】依题意得112m =且0m <，即可求出m ，从而得到函数解析式，再代入求值即可；【详解】解：由题意得112m =且0m <，则2m =-，()2f x x -=，故()124f =．故答案为：1414．πcos2x （答案不唯一）【分析】根据余弦型函数的性质求解即可.【详解】解：因为()()4f x f x =+，所以()f x 的周期为4，所以余弦型函数()()πcos 02f x a x a =≠都满足()()4f x f x =+，但()f x 不是奇函数．故答案为：πcos 2x 15．36【分析】根据22cos sin 1x x +=，并结合基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】解：因为22cos sin 1x x +=，所以()()22222222125sin 25cos cos sin 26cos sin cos sin x x f x x x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎝⎭26≥36=，当且仅当22sin 5cos x x =时，等号成立．故函数()22125cos sin f x x x=+的最小值为36.故答案为：3616．π2020cos30t -20【分析】先求出经过s t ，秒针转过的圆心角的为π30t -，进而表达出函数解析式，利用求出的解析式建立不等式，解出解集，得到答案.【详解】经过s t ，秒针转过的圆心角为π30t -，得()2020sin()2020cos 30π2π30h t t t π=--=-.由2020cos 3π030t - ，得1cos 30π2t - ，又060t ≤≤，故π0230t π≤≤，得24330πππ3t ，解得：2040t，故一圈内A 与B 两点距离地面的高度差h 不低于30cm 的时长为20s .故答案为：π2020cos30t -，2017．(1)(){}44R A B x x ⋃=-<<ð(2)3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】（1）解一元二次不等式求得集合B ，由补集和并集的定义可运算求得结果；（2）分别在A =∅和A ≠∅两种情况下，根据交集为空集可构造不等式求得结果.(1)由题意得{}24A x x =<<，{4B x x =≤-或}3x ≥，{}43R B x x =-<<ð，(){}44R A B x x ⋃=-<<ð.(2)R A B ⊆ð，当0a ≤时，A =∅，符合题意，当0a >时，由23a ≤，得302a <≤，故a 的取值范围为3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦．18．(1)π(2)3【分析】（1）利用指数幂的运算性质和根式和指数幂的互化公式计算即可．（2）利用对数的运算性质计算即可求得结果.（1）原式314π3π22=-++-=．（2）原式()()()22lg 2lg 5lg 5lg 2lg 2lg 5lg1002lg 22=++⋅++-+()2lg 2lg 523=++=．19．(1)()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2)单调递减区间为(),242k k k πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调递增区间为(),4222k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【分析】（1）根据最值求,A b 的值；根据周期求ω的值；把点5,312π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入求ϕ的值.（2）首先根据图象的变换求出()g x 的解析式，然后利用整体代入的方法即可求出()g x 的单调区间.（1）由图可知3,1A b A b +=-+=-，所以2A =，1b =.又5212122T πππ=+=，所以T π=，因为0>ω，所以22T πω==.因为552sin 13126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()5262k k ππϕπ+=+∈Z ，即()23k k πϕπ=-+∈Z ，又|ϕπ<∣，得3πϕ=-，所以()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（2）由题意得()2sin 42cos42g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，由()242k x k k πππ≤≤+∈Z ，得()242k k x k πππ≤≤+∈Z ，故()g x 的单调递减区间为(),242k k k πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z ，由()2422k x k k ππππ+≤≤+∈Z ，得()4222k k x k ππππ+≤≤+∈Z ，故()g x 的单调递增区间为(),4222k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .20．(1)()2,6-(2)(,2⎤-∞⎦【分析】（1）转化为∆<0，可得答案；（2）转化为[]2,3x ∈时211x a x +≤-，利用基本不等式对2121211+=-++--x x x x 求最值可得答案．(1)由题意得230x ax a -++>恒成立，得()2430a a ∆=-+<，解得26a -<<，故a 的取值范围为()2,6-．(2)由()()22log 31f x x ax a =-++≥，得210x ax a -++≥，即()211x a x +≥-，因为[]2,3x ∈，所以211x a x +≤-，因为10x ->，所以()()2112121222111x x x x x x x -+++==-++≥+=+---，当且仅当211x x-=-，即1x =+时，等号成立．故2a ≤+，a 的取值范围为(,2⎤-∞⎦．21．(1)711,1212ππ⎡⎤⎢⎣⎦(2)【分析】（1）利用三角恒等变换，将函数转化为()4f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭42x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 求解；（2）由()3fα=得到sin 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再由cos 2sin22tan2cos2sin 22παααπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用二倍角公式求解.(1)解：()()111sin 1cos cos 22242f x x x x π⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭，111111sin cos sin 222222x x x x =---++，sin cos 4x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭222,343k x k k πππππ+-+∈Z ，即71122,1212k x k k ππππ++∈Z ，又()0,x π∈，故()2f x 的解集为711,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(2)43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为α为锐角，所以444πππα-<-<，则cos 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故cos 2sin22tan2cos2sin 22παααπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，22cos 142sin cos 44παππαα⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22134⨯-==-.22．(1)(][),04,-∞+∞U【分析】（1）根据对称轴以及判别式等于0得出()221f x x x =+-，再由基本不等式得出函数()()2f xg x x +=的值域；（2）利用换元法结合对数函数以及二次函数的单调性得出a 的值．(1)依题意得12b m-=-，因为()2210f x mx bx +=++=，所以240b m ∆=-=，解得1m =，2b =，故()221f x x x =+-，()()212f x g x x x x+==++，当0x >时，()1224g x x x =++≥=，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立．当0x <时，()1220g x x x ⎛⎫=--++≤-+= ⎪-⎝⎭，当且仅当1x x -=-，即1x =-时，等号成立．故()g x 的值域为(][),04,-∞+∞U ．(2)()()()22log 2log 4log 1log 2log 1a a a a a h x x x x x x =+--=--，令log a t x =，则221y t t =--．①当01a <<时，[]log 2,log 2a a t ∈-，因为min 2y =-，所以log 21log 2a a <<-，解得112a <<．因为()log 2log 20a a +-=，所以()2max log 22log 217a a y =--=，解得2a =．②当1a >时，[]log 2,log 2a a t ∈-，因为min 2y =-，所以log 21log 2a a -<<，解得12a <<．()2max log 22log 217a a y =+-=，解得a =a =．综上，a 或2．。
高一上学期期末数学考试卷及答案
高一上学期期末数学考试卷及答案2020-2021学年度上学期高一年级期末数学考试卷注意事项：1.本试卷分为第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分。
考生答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号。
2.考生在作答时，请仔细阅读答题卡上的注意事项，并将答案填写在答题卡上。
在试卷上作答无效。
一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题中，仅有一个选项符合题目要求。
1.已知全集U={-1,0,1,2,3}，集合A={0,1,2}，B={-1,0,1}，则(C ∪ A) ∩ B = ()。
A。
{0}B。
{1}C。
{-1}D。
{0,1}2.“a < 1”是“a < ”的（）A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充要条件D。
既不充分也不必要条件3.已知函数f(x)={x+1.x≥2.f(x+3)。
x<2}，则f(1) - f(9) =（）A。
-1B。
-2C。
6D。
74.已知f(x) = (x-a)(x-b) + 2(a<b)，且α，β(α<β)是方程f(x)= 0的两根，则α，β，a，b的大小关系是（）A。
a<α<β<bB。
a<α<b<βC。
α<a<b<βD。
α<a<β<b5.f(x)是定义在R上的偶函数，在(-∞,0)上是增函数，且f(3) = 0，则使f(x) < 0的x的范围是（）A。
(-3,3)B。
(-∞,-3) ∪ (3,+∞)C。
(3,+∞)D。
(-∞,-3)6.已知a≥0，b≥0，且a+b=2，则（）A。
ab ≤ 1/2B。
ab ≥ 1/2C。
a^2 + b^2 ≥ 2D。
a^2 + b^2 ≤ 37.函数f(x) = log2(1/(2x-1))的定义域是（）A。
(1/2,∞)B。
(1,+∞)C。
(-∞,1/2]+∞D。
(-∞,1/2)8.函数f(x) = xln(x+1) - x - 1的零点个数有（）A。
河北省邢台市第一中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题(含答案)
邢台一中2022-2023学年上学期期末考试高一年级数学试题第I 卷（选择题共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.sin(-1320o )=（）A.1 B.12-C.D.2.已知集合2121(12x x A x +-⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，304x B x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，则()R A B ⋂=ð（）A.{}34x x -<< B.{}33x x -<< C.{}34x x -<≤ D.{}33x x -<≤3.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是减函数的是（）A.ln y x=- B.tan()y x =- C.3y x =- D.1y x=4．函数()()1ln 23f x x x =---的零点所在区间为（）A ．()4,3--B ．()3,e --C ．()e,2--D ．()2,1--5.命题p ：0x R ∃∈，使得200680kx kx k -++<成立．若p 是假命题，则实数k 的取值范围是（）A.[]01,B.(0,1]C.(,0)(1,)-∞⋃+∞ D.(][),01,-∞⋃+∞6．已知幂函数()y f x =的图象过()4,2A ，()cos1,B m ，()sin1,C n 三点，则m 与n 的大小关系为（）A ．m n>B ．m n<C ．m n=D ．不能确定7.已知tan()22απ-=-，则31cos()sin()22π14ππααα+--+=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（）A.22B. C.12D.18.“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系ax b y e +=（,a b 为常数），若该果蔬在5C o 的保鲜时间为216小时，在20C o 的保鲜时间为8小时，那么在10C o 时，该果蔬的保鲜时间为（）小时．A ．72B ．36C ．24D ．162二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.下到说法错误．．的是（）A.若α终边上一点的坐标为(3,4)(0),k k k ≠则3cos 5α=B.α为第二或第三象限角的充要条件是sin tan 0αα<C.将函数()cos(2)3f x x π=-的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()cos 2g x x =的图象D.若1sin cos 5αα+=，且0απ<<，则4tan 3α=-10．已知b a ,为正数，41a b +=，则下列说法正确的是（）A.114a b+的最小值为4 B.ba 11+的最小值为9C.(41)(1)a b ++的最大值为94D.(1)(1)a b ++的最大值为9411.已知函数()()4log 1,1,411x x x f x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，则下列结论正确的是（）A ．若()1f a =，则5a =B ．202320222022f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．若()2f a ≥，则12a ≤-或17a ≥D ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则14k ≥12.设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意的1x D ∈，存在2x D ∈，使得12()()2f x f x c +=（c 为常数），则称函数()y f x =在D 上的均值为c ，下列函数中在其定义域上的均值为1的有（）A.3y x = B.tan y x= C.2sin y x=D.y =第II 卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合{}22(28)10A x ax a x =+-+=有且仅有两个子集，则a 的取值集合为______.14.已知函数()()212log 2f x x x t =-++的定义域是(),6m m +，则函数()f x 的单调增区间为______.15.如图，在Rt PBO V 中，90PBO ∠= ，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A点．若圆弧AB 等分POB V 的面积，且AOB α∠=弧度，则tan αα=________.16.函数()f x 为定义在00∞⋃+∞（-，）（，）上的奇函数，且(3)1f =，对于任意()1212,0x x x x ∈+∞≠，，，都有112212()()0x f x x f x x x ->-成立，则()3f x x≤的解集为_________四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）设R a ∈，集合(){}(){}22|log 2|30A x x a B x x a x =+<=-+<，，（1）若2a =，求A B⋃（2）若R 3()A B ∈⋂ð，求a 的取值范围.18.（12分）函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，02πϕ<<）部分图象如图所示，已知41x x π-=.再从条件①112x π=、条件②26x π=、条件③32x π=这三个条件中选择两个作为已知.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()6f x π-的单调增区间.19.（12分）已知函数()53sin 22sin cos 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）[,]46x ππ∈-时，()()g x af x b =+的最大值为7，最小值为1，求,a b的值。
2023-2024学年河北省邢台市高一上册期末考试数学试题(含解析)
2023-2024学年河北省邢台市高一上册期末考试数学试题一、单选题1．()sin 1320︒-=（）A ．12B ．12-C D ．【正确答案】C【分析】利用诱导公式进行化简求值.【详解】()()480480sin120sin 1320sin 1800sin ︒︒︒︒︒+-=-===故选：C.2．已知集合212112x x A x+-⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，304x B x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，则()R A B =I ð（）A ．{}34x x -<<B ．{}33x x -<<C ．{}34x x -<≤D ．{}33x x -<≤【正确答案】D【分析】分别解不等式求出集合A 和集合B ，然后再求()R A B I ð即可.【详解】不等式212112x x +-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭等价于2121122x x +-⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∵12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，∴2120x x +-≤，解得43x -≤≤，∴{}21211432x x A x x x +-⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≥=-≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，不等式304x x +≥-等价于()()34040x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得3x ≤-或>4x ，∴{3034x B x x x x ⎧⎫+=≥=≤-⎨⎬-⎩⎭或}4x >，∴{}34B x x =-<≤R ð，∴(){}33A B x x ⋂=-<≤R ð.故选：D.3．下列函数中，既是奇函数又在定义域上是减函数的是（）A ．ln y x =-B ．()tan y x =-C ．3y x =-D ．1y x=【正确答案】C【分析】根据奇函数和减函数的特征，结合选项进行判定.【详解】对于选项A ，ln y x =-不是奇函数，排除A ；对于选项B ，()tan y x =-是奇函数，但是在其定义域上不是减函数，排除B ；对于选项C ，3y x =-是奇函数，在其定义域上也是减函数，符合题意；对于选项D ，1y x=是奇函数，但是在其定义域上不是减函数，排除D.故选：C.4．函数()()1ln 23f x x x =---的零点所在区间为（）A ．()4,3--B ．()3,e --C ．()e,2--D ．()2,1--【正确答案】B【分析】根据公共定义域内判断函数的单调性及复合函数的单调性，得出函数()f x 的单调性，再利用函数零点的存在性定理即可求解.【详解】由题意可知，()f x 的定义域为(),0-∞，令u x =-，则ln y u =，由u x =-在(),0-∞上单调递减，ln y u =在定义域内单调递增，所以()ln y x =-在(),0-∞单调递减.所以函数()()1ln 23f x x x =---在(),0-∞上单调递减.所以()()()12214ln 442ln 4ln e 03333f -=---⨯--=->-=>⎡⎤⎣⎦()()()13ln 332ln 31ln e 103f -=---⨯--=->-=⎡⎤⎣⎦()()()1e e ln e e 21033f -=---⨯--=-<⎡⎤⎣⎦()()()1442ln 222ln 2ln e 0333f -=---⨯--=-<-<⎡⎤⎣⎦()()()151ln 112033f -=---⨯--=-<⎡⎤⎣⎦故()3(e)0f f -⋅-<，根据零点的存在性定理，可得函数()()1ln 23f x x x =---的零点所在区间为()3,e --.故选：B.5．命题0:p x ∃∈R ，使得200680kx kx k -++<成立.若p 是假命题，则实数k 的取值范围是（）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．][(),01,∞∞-⋃+【正确答案】A【分析】根据p 是假命题，得出p ⌝为真命题，利用恒成立知识求解.【详解】因为p 是假命题，所以p ⌝为真命题，即x ∀∈R ，使得2680kx kx k -++≥成立.当0k =时，显然符合题意；当0k ≠时，则有0k >，且()236480k k k -+≤，解得01k <≤.故选：A.6．已知幂函数()y f x =的图象过()4,2A 、()cos1,B m 、()sin1,C n 三点，则m 与n 的大小关系为（）A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．不能确定【正确答案】B【分析】设()af x x =，根据点A 在函数()f x 的图象上可求得a 的值，可得出()f x 的解析式，分析函数()f x 的定义域与单调性，比较cos1与sin1，利用函数()f x 的单调性可得出m 、n 的大小关系.【详解】设()a f x x =，则()442af ==，可得12a =，()12f x x ∴==，所以，函数()f x 是定义在[)0,∞+上的增函数，因为ππ0cos1cossin sin144<<=<，所以，()()cos1sin1f f <，即m n <.7．已知tan π22α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则π3π1cos sin 22π14ααα⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A．2B．C ．12D ．1【正确答案】C【分析】利用诱导公式可求得tan2α，利用三角恒等变换化简所求代数式，可求得结果.【详解】因为tan πtan 222αα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，则tan 22α=，若cossin 022αα+=，则tan 12α=-，矛盾，故cos sin 022αα+≠.因此，()π3π1cos sin 1sin cos 1cos sin 22π1cos sin 1cos sin 14ααααααααααα⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭==---+⎛⎫+ ⎪⎝⎭222coscos sin 12cos 12sincos112222222tan112sin 2sin cos 2sin cos sin 2222222ααααααααααααα⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭====⎛⎫⎛⎫--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.8．“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系e ax b y +=（,a b 为常数），若该果蔬在5C 的保鲜时间为216小时，在20C o 的保鲜时间为8小时，那么在10C 时，该果蔬的保鲜时间为（）小时.A ．72B ．36C ．24D ．16【正确答案】A【分析】根据题意列出5,20x x ==时,a b 所满足等式，利用指数幂的运算分别可求解出5e ,e a b 的值，然后即可计算出10x =时y 的值，则对应保鲜时间可求.【详解】当5x =时，5e 216a b +=；当20x =时，20e 8a b +=，则520e 21627e 8a b a b ++==，整理可得51e 3a=，于是e 2163648b =⨯=，当10x =时，10521e(e )e 648729a ba b y +==⋅=⨯=．二、多选题9．下到说法错误的是（）A ．若α终边上一点的坐标为()()3,40k k k ≠，则3cos 5α=B ．α为第二或第三象限角的充要条件是sin tan 0αα<C ．将函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π3个单位长度，得到函数()cos2g x x =的图象D ．若1sin cos 5αα+=，且0απ<<，则4tan 3α=-【正确答案】AC【分析】结合选项逐个判定，利用定义可知A 错误，结合象限符号可得B 正确，根据平移规则可得C 错误，利用平方关系和商关系可得D 正确.【详解】对于A ，3355cos k k α===±，故不正确；对于B ，α为第二象限时，sin 0,tan 0αα><，所以sin tan 0αα<；α为第三象限角时，sin 0,tan 0αα<>，所以sin tan 0αα<；反之，sin tan 0αα<，则sin ,tan αα异号，所以α为第二或第三象限角，故正确；对于C ，将函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π3个单位长度，得到的函数解析式为()πcos 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故不正确；对于D ，因为1sin cos 5αα+=，所以12sin cos 25αα=-，所以222sin cos tan 12sin cos tan 125αααααα==-++，解得3tan 4α=-或4tan 3α=-.因为1sin cos 05αα+=>，12sin cos 025αα=-<，且0πα<<，所以sin >cos αα，所以4tan 3α=-，故D 正确.故选：AC.10．已知a ，b 为正数，41a b +=，则下列说法正确的是（）A ．114a b+的最小值为4B ．11a b+的最小值为9C ．()()411a b ++的最大值为94D ．()()11a b ++的最大值为94【正确答案】ABC【分析】选项A 和选项B 使用基本不等式“1”的妙用求解，选项C 和选项D 构造“和为定值”对“积的最大值”进行求解.【详解】对于A ，()1111442444a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，∵0a >，0b >，∴40a b >，04b a >，∴由基本不等式424a b b a +≥=，当且仅当44a b b a =，即18a =，12b =时，等号成立，∴114222444a b a b b a+=++≥+=，114a b +的最小值为4，故选项A 正确；对于B ，()1111445a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，∵0a >，0b >，∴40a b >，0b a >，∴由基本不等式44a b b a +≥=，当且仅当4a b b a =，即16a =，13b =时，等号成立，∴1145549a ba b b a +=++≥+=，11a b+的最小值为9，故选项B 正确；对于C ，∵0a >，0b >，∴410a +>，10+>b ，∴由基本不等式()()()()222411421294112224a b a b a b +++⎡⎤+++⎛⎫⎛⎫++≤===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当411a b +=+，即18a =，12b =时，等号成立，∴()()411a b ++的最大值为94，故选项C 正确；对于D ，∵0a >，0b >，∴440a +>，10+>b ，∴由基本不等式()()()()()()2244111145911441442424a b a b a b a b +++⎡⎤++⎛⎫++=++≤⋅=⋅=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，当且仅当441a b +=+，即14a =-，2b =时，等号成立，这与0a >矛盾，上式无法取等号，故选项D 错误.故选：ABC.11．已知函数()()4log 1,11,14x x x f x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，则下列结论正确的是（）A ．若()1f a =，则5a =B ．202320222022f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．若()2f a ≥，则12a ≤-或17a ≥D ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则14k ≥【正确答案】BCD【分析】解方程可()1f a =判断A 选项；求出20232022f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值，可判断B 选项；解不等式()2f a ≥可判断C 选项；数形结合可判断D 选项.【详解】对于A 选项，当1a ≤时，由()114af a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，可得0a =，当1a >时，由()()4log 11f a a =-=，可得5a =.综上所述，若()1f a =，则5a =或0，A 错；对于B 选项，41420231log log 2022020222022f ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，所以，14log 20221420231log 2022202220224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，B 对；对于C 选项，当1a ≤时，由()21224aa f a -⎛⎫==≥ ⎪⎝⎭，可得21a -≥，解得12a ≤-，此时12a ≤-，当1a >时，由()()4log 12f a a =-≥，可得116a -≥，解得17a ≥，此时17a ≥，综上所述，若()2f a ≥，则12a ≤-或17a ≥，C 对；对于D 选项，作出函数y k =与函数()f x 的图象如下图所示：由图可知，当14k ≥时，直线y k =与函数()f x 的图象有两个交点，此时方程()f x k =有两个不等的实根，D 对.故选：BCD.12．设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意的1x D ∈，存在2x D ∈，使得12()()2f x f x c +=（c为常数），则称函数()y f x =在D 上的均值为c ，下列函数中在其定义域上的均值为1的有（）A ．3y x =B ．tan y x=C ．2sin y x=D ．24y x =-【正确答案】ABD【分析】根据题意将问题转化为关于2x 的方程是否存在有解问题，然后逐个分析判断即可【详解】由题意可得1c =，则12()()12f x f x +=，即12()()2f x f x +=，将问题转化为关于2x 的方程是否存在有解问题，对于A ，3y x =的定义域为R ，则对于任意1R x ∈，关于2x 的方程为33122x x +=，则33212x x =-，33212x x =-A 正确，对于B ，tan y x =的定义域为,2D x x k k Z ππ⎧⎫=≠+∈⎨⎬⎩⎭，值域为R ，则对于任意1x D ∈，总存在2x D ∈，使得12tan tan 2x x +=，所以B 正确，对于C ，2sin y x =的定义域为R ，值域为[2,2]-，当12x π=-时，1()2f x =-，此时不存在2x R ∈，使12()()2f x f x +=，所以C 错误，对于D ，24y x =-，定义域为{}22D x x =-≤≤，值域为[0,2]，则对于任意1x D ∈，关于2x2=，整理得(22242x =--，则总存在2x D ∈满足上式，所以D 正确，故选：ABD三、填空题13．已知集合(){}222810A x ax a x =+-+=有且仅有两个子集，则a 的取值集合为___________.【正确答案】{}0,2,8【分析】根据题意集合A 有一个元素，考虑0a =和0a ≠两种情况，计算得到答案即可.【详解】由题意，集合(){}222810A x ax a x =+-+=有且仅有两个子集，则集合A 只有一个元素，当0a =时，810x -+=，解得18x =，符合题意；当0a ≠时，()2284210a a ∆=--⨯⨯=，解得2a =或8a =，当2a =时，{}2144102A x x x ⎧⎫=-+==⎨⎩⎭，符合题意，当8a =时，{}21168104A x x x ⎧⎫=++==-⎨⎩⎭，符合题意.综上所述，a 的取值集合为{}0,2,8.故答案为.{}0,2,814．已知函数()()212log 2f x x x t =-++的定义域是(),6m m +，则函数()f x 的单调增区间为__________.【正确答案】()1,4【分析】先根据定义域求出,m t 的值，再结合复合函数求出单调区间.【详解】因为函数()()212log 2f x x x t =-++的定义域是(),6m m +，所以,6m m +是方程220x x t -++=的两个根，所以()()22206260m m t m m t ⎧-++=⎪⎨-++++=⎪⎩ ，解得28m t =-⎧⎨=⎩ ，即()()212log 28f x x x =-++.令()222819n x x x =-++=--+，0n >，则12log y n =为减函数，函数()219n x =--+是开口向下，对称轴为1x =的二次函数，且()1,4x ∈时，为减函数；所以函数()f x 的单调增区间为()1,4.故答案为.()1,415．如图，在Rt PBO 中，90PBO ∠= ，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A 点．若圆弧AB 等分POB 的面积，且AOB α∠=弧度，则tan αα=________.【正确答案】12【详解】设扇形的半径为r ，则扇形的面积为212r ，直角三角形POB 中，tan PB r α=，POB ，面积为1tan 2r r α⨯，由题意得211222r rtan r αα⨯=⨯，∴tan 2αα=，∴1tan 2αα=，故答案为12.点睛：本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题；设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高PB ，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出tan α与α的关系，即可得出结论.16．函数()f x 为定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，且()31f =，对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞≠，都有()()1122120x f x x f x x x ->-成立，则()3f x x≤的解集为__________.【正确答案】(](]30,3-∞-⋃，【分析】构造函数，利用函数的单调性和奇偶性进行求解.【详解】设函数()()g x xf x =，因为()f x 为奇函数，所以()g x 为偶函数；因为()()1122120x f x x f x x x ->-，所以()()12120g x g x x x ->-，即()g x 在()0,∞+为增函数；因为(3)3(3)3g f ==，()g x 为偶函数，所以(3)3g -=，且()g x 在(),0∞-为减函数；当0x >时，()3f x x ≤等价于()3(3)g x g ≤=，所以03x <≤；当0x <时，()3f x x ≤等价于()3(3)g x g ≥=-，所以3x ≤-；即()3f x x≤的解集为(](]30,3-∞-⋃，.故答案为.(](]30,3-∞-⋃，四、解答题17．设a ∈R ，集合(){}(){}22log 2,30A x x a B x x a x =+<=-+<，(1)若2a =，求A B⋃(2)若()3A B ∈⋂R ð，求a 的取值范围.【正确答案】(1){}|25A B x x ⋃=-<<(2)30a -<≤【分析】（1）先根据2a =，化简两个集合，再求两个集合的并集；（2）由3在集合A 中，不在集合B 中，可求取值范围.【详解】（1）当2a =时，(){}{}{}{}22|log 22|22|50|05A x x x x B x x x x x =+<=-<<=-<=<<，，所以{}{}{}|22|05|25A B x x x x x x ⋃=-<<⋃<<=-<<.（2）集合(){}2|30B x x a x =-+<，所以(){}2|30.B x x a x =-+≥R ð因为()3A B ∈⋂R ð，所以3A ∈且3B ∈R ð.则()()22log 323330a a ⎧+<⎪⎨-+≥⎪⎩，即03430a a <+<⎧⎨-≥⎩ ，解得30a -<≤.18．函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭部分图象如图所示，已知41x x π-=.再从条件①112x π=､条件②26x π=､条件③32x π=这三个条件中选择两个作为已知.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求6f x π⎛⎫-⎪⎝⎭的单调增区间.【正确答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 【分析】（1）先由41x x π-=求出ω，分三种情况讨论求解，代入点的坐标求出,A ϕ，从而得到解析式；（2）先求6f x π⎛⎫-⎪⎝⎭的解析式，整体代换可求6f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调增区间.【详解】（1）因为41x x π-=，由图可知T π=，所以22Tπω==.所以()()sin 2f x A x ϕ=+.若选择条件①②，即112x π=，26x π=.因为()1sin 0126f x f A ππϕ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由图可知26k πϕπ+=，k ∈Z ，即26k πϕπ=-+.因为02πϕ<<，所以6πϕ=-，所以()sin 26f x A x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又因为()2sin 166f x f A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以2A =，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若选择条件①③，即112x π=，32x π=.因为()1sin 0126f x f A ππϕ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由图可知26k πϕπ+=，k ∈Z ，即26k πϕπ=-+.因为02πϕ<<，所以6πϕ=-，所以()sin 26f x A x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又因为()3sin 126f x f A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以2A =，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若选择条件②③，即26x π=，32x π=.因为()()23f x f x =，由图可知，当2323x x x +π==时，()f x 取得最大值，即3f A π⎛⎫= ⎪⎝⎭，sin 23A A πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，由2sin 13πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，得2232k ϕππ+=+π，k ∈Z ，因为02πϕ<<，所以6πϕ=-.又()216f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以2A =，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）()2sin[2()2sin(2)2sin(266666f x x x x πππππ-=--=-=--，故()6f x π-的单调增区间即为2sin(26x π-的单调递减区间.由3222262k x k πππππ+≤-≤+，k ∈Z ，得536k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z .所以()6f x π-的单调递增区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .19．已知函数()5ππ3πsin 22sin cos 644f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期及对称轴方程；(2)ππ,46x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()()g x af x b =+的最大值为7，最小值为1，求a ，b 的值.【正确答案】(1)最小正周期为πT =，对称轴方程为ππ23k x =+，k ∈Z (2)4a =，5b =或4a =-，3b =【分析】（1）使用两角和差的正余弦公式、二倍角公式、辅助角公式进行化简后，即可求得最小正周期和对称轴方程；（2）结合正弦函数的图象和性质，分别对0a >和a<0两种情况进行讨论即可.【详解】（1）()5ππ3πsin 22sin cos 644f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1cos 2sin 222x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1cos 22sin cos cos sin 2x x x x x x =+----()221cos 22cos sin 22x x x x =+--1cos 2sin 2cos 22x x x =-12cos 22x x =-πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，∵sin y x =的对称轴为直线ππ+2=x k ，k ∈Z ，∴由ππ2π62x k -=+，k ∈Z ，解得ππ23k x =+，k ∈Z ，∴()f x 的对称轴方程为ππ23k x =+，k ∈Z .（2）πsi 2()(n 6)x b g x af x b a =+=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵ππ,46x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴ππ2[,]23x ∈-，∴π2ππ2[,636x -∈-，∴π1sin(2)[1,62x -∈-，当0a >时，()()g x af x b =+的最大值为12a b +，最小值为a b -+，∴由1721a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得45a b =⎧⎨=⎩，当a<0时，()()g x af x b =+的最大值为a b -+，最小值为12a b +，∴由7112a b a b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得43a b =-⎧⎨=⎩，综上所述，4a =，5b =或4a =-，3b =.20．比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，新能源电动车汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车．有关部门在国道上对比亚迪某型号纯电动汽车进行测试，国道限速60km/h ．经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量Q （单位：wh ）与速度x （单位：km/h ）的数据如下表所示：x 0104060Q142044806720为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量Q 与速度x 的关系，现有以下三种函数模型供选择：①3211()250Q x x x cx =-+；②22()13xQ x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；3()300log a Q x x b =+．(1)当060x ≤≤时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式；(2)现有一辆同型号纯电动汽车从重庆育才中学行驶到成都七中，其中，国道上行驶50km ，高速上行驶300km ．假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量Q 与速度x 的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速x （单位：km/h ）满足[80,120]x ∈，且每小时耗电量N （单位：wh ）与速度x （单位：km/h ）的关系满足2()210200(80120)N x x x x =-+≤≤）．则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？【正确答案】(1)选①3211()250Q x x x cx =-+，321()216050Q x x x x =-+(2)当这辆车在高速上的行驶速度为80km/h ，在国道上的行驶速度为50km/h 最少，最少为51250wh ．【分析】（1）利用表格中数据进行排除即可得解；（2）在分段函数中分别利用均值不等式和二次函数求出最值即可得解.【详解】（1）解：对于③3()300log a Q x x b =+，当0x =时，它无意义，故不符合题意，对于②22()13xQ x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当10x =时，1022(10)13Q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又100122033<⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭，所以1022(10)113Q ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故不符合题意，故选①3211()250Q x x x cx =-+，由表中的数据可得，3211021010142050c ⨯-⨯+⨯=，解得160c =∴321()216050Q x x x x =-+．（2）解：高速上行驶300km ，所用时间为300h x，则所耗电量为()2300300100()()2102006003000f x N x x x x x x x ⎛⎫=⋅=⋅-+=+- ⎪⎝⎭，由对勾函数的性质可知，()f x 在[80,120]上单调递增，∴min 100()(80)60080300045750wh 80f x f ⎛⎫==⨯+-= ⎪⎝⎭，国道上行驶50km ，所用时间为50h x，则所耗电量为32250501()()2160100800050g x Q x x x x x x x x ⎛⎫=⋅=⋅-+=-+ ⎪⎝⎭，∵060x ≤≤，∴当50x =时，min ()(50)5500wh g x g ==，∴当这辆车在高速上的行驶速度为80km/h ，在国道上的行驶速度为50km/h 时，该车从重庆育才中学行驶到成都七中的总耗电量最少，最少为45750550051250wh +=．21．已知函数()log (0a f x x a =>，且1)a ≠.(1)若函数()f x 的图象与函数()h x 的图象关于直线y x =对称，且点()4,256P 在函数()h x 的图象上，求实数a 的值；(2)已知函数()1,,162322x x g x f fx ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.若()g x 的最大值为12，求实数a 的值.【正确答案】(1)4a =(2)12或2【分析】（1）根据两个函数图象对称的特征求出()xh x a =，代入点的坐标可得实数a 的值；（2）先化简()g x ，利用换元法和二次函数知识，结合最大值求出实数a 的值.【详解】（1）因为函数()log (0=>a f x x a ，且1a ≠）的图象与函数()h x 的图象关于直线y x =对称，所以()xh x a =（0a >，且1a ≠），因为点(4,256)P 在函数()h x 的图象上，所以4256a =，解得4a =，或4a =-（舍去）.（2）()()()log log log log log 5log 22232aa a a a a x xg x x x =⋅=--()()()2222log 6log log 5log 2log 3log 4log 2(2)2a a a a a a a x x x =-⋅+-=-.令log a t x =.①当01a <<时，由1162x ≤≤，有4log 2log log 2a a a x ≤≤-，二次函数()()226log 25log 2a a t t t ϕ=-+的对称轴为3log 2a t =，最大值为()()()()()2222log 2log 26log 25log 212log 212a a a a a ϕ-=++==，解得12a =或2a =（舍去）；②当1a >时，由1162x ≤≤，有log 2log 4log 2a a a x -≤≤，二次函数()22()6log 25log 2a a t t t ϕ=-+的对称轴为3log 2a t =，可得最大值为()()()()()2222log 2log 26log 25log 212log 212a a a a a ϕ-=++==，解得2a =或12a =（舍去），综上，实数a 的值为12或2.22．已知函数()14x b f x a =++的定义域为R ，其图像关于点11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称．(1)求实数a ，b 的值；(2)求122022202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；(3)若函数()412log 22x g x f x x +⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭，判断函数()g x 的单调性（不必写出证明过程），并解关于t 的不等式()()2121g t g t -++>．【正确答案】(1)2,2a b ==-(2)1011(3)13t -<<【分析】（1）根据对称性列方程解出a 和b ；（2）根据对称性分组计算；（3）构造函数，根据函数的单调性和奇偶性求解不等式.【详解】（1）有条件可知函数()f x 经过点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()112210122f f f ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭∴⎨⎪+=⨯⎪⎩，即12112411114b a b b a a ⎧+=⎪⎪+⎨⎪+++=⎪++⎩，解得：2,2a b ==-，()2414242xx xf x -=+=++；（2）由于120222************1,1,,1202320232023202320232023+=+=+= ，1202222021101110121,1,,1202320232023202320232023f f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1220221011202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）由于42log 2x y x +=-是奇函数，根据函数平移规则，()()12h x g x =-也是奇函数，并且由于()f x 是增函数，42log 2xy x+=-也是增函数，()h x ∴也是增函数，定义域为()2,2-不等式()()2121g t g t -++>等价于()()11212022g t g t --++->，即()()2120h t h t -++>，()()()2122h t h t h t ->-+=--，由于()h x 是增函数，2122212222t t t t ->--⎧⎪∴-<-<⎨⎪-<+<⎩，解得103t -<<；综上，（1）2,2a b ==-；（2）1220221011202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）103t -<<.。
学河北省邢台市高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年河北省邢台市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|x＜4}，B={x|-3＜x＜3}，则A∩B=（）A. {1,2}B. {0,1，2}C. (−3,4)D. (−3,3)2.一个等差数列的首项与第3项分别为2，10，则该等差数列的公差为（）A. 4B. −4C. 3D. 83.已知x，y是两个变量，下列四个散点图中，x，y虽负相关趋势的是（）A. B.C. D.4.已知等比数列{a n}的公比为一2，且a2+a5=1，则a4+a7=（）A. −8B. 8C. −4D. 45.下列四个数中，最大的是（）A. log123 B. log4√3 C. log32 D. 126.某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查．现将800名学生从1到800进行编号，依从小到大的编号顺序平均分成50个小组，组号依次为1，2，……，50．已知第1小组随机抽到的号码是m，第8小组抽到的号码是9m，则第7小组抽到的号码是（）A. 100B. 110C. 120D. 1267.设集合A={y|y=-x2-6x，x≤1}，B={y|y=2x-a，0≤x≤1}，若A∪B=A，则（）A. a的最大值为−7B. a的最大值为−8C. a的最小值为−7D. a的最小值为−88.执行如图所示的程序框图，如果输入的x2=2，x3=5，输出的b=1，则输入的x1的值不可能为（）A. 100B. 1000C. 2000D. 100009. 函数f(x)=x 44x −4−x 的大致图象为（ ） A. B.C. D.10. 某商场在周末推出购物满100元赠送一次抽奖机会的活动，抽奖是这样进行的：一盒子内放有大小完全相同编号为2，4，5，6，8，9的6个小球，每次从中随机摸出3个小球．若这3个小球的编号可以构成等比数列，则获得一等奖：若这3个小球的编号可以构成等差数列，则获得二等奖．在此次抽奖活动中，获得一等奖与二等奖的概率分别为（ ）A. 120，14B. 120，15C. 110，14D. 110，15 11. 设S n ，T n 分别为数列{a n }，{b n }的前n 项和S n =2a n -1，且49a n −b n =n ⋅2n ，则当T n 取得最大值时，n =（ ）A. 23B. 24C. 25D. 26 12. 若函数f(x)={(a −1)x −88,x ≤a 1+1gx,x>a ，在R 上是单调函数，则a 的取值范围为（ ）A. (1,10]B. (1,+∞)C. (0,10]D. [10,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若从区间[-4，7]上任意选取一个实数x ，则log 5x ＜1的概率为______．14. 已知函数f(x)=√4−x +√4x −1，则f （-x ）的定义域为______．15. 冬泳能增强人体对冷刺激的适应能力，能提高自身的免疫力，也能增强消化系统功能．为了解某社区参加冬泳参与者的年龄分布情况，某调查小组随机统计了100个该社区冬泳参与者的年龄（他们的年龄都在区间[10，60]内），并绘制出了如图所示的频率分布直方图，则由图可知，这100人年龄在区间[30，50）内的人数为______．16. 在数列{a n }中，a 1=12，且a n+13n+4=3a n 3n+1．记S n =∑ai 3i+1n i=1，T n =∑ai 3i n i=1，则下列判断正确的是______．（填写所有正确结论的编号）①数列{an 3n+1}为等比例数列；②存在正整数n ，使得a n 能被11整除； ③S 10＞T 243；④T 21能被51整除．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 将甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得的分数的数据绘制成茎叶图，如图所示，分别计算在这五场比赛中甲、乙得分的平均数与方差，并据此判断谁的平均水平更好，谁的稳定性更好？18. 已知函数f （x ）=log 3x ，g （x ）=9x ．（1）若f [g （a ）]=g [f （a ）]，求g （1a ）的值；（2）若f （x ）+g （x ）＞m 对x ∈（1，2）恒成立，求m 的取值范围．19. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 6=11，公差d ＜3且a 3+a 7=a 4a 5-45．（1）求S n ；（2）求数列{n S n (a n +3)}的前50项和T 50．20. 某餐馆将推出一种新品特色菜，为更精准确定最终售价，这种菜按以下单价各试吃单价x （元） 1819 20 21 22 销量y （份） 61 56 50 48 45 （2）预计今后的销售中，销量与单价服从（1）中的线性回归方程，已知每份特色菜的成本是15元，为了获得最大利润，该特色菜的单价应定为多少元？（附：，）21.设数列{a n}，{b n}满足b n=2n，a1b1+a2b2+⋯+a n b n=n2b n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n+1−a nb n }的前n项和Sn．22.已知函数f（x）=2x-3，g（x）=ax2-2x（a∈R，且a≥0）．（1）当a＞2时，证明：函数f（x）的零点与函数g（x）的零点之和小于3；（2）若对任意x1，x2∈[1，2]，f（x1）≠g（x2），求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合A={x∈N|x＜4}={0，1，2，3}，B={x|-3＜x＜3}，则A∩B={0，1，2}．故选：B．用列举法写出集合A，再根据交集的定义写出A∩B．本题考查了交集的运算问题，是基础题．2.【答案】A【解析】解：在等差数列{a n}中，由已知得a1=2，a3=10，∴d=．故选：A．由已知结合等差数列的通项公式求解．本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．3.【答案】C【解析】解：对于A，散点图中的点从左向右是上升的，且在一条直线附近，是正相关关系；对于B，散点图中的点不成带状分布，没有明显的相关关系；对于C，散点图中的点从左向右是下降的，且在一条直线附近，是负相关关系；对于D，散点图中的点不成带状分布，没有明显的相关关系．故选：C．根据散点图中各点的分布情况，判断是否具有相关性和正负相关关系．本题考查了利用散点图判断相关性问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解：∵等比数列{a n}的公比为-2，a2+a5=1，∴a4+a7=a2q2+a5q2=q2（a2+a5）=4，故选：D．由题意可得a4+a7=q2（a2+a5）=4，问题得以解决．本题考查了等比数列的通项公式，考查了运算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：＜log1=0，log4=log163＜log164=，log32＞=．∴四个数中最大的是log32．故选：C．利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．本题考查四个数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.【答案】B【解析】解：样本间隔为800÷50=16，∵第1小组随机抽到的号码是m，第8小组抽到的号码是9m，∴9m=m+16（8-1），解得m=14，则第7小组抽到的号码是16×（7-1）+14=110故选：B．求出样本间隔，利用系统抽样的定义进行求解即可．本题主要考查系统抽样的应用，根据条件求出样本间隔是解决本题的关键．7.【答案】B【解析】解：y=-（x+3）2+9，且x≤1；∴y≥9；∴A={y|y≥9}；∵0≤x≤1；∴1≤2x≤2；∴1-a≤2x-a≤2-a；∴B={y|1-a≤y≤2-a}；∵A∪B=A；∴B⊆A；∴1-a≥9；∴a≤-8；∴a的最大值为-8．故选：B．可解出A={y|y≥9}，B={y|1-a≤y≤2-a}，而根据A∪B=A即可得出A⊆B，从而得出1-a≥9，得出a≤-8，从而得出a的最大值为-8．考查描述法的定义，二次函数的图象，指数函数的单调性，以及并集、子集的定义．8.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值；且x2=2，x3=5，a=，b=，∴b=，∴x1是x2•x3的倍数；由程序运行结果为输出b=1，∴输入的x1的值不可能为2000．故选：C．由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可得出答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论．9.【答案】A【解析】解：函数是奇函数，排除选项BD，当x=2时，f（2）=，对应点在y=1的上方，排除C．故选：A．判断函数的奇偶性排除选项，特殊值对于点的位置排除选项即可．本题考查函数与方程的应用，函数的图象的判断，是基本知识的考查．10.【答案】D【解析】解：一盒子内放有大小完全相同编号为2，4，5，6，8，9的6个小球，每次从中随机摸出3个小球．基本事件总数n==20，这3个小球的编号可以构成等比数列，包含的基本事件（a，b，c）有（2，4，8），（4，6，9），共有两个，若这3个小球的编号可以构成等比数列，则获得一等奖，∴在此次抽奖活动中，获得一等奖的概率p1==，这3个小球的编号可以构成等差数列，包含的基本事件（a，b，c）有：（2，4，6），（2，5，8），（4，5，6），（4，6，8），共有4个，若这3个小球的编号可以构成等差数列，则获得二等奖．∴在此次抽奖活动中，获得二等奖的概率为p2=．故选：D．基本事件总数n==20，这3个小球的编号可以构成等比数列，包含的基本事件（a，b，c）有（2，4，8），（4，6，9），共有两个，这3个小球的编号可以构成等差数列，包含的基本事件（a，b，c）有（2，4，6），（2，5，8），（4，5，6），（4，6，8），共有4个，由此能求出在此次抽奖活动中，获得一等奖与二等奖的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.【答案】B【解析】解：∵S n=2a n-1，∴当n=1时，S1=a1=1，当n≥2时，S n=2（S n-S n-1）-1，即S n=2S n-1+1，即S n+1=2（S n-1+1），由S1+1=2得：{S n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，故S n+1=2n即S n=2n-1，则a n=S n-S n-1=2n-1，又由得：故当n≤24时，b n＞0，当n＞24时，b n＜0，故当T n取得最大值时，n=24故选：B．根据已知利用构造等比等比数列法，可得S n+1=2n，进而可得a n=2n-1，求出{b n}的通项公式后，分析数列值由正变负的临界点，可得答案．本题考查的知识点是数列的递推公式，求数列通项公式，难度中档．12.【答案】A【解析】解：若函数，在R上是单调函数，由y=lgx，x＞a是增函数，所以，当a＞1时，lga-a2+a+89＞0，画出函数y=1+lga，以及y=a2-a-88的图象如图：可得，a∈（1，10]．故选：A．判断函数的单调性，利用函数的单调性的性质，列出不等式，即得所求．本题主要求函数的单调性的性质，分段函数的应用，属于中档题．13.【答案】511【解析】解：由log5x＜1解得0＜x＜1，在区间[-3，2]上随机选取一个实数x，对应事件的为区间长度为：7+4=11，而满足事件“0＜x＜1”发生的事件的长度为：1，由几何概型的公式得到所求概率为；故答案为：由题意，利用区间的长度比求概率即可．本题考查了几何概型的概率求法；明确事件的测度为区间的长度是关键．14.【答案】[-4，0]【解析】解：要使f（x）有意义，则；解得0≤x≤4；∴f（x）的定义域为[0，4]；∴0≤-x≤4；∴-4≤x≤0；∴f（-x）的定义域为[-4，0]．故答案为：[-4，0]．可看出，要使f（x）有意义，则需满足，从而得出f（x）的定义域，进而得出f（-x）的定义域．考查函数定义域的概念及求法，指数函数的单调性．15.【答案】50【解析】解：由频率分布直方图得年龄在区间[30，50）内的频率为：（0.028+0.022）×10=0.5，∴这100人年龄在区间[30，50）内的人数为100×0.5=50．故答案为：50．由频率分布直方图得年龄在区间[30，50）内的频率为0.5，由此能求出这100人年龄在区间[30，50）内的人数．本题考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．16.【答案】①②④【解析】解：=，可得=3•，可得数列{}为首项为3，公比为3的等比数列，故①正确；由=3n，即a n=（3n+1）•3n，可得n=7时，a7=22•37，能被11整除，故②正确；S n==3+9+…+3n==（3n-1），T n===4+7+…+（3n+1）=n（3n+5），由S10=（310-1）=88572，T243=×243×734=89181，S10＜T243，故③错误；T21=×21×68=51×14能被51整除，故④正确．故答案为：①②④．由等比数列的定义可得数列{}为首项为3，公比为3的等比数列，可判由等比数列的通项公式计算可判断②；分别运用等差数列和等比数列的求和公式计算可判断③；由等差数列的求和公式计算可判断④．本题考查等比数列和等差数列的定义和通项公式、求和公式，考查化简变形能力和运算能力，推理能力，属于基础题．17.【答案】解：∵x =8+7+9+12+145=10， ∴S 甲2=42+32+12+22+425=6.8． ∵x 乙=8+9+10+14+195=12， ∴S 乙2=42+32+22+22+725=16.4． ∵x 乙＞x 甲，S 甲2＜S 乙2，∴乙的平均水平更好，甲的稳定性更好．【解析】分别求出甲、乙得分的平均数与方差，由此能判断谁的平均水平更好，谁的稳定性更好．本题考查判断谁的平均水平更好，谁的稳定性更好的判断，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 18.【答案】解：（1）由题意知a ＞0，若f [g （a ）]=g [f （a ）]，则f （9a ）=g （log 3a ），即log 39a =9log 3a ，即log 332a =（3log 3a ）2，即2a =a 2，得a =2或a =0（舍）．则g （1a ）=g （12）=912=√9=3．（2）若f （x ）+g （x ）＞m 对x ∈（1，2）恒成立，则log 3x +9x ＞m 对x ∈（1，2）恒成立，设h （x ）=log 3x +9x ，则当x ∈（1，2）时，h （x ）为增函数，∴h （1）＜h （x ）＜h （2），即9＜h （x ）＜log 32+92，则m ≤9．即实数m 的取值范围是（-∞，9]．（1）根据对数和指数幂的运算法则进行化简求出a 的值，代入计算即可． （2）根据不等式恒成立，转化求求函数的最值，求出函数的值域即可．本题主要考查对数函数和指数函数的性质，以及不等式恒成立，构造函数，转化为求函数的值域是解决本题的关键．19.【答案】解：（1）∵a 3+a 7=2a 5=a 4a 5-45，又a 6=11，∴2（11-d ）=（11-2d ）（11-d ）-45，解得d =2或d =272， ∵d ＜3，∴d =2， ∴a 1=11-2×5=1， ∴a 2=2n -1，S n =n(1+2n−1)2=n 2． （2）∵n S n (a n +3)=1n(2n+2)=12(1n −1n+1)， ∴T 50=12(1−12+12−13+⋯+150−151)=12(1−151)=2551．【解析】（1）运用等差数列的通项公式，解方程可得公差和首项，即可得到所求通项公式；（2）运用等差数列的求和公式可得，运用数列的裂项相消求和，即可得到所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于基础题．20.【答案】解；（1）∵x =15（18+19+20+21+22）=20，y =15（61+56+50+48+45）=52，∑(5i=1x i −x)(y i −y)=−40，∑(5i=1x i −x)2=10， ∴，，所以y 关于x 的线性回归方程为：．∴当x=1928=24时，z取最大值，∴单价应定为24元，可获得最大利润．【解析】（1）分别求出x，y的平均数，求出相关系数，求出回归方程即可；（2）求出利润z关于x的解析式，结合二次函数的性质求出对应x的值即可．本题考查了求回归方程问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．21.【答案】解：（1）当n=1时，a1=1．当n≥2时，a1b1+a2b2+⋯+a n b n=n2b n①，a1b1+a2b2+⋯+a n−1b n−1=(n−1)2b n−1②，①-②得a n b n=n2b n−(n−1)2b n−1，∴a n=n2b n−(n−1)2b−1b n =n2−12(n−1)2=n2+2n+12．经验证a1=1符合上式，故a n=n2+2n−12．（2）a n+1−a n=12(2n+3)，∴S n=12(52+722+⋯+2n+32n)，1 2S n=12(522+733+⋯+2n+32n+1)，∴1 2S n=12(52+222+223+⋯+22n−2n+32n+1)，则S n=52+2×122−12n+11−12−2n+32n+1=52+2×122−12n+11−12−2n+32n+1=72−2n+72n+1．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．22.【答案】（1）证明：f（x）的零点为log23，当a＞2时，g（x）的零点为0，2a，∵log23＜2，且当a＞2时，0＜2a＜1，∴log23+2a＜3，（2）解：由已知可得两个函数的值域交集为空，当x ∈[1，2]时，f （x ）=2x -3∈[-1，1]．若a =0，g （x ）=-2x ∈[-4，-2]，满足题意．若a ＞0，g(x)=a(x −1a )2−1a ，当1a ≤1即a ≥1时，g （x ）在[1，2]上单调递增，∴g （x ）∈[a -2，4a -4]，∵a ≥1，∴4a -4≥0，∴a -2＞1，即a ＞3．当1a ≥2即0＜a ≤12时，g （x ）在[1，2]上单调递减，∴g （x ）∈[4a -4，a -2]，∵a -2＜0，∴a −2≤−32，∴0＜a ≤12满足题意．当1＜1a ＜2即12＜a ＜1时，g(x)min =g(1a )=−1a ，且−1a ∈(−2，−1)，则{g(2)<−1g(1)<−1，∴a ＜34，又12＜a ＜1，∴12＜a ＜34．综上，a 的取值范围为[0，34)∪(3，+∞)．【解析】（1）分别求得f （x ），g （x ）的零点，由对数的运算性质，即可得证；（2）由已知可得两个函数的值域交集为空，对a 进行分类讨论，可得结果． 本题考查函数的零点求法，考查不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想方法，以及函数的单调性，考查运算能力，属于中档题。
河北省邢台市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)
二、多选题 9．已知命题 p :“ x R, x 2 2x3 x 4 0 ”，则（ ）
A． p : x R, x2 2x3 x4 0
B． p : x R, x 2 2x 3 x 4 0
C． p 是假命题
D． p 是真命题
10．将
y
sin
x
π 6
的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的
4．在定义域内存在 x1, x2 x1 x2 ，使得 f x1 f x2 成立的幂函数称为“亲幂函数”，
则下列函数是“亲幂函数”的是（ ）
A． f x x
B． f x 2x
C．
f
x
1
x3
D． f x x2
5．已知函数
f
x
Asin
x
A
0,
0,
π 2 的部分图象如图所示，则（
1
π
9 5
π， 2
当
x
0,
π 2
时， sin
x
0 ，则
f
x
2sinx
1 ，所以
f
x
在
0,
π 2
上单调递增，
所以 f log32 f
8 9
f
π
9 5
，则
f
π log32
f
8 9
f
5 3
2
，即
c<a<b
.
故选：D.
9．AD
答案第 3页，共 13页
【分析】根据含量词的命题的否定方法判断 AB，通过分解因式判断命题 p 的真假. 【详解】因为命题为：“ x R, x 2 2x3 x 4 0 ”，
定函数”.下列函数中，是区间 D 上的“稳定函数”的有（ ）
高一第一学期数学期末考试试卷(含答案)(K12教育文档)
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高一第一学期期末考试试卷考试时间:120分钟;学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注息事项:1。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2。
问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效· 4。
考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U=R ，集合{}{}0107|,73|2<+-=<≤=x x x B x x A ，则)(B A C R ⋂=（ )A ．()),5(3,+∞⋃∞-B ．()),5[3,+∞⋃∞-C ．),5[]3,(+∞⋃-∞D ．),5(]3,(+∞⋃-∞2.3a a a ⋅⋅的分数指数幂表示为 （ ）A ．23aB ． a 3C ．43aD ．都不对3。
下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）A. 01ln 10==与e B. 3121log 2188)31(-==-与 C 。
2020-2021高一数学第一学期期末测试
2020-2021高一数学第一学期期末测试2020-2021学年度第一学期末测试数学本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合 $A=\{x|x-1>0\}$，$B=\{-1,1,2\}$，那么$A\cup B$=A) $\{-1\}$ (B) $\{1\}$ (C) $\{-1,1,2\}$ (D) $\{2\}$2.函数 $f(x)=\dfrac{x-2}{2x+1}$ 的定义域为A) $(-1,2]$ (B) $[2,+\infty)$ (C) $(-\infty,-1)\cup[1,+\infty)$ (D) $(-\infty,-1)\cup[2,+\infty)$3.下列函数是偶函数的是A。
$y=x$。
B。
$y=2x-3$ C。
$y=x^2$ D。
$y=|x|$4.三个数 $a=0.3$。
$b=\log_2 0.3$。
$c=2^{2.3}$ 之间的大小关系是A。
$a<c<b$ B。
$a<b<c$ C。
$b<a<c$ D。
$b<c<a$5.设集合 $M=\{x|x>2\}$，$P=\{x|x<3\}$，那么“$x\inM$ 或 $x\in P$”是A。
充分条件但非必要条件B。
必要条件但非充分条件C。
充分必要条件 D。
非充分条件，也非必要条件6.已知角 $\alpha$ 的终边过点 $P(-1,2)$，$\cos \alpha$ 的值为（）A。
$-\dfrac{5}{2}$ B。
$-\sqrt{5}$ C。
$\dfrac{5}{2}$ D。
$\sqrt{5}$7.在平面直角坐标系中，动点 $M$ 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周。
2023-2024学年河北邢台市高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年河北邢台市高一上册期末数学试题一、单选题1．已知3sin 375︒=，则cos 593︒=（）A ．35B ．35-C ．45D ．45-【正确答案】B【分析】根据三角函数的诱导公式结合题干所给条件计算即可.【详解】()()()()cos 593cos 720127cos 2360127cos 127cos 127︒=︒-︒=⨯︒-︒=-︒=︒()3cos 9037sin 375=︒+︒=-︒=-故选：B.2．定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，则下列判断正确的是（）A ．311224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．113422f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．311242f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．131224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【正确答案】A【分析】根据偶函数定义，将自变量转化到区间(0,)+∞上，利用单调性比较大小即可.【详解】因为()f x 为偶函数，所以11(()22f f -=，33(()22f f -=，又113422<<，且()f x 在(0,)+∞上是减函数，所以311224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A3．设集合{}|3213A x x =-≤-<，{}|21,B x x k k Z ==+∈，则A B = （）A ．{}|12x x -≤<B ．{}|12x x -<≤C ．{}1,1-D ．{}1,0,1-【正确答案】C【分析】利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合{}{}|3213|12A x x x x =-≤-<=-≤<，{}|21,B x x k k Z ==+∈，所以A B = {}1,1-，故选：C4．若函数(21)3()3a x f x -+=在R 上是减函数，则实数a 的取值范围（）A ．1(,)2+∞B ．1(,)2-∞C ．1(,1)(1,+)2⋃∞D ．1(,1)2【正确答案】B【分析】根据复合函数的单调性可得出函数()213u a x =-+为R 上的减函数，可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】令()213u a x =-+，由于函数()()2133a x f x -+=在R 上是减函数，函数3u y =为R 上的增函数，则函数()213u a x =-+为R 上的减函数，所以，210a -<，解得12a <.故选：B.5．函数()0=f x x 的定义域是（）A ．(],2-∞B ．()0,2C ．()(),00,2-∞ D ．()(],00,2-∞⋃【正确答案】C【分析】根据函数的性质，被开偶次方根的数大于等于0，分母不能为0，0的0次幂没有意义等，列出不等式组，解之即可求解.【详解】要使函数()0=f x x 有意义，则有20x x ->⎧⎨≠⎩，解得：2x <且0x ≠，所以函数的定义域为(,0)(0,2)-∞ ，故选.C6．函数()log 14a y x =-+的图像恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图像上，则(4)f =（）A ．16B ．8C ．4D ．2【正确答案】A【分析】利用恒等式log 10a =可得定点P ，代入幂函数可得解析式，然后可得.【详解】当2x =时，log 144a y =+=，所以函数()log 14a y x =-+的图像恒过定点(2,4)记()m f x x =，则有24m =，解得2m =所以2(4)416f ==.故选：A7．已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞＜＜的相邻的两个零点之间的距离是6π，且直线18x π=是()f x 图象的一条对称轴，则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．B ．12-C ．12D ．2【正确答案】D【分析】由相邻两个零点的距离确定周期求出6ω=，再由对称轴确定6πϕ=，代入12x π=可求出结果.【详解】解：因为相邻的两个零点之间的距离是6π，所以26T π=，23T ππω==，所以6ω=，又sin 6sin 118183f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且02πϕ＜＜，则6πϕ=，所以()sin 66f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 612126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.思路点睛：确定()()sin f x A x =+ωϕ的解析式，一般由周期确定ω，由特殊值确定ϕ，由最值确定A .8．若3log 2a =，53b =，7log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b<c<a【正确答案】A【分析】根据指数与对数的关系得到5log 3b =，再根据对数函数的性质得到27310b <<，1223a <<，7110c <<即可判断；【详解】解：由53b =，所以5log 3b =，又235555221log 5log 3log log log 5log 533=>=>===，即213b <<；又10359049=，7578125=，所以10735<，即71035<，所以710557log 3log 510<=，即27310b <<，233333312log log 2log log log 323===，即1223a <<，237777721log 7log 4log log log 73=>==，即213c <<，又()21010421048576==，77823543=，所以10747>，即71047>，所以710777log 4log 710>=，即7110c <<，综上可得c b a >>，故选：A二、多选题9．若a ，b ，c 为实数，则下列命题正确的是（）A ．若,a b c d >>，则a c b d +>+B ．若a b <，则33a b <C ．若a b >，则b a a b<D ．若a b >，则()()2211a c b c +>+【正确答案】ABC【分析】由不等式的性质逐一判断即可．【详解】A 、若,a b c d >>，则a c b d +>+，正确；B 、若a b <，则33a b <，正确；C 、当2,1a b ==-时，b aa b>，故错误．D 、若a b >，210c +>，则()()2211a c b c +>+，正确．故选：ABC10．函数()1xxf x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中0a >且1a ≠，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 是奇函数B ．方程()0f x =在R 上有解C ．函数()f x 的图象过定点()0,1D ．当1a >时，函数()f x 在其定义域上为单调递增函数【正确答案】ABD【分析】求出定义域，利用()()f x f x -=-证明出()f x 为奇函数，A 正确；求出()00f =，得到B 正确，C 错误；当1a >时，函数xy a =在R 上单调递增，11xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，得到()f x 在其定义域上单调递增.【详解】()1xxf x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭定义域为R ，且()()11xxx x f x f x a a a a --⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪⎪⎝⎝-=-⎭⎭，故()f x 为定义域，A 正确；()001101f a a ⎛⎫=-⎪=⎭-⎝= ，故方程()0f x =在R 上有解，B 正确，C 错误；当1a >时，函数xy a =在R 上单调递增，11x y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()1xx f x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在定义域上单调递增，D 正确.故选：ABD11．下列四个函数中，以π为周期，且在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（）A ．sin y x =B ．cos 2y x =C ．tan y x =-D ．sin 2y x=【正确答案】AC先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调性，即可选择判断.【详解】|sin |y x =最小正周期为π，在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；cos 2y x =最小正周期为π，在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；tan y x =-最小正周期为π，在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；sin 2y x =不是周期函数，在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；故选：AC12．已知函数()|log (1)|(1)a f x x a =+>，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的图象不过定点(0,0)B ．函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递减C ．函数()f x 在区间1[,1]2-上的最小值为0D ．若对任意[1,2]x ∈，()1f x >恒成立，则实数a 的取值范围是(1,2)【正确答案】CD【分析】根据对数函数的图象与性质逐一判断【详解】对于A ，因为对任意1a >都有(0)0f =，所以()f x 的图象过定点(0,0)，故A 错误；对于B ，1a >时，log (1),10()log (1)log (1),0a a ax x f x x x x -+-<<⎧=+=⎨+≥⎩，在(0,)+∞上单调递增，故B错误；对于C ，由以上知()f x 在()1,0-上单调递减，在[0,)+∞上单调递增，在区间1[,1]2-上的最小值为(0)0f =，故C 正确；对于D ，对任意[1,2]x ∈，()1f x >恒成立，则有min ()(1)log 21a f x f ==>，解得(1,2)a ∈，故D 正确．故选：CD三、填空题13．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-，则(1)f -=__________.【正确答案】1-由奇偶性的性质()()f x f x -=-，代值求解即可.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，则()2(1)(1)2111f f -=-=-⨯-=-.故1-本题考查由函数奇偶性求函数值，属于基础题.14．已知sin 3cos 0αα-=，则2sin sin 2αα+=__________.【正确答案】32##1.5【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出tan α，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得；【详解】解：因为sin 3cos 0αα-=，所以sin tan 3cos ααα==，所以22sin sin 2sin 2sin cos ααααα+=+222sin 2sin cos sin cos ααααα+=+22tan 2tan tan 1ααα+=+223233312+⨯==+故3215．已知4cos 5θ=-，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________.【正确答案】10-##【分析】首先求出sin θ，再根据两角和的余弦公式计算可得.【详解】因为4cos 5θ=-，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5θ==，所以437cos cos cos sin sin 444525210πππθθθ⎛⎫+=-⨯-⨯=- ⎪⎝⎭.故16．设实数x 满足2log 4log 1x x -=，则x =________．【正确答案】14或2【分析】结合对数的换底公式整理得222(log )log 20x x +-=，求出2log x ，结合对数和指数式的互化即可求出x .【详解】由于22log 42log 2log x x x ==，所以原式转化为222log 1log x x-=，即222(log )log 20x x +-=，解得2log 2x =-或2log 1x =，所以14x =或2x =．故答案为:14或2.四、解答题17．已知函数()23f x x ax =++．（1）若()f x 有一个零点为3x =，求a ；（2）若当x R ∈时，()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围．【正确答案】（1）4a =-；（2）[]6,2-．【分析】（1）由题意可得(3)0f =，从而可求出a 的值；（2）由于当x R ∈时，()f x a ≥恒成立，等价于当x R ∈时，230x ax a ++-≥恒成立，所以只要()2430a a ∆=--≤，从而可求出a 的取值范围【详解】解：（1）因为()f x 有一零点3x =，所以23330a +⨯+=，所以4a =-．（2）因为当x R ∈时，230x ax a ++-≥恒成立，需()2430a a ∆=--≤，即24120a a +-≤，解得62a -≤≤，所以a 的取值范围是[]6,2-．18．化简求值：(1)()2134272e 116+⋅-；(2)1lg lg 254-.【正确答案】(1)7(2)1-【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解.（2）根据对数的运算性质即可化简求值.【详解】（1）()()()21210343434272e 1163222+⋅-+=++-232227=++-=+（2）11111lg lg 25lg 25lg 10lg10144425-⎡⎤⎛⎫++-=⨯÷=⨯⨯==- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭19．已知cos(2)sin()tan()cos()()sin cos 22f πθθπθπθθππθθ--+-=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）化简()f θ；（2）若θ为第四象限角，且cos 3θ=，求()f θ的值．【正确答案】（1）()sin f θθ=-；（2【分析】（1）利用诱导公式化简即可.（2）利用同角三角函数的基本关系可得sin θ=-.【详解】解：（1）由三角函数诱导公式可知：cos (sin )tan (cos )()tan cos sin cos (sin )f θθθθθθθθθθ--=-=--．（2）由题意，sin θ==，可得()3f θ=．20．已知一次函数()f x 满足(2)3f =，(1)()2f x f x +-=．(1)求()f x 的解析式；(2)若x ∀∈R ，()21()1m x mf x ++<，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)()21f x x =-(2)10m -<≤【分析】（1）待定系数法求函数解析式，设()f x kx b =+，代入条件，得到方程组，解出参数即可；（2）将函数解析式代入即可转化为一个不等式恒成立的问题.【详解】（1）设()f x kx b =+，则()()11f x k x b +=++．由()()12f x f x +-=得2k =．因为()223f k b =+=，所以1b =-．所以，()f x 的解析式为()21f x x =-．（2）将()21f x x =-代入()()211m x mf x ++<得2210mx mx +-<（*）．即x ∀∈R ，2210mx mx +-<．①当0m =时，不等式*变为10-<，满足条件；②当0m ≠时，原问题等价于()()22410m m m <⎧⎪⎨-⨯-<⎪⎩解得10m -<<．综上，实数m 的取值范围为10m -<≤．21．已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示.(1)求,A ω和ϕ的值；(2)求函数()y f x =在[]1,2上的单调递减区间；(3)若函数()y f x =在区间[],a b 上恰有2022个零点，求b a -的取值范围.【正确答案】(1)1A =；πω=；π3ϕ=-(2)111,6⎡⎤⎢⎣⎦(3)[)2021,2023【分析】（1）根据图像上点的坐标特征列方程求解即可；（2）根据复合函数“同增异减”列式求解即可；（3）根据周期性求解即可．【详解】（1）解：由图像得1A =，412π22,π332T ω⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭，1ππ2π,Z,32k k ϕϕ+=∈<，解得π3ϕ=-，()πsin π3f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭．（2）解：令π2π5ππ,333t x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，()sin g t t =，由()sin g t t =图像易知当2π3π,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()g t 递减，∴2ππ3ππ332x ≤-≤，解得1116x ≤≤，∴函数()y f x =在[]1,2上的单调递减区间为111,6⎡⎤⎢⎣⎦．（3）解：令()πsin π03f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则πππ3x k -=，解得13x k =+，Z k ∈，∴()f x 在17,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭有两个零点，因为()f x 周期为2，若函数()y f x =在区间[],a b 上恰有2022个零点，则101021101121b a ⨯+≤-<⨯+，20212023b a ∴≤-<，[)2021,2023b a ∴-∈．22．已知函数()()4log 412x x f x =+-与()44log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.(1)判断()f x 的奇偶性；(2)若函数()()()F x f x g x =-有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)偶函数(2){}13a a a >=-或【分析】（1）根据奇偶性定义判断；（2）函数只有一个零点，转化为方程()0F x =只有一个根，用换元法转化为二次方程只有一个正根（或两个相等正根），再根据二次方程根分布分类讨论可得．【详解】（1）∵()()4log 412x x f x =+-的定义域为R ，()()()()444log 41log 41log 40x x x f x f x x x ---=+-+-=-=∴()()=f x f x -，∴()f x 为偶函数.（2）函数()()()F x f x g x =-只有一个零点即4414log 2log 223x x x a a ⎛⎫⎛⎫+=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即方程1422023x x x a a +=⋅->有且只有一个实根.令20x t =>，则方程()241103a t at ---=有且只有一个正根.①当1a =时，34t =-，不合题意；②当1a ≠时，若方程有两相等正根，则()()()2443130a a ∆=--⨯-⨯-=，且()40231a a >⨯-，解得3a =-；满足题意20x t =>③若方程有一个正根和一个负根，则101a -<-，即1a >时，满足题意20x t =>.∴实数a 的取值范围为{}13a a a >=-或.。
河北省邢台市高一上学期期末测试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知全集，集合，，则（ ） Z U ={}1,0,1,2M =-{}1,2,3N =()U M N ⋂=ðA ． B ． {}1,0-{}1,2C ． D ．{}3{}1,0,1,2,3-【答案】C【分析】根据集合补集和交集运算方法计算即可.【详解】表示整数集Z 里面去掉这四个整数后构成的集合， U M ð1,012-,,∴. (){}3U M N ⋂=ð故选：C.2．2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可判断出结果．【详解】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定， 则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”； 而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”， 故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件， 故选：C ．3．下列函数中，在定义域内既是单调函数，又是奇函数的是（ ） A ． B ． 13y x =5x y =C ． D ．2log y x =1y x -=【答案】A【详解】对于A ：为奇函数且在上单调递增，满足题意； 13y x =R 对于B ：为非奇非偶函数，不合题意； 5x y =对于C ：为非奇非偶函数，不合题意；2log y x =对于D ：在整个定义域内不具有单调性，不合题意. 1y x -=故选：A.4．函数的零点所在的一个区间是（ ）()152xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．()3,2--()2,1--()1,0-()0,1【答案】B【分析】由零点的存在性定理求解即可 【详解】∵，，()360f -=>()210f -=>，，()120f -=-<()040f =-<根据零点的存在性定理知，函数的零点所在区间为． ()f x ()2,1--故选：B5．已知函数是定义域为R 的偶函数，且在区间上单调递增，若，则不等式()f x [0)，+∞1()02f =的解集为（ ） ()0f x <A ．B ．11(,(0,22-∞- 11(,)22-C ．D ．11(,0)(,)22-+∞ 11(,)(,)22-∞-+∞ 【答案】B【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可． 【详解】是定义在R 上的偶函数，且在区间，上单调递增，()f x [0)∞+若，则不等式等价为，∴1()02f =()0f x <1()()2f x f <即，即， 12x <1122x -<<故不等式的解集为：.11(,)22-故选：B ．6．玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm ）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）A ．B ．C ．D ．21600cm 23200cm 23350cm 24800cm 【答案】D【分析】利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积即可求解【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，设大、小扇形所在圆的半径分别为，，相同的圆心角为，则，得，又因为，所以1r 2r θ1216080r r θ==122r r =1240r r -=180r =，， 240r =该扇形玉雕壁画面积（）．1211111608016080804048002222S r r =⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯=2cm 故选：D ．7．设，，，则，，三者的大小关系是（ ） 0.5log 0.3a =4log 6b =2log 3c =a b c A ． B ． a b c <<b a c <<C ． D ．a cb <<b<c<a 【答案】D【分析】根据对数的运算变形、210log 3a =2logb =【详解】解：，，因为函1120.521010log 0.3log log 33a --⎛⎫=== ⎪⎝⎭242221log 6log 6log 6log 2b ====数，所以，即， 2log y x =1033<<22210log log 3log 3<<b<c<a 故选：D8．已知角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，终边上有一点，，θx (4sin ,cos )P θθ3(,2πθπ∈则( ) tan θ=AB ．C D ．1213【答案】B【分析】由三角函数定义列式，计算，再由所给条件判断得解. 【详解】由题意知，故，又，2cos 11tan tan 4sin 4tan 4θθθθθ==⇒=1tan 2θ=±3(,)2πθπ∈∴. 1tan 2θ=故选：B二、多选题9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为符号使用，后来英国数=学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响<>深远．若，，，则下列命题正确的是（ ） a b R c ∈A ．若，则B ．若，则 0b a >>11a b>a b >ac bc >C ．若，，则 D ．若，则a b >c d >a c b d +>+22ac bc >a b >【答案】ACD【分析】分别由不等式的同加同乘性质可得，注意选项B 中为0的情况. c 【详解】选项A ：，在不等式两边同除以得，A 正确； 0b a >> 0.ab ∴>b a >ab 11a b>选项B ：当时，，B 错误；0c =ac bc =选项C ：同向不等式相加，不等号方向不变，C 正确；选项D ：，，两边同除以得，，D 正确. 22ac bc > 20c ∴>2c a b >故选：ACD.10．下列各式中值为1的是（ ） A ．B ．tan12tan 331tan12tan 33︒+︒-︒︒sincos1212ππC ．D sin 72cos18cos 72sin18︒︒+︒︒22cos sin 88ππ⎫-⎪⎭【答案】ACD【分析】逆用两角和的正切公式、二倍角公式、两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】A ：，符合题意；tan12tan 33tan(1233)tan 4511tan12tan 33︒+︒=︒+︒=︒=-︒︒B ：，不符合题意； 11sincossin(212122124πππ=⨯=C ：，符合题意；sin 72cos18cos 72sin18sin(7218)sin 901︒︒+︒︒=︒+︒=︒=D ，符合题意， 22cossin 18884ππππ⎫-=⨯==⎪⎭故选：ACD11．已知，，且，则下列说法中正确的是（ ） 0x >0y >1x y +=A ．有最大值为B ．有最小值为9xy 1414x y +C ．有最小值为 D ．有最小值为3 222x y +341y x y+【答案】ABD【分析】直接利用基本不等式，可求得的最大值，判断A; 将变为xy 14x y+，利用基本不等式求得其最小值，判断B;将 代入14144()5y x x y x y x y x y+=++=++1y x =-，利用二次函数知识可判断C,将代入，利用基本不等式可判断D. 222x y +1x y =+1y x y+【详解】由，，且，可知， 0x >0y >1x y +=x y +≥21(24x y xy +≤=当且仅当 时取等号，故A 正确； 12x y ==， 14144()559y x x y x y x y x y+=++=++≥+=当且仅当即 时取等号，故B 正确； 4y x x y =12,33x y ==由，，且，可知，故， 0x >0y >1x y +=01x <<222222)322(14x x x x x y =+-=-++当时，取得最小值为 ，故C 错误； 2(0,1)3x =∈2223422x x y x +=-+422342933⨯-⨯+=，当且仅当，即时取等号，11213y y x y y x x y x y x y ++=+=++≥+=y x x y =12x y ==故D 正确， 故选：ABD12．下列关于函数的说法正确的是（ ）tan 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭A ．在区间上单调递增B ．最小正周期是,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2πC ．图象关于点成中心对称 D ．图象关于直线成轴对称5,012π⎛⎫⎪⎝⎭12x π=-【答案】BC【解析】由函数式可化为，结合正切函数的性质有函数在上递减，tan(2)3y x π=--71212x ππ-<<-最小正周期为，关于点成中心对称，无对称轴，即可判断选项的正误. 2T π=5,012π⎛⎫⎪⎝⎭【详解】，tan 2tan(2)33y x x ππ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭令，得， 2,232k x k k Z πππππ-+<-<+∈5,122122k k x k Z ππππ-+<<+∈∴时，，所以在上单调递减，A 错误.1k =-71212x ππ-<<-tan 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由上知：最小正周期为，B 正确.2T π=当时有，所以关于点成中心对称，C 正确. 512x π=232x ππ-=tan 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭5,012π⎛⎫⎪⎝⎭由正切函数的性质知：正切函数无对称轴，D 错误. 故选：BC【点睛】关键点点睛：应用正切函数的性质确定单调性及其区间，最小正周期，对称中心，进而判断选项的正误.三、填空题13．已知函数是幂函数，且过点，则___________. ()f x ()8,2--()27f =【答案】3【分析】由题意，设代入点坐标可得，计算即得解()f x x μ=13μ=【详解】由题意，设，过点()f x x μ=()8,2--故，解得(8)2μ-=-13μ=故 ()13f x x =则 ()1327273==f 故答案为：314．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰⋅纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，则log ba a Nb N =⇔=346x y ==21x y+=____________. 【答案】2【分析】根据指数和对数互化以及换底公式，对数的运算即可求解. 【详解】因为，所以，,346x y ==log 6x =log 6y =所以，，61log 3x=61log 4y =所以，26666666212log 3log 4log 4log 3log 4log 9log 362x y +=+=+=+==故答案为：.215．若，且均为锐角，则________．43cos ,cos()55ααβ=+=,αβsin β=【答案】##0.28 725【分析】先求得的值，由可求得的值. ()sin ,sin ααβ+()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦sin β【详解】解：由于是锐角，所以，,αβ0αβ<+<π所以，()34sin ,sin 55ααβ==+==所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦. 44337555525=⨯-⨯=故答案为：. 725四、双空题16．已知函数 ，若函数有4个零点，，，，则()12,011,04x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩3()()2g x f x =-1x 2x 3x 4x ____________；若关于的方程 有个不相等的实数1234x x x x +++=x 25()()02f x f x a -+=()a R ∈8根，则的取值范围是____________． a 【答案】 2-325,216⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据指数函数与二次函数的性质，作出函数的图象，结合函数图象的对称性，即可()f x 求解的值，再令令，根据有8个不等的实数根，转化1234x x x x +++()f x t =25()()02f x f x a -+=为在有2个不同的实数根，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.2502t t a -+=(1,2)t ∈【详解】由题意，函数，()12,011,04x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩根据二次函数的性质，可得函数的图象关于对称，()2114f x x x =--+2x =-在坐标系中作出函数的图象，如图所示，()f x 函数有4个零点，，，，3()()2g x f x =-1x 2x 3x 4x 可得，所以； 34122,122x x x x ++=-=12342x x x x +++=-令，则方程可化为，()f x t =25()()02f x f x a -+=2502t t a -+=因为有8个不等的实数根， 25()()02f x f x a -+=则方程必有4个实数根，所以， ()f x t =12t <<所以在有2个不同的实数根，2502t t a -+=(1,2)t ∈令，可得其对称轴的方程为，()252h t t t a =-+54t =则满足，解得，()()5252504168511022450h a h a h a ⎧⎛⎫=-+< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=-+>⎨⎪=-+>⎪⎪⎩325216a <<所以实数的取值范围是.a 325(,216故答案为：；.2-325(,216五、解答题17．（1）计算：； 213log 3081(8)lg 25lg 4log 2-⎛⎫--++++（2）已知，求的值. tan 2α=()()πcos 2sin cos 2πααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+-【答案】（1）；（2）2 52【分析】（1）利用指数，对数的运算性质即可化简求解； （2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可求解．【详解】解：（1）； 213log 3028135(8)lg 25lg 4log 21lg1002327422-⎛⎫--++++=-+-+= ⎪⎝⎭（2）因为，所以．tan 2α=()()πcos sin tan 222sin cos 2πsin cos tan 121αααααααα⎛⎫+ ⎪---⎝⎭====-+--+-+-+18．已知集合，集合，集合{A x y =={}121B x m x m =+≤≤-.{}310,C x x x Z =≤<∈（1）求的子集的个数；A C （2）若命题“，都有”是真命题，求实数m 的取值范围. x AB ∀∈⋃x A ∈【答案】（1）8个；（2）.3m …【解析】（1）求出集合和，再求，根据集合子集的个数{|25}A x x =-……{3,4,5,6,7,8,9}C =A C 2n 可得答案；（2）由题意可得，分和两种情况讨论可得答案. B A ⊆B =∅B ≠∅【详解】（1）由解得，所以， 23100x x -++≥25x -……{|25}A x x =-……又因为，所以， {|310,}{3,4,5,6,7,8,9}C x x x =<∈=Z …{3,4,5}A C ⋂=所以的子集的个数为个.A C 328=（2）因为命题“都有”是真命题，所以，即， x AB ∀∈⋃x A ∈A B A ⋃=B A ⊆当时，，解得；B =∅121m m +>-2m <当时，解得，B ≠∅121,12,215,m m m m +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………23m ……综上所述：.3m …19．已知函数． ()2cos cos )f x x x x =+（I ）求函数的最小正周期和对称中心坐标； ()f x （II ）讨论在区间上的单调性．()f x [0,2π【答案】（Ⅰ），对称中心为；（Ⅱ）增区间；减区间 T π=,0()122k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（Ⅰ）化简函数的解析式，利用三角函数的图象与性质，即可求解.()2sin(26f x x π=+（Ⅱ）由（1）可知，根据和三角函数的图象与性质，即可求解.()2sin(2)6f x x π=+[0,]2x π∈【详解】（Ⅰ）由题意，函数 2()2cos cos )1cos 2cos 1f x x x x x x x =+-=+-， 2cos 22sin(2)6x x x π=+=+所以函数的最小正周期， ()f x 222T w πππ===令，即，即，解得 ()0f x =2sin(206x π+=2,6x k k Z ππ+=∈122k x ππ=-+,k Z ∈所以函数的对称中心为. ()f x (,0),122k k Z ππ-+∈（Ⅱ）由（1）可知，()2sin(2)6f x x π=+令，解得，222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈令，解得， 3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z 又因为，[0,]2x π∈当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.0k =()f x 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,62ππ⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及三家函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数恒等变换的公式，以及三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20．第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x 千件，需另投入成本（万元）.()C x 经计算若年产量x 千件低于100千件，则这x 千件产品成本；若年产量x 千21()1011002C x x x =++件不低于100千件时，则这x 千件产品成本.每千件产品售价为100万4500()120540090C x x x =+--元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？【答案】(1) 21903100,010024500203400,10090x x x L x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪-⎩(2)当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元【分析】（1）年利润为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可；（2）当时，根L 0100x <<据二次函数单调性求最大值；当时，根据基本不等式求最大值，继而求出最大值.L 100x ≥L 【详解】（1）当时，； 0100x <<2211100101100200090310022L x x x x x =----=-+-当时，. 100x ≥45004500100120540020002034009090L x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪--⎝⎭所以 21903100,010024500203400,10090x x x L x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪-⎩（2）当时，. 0100x <<2211903100(90)95022L x x x =-+-=--+当时，取得最大值，且最大值为950.90x =L 当时，当且100x≥(45002252034002090160020160010009090L x x x x ⎛⎫=--+=--++≤-+= ⎪--⎝⎭仅当时，等号成立.105x =因为，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元. 1000950>21．已知. 25())2sin ()1224f x x x ππ=+--（1）求在区间上的最小值； ()f x ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）将的图象向右平移个单位，得到的图象，求满足的x 的取值范围.()y f x =4π()g x ()0g x≥【答案】（1）最小值为；（2）. 1-7|,2424x k x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z 【解析】（1）利用降次公式、诱导公式、辅助角公式化简解析式.根据三角函数最值的求法，()f x 求得在区间上的最小值. ()f x ,44ππ⎡⎤-⎢⎣⎦（2）求得的解析式，化简不等式得到，解三角不等式求得满足()g x ()0g x ≥1sin 242x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的x 的取值范围.()0g x ≥【详解】（1） 1cos 2512()22122x f x x ππ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+-⨯ ⎪⎝⎭52cos211212x xππ⎛⎫⎛⎫=++--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52sin2112212x xπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++---⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦552sin211212x xππ⎛⎫⎛⎫=+++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，532sin212sin211234x xπππ⎛⎫⎛⎫=++-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，，,44xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦352,444xπππ⎡⎤+∈⎢⎣⎦所以，当时，的最小值为.35244xππ+=()f x1-（2），3()2sin212sin21444g x x xπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由可得，则，()0g x≥1sin242xπ⎛⎫+≥⎪⎝⎭5222646k x kπππππ+≤+≤+所以，，72424k x kππππ-≤≤+k∈Z即对应的x取值的集合是.()0g x≥7|,2424x k x k kππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z【点睛】要解决三角函数最值、值域、单调区间、最小正周期、对称轴等问题，首先要将函数转化为的形式.()sinA x Bωϕ++22．已知函数.(,R2()2)xxbbxaaf+∈=+（1）若，解关于x的不等式；4,8a b=-=-1()2f x<（2）已知为定义在R上的奇函数.()f x①当时，求的值域；(,0]x∈-∞()f x②若对任意成立，求m的取值范围.2()(1)(0)f mx f mx f+->x R∈【答案】（1）；（2）①；②.{}2|2log12x x<<(1,0]-04m<…【解析】（1）将代入函数解析式，不等式即为，令，4,8a b=-=-1()2f x<281242xx-<-2(0)x t t=>不等式即为，解得，即，进而求得不等式的解集；8142tt-<-412t<<4212x<<（2）①根据其为奇函数，得到，求得，再根据，解得，从而(0)0f=1b=-()()0f x f x+-=1a=求得函数解析式，利用换元思想，结合函数单调性求得函数值域；②利用函数单调性的定义证明其为增函数，结合奇函数的条件，将转化2()(1)(0)f mx f mx f+->为相应不等式组，求得结果.【详解】（1），时，由可得，令，得， 4a =-8b =-1()2f x <281242x x -<-2(0)x t t =>8142t t -<-解得，即，所以.412t <<4212x <<{}2|2log 12x x <<（2）①因为为上的奇函数，所以，即，则，()f x R (0)0f =020b +=1b =-所以，根据为上的奇函数可得. 21()2x x f x a-=+()f x R ()()0f x f x -+=所以，即对任意恒成立， 2121022x x x x a a ----+=++()()()21(1)0212x x x a a a --=⋅++x ∈R 所以，1a =令，令，则. 2()121x f x =-+21(0)x t x =+…12t <…所以原函数的值域转化为的值域， 21(12)y t t=-<…又因为在上单调递增，所以的值域为. 21y t =-(1,2]()f x (1,0]-②，设任意，且， 2()121x f x =-+12,x x ∈R 12x x <则， ()()()()()212112212222211021212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=> ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭所以在上单调递增.()f x R 又因为对任意成立，且为上的奇函数， ()2(1)(0)f mx f mx f +->x ∈R ()f x R 所以对任意成立，()2(1)f mx f mx >-x ∈R 所以对任意成立.210mx mx -+>x ∈R 当时，满足题意；0m =当时，解得， 0m ≠20,40,m m m >⎧⎨∆=-<⎩04m <<综上所述，.04m <…【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数性质的问题，解题方法如下：（1）将参数代入函数解析式，解不等式即可得结果；（2）①根据奇函数的定义，求得参数值，进而求得函数的值域；②利用单调性的定义证明函数的单调性，结合函数单调性以及奇偶性，将不等式转化，得到结果.。
2020-2021学年邢台市威县一中高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年邢台市威县一中高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共36.0分） 1.设全集U =R ，集合A ={x|x ≥2}，B ={x|0≤x <5}，则集合A ∩B =( )A. {x|0≤x}B. {x|0<x ≤2}C. {x|0≤x <2}D. {x|2≤x <5}2.下面各命题中，正确的是( )A. 过平面外一点作与这个平面垂直的平面有且只有一个B. 若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行C. 若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行D. 若两个平面平行，则其中一个平面内的所有直线都与另一个平面平行3.已知m ∈R ，则“m ≠5”是“曲线x 2m+y 25=1为椭圆”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x +1)=f(x −1)，且当x ∈[−1,0]时f(x)=(12)x ，则f(log 28)等于( )A. 3B. 18C. −2D. 25.下列四个不等式中，错误的个数是( )(1)50.5<60.5(2)0.10.5<0.10.4(3)log 23<log 25(4)log 32<0.1−0.2A. 0B. 1C. 2D. 36.已知集合A ={x|log 2(x −1)<1}，B ={x|x+1x−3<0}，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.sin300°+tan600°+cos(−210°)的值的( )A. −√3B. 0C. −12+√32 D. 12+√328.下列函数中，在区间(0,)上为增函数且以为周期的函数是( )A.B.C.D.9.已知函数f(x)={(2−a)x +1,x <2a x−1,x ≥2在x ∈(−∞,+∞)上的值域为R ，则a 的取值范围是( )A. (1,53]B. (0,+∞)C. (1,2)D. [53,2)二、单空题（本大题共5小题，共20.0分）10. 已知扇形的圆心角为23π，面积为253π，则扇形的弧长为______ ． 11. 设函数的定义域为，值域为，若的最小值为，则实数的值为 ． 12. 函数的单调递减区间为__________．13. 已知向量a ⃗ =(sinθ,cosθ),b ⃗ =(3,−4),若a ⃗ //b⃗ ,则tanθ=______． 14. 已知函数f(x)={|x +a|+|x −1|,x >0x 2−ax +3,x ≤0的最小值为a +1，则实数a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共64.0分）15. 已知函数f(x)=x 2，集合A ={x|f(x −3)<1}，集合B ={x|f(x −2a)<a 2}. (1)求集合A ； (2)求集合B ；(3)若A ∪B =B ，求实数a 的取值范围．16. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若m ⃗⃗⃗ =(sin 2B+C 2,1)，n ⃗ =(cos2A +72,4)，且m⃗⃗⃗ //n ⃗ ． (Ⅰ)求角A ；(Ⅱ)当a =√3，S △ABC =√32时，求边长b 和角B 的大小．17. 设使定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质．(1)设函数，其中为实数 ①求证：函数具有性质，②求函数的单调区间．(2)已知函数具有性质，给定，，且，若||<||，求的取值范围．18.已知函数f(x)=sin2x+2√2(tanθ+1)sin(θ+π4)+tan2θ，其中x∈[−π2,0],θ∈[−π3,π3](1)若θ=π4，求函数f(x)的最小值及相应的x的值；(2)是否存在实数θ，使得函数f(x)的图象始终在直线y=−2的上方，若存在，求出实数θ的取值范围；若不存在，说明理由．19. 设函数f(x)=x22−klnx．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)在(1,√e]存在零点，求k的取值范围．参考答案及解析1.答案：D解析：解：∵全集U=R，集合A={x|x≥2}，B={x|0≤x<5}，∴A∩B={x|2≤x<5}，故选：D．由A与B，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：D解析：解：A、过平面外一点作与这个平面垂直的平面有无数个，故A错误；B、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；C、若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，故C错误；D、若两个平面平行，则其中一个平面内的所有直线都与另一个平面平行，故D正确；故选：D．A，B，C列举所有情况，D考虑线面平行的性质定理及平行公理即可．本题主要考查了空间线面、面面位置关系，要求熟练掌握相应的定义和定理，注意定理成立的条件．3.答案：B解析：解：曲线x2m +y25=1为椭圆⇔m>0，且m≠5．∴“m≠5”是“曲线x2m +y25=1为椭圆”的必要不充分条件．故选：B．曲线x2m +y25=1为椭圆⇔m>0，且m≠5.即可判断出结论．本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：D解析：由函数f(x)满足f(x+1)=f(x−1)，变形得到函数的周期，然后利用函数的周期性把f(log28)转化为求给出的函数解析式范围内的值，从而得到答案．本题考查了函数的周期性，考查了函数奇偶性的性质，考查了学生灵活分析问题和解决问题的能力，是基础题．解：由f(x+1)=f(x−1)，得f(x+2)=f(x)，故函数f(x)是周期为2的周期函数，∴f(log28)=f(3log22)=f(3)=f(3−4)=f(−1)．)x，又∵当x∈[−1,0]时f(x)=(12)−1=2．∴f(log28)=f(−1)=(12故选D．5.答案：A解析：解：∵y=x0.5为增函数，∴50.5<60.5，故(1)正确；∵y=0.1x为减函数，∴0.10.5<0.10.4，故(2)正确；∵y=log2x为增函数，∴log23<log25，故(3)正确；∵log32<1，0.1−0.2>0.10=1，∴log32<0.1−0.2，故(4)正确．∴错误的个数是0．故选：A．由基本初等函数的单调性逐一核对四个命题得答案．本题考查基本初等函数的单调性，是基础题．6.答案：A解析：本题考查了对数函数的单调性、不等式的性质与解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用对数函数的单调性化简集合A，利用不等式的解法可得B，再利用简易逻辑的判定方法即可得出．解：由log2(x−1)<1，可得0<x−1<2，解得1<x<3．∴A=(1,3)．<0得(x+1)(x−3)<0，由x+1x−3解得−1<x<3.∴B=(−1,3)．则“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．故选A．7.答案：B解析：解：sin300°+tan600°+cos(−210°)=−sin60°+tan(−120°)−cos30°，=−√32+√3−√32， =0故选：B ．直接利用三角函数关系式的恒等变变换，诱导公式的应用，特殊角三角函数的值的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，诱导公式的应用，特殊角三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.答案：D解析：试题分析：A 项的周期为；B 项周期；C 项在上是减函数；D 项满足在区间(0,)上为增函数且以为周期考点：三角函数周期性单调性 点评：函数，的周期为，的周期为9.答案：A解析：解：函数f(x)={(2−a)x +1,x <2a x−1,x ≥2在x ∈(−∞,+∞)上的值域为R ，当2−a ≤0函数的值域不可能是R ， 可得{a >12−a >05−2a ≥a 2−1，解得：a ∈(1,53]． 故选：A ．利用分段函数，通过一次函数以及指数函数判断求解即可．本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．10.答案：10π3解析：解：∵α=23π，S =253π，∴r =√2Sα=5， ∴l =rα=5×23π=10π3．。
河北省邢台市威县第一中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题
河北省邢台市威县第一中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2540A xx x =-+≤∣，{2}B x N x =∈≤∣，则A B =（ ）A ．{12}xx <≤∣ B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}0,1,22．已知命题p ：0x ∀>，总有()1e 1xx +>，则p ⌝为（ ） A ．00x ∃≤，使得()001e 1xx +≤B ．00x ∃>，使得()001e 1xx +≤C ．0x ∀>，总有()1e 1x x +≤D ．0x ∀≤，总有()1e 1xx +≤3．设α∈R ，则“23k παπ=+，k Z ∈”是“1cos 2α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ．C ．D ．5．设0.5log 0.6a =，0.6log 1.2b =，0.61.2c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<6．已知()()212log 3f x x ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],4-∞ B ．(),4-∞C ．(]4,4-D ．[]4,4-7．若02＜＜πα，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=，则cos()2βα+=（ ）A ．3B ．-C ．9D ．9-8．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）①函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 ②函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 ③函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 ④该图象向右平移3π个单位可得2sin 2y x =的图象A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②④9．设函数21,2()7,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数a ，b ，c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是（ ） A ．()8,9 B ．()65,129C ．()64,128D ．()66,130二、填空题10．已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为____________. 11．已知函数log (1)6(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过点A ，且点A 在角α的终边上，则tan α的值为__________.12．设函数()2010x bx c x f x x ⎧++≥=⎨<⎩，若(4)(0)f f =，(2)2f =，则函数()()g x f x x =-的零点的个数是__________.13．对任意的0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式221421sin cos x θθ+≥-恒成立，则实数x 的取值范围是__________．14．已知函数273(0)()323(0)x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩，()cos 4g x x x =++，若对任意[3,3]t ∈-，总存在0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f t a g s +≤成立，则实数a 的取值范围为__________.三、解答题15．设函数y 的定义域为A ，集合{}220B xx x =-≤∣. （1）求集合A ，B ，并求RAB ；（2）若集合{}21C xa x a =≤≤+∣，且B C C =，求实数a 的取值范围.16．已知sin(2)cos 2()cos tan()2f ππαααπαπα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.（1）化简()f α，并求3f π⎛⎫⎪⎝⎭； （2）若tan 2α=，求224sin 3sin cos 5cos αααα--的值；（3）求函数2()2()12g x f x f x π⎛⎫=-++⎪⎝⎭的值域. 17．某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x 百台这种仪器，需另投入成本f (x )万元，()f x =2550500,040,100,25003013000,40,100.x x x x N x x x N x ⎧++<<∈⎪⎨+-≥∈⎪⎩假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.（1）求利润g (x )（万元）关于产量x （百台）的函数关系式； （2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润. 18．已知函数2()cos cos (0)f x x x x ωωωω=->周期是2π. （1）求()f x 的解析式，并求()f x 的单调递增区间；（2）将()f x 图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移6π个单位，最后将整个函数图像向上平移32个单位后得到函数()g x 的图像，若263x ππ≤≤时，()2g x m -<恒成立，求m 得取值范围.19．已知函数()ln()()f x x a a R =+∈的图象过点()1,0，2()()2f x g x x e =-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，求整数k 的值； （3）设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围.参考答案1．B 【分析】分别求出集合A 和B 的范围，直接求交集即可得解. 【详解】{}{}2540|14A x x x x x =-+≤=≤≤∣，{}{2}0,1,2B x N x =∈≤=∣，所以{}1,2AB =，故选：B. 2．B 【分析】由含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】因为命题p ：0x ∀>，总有()1e 1xx +>是全称量词命题，所以其否定为存在量词命题，即00x ∃>，使得()001e 1xx +≤，故选：B 3．A 【分析】 根据1cos 2α=可得：23k παπ=+或523k παπ=+（k Z ∈），利用集合语言和命题语言的对应关系，即可得解. 【详解】 由1cos 2α=可得：23k παπ=+或523k παπ=+， 可得2,3|k k Z παπα=+∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭ |23k πααπ⎧=+⎨⎩或523k k Z παπ⎫=+∈⎬⎭，， 所以“23k παπ=+，k Z ∈”是“1cos 2α=”的充分不必要条件，故选：A. 4．D 【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象. 5．B 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0、1的大小关系，进而可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】0.5.50.5log 1log 0.6log 0.5<<，即01a <<，0.60.6log 1.2log 10b =<=，0.601.2 1.21c =>=，因此，b a c <<. 故选：B. 6．D 【分析】令23t x ax a =-+，根据复合函数的单调性，由t 在区间()2,+∞上是增函数，且230t x ax a =-+>在区间()2,+∞上恒成立求解.【详解】令23t x ax a =-+，因为()f x 在区间()2,+∞上是减函数，且12log y t =在区间()2,+∞上是减函数，所以23t x ax a =-+在区间()2,+∞上是增函数，且230t x ax a =-+>在区间()2,+∞上恒成立， 即22a≤ ，且40a +≥，解得4a ≤，且4a ≥-，所以实数a 的取值范围是[]4,4-， 故选：D 7．C 【分析】 由于cos()cos[()()]2442βππβαα+=+--cos()cos()442ππβα=+-sin()sin()442ππβα++-，所以先由已知条件求出sin()4πα+，sin()42πβ-的值，从而可求出答案 【详解】 cos()cos[()()]2442βππβαα+=+--cos()cos()442ππβα=+-sin()sin()442ππβα++-， 因为02＜＜πα，02πβ-＜＜，所以3(,)444πππα+∈，(,)4242πβππ-∈，因为1cos()43πα+=，cos()42πβ-=，所以sin()4πα+sin()42πβ-，则1cos()23βα+=+=． 故选：C 【点睛】此题考查同角三角函数的关系的应用，考查两角差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 8．A 【分析】根据()f x 的图象及三角函数图像和性质，解得函数()f x 的解析式，得到()2sin(2)3f x x π=+，再结合三角函数的图像和性质逐一判定即可.【详解】由函数的图象可得2A =，周期4312T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭所以222T ππωπ===， 当12x π=时函数取得最大值，即2sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以22()122k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，则23k πϕπ=+，又||2ϕπ<，得 3πϕ=，故函数()2sin(2)3f x x π=+，对于①，当6x π=-时，()2sin(2())0663f πππ-=⨯-+=，正确；对于②，当512x π=-时，()2sin 551212(2())23f πππ=⨯+-=--，正确； 对于③，令3222()232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得7()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数的单调递减区间为7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，27,,()361212k k k Z ππππππ⎡⎤⎡⎤--⊄++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以不正确； 对于④，向右平移3π个单位，()2sin(2())2sin(2)3333f x x x ππππ-=-+=-，所以不正确； 故选：A. 【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间. 9．D【分析】画出函数()f x 的图象，不妨令a b c <<，则222a b +=．结合图象可得67c <<，从而可得结果． 【详解】画出函数()f x 的图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221a b -=-，则222a b +=． 结合图象可得67c <<，故67222c <<． ∴66222130a b c <++<． 故选：D ． 【点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有： 1、确定方程根的个数； 2、求参数的取值范围； 3、求不等式的解集； 4、研究函数性质． 10．2π 【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径r ，再带入弧长计算公式即可得出结果． 【详解】解：由于扇形的圆心角为23απ=，扇形的面积为3π， 则扇形的面积221123223S r r παπ==⨯⨯=，解得：3r =， 此扇形所含的弧长2323l r παπ==⨯=. 故答案为：2π. 11．3 【分析】求出函数log (1)6(0,1)a y x a a =-+>≠过的定点坐标，再由tan yxα=即可得解. 【详解】由函数log (1)6(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过点A ， 则A 点坐标为(2,6)， 由点A 在角α的终边上， 可得6tan 32y x α===， 故答案为：3. 12．2 【分析】根据(4)(0)f f =，(2)2f =，利用二次函数的性质求得()f x ，再将()g x 的零点问题转化为函数(),y f x y x ==的图象交点问题，利用数形结合法求解. 【详解】因为(4)(0)f f =，所以当0x ≥时，函数图象关于2x =对称， 所以22b=-，解得4b =-， 又(2)482f c =-+=， 解得6c =，所以()246010x x x f x x ⎧-+≥=⎨<⎩，令()()0g x f x x =-=，即()f x x =，在同一坐标系中作出(),y f x y x ==的图象，如图所示：由图象知，函数(),y f x y x ==的图象交点有2个， 所以()()g x f x x =-的零点的个数有2个， 故答案为：2 13．[]4,5- 【解析】()22222222221414cos 4sin sin cos 5sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭59+=，所以21x - 945x ≤∴-≤≤ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 14．(],2-∞ 【分析】求出f （t ）和g （s ）的值域，根据存在性和恒成立问题，转化为()()()max maxf t ag s +≤求出a 的范围． 【详解】对于函数f （x ），当x ≤0时，f （x ）733x =+单调递增，由﹣3≤t ≤0，可得f （t ）∈[﹣4，3]， 当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，由0＜t ≤3，可得f （t ）∈[0，4]， ∴对任意t ∈[﹣3，3]，f （t ）∈[﹣4，4]，对于函数g （x ）=x +cos x +4＝2sin （x 6π+）+4， ∵s ∈[0，2π]，∴s 6π+∈[6π，23π]，∴g （s ）∈[5，6]，∴对于s ∈[0，2π]，使得g （s ）∈[5，6]， ∵对任意t ∈[﹣3，3]，总存在s ∈[0，2π]，使得f （t ）+a ≤g （s ）成立，故()()()max max f t a g s +≤∴a +4≤6， 解得a ≤2， 故答案为：(],2-∞ 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．15．（1）{2}A xx =≥∣，{02}B x x =≤≤∣，{2}RA B x x =>∣；（2）[0,)+∞.【分析】（1）由对数函数的性质可得{2}A xx =≥∣，由二次不等式可得{02}B x x =≤≤∣，再由集合的交集、补集的概念即可得解；（2）转化条件为C B ⊆，按照C =∅、C ≠∅分类，运算即可得解. 【详解】（1）因为2102log (1)0x x x ->⎧⇒≥⎨-≥⎩，所以{2}A x x =≥∣， 又{}220{02}B xx x x x =-≤=≤≤∣∣，{0RB x x =<∣或2}x >，所以{2}RAB x x =>∣；（2）因为B C C =，所以C B ⊆，当C =∅时，21a a >+，解得1a >，符合题意；当C ≠∅时，则12200112a aa a a +≥⎧⎪≥⇒≤≤⎨⎪+≤⎩；综上：a 的取值范围是[0,)+∞. 16．（1）()cos f αα=，π132f ；（2）1；（3）250,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）由诱导公式化简可得()cos f αα=，进而可得3f π⎛⎫⎪⎝⎭； （2）由平方关系和商数关系可转化条件为224tan 3tan 5tan 1ααα--+，即可得解； （3）转化条件为()21252sin 48g x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）由题意可得sin(2)cos 2()cos tan()2f ππαααπαπα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭sin (sin )cos sin tan ααααα-⋅-==⋅， 故1cos 332f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭； （2）∵tan 2α=，故224sin 3sin cos 5cos αααα--22224sin 3sin cos 5cos sin cos αααααα--=+224tan 3tan 51tan 1ααα--==+；（3）因为()cos f αα=， 所以22()2cos cos 12cos sin 12g x x x x x π⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭22sin sin 3x x =-++21252sin 48x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 因为sin [1,1]x ∈-， 所以当1sin 4x =时，max 25()8g x =，当sin 1x =-时，min ()0g x =所以()g x 的值域为250,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用诱导公式、同角三角函数的关系对原式进行合理变形.17．（1）252501500,040,100,()25002000(),40,100.x x x x N g x x x x N x ⎧-+-<<∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩；（2）产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元. 【分析】（1）依题意求出各段的函数解析式，再写成分段函数即可； （2）根据解析式求出各段函数的最大值，再取最大的即可； 【详解】解：（1）由题意可知，当0＜x ＜40，100x ∈N 时，g (x )＝300x -5x 2-50x -500-1000＝-5x 2+250x -1500；当x ≥40，100x ∈N 时，25002500()300301300010002000g x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭ 综上，252501500,040,100,()25002000(),40,100.x x x x N g x x x x N x ⎧-+-<<∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩（2）当0＜x ＜40，100x ∈N 时，g (x )＝-5x 2+250x -1500＝-5(x -25)2+1625，且当x ＝25时，g (x )取得最大值1625；当x ≥40，100x ∈N 时，2500()2000()1900g x x x=-+≤，当且仅当x ＝50时，g (x )取得最大值1900.综上，当x ＝50，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元. 【点睛】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型. (2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值． 18．（1）1()sin 462f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，单调递增区间为,21226k k ππππ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）()0,2. 【分析】（1）根据正弦和余弦的二倍角公式化简可得1()sin 262f x x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由222T ππω==，解得2ω=，带入正弦函数的递增区间242262k x k πππππ-≤-≤+，化简即可得解；（2）根据三角函数的平移和伸缩变换可得()sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据题意只需要max min [()2][()2]g x m g x -<<+，分别在263x ππ≤≤范围内求出()g x 的最值即可得解. 【详解】（1）2()cos cos f x x x x ωωω=-12(cos 21)2x x ωω=-+ 1sin 262x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭由222T ππω==，解得2ω= 所以，1()sin 462f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∵242262k x k πππππ-≤-≤+∴224233k x k ππππ-≤≤+∴21226k k x ππππ-≤≤+∴()f x 的单调递增区间为,21226k k ππππ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ （2）依题意得()sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为|()|2g x m -<，所以()2()2g x m g x -<<+因为当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2()2g x m g x -<<+恒成立所以只需max min [()2][()2]g x m g x -<<+转化为求()g x 的最大值与最小值当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()y g x =为单调减函数所以max ()1126g x g π⎛⎫==+=⎪⎝⎭，()min 21103g x g π⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭， 从而max [()2]0g x -=，min [()2]2g x +=，即02m << 所以m 的取值范围是()0,2. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性和最值，考查了三角函数的辅助角公式和平移伸缩变换，有一定的计算量，属于中档题.本题关键点有： （1）三角函数基本量的理解应用； （2）三角函数图像平移伸缩变换的方法； （3）恒成立思想的理解及转化.19．（1）()ln f x x =；（2）k 的取值为2或3；（3）()1,2. 【分析】（1）根据题意，得到ln(1)0a +=，求得a 的值，即可求解；（2）由（1）可得()2ln 2y x kx =-，得到2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，根据题意转化为函数()y h x =在()1,2上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得()g x 的最大值()g m ，得出max ()ln(1)g x m <--，得到22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，结合()h m 单调性和最值，即可求解. 【详解】（1）函数()ln()()f x x a a R =+∈的图像过点()1,0，所以ln(1)0a +=，解得0a =， 所以函数()f x 的解析式为()ln f x x =.（2）由（1）可知()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-，(1,2)x ∈， 令()2ln 20x kx -=，得2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，则函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，等价于函数()y h x =在()1,2上有零点，所以(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩，解得712k <<，因为k Z ∈，所以k 的取值为2或3. （3）因为0m >且1m m >，所以1m 且101m <<， 因为2()22()22(1)1f x g x x ex x x =-=-=--，所以()g x 的最大值可能是()g m 或1g m ⎛⎫⎪⎝⎭， 因为22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ 112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭所以2max ()()2g x g m m m ==-，只需max ()ln(1)g x m <--，即22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，()h m 在(1,)+∞上单调递增， 又(2)0h =，∴22ln(1)0m m m -+-<，即()(2)h m h <，所以12m <<， 所以m 的取值范围是()1,2. 【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.。
邢台市2021学年高一数学上学期期末试卷附答案解析
邢台市2021学年高一数学上学期期末试卷一、单选题1．已知集合{}0,1,2,3,5,6A =，{}0,2,4,6B =，则A B =（ ） A ．{}2,6B ．{}0,1,2C ．{}0,2,6D ．{}0,2,3,6 2．ππ:33p α-<<，π:03q α<<，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．函数()5log 3f x x x =--+的零点所在区间为（ ） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,54．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．()2cos f x x x =B ．()3f x x x =+ C ．()sin f x x x = D ．()2cos f x x x =+5．已知sin 2α=cos α=（ ） A ．1625-B ．1625C ．2125-D ．21256．已知一扇形的周长为28，则该扇形面积的最大值为（ ） A ．36B ．42C ．49D ．567．已知12log 3a =，22sin3b =，0.12c -=，则（ ） A ．a c b << B ．c a b <<C ．a b c << D ．b c a <<8．某服装厂2020年生产了15万件服装，若该服装厂的产量每年以20%的增长率递增，则该服装厂的产量首次超过40万件的年份是（参考数据：取lg 20.3=，lg30.48=）（ ） A ．2023年B ．2024年C ．2025年D ．2026年 二、多选题9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()25f x x x =++，则（ ）A ．()00f =B ．函数()()g x xf x =为奇函数C ．()17f -=-D ．当0x <时，()25f x x x =-+-10．已知不等式21620x x ++<的解集为()tan ,tan αβ，则（ ）A ．tan tan 16αβ+=B ．tan tan 2αβ=C ．()tan 16αβ+=D ．sin cos cos sin 8sin sin αβαβαβ+=-. 11．已知函数()13sin cos 1(08)63f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=++-+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．()f x 的值域为[]1,3- B ．()f x 的最小正周期可能为2π C ．()f x 的图象可能关于直线6x π=对称 D ．()f x 的图象可能关于点,136π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 12．若函数()22153,0,44153,0,44x x a a x f x a a x -⎧++<⎪⎪=⎨⎪--->⎪⎩则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 是奇函数B ．若()f x 在定义域上单调递减，则4a ≤-C ．当1a ≥-时，若()()23f x f x ->+，则()()1,00,x ∞∈-⋃+D ．若函数()()12g x f x =+有2个零点，则32a -<<-三、填空题13．已知幂函数()12m f x m x =在()0,∞+上单调递减，则()2f =______． 14．写出一个能说明“若函数()f x 满足()()4f x f x =+，则()f x 为奇函数”是假命题的函数：()f x =______． 15．函数()22125cos sin f x x x=+的最小值为______． 四、双空题16．某挂钟秒针的端点A 到中心点O 的距离为20cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0=t 时，点A 与钟面上标12的点B 重合，A 与B 两点距离地面的高度差()cm h 与()s t 存在函数关系式，则解析式()h t =___________，其中[]0,60t ∈，一圈内A 与B 两点距离地面的高度差不低于30cm 的时长为___________s .五、解答题17．已知集合{}2A x a x a =<<，{}2120B x x x =+-≥．(1)当2a =时，求()R A B ⋃；(2)若RA B ⊆，求a 的取值范围．18．求值：(1)()123038180.25272-⎛⎫-+⨯ ⎪⎝⎭(2)()()2ln 2lg 2lg5lg5lg 2lg 2lg5002lg 2e +++⋅-+．19．已知函数()()sin (0,0,)f x A x b A ωϕωϕπ=++>><的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式；(2)把()f x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的12，再向左平移524π个单位长度，向下平移1个单位长度，得到()g x 的图象，求()g x 的单调区间.20．已知函数()()22log 3f x x ax a =-++．(1)若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围；(2)若()1f x ≥对[]2,3x ∈恒成立，求a 的取值范围．21．已知函数()251sin cos cos 22242x x x f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.(1)若()0,x π∈，求()62f x 的解集；(2)若α为锐角，且()f α=tan2α的值.22．已知二次函数()()210f x mx bx m =+-≠的图象关于直线1x =-对称，且关于x 的方程()20f x +=有两个相等的实数根．(1)求函数()()2f xg x x+=的值域； (2)若函数()()4log log a a h x f x x =-（0a >且1a ≠）在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有最小值﹣2，最大值7，求a 的值．邢台市2021学年高一数学上学期期末试卷一、单选题1．已知集合{}0,1,2,3,5,6A =，{}0,2,4,6B =，则A B =（ ） A ．{}2,6B ．{}0,1,2C ．{}0,2,6D ．{}0,2,3,6 【答案】C【分析】根据集合的交集运算求解即可.【详解】解：因为{}0,1,2,3,5,6A =，{}0,2,4,6B =，所以A B ={}0,2,6故选：C 2．ππ:33p α-<<，π:03q α<<，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】解：因为ππ:33p α-<<，π:03q α<<， 所以由p 不能推出q ，由q 能推出p ，故p 是q 的必要不充分条件． 故选：B3．函数()5log 3f x x x =--+的零点所在区间为（ ） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5 【答案】B【分析】由零点存在定理判定可得答案. 【详解】因为()f x 在()0,∞+上单调递减， 且()52log 210f =-+>，()53log 30f =-<， 所以()5log 3f x x x =--+的零点所在区间为()2,3． 故选：B.4．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．()2cos f x x x =B ．()3f x x x =+C ．()sin f x x x =D ．()2cos f x x x =+【答案】C【分析】根据奇偶性排除A 和D ，由()2cos f x x x =+排除B.【详解】由图可知，()f x 的图象关于原点对称，是奇函数,()()2cos f x x x f x -==，()()2cos f x x x f x -=+=，则函数()2cos f x x x =，()2cos f x x x =+是偶函数，排除A 和D ．当0x >时，()30f x x x =+>恒成立，排除B.故选：C ．5．已知sin 2α=cos α=（ ） A ．1625-B ．1625C ．2125-D ．2125【答案】D【分析】利用余弦的二倍角公式即可求解.【详解】由题意得，221cos 12sin225αα=-=.故选：D. 6．已知一扇形的周长为28，则该扇形面积的最大值为（ ） A ．36 B ．42 C ．49 D ．56【答案】C【分析】由题意，根据扇形面积公式及二次函数的知识即可求解. 【详解】解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，由题意得228R l +=， 则扇形的面积()()2211282147494922S Rl R R R R R ==-=-+=--+≤， 所以该扇形面积的最大值为49，故选：C. 7．已知12log 3a =，22sin3b =，0.12c -=，则（ ） A ．a c b << B ．c a b <<C ．a b c << D ．b c a << 【答案】A【分析】根据中间值比大小. 【详解】因为0.1122π2sin 2sin 120log 336->=>>>，所以a c b <<． 故选：A8．某服装厂2020年生产了15万件服装，若该服装厂的产量每年以20%的增长率递增，则该服装厂的产量首次超过40万件的年份是（参考数据：取lg 20.3=，lg30.48=）（ ） A ．2023年B ．2024年C ．2025年D ．2026年 【答案】D【分析】设该服装厂的产量首次超过40万件的年份为n ，进而得()20201510.240n -+>，再结合对数运算解不等式即可得答案.【详解】解：设该服装厂的产量首次超过40万件的年份为n ， 则()20201510.240n -+>，得658log 20203n >+， 因为()658lg8lg8lg33lg 2lg33log 202020202020202063lg 6lg5lg 2lg31lg 2lg 5--+=+=+=+-+-- 3lg 2lg320202025.252lg 2lg31-=+=+-，所以2026n ≥．故选：D二、多选题9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()25f x x x =++，则（ ）A ．()00f =B ．函数()()g x xf x =为奇函数C ．()17f -=-D ．当0x <时，()25f x x x =-+-【答案】ACD【分析】根据定义在R 上的奇函数性质，可判断A;利用奇函数的定义来判断B;利用f (-1)=-f (1)可判断C;根据奇函数满足f(-x)=-f(x)可判断D.【详解】对于A,()f x 是定义在R 上的奇函数,故()00f =，A 正确． 对于B ，由()()()()g x xf x xf x g x -=--==，得()g x 为偶函数，B 错误． 对于C,()()117f f -=-=-，C 正确,对于D,当0x <时，0x ->，()()25f x f x x x =--=-+-，D 正确．故选：ACD.10．已知不等式21620x x ++<的解集为()tan ,tan αβ，则（ ） A ．tan tan 16αβ+=B ．tan tan 2αβ=C ．()tan 16αβ+=D ．sin cos cos sin 8sin sin αβαβαβ+=-.【答案】BCD【分析】由一元二次不等式的解集与其对应的一元二次方程的根的关系，结合两角和的正切公式和弦切互化法即可求解.【详解】由题意得，tan tan 16tan tan 2αβαβ+=-⎧⎨=⎩，故A 错误，B 正确，由于()tan tan tan 161tan tan αβαβαβ++==-，故C 正确，又sin cos cos sin sin cos cos sin tan tan 16cos cos cos cos 8sin sin sin sin tan tan 2cos cos αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++-====-，故D 正确. 故选：BCD.11．已知函数()13sin cos 1(08)63f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=++-+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．()f x 的值域为[]1,3- B ．()f x 的最小正周期可能为2π C ．()f x 的图象可能关于直线6x π=对称 D ．()f x 的图象可能关于点,136π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 【答案】ACD【分析】先通过诱导公式将函数化简，进而通过三角函数的图象和性质求得答案.【详解】()[]sin cos 12sin 11,36626f x x x x ππππωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+=++∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 正确；由2sin 12336f πππω⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得()2Z 366k k πππωπ+=+∈或()52Z 366k k πππωπ+=+∈，即()6Z k k ω=∈或()26Z k k ω=+∈，因为08ω<<，所以2ω=或6ω=，当2ω=时，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则(),2,662T f x ππππ=⨯+=的图象关于直线6x π=对称，C 正确；当6ω=时，()2sin 616f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则,603366T πππ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，B 错误，D 正确.故选：ACD.12．若函数()22153,0,44153,0,44x x a a x f x a a x -⎧++<⎪⎪=⎨⎪--->⎪⎩则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 是奇函数B ．若()f x 在定义域上单调递减，则4a ≤-C ．当1a ≥-时，若()()23f x f x ->+，则()()1,00,x ∞∈-⋃+D ．若函数()()12g x f x =+有2个零点，则32a -<<-【答案】ACD【分析】根据函数解析式，结合选项逐项分析即可求出结果.【详解】函数()f x 的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，定义域关于原点对称， 当0x <时，0x ->，则()()215344xf x a a f x --=---=-，当0x >时，0x -<，则()()215344xf x a a f x -=++=-，即()()f x f x -=-，故()f x 是奇函数，A 正确．因为()f x 在定义域上单调递减，所以02021515334444a a a a ++≥---，得4a ≤-或1a ≥-，B 错误．当1a ≥-时，()f x 在定义域上单调递减，由23,20,30,x x x x -<+⎧⎪-≠⎨⎪+≠⎩得1x >-且0x ≠，C 正确．()()12g x f x =+的零点个数等于()f x 的图象与直线12y =-的交点个数，由题意得21511442a a ++<-，解得32a -<<-，D 正确．故选：ACD.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 三、填空题13．已知幂函数()12m f x m x =在()0,∞+上单调递减，则()2f =______．【答案】140.25 【分析】依题意得112m =且0m <，即可求出m ，从而得到函数解析式，再代入求值即可； 【详解】解：由题意得112m =且0m <，则2m =-，()2f x x -=，故()124f =．故答案为：1414．写出一个能说明“若函数()f x 满足()()4f x f x =+，则()f x 为奇函数”是假命题的函数：()f x =______． 【答案】πcos2x （答案不唯一） 【分析】根据余弦型函数的性质求解即可.【详解】解：因为()()4f x f x =+，所以()f x 的周期为4， 所以余弦型函数()()πcos 02f x a x a =≠都满足()()4f x f x =+，但()f x 不是奇函数．故答案为：πcos 2x15．函数()22125cos sin f x x x=+的最小值为______． 【答案】36【分析】根据22cos sin 1x x +=，并结合基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】解：因为22cos sin 1x x +=，所以()()22222222125sin 25cos cos sin 26cos sin cos sin x x f x x x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭26≥36=，当且仅当22sin 5cos x x =时，等号成立． 故函数()22125cos sin f x x x=+的最小值为36.故答案为：36 四、双空题16．某挂钟秒针的端点A 到中心点O 的距离为20cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0=t 时，点A 与钟面上标12的点B 重合，A 与B 两点距离地面的高度差()cm h 与()s t 存在函数关系式，则解析式()h t =___________，其中[]0,60t ∈，一圈内A 与B 两点距离地面的高度差不低于30cm 的时长为___________s .【答案】 π2020cos30t - 20【分析】先求出经过s t ，秒针转过的圆心角的为π30t -，进而表达出函数解析式，利用求出的解析式建立不等式，解出解集，得到答案.【详解】经过s t ，秒针转过的圆心角为π30t -， 得()2020sin()2020cos 30π2π30h t t t π=--=-. 由2020cos3π030t -，得1cos 30π2t -， 又060t ≤≤，故π0230t π≤≤，得24330πππ3t ，解得：2040t ， 故一圈内A 与B 两点距离地面的高度差h 不低于30cm 的时长为20s .故答案为：π2020cos 30t -，20 五、解答题17．已知集合{}2A x a x a =<<，{}2120B x x x =+-≥．(1)当2a =时，求()R A B ⋃；(2)若RA B ⊆，求a 的取值范围．【答案】(1)(){}44R A B x x ⋃=-<< (2)3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】（1）解一元二次不等式求得集合B ，由补集和并集的定义可运算求得结果； （2）分别在A =∅和A ≠∅两种情况下，根据交集为空集可构造不等式求得结果. (1)由题意得{}24A x x =<<，{4B x x =≤-或}3x ≥，{}43RB x x =-<<，(){}44R A B x x ⋃=-<<.(2) RA B ⊆，当0a ≤时，A =∅，符合题意，当0a >时，由23a ≤，得302a <≤， 故a 的取值范围为3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦．18．求值：(1)()12338180.25272-⎛⎫-+⨯ ⎪⎝⎭(2)()()2ln 2lg 2lg5lg5lg 2lg 2lg5002lg 2e +++⋅-+．【答案】(1)π(2)3【分析】（1）利用指数幂的运算性质和根式和指数幂的互化公式计算即可． （2）利用对数的运算性质计算即可求得结果. (1)原式314π3π22=-++-=．(2)原式()()()22lg 2lg5lg5lg 2lg 2lg5lg1002lg 22=++⋅++-+()2lg 2lg523=++=．19．已知函数()()sin (0,0,)f x A x b A ωϕωϕπ=++>><的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式；(2)把()f x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的12，再向左平移524π个单位长度，向下平移1个单位长度，得到()g x 的图象，求()g x 的单调区间.【答案】(1)()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2)单调递减区间为(),242k k k πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调递增区间为(),4222k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【分析】（1）根据最值求,A b 的值；根据周期求ω的值；把点5,312π⎛⎫⎪⎝⎭代入求ϕ的值.（2）首先根据图象的变换求出()g x 的解析式，然后利用整体代入的方法即可求出()g x 的单调区间. (1)由图可知3,1A b A b +=-+=-，所以2A =，1b =. 又5212122T πππ=+=，所以T π=，因为0>ω，所以22T πω==.因为552sin 13126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()5262k k ππϕπ+=+∈Z ， 即()23k k πϕπ=-+∈Z ，又|ϕπ<∣，得3πϕ=-，所以()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. (2)由题意得()2sin 42cos42g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，由()242k x k k πππ≤≤+∈Z ，得()242k k x k πππ≤≤+∈Z ， 故()g x 的单调递减区间为(),242k k k πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 由()2422k x k k ππππ+≤≤+∈Z ，得()4222k k x k ππππ+≤≤+∈Z ， 故()g x 的单调递增区间为(),4222k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . 20．已知函数()()22log 3f x x ax a =-++．(1)若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围； (2)若()1f x ≥对[]2,3x ∈恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)()2,6-(2)(,2⎤-∞⎦ 【分析】（1）转化为∆<0，可得答案；（2）转化为[]2,3x ∈时211x a x +≤-，利用基本不等式对2121211+=-++--x x x x 求最值可得答案．(1)由题意得230x ax a -++>恒成立，得()2430a a ∆=-+<，解得26a -<<，故a 的取值范围为()2,6-．(2)由()()22log 31f x x ax a =-++≥，得210x ax a -++≥，即()211x a x +≥-，因为[]2,3x ∈，所以211x a x +≤-，因为10x ->，所以()()2112121222111x x x x x x x -+++==-++≥=---，当且仅当211x x -=-，即1x =时，等号成立．故2a ≤，a 的取值范围为(,2⎤-∞⎦．21．已知函数()251sin cos cos 22242x x x f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.(1)若()0,x π∈，求()62f x 的解集；(2)若α为锐角，且()f α=tan2α的值.【答案】(1)711,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)4-【分析】（1）利用三角恒等变换，将函数转化为()4f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭642 xπ⎛⎫-⎪⎝⎭求解；（2）由()fα=sin4πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，再由cos2sin22tan2cos2sin22παααπαα⎛⎫-⎪⎝⎭==-⎛⎫-⎪⎝⎭，利用二倍角公式求解.(1)解：()()111sin1cos22242f x x x xπ⎛⎫=-+-++⎪⎝⎭，111111sin cos cos sin222222x xx x=---++，sin cos4x x xπ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，642xπ⎛⎫-⎪⎝⎭，得222,343k x k kπππππ+-+∈Z ，即71122,1212k x k kππππ++∈Z ，又()0,xπ∈，故()62f x的解集为711,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(2)4πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，得sin4πα⎛⎫-=⎪⎝⎭因为α为锐角，所以444πππα-<-<，则cos4πα⎛⎫-⎪⎝⎭故cos2sin22tan2cos2sin22παααπαα⎛⎫-⎪⎝⎭==-⎛⎫-⎪⎝⎭，22cos142sin cos44παππαα⎛⎫--⎪⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，221⨯-==.22．已知二次函数()()210f x mx bx m=+-≠的图象关于直线1x=-对称，且关于x的方程()20f x+=有两个相等的实数根．(1)求函数()()2f xg xx+=的值域；(2)若函数()()4log loga ah x f x x=-（0a>且1a≠）在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有最小值﹣2，最大值7，求a的值．【答案】(1)(][),04,-∞+∞【分析】（1）根据对称轴以及判别式等于0得出()221f x x x=+-，再由基本不等式得出函数()()2f xg xx+=的值域；（2）利用换元法结合对数函数以及二次函数的单调性得出a的值．(1)依题意得12bm-=-， 因为()2210f x mx bx +=++=，所以240b m ∆=-=，解得1m =，2b =，故()221f x x x =+-，()()212f x g x x x x+==++，当0x >时，()1224g x x x =++≥=，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立．当0x <时，()1220g x x x ⎛⎫=--++≤-= ⎪-⎝⎭，当且仅当1x x -=-，即1x =-时，等号成立．故()g x 的值域为(][),04,-∞+∞．(2)()()()22log 2log 4log 1log 2log 1a a a a a h x x x x x x =+--=--，令log a t x =，则221y t t =--．①当01a <<时，[]log 2,log 2a a t ∈-，因为min 2y =-，所以log 21log 2a a <<-，解得112a <<．因为()log 2log 20a a +-=，所以()2max log 22log 217a a y =--=，解得a =（舍去）． ①当1a >时，[]log 2,log 2a a t ∈-，因为min 2y =-，所以log 21log 2a a -<<，解得12a <<． ()2max log 22log 217a a y =+-=，解得a =a =（舍去）．综上，a 或2．。