数列求和与最值(高考一轮复习)

数列的求和与最值（高考一轮复习）

数列的最值

①10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；

②n S 最值的求法：①若已知n S ，n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：

若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥⎧⎨≤⎩或1

00n n a a +≤⎧⎨≥⎩。 1、等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前 项的和最大。

2、已知数列{}n a ，22103n a n n =-+，它的最小项是

3、设｛a n ｝（n ∈N *）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．．

的是（ ） A .d ＜0 B .a 7＝0

C .S 9＞S 5

D .S 6与S 7均为S n 的最大值

4、在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1＞0，S n 是数列{a n }前n 项的和，

若S n 取得最大值，则n ＝____

5、已知数列{a n }中，6

.15-=

n n a n )(*∈N n ，求数列{a n }的最大项

6、已知}{n a 是各项不为零的等差数列，其中10a >，公差0d <，若100S =,求数列}{n a 前n 项和的最大值

7、在等差数列}{n a 中，125a =，179S S =，求n S 的最大值

8、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，，

⑴求出公差d 的范围， ⑵指出1221S S S ，，

， 中哪一个值最大，并说明理由。

数列通项公式

一、公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项

1.已知数列}{n a 满足)1(1,211≥=-=-n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式

2.数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n n n a a a a ，且 （*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式

3.已知数列}{n a 满足)1(3,211≥===n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式

4.已知数列}{n a 满足，21=a 且1152(5)n n n n a a ++-=-（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；

二、t ka a n n +=+1 （1≠k ）型

在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________

三、累加法（适用于：1()n n a a f n +=+）

1.已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式

2.已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式

四、累乘法（适用于： 1()n n a f n a +=）

已知数列{}n a 满足321=

a ，n n a n n a 1

1+=+，求n a

五、待定系数法（适用于1()n n a qa f n +=+）

六、递推公式法

1.数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113

n n a S +=

，n =1，2，3，……，求a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式

2.已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈，证明数列{}1n a +是等比数列

数列的求和总结

一、直接用等差、等比数列的求和公式求和。

d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= ⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q q

q a q na S n n 公比含字母时一定要讨论 二、倒序求和法

三、分组求和法

四、并项求和法

五、裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项：111)1(1+-=+n n n n )121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n

)211(21)2(1+-=+n n n n ])

2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n 数列{}n a 是等差数列，数列⎭

⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和

1.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =

+，则5S 等于（ ） A ．1 B ．56 C ．16 D ．130

2.已知数列}{n a 的通项公式为n a ＝

12n +，设13242111n n n T a a a a a a +=+++⋅⋅⋅ ，求n T

3．求)(,32114321132112111*N n n

∈+++++++++++++++

4．已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令)(lg N n a a b n n n ∈⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n S

5.已知等差数列}{n a 满足02=a , 1086-=+a a

⑴求数列}{n a 的通项公式及n S ⑵求数列}2

{

1-n n a 的前n 项和

6.设数列}{n a 满足21=a ，12123-+⋅=-n n n a a

⑴求数列}{n a 的通项公式

⑵令n n na b =，求数列}{n b 的前n 项和n S