数列求和与最值(高考一轮复习)

数列的求和与最值（高考一轮复习）
数列的最值
①10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；
②n S 最值的求法：①若已知n S ，n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：
若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥⎧⎨≤⎩或1
00n n a a +≤⎧⎨≥⎩。

1、等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前 项的和最大。

2、已知数列{}n a ，22103n a n n =-+，它的最小项是
3、设｛a n ｝（n ∈N *）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．．
的是（ ） A .d ＜0 B .a 7＝0
C .S 9＞S 5
D .S 6与S 7均为S n 的最大值
4、在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1＞0，S n 是数列{a n }前n 项的和，
若S n 取得最大值，则n ＝____
5、已知数列{a n }中，6
.15-=
n n a n )(*∈N n ，求数列{a n }的最大项
6、已知}{n a 是各项不为零的等差数列，其中10a >，公差0d <，若100S =,求数列}{n a 前n 项和的最大值
7、在等差数列}{n a 中，125a =，179S S =，求n S 的最大值
8、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，，
⑴求出公差d 的范围， ⑵指出1221S S S ，，
， 中哪一个值最大，并说明理由。

数列通项公式
一、公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项
1.已知数列}{n a 满足)1(1,211≥=-=-n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式
2.数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n n n a a a a ，且 （*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式
3.已知数列}{n a 满足)1(3,211≥===n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式
4.已知数列}{n a 满足，21=a 且1152(5)n n n n a a ++-=-（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；
二、t ka a n n +=+1 （1≠k ）型
在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________
三、累加法（适用于：1()n n a a f n +=+）
1.已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式
2.已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式
四、累乘法（适用于： 1()n n a f n a +=）
已知数列{}n a 满足321=
a ，n n a n n a 1
1+=+，求n a
五、待定系数法（适用于1()n n a qa f n +=+）
六、递推公式法
1.数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113
n n a S +=
，n =1，2，3，……，求a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式
2.已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈，证明数列{}1n a +是等比数列
数列的求和总结
一、直接用等差、等比数列的求和公式求和。

d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= ⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q q
q a q na S n n 公比含字母时一定要讨论 二、倒序求和法
三、分组求和法
四、并项求和法
五、裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项：111)1(1+-=+n n n n )121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n
)211(21)2(1+-=+n n n n ])
2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n 数列{}n a 是等差数列，数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和
1.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =
+，则5S 等于（ ） A ．1 B ．56 C ．16 D ．130
2.已知数列}{n a 的通项公式为n a ＝
12n +，设13242111n n n T a a a a a a +=+++⋅⋅⋅ ，求n T
3．求)(,32114321132112111*N n n
∈+++++++++++++++
4．已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令)(lg N n a a b n n n ∈⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n S
5.已知等差数列}{n a 满足02=a , 1086-=+a a
⑴求数列}{n a 的通项公式及n S ⑵求数列}2
{
1-n n a 的前n 项和
6.设数列}{n a 满足21=a ，12123-+⋅=-n n n a a
⑴求数列}{n a 的通项公式
⑵令n n na b =，求数列}{n b 的前n 项和n S
7.已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ，}{n a 的前n 项和n S
⑴求n a 及n S ⑵令112-=
n n a b （+∈N n ），求数列}{n b 前n 项和n T
六、错位相减法求和：如：{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++
1.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b += ⑴求{}n a ，{}n b 的通项公式 ⑵求数列n n a b ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n S
2、设向量a =（2,x ），b =（12,-+x n x ）（n N +∈），函数=y a ·b 在[0，1]上的最小值与最大值的和为n a ，又数列{n b }满足：110
9)109()109(
2)1(21121++++=+++-+--- n n n n b b b n nb ． ⑴求证：1+=n a n
⑵求n b 的表达式 ⑶n n n b a c ⋅-=，试问数列{n c }中，是否存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都有n c ≤k c 成立？证明你的结论。