圆锥曲线的综合经典例题(有答案解析)

经典例题精析

类型一：求曲线的标准方程

1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程.

思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）.

解析：

方法一：因为有焦点为，

所以设椭圆方程为，,

由，消去得，

所以

解得

故椭圆标准方程为

方法二：设椭圆方程,,,

因为弦AB中点,所以，

由得,（点差法）

所以

又

故椭圆标准方程为.

举一反三：

【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程.

【答案】依题意设椭圆标准方程为()，

并有，解之得，,

∴椭圆标准方程为

2．根据下列条件，求双曲线的标准方程.

（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点；

（2）与双曲线有公共焦点，且过点

解析：

（1）解法一：设双曲线的方程为

由题意，得，解得，

所以双曲线的方程为

解法二：设所求双曲线方程为（），

将点代入得，

所以双曲线方程为即

（2）解法一：设双曲线方程为－=1

由题意易求

又双曲线过点，∴

又∵，∴，

故所求双曲线的方程为.

解法二：设双曲线方程为，

将点代入得，

所以双曲线方程为.

总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.

(1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及准线）之间的

关系，并注意方程思想的应用.

(2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为

（）.

举一反三：

【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.

（1）一渐近线方程为，且双曲线过点.

（2）虚轴长与实轴长的比为，焦距为10.

【答案】

（1）依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方

程为，

∵点在双曲线上，

∴，解得，

∴所求双曲线方程为.

（2）由已知设, ,则()

依题意，解得.

∴双曲线方程为或.

3．求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点；

（2）焦点在直线：上

思路点拨：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论解析：

（1）∵点在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左

当抛物线开口方向左时，

设所求的抛物线方程为（），

∵过点，∴，

∴，∴，

当抛物线开口方向上时，

设所求的抛物线方程为（），

∵过点，∴，

∴，∴，

∴所求的抛物线的方程为或，

对应的准线方程分别是，.

（2）令得，令得，

∴抛物线的焦点为或

当焦点为时，，∴，

此时抛物线方程；

焦点为时，，∴，

此时抛物线方程为

∴所求的抛物线的方程为或，

对应的准线方程分别是，.

总结升华：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.

举一反三：

【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.

（1）焦点为F(4,0)；

（2）准线为；

（3）焦点到原点的距离为1；

（4）过点（1，－2）；

（5）焦点在直线x-3y+6=0上.

【答案】

（1）所求抛物线的方程为y2=16x；

（2）所求抛物线的标准方程为x2=2y；

（3）所求抛物线的方程y2=±4x或x2=±4y；

（4）所求抛物线的方程为或；

（5）所求抛物线的标准方程为y2=－24x或x2=8y.

【变式2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴负半轴上，过顶点且倾角为的弦长为，求抛物线的方程.

【答案】设抛物线方程为()，又弦所在直线方程为

由，解得两交点坐标,

∴，解得.

∴抛物线方程为.

类型二：圆锥曲线的焦点三角形

4．已知、是椭圆（）的两焦点，P是椭圆上一点，且，求的面积.

思路点拨：如图求的面积应利用，即.关键是求.由椭圆第一定义有,由余弦定理有

，易求之.

解析：设,,

依题意有

(1)2-(2)得，

即.

∴.

举一反三：

【变式1】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）

A．B．C．D．

【答案】依据双曲线的定义有，

由得、，

又，则，即，

所以，故选A.

【变式2】已知双曲线实轴长6，过左焦点的弦交左半支于、两点，且，设右焦点，求的周长.

【答案】：由双曲线的定义有: ，，

两式左、右分别相加

得(.

即

∴.

故的周长.