高中数学第四章导数应用21实际问题中导数的意义学案北师大版1

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高中数学《导数在实际问题中的应用》导学案北师大版

第4课时导数在实际问题中的应用1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.饮料瓶大小对饮料公司利润有何影响?下图是某种品牌饮料的三种规格不同的产品,它们的价格如下表所示:规格(L) 2 1.25 0.6价格5.1 4.5 2.5(元)(1)对消费者而言,选择哪一种更合算呢?(2)对制造商而言,哪一种的利润更大呢?问题1:一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.只要利用导数求出函数y=f(x)的所有,再求出端点的函数值,进行比较,就可以得出函数的最大值和最小值.问题2:生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为问题.导数是求函数最大(小)值的有力工具,可以运用导数解决一些生活中的优化问题.问题3:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的,解方程f'(x)=0;(3)比较函数在区间端点和点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.问题4:解决生活中的优化问题应当注意的问题确定函数关系式中自变量的区间,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去.1.把长度为16的线段分成两段,各围成一个正方形,这两个正方形面积的最小值为( ).A.2B.4C.6D.82.要做一个圆锥形漏斗,其母线长20 cm,要使其体积最大,则其高是( ).A.cmB.100 cmC.20 cmD.cm3.周长为20的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值是.4.一边长为48 cm的正方形铁皮,铁皮四角截去四个边长都为x cm的小正方形,做成一个无盖方盒.求x多大时,方盒容积最大?利润最大问题某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售量价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.容积最大问题请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.成本最低问题如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米.如果池四周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,无盖.(1)写出总造价y(元)与污水处理池的长x(米)的函数关系式,并指出其定义域;(2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.如图,等腰梯形ABCD的三边AB,BC,CD分别与函数y=-x2+2,x∈[-2,2]的图像切于点P,Q,R.求梯形ABCD面积的最小值.已知某公司生产的品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件,需要另投入1.9万元,设R(x)(单位:万元)为销售收入,根据市场调查得知R(x)=其中x是年产量(单位:千件).(1)写出年利润W关于年产量x的函数解析式;(2)年产量为多少时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y=x3-x+8(0<x≤120),已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?1.把长度为l的铁丝围成一个长方形,则长方形的最大面积为( ).A.l2B.C.D.2.设底为正三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时底面边长为( ).A.B.C.D.23.做一个无盖圆柱水桶,其体积是27π m3,若用料最省,则圆柱的底面半径为m.4.已知一个扇形的周长为l,扇形的半径和中心角分别为多大时,扇形的面积最大?(2013年·重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.考题变式(我来改编):答案第4课时导数在实际问题中的应用知识体系梳理问题1:极值问题2:优化问题3:(2)导数f'(x)(3)极值问题4:定义基础学习交流1.D设两段长分别为x,16-x,则两个正方形的边长分别为,,其面积和为S=()2+()2=,0<x<16.令S'===0得x=8,当0<x<8时,S'<0,当8<x<16时,S'>0,所以x=8时,面积和S取极小值,也是最小值,最小值为8.2.A设圆锥形漏斗的高为x cm,则底面半径为=,体积V=π(400-x2)x=x-x3,0<x<20.令V'=-πx2=0,得x=或x=-(舍).当0<x<时,V'>0,当<x<20时,V'<0,所以x=cm时,圆锥形漏斗的体积最大.3.设矩形一边长为x,且为圆柱的半径,则圆柱的高为10-x.圆柱体积V=πx2(10-x)=10πx2-πx3,0<x<10.令V'=20πx-3πx2=0,得x=或x=0(舍).当0<x<时,V'>0,当<x<10时,V'<0,所以x=时,圆柱体积最大,最大值是.4.解:由已知得,方盒底面为正方形,且边长为(48-2x) cm,高为x cm,所以容积为V=(48-2x)2x,0<x<24.令V'=12x2-384x+2304=0,得x=8或x=24(舍).当0<x<8时,V'>0,函数递增;当8<x<24时,V'<0,函数递减.所以当x=8 cm时,方盒容积最大.最大值为V=(48-16)2×8=8192(cm3).重点难点探究探究一:【解析】(1)因为x=5时,y=11,所以+10=11,a=2.(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y=+10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3)[+10(x-6)2]=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6 .令f'(x)=10(x-6)(3x-12)=0,得x=4或x=6(舍去).于是,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(3,4) 4 (4,6)f'(x) +0 -f(x) 单调递增极大值42单调递减由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.所以,当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.【小结】本解法中只有一个极值点,那么它就是最值点.解决此类有关利润的实际应用题,应灵活运用题设条件,建立利润的函数关系,利用导数求单峰函数的最值.常见的基本等量关系有:(1)利润=收入-成本;(2)利润=每件产品的利润×销售件数.探究二:【解析】(1)设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),则a=x,h=(30-x),0<x<30.根据题意有S=602-4x2-(60-2x)2=240x-8x2=-8(x-15)2+1800(0<x<30),所以x=15 cm时包装盒侧面积S最大.(2)根据题意有V=(x)2(60-2x)=2x2(30-x)(0<x<30),所以,V'=6x(20-x),当0<x<20时,V'>0,V递增;当20<x<30时,V'<0,V递减.所以,当x=20时,V取极大值也是最大值.此时,包装盒的高与底面边长的比值为=.即x=20时包装盒容积V(cm3)最大, 此时包装盒的高与底面边长的比值为.【小结】本题主要考查空间想象能力、数学阅读能力及运用数学知识解决实际问题的能力、建立数学函数模型求解能力、导数在实际问题中的应用.探究三:【解析】(1)设长为x米,则宽为米,由题意得解得<x≤16,y=(2x+2×)×400+2××248+200×80=800x++16000(<x≤16).(2)y=800x++16000≥2+16000=28800+16000=44800(元).当且仅当长为x=18米,宽为=米时,污水处理池的总造价最低,最低总造价为444800元.[问题]基本不等式等号成立吗?[结论]本题第(2)小题容易做错的原因是忽略了题目中的条件,故解决本题要明确x的取值范围,即<x≤16.于是,正确解答为:令y'=800-=0,解得x=18.当x∈(0,18)时,y'<0,函数为减函数.当x∈(18,+∞)时,y'>0,函数为增函数.又<x≤16,当x=16时,函数取最小值,最小值为45000元.所以当污水处理池长为16米,宽为12.5米时,污水处理池的总造价最低,最低总造价为45000元.【小结】函数模型为f(x)=ax+的形式,通常使用基本不等式,但遇到等号不成立时,只能应用导数考查其单调性,由单调性求解.思维拓展应用应用一:设梯形ABCD的面积为S,点P的坐标为(t,-t2+2)(0<t≤2).由题意得点Q的坐标为(0,2),直线BC的方程为y=2.∵y=-x2+2, ∴y'=-x,∴y'|x=t=-t.直线AB的方程为y-(-t2+2)=-t(x-t), 即y=-tx+t2+2 .令y=0,得x=,∴A(,0).令y=2,得x=t,∴B(t,2).S=×(t+)×2×2=2(t+)≥4.当且仅当t=,即t=时,取等号,且∈(0,2)], ∴t=时,S有最小值为4.所以梯形ABCD的面积的最小值为4.应用二:(1)设年产量为x千件,年利润为W万元,依题意有:W(x)=即W(x)=(2)W'(x)=-x2+8.1.令W'(x)=0得x1=9或x2=-9(舍去),当0<x<9时,W'(x)>0,当9<x<10时,W'(x)<0.∴x=9时,W(x)max=38.6.当x>10时,W(x)单调递减,此时W(x)<-19+=≈37.7.∴当年产量为9千件时,该公司所获年利润最大.应用三:(1)当x=40千米/时,汽车从甲地到乙地,行驶了=2.5小时,要消耗汽油(×403-×40+8)×2.5=17.5(升).(2)当速度为x千米/小时,汽车从甲地到乙地,行驶了小时,设耗油量为h(x)升,依题意得h(x)= (×x3-×x+8)×=(x2+-)(0<x≤120),h'(x)=-=(0<x≤120),令h'(x)=0,得x=80.当x∈(0,80)时,h'(x)<0,h(x)是减函数;当x∈(80,120)时,h'(x)>0,h(x)是增函数.当x=80时,因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以这个极值就是最小值.所以当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.基础智能检测1.D设长方形一边长为x,则另一边长为-x,所以面积S=x(l-x)=-x2+x(0<x<).令S'=0,得x=,当0<x<时,S'>0,当<x<时,S'<0,所以当x=时,长方形面积最大,最大面积为.2.C设底面边长为x,高为h,则V=x2h,所以h=,表面积S=x2×2+3xh=x2+,S'=x-,令S'=0,得x=.当0<x<时,S'<0,当x>时,S'>0,所以x=时,表面积取极小值,也是最小值.3.3设底面半径为r,高为h,则用料面积S=2πrh+πr2,由V=πr2h,所以h==,则S=+πr2,令S'=-+2πr=0,得r=3.当0<r<3时,S'<0,当r>3时,S'>0,所以r=3时,用料面积取极小值,也是最小值,用料最省.4.解:设扇形的半径为r,中心角为α弧度时,扇形的面积为S.因为S=αr2,l-2r=αr,所以S=αr2=(-2)r2=(lr-2r2),S'=(l-4r).令S'=0,得r=,此时α=2弧度.所以扇形的半径为,中心角为2弧度时,扇形的面积最大.全新视角拓展解:(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh=200πrh元,底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.又据题意200πrh+160πr2=12000π,所以h=(300-4r2),从而V(r)=πr2h=(300r-4r3).因r>0,又由h>0可得r<5,故函数V(r)的定义域为(0,5).(2)因V(r)=(300r-4r3),故V'(r)=(300-12r2).令V'(r)=0,解得r1=5, r2=-5(因r2=-5不在定义域内,舍去).当r∈(0,5)时,V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r∈(5,5)时,V'(r)<0,故V(r)在(5,5)上为减函数.由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.。

数学北师大版高中选修1-1北师大版高中数学选修1-1第四章导数的应用第二节导数在实际问题中的应用新课教案

课题：导数在实际生活中的应用教学目的：1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法； ⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题教学重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题．教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题．授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值5. 求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值 6.函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值二、讲解范例：例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602x h -=cm ，得箱子容积260)(322x x h x x V -== )600(<<x ．23()602x V x x '=- )600(<<x令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40，_ 60并求得 V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积 x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略）由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得2Vh R π=，则 S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2VR+2πR 2令 22()V s R R'=-+4πR=0 解得，h=2V R π即 h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S =2Rh π+22R π⇒h =RR S ππ222-⇒V (R )=RR S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。

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4．2 导数在实际问题中的应用教学目的：1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题教学重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题．教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题．教学过程：一、复习引入：1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值 5. 求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值6.函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值二、讲解范例：例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602xh -=cm ，得箱子容积260)(322x x h x x V -==)600(<<x ．23()602x V x x '=-)600(<<x令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40，并求得 V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16_ 60000cm 3解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积 x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略）由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得2Vh R π=，则 S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R+2πR 2令 22()Vs R R '=-+4πR=0 解得，h=2V R π即 h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S =2Rh π+22R π⇒h =RR S ππ222-⇒V (R )=RR S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=-)('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。

北师大版高中数学选修1-1《实际问题中导数的意义》学案-新版

4.2.1 实际问题中导数的意义一、学习要求：导数在实际生活中的应用二、学习目标能运用导数方法求解有关利润最大，用料最省，效率最高等最优化问题，体会导数在解决实际生活问题中的作用。

三、重点难点用导数方法解决实际生活中的问题四、要点梳理解应用题的基本程序是：读题建模求解反馈（文字语言）（数学语言）（导学应用）（检验作答）利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤:① 分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系()y f x =；注意x 的范围。

② 利用导数求函数()f x 的极值和函数的最值；给出数学问题的解答。

③ 把数学问题的解答转化为实际问题的答案。

五、基础训练：1．周长为20cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________。

2 某产品的销售收入1y （万元）是产量x （千台）的函数：2117y x =，生产总成本2y （万元）也是产量x （千台）的函数：3222(0)y x x x =->，为使利润最大，应生产产品________台。

3 一轮船以v 千米/时的速度航行，每小时用煤30.30.001v +吨，____v =千米/时，才能使轮船航行每千米用的煤最少。

4 设正三棱柱的体积为v ，那么其表面积最小时的底面边长为________。

5 某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是：21400(0400)()280000(400)x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，则总利润最大时，每年生产的产品是_______ 个单位。

六、典型例题例1 用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问：该长方体长，宽，高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？例2 经过点(1,1)M 作直线l 分别交x 轴正半轴，y 轴正半轴于,A B 两点，设直线l 的斜率为k ，OAB ∆的面积为S（1）求S 关于k 的函数关系式()S f k =；（2）求S 的最小值以及相应的直线l 的方程。

2020-2021学年北师大版数学选修1-1学案：4.2.1 实际问题中导数的意义 Word版含解析

§2导数在实际问题中的应用2．1实际问题中导数的意义授课提示：对应学生用书第1页实际问题中导数的意义自变量x 原函数f(x)导函数f′(x)时间路程速度长度质量线密度时间功功率时间降雨量降雨强度产量生产成本边际成本[疑难提示]利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．[练一练]1．若一物体运动的路程s与时间t之间的关系为s＝s(t)，当s′(t)＝0时，则()A．物体做匀加速运动B．物体做匀减速运动C．物体做变速运动D．物体处于静止状态解析：∵v＝s′(t)＝0，∴物体处于静止状态．故选D.答案：D2．某收音机制造厂管理者通过对上午班工人工作效率的研究表明：一个中等技术水平的工人，从8：00开始工作，t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q(t)＝－t3＋9t2＋12t，则Q′(2)＝________，它的实际意义为________________．解析：∵Q′(t)＝－3t2＋18t＋12，∴Q′(2)＝36.答案：36台/小时10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时授课提示：对应学生用书第4页探究一导数在物理学中的应用[典例1] 一个电路中，流过的电荷量Q (单位：C)关于时间t (单位：s)的函数为Q (t )＝3t 2－ln t .(1)求当t 从1变到2时，电荷量Q 关于t 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求Q ′(2)，并解释它的实际意义．[解析] (1)当t 从1变到2时，电荷量从Q (1)变到Q (2)，此时电荷量关于时间t 的平均变化率为Q (2)－Q (1)2－1＝3×22－ln 2－(3×12－ln 1)1≈8.31，它表示从t ＝1 s 到t ＝2 s 这段时间内，平均每秒经过该电路的电量为8.31 C ，也就是这段时间内电路的平均电流为8.31 A.(2)Q ′(t )＝6t －1t ，Q ′(2)＝11.5，它的实际意义是，在t ＝2 s 这一时刻，每秒经过该电路的电量为11.5 C ，也就是这一时刻内电路的电流为11.5 A.弄清平均变化率及导数的实际意义，记准基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则是解决该类问题的关键．1．某质点的运动方程为s ＝s (t )＝2t 2＋3t ，其中s 是位移(单位：m)，t 是时间(单位：s)． (1)求t 从1 s 变到3 s 时，位移s 关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求s ′(1)，s ′(2)，并解释它们的实际意义．解析：(1)t 从1 s 变到3 s 时，s 关于t 的平均变化率为Δs Δt ＝s (3)－s (1)3－1＝27－53－1＝11(m/s)．它表示从t ＝1 s 到t ＝3 s 这段时间内，该质点平均每秒的位移是11 m. (2)根据导数公式表和导数的运算法则，可得s ′(t )＝4t ＋3，则s ′(1)＝4＋3＝7(m/s)，s ′(2)＝4×2＋3＝11(m/s)．s ′(1)和s ′(2)分别表示t ＝1 s 和t ＝2 s 时，位移s 关于时间t 的瞬时变化率，即t ＝1 s 和t ＝2 s 时的瞬时速度．探究二工作效率问题[典例2] 一名工人上班后开始连续工作，生产的产品数量y (单位：g)是工作时间x (单位：h)的函数，设这个函数表示为y ＝f (x )＝x 220＋4x .(1)求x 从1 h 变到4 h 时，y 关于时间x 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求f ′(1)，f ′(4)，解释它的意义． [解析] (1)当x 从1 h 变到4 h 时，产量y 从f (1)＝8120g 变到f (4)＝17620g ，此时平均变化率为f (4)－f (1)4－1＝17620－81203＝1912(g/h)，它表示从x ＝1 h 到x ＝4 h 这段时间这个人平均每小时生产1912 g 产品．(2)f ′(x )＝x 10＋2x，于是f ′(1)＝2110 g/h ，f ′(4)＝75 g/h ，f ′(1)和f ′(4)分别表示在第1 h 和第4 h 时刻这个人每小时生产产品2110 g和75g.1．工作效率即产量对时间t 的导数．解决该类问题时要正确表示出工作时间与产品数量之间的函数关系式，然后利用相应的求导公式及法则解决．2．由平均变化率和瞬时变化率的计算公式可知它们有时为负值或零，这时表示函数值减小或不变，解释导数的实际意义时要注意用词的不同．2．某考生在参加2015年高考数学考试时，其解答完的题目数量y (单位：道)与所用时间x (单位：分钟)近似地满足函数关系y ＝2x .(1)求x 从0分钟变化到36分钟时，y 关于x 的平均变化率； (2)求f ′(64)，f ′(100)，并解释它的实际意义．解析：(1)x 从0分钟变化到36分钟，y 关于x 的平均变化率为： f (36)－f (0)36－0＝1236＝13. 它表示该考生前36分钟平均每分钟解答完13道题．(2)∵f ′(x )＝1x，∴f ′(64)＝18，f ′(100)＝110.它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答18和110道题．3．东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c 元与生产量x 台之间的关系式为c (x )＝－2x 2＋7 000x ＋600.(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量； (3)求c ′(1 000)与c ′(1 500)，并说明它们的实际意义．解析：(1)产量为1 000台时的总利润为c (1 000)＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600＝5 000 600(元)，平均利润为c (1 000)1 000＝5000.6(元)．(2)当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为c (1 500)－c (1 000)1 500－1 000＝6 000 600 －5 000 600500＝2 000(元)．(3)∵c ′(x )＝(－2x 2＋7 000x ＋600)′＝－4x ＋7 000， ∴c ′(1 000)＝－4×1 000＋7 000＝3 000(元)， c ′(1 500)＝－4×1 500＋7 000＝1 000(元)，它指的是当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利3 000元．而当产量为1 500台时，每多生产一台机械可多获利1 000元．探究三导数在经济生活中的应用[典例3] 某机械厂，生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C (元)与日产量x (件)的函数为C (x )＝14x 2＋60x ＋2 050.(1)求日产量75件时的总成本和平均成本；(2)当日产量由75件提高到90件时，求总成本的平均改变量； (3)求C ′(75)，并解释它的意义． [解析] (1)日产量75件时的总成本为 C (75)＝7 956.25(元)，平均成本为C (75)/75≈106.08(元/件)．(2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平均改变量ΔC Δx ＝C (90)－C (75)90－75＝101.25(元/件)．(3)C ′(x )＝12x ＋60，∴当x ＝75时，C ′(75)＝97.5(元)．实际意义为：当日产量为75件时，再多生产1件产品，成本增加97.5元，也就是日产量为75件时，成本增加的速度为97.5元/件．4．某食品厂生产某种食品的总成本C (单位：元)和总收入R (单位：元)都是日产量x (单位：kg)的函数，分别为C (x )＝100＋2x ＋0.02x 2，R (x )＝7x ＋0.01x 2，试求边际利润函数以及当日产量分别为200 kg,250 kg,300 kg 时的边际利润，并说明其经济意义．解析：(1)根据定义知，总利润函数为 L (x )＝R (x )－C (x )＝5x －100－0.01x 2，所以边际利润函数为L ′(x )＝5－0.02x .(2)当日产量分别为200 kg,250 kg,300 kg 时，边际利润分别为L ′(200)＝1， L ′(250)＝0，L ′(300)＝－1.其经济意义是：当日产量为200 kg 时，每增加1 kg ，则总利润可增加1元；当日产量为250 kg 时，每增加1 kg ，则总利润无变化；当日产量为300 kg 时，每增加1 kg ，则总利润减少1元．由此可得：当企业的某一产品的生产量超过了边际利润的零点时，反而会使企业“无利可图”．5．日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x %时所需费用(单位：元)为c (x )＝5 284100－x(80<x <100)．(1)求c ′(x )；(2)求c ′(90)，c ′(98)，并解释它们的实际意义．解析：(1)c ′(x )＝⎝⎛⎭⎫5 284100－x ′＝(5 284)′×(100－x )－5 284×(100－x )′(100－x )2＝0×(100－x )－5 284×(－1)(100－x )2＝ 5 284(100－x )2.(2)c ′(90)＝ 5 284(100－90)2＝52.84(元/吨)，c ′(98)＝5 284(100－98)2＝1 321(元/吨)．因为函数的导数是净化费用的瞬时变化率，所以纯净度为90 %时，纯净度每提高1个百分点，每吨水的费用就要增加52.84元．纯净度为98 %时，纯净度每提高1个百分点，每吨水的费用就要提高1 321元．因物理意义理解不清致误[典例]在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度是h(t)＝－4.9 t2＋6.5 t＋10(单位：m)，求高台跳水运动中运动员在t＝1 s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．[解析]h′(t)＝－9.8 t＋6.5，所以h′(1)＝－3.3.故运动员在t＝1 s时的瞬时速度是－3.3 m/s，此时运动员向下以3.3 米/秒的速度运动．[错因与防范](1)对该问题求得当t＝1 s时的瞬时速度为－3.3 m/s，由于对其中“负”号的物理意义理解不明，易回答为正值而出错．(2)瞬时速度既有大小也有方向，如果是负值，不能回答为正值，它表明了运动速度的大小和方向．(3)利用导数解决物理问题，关键是要熟悉相关的物理概念、公式，并联系导数的物理意义进行求解．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

【拔高教育】2017_2018版高中数学第四章导数应用2.1实际问题中导数的意义学案北师大版选修1_1

2．1 实际问题中导数的意义学习目标 1.利用实际问题加强对导数概念的理解.2.能利用导数求解有关实际问题．知识点实际问题中导数的意义思考某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W＝W(t)＝t3－4t2＋10t.(1)t从1 s到4 s时W关于t的平均变化率是多少？(2)上述问题的实际意义是什么？(3)W′(1)的实际意义是什么？梳理(1)在物理学中，通常称力在单位时间内________为功率，它的单位是________．功率是功关于________的导数．(2)在气象学中，通常把单位时间(如1时，1天等)内的________称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的一个重要指标．降雨强度是降雨量关于时间的________．(3)在经济学中，通常把生产成本y关于________x的函数y＝f(x)的导函数称为____________．边际成本f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f′(x0)个单位的成本．类型一导数在物理学中的意义例1 某质点的运动方程为s＝s(t)＝2t2＋3t，其中s是位移(单位：m)，t是时间(单位：s)．(1)求当t从1 s变到3 s时，位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求s ′(1)，s ′(2)，并解释它们的实际意义．反思与感悟根据导数的实际意义，在物理学中，除了我们所熟悉的位移、速度与时间的关系，功与时间的关系，还应了解质量关于体积的导数为密度，电量关于时间的导数为电流强度等．因此，在解释某点处的导数的物理意义时，应结合这些导数的实际意义进行理解．跟踪训练1 某河流在一段时间x min 内流过的水量为y m 3，y 是x 的函数，且y ＝f (x )＝3x . (1)当x 从1变到8时，y 关于x 的平均变化率是多少？ (2)求f ′(27)，并解释它的实际意义．类型二导数在经济生活中的应用例2 某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C (元)与日产量x (件)的函数关系为C (x )＝14x 2＋60x ＋2 050.求当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义．引申探究1．若本例条件不变，求当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义．2．若本例的条件“C (x )＝14x 2＋60x ＋2 050”变为“C (x )＝14x 2＋ax ＋2 050，当日产量为75件时的边际成本大于97.5”，求a 的取值范围．反思与感悟生产成本y 关于产量x 的函数y ＝f (x )中，f ′(x 0)指的是当产量为x 0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x 0时，每增加一个单位的产量，需增加f ′(x 0)个单位的成本．跟踪训练2 已知某商品的成本函数为C (Q )＝100＋Q 24(Q 为产品的数量)．(1)求Q ＝10时的总成本、平均成本及边际成本； (2)当产量Q 为多少时，平均成本最小？最小为多少？类型三在日常生活中的应用例3 一名工人上班后开始连续工作，生产的产品质量y(单位：g)是工作时间x(单位：h)的函数，设这个函数为y＝f(x)＝x220＋4x.(1)求x从1 h变到4 h时，y关于时间x的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求f′(1)，f′(4)，并解释它的意义．反思与感悟在不同的实际问题中导数的意义是不相同的，要结合具体问题进行分析，在某一点处的导数的实际意义是当自变量在该点处的改变量趋近于零时，平均变化率所趋近的值，问题不同有不同的意义．跟踪训练3 某年高考，某考生在参加数学科考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系y＝2x.(1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求f′(64)，f′(100)，并解释它的实际意义．1．某公司的盈利y (元)和时间x (天)的函数关系是y ＝f (x )，假设f (x )＞0恒成立，且f ′(10)＝10，f ′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较( ) A ．公司已经亏损B ．公司的盈利在增加，且增加的幅度变大C ．公司在亏损且亏损幅度变小D ．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小2．某人拉动一个物体前进，他所做的功W 是时间t 的函数，即W ＝W (t )，则W ′(t 0)表示( ) A ．t ＝t 0时做的功 B ．t ＝t 0时的速度 C ．t ＝t 3时的位移D ．t ＝t 0时的功率3．某收音机制造厂的管理者通过对上午上班工人工作效率的研究表明：一个中等技术水平的工人，从8：00开始工作，t 小时后可装配晶体管收音机的台数为Q (t )＝－t 3＋9t 2＋12t ，则Q ′(2)＝________，它的实际意义是__________________________________． 4．某物体的运动速度与时间的关系为v (t )＝2t 2－1，则t ＝2时的加速度为________． 5．某厂生产x 吨产品获利y 万元，y 是x 的函数，且函数为y ＝f (x )＝－18x 2＋21x －100.(1)当x 从4变到8时，y 关于x 的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ (2)求f ′(84)，并解释它的实际意义．1．解决实际问题的一般思路：实际问题转化为数学问题，数学问题的结论回到实际问题的结论．2．解决实际问题的一般步骤(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案．答案精析问题导学思考 (1)W－W 4－1＝40－73＝11 J/s.(2)它表示从t ＝1 s 到t ＝4 s 这段时间内，这个人平均每秒做功11 J. (3)W ′(t )＝3t 2－8t ＋10，W ′(1)＝5表示在t ＝1 s 时每秒做功5 J.梳理 (1)做的功瓦特时间 (2)降雨量导数 (3)产量边际成本题型探究例1 解 (1)当t 从1 s 变到3 s 时，s 关于t 的平均变化率为 Δs Δt＝s －s 3－1＝27－53－1＝11 m/s. 它表示从t ＝1 s 到t ＝3 s 这段时间内，该质点平均每秒的位移是11 m.(2)由导数公式表和导数的运算法则可得s ′(t )＝4t ＋3，则s ′(1)＝4＋3＝7 m/s ，s ′(2)＝4×2＋3＝11 m/s.s ′(1)表示的是该质点在t ＝1 s 时的瞬时速度，也就是该质点在t ＝1 s 这个时刻的瞬时速度为7 m/s.s ′(2)表示的是该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度，也就是该质点在t ＝2 s 这个时刻的瞬时速度为11 m/s.跟踪训练1 解 (1)当x 从1变到8时，y 关于x 的平均变化率为f－f 8－1＝2－17＝17(m 3/min)．(2)f ′(x )＝13x －23，于是f ′(27)＝13×27－23＝127 (m 3/min)，实际意义为当时间为27 min时，水流量增加的速度为127 m 3/min ，也就是当时间为27 min 时，每增加1 min ，水流量增加127m 3. 例2 解当x 从10件提高到20件时，总成本C 从C (10)＝2 675元变到C (20)＝3 350元．此时总成本的平均改变量为C－C20－10＝67.5(元/件)，其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量．引申探究1．解因为C ′(x )＝12x ＋60，所以C ′(75)＝12×75＋60＝97.5(元/件)，它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元． 2．解因为C ′(x )＝12x ＋a ，所以日产量为75件时的边际成本大于97.5，即C ′(75)＝12×75＋a >97.5，解得a >60.跟踪训练2 解 (1)Q ＝10时的总成本C (10)＝100＋1024＝125；Q ＝10时的平均成本 C＝C10＝12.5.边际成本即成本函数C (Q )对产量Q 的导数，故边际成本C ′(Q )＝12Q ，Q ＝10时的边际成本是C ′(10)＝5.(2)由(1)得，平均成本C Q＝C Q Q ＝100Q ＋Q4，而100Q ＋Q4≥2·100Q ·Q4＝10，当且仅当100Q ＝Q4，即Q ＝20时，等号成立，所以当产量Q 为20时，平均成本最小，且平均成本的最小值是10. 例3 解 (1)当x 从1 h 变到4 h 时，产量y 从f (1)＝8120 g 变到f (4)＝17620g ，此时平均变化率为f－f4－1＝17620－81203＝1912(g/h)，它表示从1 h 到4 h 这段时间这个人平均每小时生产1912g 产品． (2)f ′(x )＝x 10＋2x，于是f ′(1)＝2110 (g/h)，f ′(4)＝75(g/h)，分别表示在第1小时和第4小时这个人每小时生产产品2110 g 和75 g.跟踪训练3 解 (1)x 从0分钟变化到36分钟，y 关于x 的平均变化率为f－f 36－0＝1236＝13. 它表示该考生前36分钟平均每分钟解答13道题．(2)∵f ′(x )＝1x，∴f ′(64)＝18，f ′(100)＝110.它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答18和110道题．当堂训练 1．D 2.D3．36台/小时 10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时 4．85．解 (1)当x 从4变到8时，y 关于x 的平均变化率为f－f 8－4＝60－－8－4＝19.5(万元/吨)，它表示产量从4吨增加到8吨的过程中，每增加1吨产量，利润平均增加19.5万元．(2)f ′(x )＝－14x ＋21，于是f ′(84)＝0，f ′(84)表示当产量为84吨时，利润增加的速度为0，也就是说当产量为84吨时，每多生产1吨产品，利润增加为0，即利润不变．问题导学思考 (1)W－W 4－1＝40－73＝11 J/s.(2)它表示从t ＝1 s 到t ＝4 s 这段时间内，这个人平均每秒做功11 J. (3)W ′(t )＝3t 2－8t ＋10，W ′(1)＝5表示在t ＝1 s 时每秒做功5 J.梳理 (1)做的功瓦特时间 (2)降雨量导数 (3)产量边际成本题型探究例1 解 (1)当t 从1 s 变到3 s 时，s 关于t 的平均变化率为 Δs Δt＝s －s 3－1＝27－53－1＝11 m/s. 它表示从t ＝1 s 到t ＝3 s 这段时间内，该质点平均每秒的位移是11 m.(2)由导数公式表和导数的运算法则可得s ′(t )＝4t ＋3，则s ′(1)＝4＋3＝7 m/s ，s ′(2)＝4×2＋3＝11 m/s.s ′(1)表示的是该质点在t ＝1 s 时的瞬时速度，也就是该质点在t ＝1 s 这个时刻的瞬时速度为7 m/s.s ′(2)表示的是该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度，也就是该质点在t ＝2 s 这个时刻的瞬时速度为11 m/s.跟踪训练1 解 (1)当x 从1变到8时，y 关于x 的平均变化率为f－f 8－1＝2－17＝17(m 3/min)．(2)f ′(x )＝13x －23，于是f ′(27)＝13×27－23＝127 (m 3/min)，实际意义为当时间为27 min时，水流量增加的速度为127 m 3/min ，也就是当时间为27 min 时，每增加1 min ，水流量增加127m 3. 例2 解当x 从10件提高到20件时，总成本C 从C (10)＝2 675元变到C (20)＝3 350元．此时总成本的平均改变量为C－C20－10＝67.5(元/件)，其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量．引申探究1．解因为C ′(x )＝12x ＋60，所以C ′(75)＝12×75＋60＝97.5(元/件)，它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元． 2．解因为C ′(x )＝12x ＋a ，所以日产量为75件时的边际成本大于97.5，即C ′(75)＝12×75＋a >97.5，解得a >60.跟踪训练2 解 (1)Q ＝10时的总成本C (10)＝100＋1024＝125； Q ＝10时的平均成本 C ＝C 10＝12.5.边际成本即成本函数C (Q )对产量Q 的导数，故边际成本C ′(Q )＝12Q ， Q ＝10时的边际成本是C ′(10)＝5.(2)由(1)得，平均成本 C Q＝C Q Q ＝100Q ＋Q 4，而100Q ＋Q 4≥2·100Q ·Q 4＝10，当且仅当100Q ＝Q 4，即Q ＝20时，等号成立，所以当产量Q 为20时，平均成本最小，且平均成本的最小值是10.例3 解 (1)当x 从1 h 变到4 h 时，产量y 从f (1)＝8120 g 变到f (4)＝17620g ，此时平均变化率为 f －f 4－1＝17620－81203＝1912(g/h)，它表示从1 h 到4 h 这段时间这个人平均每小时生产1912 g 产品． (2)f ′(x )＝x 10＋2x，于是 f ′(1)＝2110 (g/h)，f ′(4)＝75 (g/h)，分别表示在第1小时和第4小时这个人每小时生产产品2110 g 和75g. 跟踪训练3 解 (1)x 从0分钟变化到36分钟，y 关于x 的平均变化率为f －f 36－0＝1236＝13. 它表示该考生前36分钟平均每分钟解答13道题．(2)∵f ′(x )＝1x ，∴f ′(64)＝18， f ′(100)＝110.它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答18和110道题．当堂训练1．D 2.D3．36台/小时 10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时4．85．解 (1)当x 从4变到8时，y 关于x 的平均变化率为f －f8－4＝60－－8－4＝19.5(万元/吨)，它表示产量从4吨增加到8吨的过程中，每增加1吨产量，利润平均增加19.5万元．(2)f ′(x )＝－14x ＋21，于是f ′(84)＝0， f ′(84)表示当产量为84吨时，利润增加的速度为0，也就是说当产量为84吨时，每多生产1吨产品，利润增加为0，即利润不变．。

北师大版数学高二- 导数的几何意义学案

2.2.2 导数的几何意义一、学习目标：1、通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；2、理解曲线在一点的切线的概念；3、会求简单函数在某点处的切线方程。

二、教学重点：了解导数的几何意义教学难点：求简单函数在某点出的切线方程三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程复习回顾 1.平均变化率.],[)()()(0)(00000的平均变化率在为函数称时，比值当及其附近有定义，在点已知函数x x x x f xx f x x f x y x x x x f y ∆+∆-∆+=∆∆≠∆== 2.瞬时变化率.)()()(0x 000的瞬时变化率在点则这个常数称为函数常数，时，平均变化率当x x f xx f x x f →∆-∆+→∆ 3.导数的定义xx f x x f x f y x f x x x f x x x x ∆-∆+='''=→∆=)()((lim )(|)()(00000000，故或记作处的导数在为的瞬时变化率，就定义函数在4.点斜式直线方程：y-y0=k(x-x0)曲线的切线y=f(x)y0=f(x0)， y1=f(x1)当自变量从x0变化到x1时，相应的函数值从f(x0)变化到f(x1) 自变量的增量△x= x1- x0 函数值的增量△y= f(x1)- f(x0) Q(x0+ △x,y0+ △y) △y=f(x0+ △x)-f(x0)曲线在某一点处的切线的定义设曲线C 是函数y=f(x)的图象，在曲线C 上取一点(x0,y0)及邻近一点(x0+△x,y0+△y) 过P,Q 两点作割线当点Q 沿着曲线无限接近于点P 即△x →0时, 如果割线PQ 有一个极限位置PT, 那么直线PT 叫做曲线在点P 处的切线。

P(x 0,y 0)M△x△y xoyy=f(x)曲线在某一点处的切线的斜率公式设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α tan β=x y ∆∆xx f x x f ∆-∆+=)()(00当△x →0时，割线PQ 的斜率的极限，就是曲线在点P 处的切线的斜率，即 tan α=x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(0000lim lim M△xβ αoyPQβ α △x△y P QTxoyy=f(x)切线斜率求曲线L ：y=f(x)在点M(x0,y0)处切线的斜率。

北师大版数学高二-第二节导数在实际问题中的应用3.2.1实际问题中导数的意义学案

第二节导数在实际问题中的应用3.2.1实际问题中导数的意义★ 学习目标1．理解用函数思想解决优化问题的基本思路； 2．能运用函数并结合导数知识解决简单的实际问题。

★ 学法指导通过实际问题的应用举例，逐步掌握运用函数思想解决优化问题的建模过程：优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解决数学问题→优化问题的结果。

★ 知识点归纳1．生活中经常遇到求等问题，这些问题通常成为优化问题； 2 ．利用导数解决优化问题的实质是； 3 ．解决优化问题的步骤是2）；（3）。

★ 重点：掌握优化问题的建模过程；难点：将实际问题转化为数学中的函数问题，并根据实际意义正确确定函数的定义域；剖析：1．生活和生产实践中优化问题的常见类型：费用、用料最省问题；利润最大问题；面积、体积最大问题等。

2．在运用函数解决实际问题的过程中，要注意恰当地选择自变量，从而简化函数的解析式，简化问题解决的过程；3．在解决实际问题时，不仅要在准确理解变量关系的基础上正确建立函数关系，而且要根据实际意义正确确定函数的定义域；4．在实际问题中，有时会遇到在定义域内只有一点满足'()0f x =的情形，这时我们仍要确定它是极大值还是极小值，不应认为它就一定是解。

★ 典例分析例1 某机车拖运货物时对货物所做的功W （单位：J ）是时间t （单位：s ）的函数，设这个函数可以表示为：753-+=t tt w )(。

(1) 求t 从1s 变到3s 时，功W 关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2) 求在t=1s 和t=3s 时,该机车每秒做的功。

分析：()W t 在0tt =处的导数'0()W t 为机车在0t t =时，每秒所做的功即功率。

变式练习1一辆加速行使的汽车，其速度关于时间的函数表达式为2()210,v f t t t ==-+求'(1)f ，并解释它的实际意义。

例2 用长为90cm ，宽为48cm 的长方形做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形转090角，再焊接而成（如图所示），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？分析：考察函数的概念，运用导数求最值的方法。

2020—2021数学北师大版选修1-1第四章实际问题中导数的意义课件

导数在物理中的应用
某质点的运动方程为s＝2t2＋3t，其中s是位移 (单位：m)，t是时间(单位：s)． (1)求t从1 s变到3 s时，位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求s′(1)，s′(2)，并解释它们的实际意义． (链接教材第四章2.1例1)
1.电流通过一导线，从0时刻到t时刻通过该导线横断面的电荷量Q与t有如下的函数关系：Q＝4t2＋t＋1(Q的单位：C；t 的单位：s)，求t＝3时的瞬时电流．解：∵Q＝4t2＋t＋1，∴Q′(t)＝8t＋1. t＝3时，Q′(3)＝8×3＋1＝25(A)．
[感悟提高] (1)恰当设出自变量和因变量并正确确定定义域，寻找它们之间的关系是此题关键点和难点． (2)函数在闭区间的端点无导数．
7.解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去，其思路如图所示．
①审题：阅读理解文字所表达的含义，分清条件和结论，找出问题中各量之间的关系； ②建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解； ④对结果进行验证评估：定性、定量分析,作出正确的判断,确定其答案．
3.边际成本在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导函数称为边际成本． 4.瞬时速度物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是___位__移__s_对__时__间__t _ 的导数；速度对时间的导数是___加__速__度____． 5.线密度单位长度的物体质量称为线密度，它是___质___量__关__于__长__度____ 的导数．

北师大版选修(1-1)4.2《导数在实际问题中的应用》word教案

导数在实际问题中的应用学习目标:掌握导数在解决实际问题中的应用学习重点难点：掌握导数在解决实际问题中的应用.自主学习：一、知识再现：利用导数求函数极值和最值的方法二、新课探究：导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

解决实际问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。

再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具.三、例题解析:例1在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图）,做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少? 解法一：设箱底边长为x cm,h二 _。

口，得箱子容积2V(x) = x2h2 3 60x - x2V (x) =60x 3x2—x(0 ：： x ：： 60).（0 ：： x ：： 60）令利用导数解决优化问题的基本思路：V(x) = (60-2x)2x (0 ：：： x ：：： 30).(后面同解法一，略)由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处•事实上,23 2 60x — x2函数V(x) =x 2h = 2 、V(x)=(60—2X )2X 在各自的定义域中都只有一个极值点,即h=2R, 因为答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省?解得x=0 (舍去) 由题意可知，当x 最大值，x=40，并求得 V(40)=16 000 过小(接近0)或过大(接近 60)时，箱子容积很小，因此， 16 000是答：当x=40cm 时,解法二：设箱高为箱子容积最大，最大容积是 16 000cm 3 x cm,则箱底长为(60-2 x )cm ，则得箱子容积L：0-2x可导从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点, 函数值,例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取, 料最省？解：设圆柱的高为 h ,底半径为R ,则表面积S=2n Rh+2n R 2舟、，品/曰, V 小 V c J 2V c Jh不必考虑端点的才能使所用的材2 n 氏=——+2n 氏 R 令 S (R) 一律 +4n R=0R解得，R=^—,2兀S(R)只有一个极值，所以它是最小值提示：S =2 二Rh + 2二R2= h = 2 S -2二R 2 二R6060-2x■j X 60-2x 60-2x X 从而h==兀R-二R2=^(S-2二R2)R r^SR — R3二V( R)=2 2- 2 -------- 2 2 ---------------V'(R))=O 二S=6「:R =■ 6 :R = 2二Rh 2二R =■ h = 2R .例3已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关1系式为p = 25 q.求产量q为何值时，利润L最大？8分析：利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润.解：收入R=qp=qi25 q = 25q q2,I 8丿8( 1 2、1 2利润L=R-C 二25q q2 -(100-4q) q221q-1001 1(0 ::: q <100) L q 21 令L” = 0，即一一q 21=0,4 4求得唯一的极值点q =84 +答：产量为84时，利润L最大.课堂巩固：用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.归纳反思：合作探究1.某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是0.8： r2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米。

北师大版数学4.2.1 实际问题中导数的意义教案 (北师大选修1-1)

高中数学：4.2.1 实际问题中导数的意义教案（北师大选修1-1）教学过程：一、复习引入：1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值5. 求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值6.函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值二、讲解范例：例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切_x _x_ 60 x x去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602x h -=cm ，得箱子容积 260)(322x x h x x V -== )600(<<x ．23()602x V x x '=-)600(<<x 令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40，并求得 V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积 x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略）由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得2V h Rπ=，则 S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R +2πR 2令 22()V s R R '=-+4πR=0 解得，h=2V Rπ即h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S =2Rh π+22R π⇒h =R R S ππ222- ⇒V (R )=R R S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。

高中数学北师大版选修1-1教案-2.1实际问题中导数的意义_教学设计_教案

教学准备1. 教学目标•1理解可导函数的单调性与其导数的关系；•2了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；•3会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值2. 教学重点/难点•1理解可导函数的单调性与其导数的关系；•2了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；•3会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值3. 教学用具4. 标签教学过程知识归纳1.极大（小）值的定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)<f(x0)（或f(x)>(x0)），就说f(x0)是函数f(x)的一个极大（小）值，记作y极大值=f(x0)（或y极小值=f(x0)），x0是极大（小）值点2.求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)(2)求方程f′(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，若左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值；若左右不改变符号，则f(x)在这个根处无极值3. 利用导数求函数的最值方法和步骤: ⑴求f(x)在(a,b)内的极值；⑵将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在[a,b]上的最值例4．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？归纳总结:在求函数的极值和最值时，要注意极值和最值的区别能列表的应采用列表的方法，在处理应用问题时，一方面正确列出函数关系式，按函数求极值、最值的步骤进行另一方面在解题时还要随时利用应用题本身的特点，以及目标函数的取值范围确定驻点课堂作业：热身：（第83课时）：1,3,4；作业：2，3,4,7（选）8.教学后记：。

4.2 导数在实际问题中的应用教案1(高中数学选修1-1北师大版)

4．2 导数在实际问题中的应用目标认知学习目标：1. 会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次.2. 了解函数在某点取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号)和充分条件（）；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次.3．会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次. 重点：利用导数判断函数单调性；函数极值与最值的区别与联系.会求一些函数的(极)最大值与(极)最小值难点：利用导数在解决函数问题时有关字母讨论的问题.知识要点梳理知识点一：函数的单调性(一) 导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，若，则在这个区间上为增函数；若，则在这个区间上为减函数；若恒有，则在这一区间上为常函数.反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．注意：1. 若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）.即在区间(a,b)内，（或）是在(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增.2. 学生易误认为只要有点使，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.3. 要关注导函数图象与原函数图象间关系.（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：1. 确定函数的定义域；2. 求导数；3. 在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数.4. 写出的单调区间.知识点二：函数的极值（一）函数的极值的定义一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.注意：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（5）可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立.即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件.在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有.但反过来不一定.如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点不是函数的极值点. （二）求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 知识点三：函数的最大值与最小值（一）函数的最大值与最小值定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如. （二）求函数最值的的基本步骤：若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数（2）求在内的极值；（3）求在闭区间端点处的函数值，；（4）将的各极值与，比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值.（三）最值理论的应用解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：（1）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；（2）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；（3）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点满足，并且在点处有极大（小）值，而所给实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值.规律方法指导（1）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D.若由不等式确定的x的取值集合为A，由确定的x的取值范围为B，则应有.如：.（2）最值与极值的区别与联系：①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念，最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值.函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值.④若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.典型例题例1．设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。

高中数学：3.2.1 实际问题中导数的意义(一) 教案 (北师大选修2-2)

3.2.1 实际问题中导数的意义教学过程：一、主要知识点：1. 基本方法：（1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y ＝f （x ）在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的减函数.（2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f （x ）的导数f ′（x ）. ②令f ′（x ）＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′（x ）＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间.（3）判别f （x 0）是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.（4）求函数f （x ）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f ′（x ）. ②求方程f '（x ）＝0的根. ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f '（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f （x ）在这个根处无极值.（5）利用导数求函数的最值步骤：（1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.2、基本思想：学习的目的，就是要会实际应用，本讲主要是培养学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力.解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常规问题，选择合适的数学方法求解.根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧．二、典型例题例1、在边长为60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？思路一：设箱底边长为x cm ，则箱高602x h -=cm ，得箱子容积V 是箱底边长x 的函数：23260()(060)2x x r x x h x -==<<，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的16，这个结论是否具有一般性？变式：从一块边长为a 的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做成一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？提示：2()(2) (0)2a V x x a x x =-<<答案：6a x =．评注：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧. 而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数，对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值. 可见，导数的引入，大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.例2、（福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y （升），关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080y x x x =-+<≤已知甲、乙两地相距100千米．（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：（I ）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了100 2.540=小时，要耗油313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=（升）．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．（II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为()h x 升，依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤ 332280080'()(0120).640640x x h x x x x -=-=<≤令'()0,h x =得80.x =当(0,80)x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数；当(80,120)x ∈时，'()0,()h x h x >是增函数．∴当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25.h = 因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．例3、求抛物线221x y =上与点)0,6(A 距离最近的点. 解：设),(y x M 为抛物线221x y =上一点，则=+-=22)6(||y x MA 4241)6(x x +-. ||MA Θ与2||MA 同时取到极值. 令42241)6(||)(x x MA x f +-==. 由0)62)(2()(2/=++-=x x x x f 得2=x 是唯一的驻点.当-∞→x 或+∞→x 时，2,)(,||=∴+∞→∴+∞→x x f MA 是)(x f 的最小值点，此时2221,22=⨯==y x . 即抛物线221x y =上与点)0,6(A 距离最近的点是（2，2）.例4、烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境. 已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现有两座烟囱相距20km ，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小.解：不失一般性，设烟囱A 的烟尘量为1，则烟囱B 的烟尘量为8并设AC ＝)200(<<x x x CB -=∴20，于是点C 的烟尘浓度为)200()20(822<<-+=x x k x k y ，其中k 为比例系数.332333/)20()80001200609(2)20(162x x x x x k x k x k y --+-⋅=-+-= 令0/=y ，有08000120060923=-+-x x x ，即0)4003)(203(2=+-x x .解得在（0，20）内惟一驻点320=x . 由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得，∴在惟一驻点320=x 处，浓度y 最小，即在AB 间距A 处km 320处的烟尘浓度最小. 例5、已知抛物线y ＝－x 2+2，过其上一点P 引抛物线的切线l ，使l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l 的方程.解：设切点P （x 0，－x 02+2）（x 0＞0），由y ＝－x 2+2得y ′＝－2x ，∴k 1＝－2x 0.∴l 的方程为y －（－x 02+2）＝－2x 0（x －x 0），令y ＝0，得x 0202x 令x ＝0，得y ＝x 02+2，∴三角形的面积为S ＝21·02022x x +·（x 02+2）＝02040444x x x ++. ∴S ′＝2020204)2)(23(x x x +-. 令S ′＝0，得x 0＝36 （∵x 0＞0）. ∴当0＜x 0＜36时，S ′＜0; 当x 0＞36时，S ′＞0. ∴x 0＝36时，S 取极小值∵只有一个极值， ∴x ＝36时S 最小，此时k 1＝－362，切点为（36，34）. ∴l 的方程为y －34＝－362 （x －36），即26x +3y －8＝0.例6、在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？解：设∠BCD ＝Q ，则BC ＝θsin 40，CD ＝40cot θ，（0＜θ＜2π＝， ∴AC ＝50－40cot θ设总的水管费用为f （θ），依题意，有f （θ）＝3a （50－40·cot θ）+5a ·θsin 40 ＝150a +40a ·θθsin cos 35- ∴f ′（θ）＝40a ·θθθθθθθ22sin cos 5340sin )(sin )cos 35(sin )cos 35(-⋅='⋅--⋅'-a 令f ′（θ）＝0，得cos θ＝53 根据问题的实际意义，当cos θ＝53时，函数取得最小值，此时sin θ＝54，∴cot θ＝43， ∴AC ＝50－40cot θ＝20（km ），即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.例7、（江苏卷）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO 1为x m ，则41<<x 由题设可得正六棱锥底面边长为：22228)1(3x x x -+=--，故底面正六边形的面积为： (436⋅⋅22)28x x -+＝)28(2332x x -+⋅，（单位：2m ）帐篷的体积为：)28(233V 2x x x -+=）（]1)1(31[+-x )1216(233x x -+=（单位：3m ）求导得)312(23V'2x x -=）（．令0V'=）（x ，解得2-=x （不合题意，舍去），2=x ，当21<<x 时，0V'>）（x ，）（x V 为增函数；当42<<x 时，0V'<）（x ，）（x V 为减函数．∴当2 x 时，）（x V 最大．答：当OO 1为2m 时，帐篷的体积最大，最大体积为3163m ．点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力．三、小结：⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单四、课后作业：。

高中数学第4章导数应用2.1实际问题中导数的意义课件北师大版选修1_1

1．如果物体做直线运动的方程为s(t)＝2(1－t)2，则其在t
＝4 s时的瞬时速度为( )
A．12
B．－12
C．4
D．－4
解析： ∵s(t)＝2t2－4t＋2，
∴s′(t)＝4t－4，∴s′(4)＝12，
即当t＝4 s时的瞬时速度为12.
答案： A
2．从时间t＝0开始的t s内，通过某导体的电量(单位：C)
§2 导数在实际问题中的应用 2．1 实际问题中导数的意义
学课前预习学案
某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间 t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W＝W(t)＝t3－4t2＋ 10t.
(1)t从1 s到4 s时，功W关于时间t的平均变化率是多少？ (2)上述问题的实际意义是什么？ (3)W′(1)的实际意义是什么？
利用导数解决物理问题，关键是要熟悉相关的物理概念、公式，并联系导数的物理意义求解．
2．线段 AB 长 10 米，在它的两个端点处各有一个光源，线段 AB 上的点 P 距光源 A x 米，已知点 P 受两个光源的总光照度 I(x)＝x82＋10－1 x2，其单位为：勒克斯．
(1)当 x 从 5 变到 8 时，求点 P 处的总光照度关于点 P 与 A 的距离 x 的平均变化率，它代表什么实际意义？
(2)求 f′(1)，f′(4)，并解释它的意义．
[思路导引]
(1)
求出变化率
―→
解释其实际意义
(2) 求f′x ―→ 计算f′1，f′4 ―→ 解释其意义 [规范解答] (1)当 x 从 1 h 变到 4 h 时，产量 y 从 f(1)＝8210 g 变到 f(4)＝12706 g，此时平均变化率为f44－－f11＝12706－ 3 8210＝1192(g/h)，4 分

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2．1 实际问题中导数的意义学习目标 1.利用实际问题加强对导数概念的理解.2.能利用导数求解有关实际问题．知识点实际问题中导数的意义思考某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W＝W(t)＝t3－4t2＋10t.(1)t从1 s到4 s时W关于t的平均变化率是多少？(2)上述问题的实际意义是什么？(3)W′(1)的实际意义是什么？梳理(1)在物理学中，通常称力在单位时间内________为功率，它的单位是________．功率是功关于________的导数．(2)在气象学中，通常把单位时间(如1时，1天等)内的________称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的一个重要指标．降雨强度是降雨量关于时间的________．(3)在经济学中，通常把生产成本y关于________x的函数y＝f(x)的导函数称为____________．边际成本f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f′(x0)个单位的成本．类型一导数在物理学中的意义例1 某质点的运动方程为s＝s(t)＝2t2＋3t，其中s是位移(单位：m)，t是时间(单位：s)．(1)求当t从1 s变到3 s时，位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求s ′(1)，s ′(2)，并解释它们的实际意义．反思与感悟根据导数的实际意义，在物理学中，除了我们所熟悉的位移、速度与时间的关系，功与时间的关系，还应了解质量关于体积的导数为密度，电量关于时间的导数为电流强度等．因此，在解释某点处的导数的物理意义时，应结合这些导数的实际意义进行理解．跟踪训练1 某河流在一段时间x min 内流过的水量为y m 3，y 是x 的函数，且y ＝f (x )＝3x . (1)当x 从1变到8时，y 关于x 的平均变化率是多少？ (2)求f ′(27)，并解释它的实际意义．类型二导数在经济生活中的应用例2 某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C (元)与日产量x (件)的函数关系为C (x )＝14x 2＋60x ＋2 050.求当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义．引申探究1．若本例条件不变，求当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义．2．若本例的条件“C (x )＝14x 2＋60x ＋2 050”变为“C (x )＝14x 2＋ax ＋2 050，当日产量为75件时的边际成本大于97.5”，求a 的取值范围．反思与感悟生产成本y 关于产量x 的函数y ＝f (x )中，f ′(x 0)指的是当产量为x 0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x 0时，每增加一个单位的产量，需增加f ′(x 0)个单位的成本．跟踪训练2 已知某商品的成本函数为C (Q )＝100＋Q 24(Q 为产品的数量)．(1)求Q ＝10时的总成本、平均成本及边际成本； (2)当产量Q 为多少时，平均成本最小？最小为多少？类型三在日常生活中的应用例3 一名工人上班后开始连续工作，生产的产品质量y(单位：g)是工作时间x(单位：h)的函数，设这个函数为y＝f(x)＝x220＋4x.(1)求x从1 h变到4 h时，y关于时间x的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求f′(1)，f′(4)，并解释它的意义．反思与感悟在不同的实际问题中导数的意义是不相同的，要结合具体问题进行分析，在某一点处的导数的实际意义是当自变量在该点处的改变量趋近于零时，平均变化率所趋近的值，问题不同有不同的意义．跟踪训练3 某年高考，某考生在参加数学科考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系y＝2x.(1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求f′(64)，f′(100)，并解释它的实际意义．1．某公司的盈利y (元)和时间x (天)的函数关系是y ＝f (x )，假设f (x )＞0恒成立，且f ′(10)＝10，f ′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较( ) A ．公司已经亏损B ．公司的盈利在增加，且增加的幅度变大C ．公司在亏损且亏损幅度变小D ．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小2．某人拉动一个物体前进，他所做的功W 是时间t 的函数，即W ＝W (t )，则W ′(t 0)表示( ) A ．t ＝t 0时做的功 B ．t ＝t 0时的速度 C ．t ＝t 3时的位移 D ．t ＝t 0时的功率3．某收音机制造厂的管理者通过对上午上班工人工作效率的研究表明：一个中等技术水平的工人，从8：00开始工作，t 小时后可装配晶体管收音机的台数为Q (t )＝－t 3＋9t 2＋12t ，则Q ′(2)＝________，它的实际意义是__________________________________． 4．某物体的运动速度与时间的关系为v (t )＝2t 2－1，则t ＝2时的加速度为________． 5．某厂生产x 吨产品获利y 万元，y 是x 的函数，且函数为y ＝f (x )＝－18x 2＋21x －100.(1)当x 从4变到8时，y 关于x 的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ (2)求f ′(84)，并解释它的实际意义．1．解决实际问题的一般思路：实际问题转化为数学问题，数学问题的结论回到实际问题的结论．2．解决实际问题的一般步骤(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解； (4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案．答案精析问题导学思考 (1)W 4－W 14－1＝40－73＝11 J/s.(2)它表示从t ＝1 s 到t ＝4 s 这段时间内，这个人平均每秒做功11 J. (3)W ′(t )＝3t 2－8t ＋10，W ′(1)＝5表示在t ＝1 s 时每秒做功5 J.梳理 (1)做的功瓦特时间 (2)降雨量导数 (3)产量边际成本题型探究例1 解 (1)当t 从1 s 变到3 s 时，s 关于t 的平均变化率为 Δs Δt ＝s 3－s 13－1＝27－53－1＝11 m/s. 它表示从t ＝1 s 到t ＝3 s 这段时间内，该质点平均每秒的位移是11 m.(2)由导数公式表和导数的运算法则可得s ′(t )＝4t ＋3，则s ′(1)＝4＋3＝7 m/s ，s ′(2)＝4×2＋3＝11 m/s.s ′(1)表示的是该质点在t ＝1 s 时的瞬时速度，也就是该质点在t ＝1 s 这个时刻的瞬时速度为7 m/s.s ′(2)表示的是该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度，也就是该质点在t ＝2 s 这个时刻的瞬时速度为11 m/s.跟踪训练1 解 (1)当x 从1变到8时，y 关于x 的平均变化率为f 8－f 18－1＝2－17＝17(m 3/min)．(2)f ′(x )＝13x －23，于是f ′(27)＝13×27－23＝127 (m 3/min)，实际意义为当时间为27 min时，水流量增加的速度为127 m 3/min ，也就是当时间为27 min 时，每增加1 min ，水流量增加127m 3. 例2 解当x 从10件提高到20件时，总成本C 从C (10)＝2 675元变到C (20)＝3 350元．此时总成本的平均改变量为C 20－C 1020－10＝67.5(元/件)，其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量．引申探究1．解因为C ′(x )＝12x ＋60，所以C ′(75)＝12×75＋60＝97.5(元/件)，它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元． 2．解因为C ′(x )＝12x ＋a ，所以日产量为75件时的边际成本大于97.5，即C ′(75)＝12×75＋a >97.5，解得a >60.跟踪训练2 解 (1)Q ＝10时的总成本C (10)＝100＋1024＝125；Q ＝10时的平均成本 C 10＝C 1010＝12.5.边际成本即成本函数C (Q )对产量Q 的导数，故边际成本C ′(Q )＝12Q ，Q ＝10时的边际成本是C ′(10)＝5.(2)由(1)得，平均成本C Q＝C Q Q ＝100Q ＋Q4，而100Q ＋Q4≥2·100Q ·Q4＝10，当且仅当100Q ＝Q4，即Q ＝20时，等号成立，所以当产量Q 为20时，平均成本最小，且平均成本的最小值是10. 例3 解 (1)当x 从1 h 变到4 h 时，产量y 从f (1)＝8120 g 变到f (4)＝17620g ，此时平均变化率为f4－f 14－1＝17620－81203＝1912(g/h)，它表示从1 h 到4 h 这段时间这个人平均每小时生产1912g 产品． (2)f ′(x )＝x 10＋2x，于是f ′(1)＝2110(g/h)，f ′(4)＝75(g/h)，分别表示在第1小时和第4小时这个人每小时生产产品2110 g 和75 g.跟踪训练3 解 (1)x 从0分钟变化到36分钟，y 关于x 的平均变化率为f 36－f 036－0＝1236＝13. 它表示该考生前36分钟平均每分钟解答13道题．(2)∵f ′(x )＝1x，∴f ′(64)＝18，f ′(100)＝110.它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答18和110道题．当堂训练 1．D 2.D3．36台/小时 10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时 4．85．解 (1)当x 从4变到8时，y 关于x 的平均变化率为f 8－f 48－4＝60－－188－4＝19.5(万元/吨)，它表示产量从4吨增加到8吨的过程中，每增加1吨产量，利润平均增加19.5万元．(2)f ′(x )＝－14x ＋21，于是f ′(84)＝0，f ′(84)表示当产量为84吨时，利润增加的速度为0，也就是说当产量为84吨时，每多生产1吨产品，利润增加为0，即利润不变．问题导学思考 (1)W 4－W 14－1＝40－73＝11 J/s.(2)它表示从t ＝1 s 到t ＝4 s 这段时间内，这个人平均每秒做功11 J. (3)W ′(t )＝3t 2－8t ＋10，W ′(1)＝5表示在t ＝1 s 时每秒做功5 J.梳理 (1)做的功瓦特时间 (2)降雨量导数 (3)产量边际成本题型探究例1 解 (1)当t 从1 s 变到3 s 时，s 关于t 的平均变化率为 Δs Δt ＝s 3－s 13－1＝27－53－1＝11 m/s. 它表示从t ＝1 s 到t ＝3 s 这段时间内，该质点平均每秒的位移是11 m.(2)由导数公式表和导数的运算法则可得s ′(t )＝4t ＋3，则s ′(1)＝4＋3＝7 m/s ，s ′(2)＝4×2＋3＝11 m/s.s ′(1)表示的是该质点在t ＝1 s 时的瞬时速度，也就是该质点在t ＝1 s 这个时刻的瞬时速度为7 m/s.s ′(2)表示的是该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度，也就是该质点在t ＝2 s 这个时刻的瞬时速度为11 m/s.跟踪训练1 解 (1)当x 从1变到8时，y 关于x 的平均变化率为f 8－f 18－1＝2－17＝17(m 3/min)．(2)f ′(x )＝13x －23，于是f ′(27)＝13×27－23＝127 (m 3/min)，实际意义为当时间为27 min时，水流量增加的速度为127 m 3/min ，也就是当时间为27 min 时，每增加1 min ，水流量增加127m 3. 例2 解当x 从10件提高到20件时，总成本C 从C (10)＝2 675元变到C (20)＝3 350元．此时总成本的平均改变量为C 20－C 1020－10＝67.5(元/件)，其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量．引申探究1．解因为C ′(x )＝12x ＋60，所以C ′(75)＝12×75＋60＝97.5(元/件)，它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元．2．解因为C ′(x )＝12x ＋a ，所以日产量为75件时的边际成本大于97.5，即C ′(75)＝12×75＋a >97.5，解得a >60.跟踪训练2 解 (1)Q ＝10时的总成本C (10)＝100＋1024＝125；Q ＝10时的平均成本 C 10＝C 1010＝12.5.边际成本即成本函数C (Q )对产量Q 的导数，故边际成本C ′(Q )＝12Q ，Q ＝10时的边际成本是C ′(10)＝5.(2)由(1)得，平均成本C Q＝C Q Q ＝100Q ＋Q4，而100Q ＋Q4≥2·100Q ·Q4＝10，当且仅当100Q ＝Q4，即Q ＝20时，等号成立，所以当产量Q 为20时，平均成本最小，且平均成本的最小值是10. 例3 解 (1)当x 从1 h 变到4 h 时，产量y 从f (1)＝8120 g 变到f (4)＝17620g ，此时平均变化率为f4－f 14－1＝17620－81203＝1912(g/h)，它表示从1 h 到4 h 这段时间这个人平均每小时生产1912g 产品． (2)f ′(x )＝x 10＋2x，于是f ′(1)＝2110(g/h)，f ′(4)＝75(g/h)，分别表示在第1小时和第4小时这个人每小时生产产品2110 g 和75g.11 / 11 跟踪训练3 解 (1)x 从0分钟变化到36分钟，y 关于x 的平均变化率为f 36－f 036－0＝1236＝13. 它表示该考生前36分钟平均每分钟解答13道题． (2)∵f ′(x )＝1x ，∴f ′(64)＝18， f ′(100)＝110.它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答18和110道题．当堂训练1．D 2.D3．36台/小时 10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时4．85．解 (1)当x 从4变到8时，y 关于x 的平均变化率为f 8－f 48－4＝60－－188－4＝19.5(万元/吨)，它表示产量从4吨增加到8吨的过程中，每增加1吨产量，利润平均增加19.5万元．(2)f ′(x )＝－14x ＋21，于是f ′(84)＝0， f ′(84)表示当产量为84吨时，利润增加的速度为0，也就是说当产量为84吨时，每多生产1吨产品，利润增加为0，即利润不变．。