初三数学培优练习题

C A BD初三数学培优练习题131、自然数4、5、5、x 、y 从小到大排列后，其中位数．．．为4，如果这组数据唯一．．的众数是5,那么，所有满足条件的x 、y 中，y x +的最大值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）62、两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的容积之比是:1p ，而在另一个瓶子中是:1q ，若把两瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精与水的容积之比是（ ）A ．2p q+B ．22p q p q++C ．2pqp q+ D ．22p q pqp q ++++3．由325x y a x y a x y a m-=+⎧⎪+=⎪⎨>⎪⎪>⎩得a>－3,则m 的取值范围是（ ）A m>－3B m ≥－3C m ≤－3D m<－34、在ABC ∆中，b CA c AB a BC ===,,。

且a 、b 、c 满足：2382-=-b a ，34102-=-c b ，762=-a c 。

则=+B A sin sin 2 （ ）A ．1B ．57C ．2D ．5125．将一副三角板如下图摆放在一起，连结AD ，则ADB ∠的正切值为( ) A1 B1 C6．给出下列四个命题：（1）如果某圆锥的侧面展开图是半圆，则其轴截面一定是等边三角形；（2）若点A 在直线y =2x -3上，且点A 到两坐标轴的距离相等，则点A 在第一或第四象限； （3）半径为5的圆中，弦AB=8，则圆周上到直线AB 的距离为2的点共有四个；（4）若A （a ，m ）、B （a –1，n ）(a >0)在反比例函数xy 4=的图象上，则m <n . 其中，正确命题的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个 D ． 4个7．已知抛物线y=ax 2+2ax+4(0<a<3)，A （x 1，y 1），B(x 2，y 2)是抛物线上两点，若x 1<x 2， 且x 1+x 2=1－a ，则（ ）A y 1< y 2B y 1= y 2C y 1> y 2D y 1与y 2的大小不能确定8． 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示方向经过点B 跑到点C ，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t （单位：秒），他与教练的距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（ ） A ．点M B ．点N C ．点P D ．点Q9、已知方程121011x x x x m -+-+-+-=无解，则实数m 的取值范围是 ．10．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝60°， AD ＝DC ＝10，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且AE ＝4，BF ＝x ，设四边形DEFC 的面积为y ，则y 关于x 的函数关系式是 （不必写自变量的取值范围）．11．如图，对面积为1ABCD 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB 、BC 、CD 、DA 至点A 1、B 1、C 1、1，使得A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C 1D =2CD ，D 1A =2AD ，顺次连接A 1、B 1、C 1、D 1，得到 A 1B 1C 1 D 1，记其面积为S 1；第二次操作，分别延长A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1至点A 2、B 2、C 2、D 2，使得A 2B 1=2A 1B 1，B 2C 1=2B 1C 1，C 2D 1=2C 1D 1，D 2A 1=2A 1D 1，顺次连接A 2、B 2、C 2、D 2记其面积为S 2；…；按此规律继续下去，可得到 A 5B 5C 5D 5，则其面积S 5=__ _ ．12、如右图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝1， BC ＝3，CD ＝4，EF 是梯形的中位线，DH 为梯形的高， 则下列结论正确的有 （填序号）． ①四边形EHCF 为菱形； ②∠BCD=60°； ③12BEH CEH S S =△△； ④以AB 为直径的圆与CD 相切于点F ． 13、如图所示，已知Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，D ，E ，F 分别是三边AB ，BC ，AC 上的点，则DE ＋EF ＋FD 的最小值为_____ __．14. 如图，AB 为半圆的直径，C 是半圆弧上一点，正方形DEFG 的一边DG在直径AB 上，另一边DE 过ΔABC 的内切圆圆心O ，且点E 在半圆弧上 .①若正方形的顶点F 也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是______________；②若正方形DEFG 的面积为100，且ΔABC 的内切圆半径=4，则半圆的直径AB = __________ .15、某商场在促销期间规定：商场所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，可按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。

例如，购买价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠为：400×＋30 = 110（元）。

AB CEFD试问商品的标价购买商品获得的优惠额率设购买商品得到的优惠.=（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少（2）对于标价在500≤w ＜800（元）的商品，顾客购买标价为多少元商品，可得到不小于31的优惠率。

16、如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点，矩形ABCD 的边AD 与x 轴的正半轴重合，另三边都在第四象限内，已知点A （1，0），AB=2，AD=3，点E 为OD 的中点，以AD 为直径作⊙M ，经过A 、D 两点的抛物线y= ax 2＋bx ＋c 的顶点为P 。

（1）求经过C 、E 两点的直线的解析式；（2）如果点P 同时在⊙M 和矩形ABCD 内部，求a 的取值范围；（3）过点B 作⊙M 的切线交边CD 于F 点，当PF ∥AD 时，判断直线CE 与y 轴的交点是否在抛物线上，并说明理由。

17、把两块全等的直角三角形和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与 三角板的斜边中点重合，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点．（1）如图1，当射线经过点，即点与点重合时，易证．此时，____________．（2）将三角板由图1所示的位置绕点沿逆时针方向旋转如图2，设旋转角为．其中，问的值是否改变说明你的理由．（3）在（2）的条件下，设，两块三角板重叠面积为，求与的函数关系式．ＢＥE18、如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A C ，在坐标轴上，80cm OA =，60cm OC =．动点P 从点O 出发，以5cm/s 的速度沿y 轴匀速向点A 运动，到达点A 即停止．设点P 运动的时间为(s)t ． （1）过点P 作对角线OB 的垂线，垂足为点T ．求OPT ∆的面积y 与时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； （2）在点P 运动过程中，当点O 关于直线CP 的对称点O '恰好落在对角线OB 上时，求此时直线CP 的函数解析式；（3）探索：以C P T ，，三点为顶点的CPT △的面积能否达到矩形OABC 面积的980请说明理由．参考答案1、C ，2．答案：D ，由比例性质，21111211p q p q pq p q p q p q+++++=+++++3、C ，4、C ，5、D ，6、B ，7、A ，8、D9．答案：m<18，由绝对值的几何意义知，函数||||||()y x a x b a b a b =-+-≥-<当且 仅当a xb ≤≤时等号成立，∴121011(111)(210)y x x x x x x x x =-+-+-+-=-+-+-+-|111||210|18≥-+-=，当且仅当210x ≤≤时等号成立．故由方程121011x x x x m -+-+-+-=无解，得18m <．10、35534+-=x y , 11、135或371293, 12、①②③13、513、分析：作F 关于AB 、BC 的对称点F ′、F ″，作AC 关于AB 、BC 的对称线段，可以发现F ′，F ″是一个菱形对边上的关于中心B 对称的对称点．容易发现，F ′F ″的最短距离就是菱形对边的距离，也就是菱形的高．根据菱形的性质即可求出DE+EF+FD 的最小值． 解答：解：作F 关于AB 、BC 的对称点F ′、F ″ 则FD=F ′D ，FE=F ″E ． DE+EF+FD=DE+F ′D+F ″E ．两点之间线段最短，可知当F 固定时，DE+F ′D+F ″E 的最小值就是线段F ′F ″的长． 于是问题转化：F 运动时，F ′F ″什么时候最短． F ′，F ″是关于B 点对称的．作AC 关于AB 、BC 的对称线段，可以发现F ′，F ″是一个菱形对边上的关于中心B 对称的对称点． 很容易发现，F ′F ″的最短距离就是菱形对边的距离，也就是菱形的高． =5x, x=，高是， 故DE+EF+FD 的最小值为，此时F 在斜边上的高的垂足点，D 、E 在B 点．点评：本题考查菱形的判定和性质及轴对称--最短路线问题的综合应用，有一定的难度．关键是确定F 在斜边上的高的垂足点，D 、E 在B 点．14、①5∶2 ；②2115、解（1）%3310001302.01000=+⨯（2）商品的标价为x 元，则800500≤≤x ，消费额：6408.0400≤≤x ，由已知得⎪⎩⎪⎨⎧<≤≥+5008.040031602.0)(x x x Ⅰ 或⎪⎩⎪⎨⎧<≤≥+6408.0500311002.0)(x x x Ⅱ 不等式（Ⅰ）无解，不等式（Ⅱ）的解为750625≤≤x因此，当顾客购买标价在750625≤≤x 元内的商品时，可得到不小于31的优惠率。

16、17.（1）8 ……… 2’（2）的值不会改变． 理由如下：在与中， ， 即 ，（3）情形1：当时，由（2）知：得 于是情形2：当时，时，即，此时两三角板重叠部分为，由于， 即解得于是综上所述，当时，，当时， 18、解：（1）在矩形OABC 中，Q60OA =，80OC =， 100OB AC ∴===．……………………1分PT OB ⊥Q ，Rt Rt OPT OBA ∴△∽△．PT OP AB OB∴=，即560100PT t =，∴OT=4t ． ∴y=6t 2……3分当点P 运动到C 点时即停止运动，此时t 的最大值为80165=．所以，t 的取值范围是016t ≤≤． ·················· 4分 （2）当O 点关于直线AP 的对称点O '恰好在对角线OB 上时，C T P ，，三点应在一条直线上（如答图2）．……………………5分CP OB ∴⊥，OCP OBC ∠=∠．Rt Rt ∴△OPC ∽△COB ，OP OCOC BC∴=． 45OP ∴=．∴点P 的坐标为(0)，45．…………6分 设直线CP 的函数解析式为y kx b =+．将点(60)C ，0和点(0)P ，45代入解析式，得Ｅ450060.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解这个方程组，得3445.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴此时直线CP 的函数解析式是3454y x =-+． ·········· 8分（3）由（2）知，当4595t==时，A T P ，，三点在一条直线上，此时点T P C ，， 不构成三角形． 故分两种情况：（i ）当09t <<时，点T 位于AOP △的内部 （如图3）．过C 点作CE OB ⊥，垂足为点E ， 由BC CE OC BC =g g 可得48CE =．PT OP TO OTP S S S S ∴=--△C △C △C △211160544843654222t t t t t t =⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=-+．……10分 若980PTOABC SS =△C 矩形，则应有2654540t t -+=，即29900t t -+=．此时，2(9)41900--⨯⨯<，所以该方程无实数根．所以，当09t <<时，以A P T ，，为顶点的APT △的面积不能达到矩形OABC 面积的980（ii ）当916t <≤时，点T 位于OP △C 的外部．（如图4）2654PT TO OTP OP S S S S t t =+-=-△C △C △△C ．（12分）若980APT OABC S S =△矩形，则应有2654540t t -=，即29900t t --=．解这个方程，得115t =，260t =-<（舍去）．所以，当15t=时，以P T C ，，为顶点的APT △的面积能达到矩形OABC 面积的980． 综上所述，当15t =时，以P T C ，，为顶点的APT △的面积能达到矩形OABC 面积的980．13、分析：作F 关于AB 、BC 的对称点F ′、F ″，作AC 关于AB 、BC 的对称线段，可以发现F ′，F ″是一个菱形对边上的关于中心B 对称的对称点．容易发现，F ′F ″的最短距离就是菱形对边的距离，也就是菱形的高．根据菱形的性质即可求出DE+EF+FD 的最小值． 解答：解：作F 关于AB 、BC 的对称点F ′、F ″ 则FD=F ′D ，FE=F ″E ． DE+EF+FD=DE+F ′D+F ″E ．两点之间线段最短，可知当F固定时，DE+F′D+F″E的最小值就是线段F′F″的长．于是问题转化：F运动时，F′F″什么时候最短．F′，F″是关于B点对称的．作AC关于AB、BC的对称线段，可以发现F′，F″是一个菱形对边上的关于中心B对称的对称点．很容易发现，F′F″的最短距离就是菱形对边的距离，也就是菱形的高．=5x, x=，高是，故DE+EF+FD的最小值为，此时F在斜边上的高的垂足点，D、E在B点．点评：本题考查菱形的判定和性质及轴对称--最短路线问题的综合应用，有一定的难度．关键是确定F在斜边上的高的垂足点，D、E在B点．。