第七章习题解答

X
X EX
X
4.解
由于
EXi
,i
1, 2, 3，故得
E
1
E
2
E
3
，而
E
4
6 7
，
所以 1, 2 , 3 为 的无偏估计，而 4 为 的有偏估计，故舍去 4 ．
又由于 X1, X 2 , X3 相互独立，且 DX i 2 , i 1, 2, 3 ，故计算得
D
1
7 18
2,
D
2
1 3
i 1
i 1
由 d ln L
d
2n
n i 1
xi
0 ，得 的最大似然估计量为 ˆ
2 X
．
3.解 由 E( X kS 2 ) E X kES 2 EX kDX np knp(1 p) np2 ，得 k 1 ．
4.解
n
n
E(
X
2 i
)
E( X i 2) nE( X
i 1
1 2
1 6
4
n i 1
zi2
2
0 ，解得
1 3n
n
Zi2 ．
i 1
⑶由于
2
E( )
1 3n
n i 1
E (Zi2
)
1 3
E(Z 2)
1 [DZ 3
( EZ)2
]
1 (3 2 3
02 )
2 ，所
^
以 2 为 2 的无偏估计量．
10.证 由于 E X EY ) ，故
Eˆ1
1 2
(E
X
EY
由于U 0.05
1 n
10.235 10
0.235 ，且U0.05
1.645 ，故
1 0.235 1 ， n 1.645 7
解得 n 49 ，所以（B）正确．
由 于 U0 . 0 25 1 . 9 6， 故 的 置 信 度 为 95% 的 置 信 区 间 为 (x U0.025
1 ) n
的置信区间为
(
(n 1)
2
(n
1)
s,
(n 2
1
1) (n
1)
s)
(
9 35.22 , 16.919
9 35.22) (25.69,57.94) ． 3.325
2
2
14. 解 设 机 器 A 生 产 的 钢 管 内 径 为 X ， 机 器 B 生 产 钢 管 的 内 径 为 Y ， 则
X
~
)
1 2
(
)
，
Eˆ2
1 3
(E
X
2EY
)
1 3
(
2)
，
所以 ˆ1, ˆ2 均为 的无偏估计．
又由于 D X 1 , DY 1 ，且 X 与Y 相互独立，故
n
2n
Dˆ1
1 4
(DX
DY )
1 4
(1 n
1) 2n
3 8n
，
Dˆ2
1 9
(DX
4DY )
1 9
(1 n
4
1) 2n
1 3n
．
因为 Dˆ1 Dˆ2 ，所以 ˆ2 比 ˆ1 更有效．
f (z, 2)
1
e
z2 6 2
，
z
(,
)
．
6
n
⑵似然函数为 L 2 (
1
zi2 e ) (6 ) ( ) e 6 2
n 2
，则 2
n 2
1 6 2
n i1
zi2
i1 6
ln
L
2
n 2
ln(6
)
n 2
ln(
2
)
1 6
2
n i 1
zi2
，
令
d
ln L 2 d ( 2 )
n 2
2,
D
4
9 25
2
，
其中 D 2 最小，故选（B）．
5.解
E
X
2 1
DX1
EX1 2
2
02
2
，所以
X12
为
2
的无偏估计．
E[( X1 X 2 )2 ] D( X1 X 2 ) [E( X1 X 2 )]2 2 2 2 ，所以 ( X1 X 2 )2 为 2 的
有偏估计，舍去．
E 1 n
n i 1
X
2 i
1 n
n i 1
E
X
2 i
1 n
n
2
i 1
2 ，所以 1 n
n i 1
X
2 i
为 2 的无偏估计．
ES 2 2 ，所以 S 2 为 2 的无偏估计．
由 于 X12 ~ 2 ， 所 以 D X12 2 ， 得
2
2
D 1
n
n i 1
X
2 i
1 n2
n
D
X
2 i
i 1
n；
L( ) 为
的单增函数，而
的取值范围为
min
1in
xi
，故当
min
1in
xi
时，
L( ) 取最
大值，所以
最大似然估计量
min
1in
Xi
，选（A）．
2.解 因为 Eaˆ b aEˆ b a b ，而 Eˆ2 Dˆ Eˆ2 Dˆ 2 2 ， 所以 aˆ b 是 a b 的无偏估计，ˆ2 是 2 的有偏估计，选（Ｂ）．
2
s n
,
x
t
2
(n
1)
s) n
(457.5 2.2622 35.22 , 457.5 2.2622 35.22) (432.3047, 482.6953) ．
10
10
⑵
由于
未知，且 n 10, 1
0.90
，得
2 0.05
(9)
16.919,
2 0.95
(9)
3.325
，
的
置信水平为
0.90
3.解 因为 E X EX 1 ，所以 X 是 1 的无偏估计．
由于 X 为连续型随机变量，故对于任意的常数 a ，P{X a} 0 ，所以不存在常数 a ，
使得 P{ X a 1 } 1或 P{ 1 a X } 1 ，利用柯西-许瓦兹不等式得 E X E 1
X
X
X
[E( X 1 )]2 E12 1，得 E 1 1 ，所以 1 是 的有偏估计，选（C）．
6.解
由于 2
1，所以 的置信度为1 的置信区间为 (x
n
U
2
,
x
n
U
2
)
，
将 x 40, 1 , n 16, 0.05, U U0.025 1.96 代入其中，即得 的置信度为 0.95
2
的置信区间是 (39.51, 40.49) ．
7.解
由于
未知，且 n
10, 1
N (1,12 ) ，Y
~
N
(2
,
2 2
)
，而两总体方差未知但相等，故 1
2 的置信度为1
的置信区间为
((x y) t (n1 n2 2)s
2
11
n1
, n2
(x y) t (n1 n2 2)s
2
1 1 )， n1 n2
其中 s
(n1
1)
s
2 X
(n2
1) sY2
p
p
p 的矩估计量为
pM
1 X
．
⑵ 似然函数为 L(x1, x2 ,
n
, xn; p)
n
p(1
p)xi 1
pn (1
xi n p) i1
，故
i 1
n
ln L n ln p ( xi n) ln(1 p) ， i 1
令
d ln L dp
n p
n
(
i 1
xi
n) 1 1 p
0
，解得
n
42 n
4
因此 4X 2 不是 2 的无偏估计量．
6.解
此为 k
2
的情形．由
X 1
m
1 m
m i 1
Xi
EX
m
( X i X )2 DX
i 1
np, np(1
p)
解得 n
和
p
的矩估计
量为 n
X
1 m
2
X
m
(Xi
i 1
X )2
,
p 1
1 X
1 m
m
(Xi
i 1
X )2 ．
7.解 由于
2 2
(1
a
)
2
1 ( n1
2 1
1 n2
2 2
)a
2
2 n2
2 2
a
1 n2
2 2
，
故当 a
2 n2
2 2
2(
1 n1
2 1
2
n212
n1
2 2
，b
1 a
n2
2 1
n2
2 1
n1
2 2
时， DZ
最小．
12. 证
由切比雪夫不等式及概率的性质得
1 P{
} P{ E
}
1
4 n
, x U
0
.
0
2
5
4 n
)
，所以得
l 2U0.025