第七章习题解答

n i 1
X
2 i
1 n
n i 1
E
X
2 i
1 n
n
2
i 1
2 ，所以 1 n
n i 1
X
2 i
为 2 的无偏估计．
ES 2 2 ，所以 S 2 为 2 的无偏估计．
由 于 X12 ~ 2 ， 所 以 D X12 2 ， 得
2
2
D 1
n
n i 1
X
2 i
1 n2
n
D
X
2 i
i 1
11. 证
⑴
由 于 E X E ，Y 所 以
EZ aE X bEY a b (a b) ，表明 Z 是 的无偏估计．
⑵
由于 D X
1 n1
2 1
,
DY
1 n2
2 2
，且
X
和Y
相互独立，故
DZ
a2D X
b2DY
1 n1
12 a 2
1 n2
22b2
1 n1
12 a 2
1 n2
N (1,12 ) ，Y
~
N
(2
,
2 2
)
，而两总体方差未知但相等，故 1
2 的置信度为1
的置信区间为
((x y) t (n1 n2 2)s
2
11
n1
, n2
(x y) t (n1 n2 2)s
2
1 1 )， n1 n2
其中 s
(n1
1)
s
2 X
(n2
1) sY2
2
s n
,
x
t
2
(n
1)
s) n
(457.5 2.2622 35.22 , 457.5 2.2622 35.22) (432.3047, 482.6953) ．
10
10
⑵
由于
未知，且 n 10, 1
0.90
，得
2 0.05
(9)
16.919,
2 0.95
(9)
3.325
，
的
置信水平为
0.90
dp
n
n
Xi
1 X
．
i 1
3.解
由题意知
X
为连续型随机变量，其密度函数为
f
(x; )
x 1
,
0,
x 1, x 1.
⑴
由X
EX
1
x
x 1
dx
1
，解得
的矩估计量为
ˆM
X． X 1
⑵
似然函数为 L( )
n i 1
x 1
i
( x1 x2
n xn ) 1
，故
ln
L( )
n ln
4 n
, x U
0
.
0
2
5
4 n
)
，所以得
l 2U0.025
4 n
4 ．又因为U0.025
1.96 ，解得 n
(2 1.96)2
15.3664 ，所以 n 至少取
16 ．
选择题
1.解
似然函数 L( )
n i 1
f (xi ; )
n i 1
1 (1
)
1 (1
)n
,
xi 1,i 1, 2
2,
D
4
9 25
2
，
其中 D 2 最小，故选（B）．
5.解
E
X
2 1
DX1
EX1 2
2
02
2
，所以
X12
为
2
的无偏估计．
E[( X1 X 2 )2 ] D( X1 X 2 ) [E( X1 X 2 )]2 2 2 2 ，所以 ( X1 X 2 )2 为 2 的
有偏估计，舍去．
E 1 n
p
的极大似然估计量为
pL
n
n
Xi
1 X
．
i 1
2.解 ⑴ 由 X EX 1 ，解得 的矩估计量为 M 1 ．
X
⑵ 似然函数为 L(x1, x2 ,
n
, xn; )
n
( e xi
)
xi
en
i1
，故
i 1
ln
L
n ln
n i 1
Xi
，
d ln L dp
n
n i 1
xi
，
令 d ln L 0 ，解得 的极大似然估计量为 L
2
E( )
n 1E(S12 ) m 1E(S22 )
n 1 2
m 1 2
2，
nm2
nm2
所以 2 是 2 的无偏估计．
9.解 ⑴由于 X 与 Y 均服从正态分布，且相互独立，所以 Z X Y 服从正态分布，又 EZ 0, DZ DX DY 3 2 ，从而 Z X Y ~ N (0,3 2 ) ，故 Z 的密度函数为
n；
L( ) 为
的单增函数，而
的取值范围为
min
1in
xi
，故当
min
1in
xi
时，
L( ) 取最
大值，所以
最大似然估计量
min
1in
Xi
，选（A）．
2.解 因为 Eaˆ b aEˆ b a b ，而 Eˆ2 Dˆ Eˆ2 Dˆ 2 2 ， 所以 aˆ b 是 a b 的无偏估计，ˆ2 是 2 的有偏估计，选（Ｂ）．
i 1
i 1
由 d ln L
d
2n
n i 1
xi
0 ，得 的最大似然估计量为 ˆ
2 X
．
3.解 由 E( X kS 2 ) E X kES 2 EX kDX np knp(1 p) np2 ，得 k 1 ．
4.解
n
n
E(
X
2 i
)
E( X i 2) nE( X
i 1
D 2
，且依题意
lim(1
n
D 2
)
1
，所以由夹逼定理，
有 lim P{ } 1，即 是 的一致估计． n
13.解 ⑴由于 2 未知，且 n 10, 1 0.95 ，得 t (n 1) t 0.025 (9) 2.2622 ，故
2
的置信水平为 0.95 的置信区间为
(x t (n 1)
1 n2
n
2 4
i 1
24． n
D
X
2 1
2
4
．进而
由于 n S 2 ~ 2n ，所以 D n S 2 2n ，得 DS 2 2 4 ．
2
2
n
因为 n
，所以
1 n
n i 1
X
2 i
为
2
的无偏估计，且方差最小，选（C）．
6.解 由题意知， x 9.765 10.235 10 ，所以（A）正确． 2
n
42 n
4
因此 4X 2 不是 2 的无偏估计量．
6.解
此为 k
2
的情形．由
X 1
m
1 m
m i 1
Xi
Βιβλιοθήκη Baidu
EX
m
( X i X )2 DX
i 1
np, np(1
p)
解得 n
和
p
的矩估计
量为 n
X
1 m
2
X
m
(Xi
i 1
X )2
,
p 1
1 X
1 m
m
(Xi
i 1
X )2 ．
7.解 由于
n
n
n
E[ X i ( X i X i1)] E( X i2 X i X i1) E( X i2 ) EX i EX i1
i2
i2
i2
n
( 2 2 ) (n 1) 2 ， i2
所以 EY c(n 1) 2 ，令 EY 2 ，解得 c 1 ． n 1
8.证 由于 E(S12 ) E(S22 ) 2 ，故
第七章习题解答 填空题
1.解 由于 x 1 0 0 11 3 , EX p ，故由 3 p 解得 p 3 ．
5
5
5
5
2.解 似然函数为 L(x1, x2
n
, xn;)
n
(
2
xi e xi
)
xi
e 2n
i1
n
xi ，故
i 1
i 1
n
n
ln L 2n ln xi ln xi ，
X
X EX
X
4.解
由于
EXi
,i
1, 2, 3，故得
E
1
E
2
E
3
，而
E
4
6 7
，
所以 1, 2 , 3 为 的无偏估计，而 4 为 的有偏估计，故舍去 4 ．
又由于 X1, X 2 , X3 相互独立，且 DX i 2 , i 1, 2, 3 ，故计算得
D
1
7 18
2,
D
2
1 3
2 2
(1
a
)
2
1 ( n1
2 1
1 n2
2 2
)a
2
2 n2
2 2
a
1 n2
2 2
，
故当 a
2 n2
2 2
2(
1 n1
2 1
1 n2
2 2
)
n1
2 2
n212
n1
2 2
，b
1 a
n2
2 1
n2
2 1
n1
2 2
时， DZ
最小．
12. 证
由切比雪夫不等式及概率的性质得
1 P{
} P{ E
}
1
0.90 ，得
2 0.05
(9)
16.919,
2 0.95
(9)
3.325 ，
2 的置信水平为 0.90 的置信区间为
(
(n
2
1)S 2 (n 1)
,
(n 1)S 2
2 1
(n
1)
)
9 352 ( 16.919
,
9 352 3.325
)
(651.63,
3315.79)
．
2
2
8.解
由于 的置信度为 0.95的置信区间为 (x U0.025
)
1 2
(
)
，
Eˆ2
1 3
(E
X
2EY
)
1 3
(
2)
，
所以 ˆ1, ˆ2 均为 的无偏估计．
又由于 D X 1 , DY 1 ，且 X 与Y 相互独立，故
n
2n
Dˆ1
1 4
(DX
DY )
1 4
(1 n
1) 2n
3 8n
，
Dˆ2
1 9
(DX
4DY )
1 9
(1 n
4
1) 2n
1 3n
．
因为 Dˆ1 Dˆ2 ，所以 ˆ2 比 ˆ1 更有效．
(10 1.96 1) 7
(10 0.280) (9.720,10.280) ，所以（C）正确．
2U 0.05
由于两个置信区间的长度之比
2U 0.025
1
n 1
n
U0.05 U 0.025
1.645 0.90 ，所以（D）不正 1.96 0.95
确，选（D）．
解答题（Ａ类）
1.解 ⑴ 因为总体 X 服从参数为 p 的几何分布，故 EX 1 ，由 X EX 1 解得
f (z, 2)
1
e
z2 6 2
，
z
(,
)
．
6
n
⑵似然函数为 L 2 (
1
zi2 e ) (6 ) ( ) e 6 2
n 2
，则 2
n 2
1 6 2
n i1
zi2
i1 6
ln
L
2
n 2
ln(6
)
n 2
ln(
2
)
1 6
2
n i 1
zi2
，
令
d
ln L 2 d ( 2 )
n 2
1 2
1 6
4
n i 1
zi2
2
0 ，解得
1 3n
n
Zi2 ．
i 1
⑶由于
2
E( )
1 3n
n i 1
E (Zi2
)
1 3
E(Z 2)
1 [DZ 3
( EZ)2
]
1 (3 2 3
02 )
2 ，所
^
以 2 为 2 的无偏估计量．
10.证 由于 E X EY ) ，故
Eˆ1
1 2
(E
X
EY
i 1
)2 n
2
x
22 x 3 2
dx
n
2
2x3 3 2
dx
5 n 2 ． 2
由
E(c
n i 1
X
2 i
)
5 2
cn
2
2
，解得 c
2 5n
．
5.解 由于 EX1 EX 2 EX3 ，且由题意有 E( X1 aX 2 bX3 ) ， E2bX 2 X3 aX 4 ，得1 a b 1 ， 2b 1 a 1 解得 a 2 ， b 2 ．
3.解 因为 E X EX 1 ，所以 X 是 1 的无偏估计．
由于 X 为连续型随机变量，故对于任意的常数 a ，P{X a} 0 ，所以不存在常数 a ，
使得 P{ X a 1 } 1或 P{ 1 a X } 1 ，利用柯西-许瓦兹不等式得 E X E 1
X
X
X
[E( X 1 )]2 E12 1，得 E 1 1 ，所以 1 是 的有偏估计，选（C）．
由于U 0.05
1 n
10.235 10
0.235 ，且U0.05
1.645 ，故
1 0.235 1 ， n 1.645 7
解得 n 49 ，所以（B）正确．
由 于 U0 . 0 25 1 . 9 6， 故 的 置 信 度 为 95% 的 置 信 区 间 为 (x U0.025
1 ) n
(
1)
n i 1
ln
xi
，
d
ln L d
n
n i 1
ln
xi
．
令
d
ln L( ) d
0 ，得
的极大似然估计量为 ˆL
n
n． ln X i
i 1
4.解 似然函数 L( ) N (1 )nN ，ln L( ) N ln (n N ) ln(1 ) ．令 d ln L d
N n N 0 ，解得 的极大似然估计值为 N ．
1
n
5.解
⑴ EX
xf (x; ) dx
x dx
1
x
dx 1 ．
0 2
2(1 ) 4 2
令 X EX ，即 X 1 ，得 的矩估计量为 2X 1 ．
42
2
⑵因为 E(4X 2 ) 4[DX (EX )2 ] 4[1 DX (1 )2 ] 4 DX 1 2 2 ，
6.解
由于 2
1，所以 的置信度为1 的置信区间为 (x
n
U
2
,
x
n
U
2
)
，
将 x 40, 1 , n 16, 0.05, U U0.025 1.96 代入其中，即得 的置信度为 0.95
2
的置信区间是 (39.51, 40.49) ．
7.解
由于
未知，且 n
10, 1
p
p
p 的矩估计量为
pM
1 X
．
⑵ 似然函数为 L(x1, x2 ,
n
, xn; p)
n
p(1
p)xi 1
pn (1
xi n p) i1
，故
i 1
n
ln L n ln p ( xi n) ln(1 p) ， i 1
令
d ln L dp
n p
n
(
i 1
xi
n) 1 1 p
0
，解得
的置信区间为
(
(n 1)
2
(n
1)
s,
(n 2
1
1) (n
1)
s)
(
9 35.22 , 16.919
9 35.22) (25.69,57.94) ． 3.325
2
2
14. 解 设 机 器 A 生 产 的 钢 管 内 径 为 X ， 机 器 B 生 产 钢 管 的 内 径 为 Y ， 则
X
~