利用基本不等式求最值的常见方法

3.满足求最值的三个条件：一正二定三相等
类型一：配凑定值法 例1（. 1）已知0 x 1,求f (x) x(4 3x)的最大值；
（2）已知x 5 ,求f (x) 4x 2 1 的最大值.
4
4x 5
解：（1）因为0 x 1,所以4-3x 0,
f (x) 1 3x(43x)
3
1 3
所以xy x y 8 2 xy （8 *）
记t xy(t 0)
则（*)式可化为：t2 2t 8 0,
可解得：t 4或t -2(舍），
即(xy) 16, min
当且仅当x y 4时，等号成立.
类型四：和积转化法
例4（. 1）已知x 0, y 0, xy x y 8,求xy的最小值;
xy
（2）已知x 0, y 0, x 3y 5xy,求3x 4y的最小值.
Fra Baidu bibliotek
解：（2）因为x
3x 4y 1 (3x
0, y 0,
4y)(3
所以 1)
1 y
3 x
5,
5
xy
=13 3x 12y
yx
13 2 3x 12y yx
=25
3x 当且仅当 y
x
12y x
即x
3y 5xy
1,
y
1 2
时，等号成立.
类型三：函数单调性法
例3.已知x 3,求f (x) x2 2的最小值.
解：f (x) (x1)2 2(x 1) x3 1
(x 1) x31 2 x 1
2 3+2 当且仅当x 1
3
即x 1
3时，等号成立.
x 1 正解：f (x) (x 1)
3
2
记t x 1(t 2)， x 1
利用基本不等式求最值 的常见方法
授课教师：郑娟
一.知识梳理
1.基本不等式：ab
a
2
b
(a，b
R
)
当且仅当a b时，等号成立.
2.基本不等式的变形：
（1）a b 2 ab(a，bR),当且仅当a b时取等号.
(2)a2 b2 2ab(a，bR),当且仅当a b时取等号.
(3) a b 2(a,b同号)，当且仅当a b时取等号. ba
（2）已知x 0, y 0, xy x y 8,求x y的最大值.
解：（2）因为x 0, 所以xy x y
y 8
(0,x
y
2
)（*）
记t x y(t 0)
2
则（*)式可化为：t2 4t 32 0,
可解得：t 8或t -4(舍），
即(x+y) 8, max
当且仅当x y 4时，等号成立.
(
4
3x
43x 2
)
2
当且仅当33x 4 3x即x 2时，等号成立.
3
所以f (x)的最大值是 4，此时x 2.
3
3
类型一：配凑定值法 例1（. 1）已知0 x 1,求f (x) x(4 3x)的最大值；
（2）已知x 5 ,求f (x) 4x 2 1 的最大值.
4
解：（2）因为x
原式y=t 3 2在[2，+）上单调递增，
所以y
2
t
3
2
11，
22
当且仅当t 2即x 3时等号成立.
类型四：和积转化法
例4（. 1）已知x 0, y 0, xy x y 8,求xy的最小值; （2）已知x 0, y 0, xy x y 8,求x y的最大值.
解：（1）因为x 0, y 0,
xy （2）已知x 0, y 0, x 3y 5xy,求3x 4y的最小值.
解：（1）1 1 (1 1)(x y) xy xy
2 x y yx
22 x y yx
4
当且仅当
x y
y x
即x y
x y 1
2 时，等号成立. 2
类型二：常数代换法 例2.（1）已知x 0, y 0, x y 1,求 1 1的最小值；
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知识回顾 Knowledge Review
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5
,
所以4x
5
4x
0,
5
4
f (x) (5 4x
1
)3
5 4x
2 (5 4x) 1 3 5 4x
=1 当且仅当5-4x
1
即x 1时，等号成立.
5 4x
所以f (x)的最大值是1，此时x 1.
类型二：常数代换法 例2.（1）已知x 0, y 0, x y 1,求 1 1的最小值；
总结与提升：
类型一：配凑定值法；
特征：函数能化成“积”或“和”为定值的形式
类型二：常数代换法；
特征：已知ax by c,求 d + e（a,b,c,d,e为非零常数）形式 xy
类型三：函数单调性法；
特征：函数化成at b（a,b为非零常数）后，且取等条件不成立 t
类型四：和积转化法；
特征：题目同时含有x y, x y的形式