小波去噪方法分析与Matlab仿真

一个含噪声的一维信号的模型可表示为： ｓ （ｉ）＝ｆ（ｉ）＋σ·ｅ （ｉ） （ｉ＝０，１，２，…，ｎ－ １） 式中，ｆ（ｉ）为真实信号；ｅ（ｉ）为噪声；ｓ （ｉ）为含噪信号。这里以 一个简单的噪声模型加以说明，即 ｅ （ｉ）为高斯白噪声 Ｎ（０，１）， 噪声级为 １。在实际工程中，有用信号通常表现为低频信号或较 平稳的信号，噪声信号则表现为高频信号，所以去噪过程可按以 下方法进行处理。首先对实际信号进行小波分解，选择小波并确 定分解层次为 Ｎ，则噪声部分通常包含在高频中。然后对小波分 解的高频系数进行门限阈值量化处理。最后根据小波分解的第 Ｎ 层低频系数和经过量化后的 １～Ｎ 层高频系数进行小波重构， 达到消除噪声的目的，即抑制信号的噪声，在实际信号中恢复真 实信号。总体上，对于一维离散信号来说，其高频部分所影响的 是小波分解的第一层细节，其低频部分所影响的是小波分解的 最深层和低频层。 ２ 小波去噪的方法 ２．１ 小波分解与重构法去噪 设一个噪声污染的信号模型描述为： Ｓ（ｘ）＝（ｆ（ｘ）＋ｎ１（ｘ））＊ ｎ２（ｘ） 式中，ｓ （ｘ）表示为降质信号，ｆ（ｘ）表示为原信号，ｎ１（ｘ）表示 加性噪声，ｎ２（ｘ）表示乘性噪声。大多数情况下，信号降质过程可 看成是线性不变模型，上式可改写为： Ｓ （ｘ）＝ ｆ（ｘ）＋ ｎ （ｘ） 式中，ｎ（ｘ）为高斯白噪声，小波的多分辨分析特性能将信号 在不同尺度下进行多分辨率的分解，并将交织在一起的各种不 同频率组成的混合信号分解成不同频段的子信号，因而对信号 具有按频带处理的能力。因为噪声 ｎ（ｘ）是一个实的、方差为 σ２
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小波去噪方法分析与 Ｍａｔｌａｂ 仿真
３）再把处理过的小波系数进行小波变换来重构信号。 软阀值的处理步骤如下： １）含噪信号进行小波分解，选择合适的小波，确定小波的分 解 层 次 Ｍ， 并 对 信 号 进 行 二 进 离 散 小 波 分 解 。 可 选 用 Ｄａｕｂ ｉｃｈｉｅ ４ 小波，可通过正确设计的 ＱＦＭ（ 正交镜像滤波器） 来实现。 ２）对信号分解后的各级系数进行适当处理：对第 １ 到第 Ｍ 层的小波系数，选择一个软阈值，对每一级的小波系数进行阈值 量化处理。 ３）信号的重构：对量化处理后的各级小波系数进行信号的 小波重构。 Ｍａｔｌａｂ 中获取阈值的函数有：ｄ ｄ ｅｎｃｍｐ 、ｔｈｓ ｅｌｅｃｔ、ｗｂ ｍ－ ｐ ｅｎ、ｗｄ ｃｂ ｍ。Ｍａｔｌａｂ 中实现信号阈值去噪的函数有：ｗｄ ｅｎ、 ｗｄ ｅｎｃｍｐ 、ｗｔｈｒｅｓ ｈ、ｗｔｈｃｏｅｆ、ｗｐ ｔｈｃｏｅｆ、ｗｐ ｄ ｅｎｃｍｐ 。 ３ Ｍａｔｌａｂ 中信号去噪实例实现与分析 下面对信号 ｌｅｌｅｃｃｕｍ 进行实例分析，信号长度（即采样点 数）Ｎ＝１０２４，含噪信号是由于原始信号 ｌｅｌｅｃｃｕｍ 叠加白噪声组 成的。通过 ｍａｔｌａｂ 进行去噪仿真。下面分别是基于小波分解与 重构法去噪（图 １）、硬阈值去噪（图 ２）、析，它具有多分辨率的特 点，可以方便地从混有强噪声的信号中提取原始信号，被誉为分 析信号的显微镜。运用小波分析进行信号噪声去除是小波分析的 一个非常重要的应用之一。本文介绍小波消噪的基本原理及其几 种小波去噪方法，并利用 Ｍａｔｌａｂ 软件在计算机上实现了几种方 法下信号的噪声消除，从混有噪声的实际信号中提取了原始信 号，具有非常实用的意义。对处理后的结果进行分析和比较。 １ 小波消噪的基本原理
图 １ 小波分解与重构法去噪
参考文献 ［１］陈武凡．小波分析及其在图像处理中的应用［Ｍ］．北京：科学出版社，
２００２ ［２］胡昌华，李国华，刘涛．基于 Ｍａ ｔｌａ ｂ 的系统分析与设计—— —小波分析
［Ｍ］．西安：西安电子科技大学出版社，２００４ ［３］程正兴．小波分析算法与应用［Ｍ］．西安：西安电子科技大学出版社，
Ａｂｓ ｔｒａ ｃｔ Ｗａ ｖｅ ｌｅ ｔ ａ ｎａ ｌｙｓ ｉｓ ｔｈｅ ｏｒｙ ｉｓ ａ ｎｅ ｗ ｔｈｅ ｏｒｙ ｏｆ ｓ ｉｇ ｎａ ｌ ｐ ｒｏｃ ｅ ｓ ｓ ａ ｎｄ ｉｔ ｈａ ｓ ｇ ｏｏｄ ｌｏｃ ａ ｌｉｚａ ｔｉｏｎ ｉｎ ｂ ｏｔｈ ｆｒｅ ｑ ｕｅ ｎｃ ｙ ａ ｎｄ ｔｉｍｅ ｄ ｏ－ ｍａ ｉｎｓ ．Ｉｔ ｍａ ｋｅ ｓ ｔｈｅ ｗａ ｖｅ ｌｅ ｔ ａ ｎａ ｌｙｓ ｉｓ ｓ ｕｉｔａ ｂ ｌｅ ｆｏｒ ｔｉｍｅ － ｆｒｅ ｑ ｕｅ ｎｃ ｙ ａ ｎａ ｌｙｓ ｉｓ ．Ｗａ ｖｅ ｌｅ ｔ ａ ｎａ ｌｙｓ ｉｓ ｈａ ｓ ｐ ｌａ ｙｅ ｄ ａ ｐ ａ ｒｔｉｃ ｕｌａ ｒｌｙ ｉｍｐ ｏｒ－ ｔａ ｎｔ ｒｏｌｅ ｉｎ ｄ ｅ ｎｏｉｓ ｉｎｇ ，ｄ ｕｅ ｔｏ ｔｈｅ ｆａ ｃ ｔ ｔｈａ ｔ ｉｔ ｈａ ｓ ｔｈｅ ｐ ｒｏｐ ｅ ｒｔｙ ｏｆ ｔｉｍｅ － ｆｒｅ ｑ ｕｅ ｎｃ ｙ ａ ｎａ ｌｙｓ ｉｓ ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ，ｔｈｅ ｍｅ ｔｈｏｄ ｏｆ Ｗａ ｖｅ ｌｅ ｔ Ａｎａ ｌｙｓ ｉｓ ｉｓ ａ ｎａ ｌｙｚｅ ｄ ．ａ ｎｄ ｔｈｅ ｍｅ ｔｈｏｄ ｏｆ ｔｈｒｅ ｓ ｈｏｌｄ ｄ ｅ ｎｏｉｓ ｉｎｇ ｉｓ ａ ｇ ｏｏｄ ｍｅ ｔｈｏｄ ｏｆ ｅ ａ ｓ ｙ ｒｅ ａ ｌｉｚａ ｔｉｏｎ ａ ｎｄ ｅ ｆｆｅ ｃ ｔｉｖｅ ｔｏ ｒｅ ｄ ｕｃ ｅ ｔｈｅ ｎｏｉｓ ｅ ． Ｋｅ ｙｗｏｒｄｓ ：ｗａ ｖｅ ｌｅ ｔ ａ ｎａ ｌｙｓ ｉｓ ，ｄ ｅ ｎｏｉｓ ｉｎｇ ，ｔｈｒｅ ｓ ｈｏｌｄ
利用小波分解与重构去噪的步骤： １）首先对含噪声信号 ｆ（ｘ）进行小波分解，得到小波变换之 后的逼近部分 ｃ ｊ，ｋ 和细节部分 ｄ ｊ，ｋ； ２）然后取出第 ｊ 层的细节部分 ｄ ｊ，ｋ，根据选定的阈值 δｊ，用下 列的公式进行处理
#ｄ ｊｋ 当 ｄ ｊｋ ＞δｊ
ｄ ｊｋ ＝ ０ 当 ｄ ｊｋ ≤δｊ ３）最后利用逼近部分 ｃ ｊ，ｋ 和细节部分 ｄ ｊ，ｋ 利用重构算法进 行重构，得到滤波后的信号。 ２．２ 小波变换阈值去噪 由于小波变换的小波基都是紧支集，因此小波变换具有一 种“集中”的能力，可以使信号的能量在小波变换域集中于少数 系数上，那么相对来说，对这些系数的取值必然大于在小波系数 域内能量分散于大量小波系数的噪声的小波系数值，这个意味 着对小波系数进行阀值处理可以在小波变换域中去除低于固定 幅度的噪声。小波阀值去噪方法可以分为硬阀值法和软阀值法 两种。 其中硬阀值的处理步骤如下： １）先把信号做小波变换，得到小波系数； ２）计算出阀值，把小波系数的绝对值与阀值进行比较，小于 或等于阀值的点设为零，大于阀值的点保持不变；
１９９８ ［４］冉启文，谭立英．小波分析与傅立叶变换及其应用［Ｍ］．北京：国防工
业出版社，２００２ ［５］孙延奎．小波分析及其应用［Ｍ］．北京：机械工业出版社，２００５
［收稿日期：２００７．１２．３］
图 ２ 硬阈值去噪 从三种去噪的防真结果可以看出：利用小波分解与重构法 去噪，会将高频系数强制置 ０ 后通过重构信号，会损失信号的部 分细节，若为图象去噪会使其变得模糊，而小波阈值去噪的方法 相比小波分解与重构法而言效果较好。但硬阈值去噪。把信号的 绝对值与指定的阈值进行比较，小于或等于阈值的点变为零；大
《工业控制计算机》２００８ 年 ２１ 卷第 ６ 期
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小波去噪方法分析与 Ｍａ ｔｌａ ｂ 仿真
王新楼 （兰州交通大学电子与信息工程学院，甘肃 兰州 ７３００７０）
摘要 小波分析理论是一种新兴的信号处理理论，它在时间上和频率上都有很好的局部性，这使得小波分析非常适合于时－ 频分析，借助时－ 频局部分析特性，小波分析理论已经成为信号去噪中的一种重要的工具。简述了几种小波去噪方法，其中 的阈值去噪的方法是一种实现简单、效果较好的小波去噪方法。 关键词：小波分析，去噪，阈值
图 ３ 软阈值去噪 于阈值的点保持不变；而软阈值去噪，即把信号的绝对值与指定 的阈值进行比较，小于或等于阈值的点变为 ０；大于阈值的点变 为该点值与阈值的差。一般来说，硬阈值比软阈值处理后的信号 要粗糙一些。 ４ 结束语
小波变换是一种信号的时频分析方法，它具有多分辨率分 析的特点，很适合探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示 其成分，有效区分信号中的突变部分和噪声。因此利用小波变换 能有效的对信号进行消噪的同时提取含噪信号。用传统的傅立 叶变换分析，显得无能为力，因为傅立叶分析是将信号完全在频 率域中进行分析，它不能给出信号在某个时间点的变化情况， 使得信号在时间轴上的任何一个突变，都会影响信号的整个频 谱。通过实例证明：基于小波变换的消噪方法是一种提取有用信 号、展示噪声和突变信号的优越方法，具有广阔的实用价值。
的平稳的高斯白噪声，其小波系数的平均功率与尺度成反比。并 且它的离散细节信号的幅值随着小波变换级数的增长而不断减 少。对于所有的尺度，白噪声小波变换的离散细节信号系数的反 差随着尺度的增加会有规律地减少。又因为小波变换是线性变 换，所以降质信号的小波系数是信号的小波系数和噪声的小波 系数的和；降质信号的离散逼近部分和离散细节部分分别是信 号变换后的离散逼近部分和离散细节部分与噪声变换后的离散 逼近部分和离散细节部分的和。因此在消噪过程中，利用信号与 白噪声在小波变换后，它们各自的小波系数的性质不同，可以消 除或减弱噪声。小波分析运用在信号去噪处理，主要表现在以下 方面：是针对信号经小波变换后在不同分辨率下呈现不同规律， 在不同分辨率下设定不同阈值门限，调整小波系数，达到去除噪 声的目的。