微积分第一章练习题
(微积分)第一章
第一章习题1-11. 用区间表示下列不等式的解.⑴ x%9; (2) x — 1 1；(3) (x-1)(x 2) :0; (4) 0 . x 1:: 0.01解(1)原不等式可化为(x —3)(x+3)苴0 ,其解为—3苴x<3,用区间表示是[-3,3].(2) 原不等式可化为x—1》1或x—1<—1 ,其解为x》2或x<0 ,用区间表示是(-8 ,0^(2,+ 8 ).(3) 原不等式的解为—2 e x <1,用区间表示是(-2,1).-0.01 ：x 1 ：0.01 口-1.0 V： x ：-0.99(4) 原不等式可化为4 即/x 1=0 x=1用区间表示是(-1.01,-1) U (-1,-0.99).2. 用区间表示下列函数的定义域：(1) y =[ - .1 -x2；(2) y = arcsin(1 - x) ig(ig x)；x(3) y = . 6 -5x -x2 ---------- - --- .ln(2 -x)a - x=0 r x = 0解⑴要使函数有意义，必须｛… 即41-x2-0 -1%&1所以函数的定义域为[-1,0) U (0,1].(2)要使函数有意义，必须J lg x A 0 即< x A1x 0 x 0所以函数的定义域是1<x s ；2,用区间表示就是(1,2].6 —5x —x 2 _0—6 壬 X&1(3)要使函数有意义，必须<ln(2 - x) #0 即<x #1 所以函数的定义域是-6孑<1,用区间表示就是[-6,1).3. 确定下列函数的定义域及求函数值 f(0),f( J2),f(a)(a 为实数),并作出图形r 1 八一，x <0, x (1)y=<2x,0 5<1‘ 1,1 ：x&2解(1)函数的定义域D(f) ={x|x ：：： 0}IJ{x|0 £x ："J{x|1 ：：： x £2}= {x|x ：：1 或 1，： x 三 2}=(-二,1)U(1,2]1一 a < 0f (o )=2 °=。
微积分第1章测试题A附答案
上 海 商 学 院经管类《高等数学》第一章测试题（Ａ）班级 姓名 学号 成绩一. 选择题：（每小题2分，共2'×10=20分）1. 函数()44ln -+=x x y 的定义域是（ ）。
A. {}4>x xB. {}4->x xC. {}4-≥x xD. {}4≥x x 2. 数列n x ： ,101,0,81,0,61,0,41,0,21 ,0---（ ）。
A. 发散 B. 收敛于0 C. 收敛于1- D. 收敛于13. 下面说法中正确的是（ ）。
A. 函数在0x 处无定义，则在这一点必无极限B. 函数在0x 处有定义，则在这一点必有极限C. 若函数在0x 处有定义且有极限，则其极限值必为该点函数值D. 在确定函数在点0x 处的极限时，对函数在点0x 是否有定义不作要求4. 下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是（ ）。
A.()012→-x xB.()01→-x x xC.()()1112→-x xD.()112→--x x5. 下列命题中正确的是（ ）。
A. 无界变量必是无穷大B. 无穷大是一个很大的数C. 无穷大的倒数是无穷小D. 无穷小是一个很小的数 6. 下列等式中成立的是（ ）。
A. 133sin lim=∞→x x x B. 11sin lim 0=→x x x C. 1sin lim =-→ππx x x D. 11sin lim =∞→xx x 7. 下列函数中当0→x 时，与无穷小量x 相比是高阶无穷小的是（ ）。
A. x sin B. 2x x +C. xD. x cos 1-8. 下列函数在0=x 处不连续的是（ ）。
A. 0,sin 0,)(⎪⎩⎪⎨⎧>≤=x x x x e x f x B. 0,10,sin )(⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x x x f C. 0,00,1cos )(2⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x x x f D. 0,00,)(41⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-x x e x f x 9. 要使函数()2cos 1xx x f -=在0=x 处连续，则要求补充定义()=0f （ ）。
微积分习题一(答案版)
x 0
lim
kx
1 x 1 x
x 0
kx lim
1 x 1 x 1 x 2x
1 x 2
k 2
2
2.试证方程 x 3x 1至少有一个小于1的正根。
x 3x 1 0 x 3x 1
1 e x 1 3 .若 f ( x ) ln( x 1)
A.0
D.
D.
D.
7.当x 0 时，无穷小量sin(2x+x2)与x比较是（ C ） A.高阶无穷小 C.同阶无穷小但非等价
B.低阶无穷小 D.等价无穷小
8. lim( x sin ) （ C ） x x A.0 C. B.1
9. lim(1 x)
x 0 2 1 x
无穷小乘有界
1 1 lim sin n n sin －1 1.极限 n n n x 1 sin kx 1 lim1 ,则 k e 2 2.已知极限 lim x0 x x 2x x2 3.已知当 x 0 时，函数 f ( x) ，若函数f(x) 2 1 x 1
1 D. f ( x ) x
1 x0 x Biblioteka in x x 0 在x=0处连续，则（ D ） 14.若 f ( x) q 1 x sin p x 0 x
A. p=0，q=0 C. p=1，q=0
B. p=0，q=1
D. p=1，q=1
x 1 15.函数 f ( x) 2 的间断点是（ C ） x 2x 3 A.x=3 B.x=－1
x 0
f ( x) 不存在且 lim f ( x) 0 C. xlim 0
微积分复习题(1)(1)
《微积分》期末考试复习题第一章 函数与极限2. 求下列函数的定义域211(1)arctan ;(2);lg(1)(3); (4)arccos(2sin ).1y y x x xy y x x ==-==-6. 求下列极限：24213423(2)lim ;31(4)lim ;31(1)(2)(3)(6)lim ;5x x n x xx x x xx x n n n n →→∞→∞+-+--++++ 7若211lim 221x x ax b x →∞⎛⎫+=-- ⎪+⎝⎭，求a 和b . 9. 通过恒等变形求下列极限：2243222231016811(2)lim ;(4)lim ;15422 (5)lim log (1)113 (12)lim ;(13)lim ; (11)lim ; (1)11(1n n x x x a x x x x x x x xx x x x x x x →∞→→+∞→→→→-+⎛⎫+++ ⎪-+⎝⎭+-+⎛⎫- ⎪---⎝⎭3sin 0001sin 4)lim ; (15)lim(12); (16)lim ln .x xx x x a x x x x→→→-+11. 利用重要极限1lim(1)e uu u →+=，求下列极限：2221232cot 013(1)lim ;(2)lim ;12(3)lim(13tan );(4)lim(cos 2);xx x x xx x x x x x x x +→∞→∞→→+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+12. 利用取对数的方法求下列幂指函数的极限：()1201(1)lim ;(4)lim .1e xx xx x x x →→∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭14. 利用0sin lim1x xx→=或等价无穷小量求下列极限：000sin 1cos 2(1)lim;(3)lim ;sin sin arctan 3(5)lim ;(6)lim 2sin ;2x x n n x n mx xnx x xx x x →→→→∞-16、若0→x 时,1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小,求a 的值。
大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案
大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案前言数学是一门抽象的学科，需要大量的练习才能真正理解和掌握。
微积分作为数学中的基础学科，更是如此。
本文将为大家提供大学数学微积分第二版上册的课后习题及其答案，供大家参考和练习。
课后习题及答案第一章函数与极限习题1.11.计算以下极限:1.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 1}\\frac{x-1}{x^2-1}$2.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}\\frac{\\sqrt{1+x}-1}{x}$3.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}(\\frac{1}{\\sin{x}}-\\frac{1}{x})$答案：1.$\\frac{1}{2}$2.$\\frac{1}{2}$3.02.求曲线$y=\\frac{1}{x}$与直线y=x在第一象限中形成的夹角。
答案：$\\frac{\\pi}{4}$3.证明：$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}x\\sin\\frac{1}{x}=0$答案：对任意$\\epsilon>0$，取$\\delta=\\epsilon$，则当$0<|x|<\\delta$时，有$|x\\sin\\frac{1}{x}-0|<|x|<\\delta=\\epsilon$ 习题1.21.求下列函数的导数：1.y=2x3+3x2−4x+12.$y=\\frac{1}{2}x^3-x^2+2x-1$3.$y=\\frac{1}{\\sqrt{x}}+x\\ln{x}$答案：1.y′=6x2+6x−42.$y'=\\frac{3}{2}x^2-2x+2$3.$y'=-\\frac{1}{2x^{\\frac{3}{2}}}+\\ln{x}+1$2.求函数y=xe x在x=1处的导数。
答案：y′=e+13.求f(x)=|x−2|的导函数。
微积分一练习题及答案
A . x a 是f x 的极小值点；B . x a 是f x 的极大值点;《微积分（1）》练习题一.单项选择题1 •设f X 。
存在，则下列等式成立的有（ ）3 .设f （x ）的一个原函数是e 2x ，则f （x ）（A . 当f a f b 0时，至少存在一点 a,b ，使 f0 ；B . 对任何a,b ，有lim f x fx0 ；C. 当fa f b 时，至少存在一点 a,b ，使 f 0;D. 至少存在一点 a, b ，使f b fa fba;6.已知f x 的导数在x a 处连续，f x右lim1，则下列结论成立的有x0x0-Tolimx0-Tx0olimx0x0-T叫Hhx0x0叫Hh).limx 22xxx 123.lim3x 1x2x 6x2.下列极限不存在的有（1A . lim xsin 2B1C. lim e xx 0DA .2e 2xB2x4e 2xD2xe2x2、x, 0 x 14.函数 f(x) 1, x 1 在 0,1 x, x 1上的间断点x 1为（ ）间断点A .跳跃间断点;B •无穷间断点; C.可去间断点;D.振荡间断点5.设函数f x 在a,b 上有定义，在a,b 内可导，则下列结论成立的有（x0C. a, f a 是曲线y f x 的拐点;D. x a 不是f x 的极值点，a, f a 也不是曲线y f x 的拐点;填空: 山i1 .设 y f arcsin, f 可微，贝U y x ________________________________x2 .若 y 3x 52x 2 x 3，贝卩 y 6______________________3.过原点0,1作曲线y e 2x 的切线，则切线方程为 _________________________________4 x 14 .曲线y——2— 2的水平渐近线方程为 ________________________________________x铅垂渐近线方程为 __________________________________5 .设 f (ln x) 1 x ，贝卩 f x _____________________ f x __________________________计算题:于零，求证F x 在a, 内单调递增(1)x 2 1x 2 2x 3(2) limx(3)ln(1 x ) lim(4)yln 1x 0 xs in 3x(5)e xy y 3 5x求 dy x 0dx四.试确定a ， b ， 使函数 f xb 1 si nxax1,a 2, xex 五.试证明不等 式: 当x1时， xe x e1 xe x e2六. 设F x 丄x f ax a，其中fx 在 a,上连续, x 在a, 内存在且大x a在x 0处连续且可导。
微积分第一章课外习题参考答案
p14. 三.1.证明 : 令f ( x) x3 3x 1, 则f ( x)在[1,2]上连续,且
f (1) 3 0, f (2) 1 0, 由闭区间上连续函数的零点定理,
存在 (1,2),使得f ( ) 0,即 3 3 1.
1,
n2
lim
n
n2
1,
n2
1
n
)
1
lim
n
n(
n2
n2
1
2
n2
1
n
)
1.
p8. 2.证明 : (1) x1 2 0, x2 2 x1 x1 0,设xn xn1 0,则
xn1 2 xn 2 xn1 xn 0, 根据数学归纳法原理,{ xn }为单调增加序列, (2) x1 2 2,设xn 2,则
xn1 2 xn 2 2 2, 根据数学归纳法原理,xn 2, n 1,2, ,
(接上页p8.)
{ xn }为单调增加有界序列.
lim
n
xn存在
.
设
lim
n
xn
A,由xn
2 xn1 ,得
lim
n
xn
lim
n
2 xn1 ,
A 2 A, A 2, A 1(舍去),
lim
n
lim n k 1, lim n kAn 1
n
n
lim
n
xn
A
max(a1,a2 ,
ak ).
例如: lim n 1n 2n 8n 8. n
p15. 三.由导数定义知 :
1.
e xh lim
ex.
微积分1基础试题及答案
微积分1基础试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数y=x^2的导数是：A. 2xB. x^2C. 2x^2D. x答案：A2. 下列哪个函数是偶函数？A. y=x^3B. y=x^2C. y=x^5D. y=x答案：B3. 积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/2答案：A4. 函数y=e^x的不定积分是：A. e^x + CC. ln(e^x) + CD. ln(x) + C答案：A5. 函数y=ln(x)的导数是：A. 1/xB. xC. ln(x)D. x^2答案：A6. 函数y=sin(x)的二阶导数是：A. -sin(x)B. cos(x)C. -cos(x)D. sin(x)答案：C7. 函数y=x^3 - 3x^2 + 2x的极值点是：A. x=0B. x=1C. x=2D. x=3答案：B8. 曲线y=x^2在x=1处的切线斜率是：B. 1C. 0D. -1答案：A9. 函数y=x^3 - 6x^2 + 11x - 6的拐点是：A. x=1B. x=2C. x=3D. x=4答案：B10. 积分∫(0到π) sin(x) dx的值是：A. 0B. 2C. πD. -π答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数y=x^3的二阶导数是_______。
答案：6x2. 函数y=cos(x)的不定积分是_______。
答案：sin(x) + C3. 曲线y=ln(x)在x=e处的切线斜率是_______。
答案：1/e4. 函数y=x^2 - 4x + 4的最小值是_______。
答案：05. 函数y=e^(-x)的导数是_______。
答案：-e^(-x)6. 函数y=x^4的不定积分是_______。
答案：x^5/5 + C7. 曲线y=x^3在x=-1处的切线斜率是_______。
答案：-38. 函数y=sin(x)的二阶导数是_______。
微积分第1、2章测验题
的垂线,求此平面的方程. 的垂线,求此平面的方程. 所求平面方程为 x + 2y +1= 0
x 具有二阶连续偏 2．已知函数 z = f x, ,其中 f 具有二阶连续偏 y 2 2 ∂2 z ∂2 f 2 ∂2 f 1 ∂2 f ∂z ∂z + 2⋅ 2 微商. 微商.求 2 , . 2= 2+ ⋅ ∂x ∂x∂y ∂x ∂u y ∂u∂v y ∂v
(12分 七、 分) 已知函数f(x)在[0, 2a]上连续,且f (0) = f (2a) , 在 上连续, 已知函数 上连续 求证在[0, 内至少有一点 内至少有一点c， 求证在 a]内至少有一点 ，使得 f (c) = f (c + a).
一、单项选择题 (每小题 分) 每小题4分 每小题 1．下列说法正确的是 D → → → → → 是单位向量； A i + j + k 是单位向量； B i × i = 0； ； → → → → → → C 如果向量 a 垂直向量 b ,则 a + b = a − b； ； 垂直. D 平面 x+ y+z=0与 x+ y − 2z+3=0 垂直 与 2．函数 y = C1ex + C2e−2x + xex 满足的一个 微分方程是 D A y" − y' − 2y = 3xex； B y" − y' − 2y = 3ex； C y" + y' − 2y = 3xex； D y" + y' − 2y = 3ex.
x→+∞ x→+∞
微积分一练习题及答案
《微积分（1）》练习题一． 单项选择题1．设()0x f '存在，则下列等式成立的有（ ）A ． ()()()0000lim x f x x f x x f x '=∆-∆-→∆B ．()()()0000lim x f xx f x x f x '-=∆-∆-→∆ C ．()()()00002lim x f h x f h x f h '=-+→ D ．()()()0000212lim x f h x f h x f h '=-+→ 2．下列极限不存在的有（ ）A ．201sin lim xx x → B ．12lim 2+-+∞→x x x x C ． x x e 10lim → D ．()x x x x +-∞→632213lim 3．设)(x f 的一个原函数是x e2-，则=)(x f （ ） A ．x e 22-- B ．x e 2- C ．x e 24- D ． x xe 22--4．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为（ ）间断点。
A ．跳跃间断点；B ．无穷间断点；C ．可去间断点；D ．振荡间断点5． 设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（ ）A ． 当()()0<b f a f 时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0=ξf ；B ． 对任何()b a ,∈ξ，有()()[]0lim =-→ξξf x f x ；C ． 当()()b f a f =时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0='ξf ；D ．至少存在一点()b a ,∈ξ，使()()()()a b f a f b f -'=-ξ；6． 已知()x f 的导数在a x =处连续，若()1lim -=-'→ax x f a x ，则下列结论成立的有（ ） A ．a x =是()x f 的极小值点； B ．a x =是()x f 的极大值点；C ．()()a f a ,是曲线()x f y =的拐点；D ．a x =不是()x f 的极值点，()()a f a ,也不是曲线()x f y =的拐点；二． 填空：1．设⎪⎭⎫ ⎝⎛=x f y 1arcsin ，f 可微，则()='x y 2．若32325-+-=x x x y ，则()=6y3．过原点()1,0作曲线x e y 2=的切线，则切线方程为4．曲线()2142-+=xx y 的水平渐近线方程为 铅垂渐近线方程为 5．设x x f +='1)(ln ，则()='x f ()=x f三． 计算题：（1）321lim 221-+-→x x x x （2）32lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x（3）xx x x 3sin )1ln(lim 20+→ （4）()[]221ln x y -= 求dy （5）053=-+x y e xy 求0=x dx dy四． 试确定a ，b ，使函数()()⎩⎨⎧<-≥+++=0,10,2sin 1x e x a x b x f ax 在0=x 处连续且可导。
经济数学(微积分)自测题
第一章 第一章 函数 自测题一、填空题(请将正确答案直接填在题中横线上):1．函数()(ln )f x f x =则的定义域为______________。
2．设1, 1()0, 1,(),[()] ,[()]1,1x x f x x g x e f g x g f x x ⎧<⎪=====⎨⎪->⎩则。
3．函数2, 0()2ln ln 2, 2x x f x x x x -≤⎧⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎩的反函数1()f x -＝________________。
4．设函数()f x 满足212()()1xf x x f x x +=+，则()f x ＝__________。
5．设(sin )cos 1.(cos )22x xf x f =+则=____________________。
二、选择题(请在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在括号内)：1．函数2211x y x -=+的值域是（ ）。
(A) 11y -≤≤ (B) 11y -≤< (C) 11y -<≤ (D) 01y ≤≤ 2．()sin ()xf x xex -=-∞<<+∞是（ ）。
(A) 有界函数 (B) 单调函数 (C) 周期函数 (D) 奇函数 3．设x ∈（－1，1），则1()lg1xf x x -=+（ ）。
(A) 既是奇函数，又是单调减函数 (B) 既是奇函数，又是单调增函数 (C) 既是偶函数，又是单调增函数 (D) 既是偶函数，又是单调增函数4．设22,0(), 0x x e x x f x e x x ππ⎧--<<⎪=⎨+≤<⎪⎩，在其定义域内为（ ）。
(A) 无界函数 (B) 周期函数 (C) 单调函数 (D) 偶函数 5．已知函数()f x 在(,)-∞∞上单调减，则下列函数中单调增的是（ ）。
(A) 2()f x (B) 1()f x (C) ()f x - (D) ()xf x三、充分判断题：解题说明：本题要求判断给出的条件能否充分支持题干陈述的结论。
《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时,x x sin tan -就是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域就是]1,0[,则)(ln x f 的定义域就是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 就是非零常数,则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时,1)1(312-+ax 与1cos -x 就是等价无穷小,则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域就是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 就是],[l l -上的偶函数,)(x h 就是],[l l -上的奇函数,则 中所给的函数必为奇函数。
(Ａ))()(x g x f +;(Ｂ))()(x h x f +;(C))]()()[(x h x g x f +;(D))()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有 。
(Ａ)α就是比β高阶的无穷小; (Ｂ)α就是比β低阶的无穷小; (C)α与β就是同阶无穷小; (D)βα~。
《微积分》第一章、第三章测试题
《微积分》第一章测试题一、填空1. 函数()arcsin 1y x =+的定义域为[]2,0-2. 函数21y x =+的反函数是12x y =-3. 函数()2ln 1y x x =++是奇函数（奇函数、偶函数、非奇非偶函数）【用()()f x f x =--】4. 函数()1sinfx x x=，当x →0时,()f x 为无穷小量。
【无穷小量乘以有界量仍为无穷小量】5. 函数()2,0,0xe xf x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩间断点的类型是0x =为跳跃间断点【左右极限存在但不相等】 6. 函数()211x fx x -=-间断点的类型是1x =可去间断点【极限存在但不等于函数值或函数在此点无定义】二、计算题1.求()10lim 1x x x →-解()()111100lim 1lim 1x xx x x x e---→→⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭【重要极限】2.求21limsin 1x x x →+∞+解2211lim0,sin limsin 011x x x x xx→+∞→+∞=∴=++ 为有界量，3.设()321,12,1x x f x x x +≤⎧=⎨+>⎩，论证1x =时的连续性，并求连续区间解()()()()31111lim lim 213,lim lim 23x x x x fx x fx x --+-→→→→=+==+= ，()12113f =⋅+=()()()11lim lim 1x x fx fx f -+→→∴==，()()1lim 1x f x f →∴=，()1f x x ∴=在处连续，连续区间为(),-∞+∞4. 0sin lim ln x x x→解0sin sin lim ln ln limln 10x x x x xx→→===三、试证方程531x x -=在()1,2内至少有一个根。
证明：令()()[]()()531,1,2130,2320fx x x fx f f =--=-<=> 在上连续，()()551,2031031f ξξξξξξ∴∈=--=-=由零点定理知，至少存在一个，使，即， 结论得证《微积分》第三章测试题1. 函数()22f x x x =+在区间[]0,4内满足拉格朗日中值定理的ξ解 ()22f x x '=+，因为()f x 在[]0,4上连续，在()0,4上可导，则在()0,4上至少存在一点ξ，使()()()()()4040,24224,f f f ξξξ'-=-=+即解得=22. 【00型用两次洛必达法则】求极限3sin limx x x x →-解32sin 1cos sin 1limlimlim366x x x x x x x xxx→→→--===3. 求函数32395y x x x =--+的单调区间解2369y x x '=--，令23690,1,3y x x x '=--==-则得()()[],13,0,1,30,x y y x y y '∈-∞-+∞>'∈-< 当时，则单调递增当时，则单调递减4. 求函数21x y x x =+-的凹区间和拐点解32211x xy x x x =+=--()()()22322222212211xx x xxy x x---'==--()()()()22224322412212411x x x x xxy xx--+⋅-⋅''==--令()3240,0.00;001xy x x y x y x''''''===>><<-得当时，当时，所以凹区间为()0,+∞，拐点为()0,0。
微积分第三版第一章及第二章练习
第一章、 第二章练习1.求lim x →+∞2.求10tan lim .2e x xx→+3.求1sin 01tan lim .1sin xx xx →+⎛⎫⎪+⎝⎭4.求201lim .e 1x x →- 5.求极限1ln 14lim arctan .πxx x →⎛⎫ ⎪⎝⎭6.求极限1211lim .2x x x x -→⎛⎫+ ⎪⎝⎭7.求极限()2ππ02lim tan .x x x -→-8.求极限()1ln 1lim.xx x x →+∞+⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.求极限22220sin co s lim .sin x x x xx x →-10.求极限()30e sin 1lim .xx x x x x →-+11.已知21lim 5,1x x ax bx →++=-求,.a b12.讨论函数()xx x f --=1e 11的间断点并指出其类型.13.设()f x 在[]0,2a 上连续，且()()2,f a f a =证明至少存在一点[]0,a ξ∈使得()().f f a ξξ=+14.设()0,0,0,x f x x ≠==⎩问函数()f x 在0x =处⑴是否连续？⑵是否可导？15.,y x =求.y ' 16.,4x xy = 求.y '17.2co s y =求.y '18.()23ln ln ln ,y x ⎡⎤=⎣⎦求.y '19.y = 求.y '20. 求.y ' 21.242ln ,y y x += 求.y '22.设()21sin , 0,0, 0.x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩讨论函数()f x 在0x =处的连续性，可导性，导函数的连续性。
23.()21,y f x x = 求,.y y ''' 24.()()e ,f x y f x = 求,.y y '''25.设33co s ,sin ,x a t y a t ⎧=⎪⎨=⎪⎩求22d .d y x 26.设函数()y f x =由方程sin e 0y y x +=确定，求d ,d y x 并求出曲线()y f x =在()0,0处的切线方程。
(完整版)《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x . 3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为 .5、=-∞→x e x x arctan lim .6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b .7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________. 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a .12、函数x xx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=.14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
(Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ))()(x h x f +；(C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β,则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； (Ｂ)α是比β低阶的无穷小； (C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~.3、函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续，则=k 。
微积分大学练习册及答案
微积分大学练习册及答案# 微积分大学练习册及答案## 第一章：极限与连续性### 练习一：极限的概念与性质1. 求极限：计算下列极限（若存在）：- \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)- \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2}\)- \(\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 1)\)2. 使用极限的性质：证明以下极限等式：- \(\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) +\lim_{x \to a} g(x)\)- \(\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)\)### 练习二：连续性1. 判断函数的连续性：- 判断函数 \(f(x) = \sqrt{x}\) 在 \(x = 0\) 处是否连续。
- 判断函数 \(g(x) = \frac{1}{x}\) 在 \(x = 1\) 处是否连续。
2. 连续函数的性质：- 证明连续函数在闭区间上的有界性和最值定理。
## 第二章：导数与微分### 练习一：基本导数公式1. 求导数：- 计算函数 \(f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 7\) 的导数。
- 求函数 \(g(x) = \sin(x) + \cos(x)\) 的导数。
2. 使用导数公式：- 利用导数公式求 \(h(x) = (x^2 + 1)^3\) 的导数。
### 练习二：高阶导数与隐函数求导1. 求高阶导数：- 求函数 \(f(x) = \ln(x)\) 的二阶导数。
2. 隐函数求导：- 给定 \(x^2 + y^2 = 1\)，求 \(y\) 关于 \(x\) 的导数。
## 第三章：积分学### 练习一：不定积分1. 求不定积分：- 计算 \(\int x^2 dx\)。